高中数学北师大版高一必修4试题 3.3.1二倍角公式及其应用
数学北师大版必修4课件：3-3-1 倍角公式
类型二
化简求值问题
【例 2】 化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos2α·cos2β. 【思路探究】 观察待化简的式子可以发现：(1)涉及的角 有 α，β，2α，2β(需要把 2α 化为 α，2β 化为 β)；(2)函数名称为 正弦、余弦(可以利用平方关系进行名称的统一)；(3)次数为 2(有 降次的可能)；(4)有平方项(可以进行配方)．由于侧重角度不同， 出发点不同，所以本题的化简方法不止一种．
规律方法 解答此类综合题的关键是利用三角函数的公式将 f(x)化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(或 f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式， 然后借助于三角函数的图像及性质去研究 f(x)的相应性质，解答 过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失 误．
已知函数 f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
——规范解答—— 二倍角公式的综合应用问题 【例 5】 已知函数 f(x)＝ 3sinωxcosωx－cos2ωx＋32(x∈R， ω∈R)的最小正周期为 π，且当 x＝π6时，函数有最小值． (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)的单调递增区间．
【审题】
【解题】 (1)f(x)＝ 3sinωxcosωx－cos2ωx＋32 ＝ 23sin2ωx－12(1＋cos2ωx)＋32＝sin(2ωx－π6)＋1. 由题意 ω＝±1，当 ω＝1 时，f(x)＝sin(2x－π6)＋1，f(π6)＝sinπ6 ＋1，不是最小值． 当 ω＝－1 时，f(x)＝sin(－2x－π6)＋1，f(π6)＝－sinπ2＋1 是最 小值，所以 f(x)＝sin(－2x－π6)＋1＝－sin(2x＋π6)＋1.
北师大版数学高一-3.3素材 二倍角公式常用方法例析
二倍角解方攻略
二倍角的三角函数是和、差角的三角函数的特例，其求值，化简，证明的出发点是统一角，统一函数和降低次数。在变形过程中，要注意角与角之间的和、差、倍关系和特殊角之间的关系等。同时还要观察式子的特征，适当选用公式进行化简。这里对几种常用方法举例解析，供同学们参考。
一、逆用公式法： 例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。 分析：注意到sin10°sin50°sin70°=cos80°cos40°cos20°,分子分母可同时乘以2sin20°,逆用正弦的二倍角公式求解，也可用变形式作商相消。
解法1 (连续逆用法)sin10°sin30°sin50°sin70°= 1
2 cos80°cos40°cos20°
=
14sin20° ·cos80°cos40°·(2sin20°cos20°) =
18sin20°
·cos80°·(2sin40°cos40°) = 116sin20° ·(2sin80°cos80°) = sin160°16sin20° = 116
解法2 (作商法)sin10°sin30°sin50°sin70°= 12
cos80°cos40°cos20°
= 12 · sin160°2sin80° · sin80°2sin40° · sin40°2sin20° = sin160°16sin20° = 116 评注：①解法1是根据其特点采用同乘同除一个三角函数式，使其构成使用二倍角公
式sin2α=2sin αcos α的形式，从而达到求值的目的。解法2用作商相消法可使问题变得简单。
高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数学案北师大版
1.2 二倍角的三角函数
知识梳理 1.倍角公式
（1）公式：sin2α=2sin αcos α；（S 2α）
cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2
α;（C 2α） tan2α=
α
α
2tan 1tan 2-.（T 2α）
（2）公式的理解
①成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠k π+2
π
及α≠2πk
+
4
π
（k∈Z）时才成立. ②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2
α
是4
α
的二倍、3α
是
2
3α
的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. ③cos2α的变形：
cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2
α， cos 2
α=
22cos 1α+，sin 2
α=2
2cos 1α-；（这两个公式称为降幂公式） 1+cos2α=2cos 2
α，1-cos2α=2sin 2
α.（这两个公式称为升幂公式）
2.半角公式 （1）公式：sin
2
α
=±
2cos 1α-；cos 2
α
=±2cos 1α+； tan
2
α
=±
α
αααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 1+=-=+-.
（2）公式的理解 关于半角正切公式：tan
2
α=αα
sin cos 1-不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan
2α=±ααcos 1cos 1+-和tan 2α
=α
αcos 1sin +的使用范围不完全
高中数学课下能力提升二十七倍角公式及其应用北师大版必修4
课下能力提升(二十七) 倍角公式及其应用
一、选择题
1．(大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝35
，则sin 2α＝( )
A ．－2425
B ．－
1225
C.
1225 D.2425
2．(陕西高考)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )
A.
22B.1
2
C ．0
D ．－1
3．(江西高考)若
sin α＋cos αsin α－cos α＝1
2
，则tan 2α＝( )
A ．－34B.34 C ．－43
D.
43
4．已知cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4
＋θcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4
－θ＝34
，θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫34π，π，则sin θ＋cos θ的值是( )
A.
62B ．－6
2 C ．－
22D.2
2
二、填空题
5．函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x 的最小正周期是________．
6．求值：tan 20°＋4sin 20°＝________．
7．已知tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x
的值为________．
8．化简：
1－2sin 20°cos 20°
2cos210°－1－cos2160°－1
＝________．
三、解答题
9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35
，π2≤α<3π2
，求cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2α＋π4的值．
10．(四川高考)已知函数f (x )＝cos 2
x 2－sin x 2cos x 2－12
.
(1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝
32
10
，求sin 2α的值．
3-3 二倍角的三角函数(一) 课件高中数学必修4(北师大版)
解
3 (1)因为 α 为第二象限的角，sin α＝5，
2
4 sin α 3 所以 cos α＝－ 1－sin α＝－5，tan α＝cos α＝－4. tan α＋tan β 4 7 又 tan β＝3，所以 tan(α＋β)＝ ＝24. 1－tan α· tan β 4 (2)因为 β 为第三象限的角，tan β＝ ， 3 4 3 所以 sin β＝－5，cos β＝－5. 24 7 2 又 sin 2α＝2sin α cos α＝－25，cos 2α＝1－2sin α＝25， 3 所以 cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝5.
2θ
题型二 利用倍角公式化简 【例 2】 化简下列各式： 1＋sin α 1－sin α (1) ＋ ， 1＋cos α－ 1－cos α 1＋cos α＋ 1－cos α 3π 其中 π＜α＜ ； 2 1＋cos α＋coswk.baidu.com2α＋cos 3α (2) . α cos2 α－sin2 2
[思路探索] (1)用升幂公式脱去根号，根据角的范围化简． (2)由于分子中有 α，2α，3α 三种角，故采取中间凑的思路：cos α＋cos 3α＝cos(2α－α)＋cos(2α＋α)＝2cos 2αcos α； 分母可用升 1－cos α 幂公式将 sin 化为角 α 的三角函数， 即 sin ＝ ， 分子、 2 2 2
高中数学 必修四 课件：3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
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若32π<α<2π，化简： 12＋12 12＋12cos2α.
第三章 3.1 3.1.3
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[解析] 因为32π<α<2π，所以34π<α2<π.
所以原式＝
12＋12
1＋cos2α 2
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自主预习 阅读教材P132－135回答下列问题． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
第三章 3.1 3.1.3
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三角函数
公式
正弦 sin2α＝ 2sinαcosα
余弦
cos2α＝cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α
第三章 3.1 3.1.3
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[拓展]倍角公式的变形公式 剖析：(1)公式的逆用： 2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝12sin2α； cosα＝s2isni2nαα； cos2α－sin2α＝cos2α； 1－2tatannα2α＝tan2α.
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第三章
三角恒等变换
北师大版必修第二册4-3-1二倍角公式课件(45张)
弦、余弦、正
切公式
3．灵活掌握倍角公式，能利用公式进行三角函
数式的化简以及解决实际问题．(逻辑推理、数
学运算)
课前篇·自主学习预案
1.倍角公式 (1)sin 2α＝_2_si_n__α_co_s__α____(S2α)．
(2)cos 2α＝__c_o_s_2α_－__s_i_n_2α__＝__2_c_o_s_2_α_－__1___＝1－2sin2α(C2α)．
∵54π<x<74π，∴－32π<π4－x<－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
[巧归纳] 先化简，再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系．尽
量出现条件中的角，以便能整体代入，减少运算量.
课堂篇·研习讨论导案
研习 1 利用倍角公式求值(给角求值)
[典例 1] (1)4cos 50°－tan 40°＝( C )
A. 2
2＋ 3 B. 2
C. 3
D．2 2－1
(2)求下列各式的值：
①cosπ5cos25π；
②12－cos2π8；
③tan1π2－
1 π.
tan12
[自主记]
(1)[分析] 先用同角基本关系式将切化弦，再进行通分，然后化简求值．
二倍角的三角函数(2)》课件北师大版必修4
•变式练习：证明
•证明:（1）左边 •右边,
•所以，等ห้องสมุดไป่ตู้成立.
•（2）左边 •所以，等式成立.
•右边,
•C
•A.
B.
C.
D.
•B
•3.(2013·新课标全国高考)
• 已知
，则
（ •A ）
• A.
B.
C.
D.
•解:•因为 •所以
•4.化简：（1） •（2）
•解:（1）原式
•（2）原式
•解法1： •例4的结论
•3、关于公式的几个说明：
•（1）正弦和余弦函数的半角公式对任意角均 成立，对于正切的半角公式
•点评：看清角的取值范围，记住公式的结构形式 .
•引申：公式变形 ： •1.降幂升角公式
•2.升幂降角公式
•例3
•提升总结
•三角恒等式的证明:
•(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般从繁到简 . •(2)左右归一，即证左右两边等于同一个式子. •(3)分析法,从结论出发,推理之后即证一个显然成 立的式子或已知条件. •(4)也可证 ＝1或左－右＝0. •(5)在证明的过程中注意一些技巧的应用:公式逆 用,变形;角的变化;常值代换 (1=tan45°=sin2x+cos2x);切化弦. •(6)有些问题需要分类给出证明.
•解法2：
高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数(1)课件2北师大版必修4
倍角等. (2)在具体应用中可先对角进行观察,寻求待求的角与已知角之间的 差异,再决定用哪种“倍”的关系.
2.二倍角公式的应用 (1)直接应用公式进行升幂、配方、开方、求值化简证明等运算. (2)变形应用公式主要体现在化异角为同角、化异次为同次、逆用公 式等方面,其中二倍角的余弦公式最灵活.如:①1+cos2α =2cos2α ; ②cos2α =
类型二
化简与证明三角函数式
2cos 2 1 【典例】1.化简: =________. 2tan( )sin 2 ( ) 4 4 sin 2 sin 2.证明: tan. 2 2cos 2 2sin cos
【解题探究】1.典例1中 与 4 4 提示: ( ) 4 2 4
1 cos2 2
;③1-cos2α =2sin2α ;④sin2α = 1 cos 2 ,
2
不仅仅是逆用,更重要的是体现了幂指数的变化,其中①③是从一次幂 向二次幂转换,因此把它们称为升幂公式,②④则是从二次幂向一次幂 转换,因此把它们称为降幂公式.
【题型探究】 类型一 求二倍角的函数值
3 3 3 6 2 3 6
有什么关系?
2 7 1 2 【解析】1.由sinα= ,得cos2α=1-2sin α= 1 . 9 9 3 答案: 7 9 2.因为 cos( ) sin[ ( )] sin( ) 1 , 3 2 3 6 3 所以 cos( 2 2) 2cos 2 ( ) 1 2 ( 1 )2 1 7 . 3 3 3 9 答案:- 7 9
高中数学必修4-第3章三角恒等变换-示范教案(3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式)
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
整体设计
教学分析
“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.
本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.
在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.
三维目标
1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.
2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.
高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数例题与探究(含解析)北师大版必修4
3.3 二倍角的三角函数
典题精讲
例1化简︒+98sin 1=__________________.
思路分析：︒+98sin 1=2)49cos 49(sin ︒+︒=|sin49°+cos49°| =sin49°+cos49°=2sin(49°+45°)=2sin94°=2cos4°. 答案：2cos4°
变式训练(湖北高考卷，理3)若△ABC 的内角A 满足sin2A=
3
2
，则sinA+cosA 的值为（ ） A.
315 B.-315 C.35 D.-3
5
思路分析：∵sin2A=2sinAcosA＞0，∴cosA＞0.∴sinA+cosA＞0.∴1+sin2A=(sinA+cosA)2
. ∴1+
32=(sinA+cosA)2.∴(sinA+cosA)2=3
5. ∴sinA+cosA=
3
15
35=. 答案：A
例2求下列各式的值.
（1）cos
12πcos 125π； （2）（cos 12π-sin 12π）（cos 12π+sin 12π
）；
（3）21-cos 2
8π；
（4）-32+3
4cos 2
15°.
思路分析：（1）题添加系数2，即可逆用倍角公式；（2）题利用平方差公式之后再逆用倍角
公式；（3）中提取系数2后产生倍角公式的形式；（4）则需提取系数3
2
. 解：（1）cos 12πcos 125π=cos 12πsin 12π=21×2cos 12πsin 12π=21sin 6π=4
1
.
（2）（cos
12π-sin 12π）（cos 12π+sin 12π）=cos 212π-sin 212π=cos 6π=2
高中数学 第1部分 第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课件 新人教A版必修4
6．已知 tan(π4＋α)＝12. (1)求 tan α 的值；
(2)求sin1＋2αc－osc2oαs2α的值． 解：(1)法一：∵tan(π4＋α)＝12， ∴tan α＝tan[(π4＋α)－π4] ＝1t＋ant（anπ4（＋π4α＋）α－）t·atann π4π4＝121－ ＋112＝－13.
[一点通] 这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对 题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数 名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条 件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论，即解题过程 既要结合已知条件，又要增强目标意识．
4．已知 sin α＝ 55，则 sin4α－cos4α 的值为
百度文库 二倍角公式
名称
公式
二倍角的正弦 sin 2α＝ 2sin αcos α
cos 2α＝ cos2α－sin2α
二倍角的余弦 ＝ 2cos2α－1
＝ 1－2sin2α
2tan α 二倍角的正切 tan 2α＝ 1－tan2α
记法 S2α C2α
T2α
1．二倍角公式给出了倍角 2α 与单角 α 之间的关
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－ 3.
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1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )
A ．－1
B ．－12 C.12 D ．1
解析：f (x )＝12sin 2x ∈ [－12，12
]． 答案：B
2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13
，则cos(π＋2α)的值为( ) A ．－79 B.79
C.29 D ．－23
解析：∵sin(π2＋α)＝13，∴cos α＝13
. 则cos(π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α
＝1－29＝79. 答案：B
3．已知等腰三角形底角的余弦值为23
，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259
C ．－459
D ．－259
解析：令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α，
∵cos α＝23
，0<α<π， ∴sin α＝53
. ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α
＝2×23×53＝459
. 答案：A
4．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59
，则sin 2θ等于( ) A.223 B ．－223
C.23 D ．－23
解析：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2 (sin θcos θ)2＝59
， ∴(sin θcos θ)2＝29
. ∵θ为第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，
∴sin θcos θ>0，∴sin θcos θ＝23
.
∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝223
. 答案：A
5．已知α为第二象限角，sin α＝35
，则tan 2α＝______. 解析：由于α为第二象限角，且sin α＝35
， ∴cos α＝－45.∴tan α＝－34
， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－34)1－(－34)2＝－321－916
＝－247. 答案：－247
6．已知0<α<π2，sin α＝45，则sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α
＝________. 解析：∵0<α<π2，sin α＝45
， ∴cos α＝35
. ∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1
＝(45)2＋2×45×353×925
－1＝20. 答案：20
7．已知sin α＝cos 2α，α∈(0，π2
)，求sin 2α的值． 解：∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0，
∴sin α＝－1或sin α＝12
. 又∵α∈(0，π2)，∴sin α＝12，α＝π6. ∴cos α＝32.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×12×32＝32
. 8．在△ABC 中，若cos A ＝13，求sin 2B ＋C 2
＋cos 2A 的值． 解：sin 2
B ＋
C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1 ＝12＋12×13＋2×(13)2－1＝－19.