5.11勒让德函数及其应用
关联勒让德函数
勒让德函数（Legendre functions）是一类特殊的数学函数，它们是勒让德微分方程的解。
勒让德函数在物理学和工程学等领域中具有广泛的应用，特别是在描述球形对称问题和电势分布中常被使用。
勒让德函数包括勒让德多项式和勒让德球谐函数两种形式。
1. 勒让德多项式（Legendre polynomials）通常表示为Pn(x)，其中n是多项式的次数。
勒让德多项式具有以下特点：
-是关于自变量x的多项式；
-是正交函数，即在一定区间上的内积为零；
-满足勒让德微分方程。
2. 勒让德球谐函数（Legendre spherical harmonics）通常表示为Ylm(θ, φ)，其中l和m 是整数，θ和φ是球坐标系中的角度。
勒让德球谐函数具有以下特点：-描述球形对称问题中的解；
-与勒让德多项式有关，也涉及球坐标系的角度。
勒让德函数可以通过递推关系、积分定义和级数展开等方式求解。
它们在物理学中的应用包括描述量子力学中的杂化原子轨道、球形边界值问题中的电势、地球的引力场等。
此外，勒让德函数还与球面谐振子、球谐函数叠加和球形天体力学等领域密切相关。
勒让德函数在求解变系数微分方程中的应用
勒让德函数在求解变系数微分方程中的应用勒让德函数在求解变系数微分方程中的应用
勒让德函数（Legendre Function）是一类常数取值的特殊函数，主要用来解决求解
变系数微分方程（ODE）中的整数阶不等式限制条件的问题。
它是从十七世纪著名数学家
勒让德（Adrien-Marie Legendre）所发展出来的，他利用整函数方法来求解数学问题，
尤其是变系数微分方程（ODE）的问题。
勒让德函数被广泛应用在求解变系数微分方程（ODE）问题上。
一般来说，变系数微
分方程有关于某一变量（x）的两个或多个限制条件，只有满足这些限制条件，方程的结
果才是正确的。
因此，在解变系数微分方程的问题时，需要使用勒让德函数来求解这些限
制条件。
当解决变系数微分方程的问题时，除了使用勒让德函数来满足限制条件之外，还需要
进行解析或数值解法。
两者的区别在于，解析解法比较容易，而数值解法则更复杂。
因此，当遇到比较复杂的问题时，一般更倾向于使用解析解法，因为它更加便于理解和解决问题。
解决变系数微分方程的问题与解决普通微分方程（ODE）的问题有一些不同。
例如，
变系数微分方程之所以有变系数，是因为变量x在公式中有误差，而且可能会引起一些余项，使得方程不易解决。
因此，在解决变系数微分方程的问题时，勒让德函数就可以起到
重要的作用，即帮助解决变系数微分方程中出现的误差。
勒让德多项式及其应用
勒让德多项式及其应用勒让德多项式是一种经典的特殊函数，它是由法国数学家勒让德于18世纪末研究长城摆的运动方程时发现的。
作为一个基本的特殊函数，勒让德多项式在物理、数学和工程学等领域中都有广泛应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质及其在物理和数学中的一些应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式P_n(x)的定义如下：其中n为整数，x为实数。
勒让德多项式是一类具有特殊结构的多项式函数，它可以通过递推关系式来求解。
具体来说，勒让德多项式满足以下递推公式：其中n+1次勒让德多项式可以通过n次和n-1次勒让德多项式来表达。
这个递推公式还有一个等价的形式：由此可以得到勒让德多项式的一些基本性质，例如P_n(x)在[-1,1]上有n个实根，其中n-1个简单实根和一个n阶重根。
此外，勒让德多项式还满足下列正交性：其中w(x)为勒让德多项式的权函数。
二、勒让德多项式的一些性质除了递推公式和正交性以外，勒让德多项式还有一些重要的性质。
例如，勒让德多项式是一个偶函数，即P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)。
此外，勒让德多项式还有如下的反演公式：其中f(y)和g(x)分别是两个函数，而K_n(x,y)是勒让德函数的核函数：其中P_n(x)和P_n(y)分别是n次勒让德多项式在x和y处的取值。
勒让德函数的核函数经常被用于计算物理中的各种耦合系统中的能量本征状态。
三、勒让德多项式在物理学中的应用勒让德多项式在物理学中有广泛的应用，特别是在电磁场和量子力学中。
在电磁场中，勒让德函数的核函数可以用来描述两个电荷或磁荷之间的相互作用。
在量子力学中，勒让德多项式则被用来表示转动不变性系统的波函数，比如氢原子和氢分子离子。
此外，在量子力学和粒子物理中，勒让德多项式还经常用来表示原子轨道和粒子的旋转等。
四、勒让德多项式在数学中的应用勒让德多项式在数学的一些分支中也有广泛的应用，特别是在微积分和数论等领域。
例如，在微积分中，勒让德多项式可以用来表示函数的幂级数展开式，而在数论中，勒让德多项式则被用来研究阶乘和高次导数等问题。
《数学物理方法》第六章勒让德函数
《数学物理方法》第六章勒让德函数勒让德函数是数学物理方法中常用的一个函数类，在物理学中起到了非常重要的作用。
本文将主要介绍勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
一、勒让德函数的定义勒让德函数是由法国数学家勒让德在18世纪末引入的一类特殊函数。
它定义为下面的级数形式：P(x)=(1/2^1*1!)-(1*3/2^3*3!)x^2+(1*3*5/2^5*5!)x^4-...其中x是实数，级数是一个无穷级数，并且级数的每一项都是有序的一系列多项式函数。
勒让德函数也可以通过勒让德方程的解来定义。
二、勒让德函数的性质1. 正交性：勒让德函数是正交的，即对于不同的n和m，有积分∫(-1,1) Pn(x) Pm(x) dx = 02. 归一性：勒让德函数可以通过归一化得到，即对于每个n，有∫(-1,1) Pn(x) Pn(x) dx = 2 / ( 2n + 1)3.递推关系：勒让德函数之间存在递推关系，即(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)-nPn-1(x)。
这个关系可以用于计算勒让德函数的高阶项。
三、勒让德函数在物理学中的应用勒让德函数在物理学中有广泛的应用，下面介绍其中的几个重要应用：1.量子力学中的角动量：在量子力学中，勒让德函数可以用来描述角动量的量子态。
勒让德函数的特殊性质使其成为表示角动量本征态的一组完备的基函数。
2.球谐函数的展开：勒让德函数可以用来展开球谐函数，球谐函数在物理学中具有广泛的应用。
通过勒让德函数，我们可以得到球面上各点的球谐系数，从而描述球面上的物理量分布。
3.圆形波导中的电磁场分布：勒让德函数可以用来描述圆形波导中的电磁场分布。
圆形波导是一种常见的波导结构，在无线通信、微波技术等领域有着重要的应用。
总结：本文主要介绍了勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
勒让德函数作为一种特殊的函数类，具有正交性、归一性和递推关系等重要的性质，广泛应用于量子力学、电磁场分布等领域。
勒让德函数
勒让德函数勒让德函数，又称为拉格朗日函数，是拉格朗日于1934年提出的一个经典函数，用来表示给定边界条件下的最优化问题，它对数学和最优化理论有着重要的意义。
一般地，勒让德函数是用来求解最优化问题的经典优化技术，它可以求解无约束优化问题和约束优化问题的最优解。
它的特点是可以将最优化问题转换为函数极小(或极大)的问题，这样就可以用微分技术来求解，要解最优化问题，就要根据勒让德函数的性质，求出满足约束条件的最优解是什么。
勒让德函数最早用来解决线性编程问题，但它也有广泛的应用，如基本组合优化(选择最优组合)、二次凸优化(使函数最小)等，甚至可以用来处理非线性函数最优化问题。
勒让德函数的结构如下：$$F(x)=f(x)+sum_{i=1}^n lambda_i g_i (x)$$其中，$f(x)$是待最优化的函数，$g_i(x)$是约束条件函数，$lambda_i$是拉格朗日乘子，用来控制约束条件。
当$f(x)$有最值，$g_i(x)$满足约束条件时，$lambda_i$可以确定使得$F(x)$取最值，从而可以求出最优解。
勒让德函数是一个功能强大的优化工具，因为它可以求解无约束优化问题和约束优化问题，它比较容易理解，也容易应用，所以它用来解决最优化问题的范围很广。
勒让德函数的应用很广泛，在很多领域都可以看到它的身影，如管理学、经济学、投资学、工程和科学等。
比如，在基于约束的投资组合的构建中，可以用勒让德函数来调整不同的投资组合，以获得最佳的投资组合；计算多晶物体的极限承载力时，勒让德函数可以帮助我们找到最佳的材料参数，以达到最大的承载力。
此外，勒让德函数也可以用来研究复杂系统的结构演化，研究复杂系统中复杂网络动力学机制等。
至此，可以看出勒让德函数是解决最优化问题的一个强大的优化技术。
它在实现经济效率、科学发展和科学研究等多个领域都有着重要的意义，是研究最优化理论的重要组成部分。
同时，它也为复杂系统的结构演化和复杂网络动力学机制等研究提供了重要的技术手段。
5.11勒让德函数及其应用
5.11勒让德函数及其应用
勒让德函数是数学中一个重要的函数类，它们在很多物理学及工程学的问题中都有着广泛的应用。
勒让德函数以法国数学家阿德里安-马里-勒让德的名字名叫，是以方程解的形式出现，最早是为了解决地球和月球引力运动的问题而提出的。
勒让德函数以它的正交性和完备性为特点，可以将很多复杂的函数拆分成一个勒让德级数的形式。
正交性意味着它们之间不存在重叠，而完备性则意味着它们可以被用来描述任意一个函数。
勒让德函数被广泛应用于解决热传导、电场、磁场等领域的问题。
在热传导中，勒让德函数被用来描述温度随时间和空间位置的变化。
在电场和磁场的问题中，勒让德函数则被用来描述电势和磁势的分布。
此外，勒让德函数还在经典和量子力学中都扮演着非常重要的角色。
在经典力学中，勒让德函数被用来描述刚体的运动。
在量子力学中，勒让德函数则被用来描述电子所在的原子轨道。
总之，勒让德函数是一个十分重要的数学工具，它们的应用范围也非常广泛，涉及到物理、数学等多个领域。
在科学研究中，人们可以通过利用勒让德函数的性质，快速解决复杂的数学问题，从而推进科学的发展。
5.11勒让德函数及其应用
y0(x)仍为发散的无穷级数 总之,当µl=l(l+1)时，两个特解之一退化为l次多项式。 这l次多项式就是勒让德本征值问题的解。 令另一个发散的无穷级数特解前的系数为零
将本征函数取为P l (x) = 常量y l (x)， 并使最高次幂项xl的系数为 然后利用递推公式 C k + 2
Cl =
( 2l ) !
2l (l !) 2
k (k + 1) − µ l = Ck (k + 2)(k + 1)
(k + 2)(k + 1) 反推：C k = Ck +2 k (k + 1) − µ l
µ l = l (l + 1)
得： C l − 2 r
(2l − 2r )! = (−1) l Cl 2 r!(l − r )!(l − 2r )!
r
[ l 2]
四、勒让德函数系 {Pl (x)} 的性质 1.奇偶性 1.
Pl (− x) = Pl ( x) l = 偶 Pl (− x) = (−1) Pl ( x) → Pl (− x) = − Pl ( x) l = 奇
l
2. Pl (x)的取值 0 +1 0 -1 x=1
x=
2 l
l
(−1) r l! x 2l − 2 r =∑ r!(l − r )! r =0
l
l dl (−1) r l! d l 2l − 2 r ( x 2 − 1) l = ∑ x l l dx r = 0 r!(l − r )! dx
[
]
(−1) r l! =∑ (2l − 2r )(2l − 2r − 1) L (2l − 2r − l + 1) x 2l − 2 r −l r = 0 r!(l − r )!
《数学物理方法》第六章_勒让德函数
《数学物理方法》第六章_勒让德函数勒让德函数（Legendre functions）是数学物理方法中的一种重要函数，它在数学物理领域中具有广泛的应用。
勒让德函数以法国数学家阿道夫·勒让德（Adrien-Marie Legendre）的名字命名，是勒让德微分方程的解。
勒让德函数是圆轴对尔雅多多\n（cylinder functions）和球贝塞尔函数（spherical Bessel functions）的特殊情况。
勒让德函数可以通过勒让德微分方程来定义，勒让德微分方程是一个著名的二阶微分方程，它可以用来描述线性介质中电场的分布、地球引力场势能和量子力学中的角动量问题等。
勒让德微分方程如下所示：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + \lambda(\lambda + 1)y = 0$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\lambda$是常数。
这个方程的解称为勒让德函数$P_\lambda(x)$。
勒让德函数具有许多重要的性质和关系，其中最重要的性质之一是正交性。
如果$\lambda_1 \neq \lambda_2$，则勒让德函数$P_{\lambda_1}(x)$和$P_{\lambda_2}(x)$在区间$[-1,1]$上是正交的，即满足下面的正交关系：$$\int_{-1}^{1}P_{\lambda_1}(x)P_{\lambda_2}(x)dx = 0$$另外，勒让德函数还具有归一化的性质，即满足下面的归一化条件：$$\int_{-1}^{1}(P_{\lambda}(x))^2 dx = \frac{2}{2\lambda + 1} $$勒让德函数在数学物理中的应用非常广泛，下面以一些具体的例子来说明。
首先是球坐标系中的边界条件问题。
在球坐标系中，勒让德函数可以用来描述径向部分的波函数。
例如，在氢原子中，电子的波函数可以表示为勒让德函数的线性组合，其中不同的勒让德函数对应不同的能级和角动量量子数。
勒让德多项式是区间什么的正交函数
勒让德多项式是一类具有重要性质的正交函数，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质、正交关系以及其在实际问题中的应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是勒让德微分方程的解，该微分方程形式如下：\[ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 \]其中n为非负整数。
根据其定义，勒让德多项式可以通过勒让德微分方程的解出来。
勒让德多项式的具体形式可以表示为：\[ P_n(x)= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \]其中n为非负整数，P_n(x)表示第n阶的勒让德多项式。
二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，例如：1. 勒让德多项式是正交的，即对于不同的n和m，有以下正交性质成立：\[ \int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=0, \quad(n\neq m) \]2. 勒让德多项式满足勒让德微分方程，这也是它的定义所在。
3. 勒让德多项式具有递推关系，即通过递推关系可以方便地计算高阶的勒让德多项式。
三、勒让德多项式的正交关系及应用勒让德多项式的正交性质在数学和工程领域中有着重要的应用。
在数学分析中，勒让德多项式的正交性质可以用来进行函数的展开和逼近，例如在傅立叶级数、泰勒级数及函数的插值逼近中。
在数值计算和数值分析中，勒让德多项式的正交特性也被广泛应用，例如在数值积分方法中，通过勒让德多项式的正交性质可以得到高效的数值积分算法。
勒让德多项式还具有广泛的物理应用，例如在量子力学中，勒让德多项式常常用来描述原子轨道的形状。
在实际问题中，勒让德多项式的正交性质为我们提供了一种简便而有效的数学工具，通过利用勒让德多项式的正交性质，我们可以更加方便地解决各种数学和工程问题。
勒让德多项式作为一类重要的正交函数，在数学和工程领域中具有着广泛的应用。
通过深入研究勒让德多项式的定义、性质、正交关系及其应用，我们可以更好地理解和运用这一类特殊的函数，从而为解决各种实际问题提供更加有效的数学工具。
施密特型连带勒让德函数的准确计算公式及其重要应用
施密特型连带勒让德函数的准确计算公式及其重要应用
1.施密特型连带勒让德函数的径向分量可以通过勒让德函数的级数表示：
2.施密特型连带勒让德函数的角向分量可以通过施密特函数的级数表示：
1.多元函数的展开：施密特型连带勒让德函数在多元函数的展开中起到重要作用。
它们可以用来展开具有球对称性的函数，并且可以将函数分解为径向和角向的两个分量，从而简化计算过程。
2.球坐标系的求解：施密特型连带勒让德函数在球坐标系的求解中也有广泛的应用。
例如，在电磁学中，通过施密特型连带勒让德函数可以求解电势和电场分布等问题。
3.量子力学中的球形势阱问题：在量子力学中，球形势阱是一个常见的物理模型。
通过施密特型连带勒让德函数，可以求解球形势阱中的波函数和能级等问题。
4.非球对称体系的模拟：施密特型连带勒让德函数可以应用于非球对称体系的模拟中。
通过将非球对称体系的问题转化为球对称体系的问题，可以简化计算过程，并得到准确的结果。
总之，施密特型连带勒让德函数的准确计算公式和重要应用在物理学中有广泛的应用。
它们不仅可以简化计算过程，还可以提供准确的结果，并对物理问题的求解和分析提供了重要的工具。
勒让德函数在量子力学中的应用
勒让德函数在量子力学中的应用勒让德函数是数学中的一种特殊函数，由法国数学家勒让德研究得出。
勒让德函数在物理学中的应用非常广泛，尤其在量子力学领域起到了重要的作用。
量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它将粒子的性质描述为波的性质。
波函数是量子力学中最基本的概念之一，用来描述粒子的状态。
而勒让德函数则是求解薛定谔方程的一种重要方法。
薛定谔方程是量子力学中的核心方程，用来描述粒子在给定势能下的波函数演化。
通过薛定谔方程，我们可以求解粒子的能级和波函数。
在薛定谔方程中，波函数的形式可以选择不同的基函数展开。
而勒让德函数正是一种常用的基函数。
勒让德函数具有多个性质，例如正交性和归一化性，使得它非常适合用来展开波函数。
当我们取勒让德函数作为基函数时，波函数可以表示为一系列勒让德函数的线性组合形式。
通过求解系数，我们可以得到波函数在给定势能下的具体形式。
勒让德函数在量子力学中的应用不仅限于波函数的表示，还可以用来求解一些特殊问题。
例如，当体系具有球对称性时，我们可以使用球谐函数展开波函数。
而球谐函数正是勒让德函数在球坐标系下的具体形式。
在实际应用中，我们经常遇到具有球对称性的问题，如氢原子的电子云分布。
通过利用球谐函数，我们可以非常方便地求解这些问题，进而得到粒子的能级和波函数。
除了球谐函数，勒让德函数还可以应用于磁量子数的求解。
磁量子数描述了粒子在外加磁场中的行为。
通过求解勒让德函数的特定形式，我们可以得到粒子在不同磁场下的能级和波函数。
勒让德函数在量子力学中的应用不仅仅局限于上述问题，还有很多其他方面。
例如，勒让德函数在角动量的描述中也扮演了重要角色。
角动量是量子力学中的另一个重要概念，描述了粒子的自旋和轨道运动。
总之，勒让德函数在量子力学中具有广泛的应用。
它不仅作为展开波函数的基函数，还可以用来求解特殊问题。
通过勒让德函数，我们可以更深入地理解量子力学的原理，揭示微观世界的奥秘。
在今后的研究中，勒让德函数仍将发挥重要作用，推动量子力学的进一步发展。
勒让德多项式及性质
第二章 勒让德多项式
主要内容：
勒让德多项式（轴对称问题）及性质 连带勒让德函数（转动对称问题） 球函数（一般问题）
在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
u与 无关，只与r， 有关。意味着当r， 一定时， 可任意改变，u不变。
问题关于极轴（z轴）对称。 球函数Y ( , ) A( ) ~ 称为轴对称球函数。
r
0 0 ( ) y ( x) l为2k 1(奇数):a1 y1 ( x) ~ x 2 k 1 将它们分别乘上适当的常数，叫做l阶勒让德
Pl ( x) (1)l Pl ( x)
即当
l 为偶数时，勒让德多项式 Pl ( x) 为偶函数， l 为奇数时 Pl ( x) 为奇函数
一、勒让德多项式的正交关系
0
1
1
Pk ( x) P ( x)dx 0 l
(k l )
(k l )
Pk (cos ) Pl (cos ) sind 0
）是正交的、完备的。
可以作为广义傅立叶级数的基。 若函数 f (x) 定义在区间[1,1] 上，或
f ( ) 定义在区间
[0, ]
或
上，则
f ( x) f l Pl ( x)
l 0
f ( ) f l Pl (cos )
l 0
其中系数：
fl
或
1 2 Nl
1
f ( x) x
3 l 0
5.11勒让德函数和其应用
j 1
j 1
(2 j 2)(2 j 1)
C0 C0
j 1
(2 j)!
[] x2 j
(2 j 1)2 j
C1x C1
j 1
(2 j 1)!
[2 ] x2 j1
y(x) C0 y0 (x) C1 y1(x)
④
C0 ,C1为两个任意常数，y0 ,y1为两个线性无关的特解
∴④是方程
一、勒让德方程的本征值问题
1
sin
d
d
(sin
d)
d
0
0
①
( ) 0,
为了求解方便，作变量变换：
x cos, dx sind, ( ) y(x)
d dx
(1
x2
)
dy dx
y
0
1 x 1
②
y(x) x1
二、勒让德方程的级数解
d dx
(1
x2
)
dy dx
y
0
②
理论依据：
2r
)!
xl
2r
给出前几阶勒让德多项式：
l 0
P0 (x)
0 r 0
(1)0 (0 0)! x00 200!(0 0)!(0 0)!
1
l 1
P1 ( x)
0 r 0
(1)0 (2 1 0)! 210!(1 0)!(1 0)!
x10
x
l2
P2 (x)
(1)0 (2 2 0)! x20 220!(2 0)!(2 0)!
若P (x)、Q (x)在|x-x0|<R内解析，则方程
y(x) P(x) y(x) Q(x) y(x) 0
在|x-x0|<R内的解一定是解析的。
勒让德多项式的应用
第五章 勒让德多项式的应用
19
3(2 x 2 1) 1 6 x 2 2 An Pn ( x),
n0
注意，由于6 x 2 2 是二次多项式，而且是偶函数， 因此， A2 n1 0, (n 0,1,2, )
第五章 勒让德多项式的应用
15
u (r , )
n 0
An r n Pn (cos )
勒让德多项式的 应用
一 函数按勒让德多项式展开 按照斯图姆—刘维尔固有值理论，勒让德多项式Pn ( x) 组成区间 [-1,1]上的完备正交函数系(其构成了基), 对于定义在区间 [-1,1] 上具有一阶连续导数且分段 连续的二阶导数的函数 f ( x) ，就可按这个固有函数系 展开成绝对且一致收敛的级数（称为傅里叶—勒让德 级数）： f ( x) cn Pn ( x), (1 x 1), (4.1)
2n d 2 n 1 2 2 n 1 x 1 dx dx x 0 0
1
第五章 勒让德多项式的应用
5
2n 4n 1 d 2 n 2 2 c2 n 2 n x 1 2 2n ! dx 2 n 2
且v 0(r ).
类似于(1)的解法，可设：
v(r , )
A r
n n 0
n 0
n
Bn r n1 Pn (cos ),
当 r 时, v 趋于零， 所以 An 0, (n 0,1, 2,), 即有
v(r , ) Bn r ( n 1) Pn (cos ),
11
附：证明
1 1 U d 1 2r cos r 2
勒让德多项式的应用
r→∞
lim v = 0
(1) (2)
∆v = 0, −q v , r =a = r12 − 2r1r cosθ + r 2
在轴对称情况下方程的一般解是
∞
lim v = 0
r →∞
(1) (2)
v (r ,θ ) = ∑ ( Al r l + Bl r −( l +1) ) pl (cos θ )
例题 4
轴对称的边界条件
半径为a的导体球面附近的电场分布为 f = Acosθ， 确定球外空间的电势 u 。
解：
∆u = 0, r > a 定解问题为： ur |r =a = f = A cosθ
定解问题有轴对称性， 相应的一般解为 u = ∑ l = 0 ( Al r l + Bl r − l −1 ) Pl (cos θ ) 球外解要求 u (∞ , θ )有界，一般解化为 u = ∑ l = 0 Bl r − l −1 Pl (cos θ )
由边界条件得： Ax 2 =
根据完备性：
∞
r
∞
∑
∞ l =0
B l a − l −1 Pl ( x )
2 k + 1 k +1 Bk = a 2
∫
+1
−1
Ax 2 Pk ( x ) dx =
例题 3
一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b， 内球面上电势为 f = cosθ，外球面上电 势为零，确定区域内电势u 。 ∆u = 0, a < r < b 定解问题为： 解： u |r =a = cosθ , u |r =b = 0
球内解要求 u ( 0, θ )有界，一般解化为 u = ∑ l =1 Al r l Pl1 (cos θ ) sin ϕ
勒让德定理的证明及应用
勒让德定理的证明及应用
勒让德定理是微积分学中的重要定理，它可以用来计算某些函数的定积分。
定理内容如下：设f(x)在[a,b]上连续，则必存在一点c∈(a,b)，使得
∫a^bf(x)dx=(b-a)f(c)
证明勒让德定理时，一般采用反证法。
假设该定理不成立，即不存在点c，使得上式成立。
那么就存在某个ε>0，使得对于任意c∈(a,b)，都有
|(b-a)f(c)-∫a^bf(x)dx|≥ε
接下来，可以构造一个序列{cn}，其中cn∈(a,b)，并且满足 (b-a)f(cn)-∫a^bf(x)dx≥ε/2^n
然后利用闭区间套定理，可以证明序列{cn}一定收敛于某个点c∈[a,b]。
因为f(x)在[a,b]上连续，所以在c处也连续。
利用极限的性质，可以得到
(b-a)f(c)-∫a^bf(x)dx=0
这与假设矛盾，因此得证勒让德定理成立。
在应用方面，勒让德定理可以用来计算一些函数的定积分，特别是一些无法用初等函数表示的函数。
例如，当f(x)=sin x时，可以利用勒让德定理计算∫0^π/2sin x dx，得到π/2。
此外，勒让德定理还可以用来证明其他定理，例如中值定理和泰勒定理。
- 1 -。
施密特型连带勒让德函数的准确计算公式及其重要应用
施密特型连带勒让德函数的准确计算公式及其重要应用
施密特型连带勒让德函数是一种常用的数学函数，它可以用来计算两个变量之
间的关系。
它的准确计算公式为：
施密特型连带勒让德函数：
F(x,y)=1-∑[(x-y)^2/(x+y)^2]
其中，x和y分别表示两个变量。
施密特型连带勒让德函数的重要应用在于可以用来衡量两个变量之间的相关性。
它可以用来检测两个变量之间的线性关系，以及它们之间的非线性关系。
此外，它还可以用来检测两个变量之间的强度，以及它们之间的稳定性。
施密特型连带勒让德函数在统计学中有着广泛的应用，它可以用来分析不同变
量之间的关系，以及它们之间的相关性。
此外，它还可以用来检测不同变量之间的统计显著性，以及它们之间的稳定性。
总之，施密特型连带勒让德函数是一种常用的数学函数，它可以用来计算两个
变量之间的关系，并且在统计学中有着广泛的应用。
它的准确计算公式为：
F(x,y)=1-∑[(x-y)^2/(x+y)^2]，它可以用来检测两个变量之间的线性关系，以及它们之间的非线性关系，以及它们之间的强度和稳定性。
勒让德公式
勒让德公式
在数学中，勒让德函数Pλ，Qλ和相关的勒让德函数Pλ，Qλ是勒让德多项式与非整数度的泛化。
[1]
微分方程
相关的勒让德函数是勒让德方程的解
其中复数λ和μ分别称为相关的勒让德函数的度数和顺序。
勒让德多项式是阶数μ= 0的勒让德函数。
这是一个具有三个常规奇异点（在1，-1和∞）的二阶线性方程。
像所有这样的等式，它可以通过变量的变化被转换为超几何微分方程，并且其解可以用超几何函数来表示。
[2]
公式
这些功能实际上可以用于一般复杂参数和参数：
分母中包含伽马函数，2F1是超几何函数。
二阶微分方程具有第二个解，其定义为Qμλ（z）。
勒让德P和Q函数之间有用的关系是Whipple的公式。
[3]
积分表
勒让德函数可以写成轮廓积分。
例如，
其中轮廓沿正方向绕着点1和z旋转，并且不绕-1。
对于真正的x，我们有 [4]。
勒让德函数母函数及其在静电场中的应用资料
勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用指导教师：娄宁二000级物理（1）班：洪世松勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用一. 勒让德多项式的母函数引入的必要性及引入方法 1. 勒让德多项式的母函数引入的必要性 ⑴.勒让德多项式的由来通过《高等代数》和《数学物理方法》课程的学习，我们知道勒让德多项式是在球坐标系下、满足边界条件()πθ,01=±=x 时求解拉普拉斯方程02=ψ∇时的解，在求解的过程中，根据对称性的不同，我们将所要研究的问题分三种情况进行考虑： 其一是所研究的问题不具有对称性。
拉普拉斯方程02=∇U 在这种情况下的解是缔合勒让德函数，其具体的表示形式为：()[]()()θθcos cos 12/2m l m l m P P x=-=Θ，其中m＝0、1、2、3，…，l 。
式中当m ＝0时，缔合勒让德多项式就简化为勒让德多项式()θcos l P 。
其二是所研究的问题具有轴对称性。
其解的形式为勒让德多项式的形式，即()θcos l P ＝()()()()kl l kl k x k l k l k k l 22/0!2!!2!221-=----∑，其中⎦⎤⎢⎣⎡2l 表示的是不超过2l 的最大整数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡2l ＝r 的函数，而与θ无关，其解是勒让德多项式的最简形式，此时方程的解就可以直接写为：∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ψ01l l l ll r B r A ，其中l =0,1,2,……。
由上面三种情况分析可以看出，随着问题对称性的不同，求解问题的解也有所不同。
从无对称性到轴对称性再到球对称性，所研究问题也在逐渐简化，其解也由缔合勒让德函数简化为勒让德函数再简化为1。
⑵.对所研究问题的对称性的讨论以静电场为例，我们分析一下勒让德多项式所要求的轴对称性和根据坐标系的选择而确定的变量（r,θ）()θ,r E的要求。
在图一所示的物理情景中，求解位于某一匀强场中的导体球外任一点的电势Ψ，为使求解的问题简单化，我们可建立如图一所示的直角坐标系，这样求解的问题就具有轴对称性，所以由前面分析的第二种情况易写出空间各点的电势为：()θc o s 01l l l l l l P r B r A ∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ψ。
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将②中方程标准化：
2x µ y′′ − y′( x) + y ( x) = 0 2 2 1− x 1− x
2x µ P ( x) = − , Q= 2 1− x 1− x2
在|x|<1内解析
∴ |x|<1内解y(x)一定是解析的 由泰勒定理：y(x)一定可展为：
y( x) = ∑ Ck xk
k =0 ∞
的通解
当µ=l(l+1)时
Ck + 2
(k + l + 1)(k − l ) = Ck (k + 1)(k + 2)
当 k<l 时，上面递推可进行： 当 k=l 时 ，Cl+2＝0 Cl+4=Cl+6=……=0
y0(x)或y1(x)的前有限项不为零 当l=2j时， C2j+2=C2j+4=……=0 y0(x)断为2j次的多项式
l [ ] 2
(−1) r l!(2r − 2l )! l − 2 r =∑ x r = 0 r!(l − r )!(l − 2r )!
1 dl (−1) r (2r − 2l )! l − 2 r ∴ l ( x 2 − 1) l = ∑ l x = Pl ( x) l 2 l! dx r = 0 2 r!(l − r )!(l − 2r )!
µl = l (l + 1) [l 2] (2l − 2r )! Pl ( x) = ∑ (−1) r l xl − 2 r 2 r !(l − r )!(l − 2r )! r =0
球系
②
l = 0,1, 2LL
(2l − 2r )! Pl ( x) = ∑ (−1) l xl −2 r 2 r !(l − r )!(l − 2r )! r =0
y0(x)仍为发散的无穷级数 总之,当µl=l(l+1)时，两个特解之一退化为l次多项式。 这l次多项式就是勒让德本征值问题的解。 令另一个发散的无穷级数特解前的系数为零
将本征函数取为P l (x) = 常量y l (x)， 并使最高次幂项xl的系数为 然后利用递推公式 C k + 2
Cl =
( 2l ) !
l [ ] 2
[
]
l [ ] 2
证毕
给出了勒让德函数除多项式定义之外的另一种表达 形式
解释： ◆ [l/2]代表不大于l/2 的最大整数 ∵r=0时，Cl-2r＝C l，是最高次幂系数， r 越大，l-2r 越小 为保证l-2r ≥0 即 2r≤l
rmax l 2 = (l − 1) 2 l偶 l奇
0
j = 1,2 LL
同理得：
C 2 j +1
[(2 j − 1)2 j − µ ][(2 j − 3)(2 j − 2) − µ ]LL[2 − µ ] C =
(2 j + 1)!
∞
1
j = 1,2LL
y ( x) = C0 + ∑ C2 j x 2 j + C1 x + ∑ C2 j +1 x 2 j +1
r
[ l 2]
四、勒让德函数系 {Pl (x)} 的性质 1.奇偶性 1.
Pl (− x) = Pl ( x) l = 偶 Pl (− x) = (−1) Pl ( x) → Pl (− x) = − Pl ( x) l = 奇
l
2. Pl (x)的取值 0 +1 0 -1 x=1
x=
x <1
将级数解代入:
Ck + 2
d2y dy 2 (1 − x ) 2 − 2 x + µ y = 0 dx dx
k (k + 1) − µ = Ck (k + 2)(k + 1)
k = 0,1,2LL
③
③为一个递推公式，其功能为 偶次幂系数 C 0 → C 2 → C 4 → LL C 2 j j = 1,2LL 奇次幂系数 C1 → C 3 → C 5 → LL C 2 j +1
r
(2l − 2r )! ∴ Pl ( x) = ∑ (−1) l xl −2r 2 r !(l − r )!(l − 2r )! r =0
r
[l 2 ]
证明：利用二项式定理
l! ( a + b) = ∑ a l −r b r r = 0 r!(l − r )!
l l
l! ∴ ( x − 1) = ∑ ( x 2 ) l − r (−1) r r = 0 r!(l − r )!
0 ≤ r < a, 0 ≤ θ ≤ π
代入方程得：
设 u (r , θ ) = R (r )Θ(θ )
dΘ 1 d sin θ dθ (sin θ dθ ) + µΘ = 0 r 2 R′′ + 2rR′ − µ R = 0
勒让德方程 欧拉型方程
一、勒让德方程的本征值问题
y 0 ( x) = C 0 + C 2 x 2 + LL C 2 j x 2 j
µ=2j(2j+1)
y1(x)仍为发散的无穷级数
当l=2j+1时， µ=(2j＋1)(2j+2)
C 2 j +3 = C 2 j +5 = LL = 0
y1(x)中断为2j+1次的多项式
y1 ( x) = C1 x + C 3;1
x = cos θ
π
2
3π 4
π
4
π
P0(x)=1 P2(x) P3(x) θ
1 2
x=0
x=−
1 2
P1(x) x=-1
| i) 值域： Pl ( x) |≤ 1 Pl (x) 为一有界函数
定义域：| x |≤ 1 ii) Pl (x) 有l个分立的零点 iii)
0 Pl (0) = (−1) n (2n)! 22 n (n !) 2 l = 2n + 1 l = 2n n = 0,1, 2L
(−1) 0 (0 − 0)! l = 0 P0 ( x) = ∑ 0 x 0−0 = 1 r = 0 2 0!(0 − 0)!(0 − 0)!
0
(−1) 0 (2 × 1 − 0)! 1−0 l = 1 P1 ( x) = ∑ 1 x =x r = 0 2 0!(1 − 0)!(1 − 0)!
0
(−1) 0 (2 × 2 − 0)! 2−0 (−1)1 (2 × 2 − 2 × 1)! 2−2 l = 2 P2 ( x) = 2 x + 2 x 2 0!(2 − 0)!(2 − 0)! 2 1!(2 − 1)!(2 − 2)!
②
二、勒让德方程的级数解
d 2 dy (1 − x ) dx + µ y = 0 dx
②
理论依据： 若P (x)、Q (x)在|x-x0|<R内解析，则方程
y ′′( x) + P ( x) y ′( x) + Q( x) y ( x) = 0
在|x-x0|<R内的解一定是解析的。
j =1 j =1 ∞
= C0 + C0 ∑
j =1
∞
[(2 j − 2)(2 j − 1) − µ ]LL[− µ ] x 2 j
(2 j )!
∞
+ C1 x + C1 ∑
j =1
[(2 j − 1)2 j − µ ]LL[2 − µ ] x 2 j +1
(2 j + 1)!
∴ y(x) = C0 y0 (x) + C1 y1 (x)
2l (l !) 2
k (k + 1) − µ l = Ck (k + 2)(k + 1)
(k + 2)(k + 1) 反推：C k = Ck +2 k (k + 1) − µ l
µ l = l (l + 1)
得： C l − 2 r
(2l − 2r )! = (−1) l Cl 2 r!(l − r )!(l − 2r )!
r≤l/2
2r = l 2r = l − 1
◆ l=偶数时，P l (x)是偶次多项式 l=奇数时，P l (x)是奇次多项式
(2l − 2r )! Pl ( x) = ∑ (−1) l xl −2 r 2 r !(l − r )!(l − 2r )! r =0
r
[l 2]
给出前几阶勒让德多项式：
dΘ 1 d (sin θ ) + µΘ = 0 0 ≤ θ ≤ π sin θ dθ dθ Θ(θ ) θ =0,π < ∞
①
为了求解方便，作变量变换：
x = cos θ , dx = − sin θ dθ , Θ(θ ) → y ( x)
d 2 dy dx (1 − x ) dx + µ y = 0 −1 ≤ x ≤ 1 y ( x) <∞ x =±1
2 l
l
(−1) r l! x 2l − 2 r =∑ r!(l − r )! r =0
l
l dl (−1) r l! d l 2l − 2 r ( x 2 − 1) l = ∑ x l l dx r = 0 r!(l − r )! dx
[
]
(−1) r l! =∑ (2l − 2r )(2l − 2r − 1) L (2l − 2r − l + 1) x 2l − 2 r −l r = 0 r!(l − r )!
4×5 − µ (4 × 5 − µ )(2 × 3 − µ )(− µ ) C6 = C4 = C0 6×5 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1