设而不求技巧总结
“设而不求”巧解解析几何题
题的几种途径例说如下院
一尧设而不求袁巧用野曲线和方程冶的关系 例 员 求经过两圆渊曾 垣 圆冤2 垣 渊赠 垣 员冤圆 = 4 和 x2 + y2 = 1 的 交点的直线的方程. 解 用渊曾 垣 圆冤2 垣 渊赠 垣 员冤2 = 4 方程减去 x2 + y2 = 1 方程 即为所求的直线方程院2x + y + 1 = 0 注 本题若采用常用常规方法解方程组袁求出交点坐标袁
评注 本题涉及曲线上的点与焦点的距离袁 设出有关点
的坐标但不求出坐标袁借助圆锥曲线的第一尧第二定义及焦
半径公式化繁为简袁缩短解题过程. 三尧设而不求袁巧用野点差法冶 野点差法冶 是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆
锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候袁利用直线和圆锥曲
线的两个交点袁并把交点代入圆锥曲线的方程袁并作差. 求出
解题技巧与方法
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JIETI JIQIAO YU FANGFA
野设而不求冶 巧解解析几何题
因陆 霞 渊江苏省金湖中学 圆员员远园园冤
解析几何是高中数学的重要内容袁其核心内容是直线和
圆以及圆锥曲线袁其本质是用代数的方法研究图形的几何性
质援 在考基础尧考能力尧考素质尧考潜能的考试目标指导下袁每
年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例袁试题往往会
出现计算量较大的情况袁若解题方法不当袁就会使解题过程
繁杂而冗长袁 从而直接影响到解题速度和结果的准确性袁如
何避免不必要的运算袁 化繁为简袁从而缩短解题过程呢钥 可以
采用设而不求这种方法袁野设而不求冶 法指利用题设条件袁巧
妙换元袁通过整体替换再消元或换元袁达到运算中以简驭繁
的目的的一种解题方法. 现就利用野设而不求冶巧解解析几何
高中数学技巧方法突破-例谈“设而不求”的解题策略
例谈“设而不求”的解题策略设而不求是整体处理变量的策略，是通过设点的坐标等形式，充分利用这些点的坐标之间的等量关系和限制条件，整体或小范围地整体处理，不必解出所设点的具体坐标而使问题获得解决的方法. 一、应用“根与系数的关系”设而不求，讨论直线与圆锥曲线的位置关系例1.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】由题意可得两条直线的斜率一定存在且不为0，分别假设为k 和k1， 故而可得)1(:1-=x k y l ， 联立0)42(,4),1(22222=++-⇒⎩⎨⎧=-=k x k x k x y x k y ， 假设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故而根据韦达定理可得222214242k k k x x +=+=+， 此时22144kp x x AB +=++=，同理可得244k DE +=， 故而,168844822=+≥++=+kk DE AB 当且仅当1144222±=⇒=⇒=k k kk 时取等号,故选A. 【点拨】直线(曲线）与圆锥曲线相交问题一般先联立⎩⎨⎧Cl 消去y ，整理得方程ax 2+bx +c =0，a ≠0，Δ>0，设出交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理x 1+x 2=a b -，x 1x 2=ac的系数关系,将已知条件坐标化，求出参数或通过整体消参求值.【变式训练1】在平面直角坐标系xoy 中，双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右支与焦点为的抛物线)0(22>=p py x 交于A,B 两点，若OF BF AF 4=+，则该双曲线的渐近线方程为 .【解析】如图，设A(x 1，y 1)，B( x 2，y 2 )，|AF |+|BF |=4|OF |，所以,,2222121p y y p py p y =+=+++ 由⎪⎩⎪⎨⎧==-,2,122222py x bya x 联立得0222222=+-b a y pb y a ， 因为，所以22a b ,21,12,222222221±===∴==+a b a b p a pb y y所以双曲线的渐近线方程为x y 22±=.例2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于 A ，B 两点，与以F 1F 2 为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534 ，求直线l 的方程．解析：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d ＜1得|m |＜52.(*)∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=,134,2122y x m x y 得x 2－mx ＋m 2－3＝0， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－122[m 2－4(m 2－3)]＝ 1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534得 4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)．∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.【点拨】涉及弦长问题，一般利用根与系数的关系，应用设而不求法计算弦长，斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝ 1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k 2|y 2－y 1|，其中求|x 2－x 1|与|y 2－y 1|时通常使用韦达定理作如下变形：|x 2－x 1|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，|y 2－y 1|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 二.应用“点差法”设而不求线段中点或直线斜率例3.(1)(2020·江西九校联考)已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________．(2)(2020·开封模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为______________．【解析】(1)法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2，∴4k (k －1)2k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y 223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1， ∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝⎛⎭⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝⎛⎭⎫－m 4，解得m ＝0或－8，经检验都符合． 【点拨】处理中点弦问题多用点差法，一般先设出直线l 与圆锥曲线C 的两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将A,B代入曲线方程，通过作差，构造出x 1+ x 2，y 1 +y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意：此法不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用判别式加以检验．【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为C (0,4)，离心率e =55，直线l 交椭圆于M 、N 两点．（1）若直线l 的方程为y=x －4，求弦|MN |的长；（2）如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程．【解析】（1）由已知b =4，且55=a c ，即5122=a c ，∴51222=-a b a ，解得a 2=20， ∴椭圆方程为1162022=+y x ；由4x 2+5y 2=80与y=x －4联立， 消去y 得9x 2－40x =0，∴x =0或940，∴所求弦长9240||2||21=-=x x MN .（2）如图椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q(x 0，y 0)， 由三角形重心的性质知FQ BF 2=，又B(0,4)， ∴(2,－4)=2(x 0－2,y 0)，∴得x 0=3， y 0=－2，求得Q 的坐标为(3，－2)；设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1+x 2=6，y 1+y 2=－4，且116202121=+y x ，116202222=+y x ， 以上两式相减得016))((20))((21212121=+-++-y y y y x x x x ，∴56)46(545421212121=-⨯-=++-=--=y y x x x x y y k MN ，∴直线MN 的方程为)3(562-=+x y ，即6x －5y －28=0． 三.设而不求讨论参数的取值范围例4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎫1，22，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求2F P ·2F Q 的取值范围．【解析】(1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1. 因为椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫1，22，所以1a 2＋12b 2＝1.故a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，当直线AB 垂直于x 轴时， 直线AB 方程为x ＝－12，此时P (－ 2 ，0)，Q (2，0)，又F 2(1,0)，得2F P ·2F Q ＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M ⎝⎛⎭⎫－12，m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝2m .由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故k ＝14m .此时，直线PQ 斜率为k 1＝－4m ， PQ 的直线方程为y －m ＝－4m ⎝⎛⎭⎫x ＋12. 即y ＝－4mx －m .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是2F P ·2F Q ＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4 ＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋m 2＋1＝19m 2－132m 2＋1.由于M ⎝⎛⎭⎫－12，m 在椭圆的内部，故0<m 2<78. 令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则2F P ·2F Q ＝1932－5132t. 又1<t <29，所以－1<2F P ·2F Q <125232.综上，2F P ·2F Q 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－1，125232. 【点拨】在较为复杂的解几运算中经常要设参消参，而在消参过程中，注重变量之间的关系，仔细分析这些变量之间的结构特征，运用整体处理策略，可以有效的简化运算。
浅议初中数学中“设而不求”的解题技巧
Ａ
●
＿＿＿＿ ＿＿。＿ 。＿。， ●●＿－＿● 。＿＿＿一 ＿＿＿。， ＿。＿●＿●－。 ＿一
所 以 （ａ ３ ／（十 ＞ ７ 一 ｂ）ｂ ｂ ７） ０， 即 有ａｂ （＋ ） ｂ ７ ＞ ， ／一 ａ ３ ／ ＋ ） ０ （ 从 而有 ３ ８ ７ ／ ６ ７ ７ ３ ８ ７ ／６ ８ ４ ６ ９ ２７ ４ ９ ＞ ６ ９ ５７ ４ Ｏ ．
此 题 如果 按 照常 规 思 路 去 思 考 ， 很 难 得 出 正 确 的 结果 。 就 考 试 时 会将 学生 引入 死 胡 同 ， 误 考 试 时 间 ， 响 其 他 题 目的 耽 影 解答．
ｒ ——— ——— —一 ｒ— — ＿ ＝＝ 一
Ｂ
●
＿＿＿ ＿＿＿＿＿ ＿。＾＿● ＿＿－－。 一
２２ ０ ） １３ ０
分析： 与 显然 和里 －¨ 互为倒数关系 ｑｌ ＿ ２
３ ｘ －２ ２ ｘ －３
．
因 此
有 如 下解 法 ：
、
ｘ２ －
３
ｘ３ －
Ｖ．
叹
一 — — ＝ｕ ．一
２
１ １
“ 而不求” 特殊解题 方法之一 ， 属常规解题技巧． 设 是 也 在 解 题 中可 以化 繁 为 简 ， 难 为 易 ， 面 归 纳 的 几 个 方 面 是 初 中 化 下 数 学 中常 遇 的 ， 是 中学 教 学 大 纲要 求 掌 握 的 ． 也 比较 化 简 中“ 设而 不 求 ” 在 初 中数 学 教 学 中 ， 要培 养 学 生 根据 具 体 题 目选 择 解 题 方 法 的能 力 ， 一 些 无 法 用 常 规 方 法 解 答 的 题 目 ， 不 能用 常规 对 就 方 法 反 复尝 试 ， 不能 束 手无 策 ， 更 而要 考 虑 用特 殊 方法 来 解 答． 例 １ 比较３ ８７ ／６ ７ ７ ６９ ５７ ４ ０ 的大 小 ． ： ６ ９２７ ４ ９ 与３ ８ ７ ／６ ８４ 分 析 ： 为 是 初 中数 学 题 ， 可 能 用 通 分 的 方 法 解 答 ， 因 不 我 们 可 以通 过 ３ ８ ７ 与 ３ ８７ 相 差３ ７ ４ ０ 与 ７４ ９ 相 差７ ６９５ ６９２ 和 ６ ８４ ６ ７ ７ 来 建 立 关 系 ， 找 解 题 的 突破 口． 寻 解 ： ６ ９ ２ ６ ７ ７ ａ ， ６ ９ ５ ６ ８ ４ （＋ ）（＋ ） 设３ ８ ７ ／ ４ ９ ＝ ／ 则３ ８ ７ ／ ４ ０ ＝ ａ ３ ／ｂ ７ ， ７ ｂ ７ 由ａ 一 ａ ３ ／５ ７ ＝ ７ 一 ｂ ／ （ ＋ ） ／ （ ＋ ）（ ＋ ） （ ａ ３ ） ｂ ７ ， ｂ ｂ 因 为７ 一 ｂ ０ ｂ ｂ ７ ＞ ， ａ ３ ＞ ， （ ＋ ） ０
“设而不求”解法技巧应用
“设而不求”解法技巧应用山东省曲阜市第一中学（273100），张宪彬二次曲线是高中数学的重点内容，高考试题一般涉及量较多，近几年计算量虽略有减少，但仍需注意选择适当的方法以简化运算.本文通过以下例题，介绍一下“设而不求”的技巧.例1 已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q 两点，且OP ⊥OQ(O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.思路 利用“OP ⊥OQ ”求出m ，问题可解.解 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则x+2y-3=0 (1)x 2+y 2+x-6y+m=0 (2)消去x,得5y 2-20y+12+m=0∴ y 1+y 2=4 (3)y 1y 2=512m + (4) ∵OP ⊥OQ ∴x 1x 2+y 1y 2=0(5)而x 1x 2=(3-2y 1)(3-2y 2)=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2(6)由(3),(4),(5),(6),得 m=3 此时△>0.∴圆心坐标（5，3），半径r=25. 小结 在解答中，我们采用了“设而不求”的解法技巧，并运用了有关向量垂直的充要条件，最终应用了韦达定理来求m.另外，在使用“设而不求”的技巧时，必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.例2 过点P （2，1）引直线与椭圆91622y x +=1相交于M ，N 两点，若P 点恰好是线段M ，N 的中点，求直线MN 的方程.思路 此题的关键是求直线MN 的斜率.解 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则)2(1916)1(191622222221=+=+y x y x (1)-(2),得0916********=-+-y y x x 整理，得)3(169.21212121-=++--x x y y x x y y其中，2221=+x x ，1221=+y y ∴16942.2121-=--x x y y 即直线MN 的斜率为k=89- 从而直线MN 的方程为y-1=89-(x-2) 即9x+8y-26=0.小结 此题用到了点差法，是一个技巧，继而可以运用中点坐标公式与斜率公式，思路豁然开朗.例3 给定双曲线x 2 -22y =1，过A （2，1）的直线l与所给双曲线交于两点P 1，P 2，试求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程.思路 运用“设而不求”的技巧，可表示出线段P 1P 2的斜率，它又可以用P ，A 两点的坐标表示，问题迎刃而解.解 设P 1（x 1，x 2），P 2（x 2，y 2），P （x ，y ），则x 21-221y =1 (1) 22x -222y =1 (2) （1）-（2），得（x 1+x 2）（x 1-x 2）- 21（y 1+y 2）（y 1-y 2）=0， 其中，x 1+x 2 =4x ，y 1+y 2 =2y∴2x （x 1-x 2）- 21（y 1-y 2）2y=0 ∴yx x x y y 22121=-- (3) ∵P ，A 两点在直线ｌ上， ∴直线ｌ的斜率是ｋ＝21--x y （４） ∴由（3），（4），得212--=x y y x 整理，得2x 2-y 2-4x+y=0.这就是线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程.小结 掌握斜率的概念，是解决此题的关键.例4 抛物线C ：y 2=x 上有异于顶点的P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，求证直线PQ 过定点.思路 求出直线PQ 的方程.证明 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） ，设直线PQ 的方程为y=kx+b （1）与y 2=x （2）联立，得y 1y 2=kb ，（3） x 1x 2=22kb （4） ∵OP ⊥OQ∴x 1x 2+ y 1y 2 =0 （5）由（3），（4），（5），得 k=-b从而直线PQ 的方程为y=kx-k=k （x-1）∴ 过定点（1，0）.当直线PQ 的斜率不存在时，易知也过定点（1，0）. 以上几例，运用“设而不求”的技巧，注意了运算的合理性，目的性，同时用到了韦达定理，中点坐标公式，向量垂直的充要条件等，使思路更加清晰，运算得以简化.。
圆锥曲线解题技巧和方法综合方法
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型:(1) 中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两 点为(X i ，yJ ， (x 2 ,y 2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系 及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参 数。
2 2X 7 如：(1) r T =1(ab 0)与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为a b M(x o ,y o )，则有畤 2k = O 。
a b 2 2 (2) 笃-% fa 0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为 a b(3) y 2=2px (p>o )与直线I 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x °,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p.2典型例题 给定双曲线X 2 -亍=1。
过A (2，1)的直线与双曲线交于 两点P i 及P 2，求线段P i P 2的中点P 的轨迹方程。
(2) 焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F i 、F 2构成的三角形问题，常用 正、余弦定理搭桥。
2 2典型例题 设P(x,y)为椭圆 J 七二1上任一点，F i (-c ,o)， F 2(c,o )a b 为焦点，• PF/?二〉，PF 2F 1 二。
sin (口 + P )(1) 求证离心率e 二sina + sin P M(x o ,y o)则有 直 Yoa 2b 2(2)求IPF J PF2|3的最值。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程2=p(x 1)(p 0)，直线y = t与轴的交点在抛物线准线的右边。
(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B，且0A丄OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
设计反思与总结7篇
设计反思与总结7篇设计反思与总结篇120-年过去了一半儿，在这一年的工作和生活中，我到底应如何进行总结呢?这个问题有一定的难度。
自己评价自己，自己总结自己，必须力求客观，避免成一家之言，要全面、立体地解剖自己。
看清优势，寻找问题，借总结之机，欲上层楼。
故此，回首20-年的履迹，罗列如下：一、主要工作内容1、完成上级领导布置的工作任务作为下属，我们绝对服从领导的安排，因为我们相信公司的领导们都是为了公司能够得到的利益而时刻努力，所以我们要向领导们学习，前仆后继，尽心尽力为公司的进步作出的努力。
2、公司单项、综合性促销活动的宣传气氛及节日卖场气氛布置每一次我们都为了让视觉更加美观而仔细研究，商讨怎样布置才能让视觉的效果更加有气氛，所以每当有比较大型的活动，我们都会加班加点完成。
3、橱窗陈列及商品展示台的布置我们每一年都会换好几次橱窗的陈列，为的是让顾客更有新鲜感，觉得我们的百货公司走在时代的尖端。
4、广告、灯箱、招贴画的制作和安装另外，我们还负责一部分专柜的广告、灯箱画的制作和安装，由于制作灯片比较耗时，而且价钱也比较高(一张灯片就要上千元)，所以我们每次制作及安装都会小心翼翼，尽量将灯片毫无差错地安装完成。
5、负责卖场的座牌和吊牌的制作每一次商场要推出大型的促销活动或者更换视觉布置，都需要制作一些座牌和吊牌。
策划部作出统计及策划，我们美工组就负责制作及下发;基本上每次活动前，各卖场的座牌就可以到位。
二、工作中的不足之处我在设计工作中形式主义的作风严重，花大量的时间，而做无用的事。
不求实际结果怎么样，只向别人证明我干了。
这种不求实际的工作做法是很不可取的。
作为设计部的主管人员，一年来，我在培养新人上，做到了把自己所有掌握的专业知识毫无保留的教给了两位设计部新人，同时，他们也在设计工作中不断的成长。
在领导方法上，因为新老员工的年龄较小，性格不一，所以我努力做到新老员工之间的平衡，使能他们更有效的完成设计工作。
设而不求,过河拆桥
设而不求,过河拆桥作者：申有山来源：《教师·上》2011年第03期轨迹问题是解析几何的基本问题之一，常见的求轨迹问题的方法和技巧很多，如：坐标法、定义法、参数法、复数法等.本文着重讨论巧用方程思想和化归思想来分析和解决一类轨迹问题。
在一个轨迹问题中，往往涉及两个或两个以上的动点，如果要求轨迹的动点（未知动点）随着其他动点（已知动点）的变动而变动，我们可将己知动点和未知动点的坐标一一设出，并且列出动点坐标所满足的关系式，既而利用方程思想，设法消去己知动点的坐标，最后得到未知动点的坐标x，y所满足的关系式，即为所要求的动点的轨迹方程；在整个解题过程中，已知动点的坐标无须一一求出，只是作为一个中间桥梁，在解题过程中被消去。
这种处理轨迹问题的技巧我们称为“设而不求”。
以下举例说明这种技巧的应用。
例1 求圆x2+y2=r2的对定点C(c,0)张直角的弦的中点P的轨迹.这里2r2>c2且r2≠c2.分析:由于动弦的端点A、B在定圆上，而中点P的位置只依赖于A、B的位置，因此可设A、B、P的坐标分别为(x1,y1) (x2, y2) 、(x,y) ,问题涉及六个变量x1,y1,x2, y2,x,y，我们的目标是寻求x,y间的函数关系，因此希望得到五个独立等式。
解：设A(x1,y1) 、B(x2, y2) 、P(x,y) ,则x12+y12=r2...（1）x22+y22=r2...（2）x=...（3）y= (4)（例1图）又AC⊥CB,故kAC•kBC=-1即•=-1 ∴y1y2+（x1-c）（x2-c）=0(5)(3)2+(4)2得：x2+y2=（x12+y12+x22+y12+2x1x2+2y1y2）将(1)(2)代入得：x2+y2=（r2+x1x2+y1y2）由(5)且利用(3)式得：x2+y2=r2+（2cx-c2）即x-2+y2=（*）故所求轨迹为圆（*）在已知圆内的部分。
说明：“设而不求，过河拆桥”正是此类问题常用的解题策略。
招教 笔试 技巧类 数学笔试考试中的解题技巧——设而不求 付明慧 自主原创 20120322
数学笔试考试中的解题技巧——设而不求招教产品中心 付明慧设而不求是数学解题中的一种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果。
在招教笔试考试中，时间短，题量大，大部分考生做题速度有待提高，因此，本文在总结各地历年招教真题的基础上，将对设而不求的常见类型加以归纳，供各位考生借鉴与参考。
一、整体代入，设而不求在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决。
例1. 已知等比数列}a {n 中，64S 16S m 2m ==，，求m 3S 。
解：设公比为q ，由于m m 2S 2S ≠，故1q ≠于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=--><=--264q 1)q 1(a 116q 1)q 1(a m 21m 1<2>÷<1>得4q 1m =+，则3q m = 所以q 1)q 1(a S m 31m3--=208)331(16)q q 1(q1)q 1(a 2m 2m m 1=++⨯=++--=二、转化图形，设而不求 有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解。
例2. 设a 、b 均为正数，且1b a =+，求证221b 21a 2≤+++。
证明：设)1v 1u (1b 2v 1a 2u >>+=+=，，，m v u =+则u 、v 同时满足⎩⎨⎧=+=+4v u m v u 22其中m v u =+表示直线，m 为此直线在v 轴上的截距4v u 22=+是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧（如图1），显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m 的值最大。
图1由图易得22m max = 即221b 21a 2≤+++三、适当引参，设而不求恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决。
高中数学 圆锥曲线问题中的“设而不求”含答案
圆锥曲线问题中的“设而不求”设而不求是解析几何中一种常用的重要方法和技巧，它能使问题简化。
但如何使用这种方法，在使用中应注意哪些问题，却经常困扰着同学们。
在此笔者愿跟大家谈谈对上述问题的看法与认识。
一、 哪些问题适合“设而不求”一般说来，解题中涉及不到但又不具体求出的中间量（称为相关量）可采取“设而不求，整体思想”。
具体体现在：①与弦的中点有关的问题；②定值与定点问题；③对称性问题。
中点坐标公式、斜率公式和根与系数的关系是“设而不求，整体思想”的马前卒。
1、与弦中点有关的问题例1、 已知ABC ∆是椭圆1162022=+y x 的一个内接三角形，且)4,0(A ，若ABC ∆的重心恰为椭圆的右焦点，求BC 边所在直线的方程。
2、定点问题例2、 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O 。
3、对称问题例3、 已知椭圆13422=+y x 上存在两个不同的点关于直线m x y +=4对称，试确定m 的取值范围。
二、“设而不求，整体思想”中应注意的两个问题1、注意隐含条件例4、 已知双曲线12422=-y x ⑴过)1,1(M 的直线交双曲线于A 、B 两点，若M 为弦AB 中点，求直线AB 的方程。
⑵是否存在直线l ，使点)21,1(N 是直线l 被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线l 的方程 ，若不存在，说明理由。
2、注意参数对取值范围的影响例5、 求过点)2,0(P 的直线被椭圆2222=+y x 所截弦的中点的轨迹方程。
圆锥曲线问题中的“设而不求”的思想1、过点A ()21，的直线与双曲线x y 2221-=交于M N 、两点，求弦MN 的中点P 的轨迹方程。
2 、已知A 、B 是抛物线y px p 240=>()上原点O 外的两个动点，已知OB OA ⊥，求证：AB 所在直线必过一个定点。
设而不求整体代换——圆锥曲线解题技巧
设而不求 整体代换——圆锥曲线解题技巧
佟孟霖
河北衡水中学 高三 688 班 圆锥曲线问题综合性强，计算量大，好多人做题时虽有清 晰的思路，却因计算不过关，半途而废。在这里分享给大家以 简化计算的技巧——设而不求，整体代换。 设而不求，实际上是利用韦达定理，整体代换，简化运算 步骤，而我们基本的解题思路不变，一般我们在出现 x1+x2, x1x2 或出现圆锥曲线表达式时使用，而弦长公式，中点公式（对称 问题） ，斜率，向量关系，重心公式经常涉及到 x1+ 作斜率 - 的直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，求椭 圆 C 的离心率。 解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 + ② + ① 所以 m= 所以 m ,而 , ). (-2,2),
故 k=-
,又
, 过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1) 求椭圆 C 的方程 (2) 点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1,PF2, 所以 = ( )=(=-8.
设∠ F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0), 求 m 得取值 范围 ; （3）在（2）的条件下，过 P 点作斜率为 k 的直线 l, 使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2 若 k2 ≠ 0, 证明 为定值，并求出这个定值。
所以
为定值，这个定值为 -8.
总结 : 本题对题目涉及的变量巧妙的引进参数， （如动点坐 标，动直线方程等） ，利用题目条件和圆锥曲线方程组成二元二 次方程组，在化为一元二次方程组，从而利用跟与系数的关系 进行整体代换，达到设而不求，减少计算的效果，直接的定值。
减少解析几何解答题计算量的技巧
减少解析几何解答题计算量的技巧作者：张宏翀来源：《高中生·高考指导》2015年第02期技巧1：用好数形结合思想和“设而不求”法学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大.事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程以及“设而不求”法，往往能够减少计算量.像直线与圆锥曲线的相交关系，高考一般进行重点考查.这种凡涉及圆锥曲线中的弦长问题，我们常用的技巧是将直线与圆锥曲线方程联立，用根与系数的关系、整体代入和“设而不求”法，除了运用代数方程外，还要注意充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识（如三角形的面积问题），使问题简单、直观化，从而能够顺利解决.例1 已知抛物线C：y2=2px（p>0）上有一点Q（2，y0）到焦点F的距离为 ; .（Ⅰ）求p及y0的值.（Ⅱ）如右图所示，设直线y=kx+b与抛物线交于A，B两点，且两点的纵坐标差的绝对值为2.过弦AB的中点M作垂直于y轴的直线，与抛物线交于点D，连接AD，BD.试判断△ABD的面积是否为定值.若是，求出定值;若不是，请说明理由.难度系数 0.60分析本题考查抛物线的标准方程与几何性质，利用抛物线的定义就能解决.直线与抛物线的相交位置关系问题，一般方法是先联立方程，利用“设而不求”法解题，同时要注意判别式的限制作用.三角形的面积要用顶点的坐标来表示，这是解析几何中常用的技巧，一定要引起重视，熟练掌握.解（Ⅰ）由于点F的坐标为（ ; ，0），所以2+ ; = ; ，解得p=1.于是可知抛物线的方程为y2=2x.又Q（2，y0）在抛物线上，所以y0 =±2.（Ⅱ）设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则有|y1-y2|=2.由y=kx+b，y2=2x，得k2x2+2（kb-1）x+b2 =0.由Δ>0，得1-2kb>0.所以有x1+x2 = ; ，x1x2 = ; .由于|y1-y2|2 = k2|x1-x2|2 =k2[（x1+x2）2- 4x1x2]= ; = 4，所以1-2kb= k2.又M是AB的中点，所以 ; = ; ， ; = ; = ; +b= ; .于是可知点M的坐标为（ ; ， ; ），点D 的坐标为（ ; ， ; ），则有|MD|= | ; - ; |=| ; |.所以S△ABD= ; ·|MD|·|y1-y2|= ; ·| ; |·2= ; ，即△ABD的面积为定值.小结本题的第一问考查抛物线的定义及标准方程等基本知识，较容易解决.第二问考查直线与抛物线的位置关系，常常需要将直线方程与抛物线方程联立后消元，再利用判别式和根与系数的关系进行解答，也就是我们常说的“设而不求”法，这样就可以大大优化解题过程.上面由方程组实施消元，产生一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到，其中的难点在于应用参数k，b，重点在如何消去参数.而引入参数、应用参数、消去参数这三步，正是解析几何综合问题求解的一条有效途径.直线与圆锥曲线相交所得的三角形的面积问题，学生要注意用三角形顶点的坐标表示其面积，如上题中的S△ABD= ; ·|MD|·|y1-y2|，当然也可以用横坐标表示，这样就实现了坐标与面积的完美结合，使问题顺利解决.技巧2：用好曲线的定义和弦长公式在求过圆锥曲线焦点的弦的长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂的运算.另外，充分利用现有的结果（如弦长公式：|AB|= ; · |x1-x2|= ; · ; = ; ·|y1-y2|= ; · ; ），学生就能减少运算过程.而直接应用结论，通常能减少配方、开方等繁杂的运算过程.例2 已知椭圆C：x2+2y2 = 4.（Ⅰ）求椭圆C的离心率.（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.难度系数 0.50分析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质、运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.解（Ⅰ）据题意可知椭圆C的标准方程为 ; + ; =1.于是有a2=4，b2=2，从而有c2=a2-b2=2，即a=2，c= ; .故椭圆C的离心率e= ; = ; .（Ⅱ）直线AB与圆x2+y2 = 2相切.证明如下：设点A和点B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0.由于OA⊥OB，所以 ; · ; =0，即tx0+2y0=0，解得t=- ; .①当直线AB的斜率不存在时，有x0= t，则有y0= - ; ，所以点A的坐标为（t，- ; ）.将点A的坐标代入椭圆C的方程，得t=± ; ，所以直线AB的方程为x=± ; ，圆心O到直线AB的距离d= ; .此时直线AB与圆x2+y2=2相切.②当直线AB的斜率存在时，有x0≠ t，此时直线AB的方程为y-2= ; （x-t），即（y0-2）x-（x0-t）y+2x0-ty0=0，所以圆心O到直线AB的距离d= ; .又x20+2y20= 4，t=- ; ，所以d= ; = ; = ; .此时直线AB与圆x2+y2 = 2相切.综上所述，直线AB与圆x2+y2 = 2相切.小结离心率是高考对圆锥曲线考查的重点.求离心率的取值范围问题也是解析几何中常见的问题.在求解时，学生可根据题意列出关于a、b、c的相应等式或不等式，并将式中的a、b、c转化为只含有a、c的齐次式，再转化为含e的等式或不等式，最后求出e或e的范围.这类问题较为基础、简单，一般在选择题、填空题或解答题的第一问中出现，是送分题.只要熟练掌握圆锥曲线的几何性质，学生一般就可以顺利解决.凡出现直线问题，若不能确认其位置，需要对直线的斜率是否存在进行讨论.如本题的第二问，这是解决问题的关键，从而体现了分类讨论思想的作用.另外，圆锥曲线弦的中点与斜率问题通常用“点差法”来解决，焦点三角形问题通常用正弦定理和余弦定理搭桥，曲线上两点关于直线的对称问题常考虑三步：求两点所在的直线，求这两条直线的交点，使交点在圆锥曲线内.若OA⊥OB，则常用 ; · ; =0或将k1k2= ; =-1转化为x1x2+y1y2=0来落实.有关圆锥曲线的焦点弦问题，学生可结合图形和运用圆锥曲线的定义，来回避复杂的运算，同时利用韦达定理、“设而不求”法能有效减少计算量.。
“设而不求”解题技巧在初中数学中的应用
“设而不求”解题技巧在初中数学中的应用作者：贺智峰来源：《新教育时代》2014年第06期摘要：初中数学课程中的大部分题目通常可以采取"先设后求"法得到有效解答，但部分情况下，可能会因思维定式导致一些题目的解题过程反而变得繁杂，因而教师还需要在常规教学的同时，引导学生逐渐掌握"设而不求"解题技巧，开拓解题的新思路，在提高解题效率的同时也提高了学生的学习趣味性，培养学生的积极思考与主动探索能力。
本文选取初中数学中的代表性知识点对"设而不求"解题思路的应用进行了分析。
关键词：设而不求解题技巧应用分析“设而不求”是数学解题中的常见技巧，相比“先设后求”方法，“设而不求”将解题过程由繁变简，从而有效降低了解题难度，结合初中数学中的代表性知识点，对“设而不求”技巧分析如下。
一、“设而不求”的概念结合某直角三角形的求面积问题对“设而不求”问题的概念进行分析。
已知该直角三角形周长为 cm，其斜边中线的长度为1cm，据此计算三角形面积。
解题思路如下：将该三角形的斜边长度设为z，由于斜边中线的长度为1cm，据此可以得出其斜边长z=2cm，那么再将两直角边的长度设为x，y，总面积为S，根据以上条件可以列出方程[1]x+y+2= （1）x+y=2 （2）（3）由步骤（1）可知x+y=将等式两边进行平方可得x2+y2+2xy=6再将步骤（2）与（3）带入到方程式x2+y2+2xy=6中，简化可得4+4S=6因而S=0.5，即三角形面积为0.5cm2。
本题中，只要求了求面积S数值，但通过使用“设而不求”，在设置未知量时多设置了x与y两个未知数，利用各未知数之间的联系，建立等量式，利用方程最终算出S的数值，x和y 就是典型的“设而不求”数值。
[2]“设而不求”中所设的未知数，我们又称之为辅助元素，作为为了解决问题而增设的参数，能够有效联系题中给出的数量间关系，从而发挥桥梁连接作用，联系未知数和已知数。
椭圆设而不求法的解题步骤
椭圆设而不求法的解题步骤椭圆是一种常见的几何图形，具有许多重要的性质和应用。
在解题中，我们可以通过一些步骤来分析和解决与椭圆相关的问题。
步骤一：了解椭圆的定义和性质在解题之前，首先要了解椭圆的定义和一些重要的性质。
椭圆是一个平面上的点集，其到两个焦点的距离之和恒定。
椭圆还具有两个重要的参数——半长轴和半短轴，它们分别对应于椭圆的长度和宽度。
另外，椭圆还有一个重要的特性是离心率，它是描述椭圆形状的一个指标。
了解这些基本概念和性质，对于解题有很大的帮助。
步骤二：画出椭圆的图形在解题之前，通常需要先根据已知条件画出椭圆的图形。
根据椭圆的定义和性质，可以确定椭圆的中心、焦点、轴、半长轴和半短轴等要素。
通过画图，可以更好地理解问题，并找到解题的方向。
步骤三：确定已知条件和求解目标在解题之前，需要明确已知条件和求解的目标。
已知条件是问题中已经给出的信息，包括椭圆的参数、焦点坐标、点的位置等。
求解目标是问题中需要计算或求解的量，例如找到椭圆的方程、求点到椭圆的距离等。
步骤四：应用椭圆的性质和公式进行计算在求解过程中，可以应用椭圆的性质和公式，进行计算和推导。
椭圆具有许多重要的公式和性质，例如椭圆的标准方程、焦点的坐标、点到椭圆的距离公式等。
根据已知条件和求解目标，可以运用这些公式和性质进行计算。
步骤五：检查和分析结果在计算完成之后，需要对结果进行检查和分析。
对于椭圆相关的问题，可以检查计算结果是否合理，与已知条件和问题约束是否符合。
另外，还可以分析结果的几何意义和实际应用，探索数学和几何背后的意义和本质。
步骤六：总结和归纳解题思路在解题过程中，逐步总结和归纳解题的思路和方法。
椭圆是一个复杂的几何图形，但通过合理的思考和分析，可以运用椭圆的性质和公式来解决问题。
总结解题思路和方法，可以帮助我们更好地理解和掌握椭圆的性质和应用。
总的来说，解决椭圆相关问题的步骤包括了解椭圆的定义和性质、画出椭圆的图形、确定已知条件和求解目标、应用椭圆的性质和公式进行计算、检查和分析结果，以及总结和归纳解题思路。
“设而不求”解题技巧在初中数学中的应用
一、“设而不求”的概念
结合某直角三角形的求面积问题对“设而不求”问题的概念进 行分析。已知该直角三角形周长为ｃｍ，其斜边中线的长度为ｌｃｍ， 据此计算三角形面积。解题思路如下： 将该三角形的斜边长度设为Ｚ，由于斜边中线的长度为 ｌｃｍ，据此可以得出其斜边长ｚ＝２ｃｍ，那么再将两直角边的长度设 为ｘ，ｙ，总面积为Ｓ，根据以上条件可以列出方程［１１ ｘ＋ｙ＋２＝２＋如 （１）
求”解题技巧，一般隋况下为先设定未知数，再逐渐带入分式，利用
分数分子与分母间的关系和分数特质，得出多个解答方程式，联系 这些式子进行演算，进而得出最终答案。同
三、利用“设而不求”解答几何问题
以某几何问题为例，对解答分数方程时“设而不求”技巧的应 用进行分析： 题目：在某直线上一次存在四个点，分别为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，证明
ｘ＋ｙ＝２
（２）
（３） ３２瓦１ 由步骤（１）可知ｘ＋ｙ＝，／ｇ 将等式两边进行平方可得ｘ％ｙ２＋２ｘｙ＝６ 再将步骤（２）与（３）带入到方程式ｘ％ｙ％２ｘｙ＝６中，简化可得
４＋４Ｓ＝６
综合该题解题步骤及思路，可知引入代数方面的知识可以使 得几何证明问题更加简单。灵活的运用代数知识解答几何问题，能 够有效简化原有的证明题，通过“设而不求”技巧的运用，能够有效 降低几何题整体难度，促进学生更快掌握解题方法，培养解题思 路。上题中所设线段长度，在进行证明的过程中，发挥了良好的桥 梁连接作用，优化了证明过程，要证明的问题更加明晰。圈 四、利用“设而不求”转化方程问题 以某方程题为例，对解答分数方程时“设而不求”技巧的应用 进行分析： 题目：现有方程Ｘ２一ｌｌｘ＋（３０＋Ｋ）＝０有两个根，且均大于５，求 实数Ｋ取值范围。 解题思路分析： 设ｖ＝Ｘ一５，贝０ ｘ＝ｙ＋５习Ｂ么 原方程可以变换为ｙ２－ｙ＋Ｋ＝０ 又因为Ｘ＞５，故而Ｙ＞０ 所以原方程有两根且均为正根 那么（一１）２—４Ｋ≥０，且Ｋ＞０，最终得出０＜Ｋ≤０．２５ 综合上述解题思路及步骤，在方程问题的解题过程中，首先应 该找到各知识之间的联系点，才能有效解决问题，在此基础上，通 过运用“设而不求”方法，把较为复杂的原方程式进行简化，最终解 题的方法就是寻找相应字母来代替代数式。在例题中，已知方程的 两根大于５，那么为了得出新方程，设根减５为新的未知数即可， 最终由两根均为正根得出实数Ｋ的范围ｍ一。 另外，在实际运用“设而不求”解题技巧时，需要引导学生明确 设立未知参数。在参数设置时，引导学生只求必要参数，找到关键 参数，还要培养学生准确总结关系式的能力，避免学生解题绕远 路。最终总结出关系式后，要进一步消除不必须的参数，结合韦达 定理等方程常见定理与计算方法，得出答案。Ⅲ 结束语： “设而不求”的解题技巧，立足于数学问题的整体结构意义，又 注重后期的灵活变式与整体思想的合理运用Ⅲ。能够有效拓宽学 生的整体思维领域，培养学生在数学解题过程中广泛发散思维，灵 活变通。尤其是针对代数与解析几何等数学问题，巧妙的“设而不 求”能够发挥明显作用，最大程度上减轻计算量，精简计算过程，有 效提高整体解题效率。在难度较大的应用题解题时，适当采用“设 而不求”方法也能让题目相对简化。随着数学教学方法的丰富化， 教师在课堂上应该结合课本基础知识，充分培养学生的“设而不 求”解题能力，从而有效提高教学质量。 参考文献：
人教版数学-备课资料解析几何中的设而不求解题技巧
解析几何中的设而不求解题技巧解析几何是中学数学的重点内容，也是高考主要考察的地方，解析几何的方法与技巧也较多，其中一类的问题是设而不求，就是可以设出有关的点，或设出有关的变量，通过这些变量来解决问题，而设出的这些变量不用求出来，只是参与解题，通过这一桥梁作用求出问题，解决问题，下面就常用的设而不求的类型总结如下，希望对同学有所帮助。
一 遇到中点问题一般用设而不求例1 ,椭圆Q ：)0( 12222>>=+b a by a x 的右焦点为F （c,0），过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点. （1）求点P 的轨迹H 的方程；（2）若在Q 的方程中，令θθsin cos 12++=a ， ).20(sin 2πθθ≤<=b 确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远. 此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么 位置时，三角形ABD 的面积最大？（1）设椭圆),(1:112222y x A by a x Q 上的点=+、),(22y x B ，又设P 点坐标为),(y x P ，则),(y x P ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2222222222212212ba y a xb ba y a xb 1°当AB 不垂直x 轴时，21x x ≠，由①—②得)(.0,,02)(2)(22222222121212212*=-+∴-=-=--∴=-+- cx b y a x b cx yy a x b x x y y y y y a x x x b2°当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（*） 故所求点P 的轨迹H 的方程为：022222=-+cx b y a x b（2）因为，椭圆Q 右准线l 方程是c a x 2=原点距椭圆Q 的右准线l 的距离为,2ca,1||),0,2(,1,1,2.,2,,2).42(2cos 1cos sin 1).20(sin ,sin cos 1,22222222======+=+++=≤<=++=-=DF D c b a l Q in c a b a b a c 此时最远的右准线原点距椭圆时所以当上式达到最大值时当则由于πθπθπθθθθπθθθθ),(112:1122y x A y x Q 上的点设椭圆=+、),,(22y x B.0,1,2484,11,)2()1(84)()(4,21,22.012)2(,112,1.||21||21||212222221221221222122122222121取等号当得令由韦达定理得得中代入的方程为设直线面积===≤≥+=++=-+=-=+-=+-=+=-++=++=-=+=∆k t t tS k t k k y y y y y y S k y y k k y y ky y k y x ky x m y y y y S ABD 因此，当直线m 绕点F 转动到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大. 点评：求圆锥曲线的弦的中点轨迹问题时一般用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线的交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，代入圆锥曲线方程两式相减便可求出中点坐标与斜率的关系。
苏教版数学高二-2.2素材 “设而不求法求直线与椭圆相交问题
“设而不求”法求直线与圆锥曲线相交问题处理直线与椭圆相交问题，一般技巧是采用设出交点坐标，但不求出，利用韦达定理和相关坐标去把问题转化．下面用一例说明．例 已知点P(4，2)是直线l 被椭圆236x ＋29y = 1所截得的线段的中点，求直线l 的方程．分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数之间的关系，直接求出x 1＋x 2、x 1x 2(或y 1＋y 2、y 1y 2)的值代入计算即得．并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法在圆锥曲线中要经常用到．本题涉及到直线被椭圆截得弦的中点问题，也可采用点差法或中点坐标公式，运算会更简便．解法一：设所求直线方程为y －2 = k(x －4)，代入椭圆236x ＋29y = 1中，整理得(4k 2＋1)x 2－8k(4k －2)x ＋4(4k －2)2－36 = 0． ①设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根， ∴x 1＋x 2=28(42)41k k k -+．∵P(4，2)为AB 中点， ∴4 =122x x +=24(42)41k k k -+⇒k =－12． ∴所求直线方程为x ＋2y －8 = 0．解法二：设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， ∵P(4，2)为AB 中点，∴x 1＋x 2= 8，y 1＋y 2= 4．又∵21x ＋214y = 36，22x ＋224y = 36，两式相减得(21x －22x )＋214(y －22y ) = 0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2) = 0， ∴1212y y x x --=1212()4()x x y y -++=－12，即AB k =－12， ∴所求直线方程为x ＋2y －8 = 0．解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x ，y)，另一个交点为B(8－x ，4－y)，∵A 、B 在椭圆上，∴x 2＋4y 2= 36，① (8－x)2＋4(4－y)2= 36，② ①－②得x ＋2y －8 = 0，∵A 、B 两点同时满足方程x ＋2y －8 = 0， ∴所求直线方程为x ＋2y －8 = 0．评析：这是一个技巧性较强的题目，关键是怎样求出k =1212y y x x --的值．从上述解题过程中看出，巧妙地将一个方程减去另一个方程，分解因式，就得到(x 1＋x 2)、(x 1－x 2)、(y 1＋y 2)、(y 1－y 2)的关系式，而(x 1＋x 2)、(y 1＋y 2)是可以由中点坐标公式求出具体数值的，从而k =1212y y x x --的值可以求出来．“设而不求”是处理此类问题的有效方法．有关直线与二次曲线相交弦中点问题常用解法二(点差法)来解决．点差法最常用来求中点弦问题，具体解题的步骤是：设点(即设出弦的端点坐标)——代入(即代入曲线方程)——作差(即两式相减)，目的是与中点坐标、弦的斜率联系起来．。
小学数学竞赛：行程问题基础.教师版解题技巧 培优 易错 难
1. 行程的基本概念，会解一些简单的行程题.2. 掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法：“特殊值法”、“设而不求法”、“设单位1法”3. 利用对比分析法解终（中）点问题一、s 、v 、t 探源我们经常在解决行程问题的过程中用到s 、v 、t 三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。
那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下。
表示时间的t ，这个字母t 代表英文单词time ，翻译过来就是时间的意思。
表示速度的字母v ，对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是velocity ，而不是我们常用来表示速度的speed 。
velocity 表示物理学上的速度。
与路程相对应的英文单词，一般来说应该是distance ，但这个单词并不是以字母s 开头的。
关于为什么会用s 来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的v 和代表时间的t 在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的s 来表示速度。
二、关于s 、v 、t 三者的基本关系速度×时间=路程 可简记为：s vt = 路程÷速度=时间 可简记为：t s v =÷ 路程÷时间=速度 可简记为：v s t =÷三、平均速度平均速度的基本关系式为： 平均速度=总路程÷总时间； 总时间=总路程÷平均速度； 总路程=平均速度⨯总时间。
板块一、简单行程公式解题【例 1】 韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：4802024÷=(米/分)，现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为241640+=(米/分)，那么现在上学所用的时间为：4804012÷=(分钟)，7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校．【答案】7点52分【巩固】 小白从家骑车去学校，每小时15千米，用时2小时，回来以每小时10千米的速度行驶，需要多少时间？【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 从家到学校的路程：15230⨯=（千米），回来的时间 30103÷=（小时）． 【答案】3小时【例 2】 甲、乙两地相距100千米。
高考数学专题突破：数学方法(特殊解法)
高考数学专题突破：数学方法（特殊解法）一．知识探究：1．换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α ，α∈[0,π2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量X围的选取，一定要使新变量X围对应于原变量的取值X围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
2．待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。