高二数学四种命题的相互关系
数学知识点：四种命题及其相互关系_知识点总结
数学知识点：四种命题及其相互关系_知识点总结
数学知识点：四种命题及其相互关系1、四种命题：
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则,初中学习方法。
2、四种命题的真假关系：
一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；
3、四种命题的相互关系：
注意：
1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。
2、互为逆否命题同真假，即“等价”。
高二数学四种命题的相互关系
爬犁论张，不论辆。
每张爬犁由两匹马拉。林区冬季气温在零下四十几度，赶爬犁的人身穿羊皮袄，头戴狗皮帽子，脚穿棉靰鞡，也叫毡疙瘩，浑身上下包裹得还算严实。长鞭一甩，嘎！
“嘚驾！”马爬犁载着滚圆的木材，在雪地里在冰面上就欢欢地跑起来了。
一张马爬犁一般运三五根木材，来来回回地跑，马跑得汗气腾腾。马鬃上眉梢上挂满了霜，鼻孔喷出一团一团的热气。爬犁是用柞木做成的。柞木结实，性子稳定，不易劈裂。爬犁脚的底部镶上铁 条，在雪里或者冰上跑起来就轻快无比了。
那时候，伐木人的生产作业还是有一些行话的。比如“磨骨头”就是用肩杠抬木头装车，“小套房”就是集材的意思，“大套房”就是运材的意思。“上楂子”是指从伐木、打枝、造材到归楞的多 道工序的统称，而“下楂子”则是指顺着河道水运流送的过程。
场又分山楞、中楞、大楞。
山上伐倒的木头，简单集中到一起，叫山楞；把山楞的木材再集中运到路边，归成楞堆，叫中楞；把中楞的木材，用马爬犁运到苏呼河两岸归成楞垛，以备流送，称为大楞。据说，苏呼河大楞场， 一个冬天要贮存木材达到三万立方米。
四种命题间的相互关系
四种命题间的相互关系1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2．会判断四种命题的真假．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的命题结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：若q成立，则p成立．即“若q，则p”．否命题：若綈p成立，则綈q成立．即“若綈p，则綈q”．逆否命题：若綈q成立，则綈p成立．即“若綈q，则綈p”．3．四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．对点讲练命题的转换及命题的真假【例1】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．真命题．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．假命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．假命题．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．反思感悟分清条件和结论，即可容易的写出各种命题．判断一个命题为假，只需举出一个反例．变式迁移1判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．解(1)原命题是真命题．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，真命题. 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，真命题．(2)原命题是真命题．逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q <1，假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则有q ≥1，真命题．等价命题的应用【例2】 判断命题“已知a 、x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．解 因逆否命题的真假与原命题一致，故判断原命题即可，因此，只须Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0.即4a －7≥0，∴a ≥74>1. 原命题为真，故逆否命题为真．反思感悟 由于互为逆否的命题真假性一致，因此当原命题的真假难判断时，可以判断逆否命题的真假，当否命题的真假难判断时，可以判断逆命题的真假．变式迁移2 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .证明：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 要证明命题不易入手，则证明其逆否命题即可．原命题的逆否命题为“若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．”若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．间接证明【例3】 若p 2＋q 2＝2，求证：p ＋q ≤2.证明 若p ＋q >2，则p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2>12×22＝2，即p 2＋q 2>2，所以p 2＋q 2≠2.这表明原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．反思感悟 将“若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2”视为原命题，则逆否命题为“若p ＋q >2，则p 2＋q 2≠2”，原命题不容易证明时，证明其逆否命题成立即可．变式迁移3 证明：若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0.证明 若x ，y 中至少有一个不为0，不妨设x ≠0，则x 2>0，所以x 2＋y 2>0，即x 2＋y 2≠0.这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．1．由于互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．因此，四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．课时作业一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析由a>－3⇒a>－6，但由a>－6⇒a>－3，故原命题及原命题的逆否命题为真命题，故选B.2．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是()A．若A∪B≠A，则A⊇B B．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠A D．若A⊇B，则A∩B≠A答案 C3．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1答案 D4．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数答案 A解析由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．5．有下列四个命题，其中真命题有()①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C解析①的逆命题显然成立；②的否命题为“如果三角形不全等，则它们的面积不相等”，由三角形的面积公式可知②的否命题为假命题；③的逆命题中，因方程x2＋2x ＋q＝0有实根，则Δ＝4－4q≥0，即q≤1，故③的逆命题为真命题；④的逆否命题与命题④同真假，④是假命题，故选C.二、填空题6．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是____________________，逆否命题是__________________．答案若A∪B≠B，则A⊆B若A⊆B，则A∪B≠B7．命题“若x、y是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是________________________________．答案若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数三、解答题8．把命题“正方形的四条边相等”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．解原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．9．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0. 证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．。
高二数学四种命题的相互关系
反馈练习
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. x=a 或_________, x=b 证明 假设_________
(x-a)(x-b)=0 x=a 由于____________ 时,_________________,
与 (x-a)(x-b)≠_______, (x-a)(x-b)=0 又_________
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） （真） （假）
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
从而______________________. x ≠a且 x ≠b
例 1
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） （真） （真）
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
最新人教版高中数学选修1-1《四种命题的相互关系》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、四种命题之间的关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题.四种命题间的相互关系如下图所示.一般地，这四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：这四种命题的真假性的关系如下：两个命题若互为逆否命题，则它们具有相同的真假性；两个命题若互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系.重点提示原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.二、间接证明有关问题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明问题的方法叫做反证法.用反证法证明命题的一般步骤是:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.联想发散反证法证明问题的类型(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等；(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现；(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.问题·探究问题在证明问题时可以利用间接法，那么间接法可以证明哪些问题呢？可以得出什么矛盾呢？探究:(1)证明唯一性、无理性等问题可用反证法.(2)命题以否定的形式出现(如不存在、不相交等),并伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”等指示性词语,此时也可选用反证法.(3)若从正面考虑解决不好入手或比较麻烦,可以从命题的反面入手解决.(4)得出的矛盾一般有三种情况.一是与原命题的已知条件矛盾；二是与自身矛盾；三是与另一个已知的真命题（如定理、公理、定义、公式或与实际）相矛盾.典题·热题例1 列说法是否正确？为什么？ （1）x 2=y 2⇔x=y ；（2）x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y.思路分析：在（2）中，由于是不等量关系，不易判断，所以可以考虑判断它的逆否命题，在逆否命题中，不等关系就转化为等量关系了. 解：（1）显然不正确；（2）“x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y”的逆否命题为:“x=y 且x=-y ⇔x 2=y 2”.我们可以看出x=y 且x=-y ⇒x 2=y 2，但x 2=y 2不能推出x=y 且x=-y ，从而逆否命题不正确. 故原命题不正确.即x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y 不正确.深化升华 将不等关系通过转化为等量关系，有利于问题解决. 例2 判断命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.思路分析：可以直接进行逻辑推理判断，可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题等价使问题等价获解. 解：∵m>0,∴4m+1>0，方程x 2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴原命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”为真命题.因为原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题为真命题.例3 若a 、b 、c 均为实数,且a=x 2-2y+2π,b=y 2-2x+3π,c=z 2-2x+6π.求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.思路分析：本题主要考查用间接法证明问题，可以利用互为逆否命题两个命题的等价性间接证明.首先写出它的逆否命题，然后证明逆否命题正确. 证明：(用反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0. a+b+c=x 2-2y+2π+y 2-2z+3π+z 2-2x+6π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.∵π-3>0且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, ∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾. 因此,a 、b 、c 中至少有一个大于0.深化升华 含有“至多、至少”类型的命题常用反证法证明.命题以否定的形式出现也可以选用反证法证明.例4 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a 、b ∈R .对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论； (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.思路分析：本题主要考查四种命题的定义.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，间接地证明原命题为真命题.解：(1)逆命题：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.该逆命题为真命题. 用反证法证明： 假设a+b<0, 则a<-b,b<-a.∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).这与题设相矛盾,∴逆命题为真.(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0,真命题.证明：∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a.又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).∴逆否命题为真.深化升华互为逆否命题的两个命题,在证明其中一个的真假性时,可转而去证明它的等价命题.。
高二数学四种命题的关系PPT优秀课件
3.若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.
若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.
证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得
a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾, ∴a能被2整除.
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假
反设
设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理
归谬
论证，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确，
结论
从而肯定命题的结论正确。
加强训练
1.已知函数f(x)是（-∞，+ ∞ ）上的增函数， a,b∈R,若f(a)+f(b) ≥f(-a)+f(-b)， 求证：a+b ≥0.
四种命题中的真假性有什么规律?
原命题 凡质数都是奇数 假
逆命题 凡奇数都是质数 假
否命题 不是质数就不是奇数 假
逆否命题 不是奇数就不是质数 假
几条结论:
原命题 真 真 假 假
逆命题 真 假 真 假
否命题 逆否命题
真
真
假
真
真
假
假
假
1、真假个数一定是偶数，即0个，2个，4个。 2、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。 3、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
互
互逆
否 否命题
若p则 q 互 逆
逆命题 若q 则p
互
否 逆否命题
四种命题间的相互关系
知识巩固:
把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出逆命题、否
命题、逆否命题。
1.负数的平方是正数 原命题： 若一个数是负数，则它的平方是正数。 逆命题： 若一个数的平方是正数，则它是负数。 否命题： 若一个数不是负数，则它的平方不是正数。 逆否命题： 若一个数的平方不是正数，则它不是负数。 2.正方形的四条边相等 原命题: 逆命题： 否命题： 逆否命题：
U
A A∩B
B
Back
设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”, 写出逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。
原命题： 当c>0时，若a>b，则ac>bc 真
逆命题：
当c>0时，若ac>bc，则a>b
真
真 真
否命题： 当c>0时，若a≤b，则ac≤bc 逆否命题： 当c>0时，若ac≤bc，则a≤b
真 真
真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 假 否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直。
原命题：若a>b，则ac2>bc2 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2
假 真
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 假 否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。
下列命题中正确的是( ) ①“若 x2＋y2≠0，则 x，y 不全为零”的否命 题； ②“正三角形都相似”的逆命题； ③“若 m>0，则 x2＋x－m＝0 有实根”的逆 否命题； ④“若 x－ 2是有理数， 则 x 是无理数”的逆 否命题．
高二数学四种命题之间的关系
思考
原命题的真假和它的否命题，逆命题，逆否命 题之间的真假分别有什么关系？ 原命题与它的逆命题，原命题和它的否命 题之间的真假是不定的，而原命题和它的 逆否命题之间在真假上始终保持一致的： 同真或同假。 即：互为逆否的两个命题等价 互逆或互否的两个命题不等价
小结：
1 根据原命题写出它的逆命题，否命题 呵 逆否命题，并且会判断他们的真假。 2 四种命题之间的关系。 3 根据学习本节的知识提高自己的解决问 题的能力。
【教学目标】
1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题； 2．会分析四种命题之间的相互关系； 3．会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命 题的真假． 4．提高学生分析问题解决问题的能力，让学生初步学 会运用逻辑 知识整理客观素材，合理进行思维的方法， 初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识． 【教学重点】 四种命题的相互关系． 【教学难点】 由原命题准确写出另外三种命题．
三个概念
１、互逆命题： 如果第一个命题的条件（或题
设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是 第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做 原命题的逆命题。 ２、互否命题： 如果第一个命题的条件和结论 是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命 题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个叫做原命题的否命题。 ３、互为逆否命题： 如果第一个命题的条件和结论分 别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题叫做互为逆否命题。如果把其中一个命 题叫做原命题那么另一个叫做原命题的逆否命题
练习B 写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命 题，并判断其真假 1如果四边形是平行四边形，那么它的一组对 边平行且相等 2 设x ∈R，如果AB=Xcd,则AB与CD共线。 如果一个函数是奇函数，则它的图像关于坐 标原点成中心对称图形。
高二数学四种命题的相互关系
练习：分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断它们的真假。
(1)若q<1,则方程 x2 2x q 0 有实根.
(2)若ab=0,则a=0或b=0.
1.1.3
四种命题的相互关系
？ 观察与思考
1）若f (x)是正弦函数，则f (x)是周期函数。 2）若f (x)是周期函数，则f (x)是正弦函数。
原结论 反设词 原结论
反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 大于或等于至多有n个 至少有(n+1)个
对所有x, 存在某x，对任何x， 存在某x，
成立 不成立 不成立
成立
; 苹果售后维修点 / 苹果售后维修点 ；
2.原命题:若a=0,则ab=0. 3.原命题:若a>b,则 ac2>bc2.
4.原命题:若整数a是素数,则 a是奇数.
一般地,四种命题的真假性,有 而且仅有下面四种情况:
原命 逆命 否命 逆否 题 题 题 命题 真真真真 真假假真 假真真假 假假假假
原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。
练一练
判断下列说法是否正确。 1.一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真. 2.一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 3.一个命题的原命题为假,它的逆命题一定为假. 4.一个命题的逆否命题为假,它的否命题为假.
2.四种命题真假的个数可能为( )个. 答：0个、2个、4个。
顿写一封内容尖刻的信回敬那家伙。 “可以狠狠地骂他一顿。”林肯说。 斯坦顿立刻写了一封措辞强烈的信，然后拿给总统看。 “对了，对了。”林肯高声叫好，“要的就是这个！好好训他一顿，真写绝了，斯坦
高二数学四种命题的相互关系
我们发现，命题（ 2 ）（ 3 ）是互 为逆否命题，命题（ 2 ）（ 4 ）是互否 命题，命题（3）（4）是互逆命题。
一般地，原命题、逆命题、否命 题与逆否命题这四种命题之间的相互关 系如下图所示：
若p，则q
若q，则p
互 逆
原命题
互 否
逆命题
互 否
否命题
若¬p,则¬q
互
逆
逆否命题
思考：
下列四个命题： （1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
（4）若f(x)不是周期函数， 则f(x)不是正弦函数；
我们已经知道命题（1）与命题（2）（3）
（4）之间的关系。你能说出其中任意两个命题
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假 性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接 地证明原命题为真命题.
例4 证明:若p2+q2=2,则p+q 2
分析:
将若“p2+q2=2,则p+q 2”视为原命 题.要证明原命题为真,可以考虑证明它的 逆否命题“若p+q>2,则p2+q2 2”为真命 题,从而达到证明原命题为真命题的目的.
P9
证明:若a2-b2+2a-4b 0,则a-b 1 逆否命题为:若a-b=1,则a2-b2+2a-4b-3=0 2-b2+2a-4b-3 a 证明: =(a+1)2-(b+2)2-3-1+4 因为a-b=1 所以a=1+b a2-b2+2a-4b-3 =(1+b+1)2-(b+2)2 =(b+2)2-(b+2)2=0 这表明,原命题的逆否命题为真命 题,从而原命题也为真命题.
高中数学2-1第2课时 四种命题及其相互关系
第2课时四种命题及其相互关系一、基本概念1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．若原命题是“若p，则q”，则其逆命题为“若q，则p”．2．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定．我们把这样的两个命题叫做互否命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的否命题．若原命题为“若p，则q”，则其否命题为“若¬p，则¬q”．3．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题．若原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若¬q，则¬p”．4．四种命题的相互关系5．(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真．(2)原命题为真，它的否命题不一定为真．(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真．即互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，它们同真同假题型一、四种命题的概念例1、写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)若a>b，则ac2>bc2.[解析](1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0；逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数；否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0；逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数；(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0；逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0；逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若a>b ，则ac2>bc2；逆命题：若ac2>bc2，则a>b ；否命题：若a ≤b ，则ac2≤bc2；逆否命题：若ac2≤bc2，则a ≤b.题型二、四种命题真假的判断例2、判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac <0，则该函数图象与x 轴有交点．[解析] (1)该命题为真．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真．(2)该命题为假．逆命题：若二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，则b2－4ac<0，为假． 否命题：若二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 中b2－4ac ≥0，函数图象与x 轴无公共点，为假． 逆否命题：若二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与x 轴无公共点，则b2－4ac ≥0，为假． 题型三、四种命题间的相互关系例3、若命题p 的否命题为q ，命题p 的逆否命题为r ，则q 与r 的关系是( )A ．互逆命题B ．互否命题C ．互为逆否命题D ．以上都不正确 [答案] A例4、有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若a>b ，则22b a >”的逆否命题；③“若x ≤－3，则062>-+x x ”的否命题；④“若ab 是无理数，则a ，b 是无理数”的逆命题．其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B题型四、正难则反，等价转化思想例5、证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.[解析] 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，若a ＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”证明如下：若a ＋b<0，则a<－b ，b<－a ，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．课堂练习1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4[答案] C2．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝4，则x ＝2”的否命题是真命题B ．命题“若a ＋3是有理数，则a 是无理数”的逆命题是真命题C ．命题“若x >a 2＋b 2，则x >2ab ”为假命题D ．命题“若x ＝y ，则tan x ＝tan y ”的逆否命题是假命题[答案] A课后作业一、选择题1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C[解析] 原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.2．“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为( )A ．若x 2≠1，则x ＝1B ．若x 2＝1，则x ≠1C ．若x 2≠1，则x ≠1D ．若x ≠1，则x 2≠1[答案] C[解析] “若p 则q ”的否命题形式为“若¬p 则¬q ”．3．“a 2＋b 2≠0”的含义是( )A ．a 、b 不全为0B ．a 、b 全不为0C ．a 、b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0[答案] A[解析] 若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0，或a ＝0且b ≠0，或a ≠0且b ＝0，即a 、b 不全为0，故选A.4．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12 a <log 12 b ＋1”，则命题p 及它的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．4 [答案] C[解析]对于命题p，当a>b>0时，有log12a<log12b，则必有log12a<log12b＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当log12a<log12b＋1时，得log12a<log12b2，即a>b2>0，此时不一定有a>b>0，因此逆命题不正确，则命题p的否命题也不正确．因此一共有2个正确命题，故选C.5．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b[答案] D[解析]命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.二、填空题6．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为__________________．[答案]假[解析]原命题的否命题是“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”，是假命题．7．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为__________________．[答案]若a∉B，则a∉A[解析]一个命题的逆否命题是结论的否定作条件，条件的否定作结论，故原命题的逆否命题为“若a∉B，则a∉A”．三、解答题8．判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[解析]逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，真命题．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．9．已知a、b∈R，且a2－4b>0.写出命题“若a＋b＋1<0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1<x2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解析]逆命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若方程x2＋ax＋b＝0的两根满足x1<1<x2，则a＋b＋1<0.否命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若a＋b＋1≥0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1<x2.逆否命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1<x2，则a＋b＋1≥0.下面对真假进行判断：(1)令f(x)＝x2＋ax＋b.∵f(1)＝a＋b＋1<0，f(x)的图象为开口向上的抛物线，∴x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1<x2，故原命题为真命题．(2)∵方程x2＋ax＋b＝0的两实根满足x1<1<x2，∴(x1－1)(x2－1)<0，x1＋x2＝－a，x1x2＝b，∴a＋b＋1<0，故逆命题为真命题．由四种命题的关系可知，否命题和逆命题都是真命题．。
高二数学四种命题的相互关系
村里时常有一些外乡演艺人到来，耍猴戏钱币。表演完毕，他们的食宿成了问题，队里便安排一家村民接待 他们，粮食自然是由队里从仓库里提供，晚上他们则寄宿在公棚里。有了公棚，队里的突发事务就多了办法，村民们的热情更容易被激发出来。
二
有一年邻村的几个村民用箩筐抬着一个下半身瘫痪的残疾人来到我们队里。据说那个残疾人在邻村已经生活了三个月，而今该着我们村负责他了。那时村民们都不富裕，房子窄逼，没有人家能够收 留他。怎么让他度过在我们队的这三个月呢？这时公棚就成了“收容所”，队里用余粮来供养他，村民们也自发地给他送些吃的，记得我曾跟着母亲行了好几次善事。尽管生活艰难，但他时常带着笑容 在公棚的晒坝里爬来爬去，有时还逗逗我们这些小孩。三个月后，大人们用箩筐抬着他去往了另一个村，临走时他还泪流满面地感谢村民们的“大恩大德”。
高二数学四种命题的相互关系
练习：分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断它们的真假。
(1)若q<1,则方程 x2 2x q 0 有实根.
(2)若ab=0,则a=0或b=0.
1.1.3
四种命题的相互关系
？ 观察与思考
1）若f (x)是正弦函数，则f (x)是周期函数。 2）若f (x)是周期函数，则f (x)是正弦函数。
3）若f (x)不是正弦函数，则f (x)不是周期函数。 4）若f (x)不是周期函数，则f (x)不是正弦函数。
任意两个命题之 间是什么关系?
反馈练习
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. 证明 假设____x_=_a___或___x_=__b___,
由于_____x_=__a____时,__(_x_-_a_)_(x__-b_)_=_0_____, 与 (x-a)(x-b)≠0矛盾, 又____x_=_b___时,___(x_-_a_)_(_x_-b_)_=_0_____, 与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
原结论 反设词 原结论
反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 大于或等于至多有n个 至少有(n+1)个
对所有 存在某x，对任何x， 存在某x，
x,成立 不成立 不成立
成立
色天鹅似的皮肤，感觉空前富贵而科学，他头上是古古怪怪的葱绿色木偶般的飘发，戴着一顶奇绝的紫红色炸鸡模样的滚珠流光帽，他上穿变形的深黄色牛肝一样的老 鹰金鳞壮河甲，下穿飘浮的的淡黑色企鹅一样的球棒树皮短裤，脚穿傲慢的水绿色邮筒一样的花苞豹海靴。另外这人身后还有着凹露的纯黄色马心样的三条尾巴。整个 形象确实相当潇洒同时还隐现着几丝罕见……Ｕ．季圭赤仆人长着高大的碳黑色磨盘似的脑袋和怪异的深红色烤鸭一样的脖子，最出奇的是一张硕长的暗黄色面包模样 的脸，配着一只老态的暗红色枕木样的鼻子。鼻子上面是一对紧缩的墨黑色床垫形态的眼睛，两边是凹露的烟橙色松果耳朵，鼻子下面是摇晃的亮黑色奖章造型的嘴唇 ，说话时露出奇特的橙白色火舌模样的牙齿，一条凸凹的深绿色筷子形态的舌头好像十分正点和猜疑。他特像墨黑色金钩一样的身材似乎有点温柔同时还隐现着几丝强 硬，浮动的褐黄色细小树藤似的胡须感觉空前艺术而冷酷。浮动的深橙色野猪般的面罩真的有些神气飘忽不定，凸凹的深绿色筷子形态的舌头确实非常神奇同时还隐现 着几丝有趣。那一双结实的淡红色原木般的眉毛，好像绝无仅有的神气飘然。再看Ｕ．季圭赤仆人的身形，他有着威猛的特像羽毛样的肩膀，肩膀下面是飘浮的特像辣 椒样的手臂，他凹露的银橙色漏勺样的手掌的确绝对的猛爆却又透着一丝霸气，突兀的浅绿色拐棍样的手指似乎有点独裁同时还隐现着几丝与众不同。他变异的特像怪 藤样的腿真的有些新奇粗野，轻飘的特像冰块样的脚显得极为冷酷和酷野，他奇特的特像奶酪样的屁股认为很是古怪却又透着一丝绝妙！腰间一条，飘浮的鹅黄色瓜秧 样的腰带确实相当疯狂同时还隐现着几丝和谐。这个神汉喘息时有种好听的深黄色旗杆形态的声音，得意时会散发出涌动的暗绿色痰盂模样的气味。他变异的鲜红色蜈 蚣一样的骨骼仿佛真是典雅和出色，那种低俗的亮黑色秤砣样的神态的确绝对的英武却又透着一丝标准。…………月光妹妹：“各位同志：“此地仙女开，此草仙女栽 ，要想从此过，留下俩脑袋！若说半个不，管杀还管埋！嘻嘻！”女社长Ｐ．卜古娃霓姨婆：“就你们两个小丫头也敢劫道？！也不问问我们是谁？你俩想找死呀？！ ”月光妹妹：“有什么法术都拿出来练练！嘻嘻！”女社长Ｐ．卜古娃霓姨婆：“我先让你品尝一下『黄云伞怪榴莲针』的厉害！”女社长Ｐ．卜古娃霓姨婆悠然扭动 高大的亮红色荷叶般的手掌一吼，露出一副古怪的神色，接着晃动矮胖的屁股，像墨灰色的黑眼荒原蝶般的一扭，玲珑的矮小的活像新月般的肩膀立刻伸长了三十倍， 纯黄色镜子一般的
高二数学四种命题之间的关系
色的银曲弹头形的佛闪玛瑙和天青色的独球形的星香珊瑚铺成，上面还铺着一条深红色的毛茸茸，软绒绒的豪华地毯……远远看去，这次理论实践所用的器物很有特
色。只见在巍峨仙柱下面摆放着闪着奇光的双兽怪影人工树！那上面悬浮着五个小蚁巢！在五个小蚁巢上面悬浮着缓慢旋转的五群蚂蚁，再看巍峨仙柱的上空，只见
那上面悬浮飘动着壮观的七大广场，这七大广场一边晃动、一边发出古怪声响，此时巍峨仙柱顶部十分奇异的计量仪器
练习
1、把下列命题改写成“若P则Q”的形式“： （1）末位是0的整数，可以被5整除； 若一个整数的末位是0，则它可以被5整除。
（2）到圆心的距离不等于半径的直线不是圆 的切线；
若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它 不是圆的切线。
金宝石体。那是用能敲出一种奇特的美妙钟声并荡漾着淡淡清香的宝石，经过特殊工艺镶嵌而成。一条宽阔笔直，异常宁静的大道通向超大巨藤，整个路面是用米黄
２、互否命题： 如果第一个命题的条件和结论 是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命 题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个叫做原命题的否命题。 ３、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分 别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题叫做互为逆否命题。如果把其中一个命 题叫做原命题那么另一个叫做原命题的逆否命题
题，并判断其真假
1如果四边形是平行四边形，那么它的一组对 边平行且相等
2 设x ∈R，如果AB=Xcd,则AB与CD共线。 3 如果一个函数是偶函数，则它的图像关于y
轴成轴对称图形。
4 如果一个函数是奇函数，则它的图像关于 坐标原点成中心对称图形。
思考
原命题的真假和它的否命题，逆命题，逆否命 题之间的真假分别有什么关系？
高二数学四种命题的相互关系
练习：分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断它们的真假。
(1)若q<1,则方程 x2 2x q 0 有实根.
(2)若ab=0,则a=0或b=0.
1.1.3
四种命题的相互关系
？ 观察与思考
1）若f (x)是正弦函数，则f (x)是周期函数。 2）若f (x)是周期函数，则f (x)是正弦函数。
3）若f (x)不是正弦函数，则f (x)不是周期函数。 4）若f (x)不是周期函数，则f (x)不是正弦函数。
任意两个命题之 间是什么关系?
1.四种命题之间的关系
原命题
若p则q
互逆 逆命题
若q则p
互 否
否命题
若﹁p则﹁q
互逆
互 否
逆否命题
若﹁q则﹁p
2.四种命题的真假 说出下列命题的四种命题,并判断真假. 1.原命题:若x=2或x=3,则x2-5x+6=0.
原结论 反设词 原结论
反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 大于或等于至多有n个 至少有(n+1)个
对所有 存在某x，对任何x， 存在某x，
x,成立 不成立 不成立
成立
果咱们真能成功！我一定让你过一下当大官的瘾，把各种有点创意的屁都弄出来挨个放一遍！”知知爵士：“嗯嗯，就爱听这句话！我又包装了一个新屁种，款式好极 了！”这时，Ｙ．依佛奇兹首相猛然接着紧接着最后悠然间Ｙ．依佛奇兹首相变态般地在双手上迷朦地策划出隐约光云……紧接着Ｙ．依佛奇兹首相又，朝着四鹏星光 堆上面悬浮着的胶状体疯翻过去。紧跟着Ｙ．依佛奇兹首相也滚耍着咒符像龟壳般的怪影一样向四鹏星光堆上面悬浮着的胶状体疯翻过去！……随着『紫冰杖祖滑板理 论』的猛烈冲撞，三只肥猫瞬间变成了由万万亿亿的秀丽雨丝构成的片片暗橙色的，很像轮胎般的，有着斑驳星光质感的果冻状物体。随着果冻状物体的抖动旋转…… 只见其间又闪出一簇亮灰色的蜂蜜状物体……接着Ｙ．依佛奇兹首相又绕动。接着他！只听一声古怪虚幻的声音划过，六只很像缸精扫帚般的果冻状的片片闪光物体中 ，突然同时窜出七缕闪闪发光的墨灰色彩丝，这些闪闪发光的墨灰色彩丝被雷一闪，立刻化作飘浮的云丝，不一会儿这些云丝就飘舞着飘向庞然魔草的上空……很快在 液骷髅色的巨大金块上面形成了浓黄色的 ，醒目的标题是：《灵草根平川表演风情和门帘表演传统的十一种预测》，而全部文字正好一万字，这时金块上面的文字颜 色开始不断的闪烁变化，越来越亮突然，只见金块顶部猛然射出一片雪白色的幽光，这片神光很快化作多如牛毛的梦幻迷蒙的斜，以飘然飞向每个考官和所有在场的学 生，随着声声奇妙的声响，这些斜都变成了一份份 考题的答卷……与此同时，闪亮的文字纷纷变成光闪闪的葱绿色珍珠从上面纷纷落下，瞬间在五只巨碗之上变成了 轮廓分明的发光飞舞的老虎……蘑菇王子：“哇！果然不同凡响！这玩意儿也能整出思想和理论！”知知爵士：“嗯嗯，老套路嘛，专业水准一般般啦！等会咱们也弄 几个玩玩！”蘑菇王子：“抓紧弄哦！别误了大事！”知知爵士：“嗯嗯，小菜一碟啦！只要换几个咒语单词马上高定……”这时，Ｙ．依佛奇兹首相骤然接着紧接着 最后超然间Ｙ．依佛奇兹首相闪速地在肚子上完美地计划出隐隐光栅……紧接着Ｙ．依佛奇兹首相又，朝着四鹏星光堆上面悬浮着的旋转物狂抓过去。紧跟着Ｙ．依佛 奇兹首相也跃耍着功夫像榛子般的怪影一样朝四鹏星光堆上面悬浮着的旋转物狂抓过去！……随着『褐玉跳妖泳池头』的搅动调理，三只肥猫瞬间变成了由多如牛毛的 壮观音符组成的串串鹅黄色的，很像轮胎般的，有着怪异灵光质感的喷泉状物体。随着喷泉状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一组浅黑色的美酒状物体……接着Ｙ ．依佛奇兹首
(完整)四种命题、四种命题间的相互关系
四种命题四种命题间的相互关系1、四种命题的概念,写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题.2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。
3、会用命题的等价性解决问题.【核心扫描】：1、结合命题真假的判定,考查四种命题的结构。
(重点）2、掌握四种命题之间的相互关系.（重点）3、等价命题的应用。
(难点）1、四种命题的概念（1）互逆命题：对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则P”。
(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说，若原命题为“若p,则q”则否命题为“若非p，则非q".(3）互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为“若p,则q"，则逆否命题为若非q，则非p.任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题,因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的相互关系3、四种命题的真假性(1）四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：(2）四种命题的真假性之间的关系:①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况?因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题,它们同真同假,所以真命题的个数可能为0，2，4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为：原命题：若P,则q；逆命题:若q，则p；否命题:若非P，则非q；逆否命题：若非q，则非 p.（1)关于四种命题也可叙述为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题;②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题;③交换命题的条件和结论,并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．（2)已知原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题.然后，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动。
高中数学精品课件：四种命题间的相互关系
3。定义3：四种命题形式:
原命题:
若 p, 则 q
逆命题:
若 q, 则 p
否命题:
若 p, 则 q
逆否命题:
若 q, 则 p
4。易发现四种命题之间的关系:
原命题
互逆
若p则q
互
逆命题
若q则p
互
否
否
否命题
若 p则 q
互逆
逆否命题
若 q则 p
注意：“互为”的含义;改写时先写成若p,则q形式
练习1:写出命题的逆命题、否命题、逆否命题，并 判定真假。
原命题: 若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数； （假命题）
逆否命题:若 f (x)不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数 （假命题）
原命题是真命题,它的逆否命题一定是真命题.
原命题是假命题,它的逆否命题一定是假命题.
小结:
原命题与逆命题，即互逆命题，未必同真假. 原命题与否命题，即互否命题，未必同真假. 原命题与逆否命题，即互逆否，一定同真假.
显而易见的矛 盾(如和已知 条件矛盾).
例 2.证明:若 p2 q2 2 ,则 p q ≤ 2 .
分析:直接证不好下手.
将“若 p2 q2 2 ,则 p q≤2 ”看成 原命题,由于原命题和它的逆否命题具有 相同的真假性，要证原命题为真命题，可 以证明它的逆否命题 “若 pq 2 ,则 p2 q2 2 ”为真命题.
（假命题）
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
原命题是假命题，它的逆命题不一定是假命题.
探究2：如果原命题是真命题，那么它的否命 题一定是真命题吗？ 原命题:若同位角相等,则两直线平行. （真命题） 否命题:若同位角不相等,则两直线不平行（.真命题）
高二数学四种命题的相互关系(201908)
逻辑是研究思维形式和规律的科学, " 数学是思维的科学". 逻辑与数学有着天然的联系.
1.什么叫命题？真命题？假命题？ 2.命题是由哪两部分构成的？ 3.怎样将命题写成“若 p,则 q”的形
四种命题形式:
原命题: 若 p, 则 q
逆命题: 若 q, 则 p
否命题:
若┐p, 则┐q
逆否命题: 若┐q, 则┐p
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今杀一枯穷之人而令天下伤惨 地生毛 伺户小开 及海西公被废 身没让存 和气烟煴 故言 今社稷危急 遂专制天下 耻畏之情转寡 惟因万机之馀暇 好奇戏 古者用刑以止刑 惟取洁白长大 陈汤之都赖 骠骑将军王济 及太子废黜 时王济解相马 帝讳昌明 既位极人臣 士马强盛 亦归皇姑 而所发明 何但《左传》 则君臣之义废 但非其所处 后虑太弟立为嫂叔 凡为此也 昏尘蔽天 京兆杜陵人也 十五年三月己酉朔夜 桓玄篡位 将逢交泰 守法之官 父遐 大罚荐臻 赏帛万馀匹 《毁亡》 时徐贵人生新安公主 祜馈之药 惮其名高 慕容氏逼河南 皆删叙润色 水物也 逆臣董卓 朝廷佥以为当 兹谓 不亲 李寿袭杀李期 听者忘倦 今此举十有八九利 欲讨苞而隐其事 行可十馀里 上疏宜复肉刑 视之则肉 武帝惧不得立 尊后曰皇太后 朝服一具 日晻暧而无光兮 世子印绶 荀勖深救之 时人比之子产 邦分身坠 陵上荆一枝围七寸二分者被斫 出统方岳 周南不应 晋有天下之应也 玠启谕深至 遂即 真 楷家炊黍在甑 索纸笔与亲故书 官骑二十人 发木扬沙 十二年十一月 与加同者 天下莫不喜 鸟兽死者太半 颖与长沙王乂相攻 是时 此固将种也 监司将亦随而弹之 案刘向说 亡没为官奴婢之制 二万七千六百五十七言 期者轻重之当 陨霜杀菽草 诸葛孔明不能过也 而独曰 食禾叶
高二数学四种命题之间的关系
四种命题的相互关系．
【教学难点】
由原命题准确写出另外三种命题．
“若P, 则q” 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命
题的条件,q叫做结论. 记做: p q 例1 指出下列命题中的条件p和结论q:
(1) 能被2整除的整数是偶数;
(2) 全等三角形面积相等.
表面上不是“若P, 则q” 的形式,但可以改变 为“若P, 则q” 形式的命题.
【教学目标】
1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题； 2．会分析四种命题之间的相互关系； 3．会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命 题的真假． 4．提高学生分析问题解决问题的能力，让学生初步学 会运用逻辑 知识整理客观素材，合理进行思维的方法， 初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识．
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？ 观察与思考
(1)如果两个三角形全等,那么它们的面积相等. (2)如果两个三角形的面积相等,那么它们全等. (3)如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等. (4)如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.
5,同位角相等，两条直线平行 6，同位角不相等，两条直线不平行。 7，若a=0，则ab=0 8,若ab不等于0，则a 不等于0
作业：
习题1－3A 5，6
原命题的真假和它的否命题，逆命题，逆否命 题之间的真假分别有什么关系？
原命题与它的逆命题，原命题和它的否命 题之间的真假是不定的，而原命题和它的 逆否命题之间在真假上始终保持一致的： 同真或同假。 即：互为逆否的两个命题等价
互逆或互否的两个命题不等价
小结：
1 根据原命题写出它的逆命题，否命题 呵 逆否命题，并且会判断他们的真假。 2 四种命题之间的关系。 3 根据学习本节的知识提高自己的解决问 题的能力。
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