材料力学-9-组合受力与变形
材料力学第九章动荷载和交变应力
kd 1 a g 1 2.5 9.8 1.26
st FNst / A W2 / A 127.3MPa d kd st 160.4MPa 1.05[ ]
∴ 钢索满足强度要求。
2.5m
FNd W2
W2 g
a
2.5m a
W2
2.梁的强度校核
W1
kd 1 a g 1 2.5 9.8 1.26
求σdmax、△Dd。不计梁的自重。 A
解：1.计算静态的△Cst、Mmax和
σstmax
W
h
D
2l / 3 l
C
B
l/3
由 w Fb(l 2 b2 ) x Fb x3
6EIl
6EIl
得
Δ Cst
W
l [l 2 ( l )2]
3
3
6EIl
2l 3
Wl 3
6EIl
( 2l )3 3
4Wl 3 0.19mm 243EI
结论：梁满足强度要求。
三、提高构件抗冲击能力的措施
d kdst Fd kdW d kd st
kd 1
1 2h — —竖向冲击动荷因数
st
kd
v2 水平冲击动荷因数
gst
在静应力不变的情况下，减小动荷系数可以减小冲击应力。
即加大冲击点沿冲击方向的静位移： 被冲击物采用弹性模量低、变形大的材料制作； 或在被冲击物上垫上容易变形的缓冲附件。
W
h C
z Iz = 1130cm4 Wz =141cm3
A
B
1.梁本身的变形
1.5m
1.5m
k
ΔCst1
Wl 3 48EI
0.474mm
2.支座缩短量
材料力学组合变形
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
材料力学10组合变形
材料力学10组合变形组合变形是指当结构受到外力作用时，由于各个零件的不同材料及尺寸性质的差异，导致各个零件产生不同的变形现象，从而使整个结构发生整体的变形。
组合变形是结构力学的重要内容，对于工程结构的设计、安全性评估和结构稳定性分析都至关重要。
本文将介绍组合变形的概念、分析方法和影响因素。
组合变形的概念：组合变形是指由于结构中不同零件的尺寸和材料性质的不一致，而导致结构在受力时产生的整体变形。
组合变形分为两类：一是刚体体变形，即结构在受力作用下整体平移、旋转或缩放；二是构件本身变形，即结构中各零件由于尺寸和材料的不一致而产生的内部变形。
组合变形的分析方法：组合变形的分析方法主要有两种：力法和位移法。
力法是指根据梁的变形方程和杨氏模量的定义，通过计算各零件在各个截面上的张力或弯矩，从而得到整体的变形情况。
位移法是指根据构件的位移和应变关系，通过求解位移方程组，从而得到整体的变形情况。
力法和位移法都是基于弹性理论，适用于较小变形和线性弹性材料的情况。
组合变形的影响因素：组合变形的大小与结构的几何形状、零件尺寸和材料性质有关。
影响组合变形的因素主要有以下几个方面：1.结构的几何形状：结构的几何形状对组合变形有重要影响。
例如，在长梁的弯曲变形中，梁的长度和曲率半径都会影响变形的大小。
2.零件的尺寸：零件的尺寸对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，梁的截面积和转动惯量会影响变形的大小。
3.零件的材料性质：零件的材料性质对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，梁的弹性模量和截面剪切模量会影响变形的大小。
4.外力的作用方式：外力的作用方式对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，集中力和均布力对变形的影响是不同的。
除了以上几个因素外，结构的边界条件和连接方式也会影响组合变形的大小。
此外，在实际工程中，结构中可能存在的缝隙、温度变化、材料老化等因素也会对组合变形产生影响。
对于设计工程结构来说，合理控制组合变形是非常重要的。
材料力学_陈振中_习题第九章组合变形
第九章组合变形9.1 试求图示各构件在指定截面上的内力分量。
9.2 人字架及承受的载荷如图所示。
试求截面I-I上的最大正应力和A点的正应力9.3 图示起重架的最大起吊重量（包括行走小车等）为P = 40kN ，横梁AC 由两根No.18槽钢组成，材料为A3钢，许用应力[σ] = 120 MPa 。
试校核横梁的强度。
9.7 图示短柱受载荷P 和H 的作用，试求固定端截面上角点A 、B 、C 及D 的正应力，并确定其中性轴的位置。
9.14 图为操纵装置水平杆，截面为空心圆形，内径d = 24 mm，外径D = 30 mm。
材料为A3钢，[σ] = 100 MPa。
控制片受力P1= 600 N。
试用第三强度理论校核杆的强度。
9.17图示皮带轮传动轴，传递功率N = 7kW，转速n =200r/min。
皮带轮重量Q = 1.8kN。
左端齿轮上啮合力Pn与齿轮节圆切线的夹角（压力角）为200。
轴的材料为A5钢，其许用应力[σ] = 80 MPa。
试分别在忽略和考虑皮带轮重量的两种情况下，按第三强度理论估算轴的直径。
9.19 飞机起落架的折轴为管状截面，内径d =70 mm ，外径D = 80 mm 。
材料的许用应力[σ] = 100 MPa ，试按第三强度理论校核折轴的强度。
若P = 1 kN ，Q = 4 kN 。
9.24 端截面密封的曲管的外径为100mm ，壁厚t = 5mm ，内压p = 8MPa 。
集中力P = 3kN 。
A 、B 两点在管的外表面上，一为截面垂直直径的端点，一为水平直径的端点。
试确定两点的应力状态。
解：在内压p 作用下，B 点应力状态分别如图9.24a ，b 所示。
σp1 = pD/(2t) = 8⨯100/(2⨯5) = 80 MPa, σp2 = pD/(4t) = 40 MPa 在集中力P 作用下，曲管受弯扭组合变形，A 点和B 点应力状态分别如图9.24c ，d 所示。
材料力学组合变形
材料力学组合变形材料力学是研究物质内部相互作用和外部受力作用下物质的变形和破坏规律的一门学科。
在材料力学中，组合变形是一个重要的研究方向，它涉及到材料在多种力的作用下所产生的复合变形情况。
本文将就材料力学组合变形进行探讨。
首先，我们来了解一下组合变形的概念。
组合变形是指材料在受到多种力的作用下，所产生的复合变形情况。
这些力可以是拉力、压力、扭矩等多种形式，它们同时作用于材料上，导致材料产生复杂的变形情况。
组合变形的研究对于材料的设计和应用具有重要意义。
在研究组合变形时，我们需要考虑材料的本构关系。
材料的本构关系描述了材料的应力-应变关系，它是材料力学研究的基础。
在组合变形的情况下，材料的本构关系会受到多种力的影响，从而导致材料的变形行为发生变化。
因此，我们需要对材料的本构关系进行深入的研究，以更好地理解组合变形的规律。
另外，材料的微观结构对于组合变形也有着重要的影响。
材料的微观结构决定了材料的力学性能，不同的微观结构会导致材料在组合变形时表现出不同的变形行为。
因此，我们需要通过实验和理论分析来揭示材料微观结构与组合变形之间的关系，为材料的设计和应用提供理论依据。
此外，材料的加工工艺也会对组合变形产生影响。
在材料的加工过程中，可能会受到多种力的作用，导致材料产生组合变形。
因此，我们需要对材料的加工工艺进行研究，以了解加工过程中可能产生的组合变形情况，并提出相应的改进措施。
综上所述，材料力学组合变形是一个复杂而又重要的研究领域。
通过对材料的本构关系、微观结构和加工工艺的研究，我们可以更好地理解材料在多种力作用下的变形行为，为材料的设计和应用提供理论支持。
希望本文的内容能对材料力学组合变形的研究有所帮助。
材料力学习题册2012.9.26
2－5现场施工所用起重机吊环由两根侧臂组成〔图a〕，A、B、C三处均为铰链连接。每一侧臂AB和BC都由两根矩形截面杆所组成〔图b〕。已知起重载荷FP＝1200 kN，每根矩形杆截面尺寸比例b/h，材料的许用应力 ＝。试设计矩形杆的截面尺寸b和h。
〔2〕轴的最大相对扭转角 。
3－5图示实心圆轴承受外加扭转力偶，其力偶矩Me=3 kN·m，图中尺寸单位为mm。试求：
〔1〕轴横截面上的最大切应力。
〔2〕轴横截面上半径r＝15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比。〔3〕去掉r=15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。
3－6同轴线的芯轴AB与轴套CD，在D处二者无接触，而在C处焊成一体。轴的A端承受扭转力偶作用，如下图。已知轴直径d＝66 mm，轴套外直径D＝80 mm，厚度＝6 mm；材料的许用切应力[]＝60 MPa。试求结构所能承受的最大外力偶矩。
7－7已知矩形截面梁的某个截面上的剪力FQ=120kN，弯矩M＝10kN·m，截面尺寸如下图。试求1、2、3点的主应力与最大切应力。
7－8用实验方法测得空心圆轴外表上某一点〔距两端稍远处〕与轴之母线夹45°角方向上的正应变 。假设已知轴的转速n=120r/min(转／分)，材料的G=81GPa， ，试求轴所受之外力偶矩Me。(提示： 〕
5－13由号工字钢制成的ABD梁，左端A处为固定铰链支座，B点处用铰链与钢制圆截面杆BC连接，BC杆在C处用铰链悬挂。已知圆截面杆直径d＝20 mm，梁和杆的许用应力均为[]＝160 MPa，试求:结构的许用均布载荷集度[q]。
材料力学——第9章(平面弯曲杆件的变形与刚度计算)
a
A
x1
F C
b
Fa l
当 a＞b 时——
6lEI
B
max
x2
Fab( l a ) max B 6lEI 当 a＞b 时——最大挠度发生在AC段
0 x l 2 b2 3 a( a 2b ) 3
xa
最大挠度一定在左侧段
x x
max 1
2 Fb 1 ( x x ) ( l b 2 )3 9 3 EIl
19
Fb l
讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。 左 1 max 1 0 x1 0 右 2 max 2 0 x 2 l 侧 侧 Fab( l b ) Fab( l a ) 段： 1 max A 段： 2 max B 6lEI
§9-1 挠曲线 挠度和转角
§9-2 挠曲线的近似微分方程
§9-3 积分法求梁的变形 §9-4 叠加法求梁的变形 §9-5 梁的刚度条件与合理刚度设计 §9-6 用变形比较法解简单超静定梁
1
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。
式中，C1、D1是积分常数，可通过梁的边界条件（支座 的约束条件）确定。
梁上有集中力、集中力偶以及间断性分布荷载作用时，弯 矩方程需分段写出，各梁段的挠曲线近似微分方程也不同。积 分常数还要利用连续性条件，才能求出。 7
二、位移边界条件
A F C B F D
支座位移条件： A 0 B 0 Nhomakorabea
18
⑸跨中点挠度及两端端截面的转角
x L 2
材料力学组合变形
材料力学组合变形材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形行为的学科。
组合变形是指将不同的材料组合在一起，并在外力作用下共同发生变形。
本文将探讨材料力学中的组合变形及其应用。
材料的组合变形主要有两种形式，即均匀变形和非均匀变形。
均匀变形是指组合材料中各个组分材料的变形均匀一致，不发生相对滑动或相对滑动微小。
在均匀变形中，组合材料的整体变形主要由各个组分材料的线弹性或体弹性共同引起。
例如，当钢筋混凝土受到拉力作用时，钢筋和混凝土发生均匀的拉伸变形。
非均匀变形是指组合材料中各个组分材料的变形不一致，发生相对滑动或相对滑动巨大。
在非均匀变形中，组合材料的整体变形主要由各个组分材料的弹性、塑性和断裂等共同引起。
例如，当金属板与橡胶层组合时，金属板可以发生弯曲变形，而橡胶层则可以发生弹性变形和形变。
组合变形在实际应用中有着广泛的应用。
首先，组合变形可以通过调节组分材料的比例和形状来实现特定的力学性能。
例如，通过调节纤维增强复合材料中纤维的方向和分布，可以显著改变其强度和刚度。
此外，通过组合不同的材料，还可以实现热膨胀系数匹配、界面应力分散等功能，从而降低材料的应力集中和断裂风险。
其次，组合变形还可以实现材料的远程感应和控制。
例如，利用形状记忆合金和橡胶组合的智能材料，在外力作用下可以实现形状变化和应变分布的调控。
这种材料可以应用于自适应结构、智能传感器等领域。
此外，通过组合不同的材料，还可以实现流变性能的调控，进而应用于动态振动控制等领域。
最后，组合变形还可以实现材料的多功能性和复合性能。
通过组合不同材料的优势，可以实现多功能材料的设计和制备。
例如，通过合理选择纳米材料和纤维增强复合材料等，可以实现具备高强度、低密度、耐热和导电等多种特性的复合材料。
此外，通过组合不同材料的力学性能，还可以实现弹性材料、减振材料和防护材料的设计与制备。
综上所述，材料力学中的组合变形是一种重要的力学现象，具有广泛的应用前景。
材料力学答案
第一章 绪论一、是非判断题1.1 材料力学的研究方法与理论力学的研究方法完全相同。
( × ) 1.2 内力只作用在杆件截面的形心处。
( × ) 1.3 杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和。
( × )1.4 确定截面内力的截面法，适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。
( ∨ )1.5 根据各向同性假设，可认为材料的弹性常数在各方向都相同。
( ∨ ) 1.6 根据均匀性假设，可认为构件的弹性常数在各点处都相同。
( ∨ ) 1.7 同一截面上正应力σ与切应力τ必相互垂直。
( ∨ ) 1.8 同一截面上各点的正应力σ必定大小相等，方向相同。
( × ) 1.9 同一截面上各点的切应力τ必相互平行。
( × ) 1.10 应变分为正应变ε和切应变γ。
( ∨ ) 1.11 应变为无量纲量。
( ∨ ) 1.12 若物体各部分均无变形，则物体内各点的应变均为零。
( ∨ ) 1.13 若物体内各点的应变均为零，则物体无位移。
( × ) 1.14 平衡状态弹性体的任意部分的内力都与外力保持平衡。
( ∨ ) 1.15 题1.15图所示结构中，AD 杆发生的变形为弯曲与压缩的组合变形。
( ∨ )1.16 题1.16图所示结构中，AB 杆将发生弯曲与压缩的组合变形。
( × )二、填空题1.1 材料力学主要研究受力后发生的1.2 拉伸或压缩的受力特征是 ，变形特征是 。
1.3 剪切的受力特征是 ，变形特征是 。
1.4 扭转的受力特征是 ，变形特征是 。
1.5 弯曲的受力特征是 ，变形特征是 。
1.6 组合受力与变形是指 。
1.7 构件的承载能力包括 ， 和 三个方面。
1.8 所谓 ，是指材料或构件抵抗破坏的能力。
所谓 ，是指构件抵抗变形的能力。
所B题1.15图题1.16图外力的合力作用线通过杆轴线 杆件 沿杆轴线伸长或缩短 受一对等值，反向，作用线距离很近的力的作用 沿剪切面发生相对错动 外力偶作用面垂直杆轴线 任意二横截面发生绕杆轴线的相对转动外力作用线垂直杆轴线，外力偶作用面通过杆轴线梁轴线由直线变为曲线 包含两种或两种以上基本变形的组合 强度 刚度 稳定性 强度 刚度谓 ，是指材料或构件保持其原有平衡形式的能力。
材料力学 - 填空(终稿)
1.材料力学主要研究构件受力后发生的变形，以及由此产生的应力。
2.拉伸或压缩的受力特征是外力合力作用线与杆件轴线重合，变形特征是沿轴线伸长或缩短。
3.剪切的受力特征是杆件某一截面两侧受一对大小相等，方向相反，作用线很近且垂直于杆件轴线的力，变形特征是杆件的两部分沿这一截面发生相对错动。
4.扭转的受力特征是杆件的两端作用两个大小相等，方向相反，且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，变形特征是杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。
5.弯曲的受力特征是外力垂直于轴线，变形特征是原为直线的轴线变为曲线。
6.组合受力与变形是指构件受到两种或两种以上基本变形的组合。
7.构件的承载能力包括强度要求，刚度要求和稳定性要求三个方面。
8.所谓强度，是指材料或构件抵抗破坏的能力。
所谓刚度，是指构件抵抗变形的能力。
所谓稳定性，是指材料或构件保持其原有平衡形式的能力。
9.根据固体材料的性能作如下三个基本假设连续性，均匀性，各向同性。
10.认为固体在其整个几何空间内无隙地充满了组成该物体的物质，这样的假设称为连续性。
根据这一假设构件的应力，应变和变形等就可以用坐标的连续函数来表示。
11.如图所示结构中，杆1发生拉伸变形，杆2发生拉压变形，杆3发生弯曲变形。
12.下图（a），（b），（c）分别为构件内某点处取出的单元体，变形后情况如虚线所示，则单元体（a）的切应变γ=2α，单元体（b）的切应变γ=α—β，单元体（c）的切应变γ=0。
13.轴力的正负规定为拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。
14.受轴向拉伸或压缩的直杆，其最大正应力位于横截面，计算公式σ=N/A，最大切应力位于与轴线成45°的斜截面，计算公式τmax=σ/2。
15.拉压杆强度条件中的不等号的物理意义是工作应力不超过许用应力，强度条件主要解决三个方面的问题是（1）进行强度校核，（2）确定截面尺寸，（3）确定许可载荷。
16.轴向拉压胡克定理的表示形式有两种，其应用条件是工作应力σ不超过材料的比例极限。
材料力学§9-4扭转与弯曲的组合-南昌工程学院
2
4
2 x2来自 2
4
2
2
, 2 0
按第三强度理论作强度计算，相当应力为
r3 1 3 2
2
4 2
2
2 4 2
(a)
按第四强度理论作强度计算，相当应力为
r4
1 2
[(
1
2 )2
(
2
3)2
同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。 例如，B截面上的弯矩MzB和 MyB（图f）按矢量相加所得 的总弯矩MB（图g）为：
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000 N m)2 1064 N m
由Mz 图和My 图可知，B 截
面上的总弯矩最大，并且由扭矩
第9章 组合变形
§9-4 扭转与弯曲的组合
主讲院校：南昌工程学院 主讲老师：章宝华 课程名称：材料力学
§9-4 扭转与弯曲的组合
以由塑性材料制造的曲拐为 例来说明这类组合变形时应 1力.内及力其分强析度的计算方法。
A面上内力最大，该截 面为危险截面，其内力
值分别为弯矩M＝Fl，扭 矩MT＝Fa。
该杆为直径为d 的圆截面杆。
r3
2
2
M WZ
4 2MWTZM
M 2 MT2 WZ
r4
2
2
M WZ
3
MT 2WZ
M 2 0.75M T 2 WZ
式中,M和MT分别为危险截面上的弯矩和扭矩，WZ为圆截面的弯曲截面系数。
29-31材料力学-组合变形
P 200 图. （2）
dP
P M
1maxAP1
M Wz1
350000350506
0.20.3 0.20.32
11.7M Pa
2max
P A
3 5 0 0 0 08.7 5MP a 0.20.2
15
[例5] 图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力；若将缺口
移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多
结果表明，最大压应力与许用应力接近相等，故无需重新 选取截面的型号。
11
二、偏心拉伸(压缩)
如果外力的作用线平行于杆件的轴线，但不通过杆件横截
面的形心，则将引起偏心拉伸(压缩)。
1、分解： P
x P y
z My
x z Mz
Py My
12
2、应力分析：
x z Mz P y
P
MZ
z
My y
My
xP
P A
发生最大拉应力，且
tmax
tmax
在截面的外侧边缘上发生最大压应力，且 cmaxcmax
最后，由抗拉强度条件 得
F P ≤ 45.1kN。
由抗压强度条件得
F P ≤ 171.3kN
为使立柱同时满足抗拉和抗压强度条件，压力FP不应超过
45.1kN 。
20
[例7] 方形截面杆的横截面面积在 mn 处减少一半，试求由轴
30
弯扭组合问题的求解步骤：
① 外力分析：外力向形心简化并分解。 ② 内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定
危险面。 ③应力分析：建立强度条件。
r3
My2 Mz2 Mn2 W
r4
My2Mz20.7 5Mn2 W
材料力学习题册2012.9.26
材料力学习题册2012.9.26材料力学习题册主编：郭光林、张慧玲班级姓名学号2－4 螺旋压紧装置如图所示。
现已知工件所受的压紧力为F＝4 kN。
装置中旋紧螺栓螺纹的内径d1＝13.8 mm；固定螺栓内径d2＝17.3 mm。
两根螺栓材料相同，其许用应力[]σ＝53.0 MPa。
试校核各螺栓的强度是否安全。
2－5 现场施工所用起重机吊环由两根侧臂组成（图a），A、B、C三处均为铰链连接。
每一侧臂AB和BC都由两根矩形截面杆所组成（图b）。
已知起重载荷F P＝1200 kN，每根矩形杆截面尺寸比例b/h=0.3，材料的许用应力[]σ＝78.5MPa。
试设计矩形杆的截面尺寸b和h。
2－6 图示结构中BC和AC都是圆截面直杆，直径均为d＝20mm，材料都是Q235钢，其许用应力[]σ＝157MPa。
试求该结构的许可载荷。
第3章 扭转3－4 变截面轴受力如图所示，图中尺寸单位为mm 。
若已知M e1＝1765N·m ，M e2＝1171N·m ，材料的切变模量G ＝80.4 GPa ，试求：（1）轴内最大切应力，并指出其作用位置。
（2）轴的最大相对扭转角m ax 。
3－5 图示实心圆轴承受外加扭转力偶，其力偶矩M e =3 kN·m ，图中尺寸单位为mm 。
试求：（1）轴横截面上的最大切应力。
（2）轴横截面上半径r ＝15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比。
（3）去掉r =15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。
50603－6 同轴线的芯轴AB与轴套CD，在D处二者无接触，而在C处焊成一体。
轴的A 端承受扭转力偶作用，如图所示。
已知轴直径d＝66 mm，轴套外直径D＝80 mm，厚度δ＝6 mm；材料的许用切应力[τ]＝60 MPa。
试求结构所能承受的最大外力偶矩。
3－9 已知圆轴的转速n=300 r／min，传递功率331kW，材料的[τ] =60MPa，G =82GPa。
材料力学变形协调方程
材料力学变形协调方程
材料力学是研究物质内部受力和变形的学科，它是力学的一个重要分支，广泛应用于工程、材料科学等领域。
在材料力学中，变形是一个重要的研究对象，而变形协调方程则是描述材料内部变形的重要理论工具。
变形协调方程是指在材料受力作用下，各部分的变形应该是相互协调的。
这意味着材料内部各个部分的变形不能矛盾，必须满足一定的协调关系。
变形协调方程是材料力学中的基本原理之一，它对材料的力学性能和变形行为具有重要的指导意义。
在材料力学中，变形协调方程可以通过不同的方法进行推导和表述。
最常见的方法是利用应变张量和应力张量之间的关系来建立变形协调方程。
应变张量描述了材料内部的变形情况，而应力张量则描述了材料内部受力的情况。
通过这两者之间的关系，可以得到变形协调方程的具体表达式。
变形协调方程的建立对于材料力学的研究具有重要的意义。
它可以帮助我们更好地理解材料内部受力和变形的规律，为材料的设计和应用提供理论支持。
同时，变形协调方程也为材料的性能预测和改进提供了重要的依据。
除了应变张量和应力张量之间的关系，变形协调方程还可以通过能量原理和动力学方程等方法进行推导。
这些方法各有其特点，可以从不同的角度揭示材料内部变形的规律，为材料力学的研究提供多样化的视角。
总之，材料力学变形协调方程是描述材料内部受力和变形的重要理论工具，它对于材料力学的研究具有重要的意义。
通过对变形协调方程的研究和应用，我们可以更好地理解材料的力学性能和变形行为，为材料的设计、应用和改进提供理论支持。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用材料力学变形协调方程这一重要的理论工具。
材料力学构件受力变形及其应力
按载荷作用方式分类：集中载荷和分布载荷。
集中载荷：由极小的面积传递给构件的力，计算时 一般认为集中载荷作用于一点。 分布载荷：连续分布在构件某段长度或面积上的外力。 分布载荷又分为均匀分布载荷和不均匀分布载荷。
按载荷作用性质分类： 静载荷：由零开始缓慢增加至某一定值后不随时间
变化(不使物体产生加速度）
]=
]=
b nb
s ns
n s、n b是安全系数: n s =1.2～2.5 n b ＝2.0～3.5
2. 强度计算： 应用强度条件式进行的运算。
为了使构件不发生破坏，保证构件安全工作 的条件是：最大工作应力不超过材料的许用 应力。这一条件称为强度条件。
N ≤ [ ] A
应用该条件式可以解决以下三类问题： 校核强度 、设计截面 、确定许用应力 。
弹性极限与比例极限非常接近，工程实际中通常对二者不 作严格区分，而近似地用比例极限代替弹性极限。
2.屈服阶段 屈服点 s
曲线超过 b 点后，出现了一段锯齿形 曲线，这—阶段应力没有增加，而应变依 然在增加，材料好像失去了抵抗变形的能 力，把这种应力不增加而应变显著增加的 现象称作屈服，bc段称为屈服阶段。屈服 阶段曲线最低点所对应的应力 s 称为屈 服点 ( 或屈服极限 ) 。在屈服阶段卸载，将 出现不能消失的塑性变形。工程上一般不 允许构件发生塑性变形，并把塑性变形作 为塑性材料破坏的标志，所以屈服点 s 是衡量材料强度的一个重要指标。
曲线到达d点前，试件的变形是均匀发生的， 曲线到达 d 点，在试件比较薄弱的某一局部 ( 材 质不均匀或有缺陷处)，变形显著增加，有效横 截面急剧减小，出现了缩颈现象，试件很快被 拉断，所以de段称为缩颈断裂阶段。
工程力学-变形固体的基本假设
0
2
–
kL2 2
FN ( x) max
= − 1 kL2 2
例3
图示杆件 BC 段的横截面面积为A，AB 和CD 段的 横截面面积是 2A，求杆件各段的内力和应力。
解： 用截面法求内力:在AB段内任取截面1-1，截取左
段
∑ Fx = 0 : P + FN1 = 0 FN1 = −P
在BC段内任取截面2-2，截取右段
FN3= 5P
FN4= P
轴力图如右图 FN 2P + –
3P
BC
PB FN3
PC C
PC FN4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的PÅ， 轴力N 增量为正； 遇到向右的PÆ ， 轴力N 增量为负。
8kN
5kN
3kN
外力特点
轴向拉伸 及 压缩
Axial Tension
剪切 Shear
扭转 Torsion
平面弯曲 Bending
组合受力（Combined Loading）与变形
变形特点
§9.4 内力的概念 截面法
一般杆件的内力分析
• 杆件所受到的载荷（主动力）和约束反力，统称 为外力。
• 内力是指：在外力的作用下构件一部分对另一部 分的作用力。
M
纵向对称面
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算
二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
材料力学结构变形知识点总结
材料力学结构变形知识点总结材料力学是研究物体受力后产生的变形规律的一门学科，它涵盖了材料的力学性能以及结构受力后的变形特点。
在这篇文章中，我将对材料力学结构变形的相关知识点进行总结。
一、应力与应变1. 定义：应力是单位面积上的内力，它描述了物体受力后所产生的内部分子间的相互作用；应变是物体在受到外力作用下发生的形变，它描述了物体的相对位移。
2. 计算方法：应力等于物体表面上的受力除以受力点所在的面积；应变等于物体发生形变的长度变化与原始长度的比值。
二、材料的力学性质1. 弹性力学：当物体受到外力作用后，能够恢复原状的性质称为弹性；2. 塑性力学：当物体受到外力作用后，形状改变并保持新形状，失去弹性恢复能力；3. 破坏力学：当物体受到外力作用后，无法恢复原状，发生破裂或破坏。
三、结构变形的类型1. 拉伸变形：物体在受到拉力作用下发生的变形，导致长度增加，横截面积减小；2. 压缩变形：物体在受到压力作用下发生的变形，导致长度减小，横截面积增加；3. 弯曲变形：物体在受到弯矩作用下发生的变形，导致形状发生弯曲；4. 扭转变形：物体在受到扭矩作用下发生的旋转变形；5. 剪切变形：物体在受到切割力作用下发生的变形，导致相邻层之间发生滑动。
四、材料的力学性能指标1. 弹性模量：描述物体在受到外力作用下发生弹性变形的能力，是应力与应变的比值；2. 屈服强度：描述物体在受到外力作用下发生塑性变形的能力，是材料开始出现塑性变形时的应力值；3. 抗拉强度：描述物体在拉伸变形过程中的最大承受力；4. 弯曲强度：描述物体在弯曲变形过程中的最大承受力。
五、结构变形的影响因素1. 材料性质：不同材料具有不同的力学性能，会对结构变形产生影响；2. 外力作用：外力的大小、方向以及施加位置都会影响结构的变形；3. 结构形状与尺寸：结构的形状与尺寸决定了其抵抗变形的能力。
六、应用领域1. 建筑工程：材料力学结构变形的研究为建筑工程的安全设计提供了重要依据，使结构能够承受各种力学作用；2. 航空航天工程：飞行器的结构变形对飞行性能具有重要影响，材料力学可以提供合理的结构设计；3. 汽车工程：材料力学能够应用于汽车的碰撞安全设计，以及车身结构的优化。
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9.2 弯曲与拉伸（压缩）的组合
例题3
解：1.确定立柱横截面上的 内力分量
F 0 M 0
y mm
FN＝FP＝15 kN Mz＝FP×e＝6 kN.m
9.2 弯曲与拉伸（压缩）的组合
例题3
FN＝FP＝15 kN Mz＝FP×e＝6 kN.m 2.确定危险截面并计算最大应力 a b a b a b
处理具体问题时的注意点
讨论：组合变形求解步骤
y y d a z b d
外力分析（绘受力简图） 内力分析（找出危险面） 应力分析（找出危险点） 进行强度计算
y x
a z b
M z max
c
c
M ymax
FPz
z
My图
FPsin5 FPcos5°
Mz图
FPy
9.1 斜弯曲
M max W
F FN N A
l/2
l/2
FN FN 与轴力对应的拉伸正应力 A M Fl 与弯矩对应的最大弯曲正应力 M max max P W 4W 杆危险截面上边缘各点处的压应力为
max
FN FPl A 4W
9.2 弯曲与拉伸（压缩）的组合
轴向荷载 →轴向压缩 +集中力偶 →弯曲
第9章 组合受力与变形
三、解决组合变形问题的基本方法：叠加法 前提条件：小变形,线弹性。 叠加法主要步骤
①外力分析：将组合变形分解为几种基本变形（将外力简化或 分解,使每个力或力偶对应一种基本变形）； ②分别计算每种基本变形情况下构件内的应力和变形； ③结果进行叠加。
F F
l/2 l/2
Px
◆ 同时受横向力和沿着轴线方向的纵 向力时，杆件的横截面上将同时产生 轴力、弯矩和剪力。（忽略剪力）
◆ 如果作用在杆件上的纵向力与杆 件的轴线不一致，这种情形称为偏 心荷载。
9.2 弯曲与拉伸（压缩）的组合
斜塔将会怎样倒塌？破坏将从哪里开始？
9.2 弯曲与拉伸（压缩）的组合
My
z
My = FP1 x MZ = FP2 x
9.1 斜弯曲
4.横截面上中性轴的位置
y
k ( y,z )
中性轴方程为
Myz Mzy 0 Iy Iz
MZ
My
x
z
My = FP1 x MZ = FP2 x
注意： 1）中性轴仍过截面形心； 2）中性轴把截面分为受拉、 受压两个区域。
9.1 斜弯曲
9.1 斜弯曲
四、最大正应力与截面形状
对于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称轴的截 面梁，横截面的最大正应力发生在截面的角点。
y
MZ
z
My
z
对于圆截面，最大正应力在哪儿呢
？
y
My ＝ max Wy
My
＋
Mz Wz
max＝
Mz ＋ Wz Wy
9.1 斜弯曲
9.1 斜弯曲
4. 分析与讨论 若将截面改为直径 D = 50 mm 的圆形，则截面的惯性矩 Iz =Iy,
y
例题2
e
z
My
45o
M
A为危险截面上， Mz =My= 1KN.m
y
d
o
MZ
f
a
o
MY
x
危险点是 e 、f 两点。
2 M M z2 M y 1.41KN m
z
b
MZ
例题3
钻床立柱为空心铸铁管，管的 外径为D＝140 mm，内、外径之 比d／D＝0.75。[]+= 35 MPa， []-=90 Mpa。钻孔时钻头和工作 台面的受力如图所示，其中FP ＝ 15 kN，力FP作用线与立柱轴线之 间的距离(偏心距)e＝400 mm。 试校核：立柱的强度是否安全？
MZ
z
M max＝ ＋ z Wy Wz
max＝
× ？
My
My Mz ＋ Wz Wy
My
9.1 斜弯曲 例题1
一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑，可 以简化为简支梁。图中l=4 m。大梁由32a热轧普通工字钢 制成，许用应力＝160MPa 。起吊的重物的重量FP＝80kN ，并且作用在梁的中点，位于yoz平面内，作用线与y轴之间 的夹角＝5。 试校核: 吊车大梁的强度是否安全？
=
+
+
注意：对于含弯曲组合变形，一般以弯曲为主，不考虑剪切变形。即 只考虑弯矩，不考虑剪力。
第9章 组合受力与变形
9.1 斜弯曲 9.2 弯曲与拉伸（压缩）的组合
9.3 弯曲与扭转的组合
第9章 组合受力与变形
9.1 斜弯曲
9.1 斜弯曲
一、斜弯曲的概念 垂直纵向对称面 梁在垂直纵对 称面 xy 面内发 生平面弯曲 ， z轴为中性轴 x z 挠曲线 y
y
考察圆形截面
y
max M z
max M y
M z
max M
My
Mz
My
max
M y
z
Mz
x
max M
y
max M z
圆截面上的最大正应力公式为
2 2 My Mz M max＝ ＝ W W
2 M y M z2 M max＝－ ＝－ W W
9.2 弯曲与拉伸（压缩）的组合
三、最大正应力与强度条件
危险点只有正应力作用，仍为单向应力状态，故强 度条件为
max
注意： 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时， 应分别建立杆件的抗拉、压强度条件。
9.2 弯曲与拉伸（压缩）的组合 例题 3——钻床
9.2 弯曲与拉伸（压缩）的组合
例题 2
矩形截面的悬臂梁承受荷载（如图）。试求： 1. 确定危险截面、危险点所在位置，计算梁内最大正应力的值。 2. 若将截面改为直径 D= 50 mm 的圆形，试确定危险点位置，并计 算最大正应力。 y 0.5m
y P1=1KN
a d
0.5m
z
o
A
z
P2=2KN
B
C
x
b c
40
9.1 斜弯曲
三、最大正应力与强度条件
y
MZ My
max
x
max
z
My ＝ max Wy
M ＋ z Wz
max＝
My
Mz ＋ Wz Wy
My = FP1 x MZ = FP2 x
危险点只有正应力作用，仍为单 向应力状态，故强度条件为
max
y
0.5m A z
P2=2KN P1=1KN
例题2
解：1. 外力分析 梁的变形为斜弯曲。
0.5m B C x
y
d
2. 绘制弯矩图
Mz图
1kN.m
a
My
o
M图
My图 1kN.m
x
A 截面为梁的危险 截面。 Mzmax = 1 KN.m Mymax= 1 KN.m
z
b
Mz
c
9.1 斜弯曲
y
d
例题2
9.2 弯曲与拉伸（压缩）的组合
二、叠加法确定横截面上的正应力 1.横截面上的内力分析 杆件横截面上一般产生弯矩 MZ 或My (或二者皆有) 、轴力 FN 、以 及剪力。 因为剪力引起的切应力较 小，故一般不考虑。 2.横截面上的应力分析 横截面上任意一点 ( z, y) 处的正应力计算公式为
max
max
M z FN FP e FP b 3 4 2 2 34.92MPa 35MPa π D d W A πD 1 32 4 M z FN FP e FP a 90MPa πD 3 1 4 πD 2 d 2 30.38MPa W A
9.1 斜弯曲
4.强度理论
max b , c
FPsin l FP cos l 4Wy 4Wz
例题1
其中l=4 m，FP=80 kN， =5。另外从型钢表中可查到32a热轧普通 工字钢的Wz=692.2cm3， Wy=70.758cm3。
max b , c
MZ y
z
x
0
FN
My
FN M y M z
9.2 弯曲与拉伸（压缩）的组合
FP F F
l/2
l/2
以上图为例分析横截面上的正应力
轴力
最大弯矩
FN F
M max
1 4 Pl
9.2 弯曲与拉伸（压缩）的组合
FP F F
M max
FPsin5 FPcos5° y y a d a d z z
Mz图
1 M ymax FPz 4 FPsin 5 4 3.应力分析（计算两个平面弯曲情形下的最大 正应力）
危险点是 b、d 两点。
b c b
c
max
M ymax Wy
M z max
M ymax
M zmax FP sin 5 FP cos 5 Wz Wy Wz
c
max
M 1.41103 115MPa 3 π W 50 10 9 32
第9章 组合受力与变形
9.2 弯曲与拉伸（压缩）的组合
9.2 弯曲与拉伸（压缩）的组合