高考数学陷阱(特级教师整理!)

高考数学常见陷阱大搜索

上海市七宝中学 李广学

在高考中，为了考查考生思维的严谨性和深刻性，常常需要设计一些具有陷阱的试题，以期扩大考试梯度、提高信度。由于高考时间非常紧迫，来不及对问题深思熟虑，如果学生对知识和方法的掌握有缺陷，那么将毫无意识地纷纷落入陷阱，等到考试后，脑子清醒下来又会恍然大悟，影响情绪，打击信心。为了解决这个问题，现将常见的陷阱进行暴光，防止解题失误，提升高考数学成绩．

1． 集合 A 、B ，∅=⋂B A 时，必须注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；A B A =⋂,B A ⊆⇒必须注意到∅=A 。例如：已知，A={}{},11log ,22<-=

由条件知道，,B A ⊆必须讨论a 0≤时的∅=A 的情况。

2． 函数的两个性质：

（1）如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+，那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.

（2）函数()x a f y +=与函数()x a f y -=的图象关于直线0=x 对称.

这两感个问题是有本质区别的，（1）是研究一个函数的图象性质，（2）是研究两个函数的图象性质

3． 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，必须注意函数的定义域。例如：求函数

f(x)=x 2-1(x 1≥)的反函数。正确答案为)0(1)(1≥+=-x x x f 。

4． 原函数()x f y =在区间[]a a ,-上单调递增，则一定存在反函数，且反函数()

x f y 1-=也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．例如：函数y=⎪⎩⎪⎨⎧-∈≥)0,1(,10,x x

x x 存在反函数，此函数不具备单调性．

5． 函数的定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的必要非充分条件。

例如：函数y=x x x x cos sin 1cos sin 1-+++,当x=2π时函数值为1，当x=-2

π时函数没有意义，所以不具备奇偶性，没有必要进行化简。

6． 在处理与正（余）切、正（余）割有关的问题时，必须考虑他们本身的定义域。例如：求函数y=x tg 211-的定义域。必须考虑2x ≠k Z k ∈+,2

ππ.

7． 三角函数求值时，要注意范围的压缩，否则容易产生增解。例如：已知

sin θ+cos θ=51,θ),0(π∈,求ctg θ的值。两边平方后用万能公式，可以得到ctg θ=-43或者-34，把范围压缩到⎪⎭

⎫ ⎝⎛43,2ππ，就知道解为-43。 8． 对数函数有关的问题，必须注意真数与底数的限制条件，真数大于零，底数大于零且不

等于1，字母底数还需要讨论。例如：求函数f(x)=log 5.0(x 2-5x-6)单调区间。必须在定义域内进行，正确答案为（6，+∞）

9． “实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042

≥-=∆ac b ”，必

须注意0≠a ；当a=0时，“方程有解”不能转化为042≥-=∆ac b ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，需要考虑到二次项系数可能为零的情形。

例如：函数f(x)=(a 2-1)x 2+2(a-1)x+1的图象恒在x 轴的上方，必须考虑a=1的情形。

10． 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，必须注意到它们

各自的取值范围。

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是],0[],2,0[,2,0πππ⎥⎦

⎤ ⎝⎛. ②直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角的取值范围依次是]2,0[),,0[),,0[π

ππ．

③向量的夹角的取值范围是[0，π]

11．在立体几何的图形分析时，要考虑各种方位所带来的各种可能的情形。例如：与四面体

四个顶点距离相等的平面有几个？应该考虑平面的一旁1个点另外一旁3个点，以及两旁都是两个点的情况，所以共有7个平面。

12．现在研究一元二次方程时，应该分清系数是实数还是虚数，即使是系数是实数还应该分

是实根还是虚根，因为两者的处理方法不同。例如：若βα,为方程x 2+4x+m=0(m ∈R)的两个根，并且βα-＝２，求m 的值得。本题应该分βα,为实根还是虚根两种情况分别解决，正确答案为m=3或５。

13．对于一个与无理方程、分式方程、对数方程或者不等式有关的问题，必须进行结论的检验。例如：已知向量{}{}__,120,3,0,,0,3,2==-=k b a k b a o 则所成角为与若。 容易求出.3939,39-==±=k k k 为增根，所以但是验证后知，

14．换元和消元时必须注意参数的取值范围，保证变化前后的等价性。例如：若关于x 的方程m x x =⋅-+-+-115425有实根，求实数m 的取值范围。通常是用换元法，令t=15+-x 。

命题等价变化为：方程042

=--m t t 在](1,0内有实根。而不是新方程有实根。 15．用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式22⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab 等求函数的最值时，要注意到a ，b +∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值。例如：求y=sin 2x+),0(,sin 42π∈x x

的最小值。有这样一种做法，。。但是的最小值为所以4sin sin 4sin 4,4sin 4sin 242222=⇒==⋅≥x x

x y x x y 这是不可能成立的。正确的方法应该是令t= sin 2x ](1,0∈,这样y=t+t

4,t ](1,0∈,然后利用奈克函数的性质可以求出y 的最小值为5。

16．利用数形结合解题时，必须注意变量的范围对图形的影响。例如：已知

{}0),(=-=y kx y x A ，{}1),(-==x y y x B ，若Φ=B A ，求实数k 的取值范围。问题可以转化为直线y=kx 与半抛物线y 2=x-1(y ≥0)不相交时k 的取值范围。不能认为是整个抛物线。

17．在进行曲线平移时，必须准确确定平移的方向与平移的单位。例如：曲线y=2lg(3x-1)

经过怎样的平移时，就能得到y=2lg3x 的图象？首先变形为y=2lg3(x-

31)，就可以从符号与数值上确定向左平移3

1个单位。容易误认为向向左平移1个单位。 18．在解决与范围有关的问题时，对区间的端点要引起特别关注。例如：已知A=(){

}1,251,251=⋂-+--Z A x x ，求x 的范围。因为A 中有唯一的整数，所

应该介于0与1之间，0和1时，

A=(0,2),=0时，A=Φ,不适合要求。所以≤1,答案为2

52<≤x 。 19．在分类讨论时，首先确定分类标准，然后要既不重合也不遗漏的全方位进行讨论。例如：

解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”

20．在应用等比数列求前n 项和时，需要分类讨论．1=q 时，1na S n =；1≠q 时，

q

q a S n n --=1)1(1。 21．用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，必须注意到11S a =的特殊情形。