(北师大版九年级数学上册)4.8《图形的位似》
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4.8+图形的位似+课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册
特别
是位似中心；
提醒
②一对对应边、对应边端点与位似中心的连线
（不在同一直线上）形成的两个三角形相似
4.8 图形的位似
归纳总结
考
点
（1）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位
清
单 于位似中心的同侧；
解
读
（2）位似多边形是一种特殊的相似多边形，但相似多边
形不一定是位似多边形.
4.8 图形的位似
如图，以点 P 为位似中心，画△ABC 的位似图
清
单
解 形△DEF，使 △ ABC 与△DEF 的相似比为 1∶2．
读
4.8 图形的位似
考
点
清
单
解
读
［答案］
解：如图，△DEF 和△D1E1F1即为所求.
4.8 图形的位似
重 ■题型 位似图形的实际应用
难
例 一般室外放映的电影胶片上每一张图片的规格为3.5
沿图 F 运动时，画笔 A′画出图形 F′，图形就放大了，
反之，图形就缩小了． 相似比可以通过调节点B，D 的位
置来确定，调整时确保 AB∥DC，AD∥BC，点 O，F，F′
在同一直线上，若 OD∶DC＝1 ∶2，图形 F的面积为 1.5，
13.5
则图形 F′的面积为 ______.
4.8 图形的位似
对点典例剖析
考
点
典例1 如图，以点 O 为位似中心，把△ABC 放大到原
清
单
）
解 来的 2 倍得到△A′B′C′．以下说法中错误的是（
读
A． △ABC∽△A′B′C′
B． 点 C，O，C′三点在同一条直线上
C． AO∶AA′=1∶2
D． AB∥A′B′
是位似中心；
提醒
②一对对应边、对应边端点与位似中心的连线
（不在同一直线上）形成的两个三角形相似
4.8 图形的位似
归纳总结
考
点
（1）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位
清
单 于位似中心的同侧；
解
读
（2）位似多边形是一种特殊的相似多边形，但相似多边
形不一定是位似多边形.
4.8 图形的位似
如图，以点 P 为位似中心，画△ABC 的位似图
清
单
解 形△DEF，使 △ ABC 与△DEF 的相似比为 1∶2．
读
4.8 图形的位似
考
点
清
单
解
读
［答案］
解：如图，△DEF 和△D1E1F1即为所求.
4.8 图形的位似
重 ■题型 位似图形的实际应用
难
例 一般室外放映的电影胶片上每一张图片的规格为3.5
沿图 F 运动时，画笔 A′画出图形 F′，图形就放大了，
反之，图形就缩小了． 相似比可以通过调节点B，D 的位
置来确定，调整时确保 AB∥DC，AD∥BC，点 O，F，F′
在同一直线上，若 OD∶DC＝1 ∶2，图形 F的面积为 1.5，
13.5
则图形 F′的面积为 ______.
4.8 图形的位似
对点典例剖析
考
点
典例1 如图，以点 O 为位似中心，把△ABC 放大到原
清
单
）
解 来的 2 倍得到△A′B′C′．以下说法中错误的是（
读
A． △ABC∽△A′B′C′
B． 点 C，O，C′三点在同一条直线上
C． AO∶AA′=1∶2
D． AB∥A′B′
北师大版九年级数学上册教学课件：4.8图形的位似 (共46张PPT)
拓展点一
拓展点二
解:(1)如图:
(2)C(-6,-2),D(-4,2).
拓展点一
拓展点二
(3)∵DE=4,OE=2,OF=2,EF=4,CF=6, ∴S△OCD=S 梯形 CDEF-S△ODE-S△OCF =2(DE+CF)· EF-2DE· OE-2CF· OF,
1 1 1 =2×(4+6)×4-2×4×2-2×6×2=10. 1 1 1
分析:两个位似图形的主要特征是:每对位似对应点与位似中心 共线;不经过位似中心的对应线段平行.则位似中心就是两对对应 点的延长线的交点.
拓展点一
拓展点二
解: ①当两个位似图形在位似中心同旁时,连接 CF 并延长交 x 轴于点 O'. 位似中心就是点 O',设直线 CF 的表达式为 y=kx+b,将 C(4,2),F(1,1)代入,得
知识点一
知识点二
知识点三
例3 如图,矩形OABC的顶点O是坐标原点,边OA在x轴上,边OC 在y轴上.若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似,且矩形 1 OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的 4 ,则点B1的坐标是( ) A.(3,2) B.(-2,-3) C.(2,3)或(-2,-3) D.(3,2)或(-3,-2)
=
������������' ������������
=
������������' ������������
= 2;
1
顺次连接 A'B',B'C',C'D',D'A',得到所要画的四边形 A'B'C'D'.
知识点一
北师大版教材九年级数学上册第四章第8节《图形的位似(一)》
《图形的位似（一）教学设计》教材选用北师大版教材九年级数学上册第四章第8节《图形的位似（一）》为教学内容教学目标（一）知识要点1.理解位似多边形的定义及相关性质。
2.理解相似多边形与位似多边形的联系与区别。
3.初步了解能利用图形的位似将一个图形放大或缩小的理论依据。
.（二）能力要求1.掌握判断两个多边形是否是位似多边形的方法，并能准确指出位似中心和相似比。
2.初步掌握把多边形按照一定比例放大或缩小的绘图方法。
（三）情感与价值观基于学生对图形学习的兴趣，锻炼学生勤于动手实践的品质，培养学生从多个角度，不同思路解决问题的思维习惯和严谨的数学学习态度，增强学生学习数学的信心。
教学重点位似多边形的相关定义、性质的理解，绘制位似多边形方法的掌握。
教学难点位似多边形的判断，从位似中心的不同方向绘制位似多边形。
三、教学过程第一环节：问题导入数学的世界五彩斑斓，图形的变换所构成的图形也是美轮美奂，之前我们已经学习了图形的哪些变换呢？答：轴对称、中心对称、平移、旋转。
第二环节：知识探究：1、问：这种图形变换又叫做什么呢？2、探究一问：、图中有相似多边形吗？如果有，它们有什么共同的特征？答：每幅图中的两个多边形不仅相似，而且每一组对应点的连线都相较于同一点。
像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心思考：位似图形具有什么性质呢？3、探究二如图是两个相似的四边形，设直线AE与直线BF相交于O点，那么直线CG、DH 是否也经过O点？OA=4,OE=2. OB=4.4,OF=2.2(1)给出一组位似多边形，请学生观察，教师提问：图中位似多边形的相似比是多少？每一组对应点到位似中心的距离之比k有什么关系？你能证明吗？(2)得出结论：如果两个相似多边形每组对应点P、P′所在的直线都经过同一个点O，且OP′=k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。
性质：位似多边形上任意一组对应点到位似中心的距离之比k 等于两个相似多边形相似比，(3)举例说明位似多边形的概念。
图形的位似课件北师大版数学九年级上册
E
内
E' O C'
部
A' B'
A
B
知识精讲
2. 位似图形的性质
（1）对应点所在的直线经过位似中心；
（2）任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）对应边平行或在同一条直线上.
D
′ ′′
=
.
D'
O
C'
E'
A'
D
C
E
B'
B
①
A
′ ′′
=
.
C
E
D'C'
E'
A A'OB' B
②
知识精讲
3. 位似图形的画法（将一个图形放大或缩小）
（1）确定位似中心和图形上的关键点；
（2）连接位似中心与关键点并延长所得线段；
（3）根据相似比确定位似图形上的关键点；
A'
（4）顺次连接位似图形上的关键点，得到位似图形.
A
画一个△A′B ′C ′，使它与∆位似，且相似比为2.
C'
C
O
B
′
分析： 设 = .
由矩形的周长
矩形与矩形′ ′ ′是位似图形
=
′ ′
D'
D
A
C'
C
B
用表示的长
用表示AB ′ , ′的长
B'
典例精讲
【例题3】如图，矩形与矩形′ ′ ′是
位似图形，为位似中心.已知矩形的周长为
24，′ = 4，′ = 2，求, 的长.
内
E' O C'
部
A' B'
A
B
知识精讲
2. 位似图形的性质
（1）对应点所在的直线经过位似中心；
（2）任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）对应边平行或在同一条直线上.
D
′ ′′
=
.
D'
O
C'
E'
A'
D
C
E
B'
B
①
A
′ ′′
=
.
C
E
D'C'
E'
A A'OB' B
②
知识精讲
3. 位似图形的画法（将一个图形放大或缩小）
（1）确定位似中心和图形上的关键点；
（2）连接位似中心与关键点并延长所得线段；
（3）根据相似比确定位似图形上的关键点；
A'
（4）顺次连接位似图形上的关键点，得到位似图形.
A
画一个△A′B ′C ′，使它与∆位似，且相似比为2.
C'
C
O
B
′
分析： 设 = .
由矩形的周长
矩形与矩形′ ′ ′是位似图形
=
′ ′
D'
D
A
C'
C
B
用表示的长
用表示AB ′ , ′的长
B'
典例精讲
【例题3】如图，矩形与矩形′ ′ ′是
位似图形，为位似中心.已知矩形的周长为
24，′ = 4，′ = 2，求, 的长.
北师大版九年级数学上册：4.8 图形的位似 课件(共24张PPT)
D´
（3）等边三角形ABC与等边三角形A´B´C´
D
C
C´ A
A´
B´
A
B
B B´ C´
B´
B
A´
C
观察下列位似图形的位似中心，你发现了什么？
结论：位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在两个
图形的同侧、异侧，图形的内部、边上或顶点上。
精讲点拨
将△ ABC放大到（为）原来的2倍。
E
B
O
C
F
D
A
对应边互相平行或共线
位似图形的概念
对应边互相平行（或共线）且每对 对应点所在的直线都经过同一点的两 个相似多边形叫做位似图形。这个点 叫做位似中心。
跟踪练习
E´
判断下列图形是不是位似图形. E
D´
D
C´
C
（1）相似五边形ABCDE与五边形A´B´C´D´E´
A
（2）正方形ABCD与正方形A´B´C´D´ A´
精讲点拨
例2 如图 ，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 （0，0），（2，0），（4，4），（-2，2） （1）如果四边形 O'A'B'C' 与四边形 OABC 位似， 位似中心是原点，它的面积等于四边形 OABC面积 的倍，分别写出点 A'，B'，C' 的坐标. （2）画出四边形 OA'B'C'.
规律总结
位似变换中对应点的坐标的变化规律：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位 似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比 等于k或-k。
实验与探究
（3）如图 ，已知△OAB 的顶点 O 是坐标原点， 顶点 A，B 的坐标分别为（-1，2），（-3，0）。 把△OAB 各个顶点的横、纵坐标都扩大到原来的 3 倍，得到点 O'，A'，B' 。 连接 O'A'，O'B'，A'B'， △O'A'B' 与△OAB 是位似图形吗？如果是，位似 中心是哪个点？
（3）等边三角形ABC与等边三角形A´B´C´
D
C
C´ A
A´
B´
A
B
B B´ C´
B´
B
A´
C
观察下列位似图形的位似中心，你发现了什么？
结论：位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在两个
图形的同侧、异侧，图形的内部、边上或顶点上。
精讲点拨
将△ ABC放大到（为）原来的2倍。
E
B
O
C
F
D
A
对应边互相平行或共线
位似图形的概念
对应边互相平行（或共线）且每对 对应点所在的直线都经过同一点的两 个相似多边形叫做位似图形。这个点 叫做位似中心。
跟踪练习
E´
判断下列图形是不是位似图形. E
D´
D
C´
C
（1）相似五边形ABCDE与五边形A´B´C´D´E´
A
（2）正方形ABCD与正方形A´B´C´D´ A´
精讲点拨
例2 如图 ，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 （0，0），（2，0），（4，4），（-2，2） （1）如果四边形 O'A'B'C' 与四边形 OABC 位似， 位似中心是原点，它的面积等于四边形 OABC面积 的倍，分别写出点 A'，B'，C' 的坐标. （2）画出四边形 OA'B'C'.
规律总结
位似变换中对应点的坐标的变化规律：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位 似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比 等于k或-k。
实验与探究
（3）如图 ，已知△OAB 的顶点 O 是坐标原点， 顶点 A，B 的坐标分别为（-1，2），（-3，0）。 把△OAB 各个顶点的横、纵坐标都扩大到原来的 3 倍，得到点 O'，A'，B' 。 连接 O'A'，O'B'，A'B'， △O'A'B' 与△OAB 是位似图形吗？如果是，位似 中心是哪个点？
九年级数学北师大版上册课件：4.8 图形的位似(共39张PPT)
A B′ B
0 4
C′ C 8 12
放大后对应 点的坐标分 别是多少?
C″
B″
A″
A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 ) A"( -4 ,-6 ), B"( -4 ,-2 ), C"( -12 ,-4 )
位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，如果位似变换 是以原点为位似中心，相似比为k，那么 位似图形对应点的坐标的比等于k或-k， 则图像上的对应点的坐标为（kx，ky）或 （－kx，－ky）。
√
（2）正方形ABCD与正方A′B′C′D′
×
（3）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
√
2. 下面的说法对吗?为什么?
(1)分别在△ABC的边AB，AC上取点D、E，使DE∥BC,那 么△ADE是△ABC缩小后的图形。
√
(2)分别在△ABC的边AB，AC的延长线上取点D、E，使
DE∥BC，那么△ADE是△ABC放大后的图形。 √ (3)分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D、E， 使DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形。 A E B C
例2.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标
分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O 1 为位似中心,相似比为 的位似图形 . y
2
A
D
A′
B
D′ B′ C" x
C
C′
o B" D"
A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 )
注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少 的重要工具,它不但装点了我们的生活,而且是学习 后续知识的基础.
4.8图形的位似-九年级上册初三数学(北师大版)
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调位似图形的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如位似比的判定和应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与位似图形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，通过测量和计算，演示位似变换的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“位似图形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解位似图形的基本概念。位似是指在几何中，两个图形通过相似变换（如放大或缩小）后，对应边的比例保持不变的性质。它是研究图形相似性的重要内容，广泛应用于现实生活中的各种问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过地图的放大与缩小，了解位似在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
另外，我发现学生在小组讨论环节表现得很积极，他们能够互相启发，共同解决问题。这说明小组合作的学习方式对学生来说是有益的。在接下来的课程中，我打算继续采用这种形式，鼓励学生多交流、多分享，以提高他们的合作能力和批判性思维能力。
在讲解重点和难点时，我尝试用简洁明了的语言和具体的例子来进行阐述。但从学生的提问来看，我觉得可能还需要进一步精简语言，让讲解更加直观易懂。同时，对于一些理解力较弱的学生，我需要在课后提供更多的辅导和帮助，确保他们能够跟上课程进度。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与位似图形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，通过测量和计算，演示位似变换的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“位似图形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解位似图形的基本概念。位似是指在几何中，两个图形通过相似变换（如放大或缩小）后，对应边的比例保持不变的性质。它是研究图形相似性的重要内容，广泛应用于现实生活中的各种问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过地图的放大与缩小，了解位似在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
另外，我发现学生在小组讨论环节表现得很积极，他们能够互相启发，共同解决问题。这说明小组合作的学习方式对学生来说是有益的。在接下来的课程中，我打算继续采用这种形式，鼓励学生多交流、多分享，以提高他们的合作能力和批判性思维能力。
在讲解重点和难点时，我尝试用简洁明了的语言和具体的例子来进行阐述。但从学生的提问来看，我觉得可能还需要进一步精简语言，让讲解更加直观易懂。同时，对于一些理解力较弱的学生，我需要在课后提供更多的辅导和帮助，确保他们能够跟上课程进度。
北师大版九年级数学上册4.8图形的位似课件
B/
D A
B C
O
B
位置不一样，位似 中心就不一样.
D/ C/
A/
O
D D/
C C/
A
A/ O B/
B
知识运用
1.判断下列图形哪些是位似图形：
(1)正方形ABCD与正方形 A/B/C/D/.
(2)扇形ABC与扇形A/B/C/ （B、A、B/在一条直线上， C、A、C/在一条直线上）
(3)五边形ABCDE与五边形A/B/C/D/E/
(1)以O为位似中心，把△ABC放大2倍
(1)以O为位似中心，把△ABC放大2倍
C、A、C/在一条直线上）
判断下列图形哪些是位似图形：
三垂直模型里△ABC和△CDE是位似图形吗？
位置不一样，位似中心就不一样.
只满足两个条件不是位似图形
如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.
只满足两个条件不是位似图形
1．两多边形相似 对应点到位似中心的距离之比
(1)正方形ABCD与正方形A/B/C/D/. 在幻灯机放映图片的过程中，这些图片有什么关系呢？
(4ห้องสมุดไป่ตู้△ABC与△ADE
(2)扇形ABC与扇形A/B/C/
2．任意一组对应点P，P 所在直线 (4)△ABC与△ADE
只满足两个条件不是位似图形
A/
B/
B
O 对应点到位似中
心的距离之比
等于位似比
问：
对应边AB，A / B/的位置关系是 平行
判 断1 图 形 位2 似
3
看两图形是否相似．
看对应点所在直线 是否过同一点．
北师大版九年级数学上册：4.8《图形的位似》
关闭
2,
3 2
或 -2,-
3 2
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4
4. 如图, 幻灯片与屏幕平行, 光源到幻灯片的距离是 30 cm, 幻灯片到 屏幕的距离是 1. 5 m, 幻灯片上小树的高度是 10 cm, 则屏幕上小树的 高度是 .
关闭
60 cm
答案
专题一 数学思想问题
初中数学常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、
Hale Waihona Puke 三种情况．(1)如图Z1-3，PD＝OD＝5，点 P 在点 D 的左侧．
图Z1-3 过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则 PE＝4.
在 Rt△ PDE 中，DE＝ PD2－PE2＝ 52－42＝3. ∴OE＝OD－DE＝5－3＝2. ∴此时点 P 坐标为(2,4)．
(2)如图Z1-4，OP＝OD＝5.
转化或化归思想、整体思想等．
数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联
系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几 何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问 题的思路，使问题得以解决的思考方法． 分类讨论思想是研究与解决数学问题的重要思想之一，在 中学数学的应用中十分广泛．
轻松尝试应用 1 2 3 4
1. 下列说法正确的是( ) A. 位似图形一定不是全等形 B. 两个位似图形的位似比不一定等于相似比 C. 位似比等于 1 的两个位似图形全等 D. 两个位似图形面积的比等于位似比
关闭
C
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4
2. 将左下图中的箭头缩小到原来的 , 得到的图形是
BA 的长为半径画 AC ，连接 AF，CF，则图中阴影部分的面积
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2,
3 2
或 -2,-
3 2
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 Nhomakorabea4. 如图, 幻灯片与屏幕平行, 光源到幻灯片的距离是 30 cm, 幻灯片到 屏幕的距离是 1. 5 m, 幻灯片上小树的高度是 10 cm, 则屏幕上小树的 高度是 .
关闭
60 cm
答案
8.图形的位似
快乐预习感知
1. 如果两个图形不仅是 相似图形 , 而且每组对应点的连线都经 过 同一个点 , 那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫 做 位似中心 , 这时的相似比又称为 位似比 . 2. 在平面直角坐标系中, 将一个多边形每个顶点的横、 纵坐标都 乘同一个数 k (k ≠0),所对应的图形与原图形位似, 位似中心是坐标原 点, 它们的相似比为|k|. 3. 位似图形是特殊的相似图形, 所以它还具
1 2
(
)
关闭
A
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4
3. 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2,2), B(4,2), C(6,4), 以原点 O 为位似中心, 将△ABC 缩小, 使变换后得到的△DEF 与△ABC 对应边 的比为 1∶2, 则线段 AC 的中点 P 变换后对应的点的坐标 为 .
轻松尝试应用 1 2 3 4
1. 下列说法正确的是( ) A. 位似图形一定不是全等形 B. 两个位似图形的位似比不一定等于相似比 C. 位似比等于 1 的两个位似图形全等 D. 两个位似图形面积的比等于位似比
关闭
C
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4
2. 将左下图中的箭头缩小到原来的 , 得到的图形是