5 电动习题答案 郭硕鸿 第五章
(完整版)电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)
电动力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：
B
A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(2
21∇⋅-∇=⨯∇⨯A
2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：
u u
f u f ∇=
∇d d )(，
u
u u d d )(A A ⋅
∇=⋅∇，
u
u u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：
3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=
为源点'x 到场点x
的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；
0)/(3=⨯∇r r ；
0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及
)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
4. 应用高斯定理证明
f
S f ⨯=⨯∇⎰⎰S
V
V d d ，应用斯托克斯
（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯L
S
ϕϕl S d d
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V
x x p ⎰
=
ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+
⋅∇t
ρ
J 证明p 的变化率为：⎰=V V t t
d ),'(d d x J p
6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3
郭硕鸿电动力学课后答案
解：本题的物理模型是，由外加电源在A、B两点间建立电场，使溶液中的载流子运动形成电流I，当系统稳定时，属恒定场，即 ， 。对于恒定的电流，可按静电场的方式处理。于是在A点取包围A的高斯面，则
(7)
(8)
由(7)(8)两式可得:
,
所以： ( )
( )
由此可得球内电流密度:
电解液中的电流密度为:
(2)两导体交界面上自由电荷面密度
(3)当 ，即球的电导率比周围电解液的电导率大的多时，
，
所以，
当 时，同理可得：
8.半径为 的导体球外充满均匀绝缘介质 ，导体球接地，离球心为a处（a> ）置一点电荷 ，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与电象法结果相同。
（4）求长度l的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。
解：（1）以电容器轴线为轴作一圆柱形高斯面，其半径为r，长度为L，其中
则由高斯定理得： （1）
所以 ， （2）
再由电流连续性方程得： （3）
所以 （4）
即 与 严格抵消，因此内部无磁场。
（2）由 得： （5）
联立（2）（4）（5）得 （6）
向量式为
11.平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 和 ，电容率为 和 ，今在两板接上电动势为E的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度 和 ；
郭硕鸿《电动力学》课后答案
9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度 总是等于体自由电荷密度 的 倍。
证明：在均匀介质中
所以
10.证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间
的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)
证明: 线圈1在线圈2的磁场中受的力:
,
而 ，
(1)
同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的力：
所以
（7）
设初始条件为 ，则由（7）式得
所以， （8）
（3） （9）
（4）将上式在长度为l的一段介质内积分，得
（10）
源自文库由 得：
所以 （11）
由（6）（10）（11）得：
即总的能量耗散功率等于这段介质的静电能减少率。
第二章静电场
1.一个半径为R的电介质球，极化强度为 ，电容率为 。
（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：
解：本题虽然不是静电问题，但当电流达到稳定后，由于电流密度Jf0与电场强度E0成正比（比例系数为电导率），所以E0也是稳定的。这种电场也是无旋场，其电势也满足拉普拉斯方程，因而可以用静电场的方法求解。
(1)未放入小球时，电流密度Jf0是均匀的，由Jf0 可知，稳恒电场E0也是一个均匀场。因此在未放入小球时电解液中的电势 便是均匀电场E0的电势。放入小球后，以球心为原点，E0的方向为极轴方向，建立球坐标系。为方便起见，以坐标原点为电势零点。在稳恒电流条件下， ，所以：
郭硕鸿《电动力学》课后习题答案
（1）
（2） （3） （4）
因为 a 为任意非零常向量，所以
dS dl
S
5.
已知一个电荷系统的偶极矩定义为
J
dp J ( x' , t )dV 0 证明 p 的变化率为： dt V t
p(t ) ( x ' , t )x ' dV ' ， 利 用 电 荷 守 恒 定 律
[ E0 sin( k r )] ( E0 ) sin( k r ) E0 [ sin( k r )] E 0 为常向量， E0 0 ，而 sin( k r ) cos(k r )(k r ) cos(k r )k ，
( x' , t ) dp d ( x' , t ) x' dV ' [ ( x' , t ) x' ]dV ' x' dV ' ('J ) x' dV ' V V V t dt dt V t 根据并矢的散度公式 ( fg ) ( f ) g ( f ) g 得： ( Jx' ) ( J ) x'( J ) x' ( J ) x' J dp '( Jx' )dV ' JdV ' dS ( Jx' ) JdV ' JdV ' V V V V dt （m R） / R3 的 旋 度 等 于 标 量 6. 若 m 是 常 向 量 ， 证 明 除 R 0 点 以 外 ， 向 量 A m R / R 3 的梯度的负值，即 A ，其中 R 为坐标原点到场点的距离，方
电动力学 郭硕鸿 第二版 习题答案
若 S → ∞, 则 ( xj ) ⋅ dS = 0, ( j 同理
(
r ∂ρ ) ∂t
∫
r
r
r
S
= 0)
y
= ∫ j y dV ' , (
r ∂ρ ) z = ∫ j z dV ' ∂t
即
r r r dP = ∫ j ( x ' , t )dV ' V dt
r r r r r m ×R m⋅R r 的旋度等于标量 ϕ = 的梯 6. 若 m 是常矢量 证明除 R 0 点以外 矢量 A = R3 R3
证明
r r rr ∂P ∂ρ ' r ' ' =∫ x dV = − ∫ ∇ ' j ' x ' dV ' V ∂t V ∂t r r r r r ∂P ' ( ) x = − ∫ ∇ ' j ' x ' dV ' = − ∫ [∇ ' ⋅ ( x ' j ' ) − (∇ ' x ' ) ⋅ j ' ]dV ' = ∫ ( j x − ∇ ' ⋅ ( x ' j ' )dV ' V V ∂t r r = ∫ j x dV ' − ∫ xj ⋅ dS
而
r r r r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ [( ) ( ) ( ) ]dV ∇ × = − + − + − f dV f f i f f j f f k x z y x ∫V ∫ ∂y z ∂z y ∂z ∂x ∂x ∂y = ∫[ r r r r r r ∂ ∂ ∂ ( f y k − f z j ) + ( f z i − f x k ) + ( f x j − f y i )]dV ∂x ∂y ∂z
郭硕鸿电动力学习题解答完全版(1_6章)
1. 根据算符∇的微分性与矢量性 推导下列公式
∇(Ar ⋅ Br) = Br × (∇× Ar) + (Br ⋅∇)Ar + Ar ×
(∇× Br) + (Ar ⋅∇)Br Ar × (∇× Ar) = 1 ∇Ar 2
− (Ar ⋅∇)Ar
2 解
1 ∇(Av ⋅ Bv) = Bv × (∇× Av) + (Bv ⋅∇)Av + Av × (∇× Bv) + (Av ⋅∇)Bv
首先 算符∇是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题 ∇将作用于 Av 和Bv
又∇是一个矢量算符 具有矢量的所有性质
因此 利用公式 cv × (av ×bv) = av ⋅(cv ⋅bv) − (cv ⋅av)bv 可得上式 其中右边前两项是 ∇作用于 v v A 后两项是∇作用于 B
v v
2 根据第一个公式 令 A B 可得证
2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明
∇f (u) = df
∇u du
∇⋅ Ar(u) = ∇u ⋅ dAr
du
r ∇× Ar(u) = ∇u × .
dA du
证明 1
∇f (u) = ∂f (u) er x + ∂f (u) er y + ∂f (u) er z = df du ⋅ e x + r ∂u er y + df ∂ur ⋅
⋅ e z = df ∇u ∂u ∂x ∂y ∂z
du ∂y du ∂z du 2
∂Ar y (u) ∂y dAr y (u) du ∂Ar x (u) + ∂x + ∂Ar z z(u) = dAr x (u) ⋅ ∂u + ⋅ ∂u + dAr z (u) ⋅ ∂u r
电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)
电动力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：
B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(2
2
1∇⋅-∇=
⨯∇⨯A
2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：
u u f u f ∇=
∇d d )(， u
u u d d )(A A ⋅
∇=⋅∇，
u
u u d d )(A A ⨯
∇=⨯∇
证明：
3. 设2
22)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=
为源点'x 到场点x
的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；
0)/(3
=⨯∇r r ；
0)/(')/(3
3
=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，
)]sin([0r k E ⋅⋅∇及
)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
4. 应用高斯定理证明f
S f ⨯=
⨯∇⎰⎰S V
V d d ，应用斯托克斯
（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯L
S
ϕϕ
l S d d
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V
x x p ⎰
=
ρ，
利用电荷守恒定律0=∂∂+
⋅∇t
ρJ 证明p 的变化率为：
⎰
=
V
V t t
d ),'(d d x J p
6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3
电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理
电动力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：
B
A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(2
2
1∇⋅-∇=⨯∇⨯A
2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：
u u
f u f ∇=
∇d d )(，
u
u u d d )(A A ⋅
∇=⋅∇，
u u u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：
3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=
为源点'x 到场点
x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；
0)/(3=⨯∇r r ；
0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及
)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
4. 应用高斯定理证明
f S f ⨯=⨯∇⎰⎰S
V
V d d ，应用斯托克斯
（Stokes ）定理证明
⎰⎰=∇⨯L
S
ϕϕl S d d
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为
'd '),'()(V t t V
x x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+
⋅∇t
ρJ
证明p 的变化率为：⎰=V
V t t d ),'(d d x J p
6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R ）（R m A ⨯=
郭硕鸿《电动力学》习题解答完全版(1-6章)
r
r
r
r
r
r
r r r ∇ ⋅ H dV = d S ∫ ∫ ⋅ H ,高斯定理 则证毕
V S
2)由斯托克斯公式有
∫ f ⋅ dl = ∫ ∇ × f ⋅ dS
l S
r
r r
r
r
∫ f ⋅ dl = ∫ ( f
l l
r
x
dl x + f y dl y + f z dl z )
r r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f f y )dS x + ( f x − f z )dS y + ( f y − f x )dS z ∇ × ⋅ dS = ∫ ( f z − ∫S S ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
3. 设 r =
( x − x ' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从 r ∂ r ∂ r ∂ + e y ' + e z ' ) 与对场变数求 ∂x ' ∂y ∂z
源点指向场点 1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 (∇ = e x
电动力学第三版答案 郭硕鸿著ppt课件
o 坐标原点
r
ex
r x
ey
r y
ez
r z
ex
(x r
x)
ey
(y
r
y)
ez
(z
r
z)
1 r
ex
(x
x)
ey
(
y
y)
ez
(z
z)
r r
er
• 第二步：场点固定，r 是源点的函数，对源点求梯度用 r表
示。
r
ex
r x
ey
r y
ez
r z
• 而 r 1 (x x)2 ( y y)2 (z z)2 1 2 2(x x) (1) x 2
向l上移动线元距离dl，
d dx dy
的增量d 称为方向微分，即
dz
dl
r dl
x
y
z
l
(
r i
r j
rr k ) (dxi
r dyj
r dzk )
x y z
(
r i
r j
r
rr r
rr r
k ) (dxi dyj dzk ) (dxi dyj dzk )
x y z
§0-1 矢量运算
1、两矢量标量积与矢量积
av
v b
axbx
《电动力学第三版郭硕鸿》第1-5章练习题答案
（一）单选题： 1.④ 2.③ 3.③ 4.③ 5.④ 6.① 7.③ 8.② 9.① 10.④
（二）填空题:
GG
1．
⎪⎧ ⎨
∇
×
HG
=J
⎪⎩ ∇ • B = 0
G 4． A
=
μ 4π
∫
G J ( x ' ) dV
r
'
∫ 6. 1
GG B • H dV
2∞
G
G
2. B = ∇ × A
9. S
10. 变化磁场激发电场
11. 电场强度随时间的变化率
∇
×
G E
=
−
G ∂B
12.
∂t
G ∇×H
=
G J+
G ∂D
13.
∂t
G 14. ∇ ⋅ D = ρ
G
15. ∇ ⋅ B = 0 16. 稳恒电流
G
G GG
17. f = ρ E + J × B (适用于电荷分布情况)
G
GG
18. e E + e v × B
（一）单选题： 1．④ 2.②
第五章 练习题答案
3.② 4.② 5.④ 6.④ 7.①
（二）填空题：
G 1． −∇ϕ − ∂A
∂t
G 2. A + ∇ψ
第五章习题答案 电机学
.5.1答：同步转速与转子转速之差与同步转速的比即为转差率，即1
1n n n s -=；当10,01<<<<s n n 时，异步电机处于电动机状态；当0,1<>s n n 时，异步电机处于发电机状态；当1,0><s n 时，异步电机处于电磁制动状态。
5.3 答：当转子绕组中通以频率为1f 的三相交流电流时，其合成的基波磁动势如以1n 相对于
转子顺时针旋转，也将相对于定子顺时针旋转，切割定子绕组，在定子绕组中感应电动势。由于定子绕组短接，定子绕组中将流过电流，产生电磁转矩，电磁转矩的方向与转子磁动势的转向相同，力图拉着定子与磁场同方向旋转，但定子固定于机座上，不能旋转。根据作用力等于反作用力，转子上受到一个逆时针方向的电磁转矩，转子将逆时针以略低于同步转速的速度旋转。转差率1
1n n n s -=，n 为转子逆时针旋转的转速。
5.8 答：异步电动机原运行于稳定状态，电磁转矩等于负载转矩。当负载增加时，电磁转
矩小于负载转矩，电机将减速。转速降低，↑s 转子的感应电动势↑=22sE E s ，转子电流随之增加，电磁转矩2'2cos ϕI C T m em Φ=亦随之增加，转速降低直至电磁转矩与负载转矩重新相平衡。根据异步电机的磁动势平衡方程式，转子电流增加，定子电流也将相应增加，电机的输入功率也随着负载的增加而增加。从空载到满载，电机的主磁通略有降低，基本不变。
5.16答：绕线式转子异步电动机在转子中串入电阻起动时，由于转子回路的电阻增大，因此起动电流减小（因为2212''21)()(σσX X R R R U I x
郭硕鸿 电动力学 第五版 -第1-4章答案
17.
G 15. ∇ ⋅ B = 0 16. 稳恒电流 G G G G f = ρE + J × B (适用于电荷分布情况)
G G G 19. D = ε 0 E + P
18.
G G G eE + ev × B
G G P = ( ε − ε ) E 21. 0
G G μ M = ( − 1 ) H 22.
3
9．
2 ⎧ ⎪∇ ϕ = 0(1) ⎨ ⎪ ⎩ϕ R→∞ = − E0 R cos θ (2) 1）式得 由（
ϕ = ∑ ( an R n +
n
bn )Pn (cos θ ) R n+1
由（2）式得 a1 = − E0 , an = 0(n ≠ 1) ⇒ ϕ = − E0 R cos θ + ∑
② 14. ④ 15. ② 16. ②
（二）填空题 1 ． 时 谐 2 .
G G − iωt E ( x )e
3.
G G − iωt B ( x )e
4.
G G i ( kG• x G E0 ( x )e −ωt )
5.
G G i ( kG• x G B0 ( x )e −ωt )
6.
1 G G G G ( E • D + H • B) 2
n
bn Pn (cos θ ) R n +1 − （n + 1 ）bn R0
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电动⼒学答案
第⼀章电磁现象的普遍规律
1. 根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：
2. 设是空间坐标的函数，证明：
，，
证明：
3. 设为源点到场点的距离，的⽅向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
；；；
，。
（2）求，，，，及
，其中、及均为常向量。
4. 应⽤⾼斯定理证明，应⽤斯托克斯（Stokes）定理证明
5. 已知⼀个电荷系统的偶极矩定义为，利⽤电荷守恒定律
证明p的变化率为：
6. 若m是常向量，证明除点以外，向量的旋度等于标量
的梯度的负值，即，其中R为坐标原点到场点的距离，⽅向由原点指向场点。
7. 有⼀内外半径分别为和的空⼼介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀
带静⽌⾃由电荷，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化⾯电荷分布。
8. 内外半径分别为和的⽆穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀⾃由电流
，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。
9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体⾃由电荷密度的
倍。
10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作⽤⼒⼤⼩相等⽅向相反(但两个电流元之间
的相互作⽤⼒⼀般并不服从⽜顿第三定律
11. 平⾏板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，今在两板接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的⾃由电荷⾯密度和；
（2）介质分界⾯上的⾃由电荷⾯密度。(若介质是漏电的，电导率分别为和
当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？
12.证明：
郭硕鸿《电动力学》课后答案
电动力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：
B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇
A
A A A )()(2
21∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇
B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c c
B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=
（2）在（1）中令B A =得：
A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，
所以 A
A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯ 即 A
A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：
u u f u f ∇=
∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， u
u u d d )(A
A ⨯∇=⨯∇ 证明：
（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=
∇)()()()(z y x z u
u f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u u
f z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A z
u
u A y u u A x u u A z y x ∂∂+
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若 则方程中只含有 和 ，若 定，则 可由方程求出。在 和 全定后，由
可求出 和 。
若
由（1）（2）可得
3.证明沿Z轴方向传播的平面电磁波可用矢势 表示，其中 ， 垂直于Z轴方向.
解：平面电磁波在没有电荷电流分布的空间传播，因而势方程 （1.9）变为波方程：
解：设两粒子运行得方向为轴方向，由题意有
由
，
所以
由书 式得
＝
则
＝
由牛顿的三定律得
所以
B=0
同理
(
所以电偶极辐射为零.
由磁矩 的定义有
又由
，
由题意
所以磁偶极辐射为0.
7.设有一球对称的电荷分布，以频率w沿径向作简谐振动，求辐射场，并对结果给以物理解释.
解：本题为球对称问题，所以用球坐标.由题意：电荷分布为球对称性，所以有： ①取微元，在某时刻（ ）处有
9用电荷守恒定律，验证A和 的推迟势满足洛伦兹条件
解：
(c= )
第一项化为面积分，由于积分区域V’包括所有电流在内，没有电流通过区域的界面S，因而这面积分为零。
第二项由于
所以恒为0。
所以
10半径为 的均匀永磁体，磁化强度为 ，球以恒定角速度 绕通过球心而垂直于 的轴旋转，设 ，求辐射场和能流。
解：坐标原点取在球心，Z轴为小球的转动轴。因为 以角速度 垂直于Z轴转动，因此，它可以分解为x方向和y方向两个相位差为 的线振动：
由(11)及(7)式得:
(15)
由(13)及(8)式得:
(16)
由（5）、（16）及横场定义（8）知
将(16)及(4)式代入(12)得
(17)
将(5)式代入(10)式得:
(18)
由（8）式及（4）式得
(19)
由（18）（19）式得
（20）
将（5）式及（20）式代入（14）式得
(21)
常矢应归入 ,于是
由 必须满足方程①所以后面不能有
只有
（2）由达朗贝尔方程
②将
代入得：
③
所以
由后面
，
所以 后面不能随意加常矢
两边不能随意加梯度场.所以只有
所以
由于此方程与
相似
可由书P 或做如下代换
，
得解为
（v为场源）
(3)由
将（2）（3）代入（1）得
: （5）
将（4）代入（5）式得
由
得：
（6）
由
得：
6.两个质量，电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生
解：
产生的辐射场为：
因
故
r2≌r1,
于是得
》
13设有线偏振平面波 照射到一个绝缘介质球上，引起介质球极化，极化质量 是随时间变化的，因而产生辐射，设波长远大于球半径，球介质球所产生的辐射场和能流。
解：由所给条件可解出外场 使介质球产生的极距为：
则由书P197得
能流为：
第五章电磁波的辐射
1.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分,写出E和B的这两部分在真空中所满足的方程式,并证明电场的无旋部分对应于库仑场。
解:首先将电磁场分成两部分:
其中角标L表示纵场角标T表示横场。所以有:
将（1）（3）代入电荷守恒定律有:
（10）
由（9）得:
将（1）（2）（3）代入真空中的麦氏方程组得
所以
（2）若 ， 时
所以
(3)电磁波在真空中传播，
由
,
5.设 和 是满足洛仑兹规范的矢势和标势
（1）引入一矢量函数 赫兹矢量），若令 ,证明
（2）若令 证明Z满足方程
,
写出在真空中的推迟
（3）证明 和 可通过 用下列公式表出
,
解：(1)由洛仑兹规范：
.
由
代入得
①
所以
由必须满足协变性，即规范不变性，
所以
小球的总磁矩为
于是我们得到这旋转磁化球的辐射场
平均辐射能流为
11.带电粒子e作半径为a的非相对论性圆周运动，回旋频率为 ，求远处的辐射电磁场和辐射能流。
解：
（也可以写成复数形式： ）
所以
利用
12.设有一电矩振幅为 ，频率为 的电偶极子距理想导体平面为a/2处, 平行于导体平面，设 ，求 处电磁场和辐射能流。
(22)
（此式也可由（18）及横场定义直接得到。）
(23)
以上（15）（16）（17）（22）式及（23）式为 和 的横场和纵场，所满足的方程式，由最后
说明 为由空间全部电荷所激发的场，所以为库仑场；而 是由全部磁场所激发的，为有旋场。
2.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若P=0, ,则 可完全有矢势 决定。若取 ，这时 满足哪两个方程？
其平面波解为
由
得
只要给定 ，则平面波完全可用矢势
表示，
若平面波沿Z方向，则：
=
由
垂直于Z轴。
4.设真空中矢势 可用复数傅立叶展开为
＝ ，其中 是 的复共轭。
（1）证明 满足谐振子方程
（2）当选取规范
(3)把 和 用 和 表示出来。
解：（1）由正交分解的特性， 可写为
若采用洛仑兹规范
即
则真空中 的齐次波动方程为：
=
＝ +
＋
由
所以
所以不会发生辐射
8.一飞轮半径为R，并有电荷均匀分布在其边缘上，总电量为Q，设此飞轮以恒定角度 旋转，求辐射场。
解：使用柱坐标。由题意
，
所以
＝ ＋ ＝0
所以没有电偶极辐射
＝
所以
，来自百度文库
所以没有磁偶极辐射。更高级辐射也为零，故飞轮没有辐射。
注：稳定的电荷和电流分布只能产生稳定的电场与磁场，不会发生辐射。