【解析】北京市第22中学2020届高三上学期第二次阶段性考试数学试题

北京市22中学2019－2020学年度第二次阶段性考试高三年级数学第Ⅰ卷一、选择题（共9个小题，每小题5分，共45分）1.集合2{|03},{|9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M ⋂= A. {1,2} B. {0,1,2} C. {x|0≤x<3} D. {x|0≤x≤3}【答案】B 【分析】先化简集合集合M ，再由交集的定义可得结果.【详解】因为{}2{|03},{|9}3,2,1,0,1,2,3P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤=---，所以两集合的公共元素为0,1,2，P M ⋂={0,1,2}，故选：B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2.对于任意实数,,,,a b c d 给定下列命题正确的是（ ） A. 若,0a b c >≠，则ac bc > B. 若,a b >，则22ac bc > C. 若22,ac bc >则a b > D. 若,a b >则11a b< 【答案】C试题分析：若,0a b c >≠，取0c <，则ac bc <，故A 错误；若,a b >，0c =，则22ac bc =，故B 错误；若22,ac bc >则20c >，所以a b >，故C 正确；若,a b >取1,1a b ==-，则11a b>，故D 错误．故选C ． 考点：不等式的性质点评：判断不等式是否成立，可通过取值进行排除． 3.已知命题:0p a ∀>，有1a e ≥成立，则p ⌝为（ ） A. 0a ∃≤，有1a e <成立 B. 0a ∀≤，有1a e <成立 C. 0a ∃>，有1a e <成立 D. 0a ∀>，有1a e <成立【答案】C 【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 【详解】全称命题的否定是特称命题， 所以p ⌝：0a ∃>，有1a e <成立. 故选：C【点睛】本题主要考查含义量词的命题的否定，属于简单题. 4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. sin y x =B. 3y x =-C. 12log y x =D.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】根据奇偶性和单调性的性质对选项分别判断即可.【详解】对选项A ，sin y x =是奇函数，在定义域上不是单调函数，故错误； 对选项B ，3y x =-是奇函数，在定义域上单调递减，故正确； 对选项C ，12log y x =是非奇非偶函数，故错误；对选项D ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是非奇非偶函数，故错误. 故选：B【点睛】本题主要考查常见函数的单调性和奇偶性，属于简单题.5.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题：①如果//a α，//b α，那么//a b ；②如果//αβ，a α⊂，b β⊂，那么//a b ；③如果αβ⊥，a α⊂，那么a β⊥；④如果a β⊥，//a b ，b α⊂，那么αβ⊥；其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【分析】利用空间中线线、线面和面面间的位置关系对选项逐一分析即可.【详解】对①，如果//a α，//b α，那么a 和b 可能相交、平行或异面，故错误； 对②，如果//αβ，a α⊂，b β⊂，那么a 和b 可能平行或异面 ，故错误； 对③，如果αβ⊥，a α⊂，那么a 和β可能相交、平行或者a β⊂，故错误； 对④，如果a β⊥，//a b ，b α⊂，由面面垂直的判断定理可得αβ⊥，故正确. 故选：A【点睛】本题主要考查线线、线面和面面的空间关系，考查学生空间想象能力，属于基础题. 6.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位【答案】A 【分析】根据函数平移变换的方法，由223x x π→-即22()6x x π→-，只需向右平移6π个单位即可.【详解】根据函数平移变换,由sin2y x =变换为sin 2236y x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 只需将sin2y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.7.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A. ()0,1 B. ()1,2C.()2,4 D. ()4,+∞【答案】C【详解】因为(2)310f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.8.设平面向量,,a b c r r r均为非零向量，则“()0a b c ⋅-=r r r ”是“b c =r r ”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 即不充分又不必要条件 【答案】B【详解】由b c =r r 得，0b c -=r r r ，可得()0a b c ⋅-=r r r，由()0a b c ⋅-=r r r 可得()a b c ⊥-r rr ，故()0a b c ⋅-=r r r是b c =r r 的必要而不充分条件，故选B ．考点：充分条件与必要条件的判定．9.如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形,PA ⊥底面ABCD ，1,AB =π1,(0)2PA AC ABC θθ⋅=∠=<≤，则四棱锥P ABCD -的体积V 的取值范围是（ ）A. 21)3B. 21]6C. 21(]3D. 21)6【答案】A试题分析：由已知，四边形ABCD 的面积S=sinθ， 由余弦定理可求得22cos 22cos AC PA θθ=-=-1322cos V θ∴=-22sin 21cos 1cos V θθθ∴==+-，所以，当cosθ=0，即θ=2π时，四棱锥V-ABCD 的体积V 的最小值是26，当cosθ=0，即θ=0时，四棱锥V-ABCD 的体积V 的最小值是13，∵0＜θ≤2π∴P-ABCD 的体积V 的取值范围是21)63考点：棱柱、棱锥、棱台的体积第Ⅱ卷二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）10.复数1012iz i=-.在复平面内对应点的坐标为__________，z =__________. 【答案】 (1). ()4,2- (2). 25 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再分别求出其对应点的坐标和模即可. 【详解】由题意，()()()1012102010421212125i i i i z i i i i +-+====-+--+，所以z 在复平面内所对应点的坐标为()4,2-，z ==故答案：()4,2-；【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算、复数的几何意义和复数模的求解，属于基础题. 11.若1sin 3α=，且α为第二象限，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________，()tan -=p a __________.【答案】 (1). 13- (2). 【分析】由诱导公式化简cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭即可求出；再由平方关系求出cos α，由诱导公式化简()tan p a -即可.【详解】由诱导公式可知，cos sin 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 因为1sin 3α=，所以1cos sin 23παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭；由22sin cos 1αα+=，1sin 3α=，且α为第二象限，解得cos 3α=-，()sin tan tan cos 4a a p a a =-=-=-.故答案为：13-【点睛】本题主要考查诱导公式和三角函数平方关系的应用，属于基础题.12.设()()()ln 020x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则1f f e ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________；若()1f x <，则x 的取值范围为__________.【答案】 (1). 12(2). ()(),00,e -∞⋃ 【分析】先求1()1f e=-，再求(1)f -即可求出1f f e ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；分别求解0x ≤时和0x >时x 的取值范围，再求并集即可. 【详解】由题意，11()ln 1f e e==-， 所以111(1)22f f f e -⎡⎤⎛⎫=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； 当0x ≤时，()2x f x =单调递增，(0)1f =， 所以()(0)<f x f ，即0x <；当0x >时，()ln f x x =单调递增，()ln 1f e e ==， 所以()()1f x f e <=，所以0x e <<；综上，()1f x <时，则x 的取值范围为()(),00,e -∞⋃. 故答案为：12；()(),00,e -∞⋃ 【点睛】本题主要考查函数值的求法，指对函数的图像性质和分段函数的性质，属于基础题. 13.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω=______，ϕ=_______.【答案】 (1). 2 (2). 3π【分析】由图像得2A =，再由对称轴和对称中心的距离为4T，可求出T π=，由2Tπω=求解出ω；再由()212f π=和2πϕ<求解出ϕ即可.【详解】由图像知，函数的最大值为2，又0A >，所以2A =， ()f x 的一个对称轴为12x π=，一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以43124T πππ=-=，即T π=， 由2Tπω=，所以2ω=； 则()()2sin 2f x x ϕ=+，又()212f π=，所以()2sin 221212f ππϕ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭， 即sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()262k k Z ππϕπ+=+∈，又2πϕ<，所以3πϕ=.故答案为：2；3π 【点睛】本题主要考查正弦函数的图像和性质，考查学生数形结合的思想，属于中档题.14.已知向量a r ，b r 满足：1a =r ，6b =r ，()2a b a ⋅-=r r r ，则a r 与b r的夹角为________；2a b -=r r________.【答案】 (1). 3π(2). 【分析】设a r 和b r的夹角为θ，利用数量积的定义求出6cos a b θ⋅=r r ，再展开()2a b a ⋅-=r r r 求出cos θ，再求出θ；利用2a b -=r r 展开求解即可求得2a b -r r.【详解】设a r 和b r的夹角为θ，则cos 6cos a b a b θθ⋅==r r ，()26cos 12a b a a b a θ⋅-=⋅-=-=r r r r r r ，所以1cos 2θ=，又[]0,θπ∈，所以3πθ=；()22221224441466272a b a ba ab b -=-=-⋅+=⨯-⨯⨯+=r r r rr r r r故答案为：3π；27 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算和向量模的求法，考查学生转化和计算能力，属于基础题.15.设D ，E 分别是ABC V 的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =，若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r（1λ，2λ为实数），则1λ=__________；2λ=__________. 【答案】 (1). 16- (2). 23【分析】由向量的运算表示出1263DE AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，结合12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r 即可求出1λ和2λ.【详解】由题意，作图像如图所示，()121212232363DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，又12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r ，所以116λ=-，223λ=.故答案为：16-；23【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，属于基础题. 16.设函数()y f x =在(),-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数()()()(),,K f x f x K f x K f x K⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，取函数()2xf x -=，当12K =时，12K f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________，函数()K f x 的单调递增区间为__________.【答案】(1). (2). []1,0- 【分析】 当12K =时，由11()22K f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求解即可；根据函数定义求出()K f x 的解+析式，得到一个分段函数，利用指数函数的单调性即可求出()K f x 的单调增区间.【详解】由题意，12K =时，1211()222K f f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭当1()2f x ≥时，即122x-≥，即1x -≥-，解得11x -≤≤， 同理，1()2f x <时，解得1x <-，或1x >，所以()2,11,1012,0121,12xx K x f x x x x ⎧⎪⎪-≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭>-⎩<⎪⎪⎪，所以()K f x 的单调递增区间为[]1,0-. 故答案：2；[]1,0- 【点睛】本题主要考查函数值的求解、分段函数的应用和指数函数的单调性，考查学生对题目的分析理解能力，属于中档题.17.某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨． 【答案】30试题分析：本题要列出总费用y 与x 的函数关系式，然后利用不等式知识或函数的性质解决.根据题意总费用60032y x x =⨯+120≥=，当且仅当60032x x ⨯=，即30x =时等号成立.考点：函数的应用与基本不等式.三、解答题（共5题，每题13分，共65分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）18.在锐角ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且sin a A =． （1）确定角C 的大小．（2）若c =ABC V ，求22a b +的值． 【答案】（1）π3C =；（2）13试题分析：（1）由正弦定理可知，sin C =，所以60C ∠=︒；（2）由题意，6ab =，2221cos 22a b c C ab +-==，得到2213a b +=．试题详细分析：（1）sin sin a c A C ==∴sin C =， ∵090C <∠=︒，∴60C ∠=︒．（2）1sin 2ABC S ab C ==V 6ab =， 2221cos 22a b c C ab +-==，∴2213a b +=．19.已知函数2()cos cos f x x x x ωωω=+(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求2()3f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及其图象的对称轴方程． 【答案】（Ⅰ）12-；（Ⅱ）单调增区间为[,],()36k k k Z ππππ-+∈；单调减区间为2[,],()63k k k Z ππππ++∈；对称轴方程为 ()26k x k Z ππ=+∈.【详解】试题分析：（Ⅰ）()f x 1sin(2)26x πω=++,因为()f x 最小正周期为π,可得1ω=, 可得1()sin(2)62f x x π=++,即可求出2()3f π．（Ⅱ）分别由222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，3222,()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈即可求出单调区间；再根据2,(62x k k Z πππ+=+∈），可得()f x 图象的对称轴方程．试题详细分析：解：（Ⅰ）1()(1cos 2)222f x x x ωω=++ 1sin(2)26x πω=++, 因为()f x 最小正周期为π,所以22ππω=，解得1ω=, 所以1()sin(2)62f x x π=++, 所以21()32f π=-． （Ⅱ）分别由222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，3222,()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 可得)36k x k k Z ππππ-≤≤+∈,(，2,().63k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以,函数()f x 的单调增区间为[,],()36k k k Z ππππ-+∈； ()f x 的单调减区间为2[,],().63k k k Z ππππ++∈由2,(62x k k Z πππ+=+∈）得,()26k x k Z ππ=+∈．所以，()f x 图象的对称轴方程为()26k x k Z ππ=+∈． 考点：1．三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质；2．三角恒等变换．20.已知函数()cos 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭.（1）若()f α=，求sin 2α的值； （2）求函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值并求出相应的x 的值. 【答案】（1）2425；（2）0x =时，max 1()2g x =；3x π=时，min 1()4g x =-【分析】（1）由()cos 4f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 2α的值；（2）利用诱导公式和二倍角公式化简得到1()cos 22g x x =，再根据x 的范围求出()g x 的最大值和最小值即可.【详解】（1）由题意，()cos 4f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由二倍角的余弦公式和诱导公式，2224cos 2sin 22cos 121241025ππααα⎛⎛⎫⎛⎫-==--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以24sin 225α=； （2）由题意，()()()cos cos 2442g x f x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11sin cos sin 2cos 244222x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()g x 在,06π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在0,3π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，11()cos 6234g ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，11(0)cos 022g ==，121()cos 3234g ππ==-，所以当0x =时，()max 1()02g x g ==， 当3x π=时，min 1()34g x g π⎛⎫==-⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用、余弦函数的性质，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ==，90ABC ∠=︒，D 是BC 的中点.（1）求证：1//A B 平面1ADC ； （2）求二面角1C AD C --的余弦值；（3）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与面1ADC 所成角的正弦值为13？若存在，求出此时AE 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解+析；（2）23；（3）不存，理由见解+析【分析】（1）连接1A C 交1AC 于点P ，得PD 是1A BC V 的中位线，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）建立直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角即可得出二面角；（3）设点()0,,1E a ，[]0,2a ∈，表示出向量AE u u u r，由线面角的夹角公式求出a 的值即可判断.【详解】（1）如图，连接1A C 交1AC 于点P ，因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以四边形11ACC A 是矩形， 点P 为1A C 的中点，又D 为BC 中点， 所以PD 是1A BC V 的中位线，所以1//A B OD ，又PD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC ；（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，90ABC ∠=︒，所以BA 、BC 、1BB 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系B xyz -，设11AA =， 则()0,2,0A ，()1,0,0D ，()12,0,1C ，所以()11,0,1DC =u u u u r ，()1,2,0AD =-u u u r， 设平面1ADC 的法向量()1,,n x y z =u r，则111020n DC x z n AD x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u v u u u u vu v u u u v ，令1y =，则2x =，2z =-， 所以()12,1,2n =-u r，易知平面ADC 的法向量()20,0,1n =u u r，由二面角1C AD C --是锐角，所以12121222cos ,313n n n n n n ⋅-===⨯u r u u r u r u u r ur u u r ， 即二面角1C AD C --的余弦值为23；（3）设线段11A B 上存在点()0,,1E a ，[]0,2a ∈，则()0,2,1AE a =-u u u r，由（2）知，平面平面1ADC 的法向量()12,1,2n =-u r， 因为AE 与面1ADC 所成角的正弦值为13， 所以()112141cos ,3321AE n a AE n AE n a ⋅-===-+u u u r u r u u u r u ru u ur u r ， 解得1124a =>， 所以在线段11A B 上不存在点E ，使得AE 与面1ADC 所成角的正弦值为13. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量法求二面角和线面角，考查学生数形结合能力和计算能力，属于中档题.22.将所有平面向量组成的集合记作2R ，f 是从2R 到2R 的对应关系，记作()y f x =v v或()()1212,,y y f x x =，其中1x 、2x 、1y 、2y 都是实数，定义对应关系f 的模为：在1x=v的条件下y v 的最大值记作f ，若存在非零向量2x R ∈v ，及实数λ使得()f x x λ=v v，则称λ为f 的一个特殊值；（1）若()12121,,2f x x x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，求f ； （2）如果()()121212,,f x x x x x x =+-，计算f 的特征值，并求相应的x v；（3）若()()1211221122,,f x x a x a x b x b x =++，要使f 有唯一的特征值，实数1a 、2a 、1b 、2b 应满足什么条件？试找出一个对应关系f ，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值λ，②f λ=，并验证f 满足这两个条件.【答案】(1) 1f =；(2)当λ=,)1,1x m=v;当λ=, ()1x m =v.其中m R ∈且0m ≠；(3) ()2122140a b a b -+=,证明见解+析 【分析】(1)由新定义得2222121214y y x x +=+,再利用22121x x +=得22121y y +≤即可. (2)由特征值的定义可得121122x x x x x x λλ+=⎧⎨-=⎩,由此可得f 的特征值,及相应的x r(3) 解方程组1122111222a x a x x b x b x x λλ+=⎧⎨+=⎩,再利用平行向量的方法求解证明即可.【详解】(1)由于此时2222121214y y x x +=+,又因为是在22121x x +=的条件下,有22212213144y y x +=+≤,当21x =±时取最大值,所以此时有1f =; (2)由()()()12121212,,,f x x x x x x x x λ=+-=,可得：121122x x x x x x λλ+=⎧⎨-=⎩,解此方程组可得：()()111λλ-+=,从而λ=当λ=,解方程组121122x x x x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,此时这两个方程是同一个方程,所以此时方程有无穷多个解,为)1,1x m =r(写出一个即可),其中m R ∈且0m ≠.当λ=,同理可得,相应的()1x m =r(写出一个即可),其中m R ∈且0m ≠ (3)解方程组1122111222a x a x xb x b x x λλ+=⎧⎨+=⎩,可得()()111222,,0x a b x a b λλ-+-=从而向量()11,a b λ-与()22,a b λ-平行,从而有1a 、2a 、1b 、2b 应满足：()2122140a b a b -+=.当()f x λλ=u rr时,f 有唯一的特征值,且f λ=.具体证明为：由f 的定义可知：()()1212,,f x x x x λ=,所以λ为特征值.此时2112,0,,0a a b b λλ====满足：()2122140a b a b -+=,所以有唯一的特征值.在22121x x +=的条件下()()22212x x λλλ+=,从而有f λ=.【点睛】本题主要考查了新定义的内容,需要根据新定义的方法列出对应的关系式,再化简求解出对应的参数满足的条件进行分析.属于难题.。