北京大学量子力学教材 第四章

第四章

量子力学中的力学量

第四章目录

§4.1表示力学量算符的性质 (3)

(1) 一般运算规则 (3)

(2) 算符的对易性 (5)

(3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7)

§4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10)

(1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10)

(2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12)

§4.3 连续谱本征函数“归一化” (15)

（1） 连续谱本征函数“归一化” (15)

（2） δ函数 (18)

（3） 本征函数的封闭性 (22)

§4.4 算符的共同本征函数 (24)

(1) 算符“涨落”之间的关系 (24)

(2) 算符的共同本征函数组 (27)

(3) 角动量的共同本征函数组―球谐函数 (28)

(4) 力学量的完全集 (34)

§4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36

(1) 力学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36)

(2) Vivial Theorem维里定理 (37)

(3) 能量—时间测不准关系 (38)

(4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38)

第四章 量子力学中的力学量

§4.1表示力学量算符的性质

(1) 一般运算规则

一个力学量如以算符O

ˆ表示。它代表一运算，它作用于一个波函数时，将其变为另一波函数

)z ,y ,x ()z ,y ,x (O

ˆϕ=ψ。 它代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O

ˆϕ−→−ψ

例： /p

ˆia x e O

ˆ-=，于是

)x (e )x (O

ˆdx d

a

ψ=ψ-

∑∞

=ψ-=0n n

n

n )x (dx

d !n )a ( )a x (-ψ= )x (ϕ=

即将体系的几率分布沿x 方向移动距离a .

A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。

由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即

ψ=ψO ˆc )c (O

ˆ 22112211ψ+ψ=ψ+ψO ˆc O ˆc )c c (O ˆ

例如1： ψ=∂ψ∂H ˆ

t

i

若1ψ是方程解，2ψ也是方程解，则2211c c ψψ+是体系的可能解。事实上

22112211ψ∂∂+ψ∂∂=ψ+ψ∂∂

t i c t i c )c c (t

i

2211ψ+ψ=H ˆc H ˆc 是线性算符仅当H ˆ有 )c c (H ˆ2

211ψ+ψ=； 例如2：对不显含时间的薛定谔方程

ψ=ψE H

ˆ， 若 11ψ=ψE H ˆ，2

2ψ=ψE H ˆ，则 2211ψ+ψc c 也是解 )c c (E 2211ψ+ψ 2211ψ+ψ=E c E c

2211ψ+ψ=H ˆc H ˆc 是线性算符仅当H ˆ有 )c c (H ˆ2

211ψ+ψ= 量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，而且方程是线性齐次，

方程A O

ˆ=ψ就不行。因 A O ˆ=ψ1，A O ˆ=ψ2

。但 )c c (A O ˆc O ˆc )c c (O ˆ2122112211+=ψ+ψ=ψ+ψ。

而 121≠+c c 。所以，方程形式只能为0=ψ)O

ˆ(F ，且)O ˆ(F 必须是线性算符。当然，可观察的力学量算符不仅应是线性的，而且应是线性厄密算符。

B. 算符之和：

B ˆA ˆO

ˆ+=表示，对任意波函数进行变换所得的新波函数完全相等，即 ϕ=ψO ˆ，ϕ=ϕ+ϕ=ψ+ψ=ψ+B

A B ˆA ˆ)B ˆA ˆ(； C. 算符之积: B ˆA ˆO

ˆ=表示，对任意波函数ψ，有ϕ=ψO ˆ，则 ϕ=ϕ=ψB

A ˆ

B ˆA ˆ； D. 逆算符：算符O

ˆ将任一波函数ϕ−→−ψO

ˆ, 即ϕ=ψO ˆ。若有另一算符使ψ=ϕR ˆ，则称R ˆ为O ˆ的逆算符，并表为1O ˆR ˆ-=，显然，1O ˆO ˆO ˆO ˆ11==--；

E. 算符的函数：

设：)x (F 在x=0处，有各级导数

∑=n

n x !

n )(F )x (F 0，

则定义算符的函数

∑=n

n A ˆ!

n )(F )A ˆ(F 0。

例如: x e 它有各级导数10

=)

n (x )e (，∑

=n

x x !

n e 1。于是 ∑

=n

A

ˆA ˆ!

n e

1。 如果函数不能以幂级数表示，则还有算符函数的自然展开。我们将在后面给出。

（2）算符的对易性

一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能彼此对易。

若 /ˆ

i y e A

ˆ2

π-=,

/L ˆ

i z e B

ˆ2π-=，则 A ˆB

ˆB ˆA

ˆ≠。 我们熟悉 ψ'-=ψx i p

ˆx x ，ψ'-ψ-=ψx i i x p ˆx 。所以 ψ=ψ-ψ i x p ˆp

ˆx x x 由于ψ是任意波函数。所以算符 i x p ˆp

ˆx x x =-。 引入对易子：[]B ˆ,A

ˆ为算符B ˆA ˆ和的对易子，[]

A ˆ

B ˆB ˆA ˆB ˆ,A ˆ-=。 由于算符的不可对易性，导致其对易子并不定为0。对易子有如下性质

]A ˆ,B ˆ[]B ˆ,A

ˆ[-= C ˆ]B ˆ,A ˆ[]C ˆ,A ˆ[B ˆ]C ˆB ˆ,A

ˆ[+= B ˆ]C ˆA ˆ[]C ˆB ˆ[A ˆ]C ˆB ˆA

ˆ[⨯+⨯=⨯， 并有 ∑-=--=1

01n S s n s n B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,A

ˆ[， 证： 1n = 成立

设： 1n -成立，即

∑-='-'--'-=2

111n S s n s n B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,A

ˆ[，而 11

--+=n n n

B ˆ]B ˆ,A

ˆ[]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,A

ˆ[ 12

11--='-'--'+=∑n n S s n s B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆB

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