高中数学北师大版必修5同步精练31不等关系含答案
必修5不等关系(含答案)
不等式考纲链接1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4．基本不等式：ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题不等关系与不等式[考点梳理]1．两个实数大小的比较(1)a＞b⇔a－b________；(2)a＝b⇔a－b________；(3)a＜b⇔a－b________.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔__________；(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d；(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒ac＞bd；※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒1a＜1b；(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．自查自纠：1．＞0＝0＜02．(1)b<a(2)a>c(3)>(4)ac>bc ac<bc(5)a＋c>b＋d(7)ac>bd(10)a n>b n(n∈N且n≥2)(11)n a >n b (n ∈N 且n ≥2) [基础自测])已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3 解：根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．故选D.已知a ＞0，b ＞0，则a a b b 与a b b a 的大小关系为( )A ．a a b b ≥a b b aB ．a a b b ＜a b b aC ．a a b b ≤a b b aD ．与a ，b 的大小有关解：不妨设a ≥b ＞0，则a b ≥1，a －b ≥0.a a b b a b b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ≥1，即a a b b ≥a b b a .同理当b ＞a ＞0时，亦有a a b b ≥a b b a .故选A.已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a b.解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2－b 2＝28－14－83＝14－83＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫74－3＞0，从而a ＞b.故填＞.若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d－c )＞b (d －c )中成立的是________(填序号)．解：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd ＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确．故填②③④.[典例解析]类型一 建立不等关系设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1得1≤t <2，由[t 2]＝2得2≤t 2<3，由[t 4]＝4得4≤t 4<5，所以2≤t 2<5，由[t 3]＝3得3≤t 3<4，所以6≤t 5<45，由[t 5]＝5得5≤t 5<6，与6≤t 5<45矛盾，故正整数n 的最大值是4.故选B.小结：解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．本例[x ]表示不超过x 的最大整数，故由[x ]＝k ，可得k ≤x <k ＋1，再由多个不等式结合不等式的性质找到正整数n 的最大值．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k (k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计) 解：假设钉长为1，第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是47；第二次受击后，该次铁钉进入木板部分的长度为47k ，此时进入木板部分的铁钉的总长度为47＋47k ，有47＋47k＜1；第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为47k 2，此时应有47＋47k ＋47k 2，有47＋47k ＋47k2≥1. 所以可从中提炼出一个不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k ＜1，47＋47k ＋47k 2≥1.类型二 不等式的性质已知下列三个不等式①ab ＞0；②c a ＞d b ；③bc >ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？解：(1)对②变形c a ＞d b ⇔bc －ad ab ＞0，由ab ＞0，bc ＞ad 得②成立，∴①③⇒②.(2)若ab ＞0，bc －ad ab ＞0，则bc ＞ad ，∴①②⇒③.(3)若bc ＞ad ，bc －ad ab ＞0，则ab ＞0，∴②③⇒①.综上所述可组成3个正确命题．小结：运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac 与bc 的大小关系应注意从c ＞0，c ＝0，c ＜0三个方面讨论．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解：由c ＜d ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得－a d ＞－b c ＞0，所以a d ＜b c .故选D.类型三 不等式性质的应用(1)若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是________． 解：由1＜α＜3得12＜α2＜32，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以α2－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112. 小结：①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12＜α2＜32和－4＜β＜2两式相减来得到α2－β的范围．②此类题目用线性规划也可解． (2)已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是________．解：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.∴－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1. ∴－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132. 小结：由于a ＋b ，a －b 的范围已知，所以要求2a ＋3b 的取值范围，只需将2a ＋3b 用已知量a ＋b ，a －b 表示出来，可设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，用待定系数法求出x ，y ，再利用同向不等式的可加性求解． (1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________． 解：∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，－π2＜－β＜π2，而α＜β，∴－π＜α－β＜0，∴2α－β＝(α－β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.(2)设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围为________．解法一：由已知⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4.①②，f (－2)＝4a －2b. 设4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )(m ，n 为待定系数)，即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.由①×3＋②×1得5≤4a －2b ≤10，即5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝f （－1），a ＋b ＝f （1）得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （1）＋f （－1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)，后面同解法一．故填[5，10]．类型四 比较大小实数b ＞a ＞0，实数m ＞0，比较a ＋mb ＋m 与a b 的大小，则a ＋m b ＋m________a b . 解法一：(作差比较)：a ＋mb ＋m －a b ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）b （b ＋m ）＝m （b －a ）b （b ＋m ）， ∵b ＞a ＞0，m ＞0，∴m （b －a ）b （b ＋m ）＞0，∴a ＋m b ＋m ＞a b. 解法二(作商比较)：∵b ＞a ＞0，m ＞0，∴bm ＞am ⇒ab ＋bm ＞ab ＋am ＞0，∴ab ＋bm ab ＋am ＞1，即a ＋m b ＋m ·b a ＞1⇒a ＋m b ＋m＞a b .故填＞.小结：本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质．作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋b n 的大小，则a n＋b n ________c n .解：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a n ，b n ，c n >0，而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0<a c <1，0<b c <1.当n ∈N ，n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，∴a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <a 2＋b 2c2＝1，∴a n ＋b n <c n .故填＜.[归纳小结]1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．[课后作业]1．．已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1的正负情况为 ( )A ．恒为正B ．恒为负C ．与n 的奇偶性有关D ．与a ，b 的大小有关解：a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1＝a n (b －a )＋b n (a －b )＝－(a －b )(a n －b n )，因为(a －b )与(a n －b n )同号，所以a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1<0恒成立．故选B.2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋c ≥b －cB ．(a －b )c 2≥0C ．ac >bc D.c 2a －b>0 解：A 项：当c <0时，不等式a ＋c <b －c 可能成立；B 项：a >b ⇒a －b >0，c 2≥0，故(a －b )c 2≥0；C 项：当c ＝0时，ac ＝bc ；D 项：当c ＝0时，c 2a －b＝0.故选B. 3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，于是0＜c －6≤3，即6＜c ≤9.故选C.4．如果0＜m ＜b ＜a ，则( )A ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －mB ．cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋mC ．cos b －m a －m ＜cos b a ＜cos b ＋m a ＋mD ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b －m a －m＜cos b a 解：作商比较：b ＋m a ＋m ÷b a ＝ab ＋am ab ＋bm ＞1，所以1＞b ＋m a ＋m ＞b a ＞0，同理，0＜b －m a －m ＜b a ＜1，∴1＞b ＋m a ＋m＞b a ＞b －m a －m ＞0.而y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －m(也可取特殊值判断)．故选A.5．设a ＝lg e ，b ＝(lg e )2，c ＝lg e ，则a ，b ，c 的大小关系为________．解：∵e ＜10，∴lg e ＜lg 10＝12，∴(lg e )2＜12·lg e ＝lg e ，即b ＜c.又∵e ＜e ，∴lg e ＜lg e ，即c ＜a.故填b ＜c ＜a.6．定义a *b ＝⎩⎨⎧a ，a ＜b ，b ，a ≥b.已知a ＝30.3，b ＝0.33，c ＝log 30.3，则(a *b )*c ＝________．(结果用a ，b ，c 表示)解：∵log 30.3<0<0.33<1<30.3，∴c <b <a ，∴(a *b )*c ＝b *c ＝c.故填c.7．设实数a ，b ，c 满足：①b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，②c －b ＝4－4a ＋a 2.试确定a ，b ，c 的大小关系．解：∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，又2b ＝2＋2a 2，∴b ＝1＋a 2，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴b ＞a ，从而c ≥b ＞a. 8．某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．则y ＝1 000＋30x 800＋ax(a ∈N *，1≤x ≤10)． 假设会超过1.5万元，则当a ＝10时有1 000＋30x800＋10x ＞1.5，解得x ＞403＞10. 所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1.5万元．(2)设1≤x 1＜x 2≤10，y ＝f (x )＝1 000＋30x800＋ax ，则f (x 2)－f (x 1)＝1 000＋30x 2800＋ax 2－1 000＋30x 1800＋ax 1＝（30×800－1 000a ）（x 2－x 1）（800＋ax 2）（800＋ax 1）＞0， 所以30×800－1 000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，求c a 的取值范围．解：∵a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，∴a >－(a ＋c )>c ，且3a ＞a ＋b ＋c ＝0＞3c ，则a >0，c <0，∴1>－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞c a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a ＜－1，c a ＞－2，解得－2＜c a ＜－12. 故c a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12. 设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ；②a c <b c ；③log b ()a －c >log a ()b －c .其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解：①∵a >b >1，∴0<1a <1b <1，又c <0，∴c a >c b ，①正确；②由于a >b >1，可设f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当x ＝c ＜0时，根据指数函数的性质，得a c <b c ，②正确；③∵a ＞b ＞1，c ＜0，即a －c ＞b －c ＞1，∴log a (a －c )＞log a (b －c )，又由对数函数的性质知log b (a －c )＞log a (a －c )，∴log b (a －c )＞log a (b －c )，③正确．故选D.。
高中数学 3.1 不等关系练习 北师大版必修5
第三章 §1一、选择题1．(2014·四川理，4)若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A ．a c >b dB ．a c <b dC ．a d >b cD ．a d <b c[答案] D[解析] 本题考查不等式的性质，a c －b d ＝ad －bc cd ，cd>0，而ad －bc 的符号不能确定，所以选项A 、B 不一定成立.a d －b c ＝ac －bd dc ，dc>0，由不等式的性质可知ac<bd ，所以选项D 成立．2．如果a ∈R ，且a2＋a<0，那么a ，a2，－a ，－a2的大小关系为( )A ．a2>a>－a2>－aB ．－a>a2>－a2>aC ．－a>a2>a>－a2D ．a2>－a>a>－a2[答案] B[解析] 因为a2＋a<0，所以a2<－a ，a<－a2，又由于a≠0，∴－a2<a2，即a<－a2<a2<－A ．故选B ．3．设a ，b ∈R ，若a －|b|>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a>0B ．a3＋b3<0C ．a2－b2<0D ．b ＋a>0[答案] D[解析] 利用赋值法：令a ＝1，b ＝0排除A ，B ，C ，选D ．4．若a>b>c ，a ＋2b ＋3c ＝0，则( )A ．ab>acB ．ac>bcC ．ab>bcD ．a|b|>c|b|[答案] A[解析] ∵a>b>c 且a ＋2b ＋3c ＝0，∴a>0，c<0.又∵b>c 且a>0，∴ab>aC ．选A ．5．若－1<α<β<1，则下面各式中恒成立的是( )A ．－2<α－β<0B ．－2<α－β<－1C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1[答案] A[解析] 由题意得－1<α<1，－1<－β<1，α－β<0，故－2<α－β<2且α－β<0，故－2<α－β<0，因此选A ．6．如果a ＞0，且a≠1，M ＝loga(a3＋1)，N ＝loga(a2＋1)，那么( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．M 、N 的大小无法确定[答案] A[解析] 当a ＞1时a3＋1＞a2＋1，y ＝logax 单增，∴loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．当0＜a ＜1时a3＋1＜a2＋1，y ＝logax 单减．∴loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)，或对a 取值检验．选A ．二、填空题7．如果a>b ，那么下列不等式：①a3>b3；②1a <1b ；③3a>3b ；④lga>lgB ．其中恒成立的是________．[答案] ①③[解析] ①a3－b3＝(a －b)(a2＋b2＋ab)＝(a －b)[(a ＋b 2)2＋34b2]>0；③∵y ＝3x 是增函数，a>b ，∴3a>3b当a>0，b<0时，②④不成立．8．设m ＝2a2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，则m 、n 的大小关系是________．[答案] m≥n[解析] m －n ＝2a2＋2a ＋1－(a ＋1)2＝a2≥0.三、解答题9．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：不等关系的不等式．[解析] 设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则⎩⎪⎨⎪⎧ 300x ＋150y≥2 000250 x ＋100 y≥1 500x≥0y≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋3y≥405x ＋2y≥30x≥0y≥0.10．(1)已知a>b ，e>f ，c>0.求证：f －ac<e －bC ．(2)若bc －ad≥0，bd>0.求证：a ＋b b ≤c ＋d d .[证明] (1)∵a>b ，c>0，∴ac>bc ，∴－ac<－bc ，∵f<e ，∴f －ac<e －bC ．(2)∵bc －ad≥0，∴ad≤bc ，又∵bd>0，∴a b ≤c d ，∴a b ＋1≤c d ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d .一、选择题1．下列不等式：①x2＋3>2x(x ∈R)；②a3＋b3≥a2b ＋ab2(a ，b ∈R)；③a2＋b2≥2(a －b －1)中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 对于①，x2＋3－2x ＝(x －1)2＋2>0恒成立，对于②，a3＋b3－a2b －ab2＝a2(a －b)＋b2(b －a)＝(a －b)(a2－b2)＝(a －b)2(a ＋b)，∵a 、b ∈R ，∴(a －b)2≥0，而a ＋b>0，或a ＋b ＝0，或a ＋b<0，故②不正确，对于③，a2＋b2－2a ＋2b ＋2＝a2－2a ＋1＋b2＋2b ＋1＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴③正确，故选C ．2．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：( ) ①若ab ＜0，bc －ad ＞0，则c a －d b ＞0；②若ab ＞0，c a －d b ＞0，则bc －ad ＞0； ③若bc －ad ＞0，c a －d b ＞0，则ab ＞0.其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] ①∵ab ＜0，∴1ab ＜0，又∵bc －ab ＞0， ∴1ab ·(bc －ad)＜0即c a －d b ＜0，∴①错；②∵ab ＞0，c a －d b ＞0，∴ab(c a －d b )＞0，即：bc －ab ＞0，∴②正确；③∵c a －d b ＞0，∴bc －ad ab ＞0，又∵bc －ad ＞0，∴ab ＞0，∴③正确．选C ．3．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( )A ．lg(x2＋1)≥lg2xB ．x2＋1>2xC ．1x2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥2[答案] C[解析] A 中x>0；B 中x ＝1时，x2＋1＝2x ；C 中任意x ，x2＋1≥1，故1x2＋1≤1；D 中当x<0时，x ＋1x ≤0.4．若a>b ，c>d ，则下列不等式中成立的一个是( )A ．a ＋d>b ＋cB ．ac>bdC ．a c >b dD ．d －a<c －b [答案] D[解析] ∵a>b ⇒－a<－bc>d ⇒d<c ⇒d －a<c －B ．∴选D ．二、填空题5．若1<a<3，－4<b<2，则a －|b|的取值范围是________．[答案] (－3,3)[解析] ∵0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又1<a<3，∴－3<a －|b|<3.6．已知1≤a ＋b≤4，－1≤a －b≤2，则4a －2b 的取值范围是________．[答案] [－2,10][解析] 令4a －2b ＝x(a ＋b)＋y(a －b)，∴4a －2b ＝(x ＋y)a ＋(x －y)B ．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤a ＋b≤4，－3≤3a －b ≤6.∴－2≤4a －2b≤10.三、解答题7．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数．(2)车队每天至少要运360 t 矿石．(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≤910×6x ＋6×8y≥3600≤x≤40≤y≤7，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≤95x ＋4y≥300≤x≤40≤y≤7.8．已知0<a ＋b<π2，－π2<a －b<π3，求2a 和3a －b 3的取值范围． [解析] ∵⎩⎨⎧ 0<a ＋b<π2－π2<a －b<π3，两式相加得－π2<2a<5π6.设3a －b3＝m(a ＋b)＋n(a －b)＝a(m ＋n)＋b(m －n)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3m －n ＝－13，解得m ＝43，n ＝53.∴3a －b 3＝43(a ＋b)＋53(a －b)． ∴⎩⎨⎧0<43a ＋b <2π3－5π6<53a －b <5π9， 两式相加，得－5π6<3a －b 3<11π9.故2a ∈(－π2，5π6)，3a －b 3∈(－5π6，11π9)．。
高中数学必修5(北师版)第三章不等式3.3 基本不等式(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
1 1 时，f (x) 取得最大值 ． 6 12
设 a, b, c ∈ R，求证：a2 + b 2 + c 2 ⩾ ab + bc + ca ． 证明：因为 a2 + b 2 ⩾ 2ab ，b 2 + c 2 ⩾ 2bc，c 2 + a2 ⩾ 2ca ，所以
某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、汽油费约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？ 解：设使用 x 年时，年平均费用 y 最少． 由于“年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元”，可知汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项，0.2 万元为公差的等差数列． 因此汽车使用 x 年的总维修费用为
(a2 + b 2 ) + (b 2 + c 2 ) + (c 2 + a2 ) ⩾ 2ab + 2bc + 2ca,
2
+
2
+
2
⩾
+
+
当且仅当 a = b = c 时，等号成立，所以 a2 + b 2 + c 2 ⩾ ab + bc + ca ．
3.均值不等式的实际应用 描述： 利用基本不等式解决实际问题的一般步骤： ①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大值或最小值； ④正确写出答案． 例题： 建造一个容积为 8 m 3 ，深为 2 m 的长方形无盖水池，如果池底的造价是每平方米 120 元， 池壁的造价是每平方米 80 元，求这个水池的最低造价． 解：设水池的造价为 y 元，池底的长为 x m ，则宽为
北师大版数学高二必修5练习3.1不等关系
学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人满足的关系式是( )A ．5x ＋4y ＜200B ．5x ＋4y ≥200C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤200【解析】 由题意x ，y 满足的不等式关系为500x ＋400y ≤20 000，即5x ＋4y ≤200.【答案】 D2．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b【解析】 c ＝0时，ac 2＝bc 2，∴A 错；a ＜b ＜0⇒1a ＞1b ，∴C 错；∵a ＜b ＜0，∴a b ＞1,0＜ba ＜1，∴D 错．【答案】 B3．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＞B 或A ＜BD ．A ＞B【解析】 A －B ＝a 2＋3ab －4ab ＋b 2＝a 2＋b 2－ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，∴A ≥B . 【答案】 B4．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若ca＋b＜ab＋c＜bc＋a，则()【导学号：47172097】A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解析】∵a，b，c∈(0，＋∞)且ca＋b＜ab＋c＜bc＋a，∴ca＋b＋1＜ab＋c＋1＜bc＋a ＋1，即a＋b＋ca＋b＜a＋b＋cb＋c＜a＋b＋ca＋c，∴a＋b＞b＋c＞a＋c.由a＋b＞b＋c，∴a＞c，由b＋c＞a＋c，∴b＞a，∴b＞a＞c，故选A. 【答案】 A5．若1a＜1b＜0，则不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④ba＋ab＞2中，正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由1a＜1b＜0，得ab＞0，b＜a＜0.故a＋b＜0＜ab，|b|＞|a|，因此①正确，②错误，③错误．又ab＋ba－2＝(a－b)2ab＞0，因此④正确．【答案】 B二、填空题6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)________g(x)．(用“＜”，“＞”，“＝”填空)【解析】f(x)－g(x)＝3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，∴f(x)＞g(x)．【答案】＞7．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是________.【导学号：47172098】【解析】 由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0， ∴－π6＜2α－β3＜π. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π8．若a ＜b ＜0，则1a －b与1a 的大小关系是________． 【解析】 1a －b －1a ＝a －(a －b )(a －b )a ＝b(a －b )a ，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，则b (a －b )a＜0，∴1a －b ＜1a . 【答案】1a －b＜1a 三、解答题9．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数．【解】 设宿舍x 间，则学生(4x ＋19)人，依题意， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋19＜6x ，4x ＋19＞6(x －1)，解得192＜x ＜252. ∵x ∈N ＋，∴x ＝10,11或12，学生人数为：59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人． 10．已知a 、b 、x 、y 都为正数，且1a ＞1b ，x ＞y ，求证：x x ＋a ＞y y ＋b【证明】xx ＋a －yy ＋b ＝x (y ＋b )－y (x ＋a )(x ＋a )(y ＋b )＝ bx －ay (x ＋a )(y ＋b ).∵1a ＞1b ＞0，x ＞y ＞0，∴b ＞a ＞0，x ＞y ＞0， ∴bx ＞ay ，即bx －ay ＞0. 又x ＋a ＞0，y ＋b ＞0，∴bx －ay(x ＋a )(y ＋b )＞0，即x x ＋a ＞yy ＋b. [能力提升]1．下列命题中，一定正确的是( ) A ．若a ＞b ，且1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0 B ．若a ＞b ，b ≠0，则ab ＞1C ．若a ＞b ，且a ＋c ＞b ＋d ，则c ＞dD ．若a ＞b ，且ac ＞bd ，则c ＞d【解析】 A 项，若a ＞b ，当a ＞b ＞0时，1a ＜1b ； 当0＞a ＞b 时，1a ＜1b ；当a ＞0＞b 时，1a ＞1b .所以，若a ＞b 且1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0，故A 项正确； B 项，若a ＞b ，b ≠0，当0＞a ＞b 时，ab ＜1，故B 错；C 项，若a ＞b ，且a ＋c ＞b ＋d ，所以a －b ＞d －c ，当a －b ＞d －c 时，d ＞c ，故C 错；D 项，若a ＞b ，且ac ＞bd ，则c ＝d 或c ＞d 或c ＜d ，故D 错．故选A. 【答案】 A2．若0＜a ＜1，c ＞1，则ac ＋1与a ＋c 的大小关系为( ) A ．ac ＋1＜a ＋c B ．ac ＋1＞a ＋c C ．ac ＋1＝a ＋cD ．不能确定【解析】 (ac ＋1)－(a ＋c )＝ac －a ＋1－c ＝a (c －1)－(c －1)＝(a －1)(c －1)，∵0＜a ＜1，c ＞1，∴a －1＜0，c －1＞0，∴(a －1)(c －1)＜0，即ac ＋1＜a ＋c . 【答案】 A3．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N ＋)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组为________．【解析】 依题意得，第二次钉子没有全部进入木板，第三 次全部进入木板，所以⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k ＜1，47＋47k ＋47k 2≥1(k ∈N ＋)．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k ＜147＋47k ＋47k 2≥14．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”，这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.【导学号：47172099】【解】 设该单位职工有n 人(n ∈N ＋)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋34x(n－1)＝14x＋34xn，y2＝45nx.∵y1－y2＝14x＋34xn－45nx＝14x－120nx＝14x⎝⎛⎭⎪⎫1－n5，∴当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.因此，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．。
(北师大版)必修五名师精品：3.1.1《不等关系》教案(含答案)
教学设计1．1 不等关系整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，学生将通过现实生活中的实例，了解我们周围存在的形形色色的不等关系，进而更深层次地从理性角度建立不等观念．通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．三维目标1．会用不等符号表示实际问题中的不等关系，能列出问题中的不等式或不等式组．2．通过本节学习，让学生感受到不等关系是客观存在的广泛的数量关系．3．通过对富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．教学难点：用不等式或不等式组准确地表示出不等关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(插图导入)教材章头插图安排一幅芭蕾舞的优美画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．推进新课新知探究提出问题①回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？]②在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？③阅读课本内容，同学之间交流对不等关系的认识.活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论．使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式(组)产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A，B，若点A在点B的左边，则x A＜x B.教师协助画出数轴草图如图1.图1实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．实例4：2003年10月15日9时，我国“神舟”五号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，实现了中华民族千年的飞天梦想．这是自1970年4月24日成功发射“东方红一号”人造卫星以来，我国航天史上又一座新的里程碑，我国已成为继俄、美之后，世界上第三个掌握载人航天技术、成功发射载人飞船的国家．“东方红一号”与“神舟”五号部分参数的对比见下表．“东方红一号”与“神舟”五号部分参数对比表我们不难发现，“神舟”五号飞船比“东方红一号”卫星在很多方面都有了较大的发展．实例5：《铁路旅行常识》规定：“一、随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客每人免费携带品的体积和重量是每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不得超过20千克……”设儿童身高为h(m)，物品外部尺寸长、宽、高之和为p(cm)，请在下表空格内填上对应的数学符号(＜，≤，＞，≥)，并与同学交流．状况直方图．图2请根据图中提供的信息，依河流水质的状况，将各省市(区)污染程度按从小到大的顺序(＜，≤)进行排列．对以上问题，教师让学生轮流回答，问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识．从上面的一些例子，我们可以感受到，不等关系反映在日常生活的方方面面．在数学意义上，不等关系可以体现：常量与常量之间的不等关系．例如，“神舟”五号的质量大于“东方红一号”的质量． 变量与常量之间的不等关系．例如，儿童身高h m 小于或等于1.4 m. 函数与函数之间的不等关系．例如，当x ＞a 时，销售收入f (x )大于销售成本g (x )．(见后面应用示例思路2的例1)一组变量之间的不等关系．例如，购置软件的费用60x 与购置磁盘的费用70y 之和不超过500元．讨论结果：①～③略．应用示例思路1 例1 设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面上的任意一点，则d ≤|AB |.用图表示此不等关系．图3活动：教师可让学生合作探究，对有困难的学生及时给予点拨指导． 解：如图3，过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d ＝|AC |≤|AB |.点评：这种用数形结合的思想解决问题的方法是我们非常熟悉的．例2 某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志的定价为x 元，则销售量就减少x －2.50.1×0.2万本．销售量变为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2万本，则总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.点评：由于观察视角的不同，上述表示不是唯一的，若设杂志的单价提高了0.1n 元(n ∈N ＋)，那么销售量减少了0.2n 万本，单价为(2.5＋0.1n )元，则可得销售的总收入为不低于20万元的不等式为(2.5＋0.1n )(8－0.2n )≥20.显然这两种表示都是正确的，由此让学生体验不同的切入，会得到不同的不等式模型，并让学生对以上两种表示作出比较．3某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．写出满足上述所有不等关系的不等式．分析：根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？由题意，显然截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．截得的两种钢管数量都不能为负．上述三个不等关系必须同时满足，即用“且”而非“或”．同时，由于实际问题的限制，还应有x ，y ∈N ＋.解：假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意可列如下不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧ 500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ＋.点评：通过以上探究，使学生初步明确了如何用不等式或不等式组把实际问题中的不等关系表示出来，提醒学生要注意挖掘问题中所隐含的不等量关系及使实际问题有意义，考虑问题要周全，思维要严密．思路2例1 如图4，函数y ＝f (x )反映了某公司产品的销售收入y 万元与销售量x t 的函数关系，y ＝g (x )反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系，试问：图4(1)当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)?(2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)?解：(1)当销售量大于a t ，即x ＞a 时，公司赢利，即f (x )＞g (x )；(2)当销售量小于a t ，即0≤x ＜a 时，公司亏损，即f (x )＜g (x )． 点评：此题为函数与函数之间的不等关系．例2 某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？活动：这是1999年全国高考的一道选择题的改编，其解法很多，但列出不等关系后更能一目了然地理解本题中的数量关系．解：设软件数为x ，磁盘数为y ，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ＋，y ≥2且y ∈N ＋.点评：这是一组变量之间的不等关系．例3 若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组？活动：教师引导学生充分理解题意，找出题目中的不等关系．解：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是⎩⎪⎨⎪⎧ 698x ＋518y ≤4 000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .点评：可让学生板演，老师结合学生的具体完成情况作评析，特别应注意x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N 的条件的应用．例4 某厂使用两种零件A ，B ，装配两种产品甲、乙，该厂的生产能力是月产量甲最多2 500件，月产量乙最多1 200件，而组装一件产品，甲需要4个A 、2个B ；乙需要6个A ，8个B .某个月，该厂能用的A 最多有14 000个，B 最多有12 000个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来．活动：教师引导学生充分理解题意，找出题目中的不等关系，可设甲、乙两种产品的产量分别为x 件、y 件，这样就可用x ，y 表示出不等关系．解：设甲、乙两种产品的产量分别为x 件、y 件，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2 500，0≤y ≤1 200，4x ＋6y ≤14 000，2x ＋8y ≤12 000，x ，y ∈N ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2 500，0≤y ≤1 200，2x ＋3y ≤7 000，x ＋4y ≤6 000，x ，y ∈N .点评：本例可让学生合作完成，点拨学生应特别注意对x ≥0，y ≥0，x ，y∈N 的隐含条件的挖掘． 知能训练课本本节练习1,2.课堂小结1．由学生回顾本节课中所探究的不等关系、不等式及其实际背景，整合本节课中从实际背景中建立不等式模型的方法，巩固本节所学知识与方法．2．教师进一步画龙点睛，通过本节对现实中数量关系的不等式表示，明确不等式是研究不等关系的重要数学工具，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．作业课本习题3—1 A组4,5.设计感想1．本教案设计更加关注学生的发展．通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着的大量的等量关系，并从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯．2．本教案设计注重学生的探究活动．学生在学习过程中，通过对问题的探究思考、体验认识、广泛参与，及实际问题背景的设计，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，从而提高学习质量．3．本教案设计注重了学生个性品质的发展．通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探索精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美、数学推理的严谨美，从而激发学生强烈的探究兴趣．(设计者：沈传年)。
新高中数学(北师大版,必修5)同步练习：3.1.1-3.1.2不等关系与不等式(含答案解析)
1.2 不等关系与不等式1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a____b ； 如果a －b 等于____，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a____b ，反之也成立． (2)符号表示 a －b>0⇔a____b ； a －b ＝0⇔a____b ； a －b<0⇔a____b.2．常用的不等式的基本性质 (1)a>b ⇔b____a(对称性)； (2)a>b ，b>c ⇒a____c(传递性)； (3)a>b ⇒a ＋c____b ＋c(可加性)；(4)a>b ，c>0⇒ac____bc ；a>b ，c<0⇒ac____bc ； (5)a>b ，c>d ⇒a ＋c____b ＋d ； (6)a>b>0，c>d>0⇒ac____bd ； (7)a>b>0，n ∈N ，n≥2⇒a n ____b n ； (8)a>b>0，n ∈N ，n≥2⇒na____n b.一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a>b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>bc 2＋1D ．a|c|>b|c| 2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a>a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a>a b 2D.a b >a b 2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a<b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b<ab 2 C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b 4．若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a 5．设a ，b ∈R ，若a －|b|>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a>0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0 D ．b ＋a>0 6．若a>b>c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab>ac B ．ac>bc C ．a|b|>c|b| D ．a 2>b 2>c 2 二、填空题7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a －b 的取值范围为___________________________． 8．若f(x)＝3x 2－x ＋1，g(x)＝2x 2＋x －1，则f(x)与g(x)的大小关系是________． 9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 10．设n>1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 三、解答题11．设a>b>0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b 的大小．12．设f(x)＝1＋log x 3，g(x)＝2log x 2，其中x ＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.1214．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b>0⇔a>b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b<0⇔a<b. 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定作差的结果是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．1．2 不等关系与不等式答案知识梳理1．(1)> 0 < (2)> ＝ < 2.(1)< (2)> (3)> (4)> < (5)> (6)> (7)> (8)>作业设计1．C [对A ，若a>0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a>b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a|c|＝b|c|，∴D 不成立．]2．D [取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a.]3．C [对于A ，当a<0，b<0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a<0，b>0时，a 2b>0，ab 2<0，a 2b<ab 2不成立； 对于C ，∵a<b ，1a 2b2>0，∴1ab 2<1a 2b； 对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab ＝－1.]4．C [∵1e <x<1，∴－1<ln x<0.令t ＝ln x ，则－1<t<0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t>0，∴a>b. c －a ＝t 3－t ＝t(t 2－1)＝t(t ＋1)(t －1)， 又∵－1<t<0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1， ∴c －a>0，∴c>a.∴c>a>b.]5．D [由a>|b|得－a<b<a ，∴a ＋b>0，且a －b>0.∴b －a<0，A 错，D 对．a 3＋b 3＝(a ＋b)(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b)[(a －b 2)2＋34b 2]∴a 3＋b 3>0，B 错．而a 2－b 2＝(a －b)(a ＋b)>0，∴C 错．]6．A [由a>b>c 及a ＋b ＋c ＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c ，∴ab>ac.] 7．[－1,6]解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a －b≤6. 8．f(x)>g(x)解析 ∵f(x)－g(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．9.x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x2＋x 2＝－－2＋x 2≤0，∴x 1＋x 2≤12.10．A>B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n.∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数， ∴A>B.11．解 方法一 作差法 a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b ＝＋2－b 2－－2＋b 22＋b 2＋＝－＋2－2＋b22＋b 2＋＝－＋2＋b 2∵a>b>0，∴a ＋b>0，a －b>0,2ab>0.∴－＋2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b.方法二 作商法∵a>b>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝＋2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．解 f(x)－g(x)＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f(x)＜g(x)；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f(x)＝g(x)；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f(x)＞g(x)．综上所述，当1＜x ＜43时，f(x)＜g(x)；当x ＝43时，f(x)＝g(x)；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f(x)＞g(x)．13．A [特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2.] 14．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y)2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．。
(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试(包含答案解析)
一、选择题1．已知实数x ，y 满足221x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩且2z y x =-的最小值为-6，则实数m 的值为（ ）． A ．2B ．3C ．4D ．82．设正数m ，n ，2m n u +=，222v m n mn =++，则2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．13．已知变量,x y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则目标函数=21z x y =+-的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．94．当x ，y 满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2=+t x y 最小值是（ ）A ．-4B ．-3C ．3D ．325．已知实数x ，y 满足260,{0,2,x y x y x -+≥+≥≤若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,1-B ．[]1,3-C ．[]1,2-D ．[]2,36．已知变量,x y 满足不等式组22003x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．3-B ．23-C ．1D ．27．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．1b a< C ．lg(a －b )>0D ．11()()33ab<8．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}16x x <≤D ．{}6x x ≥-9．已知正数x ，y 满足x +y ＝1，且2211x y y x +++≥m ，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．410．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭11．命题p :变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则y z x =的最小值为14，命题q :直线2x =的倾斜角为2π，下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝12．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．13二、填空题13．设,x y 满足约束条件20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z y x =-的最小值是__________．14．已知x ，y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________.15．已知M ，N 为平面区域0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，向量()1,0a =，则MN a ⋅的最大值是______.16．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 17．已知正数a ，b 满足(1)(1)1a b --=，则4a b +的最小值等于________.18．已知,x y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数z x y =-的最大值为_____.19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则3a c +的最小值为___________.20．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，则a 的取值范围是________．三、解答题21．已知函数2(1)()a x af x bx c-+=+（a ，b ，c 为常数）．（1）当1,0b c ==时，解关于x 的不等式()1f x >；（2）当0,2b c a =>=时，若()1f x <对于0x >恒成立，求实数b 的取值范围． 22．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米. 求：（1）写出x 与y 的关系式；（2）求出仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？23．近年来，某市在旅游业方面抓品牌创建，推进养生休闲度假旅游产品升级，其景区成功创建国家5A 级旅游景区填补了该片区的空白，某投资人看到该市旅游发展的大好前景后，打算在该市投资甲、乙两个旅游项目，根据市场前期调查， 甲、乙两个旅游项目五年后可能的最大盈利率分别为01000和0080，可能的最大亏损率分别为0040和0020，投资人计划投资金额不超过5000万，要求确保亏损不四超过1200万，问投资人对两个项目各投资多少万元，才能使五年后可能的盈利最大？ 24．已知函数2()3f x x x m =++. （1）当m =-4时，解不等式()0f x ≤； （2）若m >0，()0f x ＜的解集为(b ，a )，求14a b+的最大値. 25．在观察物体时，从物体上、下沿引出的光线在人眼处所成的夹角叫视角．研究表明，视角在[26,30]︒︒范围内视觉效果最佳．某大广场竖立的大屏幕，屏幕高为20米，屏幕底部距离地面11.5米．站在大屏幕正前方，距离屏幕所在平面x 米处的某人，眼睛位置距离地面高度为1.5米，观察屏幕的视角为θ（情景示意图如图所示）．（1）为探究视觉效果，请从sin θ，cos θ，tan θ中选择一个作为y ，并求()y f x =的表达式；（2）根据（1）的选择探究θ是否有达到最佳视角效果的可能． 26．已知a R ∈，若关于x 的不等式2(1)460a x x 的解集是(3,1)-．(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式230ax bx ++≥在[0,2]上恒成立，求实数b 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】作出不等式组221x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩对应的区域，利用数形结合平移直线即可得到结论 .【详解】由题意可作图：当2z y x =-经过点P 时，z 取最小值6，此时P 符合：2x my x =⎧⎨=-⎩，即(,2)P m m -代入2z y x =-得：m -2-2m =-6,解得m =4 故选：C 【点睛】简单线性规划问题的解题步骤： (1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值； (3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值； (4)下结论．2．B解析：B 【分析】 化简22211()44u mn vm n mn=+⨯++，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，正数m ，n ，2m nu +=，222v m n mn =++， 则2222222222()12112()444m n u m n mn mn v m n mn m n mn m n mn+++===+⨯++++++2111111111444444213()11mnm m m n n n n m=+⨯=+⨯≤+⨯=+++++， 当且仅当m n n m =时，即m n =时，等号成立,所以2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是为13.故选：B . 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．C解析：C 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】由约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩作出可行域如图，联立150x x y =⎧⎨+-=⎩，解得A （1，4），化目标函数z ＝x +2y ﹣1为y 1222x z =-++，由图可知，当直线y 1222x z =-++过A 时，z 有最大值为8．故选C ．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4．B解析：B 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得2=+t x y 在点(1,1)A --处取得最小值()()min 2113t =⨯-+-=-，本题选择B 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.5．C解析：C 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点()2,10取得最大值，在点()2,2-取得最小值.由图可知，当0m ≥时，[]0,2m ∈，当0m <时，[)1,0m ∈-，故取值范围是[]1,2-.考点：线性规划.6．B解析：B 【分析】画出不等式组表示的区域，将目标函数2z x y =-转化为22x zy =-，表示斜率为12截距为2z-平行直线系，当截距最小时，z 取最大值，由图即可求解. 【详解】解：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示：故将目标函数2z x y =-转化为22x z y =-， 表示斜率为12截距为2z -平行直线系， 所以当截距最小时，z 取最大值，由图可知，使得直线22x zy =-经过可行域且截距最小时的解为22,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时242333max z =-=-. 故选：B 【点睛】本题考查了线性规划的应用，注意将目标函数化成斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值.7．D解析：D 【详解】试题分析：A 中1,2a b ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的8．C解析：C 【分析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.9．B解析：B 【分析】根据题意2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5，由基本不等式的性质求出4411+++y x ＝13(4411+++y x ）[(x +1)+(y +1)]的最小值，即可得2211x y y x +++的最小值，据此分析可得答案. 【详解】根据题意，正数x ，y 满足x +y ＝1，则2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x＝(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41x +﹣4＝(4411+++y x )﹣5， 又由4411+++y x ＝13(4411+++y x ) [(x +1)+(y +1)], ＝13[8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163， 当且仅当x ＝y ＝12时等号成立， 所以2211x y y x +++＝(4411+++y x )﹣5163≥﹣5＝13， 即2211x y y x +++的最小值为13， 所以3m ≤，则m 的最大值为13； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题．10．D解析：D【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围.【详解】作出可行域如下：由221z x y =--得12z y x +=-， 平移直线12z y x +=-， 由平移可知当直线12z y x +=-，经过点C 时， 直线12z y x +=-的截距最小，此时z 取得最大值， 由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -， 此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12z y x +=-，经过点A 时， 直线12z y y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值， 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3 代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-， 故5[3z ∈-，5) 故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中11．A解析：A【分析】 由约束条件作出可行域，由y z x=的几何意义求得最小值判断p 为真命题，由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】 解：变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图：目标式y z x =表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()4,1D 时，min 14z =，即y z x =的最小值为14，命题p 为真命题； 直线2x =的倾斜角为2π正确，故命题q 为真命题． 所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题； 故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．12．C解析：C【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案.由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11.故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.二、填空题13．【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可【详解】由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时也最小由解得即代 解析：4-【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【详解】由z y x =-得y =x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分):ABC平移直线y =x+z 由图象可知当直线y =x+z 经过点B 时，直线y =x+z 的截距最小，此时z 也最小，由240280x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，即(4,0)B ． 代入目标函数z y x =-，得044z =-=-．所以z y x =-的最小值是4-.故答案为：4-【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.14．4【分析】先分析的几何意义然后利用线性规划求解出的取值范围从而的最大值可求【详解】作出可行域如图所示可以看做其中M 为可行域（阴影区域）内一点因为所以所以所以的最大值为4故答案为：【点睛】结论点睛：常 解析：4【分析】 先分析11x y -+的几何意义，然后利用线性规划求解出11x y -+的取值范围，从而z 的最大值可求.【详解】作出可行域如图所示，11xzy-=+可以看做1PMk，其中()1,1P-，M为可行域（阴影区域）内一点，因为()1121PAk--==-，()0.511314PAk---==-，所以(]1,2,4PMk⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，所以(]10,4PMk∈，所以z的最大值为4，故答案为：4.【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：（1）y bzx a-=-：表示点(),x y与点(),a b连线的斜率；（2）()()22z x a y b=-+-(),x y到点(),a b的距离；（3）z Ax By C=++：表示点(),x y到直线0Ax By C++=22A B+倍. 15．2【分析】据题意由于MN为平面区域内的两个动点则不等式组表示的为三角形区域根据向量的数量积由于（当且仅当与共线同向时等号成立）从而求得最大值【详解】由作出可行域如图由条件可得由图知不等式组表示的为三解析：2【分析】据题意，由于M，N为平面区域401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，则不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MN a⋅≤（当且仅当MN与a共线同向时等号成立）从而求得最大值.【详解】由0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩作出可行域，如图由条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可得()()()1,1,2,2,3,1A B C由图知，不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积， 由于MN a MN a MN ⋅≤=（当且仅当MN 与a 共线同向时等号成立），即当MN 所在直线平行于=(1,0)a 所在直线且方向相同的时候得到大值，MN 的最大长度为直线=0x y -与1y =的交点(1,1)与直线4=0x y +-和1y =的交点(3,1)的距离. 22(31)(11)2-+-=，故答案为：2【点睛】解决的关键是对于不等式区域的准确表示，同时能利用向量的数量积来表示得到目标函数，利用a b a b ⋅≤（当且仅当b 与a 共线同向时等号成立）得到结论．属于中档题. 16．【分析】根据题意令分析可以将不等式在x ∈12上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组解可得m 的取值范围即可得答案【详解】根据题意令若不等式在x ∈12上恒成立则有△＝m2﹣4m≤0或或解可得实数m 的最解析：12- 【分析】根据题意，令()2f x x mx m ++＝，分析可以将不等式20x mx m ++≥在x ∈[1，2]上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组，解可得m 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，令()2f x x mx m ++＝，若不等式20x mx m ++≥在x ∈[1，2]上恒成立，则有△＝m 2﹣4m ≤0或()121120m f m ⎧-≤⎪⎨⎪=+≥⎩或()222430m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，解可得1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭， 实数m 的最小值为：12-， 故答案为12-． 【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是将x 2+mx +m ≥0在x ∈[1，2]上恒成立转化为二次函数y ＝x 2+mx +m 在x ∈[1，2]上的最值问题． 17．9【分析】将已知等式变形为然后利用乘1法将进行变形利用基本不等式即可求得【详解】因为所以即又ab 为正数所以当且仅当时等号成立故的最小值等于故答案为：9【点睛】本题考查利用基本不等式求最值关键是将已知 解析：9【分析】 将已知等式变形为111a b +=，然后利用“乘1法”将4a b +进行变形，利用基本不等式即可求得.【详解】因为(1)(1)1a b --=，所以0ab a b --=，即111a b +=. 又a ，b为正数，所以1144(4)1459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当3a =，32b =时，等号成立. 故4a b +的最小值等于9.故答案为：9【点睛】 本题考查利用基本不等式求最值，关键是将已知条件适当变形，得到111a b+=，以便利用“乘1法”，利用基本不等式求4a b +的最小值.利用基本不等式求最值要注意“正、定、等”的原则.18．【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据图像知当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划解析：2【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =-，则y x z =-，则z 表示直线在y 轴的截距的相反数，根据图像知当直线过点()2,0时，即2x =，0y =时，z 有最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.19．【分析】根据面积关系建立方程关系结合基本不等式1的代换进行求解即可【详解】如图所示则的面积为即∴∴当且仅当即时取等号所以a+3c 的最小值为8+4故答案为：8+4【点睛】本题考查基本不等式的应用考查三 解析：843+【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.【详解】如图所示，则ABC 的面积为111sin1202sin 602sin 60222ac a c =⋅+⋅︒︒︒， 即22ac a c =+，∴1112a c +=. ∴3(3)a c a c +=+1132242(423)843c a a c a c ⎛⎫⎛⎫+⨯=⨯++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当33843c a a c a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩即2232233a c ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩. 所以，a +3c 的最小值为3故答案为：3【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.20．【分析】由题中定义得出作差变形后得出对任意的恒成立结合得出由此可求得实数的取值范围【详解】因为函数是距增函数所以恒成立由所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数新定义考查二次不等式恒成 解析：(1,)+∞【分析】由题中定义得出()()f x a f x +>，作差变形后得出22313304ax a x a a ++->对任意的x ∈R 恒成立，结合0a >得出∆<0，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x ax a x a a ⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 因为函数()y f x =是“a 距”增函数，所以22313304ax a x a a ++->恒成立， 由0a >，所以2210912014a a a ⎛⎫∆<⇒--<⇒> ⎪⎝⎭． 因此，实数a 的取值范围是()1,+∞.故答案为：()1,+∞.【点睛】 本题考查函数新定义，考查二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（1）见解析（2）512b >+. 【分析】（1）原不等式转化为()()10-+<x a x 然后利用分类讨论思想进行分类求解； （2）原不等式转化22(0)1x b x x +>>+ ，设()()222151214x t g x x t t t+===≤+-++-551122254b =+⇒>+-. 【详解】（1）当1,0b c ==时，()()()21100f x x a x a x >⇔---<≠ ()()10x a x ⇔-+<，讨论：①当1a <-时，原不等式的解集为(),1a -；②当1a =-时，原不等式的解集为φ；③当10a -<≤时，原不等式的解集为()1,a -；④当0a >时，原不等式的解集为()()1,00,a -⋃.（2）当,2b c a ==时，()2211x f x bx b +<⇔<+ 22(0)1x b x x +⇔>>+ 设()221x g x x +=+，令()=22t x t +>， 则()()22211512214x t g x t x t t t +===≤=+=+-++-，时取等号，故12b >+. 【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用二次函数的性质，进行数形结合的讨论，难点在于对a 的分类讨论；由参变分离得到函数不等式区间D 上恒成立，一般有以下结论：min 1.():,()a f x x D a f x <∈<即可.max 2.():,()a f x x D a f x >∈>即可.22．（1）()320408029x y x x -=<<+；（2）面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米.【分析】（1）由已知条件得出4090203200x y xy ++=，即可得出x 与y 的关系式； （2）化简得出()16991782929S x x ⨯⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件可求得x 的值.【详解】（1）由于铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，由题意可得40245203200x y xy +⨯+=， 即492320x y xy ++=，解得320429x y x -=+， 由于0x >且0y >，可得080x <<，所以，x 与y 的关系式为()320408029x y x x -=<<+；（2）()33822932043383382229292929x x x S xy x x x x x x x x -+-⎛⎫==⋅=⋅=⋅-=- ⎪++++⎝⎭()()169291699169916992169217829292929x x x x x x x +-⨯⨯⨯=-=--=-+-+++()()16991699178291782291002929x x x x ⨯⨯⎡⎤=-++≤-+⋅=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当16992929x x ⨯+=+时，即当15203x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立， 因此，仓库面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米.【点睛】本题考查基本不等式的应用，建立函数解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 23．甲乙两项目投资额分别为1000 万元和4000万元【解析】试题分析：设投资人对甲，乙两个项目分别投资,x y 万元.根据已知条件可列出可行域为5000{0.40.212000,0x y x y x y +≤+≤≥≥，目标函数为0.8z x y =+，画出可行域，根据图像可知目标函数在点()1000,4000处取得最大值.试题设投资人对甲，乙两个项目分别投资,x y 万元5000{0.40.212000,0x y x y x y +≤+≤≥≥求0.8z x y =+最大值如图作出可行域当目标函数结果点()1000,4000A 时，0.8z x y =+取得最大值为4200 万元，此时对甲乙两项目投资额分别为1000 万元和4000 万元盈利最大.24．（1）[-4，1]；（2）-3.【分析】(1)当m ＝﹣4时，利用十字相乘法解出不等式的解集；(2)()0f x ＜的解集为(b ，a )，等价于()0f x =的根即为a ，b ，根据韦达定理判断出a ，b 的符号，利用＂1＂的代换以及基本不等式求出最大值，并验证取等条件．【详解】（1）当m ＝﹣4时，不等式f （x ）≤0，即为x 2+3x ﹣4≤0，可得：（x +4）（x ﹣1）≤0，即不等式f （x ）≤0的解集为[﹣4，1].(2)由题()0f x =的根即为a ，b ，故a +b =-3，ab =m >0，故a ，b 同负，则14a b+=114141()5(53333a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫-++=-++≤-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1,2a b =-=- 等号成立.【点睛】本题考查一元二次不等式，基本不等式在求最值中的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”，属于中档题．25．(1)sin θ=;(2)视角30达到最佳． 【分析】(1)过点A 作AF CE ⊥于F ,则 1.5EF AB ==,10DF DE EF =-=,30CF =,设CAF α∠=,DAF β∠=,sin sin()sin cos cos sin θαβαβαβ=-=-,化简即可得出答案．(2)由基本不等式可得1sin 2θ=≤=,即可得出答案． 【详解】解:过点A 作AF CE ⊥于F ,则 1.5EF AB == 10DF DE EF =-=,30CF =,设CAF α∠=,DAF β∠=(1)sin sin()θαβ=-sin cos cos sin αβαβ=-=-= (2)1sin 2θ=≤=,当且仅当2290000x x=,即x =,sin θ取到最大值12因为sin θ在(0,90)︒上单调递增,所以观察屏幕视角最大值为[]3026,30︒∈︒︒即此时视角达到最佳．【点睛】本题考查了解三角形的应用,考查了基本不等式,考查了三角恒等变换.求最值时,我们常用的思路有:根据函数图像求最值,根据函数单调性求最值,结合导数求最值,运用基本不等式求最值,换元法求最值等.在运用基本不等式求最值时,易错点在于忽略一正二定三相等. 26．(1)3；(2)6b ≥-【分析】(1)将1x =代入方程2(1)460a x x ，即可求出a 的值；(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，利用分离参数即可求出b 的取值范围.【详解】(1)1和3-是2(1)460a x x 的两根，将1x =代入方程解得3a =；(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，即233bx x -≤+在[0,2]上恒成立， 当0x =时，03≤恒成立，此时a R ∈；当2(]0,x ∈时，不等式可转化为13()b x x -≤+在[0,2]上恒成立， 因为113()326x x x x+≥⨯⋅=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立， 所以6b -≤，所以6b ≥-,综上，实数b 的取值范围为6b ≥-.【点睛】本题主要考查三个二次式关系的应用，不等式恒成立问题的求法，属于中档题.。
北师大版高中数学必修5同步训练：不等关系(含解析)
1北师大版高中数学必修5同步训练不等关系1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a <1b B.－a< b C ．a 2<b 2D ．|a|>|b|答案 A2．若a>b>c ，则下列不等式成立的是( ) A.1a －c >1b －cB.1a －c <1b －cC ．ac>bcD ．ac<bc答案 B解析 ∵a>b>c，∴a －c>b －c>0，∴1a －c <1b －c.3．已知a ＋b>0，b<0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a>b>－b>－a B ．a>－b>－a>b C ．a>－b>b>－a D ．a>b>－a>－b答案 C解析 取满足条件的a ＝3，b ＝－1，则a>－b>b>－a.4．已知a ＝3－10，b ＝10－3，c ＝10－310，那么下列各式正确的是( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ．b<a<c D ．c<a<b答案 A5．(2015·淮北高二检测)设a ＝x 2－x ，b ＝x －2，则a 与b 的大小关系为( ) A ．a>b B ．a<bC ．a ＝bD ．与x 的取值有关答案 A6．(2015·厦门高二检测)若x≠2且y≠－1，则M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y 的值与－5的大小关系是( ) A ．M>－5 B ．M<－5 C ．M ＝－5 D ．不能确定答案 A7．若f(x)＝3x 2－x ＋1，g(x)＝2x 2＋x －1，则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A ．f(x)>g(x)B ．f(x)＝g(x)。
北师大版数学高二必修5学案3.1不等关系
§1不等关系1．1不等关系1．2不等关系与不等式1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．(难点)3．能用作差法比较大小．(重点)[基础·初探]教材整理1不等式中的数学符号阅读教材P69～P71“练习”以上部分，完成下列问题．两个数或代数式常用以下数学符号连接：“＝”，“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”．文字语言数学符号文字语言数学符号大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤(1)某隧道入口处竖立着“限高4.5米”的警示牌是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为________．(2)“a与b的差是非负数”的不等关系是________．【解析】(1)限高4.5米是指车辆及载物高度不高于4.5米，即h≤4.5.(2)非负数是指0或正数，故a－b≥0.【答案】(1)h≤4.5(2)a－b≥0教材整理2比较大小阅读教材P72～P73“练习”以上部分，完成下列问题．1．作差法比较两实数大小依据如果a－b＞0，那么a＞b. 如果a－b＜0，那么a＜b. 如果a－b＝0，那么a＝b.结论确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系.2．1．对称性：若a＞b，则b＜a；若b＜a，则a＞b. 2．传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c.3．同向可加性：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.4．同向的可乘性：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd. 5．乘方法则：若a＞b＞0，则a n＞b n(n∈N＋，且n≥2)．6．开方法则：若a＞b＞0，则na＞nb(n∈N＋，且n≥2)．7．同号取倒数反序性：若a＞b，ab＞0，则1a＜1b.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x＝2时，x≥2一定成立．()(2)a2一定大于a.()(3)若a＞b，则1a＜1b.()【解析】(1)“≥”表示大于或等于．(2)a＝0时，a2＝a.(3)若a＞b＞0，则1a＜1b；当a＝2，b＝－1时不成立．【答案】(1)√(2)×(3)×[小组合作型]用不等式(组)表示不等关系6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【精彩点拨】认真分析题意，留意所给材料中的每个数字，弄清其出现的意义，写出所能表达的每一个不等式．【尝试解答】设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；(2)车队每天至少要运360 t矿石；(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．用关于x，y的不等式表示上述不等关系即可．⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤9，10×6x＋6×8y≥360，0≤x≤4，且x∈N，0≤y≤7，且y∈N，即⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤9，5x＋4y≥30，0≤x≤4，且x∈N，0≤y≤7，且y∈N.1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系，如本例中驾驶员的人数限制了车辆数，所以甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数，这个不等关系易被忽略．2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，就选用几个字母分别表示这些变量即可．像本题就是用含有两个字母x，y的不等式组来表示它们之间的不等关系的．[再练一题]1．某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍，请写出满足上述所有不等关系的不等式．【解】设截得的500 mm钢管x根，截得的600 mm钢管y根．根据题意，应满足的不等关系为：⎩⎪⎨⎪⎧500x＋600y≤4 000，3x≥y，x∈N，y∈N.比较两个数(式)的大小2【精彩点拨】利用作差法比较大小．【尝试解答】A－B＝(x＋1)(x＋5)－(x＋3)2＝x2＋6x＋5－(x2＋6x＋9)＝－4＜0，∴A －B ＜0，即A ＜B .比较两数(式)大小的方法： (1)作差法作差法是比较两数(式)大小的常用方法，其一般步骤是： ①作差．②变形．常采用因式分解(将“差”化成“积”)或配方(将“差”化为常数与n 个平方和的形式)等恒等变形手段．③定号．作差法一般是将差化成非负数和的形式或因式乘积形式，即P －Q＝a 21＋a 22＋…＋a 2n 或P －Q ＝b 1·b 2…b n ，以便判断差值的符号． ④得出结论． (2)作商法①作商法适合于以幂、指数或绝对值等形式出现的两数(式)的大小比较． ②对于a >0，b >0，则有a b >1⇒a >b ；a b ＝1⇒a ＝b ；ab <1⇒a <b .作商法一般将结果化为ab ＝1±m (0＜m ＜1)的形式，以便确定商与1的大小关系．③若a <0，b <0，可通过先比较－a 与－b 的大小来比较a 与b 的大小． [再练一题]2．已知x ＜1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小. 【导学号：47172033】 【解】 (x 3－1)－(2x 2－2x )＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)， ∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34＞0，∴当x ＜1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＜0， 即x 3－1＜2x 2－2x .[探究共研型]不等式的性质探究1 有哪些？【提示】 (1)a ＞b ⇒a ±c ＞b ±c ； (2)a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ，a c ＞b c ； (3)a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ，a c ＜bc .探究2 如何用不等式表示“两个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向”？想一想如何证明表示出的不等式？【提示】 如果a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d . 证明如下：因为a ＞b ，所以a ＋c ＞b ＋c ，又因为c ＞d ，所以b ＋c ＞b ＋d ，根据不等式的传递性得a ＋c ＞b ＋d . 探究3 如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0.如何证明ac ＞bd? 【提示】⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ＞0c ＞0⇒ac ＞bc ＞0⎭⎪⎬⎪⎫c ＞d ＞0b ＞0⇒bc ＞bd ＞0⇒ac ＞bd . 设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2， 2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．【精彩点拨】 用f (－1)，f (1)表示f (－2)，再利用f (－1)，f (1)的取值范围求f (－2)的取值范围．【尝试解答】 由f (x )＝ax 2＋bx 得f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b ， 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 于是有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即5≤f (－2)≤10，∴f (－2)的取值范围为[5,10]．1．不等式的性质是不等式变形的基础，是解不等式和证明不等式的主要依据，应熟练掌握．2．本例中如果由1≤a －b ≤2,2≤a ＋b ≤4得到a ，b 的取值范围，再求f (－2)的取值范围，那么得到的结果不是正确答案．这是因为求得的a ，b 的取值范围与已知条件不是等价关系．[再练一题]3．已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围． 【解】 ∵－π2≤α＜β≤π2， ∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4. 将两式相加，得－π2＜α＋β2＜π2.∵－π4＜β2≤π4， ∴－π4≤－β2＜π4， ∴－π2≤α－β2＜π2. 又α＜β，∴α－β2＜0， 故－π2≤α－β2＜0.综上所述，－π2＜α＋β2＜π2，－π2≤α－β2＜0.1．下面列出的不等式中，正确的是( ) A ．a 不是负数，可表示成a ＞0 B ．x 不大于3，可表示成x ＜3C ．m 与4的差是负数，可表示成m －4＜0D ．x 与2的和是非负数，可表示成x ＋2＞0【解析】 a 不是负数，可表示成a ≥0；x 不大于3可表示成x ≤3；m 与4的差是负数，可表示成m －4＜0；x 与2的和是非负数，可表示成x ＋2≥0.【答案】 C2．李辉准备用自己节省的零花钱买一台复读机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元，设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋60≤400【解析】 x 月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400.【答案】 B3．若8＜x ＜10,2＜y ＜4，则xy 的取值范围为________． 【解析】 ∵2＜y ＜4，∴14＜1y ＜12，又8＜x ＜10， ∴2＜x y ＜5. 【答案】 (2,5)4．下列命题中，真命题是________．①若a ＞b ＞0，则1a 2＜1b 2；②若a ＞b ，则c －2a ＜c －2b ；③若a ＞b ，e ＞f ，则f －ac ＜e －bc ；④若a ＞b ，则lg a ＞lg b .【解析】 对①，a ＞b ＞0⇒0＜1a ＜1b ⇒1a 2＜1b 2； 对②，a ＞b ⇒－2a ＜－2b ⇒c －2a ＜c －2b ；对③，取a ＝2，b ＝e ＝1，f ＝0，c ＝－1，则f －ac ＜e －bc 不成立； 对④，当a ＜0或b ＜0时lg a ，lg b 无意义，故④不正确． 【答案】 ①②5．比较2x 2＋5x ＋3与x 2＋4x ＋2的大小. 【导学号：47172034】 【解】 (2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34＞0， ∴(2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＞0， ∴2x 2＋5x ＋3＞x 2＋4x ＋2.。
2020-2021学年高二数学北师大版必修5学案：3.1.1 不等关系 Word版含解析
第三章 不等式 §1 不等关系 1．1 不等关系知识点一 不等式的定义 [填一填]我们用数学符号“≠”“>”“<”“≤”“≥”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫作不等式．[答一答]1．不等式“a ≥b ”读作什么？其含义是什么？提示：“a ≥b ”读作“a 大于或等于b ”，其含义为“a >b 或者a ＝b ”． 知识点二 在数学意义上的不等关系 [填一填](1)常量与常量之间的不等关系； (2)变量与常量之间的不等关系； (3)函数与函数之间的不等关系；(4)一组变量之间的不等关系． [答一答]2．“不等关系”与“不等式”有怎样的区别？提示：不等关系与不等式是不同的概念，前者强调的是关系，可用符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”来表示，而后者表示的是两者的不等关系，可用“a >b ”“a <b ”“a ≠b ”“a ≥b ”或“a ≤b ”等式子表示，这二者之间的关系是可以通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现．不等式的各个符号的含义不等式表示的是不相等的关系．对于“不相等”可以是“大于”或“小于”．对于不等式a ≤b ，表示的是a <b 或a ＝b ，只需满足其中一条，不等式就成立．如3≤3就是3<3或3＝3，尽管3<3不成立，但3＝3成立，因此，我们说3≤3这个不等式成立.2≤3就是2<3或2＝3，尽管2＝3不成立，但2<3成立，因此，我们说2≤3这个不等式成立，只是不如2<3更准确．对于不等式a ≥b ，表示的是a >b 或a ＝b ，同样也是只需满足其中一条，不等式就成立．对于实数来讲，只存在a ＝b 或a >b 或a <b 三种关系中的一种，不可能同时满足两种．类型一 用不等式表示不等关系【例1】 糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．试从下列关于糖水浓度的问题中提炼出相应的不等式．(1)向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．【思路探究】 糖水变甜的意思是糖水的浓度变大，可以用不等式表示出加糖。
高中数学 北师大必修五 3.1不等关系与不等式1
(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负.
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话， 可以用下面的不等式组来表示：
第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式（一）
问题1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收
入仍不低于20万元呢？ 思考:(1)销售量减少了多少?
x 2.5 0.2万本 0.1
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
变变式式46、已知－π2≤α<β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的范围．
解析:∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4. 两式相加，得－π2<α＋2 β<π2.
∵－π4<β2≤π4， ∴－π4≤－β2<π4， ∴－π2≤α－2 β<π2. 又∵α<β，∴α－2 β<0. ∴－π2≤α－2 β<0.
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0 abab0
高中数学第三章不等式3.1不等关系3.1.1不等关系3.1.2不等关系与不等式达标练习北师大版必修
2018年高中数学第三章不等式3.1 不等关系3.1.1 不等关系3.1.2 不等关系与不等式达标练习北师大版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高中数学第三章不等式3.1 不等关系3.1.1 不等关系3.1.2 不等关系与不等式达标练习北师大版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1.2 不等关系与不等式［A 基础达标］1．若A＝a2＋3ab,B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( ）A．A≤B B．A≥BC．A〈B或A〉B D．A>B解析：选B。
因为A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2)＝错误!错误!＋错误!b2≥0,所以A≥B.2．已知a<b<|a｜，则( ）A。
错误!>错误!B．ab〈1C.ab>1 D．a2>b2解析：选D.由a〈b〈|a｜，可知0≤｜b｜〈|a|，由不等式的性质可知|b｜2〈｜a｜2,所以a2〉b2，故选D。
3．如果log a3〉log b3，且a＋b＝1,那么( )A．0<a<b<1 B．0<b〈a〈1C．1〈a<b D．1〈b〈a解析：选A.因为a＋b＝1，a，b〉0，所以0<a〈1，0〈b〈1。
因为log a3〉log b3,所以错误!>错误!。
所以lg a<lg b．所以0〈a〈b〈1.4．设α∈错误!，β∈错误!,则2α－错误!的范围是( )A。
(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试(含答案解析)(3)
一、选择题1．设0,0a b >>，若4a b +=.则49a b+的最小值为（ ） A ．254B ．252 C ．85D ．1252．若实数x ，y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，则()222x y +-的最小值为（ ）A ．12B ．45C ．92D ．4193．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．64．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．35．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-16．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式2212m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<< D ．42m -<<7．若正数a ，b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（ ） A ．16 B ．25C ．36D ．498．不等式112x x ->+的解集是（ ）． A ．{}|2x x <-B ．{}|21x x -<<C ．{}|1x x <D ．{}|x x ∈R9．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ） A．B．C ．6D ．810．已知,20a b c a b c >>++=，则ca的取值范围是（ ） A ．31ca-<<- B ．113c a -<<- C ．21ca-<<- D ．112c a -<<-11．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．已知2xy x =+，则42x y+的最小值为_________14．已知实数x y ，，正实数a b ，满足2x y a b ==，且213x y+=-，则2a b +的最小值为__________．15．已知变量x ，y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),x y 对应的区域的222x y xy +的最大值为______．16．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x 2y =-的最大值为______．17．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 18．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h 、2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 、1h ，A ，B 两种设备每月有效使用时数分别为400h 和500h ．若合理安排生产可使收入最大为______元．19．已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________. 20．已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.三、解答题21．若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. （1）求m 的值；（2）已知正实数a ，b 满足4a b mab +=，求+a b 的最小值. 22．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)＞2x ＋5.23．已知函数f （x ）＝ax 2﹣（4a +1）x +4（a ∈R ）.（1）若关于x 的不等式f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}，求实数a ，b 的值； （2）解关于x 的不等式f （x ）＞0.24．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？25．若实数0x >，0y >，且满足8x y xy +=-. （1）求xy 的最大值； （2）求x y +的最小值26．如果x ，y R ∈，比较()222+x y 与()2xy x y +的大小．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式可得最小值． 【详解】0,0,4a b a b >>+=()(4914914912513134444b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当49b aa b =，即812,55a b ==时取等号. 故选：A ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2．C解析：C 【分析】作出可行域，利用()222x y +-的几何意义：表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方．可求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），()222x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方，由图可知min0213222PM--==，（点M 到直线BC 的距离） ∴()222x y +-的最小值是232922⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值．作出可行域是解题的基础．对非线性目标函数，常常利用其几何意义求解，主要有两种类型：（1）22()()x a y b -+-，两点间的距离公式；（2）y bx a--：两点连线斜率， 3．B解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.4．B解析：B 【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值. 【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦， 所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥，所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>， 当且仅当124a b -=+=时等号成立. 因此，+a b 的最小值为7. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】 作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得1x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.6．D解析：D 【分析】先根据已知结合基本不等式得218x y+≥，再解不等式228m m +<即可得答案.【详解】解：由于0x >，0y >，21x y +=， 所以()21214424428y x y x x y x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y =，即122x y ==时等号成立， 由于不等式2212m m x y+>+成立， 故228m m +<，解得：42m -<<. 故实数m 的取值范围是：42m -<<. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题.7．A解析：A 【分析】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--化简，利用基本不等式可求函数最小值. 【详解】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--得到：416416416(1)16111111a a ab a a a +=+=+-≥=------ 当且仅当：4=16(1)1a a --即32a =时取等号.故选：A 【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.8．A解析：A 【解析】分析：首先对原式进行移项、通分得到302x ->+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集.详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即302x ->+， 即302x <+，则有20x +<，解得2x <-， 所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.9．D解析：D 【分析】运用基本不等式2422x y +≥=【详解】因为20,40x y >>，所以224228x y x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）． 故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．10．A解析：A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求ca的取值范围 【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=， 所以0,0a c ><，2b a c =--， 因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3ca>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->， 即a c <-，得1ca<-， 所以31ca-<<-， 故选：A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题11．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以1212()()2233x x f x f x --++=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.12．A解析：A 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.二、填空题13．【分析】依题意可得再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为所以所以所以所以所以所以所以当且仅当即时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个条件就是一正——各项均为正解析：【分析】依题意可得21x y +=，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为2xy x =+，2x xy =+-，所以()()()()2222221(1)42222x y x xy x x xy x y ⎡⎤+-+=+-=+-++⎣⎦， 所以2242144x y y x xy +-+=-， 所以()()222210x y x y +-++=， 所以()2210x y +-=，所以21x y +=，所以42x y +≥=42x y =，即14x =，12y =时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14．【分析】由条件化简可得利用均值不等式求最小值即可【详解】正实数满足取对数可得所以所以由均值不等式知当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（解析：2【分析】由条件化简可得218a b =，利用均值不等式求最小值即可.【详解】正实数a b ，满足2x y a b ==, 取对数可得log 2,log 2a b x y ==， 所以2222212log log log 3a b a b x y+=+==-， 所以218a b =，由均值不等式知，22a b +≥=，当且仅当2a b =，即a =，4b =时等号成立.故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】作出可行域令所以利用函数的单调性即可求最值【详解】由解得：所以由解得：所以表示可行域内的点与原点连线的斜率所以令所以在单调递减在单调递增当时当时所以的最大值为故答案为：【点睛】思路点睛：非线解析：53【分析】 作出可行域，令yt x =，OA OB y k k x ≤≤，所以7,313t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22111222x y xy t xy y x t ⎛⎫+⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用函数的单调性即可求最值. 【详解】由43040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得：13575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以137,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由140x x y =⎧⎨+-=⎩解得：13x y =⎧⎨=⎩，所以()1,3B ，y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率，所以OA OB yk k x ≤≤, 775131305OAk -==-，30310OB k -==-，令7,313y t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， 所以22111222x y xy t xy y x t ⎛⎫+⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1y t t =+在7,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]1,3单调递增，当3t =时，1713109213791y ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，当75t=时，1153233y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以222x y xy +的最大值为53，故答案为：53. 【点睛】 思路点睛：非线性目标函数的常见类型及解题思路：1.斜率型：()0by ay b a a z ac d cx d c x c++==⋅≠++表示的是可行域内的点(),x y 与点,d b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线所在直线的斜率的ac倍；2.距离型：（1）()()22z x a y b =-+-表示的是可行域内的点(),x y 与(),a b 之间距离的平方；（2）z Ax By C =++=(),x y 到直线0Ax By C ++=倍.16．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：-2 【详解】根据题意得到如图可行域 是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13,22)（0，2）目标函数2z x y =-，1,22zy x =-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2， 故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．17．【分析】根据题意令分析可以将不等式在x ∈12上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组解可得m 的取值范围即可得答案【详解】根据题意令若不等式在x ∈12上恒成立则有△＝m2﹣4m≤0或或解可得实数m 的最解析：12-【分析】根据题意，令()2f x x mx m ++＝，分析可以将不等式20x mx m ++≥在x ∈[1，2]上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组，解可得m 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，令()2f x x mx m ++＝，若不等式20x mx m ++≥在x ∈[1，2]上恒成立，则有△＝m 2﹣4m ≤0或()121120m f m ⎧-≤⎪⎨⎪=+≥⎩或()222430m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，解可得1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，实数m的最小值为：1 2-，故答案为12-．【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是将x2+mx+m≥0在x∈[1，2]上恒成立转化为二次函数y＝x2+mx+m在x∈[1，2]上的最值问题．18．800000【分析】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元列出实际问题中xy所需满足的条件作出可行域数形结合求出目标函数的最大值【详解】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元目标函数为需要满解析：800000【分析】设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，列出实际问题中x、y所需满足的条件，作出可行域，数形结合求出目标函数30002000z x y=+的最大值.【详解】设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为30002000z x y=+，需要满足的条件是24002500x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，作出可行域如图所示，目标函数30002000z x y=+可转化直线3122000y x z=-+，数形结合知当直线经过点A时z取得最大值．解方程组24002500x yx y+=⎧⎨+=⎩，可得点()200,100A，则z 的最大值为30002002000100z =⨯+⨯=800000元． 故答案为：800000 【点睛】本题考查线性规划解决实际问题，属于基础题.19．【分析】先换元令则；再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解：令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析：3+【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=，2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s t s ts t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+，当且仅当2s tt s=，即s =时，等号成立．2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+故答案为：3+ 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题．20．【分析】由参变量分离法得出对任意的恒成立利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】要使在区间上不等式恒成立只需恒成立设只需小于在区间上的最小值因为所以当时所以所 解析：(),1-∞-【分析】由参变量分离法得出231m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用二次函数的基本性质可求得函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立， 只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()y g x =在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()min 11g x g ==-， 所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-. 【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）1；（2）9. 【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，列方程求出m 的值； （2）先求得141b a+=，可得14()()a b a b b a +=++，展开后利用基本不等式求出+a b 的最小值． 【详解】 （1）不等式2122x x mx -+>可化为21(2)02x m x +-<，即[2(2)]0x x m +-<，所以不等式对应方程的两根为0和2(2)m --， 又不等式的解集为{|02}x x <<， 所以2(2)2m --=，解得1m =； （2）由正实数a ，b 满足4a b mab +=， 所以4a b ab +=，所以141b a+=， 所以1444()()5529b a b a b a b b a a b a +=++=+++， 当且仅当26a b ==时取等号， 所以+a b 的最小值为9． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了利用基本不等式求最值，是基础题． 22．(1)2()1f x x x =-+;(2)()(),14,-∞-+∞【分析】(1) 设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，利用待定系数法即可求出f （x ）； (2) 利用一元二次不等式的解法即可得出． 【详解】(1).设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ， ∵函数f （x ）满足f （x+1）﹣f （x ）＝2x ，∴ f(x ＋1)－f(x)=()()211a x b x c ++++-()2ax bx c ++=2ax+a+b=2x ∴ 220a a b =⎧⎨+=⎩ ，解得11a b =⎧⎨=-⎩．且f （0）＝1．∴ c=1∴f （x ）＝x 2﹣x+1．(2) 不等式f （x ）＞2x+5，即x 2﹣x+1＞2x+5，化为x 2﹣3x ﹣4＞0． 化为（x ﹣4）（x+1）＞0，解得x ＞4或x ＜﹣1． ∴原不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞ 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题. 23．（1）-1,6；（2）答案见详解 【分析】（1）由f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}结合韦达定理即可求解参数a ，b 的值；（2）原式可因式分解为()()()14f x ax x =--，再分类讨论即可0,0,0a a a =<>，对0a >再细分为111,0,,,444a a a ⎛⎫⎛⎫=∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解.【详解】（1）由f （x ）≥b 得()24140ax a x b -++-≥，因为f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}，故满足4112a a ++=，412b a-⨯=，解得1,6a b =-=； （2）原式因式分解可得()()14f x a x x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当0a =时，()40f x x =-+>，解得(),4x ∈-∞；当0a <时，()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的解集为1,4x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 当0a >时，()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭， ①若14a =，即14a =，则()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的解集为4x ≠；②若14a <，即14a >时，解得()1,4,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭；③若14a >，即104a <<时，解得()1,4,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解求解参数，分类讨论求解一元二次不等式，属于中档题. 24．（1）400吨；（2）不获利，补40000元. 【分析】（1）求得每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x=+-，利用基本不等式求得yx的最小值，利用等号成立的条件求得x 的值，由此可得出结论； （2）令()2211100200800003008000022f x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-⎪⎝⎭，求得该函数在区间[]400,600的最大值，进而可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002y x x x =-+≤≤， 所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x=+-，由基本不等式可得200200y x ≥=（元）， 当且仅当1800002x x=时，即当400x =时，等号成立， 因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）令()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--- ⎪⎝⎭，400600x ≤≤，函数()f x 在区间[]400,600上单调递减，当400x =时，函数()f x 取得最大值，即()()max 40040000f x f ==-. 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损. 【点睛】本题考查基本不等式和二次函数的实际应用，考查计算能力，属于中等题. 25．（1）4；（2）4. 【分析】（1）由于0x >，0y >，根据基本不等式得出8xy x y -=+≥不等式的解法，即可求出xy 的最大值；（2）根据题意，由0x >，0y >，根据基本不等式得出28()()2x y x y xy +-+=≤，通过解一元二次不等式，即可求出x y +的最小值.【详解】解：（1）∵0x >，0y >，∴8xy x y -=+≥80xy +≤，即2)0≤，解得：02<，04xy ∴<≤（当且仅当2x y ==时取等号）， ∴xy 的最大值为4.（2）∵0x >，0y >，28()()2x y x y xy +∴-+=≤， 即2()()802x y x y +-++≥， 整理得：2()()3204x y x y +++-≥， ∴()()840x y x y +++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦≥⎣，∴4x y +≥（当且仅当2x y ==时取等号）， 所以x y +的最小值为4. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力. 26．()()2222x y xy x y ≥++，当且仅当x y =时等号成立【分析】运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可. 【详解】()()()2222442224433222x y xy x y x y x y xy x xy y x y x y xy +-++--++=+--=()()()()()()()2223333222324y x x y yy x x y xyx y xxy yx y x y ⎡⎤⎛⎫=-+-=--=-++=-++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()20x y -≥，223024y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，()2223024y x y x y ⎡⎤⎛⎫∴-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ()()2222x y xy x y ∴≥++，当且仅当x y =时等号成立.【点睛】本题考查了用作差比较法进行比较两个多项式的大小，考查了配方法的应用，属于中档题.。
2020-2019学年北师大版数学必修5学案：3.1 不等关系含解析
§1不等关系内容标准学科素养1.会用不等式(组)正确表示出不等关系.2.理解并掌握不等式的常用基本性质.3.会用作差法比较两个实数大小. 严密逻辑推理提升数学运算规范性质应用授课提示：对应学生用书第51页[基础认识]知识点一不等式与不等关系预习教材P69－74，思考并完成以下问题某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%.(1)问题中表示不等关系的词是什么？用符号怎样表示？提示：不少于，用符号表示为≥.(2)你能用不等式表示对脂肪和蛋白质含量的规定吗？提示：f≥2.5%，p≥2.3%.知识梳理 1.不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号＞、＜、≥、≤或≠．(2)所表示的关系是不等关系．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.文字语言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符号语言＞≥＜≤≤≥≥≤知识点二实数的大小比较思考并完成以下问题1．在指数、幂、对数比较大小时，常用什么方法？提示：单调性比较．2．如果给定实数a与b，那么如何比较它们的大小呢？提示：通常是通过判断它们的差(a－b)的符号来比较它们的大小．当a与b都不为0时，也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小．知识梳理比较实数a，b的大小的依据知识点三不等式的性质思考并完成以下问题我们知道等式有一些基本性质，例如：(1)a＝b b＝a；(2)a＝b，b＝c a＝c；(3)a ＝b a＋c＝b＋c；(4)a＝b，c≠0ac＝bc.那么不等式是否也具有类似的性质呢？提示：不等式也具有类似的性质．知识梳理不等式的几个重要性质名称式子表达性质1(对称性)a＞b b＜a性质2(传递性)a＞b，b＞c a＞c性质3(可加性)a＞b a＋c＞b＋c性质4(可乘性)a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc 性质5(同向可加性)a＞b，c＞d a＋c＞b＋d性质6(同向同正可乘性)a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd性质7(可乘方性)a＞b＞0a n＞b n(n∈N，n≥1)性质8(可开方性)a＞b＞0n a＞n b(n∈N，n≥2)1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x(x≥0)人，瓦工y(y≥0)人，则关于工资x，y满足的不等关系是()A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200解析：依据题，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.答案：D2．若A＝1x2＋3与B＝1x＋2，则A与B的大小关系是()A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．不确定解析：由于A－B＝1x2＋3－⎝⎛⎭⎪⎫1x＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1x－122＋34≥34＞0，所以A＞B，故选A.答案：A3．已知－1＜2x－1＜1，则2x－1的取值范围是________．解析：由－1＜2x－1＜1，得0＜x＜1，所以1x＞1.于是2x ＞2，2x－1＞1，故2x－1的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)授课提示：对应学生用书第52页探究一用不等式(组)表示不等关系[阅读教材P70例4例5及解答]题型：用不等式(组)表示不等关系方法步骤：①找到表示不等关系的词语；②用不等式将不等关系表示出来．[例1](1)如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________．(2)商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件，若把提价后的商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[解题指南](1)借助两图形面积的大小关系建立a，b的不等式．(2)利用利润＝(售价－进价)×销售量及利润不低于300元建立不等式．[解析] (1)题图1所示的广告牌的面积为12(a 2＋b 2)，题图2所示的广告牌的面积为ab ，显然不等式表示为12(a 2＋b 2)＞ab .(2)若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少x －101×10件，因此，每天的利润为(x －8)[100－10(x －10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x －8)[100－10(x －10)]≥300.[答案] (1)12(a 2＋b 2)＞ab (2)见解析方法技巧 1.用不等式(组)表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“＜”“＞”中的“＝”能否取到． (3)多个不等关系用不等式组来表示． 注意：对于实际问题中不要漏掉隐含条件． 2．文字语言与数学符号语言之间的转换．将实际问题中的不等关系写成对应的不等式时，问题中关键性的文字语言与对应的数学符号语言之间的正确转换，关系到是否能正确地用不等式表示出不等关系． 跟踪探究 1.设用x kg 56 000单位的维生素A 和63 000单位的维生素B ，试用不等式组表示x ，y 所满足的不等关系．解析：由题意知x kg 的甲种食物中含有维生素A 600 x 单位，含有维生素B 800x 单位，y kg 的乙种食物中含有维生素A 700y 单位，含有维生素B 400y 单位，则x kg 的甲种食物与y kg 的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A (600x ＋700y )单位，含有维生素B (800x ＋400y )单位，则有⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥63 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋7y ≥560，4x ＋2y ≥315，x ≥0，y ≥0.探究二 比较数(式)的大小[阅读教材P72例6及解答]试比较(x ＋1)(x ＋5)与(x ＋3)2的大小． 题型：比较两代数式的大小． 方法步骤：①作差． ②化简．③判断符号下结论．[例2] (1)设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则a b b a 和a a b b 的大小关系是________； (2)已知x ＞1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[解题指南] (1)由a ＞b ＞0可知a a b b ＞0，a b b a ＞0，故可考虑用作商法比较大小；(2)由于是整式比较大小，可以考虑用作差法比较大小．[解析] (1)∵a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，可知a a b b＞0，a b b a＞0，由a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b，当a ＞b ＞0时，由a b ＞1，a －b ＞0，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b＞1，∴a a b b ＞a b b a .当b ＞a ＞0时，由0＜a b ＜1，a －b ＜0，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b＞1，∴a a b b ＞a b b a .综上可得，a a b b ＞a b b a .(2)(x 3－1)－(2x 2－2x )＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)． 因为x ＞1，所以x －1＞0，又x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0.所以(x －1)(x 2－x ＋1)＞0，即x 3－1＞2x 2－2x .[答案] (1)a a b b ＞a b b a (2)见解析 延伸探究 1.若题(2)中条件不变，问法改为“比较x 3＋6x 与x 2＋6的大小”结果如何？解析：因为(x 3＋6x )－(x 2＋6)＝x 3－x 2＋6x －6 ＝x 2(x －1)＋6(x －1)＝(x －1)(x 2＋6)， 又因为x ＞1，所以(x －1)(x 2＋6)＞0，所以x 3＋6x ＞x 2＋6.2．题(2)中，若把条件“x ＞1”改为“x ∈R ”，其他条件不变，则结论如何？解析：(x 3－1)－(2x 2－2x )＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)．因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，所以当x ＞1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＞0， 即x 3－1＞2x 2－2x ；当x ＝1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＝0， 即x 3－1＝2x 2－2x ；当x ＜1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＜0， 即x 3－1＜2x 2－2x .方法技巧 比较大小的方法(1)作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负． 作差法的一般步骤：作差——变形——判号——定论(2)作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小．作商法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——定论(3)单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性． 跟踪探究 2.设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小． 解析：∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1，1＜1＋x ＜2， 当a ＞1时，|log a (1－x )|－|log a (1＋x )| ＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2)． ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x 2＜1.∴log a (1－x 2)＜0，－log a (1－x 2)＞0， ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.当0＜a ＜1时，|log a (1－x )|－|log a (1＋x )| ＝log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)∵0＜x ＜1，∴0＜1－x 2＜1，∴log a (1－x 2)＞0. ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.综上所述：当0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1时， |log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.探究三 不等式性质的应用 [阅读教材P73例8及解答] 题型：不等式性质的应用方法步骤：①分别表示出增加面积前后的比值； ②比较两个比值的大小； ③得出结论．[例3] (1)已知－6＜a ＜8，2＜b ＜3，则ab 的取值范围是________．(2)已知a ＞b ＞0，c ＞0，求证c a ＜cb .[解题指南] (1)注意对a 分0≤a ＜8和－6＜a ＜0讨论． (2)根据不等式的可乘性证明．[解析] (1)当0≤a ＜8时，由2＜b ＜3，所以13＜1b ＜12， 所以0≤ab ＜4；当－6＜a ＜0时，0＜－a ＜6，又13＜1b ＜12. 所以0＜－a b ＜3，－3＜ab ＜0.综上，得－3＜ab ＜4.(2)证明：因为a ＞b ＞0，所以ab ＞0，1ab ＞0， 于是a ×1ab ＞b ×1ab ， 即1b ＞1a ，又c ＞0，得c b ＞c a ，即c a ＜c b .[答案] (1)(－3，4) (2)见解析延伸探究 3.题(2)中条件“c ＞0”改为“c ＞d ＞0”，证明： cb ＞d a .证明：因为a ＞b ＞0，所以ab ＞0，1ab ＞0， 于是a ×1ab ＞b ×1ab， 即1b ＞1a ＞0，又c ＞d ＞0. 所以cb ＞da ＞0，所以c b ＞d a .4．题(2)中条件“c ＞0”改为“c ＜d ＜0，e ＞0”，证明：e a －c ＜e b －d. 证明：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0， 又因为a ＞b ＞0，所以a －c ＞b －d ＞0.所以0＜1a －c ＜1b －d. 又e ＞0，所以e a －c ＜eb －d .方法技巧 1.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 2．求含有字母的数(或式)的取值范围时的注意点 (1)要注意题设中的条件；(2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同向不等式可加不可减，可乘不可除．跟踪探究 3.如果3＜a ＜7，1＜b ＜10，试求a ＋b ，3a －2b ，ba 2的取值范围． 解析：因为3＜a ＜7，1＜b ＜10， 所以3＋1＜a ＋b ＜7＋10，即4＜a ＋b ＜17. 又因为9＜3a ＜21，－20＜－2b ＜－2，所以－11＜3a －2b ＜19.因为9＜a 2＜49，所以149＜1a 2＜19，于是149＜b a 2＜109. 授课提示：对应学生用书第54页[课后小结](1)使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．(2)用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤①审题．通读题目，分清楚已知量和未知量，设出未知量；②找关系．寻找已知量与未知量之间有哪些不等关系(即满足什么条件，同时注意隐含条件)；③列不等式(组)，建立已知量和未知量之间的关系式．(3)作差法比较大小的关键步骤是变形，变形时常采用配方，因式分解、通分、有理化等手段进行．[素养培优]错用不等式的性质致误给出下列命题，其中正确的是________．(只填序号)①若a ＞b ，则a 2＞b 2；②若a －d ＞b －c ，则a ＞b ，c ＜d ；③若a ＜b ，则1ab 2＜1a 2b ；④若－2＜a ＜3，则4＜a 2＜9；⑤若a ＞b ，则1a ＋1＜1b ＋1.易错分析 利用不等式的性质解决问题时，务必注意不等式的性质应用的前提条件，只有完全符合条件，才能有相应的结论，如果对不等式的性质理解不清，盲目套用不等式的性质会导致错误．自我纠正 ①错误，例如a ＝1，b ＝－3；②错误，例如a ＝1，b ＝3，c ＝2，d ＝－1；③正确，因为1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2＜0，所以1ab 2＜1a 2b ；④错误；由－2＜a ＜3应得0≤a 2＜9；⑤正确，由于a ＞b ，所以a ＞b ≥0，于是a ＋1＞b ＋1＞0，故1a ＋1＜1b ＋1. 答案：③⑤。
高中数学北师大版必修5同步精练：3.1不等关系 Word版含答案
1．1不等关系基础巩固1实数x大于10，用不等式表示为()A．x＜10B．x≤10C．x＞10 D．x≥102实数x的绝对值不大于2，用不等式表示为…()A．|x|＞2B．|x|≥2C．|x|＜2D．|x|≤23某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买两套，则买票面8角的与买票面2元的不等关系为__________．4预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，用不等式表示上述不等关系为__________．5用不等式表示下列不等关系：(1)今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；(2)△ABC的两边之和大于第三边；(3)a是一个非正实数．综合过关6韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．试用不等式表示上述不等关系．能力提升7建网就等于建一所学校．某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．试表示上述关系．参考答案1答案：C2答案：D3答案：设买票面8角的x 套，买票面2元的y 套，由题意列不等式组，注意x 、y ∈N .⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ∈N ，y ≥2，y ∈N ，0.8×5x ＋2×4y ≤504答案：设购买桌子和椅子的数目分别为x 、y ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ≤2000，x ≤y ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N5分析：(1)利用最低和最高列出不等关系；(2)利用“大于”列出不等关系；(3)非负实数即大于或等于零． 解：(1)设明天的温度为x ℃，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥7，x ≤13，即7≤x ≤13. (2)设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，则a ＋b ＞c 且a ＋c ＞b 且b ＋c ＞a .(3)a ≤0.6解：设A 队有出租车x 辆，则B 队有出租车(x ＋3)辆， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＜56，6x ＞56，4(x ＋3)＜56，5(x ＋3)＞56.7解：设该校拟建的初级机房有x 台计算机、高级机房有y 台计算机，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.8＋0.35(x －1)＝1.15＋0.7(y －1)，20≤0.8＋0.35(x －1)≤21，20≤1.15＋0.7(y －1)≤21.1.2 比较大小基础巩固1已知a ＞b 、c ＞d ，且c 、d 不为0，那么下列不等式成立的是( )A ．ad ＞bcB ．ac ＞bdC ．a －c ＞b －dD ．a ＋c ＞b ＋d2若a 、b 、c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋b ≥b －cB ．ac ≥bcC.c 2a －b＞0D ．(a －b )c 2≥0 3已知a ＋b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞－b ＞－aB ．a ＞－b ＞－a ＞bC ．a ＞－b ＞b ＞－aD ．a ＞b ＞－a ＞－b4比较2m 2＋3m －1与m 2＋4m －1的大小．5已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小．6已知a ＞b ＞0，m ＞0，求证：b a ＜b ＋m a ＋m. 7比较3＋7与25的大小．8已知a 、b 、x 、y 都为正数，且1a ＞1b ，x ＞y ，求证：x x ＋a ＞y y ＋b. 9有一所学校原来是一个长方形布局，市政府对这所学校进行规划，要改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么这所学校应选哪种布局最有利？ 10若a ≥1，试比较M ＝a ＋1－a 与N ＝a －a －1的大小．综合过关11已知角α，β，－π2＜α＜β＜π2，求α－β的取值范围． 12现有甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受5.5折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按7.5折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？13已知0＜x ＜1，比较m ＝|lg(1－x )|与n ＝|lg(1＋x )|的大小．能力提升14已知三个不等式：①ab ＞0，②c a ＞d b，③bc ＞ad .以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，写出所有能成立的不等式命题，并证明．参考答案1解析：直接利用不等式的性质有a ＋c ＞b ＋d .答案：D2解析：∵a ＞b ，∴a －b ＞0.A 中，当c ＝0时，(a ＋b )－(b －c )＝a ，由于a ∈R ，则A 不成立；B 中，ac －bc ＝c (a －b )，由于c ∈R ，则B 不成立；C 中，由于c ∈R ，则c 2≥0，∴c 2a －b≥0，则C 不成立；D 中，a －b ＞0，c 2≥0，∴(a －b )c 2≥0，则D 成立． 答案：D3解析：取满足条件的a ＝3，b ＝－1，则a ＞－b ＞b ＞－a .答案：C4分析：利用作差比较法来比较大小．解：(2m 2＋3m －1)－(m 2＋4m －1)＝m 2－m ＝m (m －1)，当m ＝0或m ＝1时，2m 2＋3m －1＝m 2＋4m －1；当0＜m ＜1时，2m 2＋3m －1＜m 2＋4m －1；当m ＜0或m ＞1时，2m 2＋3m －1＞m 2＋4m －1.5解：∵3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1)＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(3x 2＋1)，∵x ≤1，∴x －1≤0.又3x 2＋1＞0，∴(x －1)(3x 2＋1)≤0.∴3x 3≤3x 2－x ＋1.6分析：两代数式作差，根据差的符号得到结论．证明：b a －b ＋m a ＋m ＝b (a ＋m )－a (b ＋m )a (a ＋m )＝bm －am a (a ＋m )＝m (b －a )a (a ＋m ). ∵a ＞b ＞0，m ＞0，∴b －a ＜0，a ＋m ＞0.∴m (b －a )a (a ＋m )＜0. ∴b a ＜b ＋m a ＋m. 7分析：平方后再作差．解：(3＋7)2－(25)2＝(10＋221)－20 ＝84－100＜0，∴(3＋7)2＜(25)2. ∴3＋7＜2 5.8证明：x x ＋a －y y ＋b ＝x (y ＋b )－y (x ＋a )(x ＋a )(y ＋b )＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b ). ∵1a ＞1b＞0，x ＞y ＞0， ∴b ＞a ＞0，x ＞y ＞0，∴bx ＞ay ＞0，即bx －ay ＞0.又x ＋a ＞0，y ＋b ＞0，∴bx －ay(x ＋a )(y ＋b )＞0，即x x ＋a ＞y y ＋b . 9分析：哪种布局对这所学校最有利，关键是看哪种布局使得学校的面积更大． 解：设这所学校原来的长方形布局的长为a ，宽为b (a ≠0)．若保持原面积不变，则规划后的正方形面积为ab .若保持原周长不变，则规划后的正方形周长为2(a ＋b )，所以其正方形的边长为a ＋b 2，其面积为(a ＋b 2)2.由于ab －(a ＋b 2)2＝－(a －b )24＜0(a ≠b )，所以ab ＜(a ＋b 2)2. 故保持原周长不变的方案最有利．10分析：直接作差，用有理化的方法变形并判断符号．解：M －N ＝(a ＋1－a )－(a －a －1) ＝1a ＋1＋a －1a ＋a －1 ＝(a ＋a －1)－(a ＋1＋a )(a ＋1＋a )(a ＋a －1) ＝a －1－a ＋1(a ＋1＋a )(a ＋a －1).∵a ≥1，∴(a ＋1＋a )(a ＋a －1)＞0.a －1＜a ＋1.∴M －N ＜0，即M ＜N . 11分析：利用不等式的性质来求．解：∵α＜β，∴α－β＜0.∵β＜π2，∴－β＞－π2. 又∵α＞－π2， ∴α－β＞－π2－π2＝－π. ∴－π＜α－β＜0.∴α－β的取值范围是(－π，0)．12分析：将甲、乙两家旅行社收取一家人的总费用比较．解：设该家庭除户主外，还有x 人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y 甲，y 乙，一张全票价为a 元，则y 甲＝a ＋0.55ax ，y 乙＝0.75(x ＋1)a ，y 甲－y 乙＝(a ＋0.55ax )－0.75(x ＋1)a ＝0.2a (1.25－x )．当x ＞1.25(x ∈N ＋)时，y 甲＜y 乙；当x ＜1.25，即x ＝1时，y 甲＞y 乙．所以两口之家，乙旅行社较优惠；三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠． 13分析：利用作差比较法比较大小，平方后再作差．解：m 2＝lg 2(1－x )，n 2＝lg 2(1＋x )，∴m 2－n 2＝lg 2(1－x )－lg 2(1＋x )＝[lg(1－x )＋lg(1＋x )][lg(1－x )－lg(1＋x )]＝lg(1－x 2)lg 1－x 1＋x . ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x 2＜1,0＜1－x 1＋x ＜1. ∴lg(1－x 2)＜0，lg 1－x 1＋x＜0. ∴m 2＞n 2.又m ＞0，n ＞0，∴m ＞n .14分析：先写出所有可能的命题，然后再证明每个命题是否正确．解：以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，共有三个命题，依次是①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②.(1)c a －d b ＝bc －ad ab＞0， ∵ab ＞0，c a ＞d b，∴bc －ad ＞0，即bc ＞ad . 故命题：①②⇒③是正确的．(2)∵c a －d b ＝bc －ad ab＞0，且bc ＞ad ， ∴ab ＞0.故命题：②③⇒①是正确的．(3)∵c a －d b ＝bc －ad ab，且ab ＞0，bc ＞ad ， ∴bc －ad ab ＞0，即c a －d b＞0. 故命题：①③⇒②是正确的．综上，命题①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②都是正确的．。