5 电动习题答案 郭硕鸿 第五章
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由 必须满足方程①所以后面不能有
只有
（2）由达朗贝尔方程
②将
代入得：
③
所以
由后面
，
所以 后面不能随意加常矢
两边不能随意加梯度场.所以只有
所以
由于此方程与
相似
可由书P 或做如下代换
，
得解为
（v为场源）
(3)由
将（2）（3）代入（1）得
: （5）
将（4）代入（5）式得得：
6.两个质量，电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生
由(11)及(7)式得:
(15)
由(13)及(8)式得:
(16)
由（5）、（16）及横场定义（8）知
将(16)及(4)式代入(12)得
(17)
将(5)式代入(10)式得:
(18)
由（8）式及（4）式得
(19)
由（18）（19）式得
（20）
将（5）式及（20）式代入（14）式得
(21)
常矢应归入 ,于是
(22)
（此式也可由（18）及横场定义直接得到。）
(23)
以上（15）（16）（17）（22）式及（23）式为 和 的横场和纵场，所满足的方程式，由最后
说明 为由空间全部电荷所激发的场，所以为库仑场；而 是由全部磁场所激发的，为有旋场。
2.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若P=0, ,则 可完全有矢势 决定。若取 ，这时 满足哪两个方程？
所以
（2）若 ， 时
所以
(3)电磁波在真空中传播，
由
,
5.设 和 是满足洛仑兹规范的矢势和标势
（1）引入一矢量函数 赫兹矢量），若令 ,证明
（2）若令 证明Z满足方程
,
写出在真空中的推迟
（3）证明 和 可通过 用下列公式表出
,
解：(1)由洛仑兹规范：
.
由
代入得
①
所以
由必须满足协变性，即规范不变性，
所以
其平面波解为
由
得
只要给定 ，则平面波完全可用矢势
表示，
若平面波沿Z方向，则：
=
由
垂直于Z轴。
4.设真空中矢势 可用复数傅立叶展开为
＝ ，其中 是 的复共轭。
（1）证明 满足谐振子方程
（2）当选取规范
(3)把 和 用 和 表示出来。
解：（1）由正交分解的特性， 可写为
若采用洛仑兹规范
即
则真空中 的齐次波动方程为：
解：在各项同性均匀介质中， ＝常数， ＝常数，达朗贝尔方程为：
若 则方程中只含有 和 ，若 定，则 可由方程求出。在 和 全定后，由
可求出 和 。
若
由（1）（2）可得
3.证明沿Z轴方向传播的平面电磁波可用矢势 表示，其中 ， 垂直于Z轴方向.
解：平面电磁波在没有电荷电流分布的空间传播，因而势方程 （1.9）变为波方程：
第五章电磁波的辐射
1.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分,写出E和B的这两部分在真空中所满足的方程式,并证明电场的无旋部分对应于库仑场。
解:首先将电磁场分成两部分:
其中角标L表示纵场角标T表示横场。所以有:
将（1）（3）代入电荷守恒定律有:
（10）
由（9）得:
将（1）（2）（3）代入真空中的麦氏方程组得
小球的总磁矩为
于是我们得到这旋转磁化球的辐射场
平均辐射能流为
11.带电粒子e作半径为a的非相对论性圆周运动，回旋频率为 ，求远处的辐射电磁场和辐射能流。
解：
（也可以写成复数形式： ）
所以
利用
12.设有一电矩振幅为 ，频率为 的电偶极子距理想导体平面为a/2处, 平行于导体平面，设 ，求 处电磁场和辐射能流。
9用电荷守恒定律，验证A和 的推迟势满足洛伦兹条件
解：
(c= )
第一项化为面积分，由于积分区域V’包括所有电流在内，没有电流通过区域的界面S，因而这面积分为零。
第二项由于
所以恒为0。
所以
10半径为 的均匀永磁体，磁化强度为 ，球以恒定角速度 绕通过球心而垂直于 的轴旋转，设 ，求辐射场和能流。
解：坐标原点取在球心，Z轴为小球的转动轴。因为 以角速度 垂直于Z轴转动，因此，它可以分解为x方向和y方向两个相位差为 的线振动：
解：设两粒子运行得方向为轴方向，由题意有
由
，
所以
由书 式得
＝
则
＝
由牛顿的三定律得
所以
B=0
同理
(
所以电偶极辐射为零.
由磁矩 的定义有
又由
，
由题意
所以磁偶极辐射为0.
7.设有一球对称的电荷分布，以频率w沿径向作简谐振动，求辐射场，并对结果给以物理解释.
解：本题为球对称问题，所以用球坐标.由题意：电荷分布为球对称性，所以有： ①取微元，在某时刻（ ）处有
解：
产生的辐射场为：
因
故
r2≌r1,
于是得
》
13设有线偏振平面波 照射到一个绝缘介质球上，引起介质球极化，极化质量 是随时间变化的，因而产生辐射，设波长远大于球半径，球介质球所产生的辐射场和能流。
解：由所给条件可解出外场 使介质球产生的极距为：
则由书P197得
能流为：
=
＝ +
＋
由
所以
所以不会发生辐射
8.一飞轮半径为R，并有电荷均匀分布在其边缘上，总电量为Q，设此飞轮以恒定角度 旋转，求辐射场。
解：使用柱坐标。由题意
，
所以
＝ ＋ ＝0
所以没有电偶极辐射
＝
所以
，
所以没有磁偶极辐射。更高级辐射也为零，故飞轮没有辐射。
注：稳定的电荷和电流分布只能产生稳定的电场与磁场，不会发生辐射。
只有
（2）由达朗贝尔方程
②将
代入得：
③
所以
由后面
，
所以 后面不能随意加常矢
两边不能随意加梯度场.所以只有
所以
由于此方程与
相似
可由书P 或做如下代换
，
得解为
（v为场源）
(3)由
将（2）（3）代入（1）得
: （5）
将（4）代入（5）式得得：
6.两个质量，电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生
由(11)及(7)式得:
(15)
由(13)及(8)式得:
(16)
由（5）、（16）及横场定义（8）知
将(16)及(4)式代入(12)得
(17)
将(5)式代入(10)式得:
(18)
由（8）式及（4）式得
(19)
由（18）（19）式得
（20）
将（5）式及（20）式代入（14）式得
(21)
常矢应归入 ,于是
(22)
（此式也可由（18）及横场定义直接得到。）
(23)
以上（15）（16）（17）（22）式及（23）式为 和 的横场和纵场，所满足的方程式，由最后
说明 为由空间全部电荷所激发的场，所以为库仑场；而 是由全部磁场所激发的，为有旋场。
2.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若P=0, ,则 可完全有矢势 决定。若取 ，这时 满足哪两个方程？
所以
（2）若 ， 时
所以
(3)电磁波在真空中传播，
由
,
5.设 和 是满足洛仑兹规范的矢势和标势
（1）引入一矢量函数 赫兹矢量），若令 ,证明
（2）若令 证明Z满足方程
,
写出在真空中的推迟
（3）证明 和 可通过 用下列公式表出
,
解：(1)由洛仑兹规范：
.
由
代入得
①
所以
由必须满足协变性，即规范不变性，
所以
其平面波解为
由
得
只要给定 ，则平面波完全可用矢势
表示，
若平面波沿Z方向，则：
=
由
垂直于Z轴。
4.设真空中矢势 可用复数傅立叶展开为
＝ ，其中 是 的复共轭。
（1）证明 满足谐振子方程
（2）当选取规范
(3)把 和 用 和 表示出来。
解：（1）由正交分解的特性， 可写为
若采用洛仑兹规范
即
则真空中 的齐次波动方程为：
解：在各项同性均匀介质中， ＝常数， ＝常数，达朗贝尔方程为：
若 则方程中只含有 和 ，若 定，则 可由方程求出。在 和 全定后，由
可求出 和 。
若
由（1）（2）可得
3.证明沿Z轴方向传播的平面电磁波可用矢势 表示，其中 ， 垂直于Z轴方向.
解：平面电磁波在没有电荷电流分布的空间传播，因而势方程 （1.9）变为波方程：
第五章电磁波的辐射
1.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分,写出E和B的这两部分在真空中所满足的方程式,并证明电场的无旋部分对应于库仑场。
解:首先将电磁场分成两部分:
其中角标L表示纵场角标T表示横场。所以有:
将（1）（3）代入电荷守恒定律有:
（10）
由（9）得:
将（1）（2）（3）代入真空中的麦氏方程组得
小球的总磁矩为
于是我们得到这旋转磁化球的辐射场
平均辐射能流为
11.带电粒子e作半径为a的非相对论性圆周运动，回旋频率为 ，求远处的辐射电磁场和辐射能流。
解：
（也可以写成复数形式： ）
所以
利用
12.设有一电矩振幅为 ，频率为 的电偶极子距理想导体平面为a/2处, 平行于导体平面，设 ，求 处电磁场和辐射能流。
9用电荷守恒定律，验证A和 的推迟势满足洛伦兹条件
解：
(c= )
第一项化为面积分，由于积分区域V’包括所有电流在内，没有电流通过区域的界面S，因而这面积分为零。
第二项由于
所以恒为0。
所以
10半径为 的均匀永磁体，磁化强度为 ，球以恒定角速度 绕通过球心而垂直于 的轴旋转，设 ，求辐射场和能流。
解：坐标原点取在球心，Z轴为小球的转动轴。因为 以角速度 垂直于Z轴转动，因此，它可以分解为x方向和y方向两个相位差为 的线振动：
解：设两粒子运行得方向为轴方向，由题意有
由
，
所以
由书 式得
＝
则
＝
由牛顿的三定律得
所以
B=0
同理
(
所以电偶极辐射为零.
由磁矩 的定义有
又由
，
由题意
所以磁偶极辐射为0.
7.设有一球对称的电荷分布，以频率w沿径向作简谐振动，求辐射场，并对结果给以物理解释.
解：本题为球对称问题，所以用球坐标.由题意：电荷分布为球对称性，所以有： ①取微元，在某时刻（ ）处有
解：
产生的辐射场为：
因
故
r2≌r1,
于是得
》
13设有线偏振平面波 照射到一个绝缘介质球上，引起介质球极化，极化质量 是随时间变化的，因而产生辐射，设波长远大于球半径，球介质球所产生的辐射场和能流。
解：由所给条件可解出外场 使介质球产生的极距为：
则由书P197得
能流为：
=
＝ +
＋
由
所以
所以不会发生辐射
8.一飞轮半径为R，并有电荷均匀分布在其边缘上，总电量为Q，设此飞轮以恒定角度 旋转，求辐射场。
解：使用柱坐标。由题意
，
所以
＝ ＋ ＝0
所以没有电偶极辐射
＝
所以
，
所以没有磁偶极辐射。更高级辐射也为零，故飞轮没有辐射。
注：稳定的电荷和电流分布只能产生稳定的电场与磁场，不会发生辐射。