暑期培优：第一章集合(必记知识点+必明易错点+必会方法)教师版

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第一章集合易错题(1)(含答案及解析)-苏教版人教版必修1高一数学上册同步培优训练

专题03 集合中的易错题（1）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、选择题：1.下列五个写法，其中错误．．写法的个数为()①{0}∈{0,2，3}；②⌀≠⊂{0}；③{0,1，2}⊆{1，2，0}；④N∈R；⑤0∩⌀=⌀；A. 1B. 2C. 3D. 42.已知集合A=(1,3)，集合B={x|2m<x<1−m}.若A∩B=⌀，则实数m的取值范围是()A. 13⩽m<32B. m⩾0C. m⩾32D. 13<m<323.若集合A={x∈N|x≤√2020}，a=2√2，则下列结论正确的是()A. {a}⊆AB. a⊆AC. {a}∈AD. a∉A4.已知集合A={x||x|<3,x∈N}，集合B={−1,0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {−1,1，2}D. {−1,0，1，2}5.已知集合{1,2}⊆A⊆{1,2，3，4，5，6}，则满足条件的A的个数为()A. 16B. 15C. 8D. 76.下列所给的关系式正确的个数是()①0⊆N；②π∈Q；③{a}⊆{a,b,c,d}；④⌀∈R．A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题7.给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是A. 集合M={−4,−2,0,2,4}为闭集合B. 正整数集是闭集合C. 集合M={n|n=3k,k∈Z}为闭集合D. 若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合8.已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A. 0∉MB. 2∈MC. −4∈MD. 4∈M三、单空题9.已知集合A={x|−2<x<5},B={x|p+1<x<2p−1}，A∪B=A，则实数p的取值范围是______．10.A={x|x2=1}，B={x|mx=1}，若A∪B=A，则m的取值集合为_____．11.下列表示正确的是①{0}=⌀，②{2}∈{x2−3x+2=0}③0∈{0}④C U(A⋂B)=(C U A)⋂(C U B)12.已知全集U=R，集合A={x|y=√−x}，B={y|y=1−x2}，那么集合(∁U A)∩B=____________．四、解答题13.已知全集U={x∈N|x<6}，集合A={1,2,3}，B={2,4}.求：(1)A∩B，C U(A⋃B)；(2)设集合C=x{|−a⩽x⩽2a−1}且C U(A⋃B)⊆C，求a的取值范围；14.已知A={x|3⩽x⩽5}，B={x|2a⩽x⩽a+3}，全集U=R．(1)当a=1时，求A∩B和A∪B；(2)若B⊆(C U A)，求实数a的取值范围．15.设A={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0}，B={x|x(x+4)(x−12)=0,x∈Z}.若A⊆A∩B，求a的取值范围．专题03 集合中的易错题（1）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、选择题：16.下列五个写法，其中错误．．写法的个数为()①{0}∈{0,2，3}；②⌀≠⊂{0}；③{0,1，2}⊆{1，2，0}；④N∈R；⑤0∩⌀=⌀；A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素．据“∈”于元素与集合；“∩”用于集合与集合间；判断出①④⑤错，集合是它本身的子集，⌀是非空集合的真子集判断出②④的对错．【解答】解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系，故①错，对于②，⌀是任意非空集合的真子集，故②对，对于③，集合是它本身的子集，故③对，对于④，“∈”是用于元素与集合的关系，故④错，对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错，故选C．17.已知集合A=(1,3)，集合B={x|2m<x<1−m}.若A∩B=⌀，则实数m的取值范围是()A. 13⩽m<32B. m⩾0C. m⩾32D. 13<m<32【答案】B 【解析】【分析】本题考查集合的包含关系判断与应用，交集及其运算等基础知识，分类讨论m 的取值，得出使A ∩B =Ø成立时m 的取值范围．【解答】解：由A ∩B =Ø，得：①若2m ≥1−m ，即m ≥13时，B =Ø，符合题意； ②若2m <1−m ，即m <13时，需{m <131−m ≤1或{m <132m ≥3, 解得0≤m <13，综合可得m ≥0，∴实数m 的取值范围是m ≥0．故选B ．18. 若集合A ={x ∈N|x ≤√2020}，a =2√2，则下列结论正确的是( )A. {a}⊆AB. a ⊆AC. {a}∈AD. a ∉A【答案】D 【解析】【分析】本题考查元素和集合的关系，集合和集合的关系．【解答】解：因为a =2√2不是自然数，而集合A 是不大于√2020的自然数构成的集合，所以a ∉A ．故选D ．19. 已知集合A ={x||x|<3,x ∈N}，集合B ={−1,0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A. {1,2}B. {0,1，2}C. {−1,1，2}D. {−1,0，1，2}【答案】B【解析】【分析】本题主要考查用venn图表示集合的交集运算，易知图中阴影部分对应的集合为A∩B．【解答】解：A={x||x|<3,x∈N}={x|−3<x<3,x∈N}={0,1,2}，易知图中阴影部分对应的集合为A∩B，A∩B={0,1,2}，故选B．20.已知集合{1,2}⊆A⊆{1,2，3，4，5，6}，则满足条件的A的个数为()A. 16B. 15C. 8D. 7【答案】A【解析】【分析】根据题意A中必须有1，2这两个元素，因此A的个数应为集合{3,4，5，6}的子集的个数．【解答】解：∵{1,2}⊆A⊆{1,2，3，4，5}，∴集合A中必须含有1，2两个元素，可以含有3，4，5，6．因此满足条件的集合A为{1,2}，{1,2，3}，{1,2，4}，{1,2，5}，{1,2，6}，{1,2，3，4}，{1,2，3，5}，{1,2，3，6}，{1,2，4，5}，{1,2，4，6}，{1,2，5，6}，{1,2，3，4，5}，{1,2，3，4，6}，{1,2，3，5，6}，{1,2，4，5，6}，{1,2，3，4，5，6}共16个．故选A．21.下列所给的关系式正确的个数是()①0⊆N；②π∈Q；③{a}⊆{a,b,c,d}；④⌀∈R．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合与元素、集合与集合的关系，【解答】解：①0⊆N，0为集合N的一个元素，0∈N，故①错误，②π∈Q，因为π为无理数，π∉Q，故②错误，③{a}⊆{a,b,c,d}，因为集合{a}是集合{a,b,c,d}的子集，故③正确，④⌀∈R，因为ϕ为R 的子集，故④错误．故选A．二、多选题22.给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是A. 集合M={−4,−2,0,2,4}为闭集合B. 正整数集是闭集合C. 集合M={n|n=3k,k∈Z}为闭集合D. 若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合【答案】ABD【解析】【分析】本题考查集合中的新定义问题，考查分析问题、解决问题的能力，根据闭集合定义逐一判断即可．【解答】解：A.当集合M={−4,−2,0,2,4}时，2,4∈M，而2+4∉M，所以集合M不为闭集合．B.设a,b是任意的两个正整数，则a+b∈M，但a−b不一定属于M，所以正整数集不为闭集合．C.当M={n|n=3k,k∈Z}时，设a=3k1,b=3k2,k1,k2∈Z，则a+b=3(k1+k2)∈M，a−b=3(k1−k2)∈M，所以集合M是闭集合．D.设A1={n|n=3k,k∈Z}，A2={n|n=2k,k∈Z}由C可知，集合A1，A2为闭集合，2,3∈(A1∪A2)，而(2+3)∉(A1∪A2)，此时A1∪A2不为闭集合．所以说法中不正确的是ABD．故选ABD．23.已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A. 0∉MB. 2∈MC. −4∈MD. 4∈M 【答案】CD【解析】【分析】本题考查集合中元素的性质、集合与元素的关系，注意题意中x、y、z的位置有对称性，即代数式的值只与x、y、z中有几个为负数有关，与具体x、y、z中谁为负无关．根据题意，分析可得代数式x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz的值与x、y、z的符号有关；按其符号的不同分4种情况讨论，分别求出代数式在各种情况下的值，即可得M，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，分4种情况讨论；①x、y、z全部为负数时，则xyz也为负数，则x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=−4，②x、y、z中有一个为负数时，则xyz为负数，则x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0，③x、y、z中有两个为负数时，则xyz为正数，则x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0，④x、y、z全部为正数时，则xyz也正数，则x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=4；则M={4,−4,0}，分析选项可得CD符合．故选CD．三、单空题24.已知集合A={x|−2<x<5},B={x|p+1<x<2p−1}，A∪B=A，则实数p的取值范围是______．【答案】(−∞,3]【解析】【分析】本题考查了集合的并集以及集合中的参数取值问题，集合的包含关系，考查了分类讨论的思想及转化的思想，解题的关键是根据题设条件对集体B分类讨论，解出参数p的取值范围．由题意，由A∪B=A，可得B⊆A，再由A={x|−2<x<5}，B={x|p+1<x<2p−1}，分B=⌀，B≠⌀两类解出参数p的取值范围即可得到答案．【解答】解：由A∪B=A，可得B⊆A，又A={x|−2<x<5}，B={x|p+1<x<2p−1}，若B=⌀，即p+1≥2p−1得p≤2，显然符合题意；若B ≠⌀，即有p +1<2p −1，得p >2时，有{p +1≥−22p −1≤5，解得−3≤p ≤3，故有2<p ≤3，综上可知，实数p 的取值范围是(−∞,3]．故答案为(−∞,3]．25. A ={x|x 2=1}，B ={x|mx =1}，若A ∪B =A ，则m 的取值集合为_____．【答案】{−1,0，1} 【解析】【分析】本题考查集合的求法，考查并集、子集等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，当m =0时，B =⌀，A ∪B =A 成立；当m ≠0，B ={1m }，由A ∪B =A ，得B ⊂A ，从而1m =−1或1m =1，由此能求出m 的取值的集合．【解答】解：∵集合A ={x|x 2=1}={−1,1}，B ={x|mx =1}，且A ∪B =A ， ∴当m =0时，B =⌀，A ∪B =A 成立；当m ≠0，B ={1m }，由A ∪B =A ，得B ⊂A ， ∴1m =−1或1m =1，解得m =−1或m =1．综上，m 的取值的集合为{−1,0，1}．故答案为{−1,0，1}．26. 下列表示正确的是①{0}=⌀，②{2}∈{x 2−3x +2=0} ③0∈{0}④C U (A⋂B)=(C U A)⋂(C U B) 【答案】③ 【解析】【分析】本题考查集合与集合之间的关系、元素与集合之间的关系的应用，由集合与集合之间的关系、元素与集合之间的关系进行判断即可．【解答】解：①{0}⫌⌀，所以错误；②{2}∈{x2−3x+2=0}集合之间关系，首先符号错误，其次{x2−3x+2=0}中就一个元素x2−3x+ 2=0，所以错误；③0∈{0}，正确；④取U={1,2，3}，A={1,2}，B={1}，则C U(A∩B)={2,3},(C U A)∩(C U B)={3}，所以错误．故答案为③．27.已知全集U=R，集合A={x|y=√−x}，B={y|y=1−x2}，那么集合(∁U A)∩B=____________．【答案】(0,1]【解析】【分析】本题考查了函数的定义域，指数函数的值域，以及交集的运算，先化简集合A和B，然后求集合A的补集，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：∵A={x|y=√−x}，B={y|y=1−x2}，∴A={x|x≤0}，B={y|y≤1}∴∁U A={x|x>0}，(∁U A)∩B={y|0<y≤1}(∁U A)∩B=(0,1]．故答案为(0,1]．四、解答题28.已知全集U={x∈N|x<6}，集合A={1,2,3}，B={2,4}.求：(1)A∩B，C U(A⋃B)；(2)设集合C=x{|−a⩽x⩽2a−1}且C U(A⋃B)⊆C，求a的取值范围；【答案】解：(1)因为A={1,2,3}，B={2,4}，所以A ∩B ={2}，A ∪B ={1,2，3，4}，因为U ={x ∈N|x <6}={0,1,2,3,4,5} ∴C U (A ∪B)={0,5}； (2)∵C U (A ∪B)⊆C ， ∴{−a <02a −1⩾52a −1>−a , 解得a ≥3．故a ≥3．【解析】略29. 已知A ={x|3⩽x ⩽5}，B ={x|2a ⩽x ⩽a +3}，全集U =R ．(1)当a =1时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若B ⊆(C U A)，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)当a =1时，B ={x|2⩽x ⩽4}， A ∩B ={x|3⩽x ⩽4} A ∪B ={x|2⩽x ⩽5}， (2)C U A ={x|x <3或x >5}当B =⌀时，2a >a +3,a >3符合题意，当B ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3<3，或{2a ≤a +32a >5, 解得a <0或52<a ≤3，所以a ∈(−∞,0)∪(52,+∞)．【解析】本题考查集合中的参数取值问题，属于集合包含关系的运用，求解本题关键是理解包含关系的意义，本题中有一易错点，在第二小问中空集容易因为忘记讨论B 是空集导到失分，这是一个很容易失分的失分点，切记．(1)当a =1时，先求出集合B ，再根据交集的定义求集合A ∩B 和A ∪B 即可；(2)若B ⊆(C U A)，求实数a 的取值范围进要注意B 是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时，不是空集时，比较两个集合的端点即可．)=0,x∈Z}.若A⊆A∩B，求a的取值30.设A={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0}，B={x|x(x+4)(x−12范围．【答案】解：B={−4,0}，由A⊆A∩B知：A=A∩B，即：A⊆B，①当A=⌀时，方程x2+2(a+1)x+a2−1=0无解，即Δ=4(a+1)2−4(a2−1)<0，解得：a<−1；②当A为单元素集时，Δ=4(a+1)2−4(a2−1)=0，即a=−1，此时A={0}满足题意；③当A={−4,0}时，−4和0是关于x的方程x2+2(a+1)x+a2−1=0的两根，∴a=1．综上所述：a≤−1或a=1．【解析】本题考查了子集、交集的定义及其运算，考查了分类讨论思想．先求得集合B，由A⊆A∩B知：A=A∩B，即：A⊆B，利用分类讨论方法分别求得集合A=⌀，集合A为单元素集和A={−4,0}时a的范围，再综合即可．11。

2021-2022学年新教材湘教版高中数学必修第一册第一章集合与逻辑知识点考点重点题型归纳总结

第一章集合与逻辑1.1集合 (1)1.1.1集合 (1)第一课时集合与元素 (1)第二课时表示集合的方法 (5)1.1.2子集和补集 (9)1.1.3集合的交与并 (14)1.2常用逻辑用语 (19)1.2.1命题 (19)1.2.2充分条件和必要条件 (22)1.2.3全称量词和存在量词 (27)1.1集合1.1.1集合第一课时集合与元素知识点一元素与集合的相关概念1．集合：把一些对象放在一起考虑时，这些对象组成了一个集合或集．通常用大写拉丁字母表示，如A，B，…表示集合．2．元素：这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．通常用小写拉丁字母表示，如a，b…表示元素．3．集合中元素的三个基本属性只作描述性说明．2．集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．1．集合中的元素只能是数、点、代数式吗？提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．2．某班所有的高个子男生能否构成一个集合？提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准．知识点二元素与集合的关系表达集合和它的元素之间的归属关系的符号是∈.(1)属于：若S是一个集合，a是S的一个元素，记作“a∈S”，读作：“a属于S”；(2)不属于：若a不是S的元素，记作a∉S(或a S)读作“a不属于S”．1．元素与集合之间有第三种关系吗？提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种关系．2．符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗？提示：“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．知识点三常见的数集及符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋Z Q RN与N＋有何区别？提示：N是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集＋多一个元素0.合，所以N比N＋知识点四集合的分类1．有限集：元素个数有限的集合(或有穷集)． 2．无限集：元素无限多的集合叫无限集(或无穷集)． 3．空集：没有元素的集合叫空集．记作∅，空集也是有限集．集合的概念[例1] (多选)判断下列每组对象，能组成一个集合的是( ) A ．某校高一年级成绩优秀的学生 B ．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C ．不小于3的自然数D ．2018年第23届冬季奥运会金牌获得者[解析] A 中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B 、C 、D 中的对象都满足确定性，所以能组成集合．[答案] BCD判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．元素与集合的关系[例2] (1)(多选)由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2＋3，则( ) A ．a ∈A B ．a 2∈A C.1a ∈AD ．a ＋1∈A(2)若集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． [解析] (1)a ＝2＋3＜4＋4＝4＜5，所以a ∈A .a ＋1＜4＋4＋1＝5，所以a ＋1∈A ，a 2＝(2)2＋22×3＋(3)2＝5＋26＞5，所以a 2∉A ，1a ＝12＋3＝3－2（2＋3）（3－2）＝3－2＜5，所以1a ∈A .(2)由题意可得：x为自然数，所以63－x可以为2，3，6，因此x的值为2，1，0.因此A中元素有2，1，0.[答案](1)ACD(2)2，1，0判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：①使用前提：集合中的元素是直接给出的；②判断方法：首先明确集合由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可；(2)推理法：①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．元素特性的应用[例3]________．[解析]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.[答案]－1[母题探究]1．(变条件)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a 的值．解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝2或a＝－ 2.经检验符合元素的互异性．2．(变条件)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.3．(变条件)已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．解：由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)．综上可知，a＝0.根据集合中元素的特性求值的三个步骤第二课时表示集合的方法知识点一列举法把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫作列举法．用列举法表示集合的注意点(1)元素与元素之间需用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是确定的；(3)不必考虑元素出现的前后顺序，但不能重复．知识点二描述法把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，这种表示方法叫作描述法．用描述法表示集合的注意点(1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同属性，如满足的方程、不等式、函数或几何图形等；(3)所有描述的内容都要写在大括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确；(4)“{}”有“所有”“全体”的含义，因此自然数集可以表示为{x|x为自然数}或N，但不能表示为{x|x为所有自然数}或{N}．知识点三区间的相关概念1．区间的概念及记法设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a≤x<b}左闭右开区间[a，b){x|a<x≤b}左开右闭区间(a，b]2．无穷大实数集R可以表示为(－∞，＋∞)，符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3．特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x<b}(－∞，b)理解区间概念时的注意点(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；(2)区间表示实数集的三个原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；(3)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数，以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．用列举法表示集合[例1] 用列举法表示下列集合： (1)方程x 2－1＝0的解组成的集合； (2)单词“see ”中的字母组成的集合； (3)所有正整数组成的集合；(4)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合．[解] (1)方程x 2－1＝0的解为x ＝－1或x ＝1，所求集合用列举法表示为{－1，1}．(2)单词“see ”中有两个互不相同的字母，分别为“s ”“e ”，所求集合用列举法表示为{s ，e}．(3)正整数有1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2，3，…}． (4)方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，所求集合用列举法表示为{(1，1)}．列举法表示集合的步骤及注意点分清元素列举法表示集合，要分清是数集还是点集书写集合列元素时要做到不重复、不遗漏[提醒] 二元方程组的解集、函数的图象、点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}．用描述法表示集合[例2](1)函数y ＝－x 的图象上的点组成的集合； (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合； (3)不等式x －2＜3的解组成的集合． [解] (1){(x ，y )|y ＝－x }．(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x ∈R ||x |＞3}．(3)不等式x－2＜3的解是x＜5，则不等式x－2＜3的解组成的集合用描述法表示为{x|x＜5}．描述法表示集合的2个步骤用区间表示集合[例3](链接教科书第5页例5)用区间表示下列集合：(1){x|x＞－1}＝________；(2){x|2＜x≤5}＝________；(3){x|x≤－3}＝________；(4){x|2≤x≤4}＝________．[解析](1)集合{x|x＞－1}可用开区间表示为(－1，＋∞)；(2)集合{x|2＜x≤5}可用半开半闭区间表示为(2，5]；(3)集合{x|x≤－3}可用半开半闭区间表示为(－∞，－3]；(4)集合{x|2≤x≤4}可用闭区间表示为[2，4]．[答案](1)(－1，＋∞)(2)(2，5](3)(－∞，－3](4)[2，4]用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．1.1.2子集和补集知识点一子集1．韦恩图(Venn图)用平面上封闭曲线的内部表示集合．如图，这类表示两集合间关系的示意图叫作韦恩图(即Venn图)．2．子集3．两个集合相等4．真子集定义：如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集．集合间关系的性质(1)空集包含于任一集合，是任一集合的子集；(2)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；(3)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；若A B，B⊆C，则A C.1．符号“∈”与“⊆”有什么区别？提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}．③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．2．∅与0，{0}，{∅}有何区别？提示：∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}知识点二补集1．全集：如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定集合U叫作全集(或基本集)．2．补集定义若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的子集，叫作A的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言1．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．2．补集的性质(1)若A⊆U，则①∁U A⊆U；②∁U(∁U A)＝A；③(∁U U)＝∅；④∁U∅＝U.(2)已知A⊆U，B⊆U，相关结论如下：①若A⊆B，则∁U A⊇∁U B；②若∁U A⊇∁U B，则A⊆B.特别地，若A＝B，则∁U A＝∁U B；反之，若∁U A＝∁U B，则A＝B.集合间关系的判断[例1]指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}；(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}．[解](1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意n∈Z，n＝2×(－n)＋3n∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z，因为任意n∈Z，n＝4n－3n∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z.判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系；(2)集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．确定有限集合的子集、真子集及其个数[例2](1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是()A．6 B．7C．8 D．9(2)满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个元素的真子集为∅，含有1个元素的真子集有3个{1}，{2}，{3}，含有2个元素的真子集有{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有五个元素：{1，2，3，4，5}．故满足题意的集合M共有7个．[答案](1)B(2)7求集合子集、真子集个数的3个步骤补集的求法[例3](1)∁U M＝()A．U B．{1，3，5}C．{3，5，6} D．{2，4，6}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则∁U A＝________．[解析](1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知∁U M＝{3，5，6}．(2)如图，在数轴上表示出集合A，可知∁U A＝{x|－2≤x≤2}．[答案](1)C(2){x|－2≤x≤2}求集合补集的2种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．由集合间的关系求参数值(范围) [例4]已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}(m>1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4，又m>1，所以1<m≤4.[答案](1，4][母题探究]1．(变条件)本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|1<x<m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？解：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A.若m>1，则由例题解析可知1<m≤4.综上可知实数m的取值范围是(－∞，4]．2．(变条件)本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|2m－1<x<m＋1}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？解：因为B ⊆A ，①当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.②当B ≠∅时，有⎩⎨⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上得实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．3．(变条件)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{－1，3，2m －1}，B ＝{3，m 2}，其他条件不变，则实数m 的值又是什么？解：因为B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1，当m ＝1时，A ＝{－1，3，1}，B ＝{3，1}满足B ⊆A .所以m 的值为1.由集合间的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，建立方程(组)求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．[注意] (1)不能忽视集合为∅的情形；(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．1.1.3 集合的交与并知识点一两个集合的交两个集合交运算的性质A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝A⇔A⊆B.知识点二两个集合的并两个集合并运算的性质A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝A⇔B⊆A.对并集、交集概念的再理解(1)A∪B、A∩B都是一个集合；(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”；(3)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和．交集的运算[例1](1)A∩B＝()A．∅B．{2}C．{0}D．{－2}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}[解析](1)方程x2－x－2＝0的解为x＝－1或2，∴B＝{－1，2}，∴A∩B＝∅.故选A.(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示，则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．[答案](1)A(2)A求两个集合的交集的方法(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；(2)对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．并集的运算[例2](x≤5}，N＝{x|x ＜－5或x＞5}，则M∪N＝()A．{x|x＜－5或x＞－3} B．{x|－5＜x＜5}C．{x|－3＜x＜5} D．{x|x＜－3或x＞5}(2)已知集合M＝{0，1}，则满足M∪N＝{0，1，2}的集合N的个数是()A．2 B．3C．4 D．8[解析](1)在数轴上表示出集合M，N(图略)，可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．故选A.(2)依题意，可知满足M∪N＝{0，1，2}的集合N有{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个．故选C.[答案](1)A(2)C求集合并集的2种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．交集、并集、补集的综合运算[例3](1)若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{x|x2－4x＋3＝0}，N＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U(M∩N)＝()A．{4} B．{1，2} C．{1，2，4} D．{1，3，4}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}[解析](1)∵M＝{1，3}，N＝{2，3}，∴M∩N＝{3}，∴∁U(M∩N)＝{1，2，4}，故选C.(2)由已知，得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，故∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}，故选D.[答案](1)C(2)D解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解；(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．由集合的并集、交集求参数[例A∪B ＝A，试求k的取值范围．[解](1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，只需⎩⎨⎧－3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52. 综合(1)(2)可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52. [母题探究]1．(变条件)把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，试求k 的取值范围．解：由A ∩B ＝A 可知A ⊆B .所以⎩⎨⎧－3≥k ＋1，2k －1≥4，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤－4，k ≥52，所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2．(变条件)把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∪B ＝{x |－3<x ≤5}”，求k 的值．解：由题意可知⎩⎨⎧－3<k ＋1≤4，2k －1＝5，解得k ＝3. 所以k 的值为3.利用集合交集、并集的性质解题的方法(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理；(2)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时一定要考虑B ＝∅的情况，切不可漏掉．1.2常用逻辑用语1.2.1命题知识点一命题的定义及分类1．逻辑用语：在数学乃至科学中常用于引入概念、表述规律、推导定理法则或交流信息的词语，经过规范化使之意义更为清楚严谨，这类词语叫做逻辑用语．2．命题的定义：可判断真假的陈述句叫做命题．3．命题的分类：判断为真(成立)的命题叫作真命题，判断为假(不成立)的命题叫作假命题．4．猜想：数学中暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．知识点二命题及其否定的结构形式1．数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．2．命题的否定：如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p 的否定，记作綈p，读作“非p”．对一般命题若p，则q的否定为若p，则綈q．3．命题的否定与原命题的真假性.命题p 綈p真假假真命题的概念[例1](1)π3是有理数；(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)一个数的算术平方根一定是负数．[解] (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．判断命题的真假[例2] (链接教科书第14页例1)判断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x ＝4时，2x ＋1<0；(3)若x ＝3或x ＝7，则(x －3)(x －7)＝0.[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x ＝4不满足2x ＋1<0.(3)是真命题，x ＝3或x ＝7能得到(x －3)(x －7)＝0.命题真假的判定方法(1)真命题的判断方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；(2)假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．命题的结构形式[例3](1)6是12和18的公约数的否定；(2)当a >－1时，方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.[解](1)若一个数是6，则它不是12和18的公约数，是假命题．(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则[注意]若判断一个命题的真假性时，从原命题入手不易判断时，可以考虑判断该命题的否定的真假性，根据p与綈p的真假关系得出结论．由命题的真假求参数的范围[例4](2021·苏州检测)已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝∅是假命题，则实数a的取值范围是________．[解析]法一：若A∩B＝∅是真命题，则a≤－3，∴A∩B＝∅是假命题时，a>－3.法二：若A∩B＝∅是假命题，则A∩B≠∅是真命题，即集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，易得a>－3.[答案](－3，＋∞)由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤第一步，明确命题的条件和结论；第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件；第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围．[注意]若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集．1.2.2充分条件和必要条件知识点一充分条件和必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p叫作q的充分条件；q叫作p的必要条件p不是q的充分条件；q不是p的必要条件1．判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．2．充分条件、必要条件的理解p⇒q可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是充分的；反过来，若q不成立，则p必不成立，即q对于p的成立是必要的．1．p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？提示：相同，都是p⇒q.2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示：这五种表述形式是等价的．知识点二充分必要条件(充要条件)1．定义：如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．当然，此时q也是p的充分必要条件．2．记法：如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”．3．传递性：“⇒”和“⇔”都具有传递性，即(1)如果p⇒q，q⇒s，那么p⇒s；(2)如果p⇔q，q⇔s，那么p⇔s．对充分必要条件的再理解(1)如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件；(2)p是q的充分必要条件⇔p成立当且仅当q成立．1．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q 是条件，p是结论．充分、必要、充要条件的判断[例1]下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．[解](1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p⇒q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q p.所以p 是q 的充分不必要条件．(3)因为xy >0时，x >0，y >0或x <0，y <0.故p q ，但q ⇒p .所以p 是q 的必要不充分条件．(4)因为⎩⎨⎧四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p ⇒q ，q p ，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；若p q ，q p ，则p 是q 的既不充分又不必要条件．(2)集合法对于集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，具体情况如下：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件．充分条件与必要条件的应用[例2] 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎨⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．[母题探究]1．(变条件)若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解得m ≥9，故实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．2．(变设问)本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎨⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，方程组无解．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．充分条件与必要条件的应用技巧及求解步骤(1)应用技巧：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；(2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．充要条件的证明[例3] (相等实根的充要条件是－13<m <0.[证明] (1)充分性：∵－13<m <0，∴方程x 2－2x －3m ＝0的判别式Δ＝4＋12m >0，且－3m >0，∴方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎨⎧Δ＝4＋12m >0，x 1x 2＝－3m >0，解得－13<m <0. 综合(1)(2)知，方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－13<m <0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反； (2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．[注意] 证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．充分条件、必要条件、充要条件的探求( )A ．m <12B ．m <14C ．m <－12D ．m <－14(2)若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③ab >0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．(ⅰ)a ，b 都为0的必要条件是________；(ⅱ)使a ，b 都不为0的充分条件是________．[解析] (1)由题意可得Δ＝b 2－4ac ＝1－4×1×m ≥0，解得m ≤14.四个选项中，只有m <12是m ≤14的必要条件，故选A.。

1.1集合的概念及表示

1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。

(完整版)集合知识点点总结

集合概念一：集合有关概念1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

3.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有A⊆（或B⊇Ａ）包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；注意：B（2）A与B是同一集合。

高二数学第一章集合知识点

高二数学第一章集合知识点在高二数学学习过程中，集合是一个非常重要的概念和工具。

在第一章中，我们将学习集合的基础知识和相关概念，掌握集合的运算和求解问题的方法。

本文将对高二数学第一章集合知识点进行概述和总结。

一、集合的基本概念集合是由一些具有共同特征的元素所构成的整体。

常用的表示方式有列举法和描述法。

例如，S={a, b, c}是一个由元素a、b、c 构成的集合，描述法表示。

二、集合的关系1. 子集关系：若集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A 是B的子集，记作A⊆B。

2. 相等关系：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合A 的子集，则称A等于B，记作A=B。

3. 真子集关系：若集合A是集合B的子集，且集合B不等于集合A，则称A是B的真子集，记作A⊂B。

4. 互为逆关系：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合A 的子集，则称A和B互为逆关系。

三、集合的运算1. 交集：集合A和集合B的交集，记作A∩B，表示同时属于集合A和集合B的元素构成的集合。

2. 并集：集合A和集合B的并集，记作A∪B，表示属于集合A或集合B的元素构成的集合。

3. 差集：集合A和集合B的差集，记作A-B，表示属于集合A 但不属于集合B的元素构成的集合。

4. 补集：相对于全集U，集合A的补集，记作A的̅，表示全集U中不属于集合A的元素构成的集合。

四、集合的求解方法1. 列举法：通过列举元素的方式，直观地表示集合。

2. 描述法：通过给出满足特定条件的元素构成的集合，简洁地表示集合。

3. 图示法：通过绘制Venn图或欧拉图，直观地表示集合及其运算关系。

五、应用实例1. 集合的包含关系判断：给定集合A、B、C，判断A是否包含B，B是否包含C的方法是求出A∩B和B∩C是否相等。

2. 集合的运算问题：对于给定的集合A、B、C，可以利用交集、并集、差集等运算方法解决集合间的问题，如求解集合的元素个数、求解集合中满足某一条件的元素等。

总结起来，高二数学第一章集合知识点主要包括集合的基本概念、集合的关系、集合的运算和集合的求解方法。

第一章集合知识点整理

第一章集合§1．1集合基础知识点：⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；5.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。

“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1, 2},而不是{1, 1, 2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；⑸徐州艺校校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

例如，（1）A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。

（2）A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32∉A.典型例题例1．用“∈”或“∉”符号填空：⑴8 N；⑵0 N；⑶-3 Z；；⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。

集合知识点归纳

集合知识点归纳集合是数学中一个非常基础且重要的概念，它在数学的各个领域都有着广泛的应用。

下面让我们一起来归纳一下集合的相关知识点。

一、集合的定义集合是把一些确定的、不同的对象汇集在一起组成的一个整体。

这些对象称为集合的元素。

例如，一个班级里的所有学生可以组成一个集合，班级里的每一个学生就是这个集合的元素。

二、集合的表示方法1、列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

例如，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5} 。

2、描述法用集合中元素的共同特征来描述集合。

比如，集合 B ＝｛x ｜ x 是大于 5 的整数} 。

3、图示法包括韦恩图（Venn Diagram），通过图形直观地表示集合之间的关系。

三、集合中元素的性质1、确定性对于一个给定的集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的。

比如，“身高较高的同学”不能构成一个集合，因为“较高”没有明确的标准，不具有确定性。

2、互异性集合中的元素是互不相同的。

例如，集合｛1, 2, 2, 3} 应该写成｛1, 2, 3} 。

3、无序性集合中的元素没有顺序之分。

｛1, 2, 3} 和｛3, 2, 1} 表示的是同一个集合。

四、常见的数集1、自然数集 N ：包括 0 和正整数。

2、正整数集 N ＋：不包括 0 的自然数集。

3、整数集 Z ：包括正整数、负整数和 0 。

4、有理数集 Q ：包括整数和分数。

5、实数集 R ：包括有理数和无理数。

五、集合间的关系1、子集如果集合 A 的所有元素都属于集合 B ，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A ⊆ B 。

例如，集合 A ＝｛1, 2} ，集合 B ＝｛1, 2, 3} ，则 A 是 B 的子集。

2、真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，并且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A ，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集，记作 A ⊂ B 。

比如，上述例子中，A 是 B 的真子集。

3、相等如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同，那么集合 A 和集合 B 相等，记作 A ＝ B 。

集合知识点总结第一章

集合知识点总结第一章一、集合的概念集合是指具有某种共同特征的事物的整体。

通常用大写字母A、B、C...表示，元素一般用小写字母a、b、c...表示。

集合可以是有限的，也可以是无限的。

例如：自然数集合N={1,2,3,4,5,...}，整数集合Z={...-3,-2,-1,0,1,2,3...}。

二、集合的表示方式1. 列举法：直接将集合中的元素一一列举出来。

如：A={1,2,3,4}。

2. 描述法：用适当的条件句描述集合的成员的性质和特征。

如：A={x|x为正整数，且x<5}。

三、集合间关系1. 包含关系：如果一个集合A中的所有元素都属于另一个集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。

2. 相等关系：如果两个集合A和B中的元素完全相同，那么称A和B是相等的，记作A=B。

四、常见集合1. 自然数集合N={1,2,3,4,5,...}2. 整数集合Z={...-3,-2,-1,0,1,2,3...}3. 有理数集合Q4. 实数集合R五、常见操作1. 并集：将两个集合中的所有元素放在一起，去除重复的元素所组成的集合。

记作A∪B。

2. 交集：将两个集合中共同的元素组成的集合。

记作A∩B。

3. 差集：从集合A中去除集合B中的元素所得的集合。

记作A-B。

六、集合的运算律1. 交换律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)七、集合的基本定理1. 包含关系的基本定理：对任意集合A，都有A⊆A。

2. 交集的基本定理：对任意两个集合A和B，都有A∩B⊆A和A∩B⊆B。

3. 并集的基本定理：对任意两个集合A和B，都有A⊆A∪B和B⊆A∪B。

八、集合的应用集合论在数学中有广泛的应用，如概率统计、逻辑推理、数学分析等领域。

同时在日常生活中，集合论也有着重要的作用，比如在数据库管理、编程算法设计、决策分析等方面都有着集合论的影子。

知识点整理-[高中数学]第一章集合

第一章集合1.1 集合与集合的表示方法1.集合的概念（1）定义集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出描述性说明：某些指定的且不同的对象集在一起就成为一个集合。

组成集合的对象叫元素。

集合常用大写字母A B C 、、、…来表示。

元素常用小写字母a b c 、、、…来表示。

集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成一个集合。

对于集合我们一定要从整体的角度来看待它。

例如由“我们的同学”组成的一个集合A ，则它是一个整体，也就是一个班集体，也可以用我们班的序号来替代它。

构成集合的对象必须是“确定”的且“不同”的。

其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不是模棱两可的；“不同”是指构成集合的各个对象互不相同。

（2）元素与集合的关系元素与集合的关系有属于与不属于两种：元素a 属于集合A ，记作a A ∈；元素a 不属于集合A ，记作a A a A ∉∈或。

a A ∈与a A ∉取决于a 是不是集合A 中的元素。

根据集合中元素的确定性，可知对任何a 与A ，在a A ∈与a A ∉这两种情况中必有一种且只有一种成立。

符号“∈”“∉”仅表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系。

（3）集合中元素的特性①确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

例如A ={0，1，3，4}，可知0,6A A ∈∉。

②互异性：“集合中的元素，必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任必修一何两个元素都是不同的”。

如方程2(4)0x -=的解集记为{4}，而不能记为{4，4}。

③无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合{a ，b ，c}与{c ，b ，a}是同一个集合。

（4）集合的分类集合根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。

如“方程3x+1=0的解组成的集合”，由“2，4，6，8组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此这两个集合是有限集。

高中数学必修一第一章集合知识点总结

高中数学必修一第一章集合一、集合的概念1、集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

注意：在集合中，通常用小写字母表示点（元素），用大写字母表示点（元素）的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别。

2、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。

3、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。

（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。

集合中的元素互不相同。

例如：集合A={1，a}，则a不能等于1。

（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。

例{0，1，2}有其它{0，2，1}、{1，0，2}、{1，2，0}、{2，0，1}、{2，1，0}等共六种表示方法。

4、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接。

5、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。

（2）无限集：含有无限个元素的集合。

（3）空集：不含任何元素的集合。

6、常见的特殊集合：；（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）；（2）正整数集N*或N+（3）整数集Z（包括负整数、零和正整数）；（4）实数集R（包括所有有理数和无理数）；（5）有理数集Q（包括整数集Z和分数集→正负有限小数或无限循环小数）；（6）复数集C，虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。

在数学中，虚数就是形如a+b*i 的数，其中a，b是任意实数，且b≠0，i²=-1。

二、集合的表示方式1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。

《集合》知识点总结

《集合》知识点总结一、集合的基本概念1、集合：一些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象称为元素。

2、集合的表示：用大括号{}或小括号()表示，元素与集合的关系为“属于”或“不属于”。

3、集合的特性：确定性、互异性、无序性。

二、常见集合的表示方法1、自然数集：N2、整数集：Z3、有理数集：Q4、实数集：R三、集合的运算1、交集：取两个集合的公共元素组成的集合，记作A∩B。

2、并集：把两个集合合并起来，记作A∪B。

3、补集：把属于一个集合但不在该集合的元素组成的集合，记作CuA。

四、集合间的关系1、子集：若一个集合A的每一个元素都是另一个集合B的元素，则称A是B的子集。

2、真子集：如果A是B的子集，且A≠B，则称A是B的真子集。

3、相等：当且仅当两个集合的元素完全相同，且不强调元素的顺序时，两个集合相等。

五、集合的基本运算性质1、若A、B为两个集合，有A∩B=B∩A。

2、若A、B为两个集合，有Cu(A∩B)=CuA∪CuB。

3、若A、B、C为三个集合，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

4、若A、B为两个集合，有(CuA)∪B=(A∪B)∩CuB。

5、若A、B、C为三个集合，有(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。

6、若A、B为两个集合，有(CuA)∩B=Cu(A∪B)。

7、若A、B为两个集合，有(CuA)∪(CuB)=Cu(A∩B)。

集合知识点总结一、集合、元素及其关系1、集合的基本概念：集合是一个不重复的元素的集合，常用大写字母表示集合，如A={1，2，3}，B={apple，banana，cherry}。

2、集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。

列举法是把集合中的元素一一列举出来，适用于元素数量较少的集合；描述法是用集合中元素的共同特征来描述集合，如自然数集N={n|n是自然数}。

3、集合的元素关系：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称A是B的子集，记作A⊆B。

高中数学必修1第一章集合重难点总结归纳(在校或培训老师备课必备)

1、指定的某些对象的全体称为集合，用大写字母ABCD表示，集合中每个对象叫元素，用小写字母abcd表示.从概念上说集合可以包括任何事物（山川、河流、高楼、车辆、数字、字母、名字等）。

但我们做题一般讲的是数集。

2、自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集都要记住。

3、对于元素比较少的集合我们常用列举法表示，元素很多或是无穷的，我们一般用描述法表示，通常用不等式范围、方程、函数表达式来表示！4、用描述法表示奇数集、偶数集、第一、二、三、四像限内点集、X轴上、y轴上点的集合、x正半轴、y负半轴上等集合。

5、集合的三特性：①确定性、就是题目给的条件要确定，不能模棱两可（一般考的少）②无序性、就是元素间不讲顺序，｛1、2、3｝、｛3、2、1｝为同一集合③互异性、就是同一个集全中不能有重复的元素，这个考的最多，一般是算x或是a，算得和已知元素重复的话就舍去。

6、不含任何元素的叫空集∅、空集在高中数学里像幽灵般的存在！做题要时时小心，不要忘了它的存在。

7、对于属于、包含、包含于、真包含的符号要记清。

8、子集：可以包括本身和比本身小的集合，空集是任何集合的子集，子集个数公式=2n个、n为元素个数。

真子集：真子集不能包括本身的所有子集、空集是任何非空集合的真字集。

真子集个数公式=2n-1个、n为元素个数交集：两个集合相同的元素或是不等式集范围的重叠部分。

并集：所有元素加起来，重复的算一次，题中多见的是不等式集，则表示在数轴上所覆盖的所有区域。

全集：题中所给的最大的那个集合，一般用U表示。

补集：全集里把某集合除开，剩下的部分叫某集合在全集里的补集。

不等式集的话，注意=号，原集合有等号的，补集没有，原集合没有等号的，补集要有等号。

对于不等式集间的交并补，通常用画数轴来搞定。

经典题型：1、A=｛1、3、a2｝、B=｛a＋2、1｝若B⊆A 求a的值。

2、2、U=｛1、2、3、4、5、6｝、A=｛1、2、3｝、 B=｛3、4、5｝求：A∪B、CuA∩ B3、U=R、A=｛x│2≤x<8｝、B=｛x│6<x≤10｝求：A∩B、 CuB∪A4、 A=｛x│-2≤x<5｝,B=｛x│2m-2<x≤m+3｝若A∩B=∅求m的取值范围。

高一数学第一章集合知识点

高一数学第一章集合知识点在高一数学的学习中，第一章的内容是集合。

掌握集合的知识对于后续数学学习的顺利进行至关重要。

本文将介绍高一数学第一章集合的知识点，帮助同学们理解和掌握这一部分内容。

一、集合及其表示方法集合是由若干个确定的元素所组成的整体。

我们通常用大写字母A、B、C等表示集合，元素用小写字母a、b、c等表示。

表示一个集合的方法有以下几种：1. 列举法：直接列举出集合中的元素，用大括号{}表示，元素之间用逗号隔开。

例如，集合A={1, 2, 3, 4}。

2. 描述法：给出集合中元素的共性特征，用符号表示。

例如，集合B={x|x是正整数，1≤x≤10}表示由1到10的正整数构成的集合。

3. 图形法：用Venn图或Euler图表示集合，利用图形的交集、并集、补集等关系来描述集合。

图形法直观明了，便于理解。

二、集合的运算在集合中，有一些常见的运算，如并集、交集、补集和差集。

1. 并集：将两个或多个集合中的所有元素放在一起，不重复地写出来。

用符号∪表示。

例如，集合C=A∪B表示集合C是由集合A和集合B中的所有元素组成的。

2. 交集：两个或多个集合中共同包含的元素。

用符号∩表示。

例如，集合D=A∩B表示集合D是集合A和集合B中共同包含的元素构成的。

3. 补集：对于给定的一个集合A，除去与另一个集合B中的元素重复的元素，得到的新的集合。

用符号A'表示。

例如，集合A'表示不属于A集合的元素构成的集合。

4. 差集：集合A中去掉同时属于A和B的元素，得到的新的集合。

用符号A-B表示。

例如，集合A-B表示属于集合A但不属于集合B的元素构成的集合。

三、包含关系与子集在集合中，有两个重要的概念，即包含关系和子集。

1. 包含关系：集合A中的每个元素都属于集合B，则称集合A 包含于集合B，用符号A⊆B表示。

例如，集合A={1, 2}，集合B={1, 2, 3}，则A⊆B。

2. 子集：如果集合A包含于集合B，且存在至少一个元素属于B但不属于A，则称A是B的真子集，用符号A⊂B表示。

高中数学第一章集合 1.1 集合的含义及其表示知识梳理素材苏教版必修1(2021年最新整理)

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集合的含义及其表示一、集合1．集合某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Aa∈；若b不是集合A的元素，记作Ab∉；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象,则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象），因此,同一集合中不应重复出现同一元素;无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号｛}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.注意:列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.（4）常用数集及其记法非负整数集(或自然数集），记作N ；正整数集，记作N ＊或N +；整数集,记作Z ；有理数集,记作Q ；实数集,记作R 。

高中数学第一章集合单元复习苏教版必修1-苏教版高一必修1数学素材

江苏省苏州市第五中学高中数学第一章集合单元复习苏教版必修1一、知识点梳理本章，我们主要学习了集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等.参见教材16页.本单元的重点是集合的基本概念与表示方法，子集、补集的概念，以及交集与并集的概念.本单元的难点是正确运用列举法和描述法表示集合，弄清元素与子集、属于与包含之间的区别，弄清交集与并集的概念、符号之间的区别与联系. 二、学法指导1．集合是数学中一个不加定义的原始概念，学习集合语言最好的方法是运用，在实际使用中逐渐熟悉“自然语言〞、“集合语言〞、“图形语言〞各自的特点，进行各种语言的相互转换，进而掌握集合语言.2．对同一个集合，描述法的表示可以是不惟一的，例如，偶数集可以有以下表示：{偶数}x x |{是偶数},},,2|{z n n x x ∈=可以通过这种逐步符号化的表示方式，真正理解并掌握描述法．3．集合与集合之间存在两种关系：包含和相等，学习中应尽量用Venn 图直观地说明集合之间的各种关系.4．学习中要注意抓住集合中元素的性质这个关键，即集合元素的确定性、互异性、无序性．注意区别∅与}.{∅注意集合中元素属性的区别，例如集合}1|{2+=x y x 与}1|),{(2+=x y y x 中元素的区别，解题时要注意∅的三个特性，即对任意集合A 有A,,A A A ∅=∅∅⊆∅=.5．判断一个集合是否包含于另一个集合，可用列举的方法或先化简集合后再判断. 6．B A ⊆的关系中，应注意∅=A 的讨论，常用的等价形式有A B A B A ⊆⇔=A B B ⇔=.7．求A B A B 时，除用列举的方法外，要注意与其它知识的联系，如用数轴的直观以形助数.8．注意运用补集的思想方法来解决问题，体会“正难那么反〞的原理. 三、单元自测(一)填空题(每题5分，共70分) 1．用适当的符号填空: (1) 0___*N ,2___Z ，0)1(-___*N ，}4|__{23>x x ；(2) 2*5__{|1,N }x x n n =+∈，}|__{)1,1(2x y y =-； (3)，；(4)，.2．集合{}2,31a a ，中的a 不能取的值组成的集合是 . 3．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∈+-=5,,12n N n n n x x 用列举法表示为 . 4．集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示为 . 5．设全集{}{}{}36,21,56U x x A x x B x x =-<<=-<<=<<，那么集合B 与U A 的关系是 .6．{|35}A x x =-<<，{|},B x x a A B =>⊆,那么实数a 的取值范围是_____________. 7．集合{}1,2,3,4,5S ⊆，满足“假设a S ∈，那么6a S -∈〞，那么集合S 共有个. 8．假设集合{}{}5,,1,A x x x N B x x x N =≤∈=>∈，那么AB = .9．设全集为U ，用集合A 、B 、C 的交、并、补集符号表图中的阴影部分：ABUABU〔1〕_____________ 〔2〕_________________ 10．满足{}1,2PT =的集合,P T 的组数为 .11．集合{}{}220,12A x x x B x x =--==-<≤，那么AB = .12．假设集合{}{}2,,3,P x x n n N T x x n n N ==∈==∈，那么PT = .13．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，那么该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人. 14．(1)设{}{}21,1M y y x N y y x ==+==+，那么M N =______；(2)设(){}(){}2,1,,1A x y y x B x y y x ==+==+，那么AB =_____.(二)填空题(每题15分，共90分)15．设集合{}2,,A x x xy =，{}1,,B x y =，且A B =，求实数,x y 的值.16．集合2231002x x A x x x ⎧⎫--⎪⎪=≤⎨⎬++⎪⎪⎩⎭，{}121B x m x m =-<<+. 假设B A ⊆，求实数m 的取值范围.17．集合S ={0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，假设有x -1∉A 且x +1∉A ，那么称x 为A 的一个“孤立元素〞，写出S 中所有无“孤立元素〞的4元子集. 18．集合2{|0}A x x px q =++=， 2{|20}B x x px q =--=，且{1}AB =-，求AB ．19．集合U =2{2,3,23}a a +-，A ={|a +1|，2}，U C A ={a +3}，求实数a 的值. 20．设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=.(1)求AB ，AB ；(2)假设A B ⊆，求实数a 的值； (3)假设5a =，那么AB 的真子集有几个, 集合P 满足条件：()AB ⊂≠P ⊂≠B ()AB ，写出所有可能的集合P .。

初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习1.1 集合的概念与表示(教师版)

第一章《集合与常用逻辑用语》1.1集合的概念【知识梳理】知识点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a ，b ，c …表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母A ，B ，C …表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．知识点二元素与集合的关系1．属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A .2．不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A .知识点三常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN *或N ＋ZQR知识点四列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．知识点五描述法一般地，设A 是一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P (x )的元素x 所组成的集合表示为{x ∈A |P (x )}，这种表示集合的方法称为描述法．【基础自测】1．已知集合{1,,}{0,}ba ab b a+=，，则下列结论正确的是（）A ．0a =B ．1a =C ．1a b ==-D ．11a b =-=，2．已知集合{}21,49,2021A a a a =++-，若4A -∈，则实数a 的值为（）．A ．5-B ．1C ．5或1-D ．5-或1【答案】B【详解】{}21,49,2021A a a a =++- ，且4A -∈，4=1a ∴-+或24=49a a -+-⑴当24=49a a -+-即=5-a 或=1a ，①当=5-a 时，1=4a +-，249=4a a +--，此时{}4,4,2021A =--，不满足集合元素的互异性，故舍去；②当=1a 时，1=2a +，249=4a a +--，此时{}2,4,2021A =-，符合题意；⑵当1=4a +-即=5-a 时，此时{}4,4,2021A =--，不满足集合元素的互异性，故舍去；综上所述：实数a 的值为1.故选：B3．已知集合{}1,2,3A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈∣中元素的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．54．下列说法中：①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．【答案】②④【详解】因为集合N*表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．5．用列举法表示集合：{(,)|4,,}x y x y x y +=∈∈N N 为________．【答案】()()()()(){}0413223140，，，，，，，，，【详解】由题知：(){}|4x y x y x +=∈∈N N ，，，y =()()()()(){}0413223140，，，，，，，，，故答案为：()()()()(){}0413223140，，，，，，，，，.【例题详解】一、集合的概念例1(1)下面给出的四类对象中，构成集合的是（）A ．某班视力较好的同学B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数【答案】D【分析】根据集合的定义分析判断即可.【详解】对于A ，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于B ，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于C ，π的近似值没有明确近似到小数点后面几位，不是明确的定义，故不能构成集合；对于D ，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；故选：D.(2)（多选）下列各组中的M ，P 表示同一集合的是（）A ．M ={3，-1}，P ={(3，-1)}B ．M ={(3，1)}，P ={(1，3)}C ．M ={y |y =x -1}，P ={t |t =x -1}D ．集合M ={m |m +1≥5}，P ={y |y =x 2+2x +5，x ∈R }【答案】CD跟踪训练1(1)以下元素的全体能构成集合的是（）A ．中国古代四大发明B ．接近于1的所有正整数C ．未来世界的高科技产品D ．地球上的小河流【答案】A【分析】根据集合的知识可选出答案.【详解】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A 满足；接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B 不满足；未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C 不满足；地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D 不满足；故选：A(2)已知集合A ={x |x 2+px +q =0}={2}，则p =_______，q =_______．【答案】-44【分析】根据A ={x |x 2+px +q =0}={2}，由2是方程x 2+px +q =0的等根求解.【详解】因为A ={x |x 2+px +q =0}={2}，所以2420-40p q p q ++=⎧⎨=⎩，解得-44p q =⎧⎨=⎩，故答案为：-4，4二、元素与集合例2(1)下列元素与集合的关系中，正确的是（）A ．1-∈NB ．*0∉N C QD ．25∉R(2)如果集合2210A x ax x =--=只有一个元素，则a 的值是（）A ．0B ．0或1C ．1-D ．0或1-跟踪训练2(1)已知集合(){}|10M x x x =-=,那么（）A ．0M ∈B ．1M∉C ．1M-∈D ．0M∉【答案】A【分析】确定结合(){}|10M x x x =-=的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案.【详解】由题意知集合(){}|10{0,1}M x x x =-==，故0M ∈，故A 正确，D 错误，1M ∈，故B 错误，1M -∉，故C 错误，故选：A(2)已知集合{}220A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是__________．三、集合中元素的特性例3(1)若{}22,a a a ∈-，则a 的值为（）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-【答案】A【分析】分别令2a =和2a a a =-，根据集合中元素的互异性可确定结果.【详解】若2a =，则22a a -=，不符合集合元素的互异性；若2a a a =-，则0a =或2a =（舍），此时{}{}22,2,0a a -=，符合题意；综上所述：0a =.故选：A.(2)由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．5跟踪训练3(1)集合{3，x ，x 2–2x }中，x 应满足的条件是（）A ．x ≠–1B ．x ≠0C ．x ≠–1且x ≠0且x ≠3D ．x ≠–1或x ≠0或x ≠3【答案】C【分析】利用集合元素的互异性求解.【详解】集合{3，x ，x 2–2x }中，x 2–2x ≠3，且x 2–2x ≠x ，且x ≠3，解得x ≠3且x ≠–1且x ≠0，故选：C ．(2)若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合{},,M a b c =中的元素是ABC 的三边长，则a b c ≠≠，所以ABC 一定不是等腰三角形．故选：D ．四、集合的表示方法例4(1)用列举法表示集合*6,5A aN a Z a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-__________．(2)用适当的形式表示下列集合，并指明它是有限集还是无限集．①方程32320x x x -+=的解集；②不等式3523x x +>+的解集；③被5除余1的自然数的集合；④二次函数2=23y x x --的值组成的集合．【答案】①{}0,1,2，有限集；②{}|2x x >-，无限集；③{}|51,x x k k N =+∈，无限集；④2{|23}y y x x =--，无限集.【分析】①直接解出方程即可，用列举法；②解不等式，解集为无限，用描述法表示；(3)元素有无限个，所以用描述法；④代表元素为y ，解集为无限集用描述法表示.【详解】①解方程可得解集为{}0,1,2，有限集；②解不等式可得解集为{}|2x x >-，无限集；③被5除余1的自然数的集合为{}|51,x x k k N =+∈，无限集；④二次函数223y x x =--的值组成的集合为2{|23}y y x x =--，无限集；跟踪训练4用列举法表示下列集合：（1）方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集；（2）不大于10的非负奇数集；（3）6{|Z,N}4A x x x=∈∈-．【答案】（1）解集是{(2,1)}；（2）不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}；（3）{3,2,1,2}A =-.【分析】根据列举法的定义进行表示即可．跟踪训练5表示下列集合：(1)210y +=的解集；(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【课堂巩固】1．下列各组对象中不能形成集合的是（）A ．高一数学课本中较难的题B ．高二（2）班全体学生家长C ．高三年级开设的所有课程D ．高一（12）班个子高于1.7m 的学生【答案】A【分析】根据集合的三要素确定性，互异性和无序性逐个判断即可；【详解】对A ，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；对BCD ，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合故选：A2．下列说法正确的是（）A ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1B ．∅与{}0是同一个集合C ．集合{}21x y x =-与集合{}21y y x =-是同一个集合D ．集合{}2560x x x ++=与集合{}2560x x ++=是同一个集合3．设a ,b ∈R ，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -=（）A ．1B ．-1C ．2D ．-24．下列关系中，正确的是（）A NB ．14∈ZC ．{}00∈D ．12∉Q5．若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形【答案】C【分析】根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，结合选项，即可求解.【详解】由题意，集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.6．（多选）下面说法中正确的是（）A ．集合N +中最小的数是1B ．若N a +-∉，则N a +∈C ．若N ,N a b ++∈∈，则a b +的最小值是2D ．244x x +=的解组成的集合是{2}x =【答案】AC【分析】根据正整数集的含义即可判断A ，B ，C 的正误，根据集合中列举法即可判断D 选项的正误.【详解】对于A ，因为N +是正整数集，而最小的正整数是1，故A 正确；对于B ，当0a =时，N a +-∉，且N a +∉，故B 错误；对于C ，若N a +∈，则a 的最小值是1，若N b +∈，则b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a b +取得最小值2，故C 正确；对于D ，由244x x +=得()220x -=，解得2x =，故其解集为{}2，而{2}x =不符合集合的表示方法，故D 错误.故选：AC ．7．用列举法表示集合6|Z,2M x x x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭N ________________．【答案】{4,1,0,1}--【分析】根据题意可得21,2,3,6x -=，求出x 的值即可求解.【详解】由题意得21,2,3,6x -=，所以1,0,1,4x =--，所以{4,1,0,1}M =--.故答案为:{4,1,0,1}--.8．已知集合{}1,2,3,4,6A =，,x B x y A y ⎧⎫=∈⎨⎬⎩，则集合B 中的元素个数为______．1故答案为：139．已知,x y 均为非零实数，则代数式xy x y x y xy++的值所组成的集合的元素个数是______．10．给出下列说法：①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为(){},0,0x y x y >>；②20y ++=的解集为{}2,2-；③集合{}21,y y x x =-∈R 与{}1,y y x x =-∈R 是不相等的．其中正确的是______（填序号）．11．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ；(2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；(3)方程组281x y x y +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合B ；(4)15的正约数组成的集合N .12．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合（1）所有能被3整除的自然数（2）不等式²230x x +-<的解集（3）²230x x +-=的解集【答案】答案见解析．【分析】根据集合的表示法求解．【详解】（1）{|3,}x x n n N =∈，集合中元素个数无穷，不能用列举法表示；（2）2230x x +-<，即(1)(3)0x x -+<，31x -<<，集合为{|31}x x -<<，集合中元素有无数个，不能用列举法表示；（3）集合可表示为2{|230}x x x +-=，列举法表示为{3,1}-．【课时作业】1．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3}，当A ＝{2}时，集合B ＝（）A ．{1}B ．{1，2}C ．{2，5}D ．{1，5}【答案】D【分析】根据集合的相等的意义得到x 2＋px ＋q ＝x 即()210x p x q +-+=有且只有一个实数解2x =,由此求得p ,q 的值，进而求得集合B .【详解】由A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }＝{2}知，x 2＋px ＋q ＝x 即()210x p x q +-+=有且只有一个实数解2x =,∴22＋2p ＋q ＝2，且Δ＝(p －1)2－4q ＝0.计算得出p ＝－3，q ＝4.则(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3可化为(x －1)2－3(x －1)＋4＝x ＋3；即(x －1)2－4(x －1)＝0；则x －1＝0或x －1＝4，计算得出x ＝1或x ＝5.所以集合B ＝{1，5}．故选：D .2．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式||||||||x y z xyz x y z xyz +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（）A ．M∈4B ．2M ∈C ．0M ∉D ．4M -∉3．以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数，也有负数；（2）P 中元素有奇数，也有偶数；（3）1P -∉；（4）若x y P ∈、，则x y P +∈．则下列选项哪个是正确的（）A ．集合P 中一定有0但没有2B ．集合P 中一定有0可能有2C ．集合P 中可能有0可能有2D ．集合P 中既没有0又没有2【答案】A【分析】由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数），由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，可得0P ∈.利用反证法可得若2P ∈，则P 中没有负奇数，若P 中负数为偶数，得出矛盾即可求解.【详解】解：由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数）．由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，则xy 、()-∈y x P ，而0()=+-∈xy y x P ．假设2P ∈，则2∈k P ．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P 中，故22-∈k P （k 是正整数），不妨令P 中负数为奇数21k -+（k 为正整数），由（4）得(22)(21)1-+-+=-∈k k P ，矛盾．故若2P ∈，则P 中没有负奇数．若P 中负数为偶数，设为2k -（k 为正整数），则由（4）及2P ∈，得2,4,6,--- 均在P 中，即22--∈m P （m 为非负整数），则P 中正奇数为21m +，由（4）得(22)(21)1--++=-∈m m P ，矛盾．综上，0P ∈，2∉P .故选:A ．4．已知集合{}2,21,21M a a a =--，若1M ∈，则M 中所有元素之和为（）A ．3B ．1C ．3-D ．1-【答案】C【解析】根据1M ∈，依次令{}2,21,21M a a a =--中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果.【详解】若1a =，则211a -=，矛盾；若211a -=，则1a =，矛盾，故2211a -=，解得1a =（舍）或1a =-，故{}1,3,1M =--，元素之和为3-，故选：C.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍.5．已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,46．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是A ．{x|﹣3＜x ＜11，x ∈Q}B ．{x|﹣3＜x ＜11}C ．{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈N}D ．{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈Z}【答案】D【详解】试题分析：先确定集合元素的范围是﹣3＜x ＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合．解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k ，k ∈z ，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x ＜11．即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈Z}．故选D ．点评：本题的考点是利用描述法表示集合．比较基础．7．方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集不可表示为（）A ．3(,)1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭B ．1(,)2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭C ．{}1,2D ．(){}1,2【答案】C【分析】先解方程组，然后再利用集合的表示方法判断即可【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=-⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，方程组只有一组解，对于AB ，是用描述法表示方程组的解集，所以AB 正确，对于C ，{}1,2表示两个元素1，2，所以C 错误，对于D ，是用列举法表示方程组的解集，所以D 正确，故选：C8．定义集合运算:{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为（）A ．0B ．2C ．3D ．6【答案】D【详解】试题分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B 中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B ，进而可得答案解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B 中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D ．考点：元素的互异点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍9．（多选）下列说法中，正确的是（）A ．若a ∈Z ，则a -∈ZB ．R 中最小的元素是0CD ．一个集合中不可以有两个相同的元素10．（多选）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A ∈C ．3A∈D ．4A ∈11．含有三个实数的集合可表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可以示为{}2,,0a a b +，则20132014a b +的值为____.【答案】1-【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.【详解】解：由题意，若2a a =，则0a =或1，检验可知不满足集合中元素的互异性，所以a a b =+，则0b =，所以21a =，则1a =-，故201320141a b +=-.故答案为：1-.12．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________．【答案】3【分析】根据集合与元素的关系，分类求得m 的值，然后利用集合元素的互异性检验取舍.【详解】由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证，当m ＝0或m ＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m ＝3时，满足题意，故m ＝3.答案：313．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．【答案】{(x ，y )|0≤x ≤2且0≤y ≤1}【详解】由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则{(,)|02x y x ≤≤且01}y ≤≤.故答案为{(,)|02x y x ≤≤且01}y ≤≤.点睛：本题考查集合的描述法的概念及其应用，解答本题的关键是图中的阴影部分的点的坐标满足的条件为集合的元素的公共属性.14．用列举法表示集合{}2|,12,y y x x y Z =-<<∈=__________【答案】{0,1,2,3}【分析】由集合的描述法可知集合所含元素.【详解】因为2,12y x x =-<<，所以04y ≤<，又y Z ∈，所以0,1,2,3y =故答案为{0,1,2,3}【点睛】本题主要考查了集合的描述法，属于中档题.b c abc 16．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，则B 中所含元素的个数为____．【答案】1【分析】首先根据题中的条件，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，结合A ＝{1，2}，写出集合B ，并且找到集合B 的元素个数.【详解】因为A ＝{1，2}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，所以{}(1,1)B =，所以集合B 中只有一个元素，故答案是1.【点睛】该题考查的是有关集合中元素的个数问题，解题的关键是根据题中所给的集合中元素的特征，将集合中的元素列出来，从而得到结果.17．已知方程ax 2－3x －4＝0的解组成的集合为A .（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．18．用适当的方法表示下列集合：（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合；（2|2|0y -=的解集.。

初升高数学暑假衔接(人教版)第01讲集合的概念(教师版)

第01讲集合的概念1．通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系；2．能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用；一、集合的含义与表示1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a ，b ，c ，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C ，…表示．二、元素的三个特性1、确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。

例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等2、互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．三、元素与集合关系的判断及应用1、属于与不属于概念：（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ．（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A ．2、常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N*N 或+N ZQ R四、集合的两种表示方法1、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复；(4)集合中的元素可以是任何事物．2、描述法：一般地，设A 表示一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P (x )的元素x 所组成的集合表示为{x ∈A |P (x )}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．考点一：判断元素是否构成集合例1．下列各组对象不能构成集合的是（）A ．上课迟到的学生B ．2022年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于x 的正整数【答案】B【解析】对于B 中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.其它选项的对象都可以构成集合.故选：B【变式训练】下列各选项中能构成集合的是（）A ．学生中的跑步能手B ．中国科技创新人才C ．地球周围的行星D ．唐宋散文八大家【答案】D【解析】对于A ，学生中的跑步能手不具有确定性，所以不能构成集合，所以A 错误，对于B ，中国科技创新人才不具有确定性，所以不能构成集合，所以B 错误，对于C ，地球周围的行星不具有确定性，所以不能构成集合，所以C 错误，对于D ，唐宋散文八大家分别为唐代柳宗元、韩愈和宋代欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩八位，研究的对象是确定的，可能构成集合，所以D 正确，故选：D考点二：判断元素与集合的关系例2．给出下列关系：①12ÎR ÏR ；③3-∈N ；④3Q -∈．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】12是无理数，均为实数，①正确，②错误；33-=，为自然数及有理数，③④正确.故选：C.【变式训练】（多选）给出下列关系中正确的有（）A ．1R3∈B Q C ．3Z-∉D ．N【答案】AD【解析】因为1R3∈Q ，3Z -∈，N ，所以AD 正确.故选：AD.考点三：集合中元素互异性的应用例3．设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m=（）A ．0B ．1-C ．0或1-D ．0或1【答案】C【解析】设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，3M -∈ ，213m ∴-=-或33m -=-，当213-=-m 时，1m =-，此时{}3,4M =--；当33m -=-时，0m =，此时{}3,1M =--；所以1m =-或0.故选：C【变式训练】若{}31,3,a a ∈-，则实数a 的取值集合为______．【答案】{}0,1,3【解析】因为{}31,3,a a∈-，故1a =-或3a =或3a a=，当1a =-时，31a =-，与元素的互异性矛盾，舍；当3a =时，327a =，符合；当3a a =时，0a =或1a =±，根据元素的互异性，0,1a =符合，故a 的取值集合为{}0,1,3.故答案为：{}0,1,3考点四：用列举法表示集合例4．方程组13x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（）A ．{}2,1-B ．{}2,1x y ==-C ．(){},2,1x y -D ．(){}2,1-【答案】D【解析】由方程组13x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：21x y =⎧⎨=-⎩，集合应是点集，正确的形式是(){}21-，.故选：D【变式训练】集合+6=Z,N C x x x ∈∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭用列举法表示为________．【答案】{}1,2,3,6【解析】因为x +∈N ，6Z x∈，所以x 的取值可能为1，2，3，6，所以{}1,2,3,6C =，故答案为：{}1,2,3,6.考点五：用描述法表示集合例5．（多选）集合{1,2}用描述法可以表示为（）A ．{Q 03}x x ∈<<∣B ．{}*13x x ∈-<<N ∣C ．{N12}x x ∈≤≤∣D ．{}2320xx x -+=∣【答案】BCD【解析】{}Q |03x x ∈<<是无限集，A 错误；{}{}*N |131,2x x ∈-<<=，B 正确；{}{}N |121,2x x ∈≤≤=，C 正确；{}{}2|32(1)(2)01,2-+=--==x xx x x ，D 正确.故选：BCD.【变式训练】所有正奇数组成的集合用描述当表示为_________．【答案】{}21,N x x k k =+∈【解析】因为正奇数除以2，余数为1，所以所有正奇数组成的集合用描述当表示为{}21,N x x k k =+∈，故答案为：{}21,N x x k k =+∈1．下列四组对象能构成集合的是（）A ．高一年级跑步很快的同学B ．晓天中学足球队的同学C ．晓天镇的大河D ．著名的数学家【答案】B【解析】集合元素具有确定性，高一年级跑步很快的同学、晓天镇的大河、著名的数学家，这三组对象不确定，不能构成集合.“晓天中学足球队的同学”满足集合元素的：确定性、互异性、无序性，所以“晓天中学足球队的同学”能够构成集合.故选：B2．已知集合(){}|10M x x x =-=,那么（）A ．0M ∈B ．1M∉C ．1M-∈D ．0M∉【答案】A【解析】由题意知集合(){}|10{0,1}M x x x =-==，故0M ∈，故A 正确，D 错误，1M ∈，故B 错误，1M -∉，故C 错误，故选：A3．（多选）已知集合12=N,Z 8A x x x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭，则下列属于集合A 的元素有（）A ．4-B ．3C ．4D ．6【答案】CD【解析】依题意，8x -是12的约数，而12的约数有1,2,3,4,6,12±±±±±±，即8{12,6,4,3,2,1,1,2,3,4,6,12}x -∈------，则{20,14,12,11,10,9,7,6,5,4,2,4}x ∈-，因为N x ∈，因此{20,14,12,11,10,9,7,6,5,4,2}x ∈所以CD 正确，AB 错误.故选：CD4．（多选）下列说法中，正确的是（）A 2B ．自然数集N 中最小的元素是0C ．在数集Z 中，若a ∈Z ，则a -∈ZD ．一个集合中可以有两个相同的元素【答案】BC【解析】对于A ，2元素不具有确定性，不能构成一个集合，故A 错误；对于B ，由自然数的定义可得B 正确；对于C ，若a ∈Z ，则a -∈Z ，故C 正确；对于D ，由集合的互异性可知，一个集合中不可以有两个相同的元素，故D 错误.故选:BC5．（多选）以下命题中正确的是（）A ．所有正数组成的集合可表示为{}0x x >B ．大于2020小于2023的整数组成的集合为{}20202023x x <<C ．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}D ．N 中的元素比N +中的元素只多一个元素0，它们都是无限集【答案】AD【解析】正数均大于0，故所有正数的集合应表示为{|0}x x >，故A 正确；大于2020小于2023的整数组成的集合应表示为{Z |20202023}x x ∈<<或{2021,2022}，故B 不正确；全部三角形组成的集合应表示为{三角形}或{|x x 是三角形}，故C 不正确；N 为自然数集，N +为正整数集，故N 中的元素比N +中的元素只多一个元素0，它们都是无限集，故D 正确.故选：AD.6．下列各种对象的全体可以构成集合的是______．（填写序号）①高一（1）班优秀的学生；②高一年级身高超过1.60m 的男生；③高一（2）班个子较高的女生；④数学课本中的难题．【答案】②【解析】①中“优秀”，③中“个子较高”，④中“难题”不满足构成集合元素的确定性，而②满足集合元素的性质，故②正确，故答案为：②.7．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则集合B 中的元素个数为________．【答案】14【解析】由题意得：()()()()()()()()()(){()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,B =()()()}4,1,5,1,6,1，B ∴中元素个数为14.故答案为：14.8．已知{}2312,4,a a a -∈+，则实数=a _______.【答案】1-【解析】若3a =-，则249123a a +=-=-，不符合集合元素的互异性，排除；若243a a +=-，则2430a a ++=，可得1a =-或3a =-（舍），所以1a =-，此时{}12,3,1--.故答案为：1-9．表示下列集合：（1210y ++=的解集；（2）请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；（3）请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；（4）请用描述法表示二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【答案】（1）11(,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（2）{}(,)0x y xy ；（3）{|53x x n +∈=+N ，}n ∈N ；（4）2{|210}y y x x =+-【解析】（1210y +=的解集为11,22⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为(){},0x y xy .（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为{|53x x n +∈=+N ，}n ∈N （4）用描述法表示二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合为2{|210}y y x x =+-．10．已知集合{}2210,R A xax x a =++=∈∣.（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围.【答案】（1）0a =或1a =；（2）{}|1a a ≤【解析】（1）由题意，当0a =时，210x +=，得12x =-，集合A 只有一个元素，满足条件；当0a ≠时，2210ax x ++=为一元二次方程，440a ∆=-=，得1a =，集合A 只有一个元素=1x -∴A 中只有一个元素时0a =或1a =.（2）由A 中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A 中有两个元素时，0a ≠并且440a ∆=->，得1a <且0a ≠，再结合A 中一个元素的情况，∴a 的取值范围为{}|1a a ≤.12220x x ++=的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③④【答案】B【解析】对①，联合国安全理事会常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国，能构成集合.对③，方程2220x x ++=，4420∆=-⨯<，方程无实根，集合为空集，对④，中国著名的高等院校，不满足集合的确定性，不能构成集合，故选：B2．下列元素与集合的关系中，正确的是（）A ．1-∈NB ．*0N ∉C QD ．2R5∉【答案】B【解析】N 表示自然数集，-1不是自然数，故A 错；*N 表示正整数集，0不是正整数，故B 正确；QC 错；R 表示实数集，25是实数，故D 错.故选：B.3．已知集合{}212,4,2A a a a =+-，3A -∈，则=a （）A ．-1B ．-3或-1C ．3D ．-3【答案】D【解析】由题意，243a a +=- ①或23a -=- ②，由①得，1a =-，或3a =-，由②1a =-；当1a =-时，243,23a a a +=--=-，不符合集合描述规则，舍去，3a =-；故选：D.4．下列说法：①集合{}3N |x x x ∈=用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x |x为所有实数}或{}R ；③一次函数y ＝x ＋2和y ＝－2x ＋8的图像象交点组的集合为{x ＝2，y ＝4}，正确的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】由3x x =，得(1)(1)0x x x -+=，解得x ＝0或x ＝1或x ＝－1，又因为1N -Ï，故集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{0，1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R ”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x |x 为实数}或R ，故②不正确．联立228y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，∴一次函数与y ＝－2x ＋8的图像交点为（2，4），∴所求集合为{(,)|2x y x =且}4y =，故③不正确．故选：D.5．（多选）下列说法中，正确的是（）A ．若a ∈Z ，则a -∈ZB ．R 中最小的元素是0CD ．一个集合中不可以有两个相同的元素【答案】AD【解析】若a ∈Z ，则－a 也是整数，即a -∈Z ，故A 正确；因为实数集中没有最小的元素，所以B 错误；因为”不具有确定性，所以不能构成集合，故C 错误；同一集合中的元素是互不相同的，故D 正确.故选：AD.6．由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).①不超过10的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.【答案】①④【解析】①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定的，不能组成集合.故答案为：①④7．已知集合A 中含有两个元素3a -和21a -．（1）若2-是集合A 中的元素，试求实数a 的值；（2）5-能否为集合A 中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．【答案】（1）1或12-；（2）不能，理由见解析【解析】（1）因为2-是集合A 中的元素，所以23a -=-或221a -=-．若23a -=-，则1a =，此时集合A 含有两个元素2-，1，符合要求；若221a -=-，则12a =-，此时集合A 中含有两个元素72-，2-，符合要求．综上所述，满足题意的实数a 的值为1或12-．（2）不能．理由如下：若5-为集合A 中的元素，则35a -=-或215a -=-．当35a -=-时，解得2a =-，此时212215()a ---=⨯=-，显然不满足集合中元素的互异性；当215a -=-时，解得2a =-，此时35a -=-显然不满足集合中元素的互异性．综上，5-不能为集合A 中的元素．8．用另一种方法表示下列集合:（1）{}31135--，，，，;（2）{}2221234 ，，，;（3）已知{}23M =，，(){}|P x y x M y M =∈∈，，，写出集合P ;（4）集合{}Z 22|A x x =∈-≤≤，{}21|B x x A =-∈，写出集合B .【答案】（1）{|21Z x x k k =-∈，，且}13k -≤≤；（2）{}2|Nx x n n *=∈，（3）()()()(){}22332332P =，，，，，，，；（4）{}301B =-，，【解析】（1）因为31135--，，，，均为奇数，所以利用描述法表示为{|21Z x x k k =-∈，，且}13k -≤≤.（2）因为31135--，，，，均平方形式，所以利用描述法表示为{}2|N x x n n *=∈，.（3）因为{}23M =，，(){}|P x y x M y M =∈∈，，，所以利用列举法表示出()()()(){}22332332P =，，，，，，，.（4）因为集合{}Z 22|A x x =∈-≤≤，{}21|B x x A =-∈，所以{}301B =-，，.。

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专题一、集合1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉. (3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图． 2．集合间的基本关系A B 或B A1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系． 3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[试一试]1．(2013·南通二模)设全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x －2x ＋1<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x sin x ≥32，则A ∩B ＝________.解析：由题意知A ＝(－1,2)，B ＝⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3，k ∈Z ，则A ∩B ＝⎣⎡⎭⎫π3，2. 答案：⎣⎡⎭⎫π3，22．已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为________．解析：由题意知m ＋2＝5或m 2＋4＝5.解得m ＝3或m ＝±1.经检验m ＝3，或m ＝1符合题意．答案：1或33．已知集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B ＝________. 答案：∅1．判断集合关系的方法有三种 (1)一一列举观察；(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图． 2．解决集合的综合运算的方法解决集合的综合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解．3．数形结合思想数轴和Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn 图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．[练一练]1．(2014·南京学情调研)已知集合A ＝{x |x 2<3x ＋4，x ∈R }，则A ∩Z 中元素的个数为________．解析：由x 2<3x ＋4得－1<x <4，所以A ＝{x |－1<x <4}，故A ∩Z ＝{0,1,2,3}．答案：42．(2013·南通期末)已知A ，B 均为集合U ＝{2,4,6,8,10}的子集，且A ∩B ＝{4}，(∁U B )∩A ＝{10}，则A ＝________.解析：因为(∁U B )∪B ＝U ，故A ＝A ∩(B ∪∁U B )＝(A ∩B )∪(A ∩∁U B )＝{4,10}．答案：{4,10}共有________个子集．解析：由题意知，所给集合的子集个数为23＝8. 答案：82．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 013＝________. 解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.答案：－1或03．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－32[备课札记] [类题通法]1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性.A ＝{x |x 2－2x ≤0，x ∈R }，B ＝{x |x ≥a }，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.[解析] (1)由A ∪B ＝B 可知A ⊆B .又A ＝[0,2]，所以实数a 的取值范围是(－∞，0]． (2)由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.[答案] (1)(－∞，0] (2)4[备课札记] [类题通法]1．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．2．当题目中有条件B ⊆A 时，不要忽略B ＝∅的情况． [针对训练]1．(2014·苏锡常镇一模)已知集合A ＝{x |x 2－x ≤0，x ∈R }，设函数f (x )＝2－x ＋a (x ∈A )的值域为B ，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝[0,1]，B ＝{f (x )|f (x )＝2－x＋a ，x ∈A }＝⎣⎡⎦⎤12＋a ，1＋a .又因为B ⊆A ，即⎣⎡⎦⎤12＋a ，1＋a ⊆[0,1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12≥0，a ＋1≤1，解得－12≤a ≤0.答案：⎣⎡⎦⎤－12，0 2．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .则实数m 的取值范围为________．解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1. 答案：[－1，＋∞)[典例] (1)(2013·南京三模)如图，已知集合A ＝{2,3,4,5,6,8}，B ＝{1,3,4,5,7}，C ＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．(2)(2014·无锡期末)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎝⎛⎭⎫12x >14，B ＝{x |log 2(x －1)<2}，则A ∩B ＝________.[解析] (1)A ∩C ＝{2,4,5,8}，又4,5在集合B 中，2,8不在集合B 中，故阴影部分表示的集合为{2,8}．(2)由⎝⎛⎭⎫12x >14得⎝⎛⎭⎫12x >⎝⎛⎭⎫122，解得x <2，即A ＝(－∞，2)．又由log 2(x －1)<2，得0<x －1<4，解得1<x <5，即B ＝(1,5)，从而A ∩B ＝(1,2)．[答案] (1){2,8} (2)(1,2)[备课札记] [类题通法]集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． [针对训练]设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是________．解析：A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅.∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴m ＝1或2. 答案：1或2以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有：(1)创新集合新定义； (2)创新集合新运算； (3)创新集合新性质. 角度一创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有________个．解析：具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.答案：3角度二创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．2.如图所示的V enn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A B 为________．解析：因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}．答案：[0,1]∪(2，＋∞) 角度三创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．3．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b时，b ＋c ＋d 等于________．解析：∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1. 答案：－1[备课札记] [类题通法]解决新定义问题应注意的问题(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质； (2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决； (3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决．[课堂练通考点]1．(2013·苏北四市二模)已知集合A ＝{0,2，a 2}，B ＝{1，a }，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________．解析：由题意得a 2＝a ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，a 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，a 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝4，解得a ＝2. 答案：22．(2013·新课标全国卷Ⅰ改编)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝________.解析：n ＝1,2,3,4时，x ＝1,4,9,16，∴集合B ＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．答案：{1,4}3．设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是________．解析：根据已知，满足条件的集合B 为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．答案：44.(创新题)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0∈S ； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①对，当a ，b 为整数时，对任意x ，y ∈S ，x ＋y ，x －y ，xy 的实部与虚部均为整数；②对，当x ＝y 时，0∈S ；③错，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S ＝{0}⊆T ，T ＝{0,1}，显然T 不是封闭集．因此，真命题为①②.答案：①②5.(创新题)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是________．解析：当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素．答案：36．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则(∁U A )∩B ＝________. 解析：解不等式x 2－2x >0，即x (x －2)>0，得x <0或x >2，故A ＝{x |x <0或x >2}；集合B 是函数y ＝lg(x －1)的定义域，由x －1>0，解得x >1，所以B ＝{x |x >1}．如图所示，在数轴上分别表示出集合A ，B ，则∁U A ＝{x |0≤x ≤2}，所以(∁U A )∩B ＝{x |0≤x ≤2}∩{x |x >1}＝{x |1<x ≤2}．答案：(1,2][课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·苏州暑假调查)已知集合U ＝{0,1,2,3,4}，M ＝{0,4}，N ＝{2，4}，则∁U (M ∪N )＝________.解析：由题意得M ∪N ＝{0,2,4}，所以∁U (M ∪N )＝{1,3}．答案：{1,3}2．设全集U ＝{x ∈N *|x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于________．解析：由题意易得U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}．答案：{2,4}3．(2013·新课标卷Ⅰ改编)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则A ∪B ________.解析：选B 集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R .答案：R4．(2013·南通一模)集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝e x ，x ∈A }，则A ∩B ＝________.解析：∵B 中x ∈A ，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e ，1，e ，∴A ∩B ＝{1}．答案：{1}5．(2014·无锡期末)已知集合A ＝{－1,2,2m －1}，B ＝{2，m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析：因为B ⊆A ，且m 2≠－1，所以m 2＝2m －1，即m ＝1. 答案：16．已知M ＝{a ||a |≥2}，A ＝{a |(a －2)(a 2－3)＝0，a ∈M }，则集合A 的子集共有________个．解析：|a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)·(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个．答案：27．(2014·江西七校联考)若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为________．解析：依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]．答案：(6,9]8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝________.解析：由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}；由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．答案：(0,1]9．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________.解析：因为A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意； n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1； n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1； n ≤－2时，x ∉Z . 故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}．答案：{0}10．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1. 答案：(－∞，1]11．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：0,1，－1212．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，11 {3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7第Ⅱ组：重点选做题1．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，f (－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎨⎧ a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43. 故实数a 的取值范围为3443⎛⎤ ⎥⎝⎦， 2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(x ＋2)>－3x 2≤2x ＋15，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：(1)解不等式log 12(x ＋2)>－3得：－2<x <6.① 解不等式x 2≤2x ＋15得：－3≤x ≤5.② 由①②求交集得－2<x ≤5，即集合A ＝(－2,5]．(2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，解得m <2；当B ≠∅时，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>－2，2m －1≤5解得2≤m ≤3，故实数m 的取值范围为(－∞，3]．。