排列组合的题型(精)教师版

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排列组合例题精选教师（1）

排列组合例题精选教师（1）10.1排列与组合考点⼀:排列问题例1,六⼈按下列要求站⼀横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、⼄必须相邻；（3）甲、⼄不相邻；（4）甲、⼄之间间隔两⼈；（5）甲、⼄站在两端；（6）甲不站左端，⼄不站右端.例1,解（1）⽅法⼀要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A1 4种站法，然后其余5⼈在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A14·A55=480（种）.⽅法⼆由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个⼈中选2个⼈站，有A25种站法，然后中间4⼈有A4 4种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A25·A44=480（种）.⽅法三若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：A6=480（种）.（2）⽅法⼀先把甲、⼄作为⼀个“整体”，看作⼀个⼈，和其余4⼈进⾏全排列有A55种站法，再把甲、⼄进⾏全排列，有A22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A55·A22=240（种）站法.⽅法⼆先把甲、⼄以外的4个⼈作全排列，有A44种站法，再在5个空档中选出⼀个供甲、⼄放⼊，有A1 5种⽅法，最后让甲、⼄全排列，有A22种⽅法，共有A44·A15·A22=240（种）.（3）因为甲、⼄不相邻，中间有隔档，可⽤“插空法”，第⼀步先让甲、⼄以外的4个⼈站队，有A4 4种站法；第⼆步再将甲、⼄排在4⼈形成的5个空档（含两端）中，有A25种站法，故共有站法为A44·A25=480（种）.也可⽤“间接法”，6个⼈全排列有A6=240种站法，所以不相邻的站法有A66-A55·A22=720-240=480（种）.（4）⽅法⼀先将甲、⼄以外的4个⼈作全排列，有A44种，然后将甲、⼄按条件插⼊站队，有3A22种，故共有A44·（3A22）=144（种）站法.⽅法⼆先从甲、⼄以外的4个⼈中任选2⼈排在甲、⼄之间的两个位置上，有A2 4种，然后把甲、⼄及中间2⼈看作⼀个“⼤”元素与余下2⼈作全排列有A33种⽅法，最后对甲、⼄进⾏排列，有A22种⽅法，故共有A24·A33·A22=144（种）站法.（5）⽅法⼀⾸先考虑特殊元素，甲、⼄先站两端，有A22种，再让其他4⼈在中间位置作全排列，有=48（种）站法.⽅法⼆⾸先考虑两端两个特殊位置，甲、⼄去站有A2 2种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4⼈去站，有A44种站法，由分步乘法计数原理共有A22·A44=48（种）站法.（6）⽅法⼀甲在左端的站法有A55种，⼄在右端的站法有A55种，且甲在左端⽽⼄在右端的站法有A44种，共有A66-2A55+A44=504（种）站法.⽅法⼆以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A55种站法，②甲在中间4个位置之⼀，⽽⼄不在右端有A14·A14·A44种，故共有A5·A44=504（种）站法.考点⼆:组合问题例2, 男运动员6名，⼥运动员4名，其中男⼥队长各1⼈.选派5⼈外出⽐赛.在下列情形中各有多少种选派⽅法？（1）男运动员3名，⼥运动员2名；（2）⾄少有1名⼥运动员；（3）队长中⾄少有1⼈参加；（4）既要有队长，⼜要有⼥运动员.例2, 解（1）第⼀步：选3名男运动员，有C36种选法.第⼆步：选2名⼥运动员，有C24种选法.共有C36·C24=120种选法. 3分（2）⽅法⼀⾄少1名⼥运动员包括以下⼏种情况：1⼥4男，2⼥3男，3⼥2男，4⼥1男.由分类加法计数原理可得总选法数为C1 4C46+C24C36+C34C2=246种. 6分⽅法⼆“⾄少1名⼥运动员”的反⾯为“全是男运动员”可⽤间接法求解.从10⼈中任选5⼈有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“⾄少有1名⼥运动员”的选法为C510-C56=246种. 6分（3）⽅法⼀可分类求解：“只有男队长”的选法为C48；“只有⼥队长”的选法为C48；“男、⼥队长都⼊选”的选法为C38；所以共有2C48+C38=196种选法. 9分⽅法⼆间接法：从10⼈中任选5⼈有C 510种选法.其中不选队长的⽅法有C 58种.所以“⾄少1名队长”的选法为C 510-C 58=196种. 9分（4）当有⼥队长时，其他⼈任意选，共有C 49种选法.不选⼥队长时，必选男队长，共有C 48种选法.其中不含⼥运动员的选法有C 45种，所以不选⼥队长时的选法共有C 48-C 45种选法.所以既有队长⼜有⼥运动员的选法共有例3, 4个不同的球，4个不同的盒⼦，把球全部放⼊盒内. （1）恰有1个盒不放球，共有⼏种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有⼏种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有⼏种放法？例3,解（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒⼦中任意取出去⼀个，问题转化为“4个球，3个盒⼦，每个盒⼦都要放⼊球，共有⼏种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒⼦中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒⼦内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22=144种.（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒⼦放2个球，每个盒⼦⾄多放1个球，也即另外3个盒⼦中恰有⼀个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同⼀件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有C 24种⽅法.4个球放进2个盒⼦可分成（3，1）、（2，2）两类，第⼀类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种⽅法；第⼆类有序均匀分组有222224A C C ·A 22种⽅法.故共有C 24( C 34C 11A 22+222224A C C ·A 22）=84种.当堂检测答案1，从5名男医⽣、4名⼥医⽣中选3名医⽣组成⼀个医疗⼩分队，要求其中男、⼥医⽣都有，则不同的组队⽅案共有（）A ，70 种B ，80种C ，100 种D ，140 种解析：分为2男1⼥，和1男2⼥两⼤类，共有21125454C C C C ?+?=70种，解题策略：合理分类与准确分步的策略。

排列组合问题教师版

二十种排列组合问题的解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理．教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理．2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事．分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类． 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 排法；然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种排法；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有34A 种排法；∴由分步计数原理得113434288C C A =443练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？解：先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有24A 不同种法，再其它葵花有55A 不同种法，所以共有不同种法2545121201440A A =⨯=种不同的种法．二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排．由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法．练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 解：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位，共有2520A =种不的情形．三.不相邻问题插空策略例3.一晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7733A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法．（七个空位坐了四人，剩下３个空位按一定顺序坐下甲，乙，丙）思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有3474C A 方法．（先选三个座位坐下甲，乙，丙共有37C 种选法，余下四个空位排其它四人共有44A 种排法，所以共有3474C A 种方法．）练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C 五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 422. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87六.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有24A 种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种排法．（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可）练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列11116181417108238346C C C C +=+=七.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种八.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？（注：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）．解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种九.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法．注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的．练习题：10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C一班二班三班四班七班2.100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C十.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +- 练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十一.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22264233C C C A 种分法．练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（544138422C C C A ） 2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n n A (n 为均分的组数)避免重复计数。

四年级第二十一讲排列组合教师版

第 21 讲摆列组合内容归纳认识摆列、组合公式的出处及含义，掌握详尽的计算方法；辨析摆列、组合之间酌差异与联系，并能够合理应用．典型问题兴趣篇1. 计算：(1)A42(2) A104(3)3 A33A63【答案】 (1)12(2)5040(3)138【剖析】依照摆列公式A n m( m1)(m n1) 计算m(1)A42 4 312(2) A104109875040(3)3A33A631382．费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相，一共有多少种不相同的摆列方法?【答案】 24【剖析】这种摆列是有序的A44 4 3 2 1 243．体育课上，老师从10 名男生中挑出 4 人站成一排，—共有多少种不相同的摆列方法?【答案】 5040【剖析】先从 10 人中选出 4 人，再让 4 人全摆列C104A4424 210 50404．费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，上车后发现有8 个空座位，他们一共有多少种不相同的坐法?【答案】 1680【剖析】先让 4 人选座位，再让 4 人全摆列C84A4470 24 16805．用 1 至 7 这 7 个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数?若是把这些三位数从小到大排起来， 312 是其中第几个 ?【答案】（ 1） 210；（ 2）第 61 人【剖析】第一个地址有7 中选择第二个地址有6个选择第三个位置有5 个选择(1) A17A61A51210(2)百位是 1开头的有 30个，百位是 2开头的有 30个，312是第 61个6.计算：(1)C52(2) C74(2) A63C63【答案】（ 1） 10 （2） 35（ 3） 2400【剖析】依照组合公式n A m n2 5 44 765433120 20 2400C m n(1)C52 110(2)C7432135(3)A6C6A n7．图 21-1 中有六个点，任意三个点都不在一条直线上．请问：(1)以这些点为端点，一共能够连出多少条线段?(2)以这些点为极点，一共能够连出多少个三角形?【答案】（ 1） 15 条；（ 2） 20 个【剖析】（ 1）不在同素来线两点确定一条直线C6215 （2)不在同素来线三点确定一个三角形 C6320 个8．费叔叔把 10 张不相同的游戏卡片分给冬冬和阿奇，而且决定给冬冬 8 张，给阿奇 2 张．一共有多少种不相同的分法 ?【答案】 45【剖析】先选出8 张冬冬，剩下 2 张就是阿奇的C108209．小悦要从八门课程中选学三门，一共有多少种选法 ?若是数学课与钢琴课时间矛盾，不能够同时学，她一共有多少种选法 ?【答案】 50【剖析】用消除法八门中任选三门，有56 种，数学课与钢琴课同时上有 6 种，减去不吻合题意的 6 种，C83C1656 650 种10．象棋兴趣小组一共有 9 名同学，请问：(1)若是从中选 3名同学在第二天的清早、中午、夜晚分别做值日，共有多少种选法?(2)若是从中选 3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法?【答案】（ 1） 504 种；（ 2） 84 种【剖析】（ 1）先选出 3 人再全摆列，A39 8 7504 种（2）这种选人是无序的C38499种拓展篇1. 计算：(1)A52(2) A73(3) A64A62【答案】（ 1） 20；（ 2） 210；（ 3） 330【剖析】(1)A52 5 4 20 (2) A737 6 5 210 (3) A64A62 6 5 4 3 6 53302．如图 21-2 所示，有 5 面不相同颜色的小旗，任取 3 面排成一行表示一种信号，用这 5 面小旗一共能够表示出多少种不相同的信号?【答案】 60【剖析】先从 5 面旗选出 3 面旗，再让三面旗全摆列A5360 种3． 3 名同学一块去图书馆借科幻小说，发现书架上只剩下9 本，且各不相同．若是每人只借 1 本，那么共有多少种不相同的借法?【答案】 504【剖析】先从 9 本书选出 3 本书，再让 3 本书全摆列A93504 种4．用 1、2、3、4、5 这五个数码能够组成多少个没有重复数字的四位数?将这些四位数从小到大摆列起来，4125 是第几个 ?【答案】（ 1） 120；（2） 74 个【剖析】（ 1）第一个地址有 5 种选法，第二个地址有 4 种选法，第三个地址有三种选法，第四个地址有 2 种选法，A54120 （2）千位以1开头的有 A41A31A2124 个千位以2开头的有 A41A31A2124 个千位以 3 开头的有A41A31A2124 个千位以 4 开头第一个4123，第二个就是4125 所以24 3 2 74个5. 计算：(1)C93(2) C1032C102(3)C4， C1(4) C107， C35510【答案】（ 1） 84；（ 2） 30；（ 3） 5,5 ；（ 4）120,120【剖析】 (1)C9384 ； (2) C1032C102120 9030；(3)C545， C515(4)C107120 ， C1031206．如图 21-3 所示，从端点O 出发的射线共有7 条，图中一共有多少个锐角?【答案】 21【剖析】夹角最大两条直线间夹角小于90 度，所以这两条直线间的任两条直线组成的角小于90度，C727 6 2 21个7．如图 21-4 所示，在一个圆周上有 8 个点，以这些点为极点或端点，一共能够画出多少条线段 ?多少个三角形 ?多少个四边形 ?【答案】（ 1） 28 条；（ 2） 56 个；（ 3） 70 个；【剖析】（1）不在同素来线两点确定 1 条直线，C8228 条（2）不在同素来线三点确定1个三角形， C8356 个（3）不在同素来线四点确定 1 个四边形，C8470 个8．9 支球队进行足球比赛，实行单循环制，即每两队之间只比赛一场．每场比赛后胜方得3分，平局双方各得 1 分，负方不得分．请问：一共要举行多少场比赛?9 支队伍的得分总和最多为多少 ?【答案】（ 1） 36 场（ 2） 108 分【剖析】（ 1）9 个队中每 2 个队比一场C9236 场（2）分总和最多，那就是全赢363108分9．学校十佳歌手大赛的 10 名获奖选手中，每 3 人都要照一张合影．问：需要拍多少张照片 ? 【答案】 120 张【剖析】没有排序问题所以C8312010．在新学期的班会上，大家要从11 名候选人中选出班干部．请问：(1)选出三人组成班委会，那一共有多少种选法?(2)从剩下的候选人中，选出三人分别担当语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法 ?【答案】（ 1） 165 种（ 2） 336 种【剖析】（ 1）从 11 人中选出 3 人C113165 种（2）从剩下 3 人选出 3 人全摆列C83A3356 6 336种11．费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇去参加一次聚会，主持人要求每个人从12 个颜色不相同的彩球中领取一个．请问：(1)小悦是第一个取球的人，她一共选出了 4 个球，准备回头分给大家，那一共有多少种选法 ?(2)小悦回到座位后，把这 4 个球分给大家，一共有多少种分法?(3)最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能?【答案】（ 1） 495 种；（ 2）24 种；（ 3） 11880 种【剖析】（ 1）从 12 个球中选出 4 个没有排序问题C124495 种（2）把四个不相同色的球分给4个人A4424 种（3）先从12 个不相同色的球选出4 个不相同色的球，再分给 4 个人，C124A44495 24 11880 种12．周末大打扫，老师要从第一组的10 名男生和 10 名女生中选出 5 人留下打扫卫生．请问：(1)若是老师任意选择，一共有多少种选择方法?(2)若是老师决定选出 2 名男生和 3名女生，一共有多少种选择方法?【答案】（ 1） 15504 种；（ 2） 5400 种【剖析】（ 1）从 20 人中选出 5 人C20315504 种（2)从10名男生选 2 人，从 10 名女生选 3人C102C1035400 种超越篇1．有一些四位数，它们由 4 个互不相同且不为零的数字组成，所有这样的四位数从小到大依次摆列，第20 个是多少 ?【答案】 5132【剖析】因为由 4 个互不相同且不为零的数字组成，而且这而且这 4 个数字的和等于11．将4 个数字的和等于11，只有数字1,2,3,5满足千位 1 开头有A31A21 6 个，千位 2 开头有A31A21 6 个，千位 3 开头有A31A21 6 个，千位 5 开头有第一个5123 第二个51326+6+6+2=202．在身高互不相同的 6 个人中，选出 3 个人站成第一排，别的 3 个人站成第二排．请问：(1)若是能够任意站，那么一共有多少种排法?(2)若是要求第二排最矮的人也比第一排最高的人高，那么一共有多少种不相同的排法?【答案】（ 1） 720 种；（ 2）36 种【剖析】（ 1）先从 6 人中选出 3 个人为第一排，再全摆列，剩下 3 人为一排再全摆列C63A33A33720种（ 2）最高三人为第二排，其余三人为第一排，让它们每排分别全排列， A33A3336 种3．小口袋中有 4 个球，大口袋中有 6 个球，这些球颜色各不相同．请问：(1)任意取 4 个球出来，那么共有多少种不相同的结果?(2)取出 4 个球，而且恰好从每个口袋中各取 2 个球，共有多少种不相同结果【答案】（ 1） 210 种；（ 2）90 种【剖析】（ 1）从小口袋取出 4 个大口袋取0 个，从小口袋取出 3 个大口袋取袋取出 2 个大口袋取 2 个，从小口袋取出 1 个大口袋取 3 个，从小口袋取出?1 个，从小口0 个大口袋取4个 C44C41C63C42C62 C 43 C 16C64 1 80902415210 种(2)每个袋子取两个，是无序的C42C62 6 1590 种4.在 1 至 30 30 个自然数中任意挑出两个不相同的数，使得它的和是偶数，一共有多少种不相同的挑方法 ?【答案】 210 种【剖析】和偶数，共 2 种情况：奇＋奇偶＋偶。

排列组合中的染色问题(教师版)

排列组合中的染色问题辅导教师：朱屿电话：150****8809染色问题的基本要求：每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色; 染色问题的基本方法:先选色后涂色;染色问题的注意事项;分清区域数量和可供选择的颜色种类。

必要时可以对颜色或区域进行分类。

1.将A 、B 、C 三种不同的颜色，填到如图所示区域中，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，三种颜色都用到，则不同的涂法种数为（ 90种）解：906121212121213=-C C C C C C （详解:先从三种不同的颜色中选出一种填到第一个小格中,后面每小格都有两种不同的选法,所以共有121212121213C C C C C C 种,但由于每种颜色都用到,所以总计有:（90种,）变式训练：1、如果方格数有变化，应该怎样解？2、如果颜色有变化呢？ 2.如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分不种同颜色的花，则不同的栽法种数为（120种）解：先安排六个区域的中1、2、3有2434=A 种，不妨已分别栽A 、B 、C ，则余下的区域4、5、6的栽法有B-C-D ， B-D-C ， D-B-C ，D-B-D ，D-C-D 共计五种。

所以共计有24*5=120种。

3.用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260种）解法一：①.如果用4种颜色，有12045=A 种562341②.如果用3种颜色，选色有1035=C ，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120种，③.用2色图，20225=⨯C ，综上共计120+120+20=260种。

解法二：从五种颜色中选出两种涂到1、3有A 52=20种，然后涂4区域，分为两种情况：不妨假设1、3涂的是A 、B ，如果4中涂B ，4、2区域有4种涂法；如果4区域不是B ，4、2区域有3*3=9种涂法，所以总的涂法种数为A 52*（4+9）=260种。

排列与组合.版块八.排列组合问题的常用方法总结2.教师版

挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）【例1】某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列．于是安排方法数为1192928C A ．【答案】1192928C A ；【例2】某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，典例分析排列组合问题的常用方法总结 2可在12个名额中的11个空档中插入7块档板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C 330=种．【答案】330；【例3】 ()15a b c d +++有多少项？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】当项中只有一个字母时，有14C 种（即,,,a b c d ），而指数的次数为15，故这样的项有14C 个；当项中有2个字母时，有24C 种，指数和为15，即将15个1分配给2个字母，用挡板法知为114C ，于是一共这样的项有21414C C ⋅；当项中有3个字母时，同上讨论知这样的项有32414C C ⋅种．当项中有4个字母时，同上讨论知这样的项有43414C C ⋅种．于是()15a b c d +++的项数为12132434414414414C C C C C C C 816+⋅+⋅+⋅=．或者化为123415x x x x +++=的不定方程非负整数解的问题，答案为318C 816=．【答案】816；【例4】有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】为使每个盒子内的球数不少于编号数，先将0，1，2个球分别放入编号为1，2，3的盒子，这样这个问题转化为将17个球放入三个不同盒子的问题．将17个小球排成一排，在其间的16个空隙中插入2个挡板即可．于是所有的方法数为216C 120=．【答案】120；【例5】不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有组，非负整数解有组．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】相当于把100个1分给50个未知数，采用挡板法，于是所有的方法数为4999C ；非负整数解的问题，等价于 ()()()()12350111...1150x x x x ++++++++=的非负整数解问题，等价于1i i y x =+，12350...150y y y y ++++=的正整数解问题，一共有49149C 组．【答案】4999C ，49149C ；【例6】 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙中的排列问题．59C 126=种．【答案】126；【例7】将7个完全相同的小球任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】考虑将74+个球放入4个盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子都减去一个球后与题目中的情形一一对应，故只需考虑将11个球放入4个盒子，每个盒子都不空即可．用加号法：将11写成11个1相加，共有10个加号，从中任取3个，刚可将这些数分成4份，共310C 120=种．【答案】120；【例8】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题，共有612C 924=种不同的走法．【答案】924；【例9】有10个三好学生名额，分配到高三年级的6个班里，要求每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】将10写成10个1相加，其中有9个加号，选出其中的5个加号，于是10可以被分成6数之和，且每个数都不小于1，故共有59C 126=种分配方案．【答案】126；【例10】某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有_____种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】用隔板法，18人排成一排，有17个间隔，在17个间隔里插入9个隔板，故共有917C 种分配方案．【答案】917C【例11】 10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】先拿3个指标分配给二班一个，三班两个，然后，问题就转化为7个优秀名额分配给三个班级，每班至少一个．用隔板法，有2615C =种方法．【答案】15插空法（当需排的元素不能相邻时）【例12】从1231000，，，，个自然数中任取10个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同的白球，其中黑球不相邻的排列问题，也就是从990个白球形成的991个空档中选择10个放黑球，共有10991C 种不同的取法．【答案】10991C【例13】某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）A ．12B ．16C ．24D ．32【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】选择【关键字】2010年，西城1模【解析】将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有34A 24 种排法．【答案】C ；【例14】三个人坐在一排8个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】将三个人插入5个空位中间的四个空档中，共有34A 43224=⨯⨯=种．【答案】24；【例15】要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】6个歌唱节目排列有66Α种，歌唱节目的空隙及两端共7个位置排入4个舞蹈节目，有47Α种方法．因此，由计数原理总方法有6467ΑΑ种．【答案】6467ΑΑ【例16】马路上有编号为l ，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_____种．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】关掉的灯不能相邻，也不能在两端．又因为灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯．有3620C =种．【答案】20；【例17】为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】先将无机染料和添加剂全排，有44Α种，包括两端共5个空，再将3种有机染料插入空中，有35Α种，故总要试验的次数为43451440=ΑΑ．【答案】1440；【例18】一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不同的坐法．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】六个人全排后，将3空位插入六个人之间的五个空档中，共6365A C 720107200=⨯=种坐法．【答案】7200；【例19】某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（）A ．360B ．520C ．600D ．720【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】选择【关键字】2009年，海淀区2模【解析】只有甲参加时，有3454C 240=Α种；同理，只有乙参加时也有240种；甲、乙都参加时，先从剩下的5人中选2个排好，然后将甲、乙两人插入3个空中，故共有2253120=ΑΑ种．因此不同发言顺序的种数为2402120600⨯+=．【答案】C ；【例20】在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】相当于在一个有10个位置的节目单中，有序插入2个歌唱节目，还剩余8个位置，由于剩余的8个节目的相对位置固定，故此时10个节目的位置确定．故所有的排法数为21010990A =⋅=．【答案】90；【例21】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题，将三黑球“捆绑”在一起看成一个“黑球”，与另一个黑球插入四个白球的空档中，共有25A 20=种不同的结果．【答案】20；捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）【例22】 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：4444A A 576⋅=．【答案】576；【例23】四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】先选取4个小球中的2个捆绑在一个，然后此3个群体放入3个盒子，一共的方法数有2343C A 36⋅=种．【答案】36【例24】某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列．【答案】1192928C A ⋅【例25】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】先将8辆车全排有88Α种，再将4个空车位看成整体插入8辆车形成的9个空档中，有19C 种方法，故所求的方法为889Α．【答案】889Α；【例26】四个不同的小球放入编号为1234，，，的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】4个盒子选一个为空的方法14C 种，4个小球放入剩下3个盒子，每盒都至少有一个，只有112，，这种可能，故总共有111234432322C C C C 144=ΑΑ种放法．换一种思路，从4个小球中取2个放在一起，有24C 种不同的方法，把取出的两个看成一个大球，与另外两个小球放入4个盒子中的3个，有34Α种不同的方法，故共有2344C 144=Α种放法．【答案】144；除序法（平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列．）【例27】 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】分出三堆书()()()123456,,,,,a a a a a a 由顺序不同可以有33A 6=种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有22264233C C C 15A =种【答案】15【例28】 6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】分出三堆书()()()123456,,,,,a a a a a a 由顺序不同可以有22A 4=种，而这4种分法只算一种分堆方式，故分堆方式有41162122C C C 15A =种【答案】15；【例29】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴7733A A ；⑵773434A A A【例30】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为12，故本例所求的排法种数就是所有排法的12，即661A 3602=种．或者由于数学和体育的次序固定，方法数为6622A 360A =．【答案】360【例31】甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】选择【关键字】2008年，海南宁夏高考【解析】A ；从五天中抽出三天来安排甲乙丙共有35C 10=种，其中甲要排在三天中的第一天，乙与丙还有两种顺序，故共有20种安排方法．【答案】A ；【例32】某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A 校定为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的3个志愿栏内，其中B C ，校必选，且B 在C 前，问此考生共有种不同的填表方法（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年，东城1模【解析】第一档次的志愿填法有26Α种；第二档次的学校除B C ，外另一个有13C 种选法，排顺序有3332=Α种（因为B 在C 前和B 在C 后的排法是一样多的），因此不同的填表方法共有21633C 270⨯=Α种．【答案】270递推法【例33】一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】设上n 级楼梯的走法有n a 种，易知121,2a a ==，当2n ≥时，上n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有1n a -种走法，第二类是最后一步跨两级，有2n a -种走法，由加法原理知：12n n n a a a --=+，据此3123a a a =+=，4235a a a =+=，5348a a a =+=，如是很容易计算出上10级台阶的走法数为89．【答案】89；用转换法解排列组合问题【例34】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．25A 20=种．【答案】20【例35】 6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．59C 126=种．【答案】126；【例36】从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题．于是答案为10991C ．【答案】10991C【例37】某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．37C 35=种．【答案】35；【例38】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．612C 924=种．【答案】924；【例39】求()10a b c ++的展开式的项数．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】展开使的项为a b c αβγ，且10αβγ++=，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．212C 66=种．【答案】66【例40】亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】设亚洲队队员为a 1，a 2，…，a 5，欧洲队队员为b 1，b 2，…，b 5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为610C =252（种）【答案】252；【例41】圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有415C 1365 个．【答案】1365；。

(完整版)排列组合题型分类解析(教师版)

排列组合题型分类解析一. 知识梳理：1、两个计数原理：___________________________(分类)____________________________(分步)2、排列：（1）排列的定义：_______________________（2）排列数公式：__________________________3、组合：（1）组合的定义：_______________________（2）组合数公式：__________________________（3）组合数性质：①______________②_______________二.排列组合题常见解法.1. 分类法.例1：50件产品中有4件是次品从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共多少种．解析：分两类，有4件次品抽法14644C C ⋅；有三件次品的抽法24634C C ⋅，所以共有14644C C ⋅ +24634C C ⋅＝4186种不同的抽法．练习1. 假设在100件产品中有3件次品，从中任意抽取5件. ①至少有两件是次品的抽法共多少种? ②至多有两件是次品的抽法共有多少种?2. 捆绑法例2： 6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有___种 ( C )(A)720种 (B)360种 (C)240种 (D)120种解析将甲、乙两人视为一人，则有55A 种，再将甲、Z 两人互换位置，则共有5522A A ⋅=240种.练习2. 7个人按如下各种方式排队照相, 甲乙两人要站在一起的排法共有多少种?练习3. 6人站成一排，其中甲乙丙不全相邻的排法共有_________种3. 对称法例3. A 、B 、C 、D 、E 五人并排站在一排，若B 必须站在A 的右边(A 、B 可以不相邻)．则不同排法共有( )。

A. 24种B. 60种C. 90种D. 120种解析：考虑对称性，B 在A 右和A 在B 右机会均等．应得排法5521A =60种．说明本题还可以推广到更为一般的情况，m 个人并排站成一排，其中n(m>n)个人的相对顺序一定，共有n n m m A A 种．如例3中，若A 、B 、C 顺序一定，共有3355A A =20种。

排列组合练习题教师版

排列组合练习题40题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（题型注释）1．我班制定了数学学习方案: 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A.50种B.51种C.140种D.141种【答案】D【解析】试题分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有0112233 6656463141C C C C C C C+++=种考点：排列组合问题2．从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）A、24个B、36个C、48个D、54个【答案】C【解析】若包括0，则还需要两个奇数，且0不能排在最高位，有C32A21A22＝3×2×2＝12个若不包括0，则有C21C32A33＝3×2×6＝36个共计12＋36＝48个考点：排列组合3．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。

技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）A．16 B．24 C．32 D．48【答案】C【解析】试题分析：前两次测试的是一件稳定的，一件不稳定的，第三件是不稳定的，共有211 22832A C C=种方法．考点：排列与组合公式．4．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码. 则X所有可能取值的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】试题分析：随机变量X的可能取值为6,5,4,3取值个数为4.1 / 10考点：离散型随机变量的取值.5．在1,2,3,4,5,6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A ．60个B ．36个C ．24个D ．18个【答案】A【解析】依题意，所选的三位数字有两种情况：(1)3个数字都是偶数，有33A 种方法；(2)3个数字中有2个是奇数，1个是偶数，有23C 13C 33A 种方法，故共有33A ＋23C 13C 33A ＝60种方法，故选A ．6．将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A，B ，C”或“C，B ，A”(可以不相邻)，这样的排列数有( )A ．12种B ．20种C ．40种D ．60种【答案】C【解析】五个元素没有限制全排列数为55A ，由于要求A ，B ，C 的次序一定(按A ，B ，C 或C ，B ，A)故除以这三个元素的全排列33A ，可得5533A A ×2＝40． 7．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放2支，则不同的放法有( )A ．56种B ．84种C ．112种D ．28种【答案】C【解析】根据题意先将7支不同的笔分成两组，若一组2支，另一组5支，有27C 种分组方法；若一组3支，另一组4支，有37C 种分组方法．然后分配到2个不同的笔筒中，故共有(27C ＋37C )22A ＝112种放法．8．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为( )A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【答案】C【解析】爸爸排法为22A 种，两个小孩排在一起故看成一体有22A 种排法．妈妈和孩子共有33A 种排法，∴排法种数共有22A 22A 33A ＝24种．故选C ． 9．2013年8月31日，第十二届全民运动会在辽宁省举行．某运动队有男运动员6名，女运动员4名，选派5人参加比赛，则至少有1名女运动员的选派方法有( )A ．128种B ．196种C ．246种D ．720种【答案】C【解析】“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有510C3 / 10种选法，其中全是男运动员的选法有56C 种．所以“至少有1名女运动员”的选法有510C －56C ＝246种． 10．三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为( )A ．8B ．6C ．14D ．48【答案】D【解析】先排首位6种可能，十位数从剩下2张卡中任取一数有4种可能，个位数1张卡片有2种可能，∴一共有6×4×2＝48(种)．11．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( )A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种【答案】B【解析】从A 到B 若路程最短，需要走三段横线段和两段竖线段，可转化为三个a 和两个b的不同排法，第一步：先排a 有35C 种排法，第二步：再排b 有1种排法，共有10种排法，选B 项．12．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有（）A ．35种B ．16种C ．20种D ．25种【答案】D【解析】试题分析：学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，有三种方法，一是不选甲乙共有45C 种方法，二是选甲，共有35C 种方法，三是选乙，共有35C 种方法，把这3个数相加可得结果为25考点：排列组合公式13．用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A ．324B ．648C ．328D ．360【答案】C【解析】试题分析：首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在个位时,有=9×8=72（个）,当0不排在个位时,有=4×8×8=256（个）,于是由分类加法计数原理,得符合题意的偶数共有72+256=328（个）．考点：排列组合知识14．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A.36种B.30种C.24种D.6种【答案】B【解析】试题分析：先将语文、数学、英语、理综4科分成3组，每组至少1科，则不同的分法种数为24C ，其中数学、理综安排在同一节的分法种数为1，故数学、理综不安排在同一节的分法种数为24C -1，再将这3组分给3节课有33A 种不同的分配方法，根据分步计数原理知，不同的安排方法共有(24C -1)33A =30，故选B.考点：分步计数原理，排列组合知识15．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种【答案】B【解析】试题分析：从4题种选一道作为不被选中的题有4种，从4位教师中选2位，这两位是选同样题目的有246C =种，被选中两次的题目有3种方案，剩下的两位教师分别选走剩下的2题，共4632=144⨯⨯⨯种.考点：排列组合.16．用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（） A ．610 B ．630 C ．950 D ．1280【答案】B【解析】试题分析：采用分类原理：第一类：涂两个红色圆，共有11111111114554555544605A A A A A A A A A A 种；第二类：涂三个红色圆，共有115525A A 种；故共有630种.17．如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．288种B ．264种C ．240种D ．168种【答案】B【解析】先分步再排列先涂点E ，有4种涂法，再涂点B ，有两种可能：5 / 10(1)B 与E 相同时，依次涂点F ，C ，D ，A ，涂法分别有3，2，2，2种；(2)B 与E 不相同时有3种涂法，再依次涂F 、C 、D 、A 点，涂F 有2种涂法，涂C 点时又有两种可能：（2.1）C 与E 相同，有1种涂法，再涂点D ，有两种可能：①D 与B 相同，有1种涂法，最后涂A 有2种涂法；②D 与B 不相同，有2种涂法，最后涂A 有1种涂法．（2.2）C 与E 不相同，有1种涂法，再涂点D ，有两种可能：①D 与B 相同，有1种涂法，最后涂A 有2种涂法；②D 与B 不相同，有2种涂法，最后涂A 有1种涂法．所以不同的涂色方法有4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264．18．将6名男生、4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（）A ．240种B ．120种C ．60种D ．180种【答案】B【解析】试题分析：从6名男生中选3人，从4名女生中选2人组成一组，剩下的组成一组，则3264120C C =.19．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙、丙不会开车但能从事其他三项工作，丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是（）A ．240B ．126C ．78D ．72【答案】C试题分析：根据题意，分情况讨论，①甲、乙、丙三人中有两人在一起参加除了开车的三项工作之一，有2112332236C C C A ⨯=种；②甲、乙、丙三人各自1人参加除了开车的三项工作之一即丁、戌两人一起参加开车工作时，有336A =种；③甲、乙、丙三人中有一1人与丁、戌中的一人一起参加除开车的三项工作之一，有11123232136C C C A ⨯=种，由分类计数原理，可得共有3663678++=种，故选C.20．六名大四学生(其中4名男生、2名女生)被安排到A ，B ，C 三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不能到同一学校，也不能到C 学校，男生甲不能到A 学校，则不同的安排方法为( )A ．24B ．36C ．16D ．18【答案】D【解析】女生的安排方法有22A ＝2种．若男生甲到B 学校，则只需再选一名男生到A 学校，方法数是13C ＝3；若男生甲到C 学校，则剩余男生在三个学校进行全排列，方法数是33A ＝6.根据两个基本原理，总的安排方法数是2×(3＋6)＝18.21．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有( )．A ．720种B ．520种C ．600种D ．360种【答案】C【解析】分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序有134254C C A 种；第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有22222523C C A A 种．共有：134254C C A ＋22222523C C A A ＝600(种)．二、填空题（题型注释）22．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。

小学六年级数学第讲：排列组合(教师版)

第十九讲排列组合一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素P．的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做mn根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2：从剩下的(1n-)种方法；n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）．表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）　．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a -- 个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。

高考数学复习专题——排列组合-概率与统计(教师版)

一、排列组合问题的解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑〞法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进展排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑〞法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空〞法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：假设个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空〞法解决，共有种排法。

三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比拟难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法〞，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4． (1995年高考题) 1名教师和4名获奖学生排成一排照像留念，假设教师不排在两端，那么共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素〔教师〕的排法，因教师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．〔2000年全国高考题〕乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进展分类讨论，最后总计。

五年级奥数.计数综合.排列组合.教师版

一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法； ……步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．二、排列数一般地，对于的情况，排列数公式变为．表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分知识结构排列组合一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．根据乘法原理，得到．因此，组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：()这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法．例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．规定，．五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的个空隙中放上个插板，所以分法的数目为．⑵个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．⑶个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了个，因此分法的数目为．一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38AD、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

2015排列组合习题教师版

1. 现要从甲、乙、丙、丁、戊五人中选出三人担任班长、副班长、团支书三种不同的职务，且上届任职的甲、乙、丙都不再连任原职务的方法种数为（）A．48B．30 C．36 D．32解：分类：不选丁，有2种任职方案．选丁，有3种选法，且任职方案也有4种，故不同任职方案种数为4×4=16（种），故共有不同任职方案种数为32．选D2. 一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是利用分类加法计数原理，可知完成一件事可以分为两类，第一种方法完成有3种，第二种方法完成有5种，共有3+5=81. 将3封信投入3个信箱，可能的投放方法共有种 A.1 B．6 C．9 D．272. 现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) A．81B．64C．48D．24【解析】每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A.3. 今4本不同的书放入2个不同的大抽屉中，共有不同的放法为（）A．6种；B．8种；C．16种；D．20种；【解析】每本书有两种选择，根据乘法原理，可知不同的放法有24=14种选法.4. 若4个人报名参加3项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有A．34A B．34C C．34 D． 43【解析】四名同学报名参加3项体育比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法；根据分步计数原理，可得共有3×3×3×3=34种不同的报名方法，故选C5. 4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）A．34B．43C．24D．12因4同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，由分步乘法计数得到为34，选A 6.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种. A．34A B．34C C．34 D． 43解析：因为一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么对于冠军的夺取可能是任何一个人，那么每一项比赛的冠军有3种情况，利用分步计数乘法原理得到共有34，选C 7.将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（）A．81B．64C．12D．14解析：每个小球都有4种可能的放法，即4×4×4=648. 有5位同学想参加语文、数学、外语三种课外兴趣小组,每人只能报一项,则有( )种不同的报名方式.A．8种B．15种C．53种D．35种【解析】根据乘法原理5×5×59. 6名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有种。

微专题：排列组合问题的综合应用经典题型(含解析)

【学生版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。

【典例】题型1、特殊元素（位置）问题例1、大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【提示】；【答案】；【解析】；【说明】题型2、相邻、相间问题例2、（1）某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有()A．12种B．24种C．18种D．36种【答案】【解析】；（2）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．168【答案】【解析】；题型3、分组、分配问题例3、（1）现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为()A．36 B．9 C．18 D．15（2）若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有种不同的分法．题型4、涂色问题例4、（1）如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？（2）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(用数字作答)【说明】解决涂色问题，关键还是阅读理解与用好两个计数原理；【归纳】排列、组合的混合问题是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题．其基本的解题步骤为：第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素；第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列；第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果；均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数；【即时练习】1、有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种2、从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()A．C210P48B．C19P59C．C18P59D．C18P583、北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有种A．12种B．24种C．48种D．96种4、如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有种5、在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（4）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？6、现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.（1）若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【教师版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。

(教师版)排列组合问题经典题型与通用方法

排列组合问题经典题型与通用方法(教师版)1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

五年级奥数计数综合排列组合教师版

知识结构排列组合一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个n元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法；……步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．二、排列数一般地，对于的情况，排列数公式变为．表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．根据乘法原理，得到．因此，组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：()这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法．例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．规定，．五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的个空隙中放上个插板，所以分法的数目为．⑵个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．⑶个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了，因此分法的数目为．个例题精讲一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法433344（：（1）3（2））【解析】7把6名实习生分配到个车间实习共有多少种不同方法【例2】6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，【解析】：完成此事共分第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.33CA8338 DA、 B、、 C、【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）88【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠38种，每个“客”有8种可能，因此共有军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”A 不同的结果。

高中数学同步讲义(新教材)：排列组合18种常考考法归类 (教师版)

置。一般地，n 个不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 mn 。
环排问题围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形
线排法
多排问题单排法小集团题先整体后局部法两类元素的排列，组合选位法分组与分配问题
展成直线，一般地，n 个不同元素圆形排列，共有（n 1)!种排法。如果从 n 个不同元素中取出 m
个元素进行圆形排列，共有问题，可归结为一排考虑，再分段处理。
解小集团排列问题，先整体后局部，再结合其他策略进行处理。
将 m 个元素 a，n 个元素 b 进行全排列，我们可以从 m＋n 个位置中选择 m 个位置安置元素 a，
剩下的
n
个位置安排元素
b，其方法数有
优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法之一。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.部分习题创设的情境较为复杂，还需采用捆绑法等其他一些方法.总之，无论采用何种方法，应清楚形成的空的数量. 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法（消序法），还可用空位法。①消序法：将 m＋n 个元素排成一列，

第七讲：排列组合教师版

排列组合（一）知识点概述排列：从n 个不同元素中取出m 个元素，（m ≤n ）排成有序的一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

从n 个不同元素中取出m 个元素（m ≤n ）的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个有序元素的排列数，记为m n A 。

根据乘法原理。

()()()121+---=m n n n n A m n ΛΛ ()n m ≤ （排列数公式）特殊地，当m=n 时，()()12321⨯⨯⨯-⨯-⨯=Λn n n A n n ，表示从n 个不同元素中取出n 个元素排成一列所构成的排列数，这种n 个元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的完全排列。

我们将()()12321⨯⨯⨯-⨯-⨯Λn n n 记为n!，读作“n ”的阶乘，则!n A nn=，例如，从5名同学中选出3名同学站成一排，共有6034535=⨯⨯=A 种站法。

组合：从n 个不同元素中取出m 个元素（m ≤n ）组成一组不计较组内各元素次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

从n 个不同元素中取出m 个元素（m ≤n ）的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数，记为m n C 。

()()()()!!!!121m n m n m m n n n n A A C m m mn mn-=+---==K （m ≤n ）（组合数公式），规定：10=n C 。

例如，从5名同学中选出3名同学去参加夏令营，共有10123345333535=⨯⨯⨯⨯==P P C 种不同的选法。

（二）典型例题与课堂练习排列组合【例1】（组合排列）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数。

（1）可组成个不同的四位数；（2）可以组成个四位偶数；（3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是。

解析：（1）300 （2）156 （3）2301【例2】（组合排列）从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字组成没有重复的四位数，其中能被5整除的四位数共有个。

排列组合18种题型

排列组合18种题型排列组合是数学中常见的问题，主要涉及到对元素进行排序和分组。

以下是18种常见的排列组合题型：1. 基础排列：给定n个不同的元素，要求排列成一行，计算有多少种不同的排列方式。

2. 基础组合：给定n个不同的元素，要求从中选择r个元素，计算有多少种不同的组合方式。

3. 排列与重复元素：给定n个不同的元素和m个相同的元素，要求排列成一行，计算有多少种不同的排列方式。

4. 组合与重复元素：给定n个不同的元素和m个相同的元素，要求从中选择r个元素，计算有多少种不同的组合方式。

5. 排列与分组：给定n个不同的元素，要求将它们分成m组，计算有多少种不同的分组方式。

6. 组合与分组：给定n个不同的元素，要求从中选择r 个元素，要求将它们分成m组，计算有多少种不同的分组方式。

7. 排列与限制条件：给定n个不同的元素和某些限制条件（如相邻元素不相邻等），要求排列成一行，计算有多少种不同的排列方式。

8. 组合与限制条件：给定n个不同的元素和某些限制条件（如相邻元素不相邻等），要求从中选择r个元素，计算有多少种不同的组合方式。

9. 排列与区间：给定一个长度为n的区间和m个操作（如插入、删除、替换等），要求计算有多少种不同的操作序列。

10. 组合与区间：给定一个长度为n的区间和m个操作（如插入、删除、替换等），要求从中选择r个操作，计算有多少种不同的操作序列。

11. 排列与嵌套：给定一个嵌套的集合结构（如树、图等），要求计算有多少种不同的遍历顺序。

12. 组合与嵌套：给定一个嵌套的集合结构（如树、图等），要求从中选择r个元素，计算有多少种不同的组合方式。

13. 排列与错位：给定一个错位的序列，要求计算将序列重新排列为正确顺序的方法数。

14. 组合与错位：给定一个错位的序列，要求从中选择r个元素，计算将序列重新排列为正确顺序的方法数。

15. 排列与映射：给定一个集合和另一个集合的映射关系，要求计算映射到另一个集合后有多少种不同的排列方式。

12 排列组合专题

1.2 排列组合类型题总结一、邮信问题：把4封信投入3个邮箱有多少种方法。

解析：这类问题首先分清哪个有限制条件，以有限制条件的为主体研究。

（即指数形式，有条件的为指数在上边无条件的在下边）练习：若A=｛a,b,c｝,B={1、2、3、4、5 }，则从集合A到集合B一共可以有多少个不同的映射；从集合B到集合A一共可以有多少个不同的映射？二．排序问题：1. 优限(先)法：特殊元素优先或特殊位置优先。

例：4名男生和4名女生排成一排，女生不排首末两端，则不同的排法数为：2. 捆绑法：用于在一起相邻，整体性的问题。

例：6人站成一排，其中甲，乙、丙3人站在一起的所有排列的种数为：3. 插空法：用于元素不相邻的问题，先排无条件的，再插空。

（有有序排列和无序排列）（1）不同元素与不同元素间的间的不相邻。

例：7人站成一排，其中甲，乙、丙3人不在一起的所有排列的种数为：（2）不同元素与相同元素间的不相邻。

例：3个人坐在8个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法有多少种？（3）相同元素与相同元素间的不相邻。

例：一排路灯有10盏，为了节约用电，灭掉3盏，要求不能灭两边的且灭灯不相连，有多少种方法？4．留位法：用于个别顺序固定的，先在所有位置上排无条件的，有条件还进入即可。

例：五名学生站成一排,其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数为_________.变式：若把英语单词“look ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有__________种。

练习：四名男生和三名女生排成一排，（1）甲乙二人必须站在两端的排法有多少种？（2）甲乙二人不能站在两端的排法有多少种？（3）甲不站在排头，乙不站在排尾的排法有多少种？（4）女生不相邻的排法有多少种？（5）甲乙两人中间间隔两人的排法有多少种？（6）甲排在乙的右边有多少种不同的排法？三、排数字：例：用0、1、2、3、4、5 这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数。

排列组合公式(教师版)

一、排列组合公式（四下）第3讲排列组合公式四年级春季知识点一、熟练掌握排列的定义和公式．二、熟练掌握组合的定义和公式．三、能够用排列组合解决简单的问题．四、初步区分排列和组合．一、排列、组合计算1、计算：（1）25A =_______；（2）37A =______；（3）4266A A -=_______．【答案】（1）20（2）210（3）330【解析】（1）255420A =⨯=（2）37765210A =⨯⨯=（3）4266654365330A A -=⨯⨯⨯-⨯=．2、计算：（1）24A ；（2）410A ；（3）42663A A -⨯．【答案】12；5040；270【解析】（1）244312A =⨯=；（2）410109875040A =⨯⨯⨯=；（3）()42663654336565341270A A -⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯-=．3、0121112C +C __________.=【答案】2【解析】全选和一个都不选都是有一种方法，112+=．课堂例题方法精讲4、计算：（1）35C ；（2）3210102C C -⨯；（3）45C ，15C ；（4）710C ，310C ．【答案】10；30；5，5；120，120【解析】（1）()3554332110C =⨯⨯÷⨯⨯=；（2）()()3210102109832121092130C C -⨯=⨯⨯÷⨯⨯-⨯⨯÷⨯=；（3）()41555432432155C C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯==，；（4）()710109876547654321120C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，()3101098321120C =⨯⨯÷⨯⨯=．5、计算：（1）01233333C C C C +++；（2）0123444444C C C C C ++++；（3）012345555555C C C C C C +++++；（4）0121010101010C C C C ++++ ；（5）012345111111111111C C C C C C +++++．【答案】8；16；32；1024；1024【解析】（1）012333332228C C C C +++=⨯⨯=；（2）0123444444=2222=16C C C C C ++++⨯⨯⨯；（3）0123455555552222232C C C C C C +++++=⨯⨯⨯⨯=；（4）012101010101010=2=1024C C C C ++++ ；（5）01234511111111111111221024C C C C C C +++++=÷=．二、排列问题6、小高、墨莫、卡莉娅和宣萱四个人到野外郊游，其中三个人站成一排，另外一个人拍照，请问：一共会有多少张不同的照片？【答案】24【解析】从4个人中选3人出来排列，3443224A =⨯⨯=．7、甲、乙、丙、丁、戊5人一起出去游玩，在某一风景点排成一排合照.如果甲站在最右边，那最多可以照____________张不同的照片．【答案】24【解析】另外四个人任意占无要求，所以总的方法数是44432124A =⨯⨯⨯=．8、有8个选手，要在8个人中选出冠军、亚军和季军，有_____________种可能．【答案】336【解析】有一定的顺序，所以答案是38876336A =⨯⨯=．9、从1~5这5个数字中选出4个数字（不能重复）组成四位数，共能组成多少个不同的四位数？千位是1的四位数有多少个？其中比3000小的有多少个？【答案】120；24；48【解析】（1）455432120A =⨯⨯⨯=；（2）3443224A =⨯⨯=；（3）比3000小的有1开头和2开头的，1千多的数和2千多的数一样多，共有342243248A ⨯=⨯⨯⨯=．。