北京大学量子力学教材 第四章
量子力学 第四章
∫
∫
* * * ˆ ˆ Fnm == （Fu n）u m dx = u m Fu n dx = Fmn
= a1 t） + a2 t） + L + an t） + L （ （ （
2 2 2
例题3、 中运动的粒子， 例题 、在一维无限深势阱 0 < x < a 中运动的粒子，所 处的状态是归一化波函数 Ψ = 1 sin π x + sin 3π x）所描写 （ 的状态，求它在能量表象中的表示。 的状态，求它在能量表象中的表示。
i Pa h
)
表象中的表示式， 已知一个状态在 x 表象中的表示式，就可以求出这个状态在 动量表象中的表示式。 动量表象中的表示式。 具体做法是： 表象中的表示式（波函数） 具体做法是：把状态在状态在 x 表象中的表示式（波函数） r 按 P 的本征函数（在 x 表象中的表示式）展开， 的本征函数（ 表象中的表示式）展开， Ψ （ x， t） 展开式的系数就是Ψ（x，t） 表示的状态在动量表象中的波函数 例题2、描写一个粒子状态的波函数是 例题 、
∫
数列
a1 t）、a2 t）、 L a（t）、a（t） （ （ L n q
Ψ
+ * * * * = a（t） a（t） L a（t） a（t） 1 2 n q
（ a1 t） a（t） 2 Ψ = M a（t） n a（t） q
(
)
a
π 2 nπ 2 3π 1 2 nπ 2 sin xdx + ∫ sin x• sin xdx ] = [∫ sin x• a a a a a 2 a a a 0
= 1 (δ n1 + δ n 3 ) 2
北京大学量子力学教材第四章
北京⼤学量⼦⼒学教材第四章第四章量⼦⼒学中的⼒学量第四章⽬录§4.1表⽰⼒学量算符的性质 (3)(1) ⼀般运算规则 (3)(2) 算符的对易性 (5)(3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7)§4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12)§4.3 连续谱本征函数“归⼀化” (15)（1）连续谱本征函数“归⼀化” (15)（2）δ函数 (18)（3）本征函数的封闭性 (22)§4.4 算符的共同本征函数 (24)(1) 算符“涨落”之间的关系 (24)(2) 算符的共同本征函数组 (27)(3) ⾓动量的共同本征函数组―球谐函数 (28)(4) ⼒学量的完全集 (34)§4.5 ⼒学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36(1) ⼒学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36)(2) Vivial Theorem维⾥定理 (37)(3) 能量—时间测不准关系 (38)(4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38)第四章量⼦⼒学中的⼒学量§4.1表⽰⼒学量算符的性质(1) ⼀般运算规则⼀个⼒学量如以算符O表⽰。
它代表⼀运算，它作⽤于⼀个波函数时，将其变为另⼀波函数)z ,y ,x ()z ,y ,x (O=ψ。
它代表⼀个变换，是将空间分布的⼏率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O→?ψ-=，于是)x (e )x (Odx daψ=ψ-∑∞=ψ-=0n nnn )x (dxd !n )a ( )a x (-ψ= )x (?=即将体系的⼏率分布沿x ⽅向移动距离a .A. ⼒学量算符⾄少是线性算符；量⼦⼒学⽅程是线性齐次⽅程。
由于态叠加原理，所以在量⼦⼒学中的算符应是线性算符。
量子力学——第四章作业参考答案
同理 ( p × l + l × p ) y = 2i p y ， ( p × l + l × p ) z = 2i pz ，因此
14
p × l + l × p = 2i p 。
2 2 2 2 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦x = ⎡ ⎣l x , p x ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , px ⎤ ⎦+⎡ ⎣lz , px ⎤ ⎦
可见， ( p × l − l × p ) = p × l − l × p ， p × l − l × p 为厄米算符。
+
（4）算符 r × l
( r × l ) x = ylz − zl y ，
( r × l ) x = lz+ y + − l y+ z + = lz y − l y z = ( ylz − i x ) − ( zl y + i x ) = ( r × l ) x − 2i
[ A, BC ] = ABC − BCA = ( ABC + BAC ) − ( BAC + BCA)
= [ A, B ]+ C − B [ A, C ]+
3.8 证明：
( p × l + l × p ) x = p y lz − pz l y + l y p z − l z p y = ( p y lz − lz p y ) + ( l y pz − pz l y )
+
+ + + + +
+
+
+
北大量子力学教学大纲
C. 教学大纲（教学计划）掌握和理解量子力学的基本概念，新的数学方法（微积分、微分方程、线性代数、数理方程、复变等等）和能解决一些简单的量子力学问题。
第一章：定性了解经典困难的实例：微观粒子的波–粒的二重性； 第二章，第三章：要全面掌握：波函数与波动方程，一维定态问题，波函数的统计诠释，态叠加原理，薛定谔方程和定态；知0t =的波函数，给出t 时刻的波函数，几率流密度矢，反射系数，透射系数，完全透射。
第四章：算符运算规则，厄密算符定义，厄密算符的本征方程，观测值的可能值，几率振幅。
力学量完全集（包括H ˆ的，即为运动常数的完全集）。
共同本征态lm Y 的性质（lm m*lm Y )1(Y -=，宇称l )1(-）。
力学量平均值随时间变化，运动常数，维里定律。
第五章：变量可分离型的三维定态问有心势下，dinger o Schequation 解在 0r → 的渐近行为。
氢原子波函数，能量本征值的推导和结论要全面掌握。
三维各向同性谐振子在直角坐标和球坐标中的解，能级的结果和性质。
Hellmann-Feynman Theorem 。
电磁场下的n Hamiltonia，规范不变性，几率流密度矢。
正常塞曼效应及引起的原因。
均匀强场下的带电粒子的能量本征值磁通量量子化的现象。
第六章：量子力学的矩阵形式及表象理论算符本征方程，薛定谔方程和平均值的矩阵表示；求力学量在某表象中的矩阵表示；利用算符矩阵表示求本征值和本征函数。
表象变换。
dinger o SchPicture 和 Heisenberg Picture第七章：自旋自旋引入的实验证据。
电子自旋算符，本征值及表示。
泡利算符性质，泡利矩阵。
自旋存在下的波函数和算符的表示。
)j ,j ,l ˆ(r 2的共同本征态的矩阵形式。
自旋为1/2的两粒子总自旋波函数，Bell 不等式。
碱金属的双线结构及反常塞曼效应的现象及形成原因。
全同粒子的波函数结构，泡利原理 第八章：量子力学中的近似方法定态微扰论：非简并定态微扰论，能级的一级，二级修正，波函数的一级修正。
北京大学量子力学课件_第4讲
p c ( p , t )d p c ( p , t ) p c ( p , t ) d p p
2
*
(r, t) 去求 P ， 则 若用
P ( r , t )( i ) ( r , t ) d r
这表明，如果不用 c( p, t ) 去求动量平均值， (r, t)去求 P ，则需要引进算符 而用
2 ˆ P * r ,t ) ( r ,t ) d r ( 2 m 2 * 2 ( r , t ) ( r , t ) d r 2 m
所以动量
2
ˆ P P i
2 2 2 2 2 ˆ P 2 ˆ T T ( 2 2 2 ) 2 m 2 m 2 m x y z
Ⅱ . 位置和位能的平均值 A．位置平均值 ( x ,y ,z ,t )是归一化波函数，则 x的平 设： 均值为
x ( r , t ) x ( r , t ) d r
B．位能平均值（假设位能表示中不依赖 动量）
*
V ( r , t ) V ( r ) ( r , t ) d r
dx x 0 2( a x ) e 0 4 a
a
B．波函数的自然条件： 一般而言，波函数必须连续，有界，单值。 ① 波函数必须连续； 2 (r,t) dr 有界， ② 有界：我们讲有界是指 即使是在某些孤立奇点（对于(r, t)）也 可能不违背波函数这一性质； 2 ③ 单值：实际上仅需 ( r, t ) 单值，即(r, t) 单值； ④ 在位势有限大小的间断处，波函数导数 ' ( x 0 , t ) ' ( x 0 , t ) 仍连续 0 0
i
第四章 量子力学中的力学量-2
(I) 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系（参看：梁昆 淼，《数学物理方法》P324；王竹溪、郭敦仁，《特殊函数概论》1.10 用正交函数组展 开 P41），即若：
Fφ n = λnφ n
(II)
则任意函数ψ(x) 可 按φn(x) 展开：
但是还有 两点问题 没有搞清楚： 率是多少，哪些测不到，几率为零。 2. 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。
要解决上述问题，我们 还得从讨论 本征函数的 另一 重要性质入手。
F φ n = λ nφ n
解得的本征值λn之一。
1. 测得每个本征值λn的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到，对应几
( Fm Fn )∫ φm *φndτ = 0
若Fm≠Fn， 则必有：
∫ (Fφ
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
m
) *φn dτ = ∫ φm * Fφn dτ = Fn ∫ φm *φn dτ
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
∫φ
m
* φ n dτ = 0
[证毕]
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
c[ ∫ dτψ 1 * Fψ 2 ∫ dτ ( Fψ 1 ) *ψ 2 ] = c * [ ∫ dτ ( Fψ 2 ) *ψ 1 ∫ dτψ 2 * Fψ 1 ]
令c = 1，得： 令c = i，得：
∫ dτψ
∫ dτψ
1
* Fψ 2 ∫ dτ ( Fψ 1 ) *ψ 2 = ∫ dτ ( Fψ 2 ) *ψ 1 ∫ dτψ 2 * Fψ 1
式右 = ∫ dτ (Fψ ) *ψ
= ∫ dτ ( F [ψ 1 + cψ 2 ]) * [ψ 1 + cψ 2 ]
量子力学教程Ch4-4
前三章给出的都是 X - 表象中的形式，
本章中给出了任一力学量 Q-表象中的形式，它们都是取定了 某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述 除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经 典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，
而不用具体坐标系中的分量(Ax, Ay, Az)表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
| an*an 1
n
6
4.5 狄喇克符号
本征态的正交归 一化条件可写为：
p'| p'' ( p' p'')
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
连续谱
x'| x'' ( x' x'') 连续谱
右矢空间 |n > |n,l,m > |x' > |A >
右矢空间和左矢空间称为伴 空间或对偶空间， <ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。 <p’ |, <x’ |, <Qn | 组成 左矢空间的完备基组， 任一左矢量可按其展开，
即左矢空间的任一矢量可按 左矢空间的完备基矢展开。
< l,m |
|l,m >
这种抽象的描述方法是由 Dirac 首先引用的，
所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。
3
4.5 狄喇克符号
(二)态矢量
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
量子力学讲义第4章
第四章 量子力学的表述形式（本章对初学者来讲是难点）表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。
为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比：矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） 基矢),,(321e e e~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维任意矢展开∑=ii i e A A任意态展开 ∑=nn n a ψψ),,(z y x e e e),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(ϕθe e e r取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换由此可见，可以类似于矢量A，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。
为此，我们将① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； ② 给出态和力学量算符在该空间的表示； ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。
最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。
4.1希尔伯特空间 狄拉克符号狄拉克符号“”~类比：),,(z y x A A A欧氏空间的矢量 A→坐标系中的分量 ),,(ϕθA A A r……….)(rψ →表象下的表示)(p C……….引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。
一、 希尔伯特空间的矢量定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般是无限维的。
1、线性：①c b a =+；②a b λ=。
2、完备性：∑=nn n a a 。
3、内积空间：引入与右矢空间相互共轭的左矢空间∑==↔+nn n a a a a *;)(:。
定义内积：==*ab b a 复数，0≥a a 。
1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交；m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。
《量子力学导论》习题答案(曾谨言版-北京大学)1
第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a ω===。
量子力学-第四章
厄密共轭 算符亦可 写成：
~ ˆ ˆ O O*
(12)
1. 定义:
厄密算符
满足下列关系 的算符称为 厄密算符. 2. 性质
返回
性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。 即 若 Ô + = Ô, Û+ = Û 则 (Ô+Û)+ = Ô + + Û+ = (Ô+Û)
ˆ ˆ zp x p x z 0 ˆ ˆ zp y p y z 0 ˆ ˆ ˆ ˆ pz p x p x pz 0
若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û 反对易。
注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。 例如：
ˆ ˆ ˆ ˆ ( I ) p x 与p y 对易， p y 与x对易，但是 p x 与x不对易； ˆ ˆ ˆ ˆ ( II ) p x 与p y 对易， p y 与z对易，而 p x 与z对易。
例如：体系Hamilton 算符
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
返回
（7）逆算符
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
量子力学第4章-1
第四章：力学量用算符表示P186 15.设A 与B 为厄米算符，则()BA AB +21和()BA AB i-21也是厄米算符。
由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且()()+++-=+=F F iF F F F 21,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++21212121()BA AB +∴21为厄米算符。
ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++++21212121()BA AB i-∴21也为厄米算符。
ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===++++，且定义 ()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+-+++==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得 -++=iF F F4.1证 (A n 是实数)是厄密算符证明：此算符不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则运用这个关系于下面的计算：τϕ∑τψτϕτψd P A d P F n n ˆ)ˆ(⋅≡⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰*⎰⎰⎰⋅∑=*ττϕψd P A n nn ˆ⎰⎰⎰-*⋅∑=τϕψd P P A n n )ˆ(ˆ1 ⎰⎰⎰-*⋅∑=τϕψd P P A n n )ˆ()ˆ(1⎰⎰⎰-*⋅∑=τϕψd P P P A n n )ˆ(ˆ)(2 τϕψd PP P P A n n )ˆ(ˆ)ˆˆ(3-*⋅∑=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∙∑=τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(32τϕψd P P P A n n )ˆ(ˆ)ˆ(42-∙∑= ⎰⎰⎰-∙∑=τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(42 ⎰⎰⎰∙=ττϕψd PF ])ˆ([ )ˆ(PF 满足厄密算符的定义。
量子力学(第四章)
2.
能级简并与守恒量的关系
守恒量的应用极为广泛，在处理能量本 征值问题，量子态随时间变化，量子跃 迁以及散射等问题中都很重要。这里要 害是涉及能量简并，它们包括：(a)能 级是否简并？(b)在能级简并的情况下， 如何标记各简并态。
定理：设体系两个彼此不对易的守恒量 F 和 G ， 0 即 F , H 0, G, H 0 ，但 F , G ，则体系能 级一般是简并的。
讨论，在什么条件下可以做这种近似。
从物理上讲，要用一个波包来描述粒子的运动，
波包必须很窄，波包大小与粒子大小相当。此
外，还要求势场
波包中心处的势场
在空间变化很缓慢，使得 V (r ) r) V (与粒子感受到的势 V (很 r)
接近。但一般说来，波包会随时间演化而扩散，
如果要求波包能描述经典粒子的运动，必须要
守恒量
与经典力学不同，量子力学中， 处于量子态下的体系，在每一时刻， 并非所有力学量都具有确定值，而只 具有确定的几率分布和平均值。
ˆ 力学量 A的平均值为 ˆ A(t ) (t ), A (t )
(1)
所以
d ˆ ˆ A(t ) , A , A dt t t
证：由于 F , H 0， F H可以有共同本征函 与 数
H E , F F
考虑到 G, H 0 ，故有
HG GH GE EG
即 G 也是H 的本征态，对应于本征值 E 。
但 G 与 是否同一个量子态？考虑到 F , G 0，一般说来，
它们与经典粒子运动满足的正则方程
d p r , dt m dp V dt
相似。
量子力学课件第四章
第4章三维空间中的量子力学4.1 球坐标系中的薛定谔方程向三维情况的推广是直截了当的。
薛定鄂方程为：;i H t∂ψ=ψ∂ [4.1] 由经典能量可以得出哈密顿算符H 1V p p p mV mv z y x +++=+)(21212222 通过标准方法（现在应用于y ，z 以及x ）：,x p i x ∂→∂ ,y p i y∂→∂ ,z p i z ∂→∂ [4.2] 或者简洁地写为[4.3]这样[4.4]其中2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂≡∇ [4.5]是直角坐标系中的拉普拉斯算符。
势能V 和波函数ψ现在是(,,)x y z =r 和t 的函数。
在无穷小体元3d dxdydz =r 内发现粒子的几率为23(,)t d ψr r ，归一化条件是231,d ⎰ψ=r [4.6]其中积分是对整个空间进行。
如果势不显含时间，将有一组完备的定态/(,)(),n iE t n n t e ψ-ψ=r r [4.7]其中空间波函数n ψ满足定态薛定谔方程： [4.8]1当可能出现混淆时,我将在算符顶部放一个∧来区分它们与对应的经典力学量。
本章中不会有很多场合会出现这种混淆，用∧很麻烦，所以从现在起我不再用它。
（含时）薛定谔方程的一般解是/(,)(),n iE t n n t c e ψ-ψ=∑r r [4.9]其中常数n c 由初始波函数(,0)ψr 用通常的方法确定。
（假如势允许连续态，那么4.9式中的求和变为积分。
）*习题4.1（a ） 求出算符r 和p 的各分量之间的正则对易关系：[,]x y ，[,]y x p ，[,]x x p ，[,]y z p p 等等。
答案：[,][,]i j i j ij r p p r i δ=-= ，[,][,]0i j i j r r p p ==， [4.10]这里指标表示,,x y z , , , x y z r x r y r z ===。
（b ） 证明三维情况下的Ehrenfest 定理：1,d dt m =p 和 .d V dt=-∇p [4.11] (当然，上面每个式子表示三个方程—一个分量一个)。
周世勋量子力学教程第4章
经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、动 能、势能、角动量、自旋、转动能等力学量来描述。 量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一个基本概念，来描写微观粒子的运动状态。但 波函数并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引 入了一个重要的基本概念——算符，用它表示量子力 学中的力学量。波函数与算符作为量子力学的核心概 念相辅相成、贯穿始终。
归一化 常数
−ih
dy dψP
z
= PψP (y) y
z
ψP (y) = Ce 2 ψP (z) = Ce 3
z
v r ψP(r) = Ae
i vv P⋅r h
dz
= PψP (z) z
z
i P ⋅z z h
14
3.2 动量算符与角动量算符（续1）
Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
λ 称为其本征值，ψ 为其本征函数。
7
3.1 表示力学量的算符（续9）
Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
(3）力学量算符 表示力学量的算符必须是对波函数进行有物理意义 运算的符号。
v 例如当波函数为 ψ (r , t ) 时
坐标算符
ˆ 哈密顿算符 H
3.1 表示力学量的算符（续10）
Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
力学量算符规则——即构造力学量算符的规则： 将第二章中构造Harmilton算符的方法加以推广， 便提出一个构造一般力学量算符的基本假设。 若量子力学中的力学量 F 在经典力学中有相应的 v v ˆ 由经典表示 F(r , P) 力学量，则表示该力学量的算符 F r v ˆ 中将动量 P 换成动量算符 P 而得性质： 厄米算符的本征值必为实数
量子力学 第4章-3-第13讲
本征能量
E i j
（1）
若两粒子交换，则 (q2 , q1) i (q2 ) j (q1)（2）
能量值仍为 E i j 是简并的，这种简并称为交换简并。
如果两粒子处于同一状态， i j
则(1）和（2）给出同一个对称波函数,符合全同粒子 体系波函数的要求。
如果两粒子处于不同状态，i j
以 i 和 i 表示 Hˆ0 的第i个本征值和本征函数，则单
粒子的本征值方程为：
Hˆ 0 (q1)i (q1) ii (q1)
Hˆ
0
(q2
)
j
(q2
)
j
j
(q2
)
体系的哈米顿算符的本征值方程为：
Hˆ (q1, q2 ) E (q1, q2 )
本征波函数 (q1, q2 ) i (q1) j (q2 )
即波函数为对称函数
当 1 时
(q1, , qj , , qi , , qN, t) (q1, , qi , , qj , , qN, t)
即波函数为反对称函数
描述全同粒子系统状态的波函数只能是对称的，或 者反对称的。
引入粒子坐标交换算符
ˆij(i, j) ( j, i)
ˆij(i, j) (i, j)
费米（E. Fermi, 1901-1954) 美籍意大利物 理学家。1922年得博士学位。继而去德国 哥廷根大学随玻恩工作，后又去荷兰莱顿 大学随Ehrenfest工作。1938年去美国,先在 纽约哥伦比亚大学后在芝加哥大学任教。 由于中子核反应的发现，费米由于中子核 反应的发现获得1938年诺贝尔物理学奖。
《美与物理学——杨振宁在清华园发表演说》
玻色〈S. N. Bose，1894-1974〉印度物理学家.
量子力学——第四章作业参考答案
( p × l − l × p )x ，
2 ( p × l − l × p)y ， ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦ z = i ( p × l − l × p ) z ，因此
同理 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦y = i
i
2 ( p × l − l × p) = ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦。
3.10 证明： （a） pr =
可见， ( r × l − l × r ) = r × l − l × r ， r × l − l × r 为厄米算符。
+
3.3
证明：一维情况下，由 x 和 p 的对易关系 [ x, p ] = i ， 可得 从而
（6） （7）
xp = i + px ， px = xp − i
，
m −1 n m n +1 [ p, F ] = ∑ Cmn ( px m p n − x m p n+1 ) = ∑ Cmn ⎡ ⎣( xp − i ) x p − x p ⎤ ⎦ m,n =0 ∞ m,n =0
∂ F。 ∂x
（8）
=
m ,n =0
mn
= −i
m,n =0
∑C
mn
mx m −1 p n = −i
同理，可得 [ x, F ] = i 3.4 证明：
∂ F。 ∂p
（9）
[ AB, C ] = ABC − CAB = ( ABC + ACB ) − ( ACB + CAB )
= A [ B, C ]+ − [ A, C ]+ B
（b） pr =
1⎛r r ⎞ 1 ⎡r r ⎛ r ⎞⎤ ⎜ i p + p i ⎟ = ⎢ i p + i p − i ⎜ ∇i ⎟ ⎥ 2⎝ r r ⎠ 2 ⎣r r ⎝ r ⎠⎦
量子力学习题解答-第4章
c
=
æ ç è
a b
ö ÷ ø
=
ac+
+
bc-
对这个态测量 Sz 得到 h / 2 的几率为 a 2 ，得到 -h / 2 的几率为 b 2 。
4. 两个角动量的叠加
两个角动量 J1, J2（ J1, J2 可为轨道或自旋）可以叠加一个总角动量 J ，叠加出来的总角
动量量子数可能取值为
j = j1 + j2 , j1 + j2 -1,..., j1 - j2
d
p
=
-ÑV .
dt
m
dt
(当然，上面每个式子表示三个方程—一个分量一个)。提示：首先验证方程 3.71
在三维中是成立的。
给出三维情况下的海森堡不确定原理公式。答案：
s xs px ³ h / 2 ，s ys py ³ h / 2 ，s zs pz ³ h / 2 ， 但是对s xs py 等却没有限制。
= 0.529167 ´10-10 m 是波尔半径，
å [ ] L2l+1 n+l
(
r
)
=
n-l -1
(-1)v+1
v=0
(n
-
l
(n + l)! -1- v)!(2l
2
+1+
v)!v!
rv ,
是缔合拉盖尔多项式。
氢原子的能量本征值为
æ ç è
r
º
2r na
ö ÷ ø
En
=
-
me 2h 2
æ ç è
的矩阵表示是
æ0 1 0ö
æ 0 -i 0 ö
æ1 0 0 ö
量子力学教程第四章课件 CH4-2011
诸算符对易的定理
诸算符对易的定理-II
逆定理及推广到一组算符
共同本征态和力学量的同时确定
力学量完全集
量子体系的状态由一组力学量完全集的共同本征 函数完全描述
不确定关系（测不准关系）
量子态及其统计解释
量子力学的基本原理---II
力学量与算符
表
量子力学的基本原理---II
量子力学的基本原理---III
力学量的测量
量子力学的基本原理---IV
量子态的波动方程
2. 算符与力学量的表示
算符及其运算 算符的对易及对易式的计算 力学量算符是线性、厄密算符
线性算符 厄密算符
量子力学教程，Page 73
力学量
波函数的展开
( x ) cnn ( x ) 求展开式系数cn
n
分立谱展开系数满足
波函数的展开---II
当F 的本征值谱是连续的，或者部分本征值n组成分立 谱，部分本征值组成连续谱时（量子力学教程，Page 85）
4. 位置，动量、和角动量算符 及其本征函数
* x0
位置算符本征函数的归一化，连续谱本征函数归一为函数
ˆ x x0 ( x ) x0 x0 ( x ) x 0 ( x ) ( x x0 )
利用 f ( x ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) Homework：请用位置算符的本征函数将任意波函数(x)展 开，求展开式系数
5. 力学量的统计分布
力学量F 的测量问题（量子力学教程 Page 74-75）
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第四章量子力学中的力学量第四章目录§4.1表示力学量算符的性质 (3)(1) 一般运算规则 (3)(2) 算符的对易性 (5)(3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7)§4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12)§4.3 连续谱本征函数“归一化” (15)（1） 连续谱本征函数“归一化” (15)（2） δ函数 (18)（3） 本征函数的封闭性 (22)§4.4 算符的共同本征函数 (24)(1) 算符“涨落”之间的关系 (24)(2) 算符的共同本征函数组 (27)(3) 角动量的共同本征函数组―球谐函数 (28)(4) 力学量的完全集 (34)§4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36(1) 力学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36)(2) Vivial Theorem维里定理 (37)(3) 能量—时间测不准关系 (38)(4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38)第四章 量子力学中的力学量§4.1表示力学量算符的性质(1) 一般运算规则一个力学量如以算符Oˆ表示。
它代表一运算，它作用于一个波函数时，将其变为另一波函数)z ,y ,x ()z ,y ,x (Oˆϕ=ψ。
它代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (Oˆϕ−→−ψ例： /pˆia x e Oˆ-=，于是)x (e )x (Oˆdx daψ=ψ-∑∞=ψ-=0n nnn )x (dxd !n )a ( )a x (-ψ= )x (ϕ=即将体系的几率分布沿x 方向移动距离a .A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。
由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。
所谓线性算符，即ψ=ψO ˆc )c (Oˆ 22112211ψ+ψ=ψ+ψO ˆc O ˆc )c c (O ˆ例如1： ψ=∂ψ∂H ˆti若1ψ是方程解，2ψ也是方程解，则2211c c ψψ+是体系的可能解。
事实上22112211ψ∂∂+ψ∂∂=ψ+ψ∂∂t i c t i c )c c (ti2211ψ+ψ=H ˆc H ˆc 是线性算符仅当H ˆ有 )c c (H ˆ2211ψ+ψ=； 例如2：对不显含时间的薛定谔方程ψ=ψE Hˆ， 若 11ψ=ψE H ˆ，22ψ=ψE H ˆ，则 2211ψ+ψc c 也是解 )c c (E 2211ψ+ψ 2211ψ+ψ=E c E c2211ψ+ψ=H ˆc H ˆc 是线性算符仅当H ˆ有 )c c (H ˆ2211ψ+ψ= 量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，而且方程是线性齐次，方程A Oˆ=ψ就不行。
因 A O ˆ=ψ1，A O ˆ=ψ2。
但 )c c (A O ˆc O ˆc )c c (O ˆ2122112211+=ψ+ψ=ψ+ψ。
而 121≠+c c 。
所以，方程形式只能为0=ψ)Oˆ(F ，且)O ˆ(F 必须是线性算符。
当然，可观察的力学量算符不仅应是线性的，而且应是线性厄密算符。
B. 算符之和：B ˆA ˆOˆ+=表示，对任意波函数进行变换所得的新波函数完全相等，即 ϕ=ψO ˆ，ϕ=ϕ+ϕ=ψ+ψ=ψ+BA B ˆA ˆ)B ˆA ˆ(； C. 算符之积: B ˆA ˆOˆ=表示，对任意波函数ψ，有ϕ=ψO ˆ，则 ϕ=ϕ=ψBA ˆB ˆA ˆ； D. 逆算符：算符Oˆ将任一波函数ϕ−→−ψOˆ, 即ϕ=ψO ˆ。
若有另一算符使ψ=ϕR ˆ，则称R ˆ为O ˆ的逆算符，并表为1O ˆR ˆ-=，显然，1O ˆO ˆO ˆO ˆ11==--；E. 算符的函数：设：)x (F 在x=0处，有各级导数∑=nn x !n )(F )x (F 0，则定义算符的函数∑=nn A ˆ!n )(F )A ˆ(F 0。
例如: x e 它有各级导数10=)n (x )e (，∑=nx x !n e 1。
于是 ∑=nAˆA ˆ!n e1。
如果函数不能以幂级数表示，则还有算符函数的自然展开。
我们将在后面给出。
（2）算符的对易性一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能彼此对易。
若 /ˆi y e Aˆ2π-=,/L ˆi z e Bˆ2π-=，则 A ˆBˆB ˆAˆ≠。
我们熟悉 ψ'-=ψx i pˆx x ，ψ'-ψ-=ψx i i x p ˆx 。
所以 ψ=ψ-ψ i x p ˆpˆx x x 由于ψ是任意波函数。
所以算符 i x p ˆpˆx x x =-。
引入对易子：[]B ˆ,Aˆ为算符B ˆA ˆ和的对易子，[]A ˆB ˆB ˆA ˆB ˆ,A ˆ-=。
由于算符的不可对易性，导致其对易子并不定为0。
对易子有如下性质]A ˆ,B ˆ[]B ˆ,Aˆ[-= C ˆ]B ˆ,A ˆ[]C ˆ,A ˆ[B ˆ]C ˆB ˆ,Aˆ[+= B ˆ]C ˆA ˆ[]C ˆB ˆ[A ˆ]C ˆB ˆAˆ[⨯+⨯=⨯， 并有 ∑-=--=101n S s n s n B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,Aˆ[， 证： 1n = 成立设： 1n -成立，即∑-='-'--'-=2111n S s n s n B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,Aˆ[，而 11--+=n n nB ˆ]B ˆ,Aˆ[]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,Aˆ[ 1211--='-'--'+=∑n n S s n s B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆBˆ1n 2n 0S 1s 1n 1s B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,A ˆ[Bˆ--='-'--+'+=∑ 1111--=--+=∑n n S s n s B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,A ˆ[Bˆ ∑-=--=11n S s n s B ˆ]B ˆ,A ˆ[Bˆ 例： 求 ]p ˆ,x [n x∑-=--=11n S s n x x s x p ˆ]p ˆ,x [pˆ ∑-=-=11n S n x p ˆi1-=n x p ˆn i 。
由于算符之间存在不对易的情况，因此在算符的运算时，要特别小心，不要与常规运算混淆。
例：B ˆ,Aˆ 都和 ]B ˆ,A ˆ[ 对易，可证明 ]B ˆ,A ˆ[B ˆAˆBˆAˆee.e 21++=。
所以， pˆx p ˆx x xee .e21++= 。
这种差异，是因为A ˆB ˆB ˆAˆ≠。
而仅当A ˆB ˆB ˆA ˆ=时，B A B A e e .e += 才成立。
下面是一些有用的对易关系k ijk j i x i ]x ,L ˆ[ε= k ijk j i p ˆi ]p ˆ,L ˆ[ε= k ijk j i L ˆi ]L ˆ,L ˆ[ε=其中 i,j,k 可取1，2，3，ijk ε称为Levi-Civita 符号。
取值ijk)(δ-1（ijk δ为从123→ijk 的对换数。
如 1132=δ，1)1(1132-=-=ε。
显然，当ijk 中有两个相同，则ijk ε=0 ）。
用上述关系可证：r i L ˆr r Lˆ 2=⨯+⨯p ˆi L ˆp ˆp ˆLˆ 2=⨯+⨯ 这表明，L ˆr r Lˆ⨯-≠⨯，L ˆp ˆp ˆL ˆ⨯-≠⨯。
但r p ˆp ˆr ⨯-=⨯，所以， p ˆr )r p ˆp ˆr (L ˆ⨯=⨯-⨯=21 应该强调指出：对易关系是与坐标选择无关。
因此，求对易关系，可找计算起来最简单的坐标系来做。
其结果，当然对任何坐标系都成立。
例： ]r ,L ˆ[z]r xy y x(i [∂∂-∂∂-= ryx r xy (i 2222--= =0 。
而 ]r ,L ˆ[z]r ,i [ϕ∂∂-= =0 。
另外，对易关系与表象选择无关。
如 ]p ˆ,x [n x ]p ,p i [n x x ∂∂= 1-=n x p ˆn i （3）算符的厄密性（Hermiticity ）A. 算符复共轭：若对波函数（任意）有ψ=ϕAˆ, **B ˆψ=ϕ 则称Bˆ为A ˆ的复共轭算符，以*A ˆ表示。
例 )x (dxdi )x (pˆ)x (x ψ-=ψ=ϕ , *x **)x (p ˆdx d i ))x (dx d i ()x (ψ-=ψ=ψ-=ϕ , 所以，x *x p p -=。
事实上，算符的复共轭就是将算符所有复数量取复共轭。
显然，***B ˆA ˆ)B ˆAˆ(=， A ˆ)A ˆ(**=。
B. 算符的转置1. 标积定义：若体系有两个波函数，其标积为⎰ϕψ=ϕψr d ),(*。
显然，02>ψ=ψψ⎰r d ),(对于标积，显然),(),(),(***ψϕψϕϕψ==),(),(),(22112211ϕψλϕψλϕλϕλψ+=+),(),(),(2*21*12211ϕψλϕψλϕψλψλ+=+。
所以对ϕ，标积是性运算；而对ψ， 标积是反线性运算。
当标积为零，0r d ),(*==⎰ϕψϕψ 则称这两波函数正交。
2．转置定义：算符B 称为算符Aˆ的转置算符，即 ⎰⎰=r d B ˆr d Aˆ**ψϕϕψ，或 )B ˆ,()A ˆ,(**ψϕϕψ=。
通常以算符A~ˆ表示算符A ˆ的转置算符。
即 ⎰⎰ψϕ=ϕψr d A~ˆr d A ˆ**，或 )A ~ˆ,()A ˆ,(**ψϕ=ϕψ 例：⎰⎰⎰ψ∂∂-ϕ=ψ∂∂ϕ-ϕψ=ϕ∂∂ψ+∞∞-r d x (r d x r d x ****，所以， xx ~∂∂-=∂∂，显然，x x p ˆp~ˆ-=。
可以证明 A ~ˆB ~ˆB ˆA ˆ~=, A ˆA~~ˆ= C. 算符的厄密共轭定义：算符的厄密共轭是该算符取复共轭，再转置，（以+Aˆ表示），即 *A~ˆA ˆ=+， 也就是，),A ˆ()A ˆ,()Aˆ,(***ϕψ=ψϕ=ϕψ+；由明显的标积形式 ⎰⎰⎰==+r d )A ˆ(r d A ˆr d Aˆ****ϕψψϕϕψ 例： x x()x (*∂∂-=∂∂-=∂∂+可证：A ˆ)A ˆ(=++； +++=A ˆB ˆ)B ˆA ˆ( 而 x x *x x p ˆp ~ˆp ~ˆpˆ=-==+，即x p ˆ的厄密共轭等于它自己。
这是一类特殊的算符。
（x xˆ=+，ii L ˆL ˆ=+） D. 厄密算符: 若算符的厄密共轭就是它自身，则称该算符为厄密算符，即,若AˆAˆ=+，则称A ˆ为厄密算符，也就是 ),A ˆ(),A ˆ()Aˆ,(ϕψ=ϕψ=ϕψ+。