福建省厦门市双十中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A．3 B．2 C．5 D．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=（）A．18 B．36 C．54 D．724．设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（）A．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α5．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q6．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z7．如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若D=B+k C，则λ+k=（）A．B．C．2 D．8．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．（4+π）10．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）11．已知函数f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下说法中不正确的是（）A．f（x）周期为2πB．f（x）最小值为﹣C．f（x）在区间[0，]单调递增D．f（x）关于点x=对称12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量夹角为60°，且||=1，|2﹣|=，则||=．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，则f（log49）的值为．15．已知正项等比数列{a n}的前n项积为πn，已知a m﹣1•a m+1=2a m，π2m﹣1=2048，则m=．16．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（3，），点B的极坐标为（6，），曲线C：（x﹣1）2+y2=1（1）求曲线C和直线AB的极坐标方程；（2）过点O的射线l交曲线C于M点，交直线AB于N点，若|OM||ON|=2，求射线l所在直线的直角坐标方程．18．在数列{a n}中，前n项和为S n，且S n=，数列{b n}的前n项和为T n，且b n=（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在m，n∈N*，使得T n=a m，若存在，求出所有满足题意的m，n，若不存在，请说明理由．19．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）若a=2，b=，求c（2）设函数y=sin（2A﹣30°）﹣2sin2（C﹣15°），求y的取值范围．20．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1的长度．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为A，短轴长为2，O为原点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，且△AOF的面积是△BOF的面积的3倍．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ 为平行四边形，求m的取值范围．22．已知函数f（x）=•e﹣ax（a＞0）．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=处的切线方程；（2）讨论方程f（x）﹣1=0根的个数．2016-2017学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【考点】并集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．2．已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A．3 B．2 C．5 D．【考点】复数求模．【分析】通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模．【解答】解：=1﹣bi，可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数，所以，解得a=2，b=1．所以|a﹣bi|=|2﹣i|==．故选：D．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=（）A．18 B．36 C．54 D．72【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a4+a5=18，由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，∴S8===72故选：D4．设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（）A．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面位置关系的判定与性质判断，或举出反例．【解答】解：对于A，在a上任取一点A，过A作b′∥b，设a，b′确定的平面为α，显然α是唯一的，且a⊂α，且b∥α．故A正确．对于B，假设存在直线l使得l∥a，且l⊥b，则a⊥b，与已知矛盾，故B错误．对于C，设a，b的公垂线为AB，则所有与AB垂直的直线与a，b都垂直，故C错误．对于D，若存在平面α，使得a⊂α，且b⊥α，则b⊥a，与已知矛盾，故D错误．故选：A．5．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】复合命题的真假．【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．则￢p∧q为真命题．故选B．6．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z【考点】正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，根据题意求得周期，进而求得ω，函数的解析式可得，最后利用正弦函数的单调性求得函数的单调减区间．【解答】解：f（x）=2（sinωx+cosωx）=2sin（ωx+），依题意知函数的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z），故选A．7．如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若D=B+k C，则λ+k=（）A．B．C．2 D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】如图，以A为原点，AB、AC所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，可得A、B、C、D各点的坐标，从而得到向量、坐标，结合题意可算出λ和k的值，进而得到λ+k 的值．【解答】解：以A为原点，AB、AC所在直线分别为x、y轴建立如图直角坐标系，可得A（0，0），B（1，0），C（0，1）∵△ABC、△CDE是直角边长为1的等腰直角三角形∴=（，）因此，向量=+=（0，1）+（，）=（，1+）∵==λ（1，0）+k（0，1）=（λ，k）∴λ=，k=1+，可得λ+k=1+故选：A8．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】函数单调性的性质．【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．（4+π）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该几何体是一个半圆锥和三棱锥的组合体，代入体积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体是一个半圆锥和三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为=，故体积为：π，三棱锥的底面面积S=×2×2=2高为=，故体积为：，故组合体的体积V=，故选：C．10．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）【考点】函数的图象．【分析】由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴a＜，∴a的取值范围是（﹣∞，），故选：A11．已知函数f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下说法中不正确的是（）A．f（x）周期为2πB．f（x）最小值为﹣C．f（x）在区间[0，]单调递增D．f（x）关于点x=对称【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】①由f（x+2π）=f（x）即可得证；②换元法，设t=sinx+cosx，由三角函数知识可得t∈[﹣，]，且sin2x=t2﹣1，可得y=t2+t ﹣1，由二次函数区间的最值可得．③举例即可排除；④证明f（﹣x）=f（x），即可判断正误．【解答】解：①∵f（x+2π）=sin[2（x+2π）]+sin（x+2π）+cos（x+2π）=sin2x+sinx+cosx=f （x），∴函数周期为2π，故①正确；②设t=sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，∴t2=（sinx+cosx）2=1+sin2x，∴sin2x=t2﹣1，∴y=sin2x+sinx+cosx=t2﹣1+t=t2+t﹣1=（t+）2﹣，t∈[﹣，]，由二次函数可知，当t∈[﹣，﹣]时，函数y=t2+t﹣1单调递减，当t∈[﹣，]时，函数y=t2+t﹣1单调递增，∴当t=﹣时，函数取最小值y min=﹣，故②正确；③∵f（x）=sin2x+sinx+cosx，当x=时，f（x）=1+，当x=时，f（x）=1，∴f（x）在区间[0，]不是单调递增．故③错误；④∵f（﹣x）=sin[2（﹣x）]+sin（﹣x）+cos（﹣x）=sin（π﹣2x）+sinx+cosx=sin2x+sinx+cosx=f（x），∴函数关于x=对称，故④正确．故答案为：C．12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【考点】棱柱的结构特征；函数的图象与图象变化．【分析】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．其中①③两种情形所得弧长相等且为函数f（x）的最大值，根据图形的相似，②中弧长为①中弧长的一半．对照选项，即可得出答案．【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．①当x=1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；②当x=时，以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；③当x=．以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的粉红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；对照选项，B正确．故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量夹角为60°，且||=1，|2﹣|=，则||=3．【考点】向量的模．【分析】利用数量积运算和性质即可得出．【解答】解：∵|2﹣|=，∴4﹣4•+=7，∴4×12﹣4×1×||cos60°+||2=7，解得||=3．故答案为：3．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，则f（log49）的值为﹣．【考点】函数的值．【分析】由奇函数的性质得当x＞0时，f（x）=﹣，由此利用对数函数的性质和换底公式能求出f（log49）的值．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，∴当x ＞0时，f （x ）=﹣，∴f （log 49）=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．15．已知正项等比数列{a n }的前n 项积为πn ，已知a m ﹣1•a m +1=2a m ，π2m ﹣1=2048，则m= 6 ． 【考点】数列递推式．【分析】由a m ﹣1a m +1﹣2a m =0，结合等比数列的性质可得a m =2，从而可表示T 2m ﹣1，由此可求m 的值．【解答】解：∵a m ﹣1a m +1=2a m ，∴由等比数列的性质可得，a m 2﹣2a m =0，∵a m ＞0，∴a m =2，∵π2m ﹣1=a 1a 2…a 2m ﹣1=（a 1a 2m ﹣1）•（a 2a 2m ﹣2）…a m =a m 2m ﹣2a m =a m 2m ﹣1=22m ﹣1=2048， ∴2m ﹣1=11，∴m=6． 故答案为：6．16．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cos θ= ﹣1 ．【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△ABD 中，由正弦定理解出BD ，在△BCD 中，由正弦定理解出sin ∠BCD ，则cos θ=sin （π﹣∠BCD ）=sin ∠BCD ．【解答】解：∵∠DAC=15°，∠DBC=45°，∴∠ADB=30°，在△ABD 中，由正弦定理得，即，∴BD=25（）．在△BCD 中，由正弦定理得，即，∴sin ∠BCD=．∴cos θ=sin （π﹣∠BCD ）=sin ∠BCD=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（3，），点B的极坐标为（6，），曲线C：（x﹣1）2+y2=1（1）求曲线C和直线AB的极坐标方程；（2）过点O的射线l交曲线C于M点，交直线AB于N点，若|OM||ON|=2，求射线l所在直线的直角坐标方程．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）求出A、B的直角坐标，求出直线AB的极坐标方程，根y=ρsinα，x=ρcosθ求出C的极坐标方程即可；（2）设射线l：θ=α，分别代入曲线C的方程和直线AB的方程，得到关于α的方程，求出tanα的值，从而求出答案．【解答】解：（1）A、B的直角坐标分别是A（0，3），B（3，3），故直线AB的极坐标方程是ρsinθ=3，曲线C化为极坐标为ρ=2cosθ；（2）设射线l：θ=α，代入曲线C得：ρM=2cosα，代入直线AB得：ρM=，依题意得•2cosα=2，解得：tanα=3．…所以射线l所在直线的直角坐标方程为：y=3x…18．在数列{a n}中，前n项和为S n，且S n=，数列{b n}的前n项和为T n，且b n=（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在m，n∈N*，使得T n=a m，若存在，求出所有满足题意的m，n，若不存在，请说明理由．【考点】数列的应用．=n，由此能求出数列{a n}的通项【分析】（1）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1公式．（2）由已知：T n=++…+，由此利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和T n，即可得出结论．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=1=n当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1经验证，a1=1满足上式，故数列{a n}的通项公式a n=n；…（2）由题意，易得T n=++…+∴T n=++…+，两式相减得T n=++…+﹣=1﹣﹣，所以T n=2﹣…由于T n＜2，又2﹣=m，∴m=1，解得n=2．…19．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）若a=2，b=，求c（2）设函数y=sin（2A﹣30°）﹣2sin2（C﹣15°），求y的取值范围．【考点】余弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得tanB=，可求∠B=，利用余弦定理即可解得c的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得y=sin（2A﹣60°）﹣1，结合范围A∈（，），利用正弦函数的性质即可得解取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵a=bccosC+csinB，∴sinA=sinBcosC+sinCsinB，∴cosBsinC=sinCsinB，∴tanB=，∴∠B=．…∵b2=a2+c2﹣2accosB，∴c2﹣2c﹣3=0，∴c=3．…（2）∵y=sin（2A﹣30°）﹣2sin2（C﹣15°）=sin（2A﹣30°）﹣1+2cos（2C﹣30°）=sin（2A﹣30°）﹣cos（2A﹣30°）﹣1=sin（2A﹣60°）﹣1，…又∵△ABC为锐角三角形，∴A∈（，），∴y∈（﹣1，1]．…20．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1的长度．【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）利用线面垂直的性质定理证明面面垂直（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，利用余弦值求得边长．【解答】解：（1）取BC中点M，连接B1M，则B1M⊥面ABC，∴面BB1C1C⊥面ABC，∵BC=面BB1C1C∩面ABC，AC⊥BC，∴AC⊥面BB1C1C，∵AC⊂面ACC1A1∴面ACC1A1⊥面BCC1B1（2）取BC的中点为M，AB的中点M，连接OM，MB1，以MC为x轴，MO为y轴，MB1为z轴，建立空间直角坐标系．AC=BC=2，AB=2，设B1M=t，则A（1，2，0），B（﹣1，0，0），C（1，0，0），B1（0，0，t），C1（2，0，t），则=（﹣1，﹣2，t），=（﹣2，﹣2，0），=（2，0，0），设平面AB1C1法向量，∴，即，取=．同理可得面AB1B法向量=（1，﹣1，﹣）．∵==，t4+29t2﹣96=0，∴t=，∴BB1=2．21．已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，上顶点为A ，短轴长为2，O 为原点，直线AF 与椭圆C 的另一个交点为B ，且△AOF 的面积是△BOF 的面积的3倍． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，若在椭圆C 上存在点R ，使OPRQ 为平行四边形，求m 的取值范围．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由题意可得b=1，A （0，1），设F （c ，0），B （x 0，y 0），运用三角形的面积公式可得y 0=﹣，再由直线AF 的方程经过B ，可得B 的坐标，代入椭圆方程，解得a ，b ，进而得到椭圆方程； （2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由OPRQ 为平行四边形，可得x 1+x 2=x R ，y 1+y 2=y R ，R 在椭圆C 上，代入椭圆方程，再由直线l 与椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，化简整理，解不等式即可得到所求m 的范围． 【解答】解：（1）短轴长为2，可得b=1， 即有A （0，1），设F （c ，0），B （x 0，y 0）， △AOF 的面积是△BOF 的面积的3倍，即为c •1=3•c •|y 0|，可得y 0=﹣，由直线AF ：y=﹣+1经过B ，可得x 0=c ，即B （c ，﹣），代入椭圆方程可得，+=1，即为a 2=2c 2，即有a 2=2b 2=2，则椭圆方程为+y2=1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由OPRQ为平行四边形，可得x1+x2=x R，y1+y2=y R，R在椭圆C上，可得+（y1+y2）2=1，即为+（k（x1+x2）+2m）2=1，化为（1+2k2）（（x1+x2）2+8km（x1+x2）+8m2=2，①由可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，即为1+2k2＞m2，②x1+x2=﹣，代入①可得﹣+8m2=2，化为1+2k2=4m2，代入②可得m≠0，又4m2=1+2k2≥1，解得m≥或m≤﹣．则m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．22．已知函数f（x）=•e﹣ax（a＞0）．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=处的切线方程；（2）讨论方程f（x）﹣1=0根的个数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=2时，求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．（2）由f（x）﹣1=0得f（x）=1，求函数的导数f′（x），判断函数的单调性，利用函数单调性和最值之间的关系进行判断即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=•e﹣2x．f（）=3e﹣1，又f′（x）=•e﹣2x，∴f′（）=2e﹣1，故所求切线方程为y﹣3e﹣1=2e﹣1（x﹣），即y=x+．（Ⅱ）方程f（x）﹣1=0即f（x）=1．f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），当x＜﹣1或x＞1时，易知f（x）＜0，故方程f（x）=1无解；故只需考虑﹣1≤x≤1的情况，f ′（x ）=•e ﹣2x ，当＜a ≤2时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）区间[﹣1，1）上是增函数，又易知f （0）=1， 所以方程f （x ）=1只有一个根0；当a ＞2时，由f ′（x ）=0可得x=±，且0＜＜1，由f ′（x ）＞0可得﹣1≤x ＜﹣或＜x ＜1，由f ′（x ）＜0可得﹣＜x ＜，所以f （x ）单调增区间为[﹣1，﹣）和（，1）上是增函数，f （x ）单调减区间为（﹣，），由上可知f （）＜f （0）＜f （﹣），即f （）＜1＜f （﹣），在区间（﹣，）上f （x ）单调递减，且f （0）=1，所以方程f （x ）=1有唯一的根x=0；在 区间[﹣1，﹣）上f （x ）单调递增，且f （﹣1）=0＜1，f （﹣）＞1，所以方程f （x ）=1存在唯一的根0在区间（，1）上，由f （）＜1，x →1时，f （x ）→+∞，所以方程f （x ）=1有唯一的根；综上所述：当0＜a ≤2时，方程f （x ）=1有1个根； 当a ＞2时，方程f （x ）=1有3个根．2016年12月22日。