高中数学北师大版高一必修4试题 3.3.1二倍角公式及其应用

1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )

A ．－1

B ．－12 C.12 D ．1

解析：f (x )＝12sin 2x ∈ [－12，12

]． 答案：B

2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13

，则cos(π＋2α)的值为( ) A ．－79 B.79

C.29 D ．－23

解析：∵sin(π2＋α)＝13，∴cos α＝13

. 则cos(π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α

＝1－29＝79. 答案：B

3．已知等腰三角形底角的余弦值为23

，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259

C ．－459

D ．－259

解析：令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α，

∵cos α＝23

，0<α<π， ∴sin α＝53

. ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α

＝2×23×53＝459

. 答案：A

4．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59

，则sin 2θ等于( ) A.223 B ．－223

C.23 D ．－23

解析：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2 (sin θcos θ)2＝59

， ∴(sin θcos θ)2＝29

. ∵θ为第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，

∴sin θcos θ>0，∴sin θcos θ＝23

.

∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝223

. 答案：A

5．已知α为第二象限角，sin α＝35

，则tan 2α＝______. 解析：由于α为第二象限角，且sin α＝35

， ∴cos α＝－45.∴tan α＝－34

， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－34)1－(－34)2＝－321－916

＝－247. 答案：－247

6．已知0<α<π2，sin α＝45，则sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α

＝________. 解析：∵0<α<π2，sin α＝45

， ∴cos α＝35

. ∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1

＝(45)2＋2×45×353×925

－1＝20. 答案：20

7．已知sin α＝cos 2α，α∈(0，π2

)，求sin 2α的值． 解：∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0，

∴sin α＝－1或sin α＝12

. 又∵α∈(0，π2)，∴sin α＝12，α＝π6. ∴cos α＝32.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×12×32＝32

. 8．在△ABC 中，若cos A ＝13，求sin 2B ＋C 2

＋cos 2A 的值． 解：sin 2

B ＋

C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1 ＝12＋12×13＋2×(13)2－1＝－19.