高考数学一轮复习精选试题：不等式(解答题) 含答案

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高考数学一轮复习不等式【题库】7.2 均值不等式

7.2 均值不等式一、选择题1.设a ＞0，b ＞0，则以下不等式中不恒成立的是( )A ．(a ＋b )(1a ＋1b)≥4B ．a 3＋b 3≥2ab 2C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b解析 ∵(a ＋b )(1a ＋1b )≥2ab ·21ab＝4.∴A 成立；∵a 2＋b 2＋2－(2a ＋2b )＝(a －1)2＋(b －1)2≥0， ∴C 成立；对于D ，如果a ＜b ，显然成立，如果a ＞b ，则|a －b |≥a －b ⇔a －b ≥a －2ab ＋b ⇔2b (b －a )≤0，而2b (b －a )≤0成立，故D 也成立．所以选B.也可取特殊值，如a ＝1100，b ＝110，易验证B 不成立．答案 B2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )． A.13B.12C.34D.23解析 ∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34. 当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案 B3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )． A ．4B ．8C ．16D ．32解析设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16＞x ＞0，则围成的两个正方形面积之和为S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16－x 42≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋16－x 422＝8，当且仅当x 4＝16－x 4，即x ＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8. 答案 B4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22解析由均值不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab2，所以ab ≤14，故B 错；1a＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由均值不等式得a ＋b2≤ a ＋b 2＝12，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．答案 C5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )．A.72B ．4C.92D ．5解析依题意得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4ab a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92，选C. 答案 C6．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b 2cd 的最小值是( )．A ．0B ．1C ．2D ．4解析由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x ＞0，y ＞0，则a ＋b2cd ＝x ＋y 2xy≥2xy2xy＝4，当且仅当x ＝y 时取等号．答案 D7．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )．A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2解析圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a 2b ，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号．答案 C 二、填空题8．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析 x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥2x －1·4x －1＋1＝5，等号当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时成立．答案 59．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n的最小值为4.答案 410．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．解析由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2－1≤x ＋y 24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233. 答案23311． x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立．答案 912．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析假设直线与函数f (x )＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍．假设P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，2x 0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 20≥4.当且仅当x 20＝4x 20，即x 0＝2时，取“＝”号．答案 4 三、解答题 13.(1)求函数y ＝x ＋12x(x ＜0)的最大值； (2)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值； (3)求函数y ＝x (a －2x )(x ＞0，a 为大于2x 的常数)的最大值．分析将函数式先合理变形，再使用算术平均数与几何平均数定理求函数最值．解析 (1)∵x ＜0，∴y ＝x ＋12x ＝－[(－x )＋1－2x]≤－2－x·1－2x＝－2(当且仅当x ＝－22时，取“＝”号) ∴y max ＝－ 2. (2)∵x ＞3，∴y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3≥5(当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，取“＝”号)．∴y min ＝5.(3)∵x ＞0，a ＞2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12·2x ·(a －2x )≤12·[2x ＋a －2x2]2＝a 28(当且仅当x ＝a4时，取“＝”)．∴y max ＝a 28.14．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解析 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋)； (2)∵x ＞0，∴48x ＋10 800x≥248×10 800＝1 440(元)，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．所以，当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．15．已知a ，b ＞0，求证：a b 2＋b a 2≥4a ＋b . 证明 ∵a b 2＋b a 2≥2a b 2·ba 2＝2 1ab＞0，a ＋b ≥2ab ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋b a 2(a ＋b )≥21ab·2ab ＝4.∴a b 2＋b a 2≥4a ＋b.当且仅当⎩⎨⎧a b 2＝b a 2，a ＝b取等号，即a ＝b 时，不等式等号成立．16．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．解析 (1)由题图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63.则总面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6 ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，即S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3(x ＞0)． (2)由S ＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，得S ≤1 832－210 800x·16x3＝1 832－2×240＝1 352(平方米)．当且仅当10 800x ＝16x3，此时，x ＝45.即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．。

数学高考一轮复习基本不等式专项练习(带解析)

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1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

高中数学一轮复习考点专题训练：专题35 基本不等式(解析版)

高考数学一轮考点扫描专题35 基本不等式一、【知识精讲】 1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[微点提醒]1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).二、【典例精练】考点一利用基本不等式求最值角度1 通过配凑法求最值【例1－1】设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b 的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D 【解析】 a 2＋1ab ＋1aa －b ＝(a 2－ab )＋1a 2－ab ＋1ab＋ab ≥2a 2－ab ·1a 2－ab＋21ab×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号，故选D. 角度2 通过常数代换法求最值【例1－2】已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________．【答案】3＋2 2【解析】由x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，得2x ＋1y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝3＋2y x ＋xy ≥3＋2 2.当且仅当x ＝2y 时取等号．【解法小结】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 考点二基本不等式在实际问题中的应用【例2】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【解法小结】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 考点三基本不等式的综合应用【例3】 (1) (2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)8 (2)9【解析】（1） ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a≥4＋24a b ·ba＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8.(2)法一依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.法二以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ＋32c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1＝0，∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 【解法小结】基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是： 1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题. 三、【名校新题】1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R，故必要性不成立.2.(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0【答案】D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.3.(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A.2B.12C.4D.14【答案B【解析】】因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号). 又因为2a ＋b ＝4， ∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). 4.(2019·长春质量监测)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16【答案】B【解析】由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B. 5.(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则ac b2的最大值为( ) A ．8 B ．2 C ．18 D ．16【答案】 C【解析】因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac4a 2＋4ac ＋c2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·c a＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. 6.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2C.4D.4 2【答案】B【解析】由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)， ∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.7.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】D【解析】因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号. 依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.8.(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】 B【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.9. (2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)【答案】B【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 3 2时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.10.(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16【答案】 D 【解析】32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.11.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋bc 的最小值为( )A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2【答案】D【解析】因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋b c≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为2＋2 2. 12.(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( ) A ．[6，＋∞) B ．[10，＋∞) C ．[12，＋∞) D ．[16，＋∞)【答案】 D【解析】 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D.13. (2019·合肥调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________. 【答案】8【解析】可行域如图所示，当直线abx ＋y ＝z (a >0，b >0)过点B (2，3)时，z 取最大值2ab ＋3.于是有2ab ＋3＝35，ab ＝16.所以a ＋b ≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立，所以(a ＋b )min ＝8.14. (2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.【答案】92【解析】 y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. 15.(2019·潍坊调研)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n为正数，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】4【解析】∵曲线y ＝a 1－x恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)，可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·mn＝4，当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.16.(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________. 【答案】3【解析】∵a 3＝7，a 9＝19， ∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1， ∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3，当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3. 17．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧175x 2－130x ＋4 900，x ∈[50，80，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？【解析】(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x 60单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10.因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少． (2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120x，①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎪⎫2 x ×4 900x－130＝16，当且仅当x ＝4 900x，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16；②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x－2为减函数，所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．18. (2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？【解析】 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元， ∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0，解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n ＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)，当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.。

高考第一轮复习数学：不等式(附答案)

素质能力检测（六）一、选择题（每小题5分；共60分） M ={x |－1＜x ＜2}；N ={y |y =21x 2－1；x ∈M }；则M ∩N 为 A.{a |－1≤a ＜2} B.{a |－1＜a ＜2} C.{a |－1＜a ＜1}D.∅解析；y =21x 2－1；x ∈（－1；2）. 所以y ∈［－1；1）. 答案；Cx 、y ∈R ；那么|x |＜1且|y |＜1是0＜xy ＜1成立的____________条件.解析；设x =－21；y =0；则xy =0.不能推出0＜xy ＜1；设x =2；y =31满足0＜xy ＜1；不能推出|x |＜1且|y |＜1.答案；D3.不等式（x +1）1-x ≥0的解集是 A.{x |x ＞1} B.{x |x ≥1}C.{x |x ≥1或x =－1}D.{x |x ≥－1或x =1}解析；∵1-x ≥0；∴x ≥1.又∵x +1=0；不等式成立.∴x =－1.选C. 答案；Cx 2+（m +2）x +m +5=0有两个正实根；则实数m 的取值范围是 A.m ＜－2 B.m ≤－4 C.m ＞－5 D.－5＜m ≤－4 解析；⎪⎩⎪⎨⎧>+⇒>+-≥05020m m Δ）（－5＜m ≤－4. 答案；Dy =lg （x 2－2kx +k ）的值域为R ；则k 的取值范围是 A.0＜k ≤k ≤1C.k ≤0或k ≥1D.k =0或k ≥1 解析；Δ≥0⇒k ≥1或k ≤0. 答案；C6.x 、y ∈R ；x 2+y 2=1；那么（1－xy ）（1+xy ）有4321和最大值1 4321无最大值解析；令x =cos θ；y =sin θ；则（1－xy ）（1+xy ）=1－x 2y 2=1－41sin 22θ. ∵0≤sin 22θ≤1；∴43≤1－41sin 22θ≤1. 答案；Ax ∈R +时；下列函数中；最小值为2的是 A.y =x 2－2x +4 B.y =x +x16 C.y =22+x +212+xD.y =x +x1 解析；y =x 2－2x +4=（x －1）2+3≥3； y =x +x 16≥8；y =22+x +212+x .∵22+x ≥2；∴y ＞2.故选D.答案；Da 2＜x ＜a ；M =log a x 2；N =log a （log a x ）；P =（log a x ）2；则 A.M ＞N ＞P B.P ＞M ＞N C.M ＞P ＞N D.N ＞M ＞P 解析；∵a 2＜a ；∴0＜x ＜a ＜1. ∴log a x ＞1；N =log a （log a x ）＜0； 2log a x ＞log a x ·log a x ；即M ＞P . ∴M ＞P ＞N . 答案；Cf （x ）=a x ；g （x ）=b x ；当f （x 1）=g （x 2）=3时；x 1＞x 2；则a 与b 的大小关系不可能成立的是A.b ＞a ＞1B.a ＞1＞b ＞0C.0＜a ＜b ＜1D.b ＞1＞a ＞0 解析；x 1=log a 3；x 2=log b 3.当b ＞1＞a ＞0时；x 1＜0；x 2＞0与x 1＞x 2矛盾.选D. 答案；D f （x ）、g （x ）（x ∈R ）；设不等式|f （x ）|+|g （x ）|＜a （a ＞0）的解集是M ；不等式|f （x ）+g （x ）|＜a （a ＞0）的解集是N ；则A.N MB.M =NC.M ⊆ND.M N解析；任取x 0∈M ；则|f （x 0）+g （x 0）|≤|f （x 0）|+|g （x 0）|＜a . ∴x 0∈N .但任取x 1∈N ；有|f （x 1）+g （x 1）|＜a ；得不到|f （x 1）|+|g （x 1）|＜a . 故M ⊆N .选C.答案；CA ；第二年的增长率为a ；第三年的增长率为b ；这两年的平均增长率为x ；则 A.x =2ba + B.x ≤2ba + C.x ＞2ba +D.x ≥2ba + 解析；A （1+x ）2=A （1+a ）（1+b ）； ∴（1+x ）2≤（211b a +++）2. ∴1+x ≤1+2b a +；x ≤2ba +. 答案；B12.线段|AB |=4；M 为AB 的中点；动点P 满足条件|P A |+|PB |=6；当P 点在同一平面内运动时；|PM |的最大值M 、最小值m 分别是A.M =4；m =3B.M =3；m =5C.M =5；m =5D.M =3；m =3解析；P 点轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆；M 是其中心；由解析几何知识知选B. 答案；B二、填空题（每小题4分；共16分）a 、b ∈R ；且a +b +3=ab ；则ab 的取值范围是____________.解析；ab ≤（2b a +）2；∴a +b +3≤（2b a +）2. ∴a +b ≥6或a +b ≤－2. ∴ab ≥9或ab ≤1. 答案；（－∞；1］∪［9；+∞）x +4y =1；则x 2+y 2的最小值为____________. 解析；x 2+y 2=（－2y +21）2+y 2 =5y 2－2y +41=5（y －51）2+201≥201. 答案；201 f （x ）在［0；+∞）上为增函数；那么不等式f （x ）＞f （2－x ）的解集是____________. 解析；∵f （x ）为偶函数；则f （|x |）＞f （|2－x |）；即|x |＞|2－x |；得{x |x ＞1}. 答案；{x |x ＞1}x 的方程x 2+（a 2－1）x +a －2=0的两根满足（x 1－1）（x 2－1）＜0；则a 的取值范围是____________.解析；（x 1－1）（x 2－1）＜0⇔一根大于1；一根小于1. 令f （x ）=x 2+（a 2－1）x +a －2；则f （1）＜0. ∴－2＜a ＜1. 答案；－2＜a ＜1三、解答题（本大题共6小题；共74分）17.（12分）当|x －2|＜a 时；不等式|x 2－4|＜1成立；求正数a 的取值范围. 解；由|x －2|＜a ；得2－a ＜x ＜2+a . 由|x 2－4|＜1；得－5＜x ＜－3或3＜x ＜5.∴（2－a ；2+a ）⊆（－5；－3）∪（3；5）.∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≥->32520a a a ，，或⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥->.52320a a a ，， ∴0＜a ＜5－2.18.（12分）已知a 、b 、c 为不等正数；且abc =1；求证；a +b +c ＜a 1+b 1+c1. 证明；结论⇔a +b +c ＜bc +ac +ab⇔2a +2b +2c ＜2bc +2ac +2ab .因为a 、b 、c 为不等正数且abc =1；所以bc +ac ＞22abc =2c . ac +ab ＞2a ；ab +bc ＞2b . 所以2a +2b +2c ＜2bc +2ac +2ab . 所以原不等式成立.19.（12分）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+--.2|1|021|2|2x y x x y ，其中x 、y 都是整数. 解；原不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧≤--<-≥->+.0|1|20|2|212x y x x y ，得－21＜y ＜2.∴y =0或1.当y =0时；⎪⎩⎪⎨⎧<-<-.2|1|21|2|2x x x ，解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0200y x y x ，；，当y =1时；⎪⎩⎪⎨⎧<-<-.1|1|23|2|2x x x ，解得⎩⎨⎧==.11y x ，综上；⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.110200y x y x y x ，；，；， 20.（12分）学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格买大米；每次购进大米需支付运输劳务费100元；已知食堂每天需用大米1 t ；贮存大米的费用为每吨每天2元；假定食堂每次均在用完大米的当天购买.（1）该食堂每隔多少天购买一次大米；能使平均每天所支付的费用最少?（2）粮店提出价格优惠条件；一次购买量不少于20 t 时；大米价格可享受九五折优惠（即是原价的95%）；问食堂可否接受此优惠条件?请说明理由.解；设该食堂每隔x 天购买一次大米；则每次购买x t ；设每吨每天所支付的费用为y 元；则（1）y =x1［1500x +100+2（1+2+…+x ）］ =x +x100+1501≥1521；当且仅当x =x100；即x =10时取等号. 故该食堂每隔10天购买一次大米；能使平均每天所支付的费用最少. （2）y =x1［1500x ·0.95+100+2（1+2+…+x ）］（x ≥20） =x +x100+1426；函数y 在［20；+∞）上为增函数；∴y ≥20+20100+1426=1451. 而1451＜1521；故食堂可接受粮店的优惠条件.21.（12分）设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a 、b 、c ∈R 且a ≠0）；若函数y =f （x ）的图象与直线y =x 和y =－x 均无公共点.（1）求证；4ac －b 2＞1；（2）求证；对一切实数x ；恒有|ax 2+bx +c |＞||41a .证明；（1）方程ax 2+bx +c =x 和ax 2+bx +c =－x 均无实根；即⎪⎩⎪⎨⎧<-+<--②）（①，）（.04104122ac b ac b①+②得4ac －b 2＞1. （2）由4ac －b 2＞1；知a （x +ab 2）2与a b ac 442-同号.所以|ax 2+bx +c |=|a （x +ab 2）2+a b ac 442-|=|a （x +ab 2）2|+|a b ac 442-|≥|a b ac 442-|＞||41a .22.（14分）已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a 、b 、c ∈R ；a ＞0）；设方程f （x ）=x 的两个实数根为x 1、x 2.（1）如果x 1＜2＜x 2＜4；设f （x ）的对称轴是x =x 0；求证；x 0＞－1；（2）如果|x 1|＜2；|x 2－x 1|=2；求b 的取值范围.（1）证明；设g （x ）=f （x ）－x =ax 2+（b －1）x +1.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=⋅--=+.0112121a x x a b x x ，x 1＜2＜x 2＜4.∴（x 1－2）（x 2－2）＜0；即x 1x 2＜2（x 1+x 2）－4. 于是x 0=－a b 2=21（－a b 1-－a 1）=21（x 1+x 2）－21x 1x 2＞21（x 1+x 2）－（x 1+x 2）+2=－21（x 1+x 2）+2＞－21（2+4）+2=－1；即x 0＞－1. （2）解；由方程g （x ）=ax 2+（b －1）x +1=0；可知x 1x 2=a 1＞0；∴x 1、x 2同号. 若0＜x 1＜2；则x 2－x 1=2；∴x 2=x 1+2＞2.g （2）=4a +2b －1＜0.①又|x 2－x 1|2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2=221a b）（-－a4=2. ∴2a +1=112+-）（b ；代入①式得2112+-）（b ＜3－2b .②解②得b ＜41. 若－2＜x 1＜0；则x 2=－2+x 1＜－2. ∴g （－2）=4a －2b +3＜0. ③将2a +1=112+-）（b 代入③式得2112+-）（b ＜2b －1.④解④得b ＞47. 综上；可知b ＜41或b ＞47. ●意犹未尽五枚金币有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次；年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路；阿巴格又累又怕；到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出５枚硬币；把一枚硬币埋在草地里；把其余4枚放在阿巴格的手上；说；“人生有５枚金币；童年、少年、青年、中年、老年各有一枚；你现在才用了一枚；就是埋在草地里的那一枚；你不能把５枚都扔在草原里；你要一点点地用；每一次都用出不同来；这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原；你将来也一定要走出草原.世界很大；人活着；就要多走些地方；多看看；不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下；那天阿巴格走出了草原.长大后；阿巴格离开了家乡；成了一名优秀的船长.一语中的；珍惜生命；就能走出挫折的沼泽地.。

高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题(含答案)

高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．已知01,0a b <<<，则下列大小关系正确的是（） A ．21ab a b <，那么下列不等式中，一定成立的是（） A ．22ac bc >B ．a b >C ．a c b c ->-D ．ac bc >3．如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（） A ．若a >b ，则11a b b ，则22ac bc >C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd4．若a >b ，c >d ，则下列不等式中一定正确的是（） A ．a d b c +>+ B ．a d b c ->- C ．ad bc >D ．a b d c> 5．若,R a b ∈，下列命题正确的是（） A ．若a b >，则22a b > B ．R c ∈，若a b >，则22ac bc > C ．若33a b ->-，则a b <D ．0a ≠，0b ≠，若a b >，则11a b <6．已知,a b R ∈且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]7．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．11a bC ．()20a b c -≥D ．b c ba c a+>+ 8．设a ，b ∈R ，0a b <<，则（） A ．22a b C ．11a b a>- D ．2ab b >9．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（） A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤10．设0a b <<，给出下列四个结论：①a b ab +<；②23a b <；③22a b <；④a a b b <.其中正确的结论的序号为（） A ．①②B ．①④C ．②③④D ．①②③11．若向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最大的是（） A ．a b ⋅B ．b c ⋅C ．a c ⋅D ．不能确定12．已知0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（） A ．n 0()l a b ->B2C ．a b b a >D ．114a b+>二、填空题13．已知25,21a b a b ≤+≤-≤-≤，则3a b -的取值范围是___________.14．若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____． 15．已知12,03a b ≤≤≤≤，则2+a b 的取值范围为__________． 16．若23a -<<，12b <<，则2a b -的取值范围是____________．三、解答题17．比较（x －2）（x －4）与（x －1）（x －5）的大小关系．18．求解下列问题：(1)已知a ∈R ，比较()()37a a ++和()()46a a ++的大小； (2)已知0x y <<，比较1x与1y 的大小.19．（1）已知022a b <-<，123a b <+<，求a b +的取值范围；（2）已知x ，y ，z 都是正数，求证：222x y z xy xz yz ++≥++．20．对于四个正数m n p q 、、、，若满足mq np <，则称有序数对(),m n 是(),p q 的“下位序列”． (1)对于2、3、7、11，有序数对()3,11是()2,7的“下位序列”吗？请简单说明理由；(2)设a b a d 、、、均为正数，且(),a b 是(),c d 的“下位序列”，试判断a c a c b d b d ++、、之间的大小关系．21．请选择适当的方法证明. (1)已知0a >，0b >，且ab ，证明：3322a b a b ab +>+；(2)已知x ∈R ，22a x =-，23b x =-+，证明：a ，b 中至少有一个不小于0.22．已知关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为A ，集合(2,3)B =． (1)若A B ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．23．求证下列问题：(1)已知a b c ，，均为正数，求证:bc ac aba b c++a b c ≥++. (2)已知0xy >，求证: 11x y>的充要条件是x y <.24．已知定义在R 的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：()()3x f x g x +=． (1)求(),()f x g x ，并证明：22()()(2)f x g x f x +=；(2)若存在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式2(2)2()10f x ag x ++≤成立，求实数a 的取值范围。

2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（原卷版）一、单项选择题1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是()A．1a＞1bB．a2＜b2C．1a2＜1b2D．a3＜b32．已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是()A．ab＞acBC．1a＜1cD．a2＞c23．已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为()A．1B．3C．8D．94．已知x＞0，y＞0，且1x＋2＋1y＝23，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－4，6)B．(－3，0)C．(－4，1)D．(1，3)5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元．其中ω(x)2＋10x，0＜x≤40，x＋10000x－945，x＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为()A．720万元B．800万元C．875万元D．900万元二、多项选择题6．下列结论中，正确的有()A．若a＞b，则ac2＞b c2B．若ab＝4，则a2＋b2≥8C．若a＞b，则ab＜a2D．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c7．(2023·曲靖一模)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有()A．(a＋2b)2≥8ab B．1a＋1b≥2abC．ab有最大值4D．1a＋4b有最小值98．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，则() A．ab的最大值为12B．a＋b的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是___．10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为___．11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为____．四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（解析版）一、单项选择题1．设a ，b 均为非零实数且a ＜b ，则下列结论中正确的是(D )A ．1a ＞1b B ．a 2＜b 2C ．1a 2＜1b2D ．a 3＜b 3【解析】对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a ＜1b ，A 错误；对于B ，取a ＝－1，b ＝1，则a 2＝b 2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a 2＝1b 2，C 错误；对于D ，由a ＜b ，可得b 3－a 3＝(b －a )·(b 2＋ab ＋a 2)＝(b －a ＋12a ＋34a2＞0，所以a 3＜b 3，D 正确．2．已知实数a ＞b ＞0＞c ，则下列结论一定正确的是(A )A ．a b ＞ac B C ．1a ＜1cD ．a 2＞c 2【解析】对于A ，因为a ＞b ＞0＞c ，所以a b ＞0＞ac ，故A 正确；对于B ，因为函数y 在R 上单调递减，且a ＞c ，故B 错误；对于C ，因为a ＞0＞c ，则1a ＞0＞1c ，故C 错误；对于D ，若a ＝1，c ＝－2，满足a ＞0＞c ，但a 2＜c 2，故D 错误．3．已知a ＞0，b ＞0，若直线l 1：ax ＋by －2＝0与直线l 2：2x ＋(1－a )y ＋1＝0垂直，则a ＋2b 的最小值为(D )A ．1B ．3C ．8D ．9【解析】由题可知两条直线的斜率一定存在，因为两直线垂直，所以斜率乘积为－1，即－a b×1，即2a ＋b ＝ab ，整理得2b ＋1a ＝1，所以a ＋2b＝(a ＋2b ＝2a b ＋1＋4＋2ba ≥5＋22a b ·2ba＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．因此a ＋2b 的最小值为9.4．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，若x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，则实数m 的取值范围是(C)A ．(－4，6)B ．(－3，0)C ．(－4，1)D ．(1，3)【解析】因为x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，所以x ＋2＋y ＝32(x ＋2＋y＋y x ＋2＋x ＋2y ＋＋6，当且仅当y x ＋2＝x ＋2y，即y＝3，x ＝1时取等号，所以x ＋y ≥4.因为x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，所以m 2＋3m ＜4，即(m －1)(m ＋4)＜0，解得－4＜m ＜1.所以实数m 的取值范围是(－4，1).5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x 万件该产品，需另投入成本ω(x )万元．其中ω(x )2＋10x ，0＜x ≤40，x ＋10000x－945，x ＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(C)A ．720万元B ．800万元C ．875万元D ．900万元【解析】该企业每年利润为f (x )＝x －(x2＋10x ＋25)，0＜x ≤40，xx ＋10000x－945＋x ＞40，当0＜x ≤40时，f (x )＝－x 2＋60x －25＝－(x －30)2＋875，当x ＝30时，f(x )取得最大值875；当x ＞40时，f (x )＝920920－2x ·10000x＝720，当且仅当x ＝100时等号成立，即在x＝100时，f (x )取得最大值720.由875＞720，可得该企业每年利润的最大值为875万元．二、多项选择题6．下列结论中，正确的有(BD )A ．若a ＞b ，则a c 2＞bc 2B ．若ab ＝4，则a 2＋b 2≥8C ．若a ＞b ，则ab ＜a 2D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c【解析】对于A ，若c ＝0，则a c 2，bc 2无意义，故A 错误；对于B ，若ab ＝4，则a 2＋b 2≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝±2时等号成立，故B 正确；对于C ，由于不确定a 的符号，故无法判断，例如a ＝0，b ＝－1，则ab ＝a 2＝0，故C 错误；对于D ，若a ＞b ，c ＞d ，则－d ＞－c ，所以a －d ＞b －c ，故D 正确．7．(2023·曲靖一模)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列结论一定正确的有(AC)A ．(a ＋2b )2≥8abB ．1a ＋1b ≥2ab C ．ab 有最大值4D ．1a ＋4b有最小值9【解析】对于A ，(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4ab ≥2·a ·2b ＋4ab ＝8ab ，故A 正确；对于B ，找反例，当a ＝b ＝2时，1a ＋1b ＝2，2ab ＝4，1a ＋1b＜2ab ，故B 错误；对于C ，因为a ＋b ＝4≥2ab ，所以ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故C 正确；对于D ，1a ＋4b ＝a ＋b )＋4＋b a ＋＋＝94，当且仅当a ＝43，b ＝83时取等号，故D 错误．8．设a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝2，则(ACD )A ．ab 的最大值为12B ．a ＋b 的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2【解析】对于A，a＞0，b＞0，22ab≤a＋2b＝2⇒ab≤12，当且仅当a＝1，b＝12时取等号，故A正确；对于B，a＋b＝2－b，a＝2－2b.因为a＞0，b＞0，所以0＜b＜1，1＜a＋b＜2，故B错误；对于C，a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b2－8b＋4＝＋45≥45，当且仅当a＝25，b＝45时取等号，故C正确；对于D，a－b＋2ab＝a－b＋a＋2bab＝2a＋bab＝2b＋1a＝·(a＋2b)·12＝＋2b a＋＋＝92，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝23时取等号，故D正确．三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是__[6，19]__．【解析】因为3a－5b＝－(a＋b)＋4(a－b)，由－3≤a＋b≤－2，得2≤－(a ＋b)≤3，由1≤a－b≤4，得4≤4(a－b)≤16，所以6≤3a－5b≤19，即3a－5b 的取值范围是[6，19].10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为__6__．【解析】因为ab＝a＋b＋3≤14(a＋b)2，所以(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，即(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2.因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取等号).11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为__8__．【解析】36a＋ab＝4(a＋b)a＋ab＝4＋4ba＋ab≥4＋24ba·ab＝8，当且仅当a＝6，b＝3时取等号，故36a＋ab的最小值为8.四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；【解答】由不等式4a2＋b2≥4ab，解得ab≤12，当且仅当2a＝b＝1时取等号，所以ab的最大值为12，此时a＝12，b＝1.(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．【解答】由4a2＋b2＝2，得4a2＋(1＋b2)＝3.由4a2＋(1＋b2)≥24a2·(1＋b2)＝4a1＋b2，得a1＋b2≤34，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝64，b＝22时取等号，所以a1＋b2的最大值为34，此时a＝64，b＝22.13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以1a－1＋1b－2＝a－1)(b－2)＝14[(b－2)＋(a－1)]≥14×2(b－2)(a－1)＝1，当且仅－2＝a－1，a－1)(b－2)＝4，即a＝3，b＝4时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为1，此时a＝3，b＝4.(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】由2a＋b＝6，得2(a－1)＋(b－2)＝2，所以(a－1)＋b－22＝1，所以1a－1＋1b－2＝(a－1)＋b－22＝32＋a－1b－2＋b－22(a－1)≥3＋222，当－2＝2(a－1)，a－1)＋(b－2)＝2，即a＝3－2，b＝22时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3＋222，此时a＝3－2，b＝2 2.(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．【解答】因为b＞2，由1a＋1b＝1，可得a＝bb－1，所以a－1＝1b－1，所以1a－1＋1b－2＝b－2＋1b－2＋1≥3，当且仅当a＝32，b＝3时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3，此时a＝32，b＝3.14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；【解答】由题意得y＝0.2x＋80x＋5x＞0).由y≤7.2，得0.2x＋80x＋5≤7.2，整理得x2－31x－220≤0，解得11≤x≤20，即设备占地面积x的取值范围为[11，20].(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？【解答】y＝0.2x＋80x＋5＝x＋55＋80x＋5－1≥2x＋55×80x＋5－1＝7，当且仅当x＋55＝80x＋5，即x＝15时等号成立.所以设备占地面积为15平方米时，y的值最。

高考数学一轮单元复习精品练习：不等式 Word版含答案

高考数学一轮单元复习精品练习：不等式本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)【答案】A2．若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是( )A ．22a b >B ．ac bc >C ．22ac bc >D ．a c b c->- 【答案】D3．设y x z +=，其中x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+ky y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为() A ．-2 B ．-3 C ．-4 D ．-5【答案】B4．设x R ∈，则不等式4212>-x 的解集是( )A ．{}R x x x ∈±≠,3B ．{}33<<-x x C ．{}22<<-x x D ．{}33-<>x x x 或【答案】D5．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是( )A ．1a b >-B ．1a b >+C ．||||a b >D ．22a b >【答案】A6．不等式x 2＋x －12≥0的解集是( )A ．{x|x<-4或x>3}B ．{x|-4<x<3}C ．{x|x ≤-4或x ≥3 }D ．{x|-4≤x ≤3}【答案】C7．若log 2x+log 2y=3，则2x+y 的最小值是( )A ．24B ．8C ．10D ．12 【答案】B 8．已知实数x y ，满足2201x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则23z x y =-的最大值是( ) A ．6-B ．1- C ．4D ．6【答案】D9．已知5a b c ===则c b a ,,的大小关系为( )A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >> 【答案】A10．若实数a 、b 满足2a b +=，则33a b+的最小值是( ) A ．18B ．6 C． D ．【答案】C 11．若011<；③b a <；④2>+b a a b 中，正确的不等式有( )A ．1个B ． 2 个C ． 3个D ． 4个【答案】B12．若a>b ，则下列不等式中正确的是( )A ． 22b a >B ． 1>b aC ． b a 22>D ． b a ln ln >【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知f （x ）=x 2 —5x+6 则不等式f （x ）>0的解集为【答案】}{32><x x 或14．已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________．【答案】22(2)(1)5x y -+-=15．已知f 则不等式f(x)≤2的解集是【答案】(－∞，－2]∪[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 16．已知实数x 、y 满足0401x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤，则y x +2的最小值是【答案】-2三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知a 、b 、c ∈+R ，且1=++c b a ，求证：8)11()11()11(≥-⋅-⋅-cb a 【答案】0211111>≥-++=-∴=++abc a c a b a c b a 同理：021111>≥-++=-bac b c b a b021111>≥-++=-cab c b c a c 88111111222=≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴abc c b a c b a 当且仅当时取等号31===c b a 18．已知a R ∈，解关于x 的不等式：212a x +>+ 【答案】不等式可化为：02x a x -<+ 当2a =-时，不等式的解集为∅当2a >-时，不等式的解集为{|2}x x a -<< 当2a <-时，不等式的解集为{|2}x a x <<-19．记c bx ax x f +-=2)(，若不等式0)(>x f 的解集为（1，3），试解关于t 的不等式)2()8|(|2t f t f +<+.【答案】由题意知)3)(1())(()(21--=--=x x a x x x a x f . 且0<a 故二次函数在区间),2[+∞上是增函数. 又因为22,8||82≥+>+t t ，故由二次函数的单调性知不等式)2()8|(|2t f t f +<+ 等价于22||8t t +>+即06||||2<--t t 故3||<t 即不等的解为：33<<-t .20．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：c b a cab b ac a bc ++≥++。

2023年新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第4讲不等式(含答案)

新高考数学大一轮复习专题：第4讲不等式[考情分析] 1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度．考点一不等式的性质与解法核心提炼1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d.2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ，x ∈I ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a ，x ∈I . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方． (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．例1 (1)若p >1,0<m <n <1，则下列不等式正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <mnC ．m －p<n －pD ．log m p >log n p答案 D解析方法一设m ＝14，n ＝12，p ＝2，逐个代入可知D 正确．方法二对于选项A ，因为0<m <n <1，所以0<m n<1，又p >1，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p <1，故A 不正确；对于选项B ，p －m p －n －m n ＝p －m n －m p －n n p －n ＝p n －m n p －n >0，所以p －m p －n >mn，故B 不正确；对于选项C ，由于函数y ＝x －p在(0，＋∞)上为减函数，且0<m <n <1，所以m －p>n －p，故C 不正确；对于选项D ，结合对数函数的图象可得，当p >1,0<m <n <1时，log m p >log n p ，故D 正确． (2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0的解集是( ) A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)答案 A解析由关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，得b ＝2a 且a <0，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0可化为x 2＋x －6>0，即(x ＋3)(x －2)>0，解得x <－3或x >2，所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．易错提醒求解含参不等式ax 2＋bx ＋c <0恒成立问题的易错点 (1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a ＝0时的情况． (2)不会通过转换把参数作为主元进行求解． (3)不考虑a 的符号．跟踪演练 1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x <12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f (x )＋x －2≤0的解集是________________．答案 {x |－1≤x ≤1} 解析由x 2f (x )＋x －2≤0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x <12，3x 2＋x －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x 2·1x＋x －2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <12，－1≤x ≤23或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤1，∴－1≤x <12或12≤x ≤1，∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2} 答案 B解析当a 2－4＝0时，解得a ＝2或a ＝－2，当a ＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a ＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a 2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝a ＋22＋4a 2－4<0，解得－2<a <65.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65. 考点二基本不等式核心提炼基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag x＋Bg (x )(AB >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．例2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2 B ．若a <0，则a ＋4a≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b D ．若a ∈R ，则2a＋2－a≥22a ·2－a＝2 答案 D解析由于b a ，a b的符号不确定，故选项A 错误；∵a <0，∴a ＋4a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－4a≤－2－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a＝－4(当且仅当a ＝－2时，等号成立)，故B 错误；由于lg a ，lg b 的符号不确定，故选项C 错误；∵2a>0,2－a>0，∴2a ＋2－a ≥22a ·2－a＝2(当且仅当a ＝0时，等号成立)，故选项D 正确．(2)(2019·天津)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy的最小值为________．答案 4 3解析x ＋12y ＋1xy＝2xy ＋2y ＋x ＋1xy＝2xy ＋6xy＝2xy ＋6xy.由x ＋2y ＝5得5≥22xy ，即xy ≤524，即xy ≤258，当且仅当x ＝2y ＝52时等号成立．所以2xy ＋6xy≥22xy ·6xy＝43，当且仅当2xy ＝6xy，即xy ＝3时取等号，结合xy ≤258可知，xy 可以取到3，故x ＋12y ＋1xy的最小值为4 3.易错提醒运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．跟踪演练2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a >0，b >0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________．答案 22＋2解析 ∵a >0，b >0，由a －b ＝1，得a ＝1＋b ，∴2a ＋1b ＝2＋2b ＋1b≥2＋22b ·1b＝2＋22，当且仅当b ＝22时，等号成立，∴2a ＋1b的最小值为22＋2. (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________．答案 45解析方法一由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y45y2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45.方法二设x 2＋y 2＝t >0，则x 2＝t －y 2. 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以5(t －y 2)y 2＋y 4＝1，所以4y 4－5ty 2＋1＝0.由Δ＝25t 2－16≥0，解得t ≥45⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≤－45舍去.故x 2＋y 2的最小值为45.专题强化练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |1<x <3} C ．{x |x <－1或x >3} D ．{x |x <1或x >3}答案 D解析不等式即(x －3)(x －1)>0，由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为{x |x <1或x >3}．2．下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，c <d ，则a c >b dC ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －dD ．若ab >0，a >b ，则1a <1b答案 D解析对于A 选项，当c ＝0时，不成立，故A 选项错误．当a ＝1，b ＝0，c ＝－2，d ＝－1时，a c 3}，则f (10x)>0的解集为( ) A ．{x |x <－2或x >lg3} B ．{x |－2<x <lg3} C ．{x |x >lg3} D ．{x |x <lg3}答案 D解析一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－2或x >3}，则f (x )>0的解集为{x |－2<x <3}，则f (10x)>0可化为－2<10x<3，解得x <lg3，所以所求不等式的解集为{x |x <lg3}．4．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )1,0log 22ab ＝1， 12a b+>a ＋1b >a ＋b ⇒a ＋1b>log 2(a ＋b )．5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋bab<1，∴ab <a ＋b <0. 6．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112答案 B解析由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4.故选B.7．已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析由a >－1，b >－2，得a ＋1>0，b ＋2>0，a ＋b ＝(a ＋1)＋(b ＋2)－3≥2a ＋1b ＋2－3＝2×4－3＝5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值是5.8．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c取得最大值时，3a ＋1b－12c的最大值为( ) A ．3B.94C ．1D ．0答案 C解析由正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，得a 2c －2ab c ＋9b 2c ＝1≥4ab c，当且仅当a 2c ＝9b 2c ，即a ＝3b 时，ab c 取最大值14，又因为a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，所以此时c ＝12b 2，所以3a ＋1b －12c ＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2－1b 24＝1，当且仅当b ＝1时等号成立．故最大值为1. 二、多项选择题9．设f (x )＝ln x,0<a q 答案 BC解析 r ＝12(ln a ＋ln b )＝p ＝ln ab ，p ＝ln ab <q ＝ln a ＋b 2.10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( ) A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 ABC解析方法一设y ＝x 2－6x ＋a ，则其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a >0，解得5<a ≤8，又a ∈Z ，故a 可以为6,7,8.方法二分离常数，得a ≤－x 2＋6x ，函数y ＝－x 2＋6x 的图象及直线y ＝a ，如图所示，由图易知5<a ≤8.11．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a >b 的充要条件为( ) A.1a >1bB ．ln a >ln bC ．a ln a b >0，所以1a <1b，故A 错误；对于B ，因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，所以a >b >0⇔ln a >ln b ，故B 正确；对于C ，设f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以a >b >0不能推出a ln a 0)，则g ′(x )＝1－e x.因为x >0，所以e x>1，所以g ′(x )<0，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以当a >b >0时，g (a )<g (b )，即a －e a0，b >0，且a －b <e a －e b 时，易证得a >b ，必要性成立，故D 正确．12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b>12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2答案 ABD解析因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B,2a －b＝22a －1＝12×22a，因为a >0，所以22a>1，即2a －b>12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2，得a ＋b ≤2，故D 正确．三、填空题13．对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a )>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a1＋a<11aa+；④a1＋a>a 1＋1a.其中正确的是________．(填序号)答案 ②④解析由于0<a <1，所以函数f (x )＝log a x 和g (x )＝a x在定义域上都是单调递减函数，而且1＋a <1＋1a，所以②④是正确的．14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 ∵x ∈(0，＋∞)，mx 2－(m ＋1)x ＋m >0恒成立， ∴m (x 2－x ＋1)>x 恒成立，又x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴m >xx 2－x ＋1恒成立，当x ∈(0，＋∞)时，xx 2－x ＋1＝1x ＋1x－1≤121－1＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取“＝”．∴m >1.15．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12解析由f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，得f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x－1e－x ＝－x 3＋2x －e x＋1ex ＝－f (x )，又x ∈R ，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x·1ex＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时“＝”成立，所以f (x )在R 上单调递增，因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12.16．已知实数x ，y 满足x >1，y >0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y的最大值为________．答案 9 解析 ∵x ＋4y ＋1x －1＋1y＝11， ∴(x －1)＋4y ＝10－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ，又⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y [(x －1)＋4y ]＝5＋x －1y ＋4y x －1≥5＋24＝9，当且仅当x －1y ＝4y x －1，即2y ＝x －1>0时等号成立， ∴⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ≥9，令t ＝1x －1＋1y，则t (10－t )≥9，即t2－10t＋9≤0，∴1≤t≤9，∴1x－1＋1y的最大值为9.11。

2022北师大版高考数学一轮复习—基本不等式和不等式的性质习题含答案

基本不等式[A 组基础保分练]1．（2021·荆门一中期中测试）函数f （x ）＝x 2＋4|x |的最小值为（）A ．3B ．4C ．6D ．8解析：f （x ）＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥4，当且仅当x ＝±2时取等号，所以f （x ）＝x 2＋4|x |的最小值为4．答案：B 2．（2021·钦州期末测试）已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是（） A ．15 B ．12 C ．5 D ．3 解析：因为a 2＋b 2＝15－ab ≥2ab ，所以3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．所以ab 的最大值为5．答案：C3．（2021·烟台期中测试）已知x ，y ∈R 且x －2y －4＝0，则2x ＋14y 的最小值为（）A ．4B ．8C ．16D ．256解析：∵x －2y －4＝0，∴x －2y ＝4，∴2x ＋14y ≥22x －2y ＝8，当且仅当x ＝2，y ＝－1时等号成立，∴2x ＋14y 的最小值为8．答案：B 4．（2021·湖南衡阳期末）已知P 是面积为1的△ABC 内的一点（不含边界），若△P AB ，△P AC和△PBC 的面积分别为x ，y ，z ，则y ＋z x ＋1y ＋z的最小值是（）A ．23＋13B ．3＋23C ．13D ．3解析：因为x ＋y ＋z ＝1，0<x <1，0<y <1，0<z <1，所以y ＋z x ＋1y ＋z ＝1－x x ＋11－x ＝1－x x ＋1－x ＋x 1－x ＝1－x x ＋x 1－x ＋1≥2 1－x x ·x 1－x ＋1＝3，当且仅当x 1－x ＝1－x x ，即x ＝12时等号成立，所以y ＋z x ＋1y ＋z 的最小值为3．答案：D5．（2021·北京通州区期中测试）设f （x ）＝ln x ，0<a p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r >q解析：∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，∵f （x ）＝ln x 在（0，＋∞）上是增函数，∴f （ab ）<f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，又f （a ）＋f （b ）2＝ln ab <ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2， ∴f （a ）＋f （b ）2<f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，∴p ＝r <q ．答案：C6．（2021·鹰潭模拟）已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为（）A ．4B ．2 2C ．8D ．16解析：因为a ＞0，b ＞0，所以根据a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，可得ab ＝1，所以1a ＋2b ≥21a ·2b＝22，当且仅当b ＝2a ＝2时等号成立．答案：B7．已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．解析：由a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1，所以a ＋b ＝（a ＋b ）⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b2a≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋3．答案：2＋38．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y （单位：万元）与机器运转时间x （单位：年）的关系为y ＝－x 2＋18x －25（x ∈N ＋），则该公司年平均利润的最大值是万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：89．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝22．（1）求a 2＋b 2的最小值；（2）若（a －b ）2≥4（ab ）3，求ab 的值．解析：（1）由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以a 2＋b 2的最小值是1．（2）由（a －b ）2≥4（ab ）3得⎝⎛⎭⎫1a －1b 2≥4ab ，即⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab≤2，又ab＋1ab ≥2，所以ab ＋1ab＝2，所以ab ＝1． 10．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解析：（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100，当且仅当12x ＝45 000x，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．（2）获利．设该单位每月获利为s 元，则s ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12（x －400）2＋35 000．因为x ∈[300，600]，所以s ∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．[B 组能力提升练]1．（2021·吕梁月考）一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0（a >b ）的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－1a ，则a 2＋b 2a －b的最小值是（）A ．1B ．2C ． 2D ．22解析：∵一元二次不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－1a ，∴a >0且Δ＝4－4ab ＝0，即ab ＝1，且a >b >0，∴a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2aba －b＝a －b ＋2a －b≥22，当且仅当a ＝6＋22，b ＝6－22时等号成立，∴a 2＋b 2a －b的最小值为22．答案：D2．设函数f （x ）＝x a －x 2－12对任意x ∈[－1，1]，都有f （x ）≤0成立，则a ＝（）A ．4B ．3C ． 2D ．1解析：由a －x 2≥0对任意x ∈[－1，1]恒成立得a ≥1；又由f （x ）＝x a －x 2－12≤x 2＋a －x 22－12≤0得a ≤1，所以a ＝1．答案：D3．（2021·吉安期中测试）设正数x ，y 满足x ＋y ＝1，若不等式1x ＋ay≥4对任意的x ，y 成立，则正实数a 的取值范围是（） A ．[4，＋∞） B ．（1，＋∞） C ．[1，＋∞） D ．（4，＋∞）解析：∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，a >0，∴1x ＋a y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋a y （x ＋y ）＝a ＋1＋y x ＋axy≥a ＋1＋2a ， ∴a ＋2a ＋1≥4，即a ＋2a －3≥0，解得a ≥1．答案：C4．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是边BC 上的动点，且|AB →|＝3，|AC →|＝4，AD →＝λAB →＋μAC→（λ>0，μ>0），则当λμ取得最大值时，|AD →|的值为（）A ．72B ．3C ．52D ．125解析：∵点D 是边BC 上的动点且AD →＝λAB →＋μAC →（λ>0，μ>0），∴λ＋μ＝1，∴λμ≤（λ＋μ）24＝14，当且仅当λ＝μ＝12时等号成立，λμ取得最大值，此时点D是边BC 的中点，∴|AD →|＝12|BC →|，∵|AB →|＝3，|AC →|＝4，∠BAC ＝90°，∴|AD →|＝12|BC →|＝52．答案：C 5．（2021·上海普陀区月考）设正数a ，b 满足2a ＋3b ＝ab ，则a ＋b 的最小值是________．解析：∵2a ＋3b ＝ab ，a >0，b >0，∴3a ＋2b＝1，∴a ＋b ＝（a ＋b ）⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝2a b ＋3b a ＋5≥26＋5，当且仅当2a 2＝3b 2时等号成立，∴a ＋b 的最小值为26＋5．答案：26＋56．（2021·鹤岗一中月考）已知x <0，且x －y ＝1，则x ＋12y ＋1的最大值是________．解析：∵x <0，且x －y ＝1，∴x ＝y ＋1，y <－1，∴x ＋12y ＋1＝y ＋1＋12y ＋1＝y ＋12＋12y ＋12＋12，∵y ＋12<0，∴y ＋12＋12y ＋12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎫y ＋12＋12－⎝⎛⎭⎫y ＋12≤－2，当且仅当y ＝－1＋22时等号成立，∴x ＋12y ＋1≤12－2，∴x ＋12y ＋1的最大值为12－2．答案：12－27．（2021·唐山模拟）已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1．（1）求证：a ＋b ≤2；（2）判断等式ac ＋bd ＝c ＋d 能否成立，并说明理由．解析：（1）证明：由题意得（a ＋b ）2＝3ab ＋1≤3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋1，当且仅当a ＝b 时取等号．解得（a ＋b ）2≤4，又a ，b >0，所以a ＋b ≤2．（2）不能成立．理由：由均值不等式得ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2，当且仅当a ＝c 且b ＝d 时等号成立．因为a ＋b ≤2，所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d2．因为c >0，d >0，cd >1，所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d 2＋cd >c ＋d2＋1≥ac ＋bd ，故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成立．[C 组创新应用练]1．已知f （x ）＝13x 3＋ax 2＋（b －4）x （a >0，b >0）在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b的最小值为（）A ．3＋223B ．3＋22C ．3D ．22解析：由f （x ）＝13x 3＋ax 2＋（b －4）x （a >0，b >0），得f ′（x ）＝x 2＋2ax ＋b －4．由题意得f ′（1）＝12＋2a ＋b －4＝0，则2a ＋b ＝3，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×2a ＋b 3＝13⎝⎛⎭⎫2a ＋1b （2a ＋b ）＝13⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝3，当且仅当2b a ＝2a b ，即a ＝b ＝1时，等号成立．故2a ＋1b 的最小值为3．答案：C2．若直线l ：ax －by ＋2＝0（a >0，b >0）经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则1a ＋1b的最小值为（） A ．2 2 B ．2C ．22＋1D ．2＋32解析：直线ax －by ＋2＝0（a >0，b >0）经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，即圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心（－1，2）在直线ax －by ＋2＝0上，可得－a －2b ＋2＝0，即a ＋2b ＝2，所以1a ＋1b ＝12（a ＋2b ）⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝32＋12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a b ≥32＋ 2b a ·a b ＝32＋2，当且仅当2b a ＝a b时等号成立，所以1a ＋1b 的最小值为32＋2．答案：D3．已知棱长为6的正四面体ABCD ，在侧棱AB 上任取一点E （与A ，B 不重合），若点E 到平面ACD 与平面BCD 的距离分别为a ，b ，则43a ＋1b的最小值为（）A ．72 B ．7＋336C ．7＋436D ．76解析：如图，连接CE ，DE ，设O 为底面三角形BCD 的中心，连接OA ，则正四面体的高OA＝2．因为V A BCD ＝V E BCD ＋V E ACD ，所以a ＋b ＝2，所以43a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫43a ＋1b （a ＋b ）＝12⎝⎛⎭⎫73＋4b 3a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫73＋24b 3a ·a b ＝7＋436，当且仅当4b 3a ＝a b ，即b ＝32a 时取等号．答案：C不等式的性质、一元二次不等式[A 组基础保分练]1．已知a ，b ∈R ，若a ＜b ，则一定有（） A ．a ＜2b B ．ab ＜b 2C ．a 12＜b 12D ．a 3＜b 3解析：因为－2＜－1，而－2＜2×（－1）不成立，A 项错误；当b ＝0时，B 项错误；当两者均小于0时，根式没有意义，C 项错误；y ＝x 3是增函数，若a ＜b ，则a 3＜b 3，D 项正确．答案：D2．设m ＝6－5，n ＝7－6，p ＝8－7，则m ，n ，p 的大小关系为（） A ．m ＞p ＞n B ．p ＞n ＞m C ．n ＞m ＞p D ．m ＞n ＞p解析：m －n ＝6－5－7＋6＝26－（5＋7），因为（26）2＝24，（5＋7）2＝12＋235＜12＋2×6＝24，所以m －n ＞0，同理n ＞p ，所以m ，n ，p 的大小关系是m ＞n ＞p ．答案：D 3．（2021·湖北黄冈元月调研）关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是（1，＋∞），则关于x 的不等式（ax ＋b ）（x －2）<0的解集是（） A ．（－∞，1）∪（2，＋∞） B ．（－1，2） C ．（1，2） D ．（－∞，－1）∪（2，＋∞）解析：因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是（1，＋∞），所以a >0，且－ba＝1，所以关于x的不等式（ax ＋b ）（x －2）<0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋ba （x －2）<0，即（x －1）（x －2）<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}．答案：C 4．（2021·六安一中第四次月考）在区间（1，2）上，不等式x 2＋mx ＋4＞0有解，则m 的取值范围为（） A ．m ＞－4 B ．m ＜－4 C ．m ＞－5 D ．m ＜－5解析：记f （x ）＝x 2＋mx ＋4，则由二次函数的图像知，f （1）＞0或f （2）＞0时，不等式x 2＋mx ＋4＞0一定有解，即m ＋5＞0或2m ＋8＞0，解得m ＞－5．答案：C5．若存在x ∈[－2，3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，则实数a 的取值范围是（） A ．（－∞，1] B ．（－∞，－8] C ．[1，＋∞） D ．[－8，＋∞）解析：设f （x ）＝2x －x 2，则当x ∈[－2，3]时，f （x ）＝－（x －1）2＋1∈[－8，1]，因为存在x ∈[－2，3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，所以a ≤f （x ）max ，所以a ≤1．答案：A 6．若命题“存在x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是（） A ．[2，6] B ．[－6，－2] C ．（2，6） D ．（－6，－2）解析：由题意知不等式x 2＋mx ＋2m －3≥0对一切x ∈R 恒成立，所以Δ＝m 2－4（2m －3）≤0，解得2≤m ≤6．答案：A7．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b．所以a ＜b和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b ．答案：a ＜0＜b8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是（－∞，－1）∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝________．解析：ax －1x ＋1＜0⇔（ax －1）（x ＋1）＜0，根据解集的结构可知，a ＜0且1a ＝－12，∴a ＝－2．答案：－29．已知函数f （x ）＝kx 2＋kx ＋2（k ∈R ）．（1）若k ＝－1，求不等式f （x ）≤0的解集；（2）若不等式f （x ）＞0的解集为R ，求实数k 的取值范围．解析：（1）若k ＝－1，则f （x ）＝－x 2－x ＋2≤0， x 2＋x －2≥0，即x ≤－2或x ≥1，所以不等式的解集为（－∞，－2]∪[1，＋∞）．（2）当k ＝0时，f （x ）＝2＞0，显然恒成立，解集为R ；当k ≠0时，要使f （x ）＝kx 2＋kx ＋2＞0的解集为R ，则k ＞0且Δ＝k 2－8k ＜0，即0＜k ＜8．综上所述，k ∈[0，8）．10．设二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，函数F （x ）＝f （x ）－x 的两个零点为m ，n （m ＜n ）．（1）若m ＝－1，n ＝2，求不等式F （x ）＞0的解集；（2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f （x ）与m 的大小．解析：（1）由题意知，F （x ）＝f （x ）－x ＝a （x －m ）·（x －n ），当m ＝－1，n ＝2时，不等式F （x ）＞0，即a （x ＋1）（x －2）＞0．当a ＞0时，不等式F （x ）＞0的解集为 {x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F （x ）＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}．（2）f （x ）－m ＝a （x －m ）（x －n ）＋x －m ＝（x －m ）（ax －an ＋1），因为a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，所以x －m ＜0，1－an ＋ax ＞0．所以f （x ）－m ＜0，即f （x ）＜m ．[B 组能力提升练]1．（2021·安徽蒙城五校联考）在关于x 的不等式x 2－（a ＋1）x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是（） A ．（－3，5） B ．（－2，4） C ． [－3，5] D ．[－2，4]解析：因为关于x 的不等式x 2－（a ＋1）x ＋a <0可化为（x －1）（x －a ）<0，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }；当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是a ∈[－2，4]．答案：D 2．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间（1，4）内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．a ＜－2 B ．a ＞－2 C ．a ＞－6 D ．a ＜－6解析：令g （x ）＝x 2－4x －2，不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间（1，4）内有解，等价于a ＜g （x ）的最大值，因为g （x ）＝（x －2）2－6，x ∈（1，4），所以g （x ）＜g （4）＝－2，所以a ＜－2．答案：A 3．已知函数f （x ）＝ax 2＋（a ＋2）x ＋a 2为偶函数，则不等式（x －2）f （x ）<0的解集为（） A ．（－2，2）∪（2，＋∞） B ．（－2，＋∞） C ．（2，＋∞） D ．（－2，2）解析：因为函数f （x ）＝ax 2＋（a ＋2）x ＋a 2为偶函数，所以a ＋2＝0，得a ＝－2，所以f （x ）＝－2x 2＋4，所以不等式（x －2）f （x ）<0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，f （x ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－2x 2＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－2x 2＋4<0，解得－2<x <2或x >2．故原不等式的解集为（－2，2）∪（2，＋∞）．答案：A4．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y ＜4＋xy ，则x 、y 的取值范围是（） A ．x >2且y ＞2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2 D ．x >2且0<y <2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y ＞0，由2x ＋2y －4－xy ＝（x －2）·（2－y ）<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2. 答案：C 5．函数y ＝log 13（4x 2－3x ）的定义域为________．解析：函数y ＝log 13（4x 2－3x ）的定义域应保证满足0<4x 2－3x ≤1，解得－14≤x ＜0或34<x ≤1．答案：⎣⎡⎭⎫－14，0∪⎝⎛⎦⎤34，1 6．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b （a ，b 为非负实数），若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________．解析：因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b （a ，b 为非负实数），1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为（|k |＋2）（|k |－1）<0，所以|k |<1，所以－1<k <1．答案：（－1，1）7．已知函数f （x ）＝ax 2＋（b －8）x －a －ab ，当x ∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f （x ）<0，当x ∈（－3，2）时，f （x ）>0．（1）求f （x ）在[0，1]内的值域；（2）若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．解析：（1）因为当x ∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f （x ）<0，当x ∈（－3，2）时，f （x ）>0．所以－3，2是方程ax 2＋（b －8）x －a －ab ＝0的两个根．所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－ba，－3×2＝－a －aba，所以a ＝－3，b ＝5．所以f （x ）＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋754．因为函数图像关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f （x ）在[0，1]上为减函数，所以f （x ）max ＝f （0）＝18，f （x ）min ＝f （1）＝12，故f （x ）在[0，1]内的值域为[12，18]．（2）由（1）知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－2512． [C 组创新应用练]1．若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则（） A ．a ＋b －c 的最小值为2 B ．a －b ＋c 的最小值为－4 C ．a ＋b －c 的最大值为4 D ．a －b ＋c 的最大值为6解析：当x ＝1，y ＝－1时，－6≤a －b ＋c ≤4，所以a －b ＋c 的最小值为－6，最大值为4，故B 、D 两项错误；当x ＝－1，y ＝－1时，－12≤－a －b ＋c ≤－2，则2≤a ＋b －c ≤12，所以a ＋b －c 的最小值为2，最大值为12，故A 项正确，C 项错误．答案：A2．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）＝x 3，若不等式f （－4t ）＞f （2m ＋mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．（－∞，－2） B ．（－2，0） C ．（－∞，0）∪[2，＋∞） D ．（－∞，－2）∪[2，＋∞）解析：∵f （x ）在R 上为奇函数，且在[0，＋∞）上为增函数，∴f （x ）在R 上是增函数，结合题意得－4t ＞2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m ＜0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝16－8m 2＜0⇒m ∈（－∞，－2）．答案：A3．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为________．解析：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a c ，a ＋c >b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1ca ，1＋c a >b a，所以⎩⎨⎧1<b a ＋ca≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2×c a <4，所以ca的取值范围为（0，2）．答案：（0，2）。

高考数学一轮复习课时过关检测四基本不等式含解析

课时过关检测(四) 基本不等式A 级——基础达标1．(2022·扬州市高三联考)设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值为( )A ．3B ．3－3 2C ．3－2 3D ．－1解析：C ∵x >0，∴y ＝3－3x －1x≤3－23x ·1x ＝3－23，当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立．故选C ．2．已知直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则ab 的最大值是( ) A ．14 B ．12 C ．22D ．1解析：A 根据题意，圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，半径r ＝1，若直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则有|－1|a 2＋4b2＝1，变形可得a 2＋4b 2＝1，又由1＝a 2＋4b 2≥4ab ，变形可得ab ≤14，当且仅当a ＝2b 时等号成立，故ab 的最大值是14，故选A ．3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：C 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．4．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，若不等式2x ＋1y≥m 2＋7m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．－8≤m ≤1B ．m ≤－8或m ≥1C ．－1≤m ≤8D ．m ≤－1或m ≥8解析：A ∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝1，∴2x ＋1y＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy＋4≥4＋24＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫当4y x ＝x y ，即x ＝2y ＝12时取等号，∵不等式2x ＋1y ≥m 2＋7m 恒成立，∴m 2＋7m ≤8，解得－8≤m ≤1．故选A ．5．已知双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 25＋y 22＝1有相同的焦点，则4m ＋1n的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：B 由题意双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 25＋y 22＝1有相同的焦点，∴m ＋n ＝5－2＝3，∴4m ＋1n ＝13(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝13⎝⎛⎭⎪⎫5＋4n m ＋m n ≥13·⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24n m·m n ＝3，当且仅当4n m＝m n ，即m ＝2n 时等号成立，故4m ＋1n的最小值为3，故选B ． 6．(多选)下列不等式一定成立的有( ) A ．x ＋1x≥2B ．2x (1－x )≤14C ．x 2＋3x 2＋1≥23－1 D ．x ＋1x≥2解析：CD 对于A ，当x <0时，x ＋1x<0，故A 错误；对于B,2x (1－x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12≤12，故B 错误；对于C ，x 2＋3x 2＋1＝x 2＋1＋3x 2＋1－1≥2 x 2＋1·3x 2＋1－1＝23－1，当且仅当x 2＝3－1时取等号，故C 正确；对于D ，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，故D 正确，故选C 、D ．7．(多选)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝2，则下列说法中正确的是( ) A ．xy 的最大值为12B ．4x 2＋y 2的最大值为2 C ．4x＋2y的最小值为4D ．2x ＋xy的最小值为4解析：ACD 由2＝2x ＋y ≥22x ×y ⇒xy ≤12，当2x ＝y 时等号成立，所以A 正确；4x 2＋y 2＝(2x ＋y )2－4xy ＝4－4xy ≥2，所以4x 2＋y 2的最小值为2，故B 不正确；由2＝2x ＋y ，得4x＋2y＝4x＋22－2x＝4x＋44x ≥4，当x ＝12时等号成立，故C 正确；由2＝2x ＋y ，得2x ＋x y ＝2x ＋y x ＋x y ＝2＋y x ＋xy≥4，当x ＝y 时等号成立，故D 正确．故选A 、C 、D ．8．若log 2m ＋log 2n ＝1，那么m ＋n 的最小值是________．解析：∵log 2m ＋log 2n ＝1，即log 2(mn )＝1，∴mn ＝2，由基本不等式可得m ＋n ≥2mn ＝22，当且仅当m ＝n 时，等号成立，故m ＋n 的最小值是22．答案：2 29．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1 ≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3．设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42，当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173．∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞10．(2022·临汾二模)已知a ，b 为正实数，且满足a ＋b ＝1．证明： (1)a 2＋b 2≥12；(2)1a ＋2b≥1＋2．证明：(1)因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以a 2＋b 2＝12(a 2＋b 2＋a 2＋b 2)≥12(a 2＋b 2＋2ab )＝12(a ＋b )2＝12(当且仅当a ＝b 取等号)．(2)1a＋2b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝3＋2a b ＋b a≥3＋22a b ×ba＝3＋22＝(1＋2)2⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b＝b a，即a ＝2－1，b ＝2－2时等号成立，所以1a ＋2b≥1＋2．B 级——综合应用11．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：B 因为函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以1m ＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋n m ＋4m n ≥12⎝⎛⎭⎪⎫4＋2n m ·4m n ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝2，n m ＝4m n，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝1取等号，所以1m ＋2n的最小值为4，故选B ．12．(2022·重庆一模)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S ＝pp －a p －b p －c 求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＝3，b ＋c ＝5，则此三角形面积的最大值为( )A ．32 B ．3 C ．7D ．11解析：B 由题意p ＝12×(3＋5)＝4，S ＝44－a4－b4－c＝44－b4－c ＝24－b 4－c ≤8－(b ＋c )＝3，当且仅当4－b ＝4－c ，即b＝c ＝52时等号成立，∴此三角形面积的最大值为3．故选B ．13．写出一个关于a 与b 的等式，使1a 2＋9b2是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为__________．解析：该等式可为a 2＋b 2＝1，下面证明该等式符合条件．1a 2＋9b2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋9b 2(a 2＋b 2)＝1＋9＋9a 2b 2＋b2a2≥10＋29a2b 2·b 2a 2＝16，当且仅当b 2＝3a 2时取等号，所以1a 2＋9b2是一个变量，且它的最小值为16．答案：a 2＋b 2＝1(答案不唯一)14．(2022·湘东联考)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，求2a ＋1b的最小值．解：因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4．因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，所以1＋2a ＋b －4＝0，可得2a ＋b ＝3．所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·13·(2a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22b a·2a b ＝3(当且仅当a ＝b ＝1时取等号)．C 级——迁移创新15．(多选)(2022·临沂高三模拟)已知a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥13B ．ab ＋bc ＋ac ≥13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13⎝ ⎛⎭⎪⎫b －13⎝ ⎛⎭⎪⎫c －13≤0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8 解析：AD a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1．A 项，1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≤a 2＋b 2＋c 2＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)，所以a 2＋b 2＋c 2≥13，当且仅当a ＝b ＝c＝13时取等号，故正确；B 项，a 2＋b 2≥2ab ，c 2＋b 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，由1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3ab ＋3bc ＋3ac ，即ab ＋bc ＋ac ≤13，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，故错误；C 项，当a ＝12，b ＝14，c ＝14时，⎝⎛⎭⎪⎫a －13⎝⎛⎭⎪⎫b －13⎝ ⎛⎭⎪⎫c －13>0，故错误；D 项，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c ≥2b a ·c a ·2 a b ·c b ·2 a c ·b c ＝8．当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，故正确．故选A 、D ．16．甲、乙两地相距1 000 km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h ，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14，固定成本为a 元． (1)将全程运输成本y (单位：元)表示为速度v (单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？解：(1)由题意，得可变成本为14v 2元，固定成本为a 元，所用时间为1 000v ，所以y ＝1 000v ⎝ ⎛⎭⎪⎫14v 2＋a ＝1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫14v ＋a v ，定义域为(0,80]． (2)y ＝1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫14v ＋a v ≥1 000×2a4＝1 000a (元)，当14v ＝av时，得v ＝2a ，因为0<v ≤80，所以当0<a ≤1 600时，货车以v ＝2a km/h 的速度行驶，全程运输成本最小；当a ≥1 600时，货车以80 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小．。

【步步高】高考数学第一轮复习(典型题+详解)常考不等式、推理与证明专项基础训练

常考题型强化练——不等式、推理与证明A 组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.“|x |<2”是“x 2－x －6<0”的什么条件( ) A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要答案 A解析不等式|x |<2的解集是(－2,2)，而不等式x 2－x －6<0的解集是(－2,3)，于是当x ∈(－2,2)时，可得x ∈(－2，3)，反之则不成立，故选A.2.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)( ) A.8 B.9 C.10 D.11答案 C解析设使用x 年的年平均费用为y 万元.由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x 2x，即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *). 由基本不等式知y ≥1＋2 10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x 10，即x ＝10时取等号.因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元.3.(2013·四川)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( ) A.48B.30C.24D.16答案 C解析画出可行域如图阴影部分(包括边界)易解得A (4,4)，B (8,0)，C (0,2).对目标函数令z ＝0作出直线l 0，上下平移易知过点A (4,4)，z 最大＝16，过点B (8,0)，z 最小＝－8，即a ＝16，b ＝－8，∴a －b ＝24.选C.4.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)(α>0)，则不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫1α，1βB.⎝⎛⎭⎫－1α，－1βC.⎝⎛⎭⎫1，1D.⎝⎛⎭⎫－1，－1 答案 C解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)，则a <0，α＋β＝－b a ，αβ＝c a，而不等式cx 2＋bx ＋a >0可化为c a x 2＋b a x ＋1<0，即αβx 2－(α＋β)x ＋1<0，可得(αx －1)(βx －1)<0，即⎝⎛⎭⎫x －1α⎝⎛⎭⎫x －1β<0，所以其解集是⎝⎛⎭⎫1β，1α，故选C. 5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若存在正整数m ，n (m <n )，使得S m ＝S n ，则S m ＋n ＝0.类比上述结论，设正项等比数列{b n }的前n 项积为T n .若存在正整数m ，n (m <n )，使T m ＝T n ，则T m ＋n 等于( ) A.0 B.1 C.m ＋n D.mn答案 B解析因为T m ＝T n ，所以b m ＋1b m ＋2…b n ＝1，从而b m ＋1b n ＝1，T m ＋n ＝b 1b 2…b m b m ＋1…b n b n ＋1…b n ＋m －1b n ＋m ＝(b 1b n ＋m )·(b 2b n ＋m －1)…(b m b n ＋1)·(b m ＋1b n )＝1.二、填空题6.已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是____________. 答案 (－4,2)解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋1y＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y，即4y 2＝x 2，x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y＝1，此时x ＝4，y ＝2， ∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.7.已知点P (x ，y )在曲线y ＝1x上运动，作PM 垂直于x 轴于M ，则△OPM (O 为坐标原点)的周长的最小值为______________________________________________________.答案 2＋ 2解析三角形OPM 的周长为 |x |＋1|x |＋x 2＋1x2≥ 2·|x |·1|x |＋ 2·x 2·1x2＝2＋ 2 (当且仅当|x |＝1|x |时，即|x |＝1时取等号). 8.已知对于任意实数α，我们有正弦恒等式sin αsin(π3－α)·sin(π3＋α)＝14sin 3α，也有余弦恒等式cos αcos(π3－α)·cos(π3＋α)＝14cos 3α，类比以上结论对于使正切有意义的α，可以推理得正切恒等式为________________.答案 tan αtan(π3－α)tan(π3＋α)＝tan 3α 三、解答题9.在一条直线型的工艺流水线上有3个工作台，将工艺流水线用如下图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x 1，x 2，x 3，每个工作台上有若干名工人.现要在x 1与x 3之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短.(1)若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置； (2)设工作台从左到右的人数依次为2,1,3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值.解设供应站坐标为x ，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d (x ).(1)由题设，知x 1≤x ≤x 3，所以d (x )＝x －x 1＋|x －x 2|＋x 3－x ＝|x －x 2|－x 1＋x 3，故当x ＝x 2时，d (x )取最小值，此时供应站的位置为x ＝x 2.(2)由题设，知x 1≤x ≤x 3，所以d (x )＝2(x －x 1)＋|x －x 2|＋3(x 3－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3x 3＋x 2－2x 1，x 1≤x <x 2，3x 3－x 2－2x 1，x 2≤x ≤x 3.因此，函数d (x )在区间[x 1，x 2]上是减函数，在区间[x 2，x 3]上是常数.故供应站位置位于区间[x 2，x 3]上任意一点时，均能使函数d (x )取得最小值，且最小值为3x 3－x 2－2x 1.10.某市政府为了打造宜居城市，计划在公园内新建一个如下图所示的矩形ABCD 的休闲区，内部是矩形景观区A 1B 1C 1D 1，景观区四周是人行道，已知景观区的面积为8 000平方米，人行道的宽为5米(如下图所示).(1)设景观区的宽B 1C 1的长度为x (米)，求休闲区ABCD 所占面积S 关于x 的函数；(2)规划要求景观区的宽B 1C 1的长度不能超过50米，如何设计景观区的长和宽，才能使休闲区ABCD 所占面积最小？解 (1)因为AB ＝10＋8 000x，BC ＝10＋x ，所以S ＝⎝⎛⎭⎫10＋8 000x (10＋x ) ＝8 100＋80 000x＋10x (x >0). 所以休闲区ABCD 所占面积S 关于x 的函数是S ＝8 100＋80 000x＋10x (x >0). (2)S ＝8 100＋80 000x＋10x (0<x ≤50)，令S′＝10－80 000x2＝0，得x＝405或x＝－405(舍去). 所以当0<x≤50时，S′<0，故S＝8 100＋80 000x＋10x在(0,50]上单调递减.所以函数S＝8 100＋80 000x ＋10x(0<x≤50)在x＝50取得最小值，此时A1B1＝8 00050＝160(米).所以当景观区的长为160米，宽为50米时，休闲区ABCD所占面积S最小.B 组专项能力提升(时间：25分钟)1.某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最小值为 ( ) A.18B.27C.20D.16答案 A解析平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18. 当且仅当t ＝16t，即t ＝4∈(0,30]时等号成立，即平均销售量的最小值为18.2.某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆.若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为( )A.11 280元B.12 480元C.10 280元D.11 480元答案 B解析设租用的卡车和农用车分别为x 辆和y 辆，运完全部黄瓜支出的运费为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤100≤y ≤208x ＋2.5y ≥100x ∈N *y ∈N *，目标函数z ＝960x ＋360y ，此不等式组表示的可行域是△ABC (其中A (10,8)，B (10,20)，C (6.25,20))内横坐标和纵坐标均为整数的点.当直线l ：z ＝960x ＋360y 经过点A (10,8)时，运费最低，且其最低运费z min ＝960×10＋360×8＝12 480(元)，选B.3.如图所示，要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的四周留出左右宽2米，上下宽1米的小路，则占地总面积的最小值是________平方米.答案 968解析设鱼池的长EH ＝x ，则EF ＝800x，占地总面积是(x ＋4)·⎝⎛⎭⎫800x ＋2＝808＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ≥808＋2·2x ·1 600x＝968. 当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，取等号. 4.我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy 中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且其法向量为n ＝(1，－2)的直线方程为1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系Oxyz 中，经过点A (1,2,3)，且其法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面方程为________. 答案 x ＋2y －z －2＝0解析设P (x ，y ，z )为空间内任意一点，则类比上述结论可得AP →·n ＝(x －1，y －2，z －3)·(－1，－2,1)＝0，整理得x ＋2y －z －2＝0.5.某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P 与日产量x (x ∈N *)件之间的关系为P ＝4 200－x 24 500，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元.(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y (元)表示成日产量x (件)的函数；(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值.解 (1)∵y ＝4 000·4 200－x 24 500·x －2 000⎝⎛⎭⎪⎫1－4 200－x 24 500·x ＝3 600x －43x 3， ∴所求的函数关系式是y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40). (2)由(1)知y ′＝3 600－4x 2.令y ′＝0，解得x ＝30.∴当1≤x <30时，y ′>0；当30<x ≤40时，y ′<0.∴函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40)在(1,30)上是单调递增函数，在(30,40)上是单调递减函数.∴当x＝30时，函数y＝－43＋3 600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值，3x最大值为－43＋3 600×30＝72 000(元).3×30∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大值为72 000元.。

【2022届高三数学一轮复习】专题1

专题1.8 基本不等式-重难点题型精练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2021•三模拟）已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝3ab ，则ab 的最小值为（） A ．1B ．89C ．49D ．2√23【分析】利用已知条件推出1b +2a =3，然后利用基本不等式转化求解即可．【解答】解：因为a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝3ab ，所以1b +2a =3，所以3=1b +2a ≥2√2ab ，所以√ab ≥2√23，即ab ≥89当且仅当{1b =2aa +2b =3ab即a =43，b =23时等号成立，故ab 的最小值89．故选：B ．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 2．（5分）（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（） A ．y ＝x 2+2x +4 B ．y ＝|sin x |+4|sinx| C ．y ＝2x +22﹣xD ．y ＝lnx +4lnx【分析】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A ，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B ，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C ，利用特殊值验证，即可判断选项D ．【解答】解：对于A ，y ＝x 2+2x +4＝（x +1）2+3≥3，所以函数的最小值为3，故选项A 错误；对于B ，因为0＜|sin x |≤1，所以y ＝|sin x |+4|sinx|≥2√|sinx|⋅4|sinx|=4，当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sin x |＝2时取等号，因为|sin x |≤1，所以等号取不到，所以y ＝|sin x |+4|sinx|＞4，故选项B 错误；对于C ，因为2x ＞0，所以y ＝2x +22﹣x =2x +42x ≥2√2x ⋅42x =4，当且仅当2x ＝2，即x ＝1时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C 正确；对于D ，因为当x =1e 时，y =ln 1e +4ln 1e=−1−4=−5＜4，所以函数的最小值不是4，故选项D 错误．故选：C ．【点评】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题． 3．（5分）（2021•和平区校级模拟）实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是（）A ．4B ．6C ．32D ．83【分析】利用基本不等式得到ab 的范围，可解决此题．【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，∴4＝a +b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤4． ∴a 2a+1+b 2b+1=a 2(b+1)+b 2(a+1)(a+1)(b+1)=a 2+b 2+ab(a+b)ab+a+b+1=(a+b)2−2ab+4abab+5=16+2ab ab+5=2(ab+5)+6ab+5=2+6ab+5∈[83，165）．∴最小值为83．故选：D ．【点评】本题考查基本不等式应用、转化思想，考查数学运算能力，属于中档题．4．（5分）（2021•包头二模）在△ABC 中，已知C ＝60°，AB ＝4，则△ABC 周长的最大值为（） A ．8B ．10C ．12D ．14【分析】根据余弦定理算出（a +b ）2＝16+3ab ，再利用基本不等式加以计算可得a +b ≤8，即可得到△ABC周长的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝c ＝4，∴由余弦定理，得c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，即16＝a 2+b 2﹣2ab cos60°＝a 2+b 2﹣ab ≥2ab ﹣ab ＝ab （当且仅当a ＝b ＝4时等号成立）， ∵16＝a 2+b 2﹣ab ＝（a +b ）2﹣3ab ，∴（a +b ）2≤16+3ab ≤16+3×16＝64，由此可得a +b ≤8（当且仅当a ＝b ＝4时等号成立），∴△ABC 周长a +b +c ≤8+4＝12（当且仅当a ＝b ＝4时等号成立），即当且仅当a ＝b ＝4时，△ABC 周长的最大值为12．故选：C ．【点评】本题给出三角形的一边和它的对角，求周长的最大值，着重考查了用余弦定理解三角形和基本不等式求最值等知识，属于中档题．5．（5分）（2021•南通模拟）已知x ＞0，y ＞0，且x +y ＝1，则下列结论中正确的是（） A ．1x+1y 有最小值4B ．xy 有最小值14C ．2x +2y 有最大值√2D ．√x +√y 有最大值2【分析】利用“乘一法”及基本不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，且x +y ＝1，对于A ，1x +1y=（1x+1y）（x +y ）＝2+x y +yx ≥4，故A 正确，对于B ，∵x +y ≥2√xy ，∴xy ≤（x+y 2）2=14，故B 错误，对于C ，2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2，故C 错误，对于D ，（√x +√y ）2＝x +y +2√xy =1+2√xy ，∵xy 有最大值14，故（√x +√y ）2有最大值2，故D 错误，故选：A ．【点评】本题考查基本不等式的性质，同时考查学生的运算能力．属于基础题．6．（5分）（2021•湖南模拟）数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords ，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD ＝a ，BD ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．a+b 2≥√ab （a ＞0，b ＞0）B ．2aba+b ≤√ab （a ＞0，b ＞0）C ．a+b 2≤√a 2+b 22（a ＞0，b ＞0）D ．a 2+b 2≥2√ab （a ＞0，b ＞0）【分析】由已知图形先求出OC ，CD ，然后结合OC ≤CD 即可判断．【解答】解：由题意得AB ＝AD +BD ＝a +b ，CO =12（a +b ），OD ＝OB ﹣DB =12（a +b ）﹣b =12（a ﹣b ），Rt △OCD 中，CD 2＝OC 2+OD 2=(a+b)24+(a−b)24=a 2+b 22，因为OC ≤CD ，所以12（a +b ）≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时取等号，故选：C ．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，体现了转化思想的应用，属于基础题．7．（5分）（2021•浙江模拟）已知直线l 过第一象限的点（m ，n ）和（1，5），直线l 的倾斜角为135°，则1m+4n的最小值为（）A ．4B ．9C ．23D ．32【分析】根据题意，由直线的斜率计算公式可得n−5m−1=−1，变形可得m +n ＝6，则有1m+4n=16×（1m+4n）（m +n ）=16（5+4m n +nm），结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线l 过第一象限的点（m ，n ）和（1，5），直线l 的倾斜角为135°，则n−5m−1=−1，变形可得m +n ＝6，则1m+4n=16×（1m +4n）（m +n ）=16（5+4m n +nm ），又由点（m ，n ）在第一象限，即m ＞0，n ＞0，则有4m n+nm≥2√4m n ×nm =4，当且仅当n ＝2m 时等号成立，故1m +4n =16（5+4m n +n m ）≥32，即1m +4n 的最小值为32，故选：D ．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的斜率，属于基础题．8．（5分）（2021•1月份模拟）已知a ，b ，c ∈[12，1]，则a 2+2b 2+c 2ab+bc的取值范围是（）A ．[2，3]B ．[52，3]C ．[2，52]D ．[1，3]【分析】由a 2+2b 2+c 2＝a 2+b 2+b 2+c 2，然后利用重要不等式得到a 2+2b 2+c 2ab+bc≥2，根据12≤a b≤2，12≤b a≤2，构造对勾函数，然后结合其性质可求．【解答】解：a 2+2b 2+c 2ab+bc=a 2+b 2+b 2+c 2ab+bc≥2ab+2bc ab+bc=2，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，因为12≤a ≤1，12≤b ≤1，所以12≤a b≤2，12≤b a≤2，令f （x ）＝x +1x ，12≤x ≤2，根据对勾函数单调性知，当x ＝1时，函数取得最小值2，当x ＝2或12时，函数取得最大值52，故2≤f(x)≤52，所以2≤b a +a b ≤52，即a 2+b 2≤52ab ，同理b 2+c 2≤52bc ，所以a 2+2b 2+c 2≤52(ab +bc)，所以a 2+2b 2+c 2ab+bc≤52．所以2≤a 2+2b 2+c 2ab+bc ≤52．故选：C ．【点评】本题主要考查了基本不等式，不等式的性质及对勾函数单调性在求解范围及最值中的应用，试题的变形比较灵活，属于中档题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021•二模拟）已知正数a ，b 满足ab ＝a +b ，则（） A ．1a−1+1b−1≥2B ．1a 2+1b 2≥12C ．2−a +2−b ≥12D ．log 2a +log 2b ≥2【分析】由ab ＝a +b ，转化为（a ﹣1）（b ﹣1）＝1，可判断A ；由ab ＝a +b 转化为1a +1b=1，再结合2（a 2+b 2）≥（a +b ）2可判断B ；取a ＝b ＝3可判断C ；由ab =a +b ≥2√ab ，得ab ≥4，可判断D ．【解答】解：因为正数a ，b 满足ab ＝a +b ，所以（a ﹣1）（b ﹣1）＝1，且a ＞1，b ＞1，所以1a−1+1b−1≥2√1(a−1)(b−1)=2，∴A 对；由ab ＝a +b 可得1a+1b=1，所以2(1a 2+1b 2)≥(1a +1b )2=1，即1a 2+1b 2≥12，故B 正确；当a ＝b ＝3时，2−3+2−3=14＜12，故C 错误；因为ab =a +b ≥2√ab ，所以ab ≥4，所以log 2a +log 2b ＝log 2（ab ）≥log 24＝2，故D 正确．故选：ABD ．【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．10．（5分）（2021•B 卷模拟）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1，则下列结论正确的是（） A ．（a +b ）√c ≥2 B ．1a +1b+1c≤a 2+b 2+c 2C ．若0＜c ≤1，则（a +1）（b +1）＜4D ．a 2b 2+2b 2c ≥3【分析】（a +b ）√c 转化为（a +b ）√1ab 可判断A ；1a+1b+1c转化为ab +bc +ac 可判断B ；由0＜c ≤1可知ab ≥1，则（a +1）（b +1）＝ab +a +b +1，利用基本不等式可判断C ； 2b 2c 转化为2b 2•1ab=2b a可判断D ．【解答】解：∵a ，b ，c 为正数，abc ＝1∴（a +b ）√c =（a +b ）√1ab ≥2√ab •√1ab =2，∴A 对；∵a ，b ，c 为正数，abc ＝1，∴1a +1b +1c=ab +bc +ac ≤a 2+b 22+b 2+c 22+a 2+c 22=a 2+b 2+c 2，∴B 对；由0＜c ≤1，abc ＝1可知ab ≥1，∵a ，b 为正数，∴（a +1）（b +1）＝ab +a +b +1≥ab +2√ab +1≥4，∴C 错；∵a ，b ，c 为正数，abc ＝1，∴a 2b 2+2b 2c =a 2b2+2b 2•1ab=a 2b 2+b a+b a≥3√a 2b 2⋅b a ⋅ba3=3，∴D 对．故选：ABD ．【点评】本题考查基本不等式及应用，考查数学运算能力，属于中档题． 11．（5分）（2021•辽宁模拟）设x ＞0，y ＞0，则下列结论正确的是（） A ．不等式(x +y)(1x +1y )≥4恒成立B ．函数f （x ）＝3x +3﹣x的最小值为2C ．函数f(x)=xx 2+3x+1的最大值为15D ．若x +y ＝2，则12x+1+1y+1的最小值为 56【分析】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为x ＞0，y ＞0，（x +y ）（1x+1y ）＝2+yx+xy ≥4，当且仅当y x =x y时取等号，A 正确；因为3x ＞1，则f （x ）＝3x +3﹣x ≥2√3x ⋅3−x =2，当且仅当3x ＝3﹣x ，即x ＝0时取等号，但x ＞0，故B 错误； f(x)=xx 2+3x+1=1x+1x +3≤12+3=15，当且仅当x =1x ，即x ＝1时取等号，C 正确；因为x +y ＝2，所以2x +2y ＝4，则12x+1+1y+1=12x+1+22y+2=17（12x+1+22y+2）（2x +1+2y +2）=17（3+2y+22x+1+2x+1y+1）≥17(3+2√2)，当且仅当2y+22x+1=2x+1y+1时取等号，D 错误．故选：AC ．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的检验及配凑．12．（5分）（2021•山东二模）已知实数a ，b 满足a 2﹣ab +b ＝0（a ＞1），下列结论中正确的是（） A ．b ≥4B ．2a +b ≥8C ．1a+1b＞1 D ．ab ≥274【分析】A ．由验证可得：b =a 2a−1=a 2−1+1a−1=a +1+1a−1=a ﹣1+1a−1+2，利用基本不等式即可判断出正误；B .2a +b ＝2a +a +1+1a−1=3（a ﹣1）+1a−1+4利用基本不等式即可判断出正误； C ．由a ＞1，可得1a∈（0，1），1a+1b=1a+a−1a 2=−1a 2+2a=−(1a−1)2+1＞1，利用二次函数的单调性即可判断出正误；D ．ab ＝a •a 2a−1=a 3a−1，令f （x ）=x 3x−1，（x ＞1）．求出f ′（x ），利用导数研究函数的单调性即可判断出正误．【解答】解：实数a ，b 满足a 2﹣ab +b ＝0（a ＞1），A ．b =a 2a−1=a 2−1+1a−1=a +1+1a−1=a ﹣1+1a−1+2≥2√(a −1)⋅1a−1+2＝4，当且仅当a ＝2时取等号，因此正确；B .2a +b ＝2a +a +1+1a−1=3（a ﹣1）+1a−1+4≥2√3(a −1)⋅1a−1+4＝2√3+4，当且仅当a ＝1+√33取等号，因此不正确；C ．∵a ＞1，∴1a∈（0，1），1a+1b=1a+a−1a 2=−1a 2+2a=−(1a−1)2+1＜1，因此不正确；D ．ab ＝a •a 2a−1=a 3a−1，令f （x ）=x 3x−1，（x ＞1）．f ′（x ）=2x 2(x−32)(x−1)2，可得x =32时，函数f （x ）取得极小值，即最小值．f （32）=(32)332−1=274， ∴f （x ）≥274，即ab ≥274，因此正确．故选：AD ．【点评】本题考查了基本不等式、二次函数的单调性、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021•湖南模拟）已知a ＞b ，关于x 的不等式ax 2+2x +b ≥0对于一切实数x 恒成立，又存在实数x 0，使得ax 02+2x 0+b ＝0成立，则a 2+b 2a−b的最小值为 2√2 ．【分析】不等式ax 2+2x +b ≥0对于一切实数x 恒成立，可得△≤0，存在x 0∈R ，使ax 02+2x 0+b ＝0成立，则△≥0，可得ab 的等式关系，利用基本不等式的性质求解a 2+b 2a−b的最小值即可．【解答】解：由题意，不等式ax 2+2x +b ≥0对于一切实数x 恒成立，可得{a ＞04−4ab ≤0，解得ab ≥1，存在x 0∈R ，使ax 02+2x 0+b ＝0成立，则△≥0，即4﹣4ab ≥0，得ab ≤1， ∴ab ＝1，∵a ＞b ，∴a ＞1，∴a −1a ＞0，由b =1a ，a 2+b 2a−b=a 2+1a2a−1a=（a −1a ）+2a−1a≥2√2，当且仅当（a−1a）2＝2时取等号．故答案为：2√2．【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用和构造思想，特别是构造分子，分母适合基本不等式，属于中档题．14．（5分）（2021•鄞州区校级模拟）若实数x，y满足2x2+xy﹣y2＝1，则5x2﹣2xy+2y2的最小值为2．【分析】由已知2x2+xy﹣y2＝（2x﹣y）(x+y)＝1，而5x2﹣2xy+2y2＝（2x﹣y）2+(x+y)2，然后利用基本不等式即可求解，【解答】解：因为2x2+xy﹣y2＝（2x﹣y）(x+y)＝1，令t＝2x﹣y,则x+y=1 t,则5x2﹣2xy+2y2＝（2x﹣y）2+(x+y)2=t2+1t2≥2√t2⋅1t2=2,当且仅当t2=1t2，即t＝±1时取等号，此时5x2﹣2xy+2y2取最小值2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑，属于基础题．15．（5分）（2021•汕头三模）函数y＝a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则mn的最大值为124．【分析】先利用指数函数的性质求出定点A，然后利用点在直线上，得到3m+2n＝1，再利用基本不等式求解mn的最值即可．【解答】解：因为当x＝3时，y＝a3﹣3+1＝2，所以函数y＝a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（3，2），又点A在直线mx+ny﹣1＝0上，所以3m+2n﹣1＝0，即3m+2n＝1，因为m＞0，n＞0，所以mn=16⋅3m⋅2n≤16⋅(3m+2n2)2=16×14=124，当且仅当3m=2n=12，即m=16，n=14时取等号，所以mn的最大值为124．故答案为：124．【点评】本题考查了指数函数恒过定点问题，利用基本不等式求解最值问题，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．16．（5分）（2021•嘉定区二模）已知正数x 、y 满足x +4y=1，则1x+y 的最小值为 9 ．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为正数x 、y 满足x +4y=1，则1x+y ＝（1x+y ）（x +4y ）＝5+xy +4xy ≥5+2√xy ⋅4xy =9，当且仅当xy =4xy 且x +4y =1，即x =13，y ＝6时取等号，此时1x+y 的最小值9．故答案为：9．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2021•内江模拟）已知a ＞0，b ＞0，4a +b ＝2ab ．（1）求a +b 的最小值；（2）若a +b ≥|2x ﹣1|+|3x +2|对满足题中条件的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．【分析】（1）由已知利用乘1法，结合基本不等式即可直接求解；（2）结合（1）中的最值，然后结合不等式恒成立与最值的相互转化关系，结合零点分段讨论即可求解．【解答】解：（1）因为a ＞0，b ＞0，4a +b ＝2ab ，所以4b +1a=2，所以a +b =12（a +b ）（1a+4b）=12（5+b a+4a b ）≥12(5+2√b a ⋅4a b )=92，当且仅当b a=4a b且4b+1a=2，即a =32，b ＝3时取等号，a +b 的最小值92；（2）若a +b ≥|2x ﹣1|+|3x +2|对满足题中条件的a ，b 恒成立，则92≥|2x ﹣1|+|3x +2|，当x ≥12时，原不等式可化为2x ﹣1+3x +2≤92，所以12≤x ≤710；当−23＜x ＜12时，原不等式可化为﹣2x +1+3x +2≤92，所以−23＜x ＜12，当x ≤−23时，原不等式可化为﹣2x +1﹣3x ﹣2≤92，所以−1110≤x ≤−23，综上，x 的取值范围[−1110，710]．【点评】本题主要考查了乘1法及基本不等式求解最值，还考查了不等式的恒成立与最值关系的相互转化及利用零点分段求解不等式，分段讨论去绝对值是求解不等式的关键． 18．（12分）（2021春•青山湖区校级期中）已知正数a 、b 满足1a +1b=1．（1）求a +b 的最小值；（2）求4a a−1+9bb−1的最小值．【分析】（1）利用乘1法a +b ＝（a +b ）（1a+1b），展开后结合基本不等式即可求解；（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a ﹣1）（b ﹣1）＝1，利用基本不等式可求．【解答】解：（1）因为a 、b 是正数，所以a +b =(a +b)(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ×ba =4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故a +b 的最小值为4．（2）因为a ＞1，b ＞1，所以a ﹣1＞0，b ﹣1＞0，则4a a−1+9b b−1=4+4a−1+9+9b−1≥13+2√4a−1×9b−1=25，当且仅当a =53、b =52时等号成立，故4aa−1+9bb−1的最小值为25．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于中档题． 19．（12分）（2020秋•海淀区校级月考）已知x +y ＝1，x ，y ∈R +．（1）求x 2+y 2+xy 的最小值；（2）求√x +√y 的最大值；（3）求x （1﹣3y ）的最小值．【分析】（1）x 2+y 2+xy ＝（x +y ）2﹣xy ＝1﹣xy ，然后利用基本不等式即可求解；（2）（√x +√y ）2＝x +y +2√xy =1+2√xy ，然后利用基本不等式即可求解；（3）由x （1﹣3y ）＝（1﹣y ）（1﹣3y ）＝3y 2﹣4y +1，然后结合二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）x 2+y 2+xy ＝（x +y ）2﹣xy ＝1﹣xy ≥1﹣（x+y 2）2=34，当且仅当x ＝y =12时，取得最小值34；（2）因为x+y＝1，x，y∈R+，所以（√x+√y）2＝x+y+2√xy=1+2√xy≤1+x+y＝2，当且仅当x＝y时取等号，此时取得最大值2；（3）∵x，y∈R+，x+y＝1，∴x（1﹣3y）＝（1﹣y）（1﹣3y）＝3y2﹣4y+1，结合二次函数的性质可知，当y=23时取得最小值−13．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在求解最值中的应用，属于基础题．20．（12分）（2021•江西模拟）设a＞0，b＞0，且a+b＝2ab．（1）若不等式|x+1|+2|x|≤a+b恒成立，求实数x的取值范围；（2）当实数a，b满足什么条件时，a﹣b+3ba取得最小值，并求出最小值．【分析】（1）先利用基本不等式求出a+b的最小值，从而将所求的不等式转化为|x+1|+2|x|≤2，根据绝对值的定义分别讨论，求解不等式即可；（2）利用已知的等式，将b用a表示出来，然后代入a﹣b+3ba中化简变形，由基本不等式求解最值即可．【解答】解：（1）由a＞0，b＞0，a+b＝2ab，可得1a +1b=2，所以a+b=12(a+b)(1a+1b)=12(b a+a b+2)≥12⋅(2√b a⋅a b+2)=12×4=2．当且仅当a＝b＝1时取等号，不等式|x+1|+2|x|≤a+b恒成立，即|x+1|+2|x|≤2，当x＜﹣1时，不等式可化为﹣x﹣1﹣2x≤2，解得x≥﹣1，此时x∈∅；当﹣1≤x≤0时，不等式可化为x+1﹣2x≤2，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x≤0；当x＞0时，不等式可化为x+1+2x≤2，解得x≤13，此时0＜x≤13．综上所述，实数x的取值范围是{x|−1≤x≤13 }；（2）由a＞0，b＞0，a+b＝2ab，所以b=a2a−1，故a﹣b+3ba=a−a2a−1+32a−1=2a2−2a+32a−1=a−12+54a−2=14(4a−2)+54a−2，当4a﹣2＞0，即a＞12时，a﹣b+3ba=14(4a−2)+54a−2≥2√14(4a−2)⋅54a−2=√5，当且仅当a=12+√52，b=12+√510时，a﹣b+3b a有最小值√5．【点评】本题考查了不等式的求解以及基本不等式的应用，主要考查了“1”的代换的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．21．（12分）（2020秋•海门市校级月考）（1）已知正实数x，y满足x+2x+3y+4y=10，则xy的取值范围为多少？（2）已知a＞b＞0，则a2+1ab+1a(a−b)的最小值是多少？【分析】（1）令t＝xy，t＞0，则y=tx，然后代入后结合基本不等式即可求解，（2）由已知a2+1ab+1a(a−b)=a2−ab+ab+1ab+1a(a−b)，＝ab+1ab+a（a﹣b）+1a(a−b)，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：（1）令t＝xy，t＞0，则y=t x，∴10＝x+2x+3y+4y=x+2x+3t x+4x t=（1+4t）x+2+3tx≥2√(1+4t)x⋅2+3tx=2√(2+3t)(t+4)t，整理可得，3t2﹣11t+8≤0，解可得，1≤t≤8 3，故1≤xy≤8 3，（2）∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，则a2+1ab+1a(a−b)=a2−ab+ab+1ab+1a(a−b)，＝ab+1ab+a（a﹣b）+1a(a−b)，≥2√ab⋅1ab+2√a(a−b)⋅1a(a−b)=2+2＝4，当且仅当ab=1ab且a（a﹣b）=1a(a−b)即a=√2，b=√22时取等号，此时取得最小值4．【点评】本题主要考查利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．22．（12分）（2019秋•濮阳期末）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=920υυ2+3υ+1600（υ＞0）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【分析】（1）根据基本不等式性质可知y =920υυ2+3υ+1600=9203+(v+1600v)≤92083，进而求得y 的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．（2）在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，解不等式即可求出v 的范围．【解答】解：（1）依题意，y =920υυ2+3υ+1600=9203+(v+1600v)≤92083，当且仅当v =1600v，即v ＝40时，上式等号成立， ∴y max =92083（千辆/时）． ∴如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km /h 且小于64km /h ．当v ＝40km /h 时，车流量最大，最大车流量约为92083千辆/时；（2）由条件得920υυ2+3υ+1600＞10，整理得v 2﹣89v +1600＜0，即（v ﹣25）（v ﹣64）＜0．解得25＜v ＜64．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要特别留意等号取得的条件．。

高考理科数学一轮复习专题训练：不等式(含详细答案解析)

第8单元不等式第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知非零实数a b >，则下列说法一定正确的是（） A ．22a b > B ．||||a b >C ．11a b< D ．22a c b c ⋅≥⋅【答案】D【解析】选项A ：由不等式性质220a b a b >>⇒>可知，是两个正数存在a b >，才有22a b >，本题的已知条件没有说明是两个正数，所以本选项是错误的；选项B ：若2,1-=-=b a ，显然结论||||a b >不正确，所以本选项是错误的；选项C ：11b a a b ba--=，a b >可以判断b a -的正负性，但是不能判断出ba 的正负性，所以本选项不正确；选项D ：若0c =，由a b >，可以得到22ac bc =，若0c ≠时，由不等式的性质可知：a b >，2220c ac bc >⇒>，故由a b >可以推出22a c b c ⋅≥⋅，故本选项正确，所以本题选D ．2．不等式2620x x --+≤的解集是（）A ．21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．12|23x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或C ．21|32x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或 D ．1223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】2620x x --+≤Q ，2620x x ∴+-≥，即(21)(32)0x x -+≥，解得23x ≤-或12x ≥，故选B ． 3．不等式102x x+≤-的解集为（）A ．{}|12x x -≤≤B ．{}|12x x -≤<C ．{}12x x x ≤-≥或 D ．{}12x x x 或≤-> 【答案】D 【解析】因为102x x+≤-，所以102x x +≥-，即得1x ≤-或2x >，故选D ． 4．不等式2601x x x -->-的解集为（） A ．{}23x x x <>－或 B ．{}213|x x x <-<<或C ．{}1|23x x x <<->或 D ．{}2113x x x -<<<<或【答案】C【解析】不等式2601x x x -->-的解集等价于不等式的解集，由数轴标根法可知，不等式的解集为{}1|23x x x <<->或，故选C ．5．设0a >，0b >，若333a 与3b 的等比中项，则14a b+的最小值为（） A ．2 B ．83C ．3D ．32【答案】C 【解析】因为333a 与3b 的等比中项，所以23(33)333b a ⋅==，故3a b +=，因为0a >，0b >，所以41411411()145233334b a b a b a b a b a b a a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4b aa b=，即1,2a b ==时，取等号，故选C ． 6．已知,x y 满足约束条件202020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最大值与最小值之和为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数，即2y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,2B 处取得最大值，据此可知目标函数的最大值为max 2226z =⨯+=，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程2020y x y -=⎧⎨+-=⎩，可得点的坐标为()0,2A ，据此可知目标函数的最小值为min 2022z =⨯+=．综上可得2z x y =+的最大值与最小值之和为8．故选C ． 7．已知(),M x y 是圆221x y +=上任意一点，则2yx +的取值范围是（） A ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,3⎡⎤-⎣⎦C ．33,,⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭U D ．(),33,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣U【答案】A 【解析】2yx +表示圆上一点()x y ，与点(2,0)-连线的斜率，由图可知，当过(2,0)-的直线与圆221x y +=相切时，目标函数取得最值，设过(2,0)-且与圆221x y +=相切的直线方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，1=，解得k =．所以323y x -≤≤+，故选A ． 8．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（） A ．[7,26]- B ．[1,20]-C ．[4,15]D ．[1,15]【答案】B【解析】令m x y =-，4n x y =-，343n m x n my -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩，则85933z x y n m =-=-，41m -≤≤-Q ，5520333m ∴≤-≤，又15n -≤≤Q ，8840333n ∴-≤≤，因此85192033z x y n m -≤=-=-≤，故本题选B ．9．设0a b >>，且2=ab ，则21()a a ab +-的最小值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】因为0a b >>，∴()0a a b ->，又由2=ab ，所以221112()2()()()a a ab a a b a a b a a b a a b +=-++=-++---2224≥=+=，当且仅当()1a a b -=，即a =332=b 时等号成立，所以21()a a ab +-的最小值是4，故选D ．10．若不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（） A ．12a <-或12a >B ．12a >或0a < C ．12a >D ．1122a -<<【答案】C【解析】显然a =0，不等式不恒成立，所以不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则00a Δ>⎧⎨<⎩，即20140a a >⎧⎨-<⎩，解得12a >，所以实数a 的取值范围是12a >．故选C ． 11．在上定义运算，若存在使不等式成立，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】令，因为，即，也就是，在时，，取最大值为6，所以，解得，故选C ．12．已知函数，若对任意的正数，满足，则31a b+的最小值为（） A ．6 B ．8C ．12D ．24【答案】C 【解析】因为所以定义域为，因为()221log 1f x x x =++，所以为减函数，因为()221log 1f x x x=++，，所以为奇函数，因为，所以，即，所以()3131936b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为9926b a b a a b a b +≥⨯=，所以3112a b +≥（当且仅当12a =，16b =时，等号成立），故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____．【答案】94【解析】由已知作可行域如图所示，2z x y =+化为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解得034x =，032y =，94b =，故答案为94． 14．已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是122x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，则20ax bx c -+>的解集为_____．【答案】122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】由题意，关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是122x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，则0122122a b a c a ⎧⎪<⎪⎪⎛⎫-+-=-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得52b a =，c a =，所以不等式20ax bx c -+>，即为22551022ax ax a a x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，即25102x x -+<，即1(2)02x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得122x <<，即不等式20ax bx c -+>的解集为122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 15．已知不等式：①；②110a b>>；③，如果且，则其中正确不等式的个数是_______．【答案】2 【解析】因为且，所以，①化简后是，显然正确；②110a b>>显然正确；③化简后是，显然不正确．故正确的不等式是①②，共2个，故答案为2． 16．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2213sin cos αα+的最小值为__________．【答案】【解析】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，，所以()2222222213cos 3sin sin cos 4sin cos s cos in αααααααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭2222cos 3sin 42423si cos n αααα≥+⋅=+，当且仅当2222cos 3sin sin cos αααα=，即41tan 3α=时等号成立．所以22min13423sin cos αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知下列三个不等式：①；②c da b>；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？【答案】可组成3个正确命题．【解析】（1）对②变形，得0c d bc ada b ab->⇔>，由，得②成立，即①③②．（2）若00bc adab ab->>，，则，即①②③．（3）若0bc adbc ad ab->>，，则，即②③①．综上所述，可组成3个正确命题．18．（12分）已知函数2()45()f x x x x =-+∈R ．（1）求关于x 的不等式()2f x <的解集；（2）若不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}13x x <<；（2）(2,4)．【解析】（1）由()2f x <，得2430x x -+<，即13x <<，所以()2f x <的解集为{}13x x <<．（2）不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立min |3|()m f x ⇔-<，由22()45(2)1f x x x x =-+=-+，得()f x 的最小值为1，所以|3|1m -<恒成立，即131m -<-<，所以24m <<，所以实数m 的取值范围为(2,4)．19．（12分）若变量x ，y 满足约束条件20360x y x y x y +-≥-≤-≥⎧⎪⎨⎪⎩，求：（1）23y z x +=+的取值范围；（2）的最大值．【答案】（1）25,56z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）．【解析】作出可行域，如图所示：由2036x y x y +-=-=⎧⎨⎩，解得点；由20x y x y +-=-=⎧⎨⎩，解得点；由360x y x y -=-=⎧⎨⎩，解得点．（1）23y z x +=+，可看作可行域内的点与定点连线的斜率．所以在点，处取得最优解．所以min 022235AM z k +===+，max 325336CM z k +===+．所以23y z x +=+的取值范围为25,56⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由，可得1322zy x -=+，故在点处取得最大值，则．20．（12分）已知,a b 是正实数，且2a b +=，证明：（1）2a b +≤；（2）33(4)()a b a b ++≥．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）,a b Q 是正实数，2a b ab ∴+≥，1ab ∴≤， ∴()224a ba b ab +=++≤，2a b ∴+≤，当且仅当1a b ==时，取""=．（2）222a b ab +≥Q ，∴()()22222224a b a b ab a b +≥+=+=，∴222a b +≥，∴()()()233443344222224a b a b a b a b ab a b a b a b ++=+++≥++=+≥，当且仅当221a ba b =⎧⎨=⎩，即1a b ==时，取""=． 21．（12分）雾霾大气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为和，可能的最大亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过9万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元．（1）若投资人用x 万元投资甲项目，y 万元投资乙项目，试写出x ，y 所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示x ，y 范围的图形；11（2）根据（1）的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【答案】（1）详见解析；（2）用万元投资甲项目，万元投资乙项目．【解析】（1）由题意，知x ，y 满足的条件为90.20.1 1.400x y x y x y +≤+≤≥≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分含边界（2）根据第一问的规划和题设条件，依题意可知目标函数为，在上图中，作直线：，平移直线，当经过直线与的交点A 时，其纵截距最大，解方程与，解得，，即，此时万元，所以当，时，z 取得最大值，即投资人用5万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过万元，且使可能的利润最大22．（12分）已知不等式212x -<的解集与关于x 的不等式20x px q --+>的解集相同．（1）求实数,p q 值；12 （2）若实数,a b +∈R ，满足4a+b =p+q ，求14a b+的最小值．【答案】（1）31,4p q =-=；（2）92．【解析】（1）212x -<，解得1322x -<<，又20x px q --+>20x px q ⇒+-<，解集为1322x -<<，故12-和32是方程的两根，根据韦达定理得到1134p p q -=⎧⎪⇒=-⎨-=-⎪⎩，34q =．（2）2a b +=，则14114149()5222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当4b a a b =，即2b a =时取等号，即23a =，43b =时有最小值92．。

高三数学一轮复习《一元二次函数、方程和不等式》练习题 (含答案)

高三数学一轮复习《一元二次函数、方程和不等式》练习题（含答案）等式性质与不等式性质一、单选题1.下列运用等式的性质，变形不正确的是( ) A.若x =y ,则x +5=y +5 B.若a =b ,则ac =bc C.若a b cc=,则a =b D.若ax =ay ,则x =y 2.下列不等式中,正确的是( )A.若a >b ,c >d ,则a +c >b +dB.若a >b ,则a +c b ,c >d ,则ac >bdD.若a >b ,c >d ,则a b cd> 3. (x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小关系为( )A. (x 2+1)2≥x 4+x 2+1B. (x 2+1)2>x 4+x 2+1C.(x 2+1)2≤x 4+x 2+1D. (x 2+1)2<x 4+x 2+1 4. 若m <n ,p <q 且(p -m )(p -n )<0,(q -m )(q -n )<0,则( ) A. m ； ②110a b +>； ③11b a a b+<+； ④22a a b b <-A.1B.2C.3D.4 二、多选题7.对于实数a ,b ,c ,其中正确的命题为( )A.若a >b ,则ac <bcB.若ac 2>bc 2,则a >bC.若a ab >b 2D.若c>a>b >0,则a bc a c b>-- 8.下列四个条件能使“11a b<”成立的有( )A. b >0>aB. 0>a >bC. a >0>bD. a >b >0 三、填空题9.建筑学规定:民用住宅的窗户面积必须小于地板的面积,但按采光标准，窗户面积与地板面积之比应不小于10%,并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.如果我们将窗户与地板同时增加相等的一个面积数，那么住宅的采光条件是__________(填“变好了”或“变坏了”).10.已知a >b , 11a b ab-<-同时成立，则ab 应满足的条件是__________.11.若a 是三个正数a ,b ,c 中的最大的数,且“a c bd<,则a +d 与b +c 的大小关系是___________.基本不等式及其应用一、单选题 1. 22(2)2y x x x =+>-的最小值是( ) A.4 B.6 C.8 D. 1 2.若式子4(0,0)a y x x a x=+>>当且仅当x =2时取得最小值，则实数a 的值为( )A.12B. 24C. 16D.36 3.已知实数x ,y 满足x 2+y 2=1,则xy 的最大值是( )A.1B.2 C. 2 D. 124.下列各函数中，最小值为2的是( )A. 1y xx=+ B. y =C. 2y =D. 43,131y x x x =+-<<- 5.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A.60件B.80件C.100件D.120 件 6.设a >1,b >2,ab =2a +b ,则a +b 的最小值为( )A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题7.下列结论正确的是( )A.当x >02≥ B. 当x >2时1x x+的最小值是2 C.当54x <时, 14245x x -+-的最小值是5 D.设x >0,y >0,且x+y =2,则14xy+的最小值是928.下列说法正确的有( ) A.不等式a b +≥恒成立 B.存在a ,使得不等式1a a+≤2成立 C.若a ,b ∈(0,+∞),则2a b b a+≥ D.若正实数x ,y 满足x +2y =1,则18xy ≤ 三、填空题9.设x >-1，则231x x y x ++=+的最小值为_________.10.若正数a ,b 满足ab =a +b +3,则ab 的取值范围是___________. 11.已知a,b 都为正实数,且113ab+=,则ab 的最小值是_________;1bab+的最大值是________.二次函数与一元二次方程、不等式一、单选题1.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则y >0的解集为( )A. {x |-2<x <1}B. {x |-1<x <2}C. {x |1<x ≤2}D. {x |x <0或x >3}2.若关于x 的一元二次方程2410ax x --=有实数根，则a 满足( ) A. a ≥-4且a ≠0 B. a >4且a ≠0 C. a ≥4 D.a ≠03.下列不等式的解集是空集的是( )A. x 2-x +1>0B.-2x 2+x +1>0C. 2x -x 2>5D. x 2+x >2 4.已知集合A={x |x 2-x -2<0},B={x |-1<x <1},则( ) A. A B ⊆ B. B A ⊆ C. A B = D. A B ⋂=∅ 5.设a ∈R ,则“a >1”是“a 2>a "的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知命题“0x ∃∈R ,使得200210ax x ++<成立”为真命题，则实数a 满足( )A. [0,1)B. (-∞,1)C. [1,+∞)D. (一∞,1] 二、多选题7.关于x 的不等式ax 2- (a +1)x +1>0的解集可能是( ) A. {1}x x < B. 1{1}x x x a<>或 C. 1{1}x x a << D. 1{1}x x x a<>或 8.下列四个解不等式，正确的有( ) A.不等式2x 2-x -1>0的解集是{x |x >2或x <1} B.不等式-6x 2-x +2≤0的解集是21{}32x x x ≤-≥或C.若不等式ax 2 +8ax +21<0的解集是{x |-7<x <-1}，那么a 的值是3D.关于x 的不等式x 2+ px -2<0的解集是(q ,1),则p+q 的值为-1 三、填空题9.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <-2或x >3},则f (x )>0的解集为______________.10.如果方程ax 2+bx +c =0的两根为-2和3,且a <0,那么不等式ax 2+bx +c >0的解集为_____________.11.若不等式x 2-4x > 2ax +a 对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是___________本章检测一、单选题1.已知集合A ={x |x 2 +2x >0},B ={x |x 2+2x -3<0},则A∩B=( ) A. (-3,1) B. (-3,-2) C. R D. (-3,-2)∪(0,1)2.已知a <0,0ab B. a >ab 2 C. ab <ab 2 D. ab >ab 23.不等式3121xx ≤+的解集为( ) A. (,1]-∞ B. 1[,1]2- C. 1(,1]2- D. 1(,)[1,)2-∞-⋃+∞4.使不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A. 0x ≥ B. 0x <或2x > C. {1,3,5}x ∈- D. 12x ≤-或3x ≥ 5.若方程x 2+ax +a =0的一根小于-2,另一根大于-2,则实数a 的取值范围是( )A. (4,+∞)B. (0,4)C. (-∞,0)D. (-∞,0)∪(4,+∞) 6.若关于x 的方程x 2- 4ax +3a 2 =0(a >0)的两个根为x 1,x 2,则1212ax x x x ++的最小值是( )A.33C. 3D. 3二、多选题7.给出下列四个命题，其中正确的命题是( )A.若a b >且11a b>，则0ab > B.若0c a b >>>,则a bc a c b>-- C.若0a b c >>>,则b b c a a c +<+ D.若1a b +=,则114a b+≥8.若正数a ,b 满足a +b =2ab ,则( )A.1ab> B. 2a b+≥ C. 243a b+≥+1ab-≤三、填空题9.已知x<0,-1<y<0,用不等号将x,xy,xy2从大到小排列得___________.10.已知关于x的二次函数y= (m+3)x2-4x-1与x轴有交点，则m的取值范围是_____________.11. 已知a,b∈R,a2+b2-ab=2,则a+b的最大值为_______,ab的取值范围是__________参考答案等式性质与不等式性质1.D2.A3.A4.A5.B6.B7.BCD8.ABD9.变好了10.a b>0或ab<-111.a+d>b+c基本不等式及其应用1.C2.C3.D4.B5.B6.D7.AD8.BCD9.110.[9,)+∞11.449二次函数与一元二次方程、不等式1.B2.A3.C4.B5.A6.B7.ABCD8.BCD9.{23}x x-<<10.{23}x x-<<11.(-4,-1)一元二次函数、方程和不等式1.D2.C3.C4.C5.A6.C7.BC8.BD9.xy>xy2>x10.{73}m m m≥-≠-且11.2 [,2]3-。

高三第一轮复习数学：不等式(理)(附答案)

2005届第一轮高三数学单元训练题八、不等式（理）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的。

）1．已知a >b ,a +b >0,那么一定有（）A ．|a |>|b | B. C.|a |<|b | D. 2．已知0<|a |<|b |<|c |,b <0, ,那么一定有（）A ．a b ,x>y ，则下列式子中不．正确的一个是（）A ．a+x>b+yB ．x-b>y-aC ．|a|·x>|a|·yD ．(a-b )x>(a-b )y7．若函数则对于同一个n 的值，f (n )，g (n )，φ(n )三者的大小关系是（）A ．B ．C ．D ． 8．设a,b 是两个实数，给出下列条件：①a+b >1;②a+b >2;③a 2+b 2>2;④ab>1，其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是（）b a 11>ba 11<ac cbc ab =21213≥--x x ),2(]43,(+∞-∞ )2,43[]2,43[)3(log )82(log )4()4(->---x x x x 25+≠-kx x )52,(--∞)101,52(-)0,52(-),101()52,(+∞--∞ ),(21)(,1)(,1)(22+∈=--=-+=R n n n n n n g n n n f ϕ)()()(n ng n f ϕ<<)()()(n g n n f <<ϕ)()()(nf n ng <<ϕ)()()(n n f n g ϕ<<A ．②B ．②和④C ．②和③D ．①和④9．若a 0,则a 、b 、c 、d 的大小关系是（）A ．d <a <c <bB .a <c 0成立的充要条件是（）A ．-1<x <1 B.x <-1或-1<x <1 C.x >1或x <-1 D.x <111．若不等式的解集是（1，2），则不等式的解集是（） A ．（1，2） B ．（-∞，-1）∪（6，+∞）C ．（-∞，-1）∪（1，2）∪（6，+∞）D ．（-1，1）∪（2，6）12．如果关于x 的不等式ax 2+bx +c <0的解集是（-∞,m ）∪(n ,+∞),mn >0,那么不等式cx 2+bx +a >0的解集是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。

高考数学一轮经典例题不等式解法理试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年高考数学〔理〕一轮经典例题——不等式解法例1解不等式：〔1〕15223>--xxx；〔2〕0)2()5)(4(32<-++xxx．分析：假设多项式)(xf可分解为n个一次式的积，那么一元高次不等式0)(>xf〔或者)(<xf〕可用“穿根法〞求解，但要注意处理好有重根的情况．解：〔1〕原不等式可化为把方程)3)(52(=-+xxx的三个根3,25,0321=-==xxx顺次标上数轴．然后从右上开场画线顺次经过三个根，其解集如以下列图的阴影局部．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-325xxx或〔2〕原不等式等价于∴原不等式解集为{}2455>-<<--<xxxx或或说明：用“穿根法〞解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或者奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法〞，但注意“奇穿偶不穿〞，其法如以下列图．典型例题二例2解以下分式不等式：〔1〕22123+-≤-xx；〔2〕12731422<+-+-xxxx分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或xgxf时，要注意它的等价变形①)()()()(<⋅⇔<xgxfxgxf②)()()()()()()()()()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤xgxfxfxgxfxgxgxfxgxf或或〔1〕解：原不等式等价于用“穿根法〞∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

〔2〕解法一：原不等式等价于027313222>+-+-x x x x ∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋃⋃-∞。

解法二：原不等式等价于0)2)(13()1)(12(>----x x x x用“穿根法〞 ∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋂⋃-∞典型例题三例3解不等式242+<-x x分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a 二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或者a x -<，因此此题有如下两种解法．解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或者21<<x 故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或．典型例题四例4解不等式04125622<-++-x x x x ．分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 二次式的商，由商的符号法那么，它等价于以下两个不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-041205622x x x x 或者⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-041205622x x x x所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-0412,05622x x x x 或者⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-0412,05622x x x x⎩⎨⎧<-+<--⇔;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x 或者⎩⎨⎧>-+>--;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x；⎩⎨⎧<<-<<⇔62,51x x 或者⎩⎨⎧>-<><6,2,5,1x x x x 或或,51<<⇔x 或者2-<x 或者6>x ． ∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ，或，或．解法二：原不等式化为0)6)(2()5)(1(>-+--x x x x ．画数轴，找因式根，分区间，定符号．)6)(2()5)(1(-+--x x x x 符号 ∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ，或，或．说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否那么会产生误解．解法二中，“定符号〞是关键．当每个因式x的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．典型例题五例5解不等式xxxxx<-+-+222322．分析：不等式左右两边都是含有x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．解：移项整理，将原不等式化为)1)(3()1)(2(2>+-++-xxxxx．由12>++xx恒成立，知原不等式等价于)1)(3()2(>+--xxx．解之，得原不等式的解集为}321{><<-xxx或．说明：此题易出现去分母得)23(2222xxxxx-+<-+的错误解法．防止误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．典型例题六例6设Rm∈，解关于x的不等式03222<-+mxxm．分析：进展分类讨论求解．解：当=m时，因03<-一定成立，故原不等式的解集为R．当≠m时，原不等式化为0)1)(3(<-+mxmx；当>m时，解得mxm13<<-；当<m时，解得mxm31-<<．∴当>m时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-mxmx13；当<m时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<mxmx31．说明：解不等式时，由于Rm∈，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当0=m时，原不等式化为3<-，此时不等式的解集为R，所以解题时应分0=m与0≠m两种情况来讨论．在解出3222=-+mxxm的两根为mx31-=，mx12=后，认为mm13<-，这也是易出现的错误之处．这时也应分情况来讨论：当>m时，mm13<-；当<m时，mm13>-．典型例题七例7解关于x的不等式)0(122>->-axaax．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．解：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222xaaxxaax或者⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2xax由>a，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22axaxxax⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(xax由判别式8)1(4)1(422>=+-+=∆aaa，故不等式1)1(222<+++-axax的解是aaxaa2121++<<-+．当20≤<a时，1212≤-+≤aaa，121>++aa，不等式组(1)的解是121≤<-+xaa，不等式组(2)的解是1 > x．当2>a时，不等式组(1)无解，(2)的解是2ax≥．综上可知，当20≤<a 时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ．说明：此题分类讨论HY “20≤<a ，2>a 〞是根据“0>a 及(1)中‘2a x >，1≤x ’，(2)中‘2a x ≥，1>x ’〞确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论HY 〔解不等式〕大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点〞去确定．此题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的方法是纯熟掌握无理不等式根本类型的解法．典型例题八例8解不等式331042<--x x ．分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可．解答：去掉绝对值号得3310432<--<-x x，∴原不等式等价于不等式组 ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<-325021x x x 或．说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．典型例题九例9解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．分析：不等式中含有字母a ，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论．解：原不等式可化为0))((2>--a x a x ．(1)当2a a <〔即1>a 或者0<a 〕时，不等式的解集为： {}2a x a x x><或； (2)当2a a >〔即10<<a 〕时，不等式的解集为： {}a x a x x><或2； (3)当2a a =〔即0=a 或者1〕时，不等式的解集为： {}a x R x x ≠∈且．说明：对参数进展的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开场就对参数加以分类、讨论．比方此题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或者x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <，2a a >，2a a =三种情况．典型例题十例10不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c 的正负，然后求出方程02=++a bx cx的两根即可解之．解：(解法1)由题可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根， ∴a b -=β+α，a c =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ．而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c a c ， ∴0022<++⇔>++c a x c b x a bx cx ． ∴02<++c a x c b x ，即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x ，即0)1)(1(<β-α-x x ．又β<α<0，∴β>α11， ∴0)1)(1(<β-α-x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x ． (解法2)由题意可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根， ∴a c =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ．而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c a c ．对方程02=++a bx cx 两边同除以2x 得0)1()1(2=+⋅+⋅c x b x a ．令x t 1=，该方程即为02=++c t b t a ，它的两根为α=1t ，β=2t ， ∴α=11x ，β=21x ．∴α=11x ，β=12x ， ∴方程02=++a bx cx 的两根为α1，β1．∵β<α<0，∴β>α11．∴不等式02>++a bx cx 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x ．说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，此题中只有α，β是量，故所求不等式解集也用α，β表示，不等式系数a ，b ，c 的关系也用α，β表示出来；(3)注意解法2中用“变换〞的方法求方程的根．典型例题十二例12假设不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，，，求a 、b 的值．分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进展同解变形，再根据解集列出关于a 、b 式子．解：∵043)21(122>++=++x x x ，043)21(122>+-=+-x x x ，∴原不等式化为0)()2(2>-++--+b a x b a x b a ．依题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=-+->-+34231202b a b a b a b a b a ， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2325b a ．说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解．典型例题十三例13不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为{}21<<-x x ，不等式022<-+bx ax 需满足条件0>a ，0>∆，022=-+bx ax的两根为11-=x ，22=x ．解法一：设022=-+bx ax 的两根为1x ，2x ，由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+a x x a b x x 22121由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=-+-=-21221a a b∴1=a ，1-=b ，此时满足0>a ，0)2(42>-⨯-=∆a b ．解法二：构造解集为{}21<<-x x 的一元二次不等式： 0)2)(1(<-+x x ，即022<--x x ，此不等式与原不等式022<-+bx ax 应为同解不等式，故需满足： 2211--=-=b a ∴1=a ，1-=b ．说明：此题考察一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考察逆向思维的才能．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．典型例题十四例14解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．分析：此题考察一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考察分类思想．解：分以下情况讨论(1)当0=a 时，原不等式变为：01<+-x ，∴1>x(2)当0≠a 时，原不等式变为：0)1)(1(<--x ax ①①当0<a 时，①式变为0)1)(1(>--x a x ，∴不等式的解为1>x 或者a x 1<． ②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x a x ．② ∵a a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为a x 11<<．当1=a 时，11=a ，此时②的解为11<<x a ．说明：解此题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的HY ，就此题来说有三级分类：分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解此题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．典型例题十五例15解不等式x x x ->--81032．分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或者)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于： ⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或者⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ．解：原不等式等价于下面两个不等式组：①⎩⎨⎧≥--<-0103082x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧->--≥--≥-222)8(103010308x x x x x x由①得⎩⎨⎧-≤≥>258x x x 或，∴8>x由②得∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≥≤.1374258x x x x 或81374≤<x ，所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤<881374x x x 或，即为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x ．说明：此题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ，这里，设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032，那么所求不等式的解集为A 的补集A ，由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或者13745≤≤x ．即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或，∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A ．。