2011-2012-2高等数学期末复习题

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高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)

x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的定义域是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于（）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是（ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ，其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域，则必有（） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。

11级高数期末复习题答案

高等数学2期末复习题一参考解答一、填空题：（共10小题，每小题2分，共20分） 1、12； 2、01(,)xdx f x y dy --⎰⎰； 3、2； 4、225y z x +=；5、1;6、(0，0),(1，1)；7、(),f x y 在点()00,x y 处偏导数存在且连续或()()00000,,lim0,x y z f x y x f x y yρρ→''∆-∆-∆=ρ=8、!)2(ln n n；9、3,11,2,3,(1)n n u n n n =⎧⎪=⎨=⎪-⎩1()n n n u S S -=-； 10、3512x xy C e C e -=+。

二、单项选择：（共5小题，每小题2分，共10分） 1、D ； 2、C ； 3、A ； 4、A ； 5、B 。

三、计算题（共7小题，每小题7分，共49分） 1、解因为22211,1()z y xxyx yy ∂==∂++22221()1()z x x xyyx yy ∂-=-=∂++ ………6分所以22220xy xy z z xyxyx yx y∂∂+=-=∂∂++ ………7分2、解由2y xy x=⎧⎨=⎩, 得交点(0,0),(1,1). ………1分2110sin x yxx x dy dx dx dyxx=⎰⎰⎰………5分112sin ()sin (1)x x x dx x x dxx=-=-⎰⎰………6分1sin 1=- ………7分3、解方程可变形为()222111dx y x dyy y y +=++ ………2分所以方程的通解为()()()()222222ln 1ln 111221111y ydy dy y y y y x e e dy C e e dy C y y y y --++++⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎢⎥⎢⎥=+=+⎰⎰++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]22111ln 11dy C y C y y y ⎡⎤=+=+⎰⎢⎥++⎣⎦ ………6分将()11y =代入通解，得2C =。

11-12 高等数学2试题(A)及解答

广州大学2011-2012学年第二学期考试卷课程：高等数学Ⅰ2（90学时）考试形式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________任课教师是否重修考（）（是打√）一．填空题(每小题3分，本大题满分30分)1．已知(1,2,3)a =，(3,2,1)b =，则a b ⨯= .2．yOz 面上的抛物线21z y =-绕z 轴旋转一周所得曲面方程为 . 3．(,)(0,2)limx y →= .4．对函数yz x =利用近似计算公式d z z ∆≈，则 2.02(1.04)≈ .5．曲线2211x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩上点(2,3,5)处的切线方程为 .6．将下列函数展开成(1)x -的幂级数： 13x=- ，(13x -<<). 7．微分方程xy y e -'+=的通解为y = .8．微分方程690y y y '''-+=的通解为y = .9．设2x f xy '=，2y f x '=，则(1,2)(0,0)f f -= .10．已知曲线L 为球面2222x y z R ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，则2d Ly s =⎰________.1．已知(,)z f x y =是由方程2sin z z x y +=确定的隐函数，求z x ∂∂和22z x∂∂.2．求函数2(,)624ln f x y x y xy y =+--的极值.1．计算d d Dxy x y ⎰⎰，其中D 是由直线1x y +=与两坐标轴所围成的闭区域.2．设L 是由曲线22y x x =-与x 轴所围区域D 的正向边界曲线，利用格林公式计算曲线积分22()d ()d LI y x y x x xy y =-++⎰.判断级数12! nnnn n∞=⋅∑的收敛性. 五．(本题满分11分)求幂级数1(1) 2n nn nx∞=+-∑的收敛域及和函数.设Ω是由曲面224z x y =--及xOy 面所围成的有界闭区域，求Ω的表面积.七．(本题满分8分)假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温为020c 时，一物体由0100c 冷却到060c 须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的0100c 降低到030c .试证曲面(,)0f x az y bz ++=上任一点处的切平面与平面z ax by =+垂直，其中f 可微，,a b 为常数.广州大学2011-2012学年第二学期考试卷课程：高等数学Ⅰ2（90学时）考试形式：闭卷考试参考解答与评分标准（A 卷）一．填空题(每小题3分，本大题满分30分)1．已知(1,2,3)a =，(3,2,1)b =，则a b ⨯=(4,8,4)--.2．yOz 面上的抛物线21z y =-绕z 轴旋转一周所得曲面方程为221z x y =--. 3．(,)(0,2)limx y →=18.4．对函数yz x =利用近似计算公式d z z ∆≈，则 2.02(1.04)≈1.08.5．曲线2211x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩上点(2,3,5)处的切线方程为35244y z x ---==. 6．将下列函数展开成(1)x -的幂级数：13x =-101(1)2n n n x ∞+=-∑，(13x -<<). 7．微分方程x y y e -'+=的通解为y =()xe x C -+. 8．微分方程690y y y '''-+=的通解为y =312()xC C x e+.9．设2x f xy '=，2y f x '=，则(1,2)(0,0)f f -=2.10．已知L 为球面2222x y z R ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，则2d Ly s =⎰323R π.1．已知(,)z f x y =是由方程2sin z z x y +=确定的隐函数，求z x ∂∂和22z x∂∂.解：令2(,,)sin F x y z z z x y =+-，则2x F xy =-，cos 1z F z =+， 2cos 1x z z F xyx F z ∂=-=∂+，。

高数2-期末试题及答案

北京理工大学珠海学院2012 ～ 2013学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案）适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ⨯b =分析：a ⨯b = 202340ij k-- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8）2.设 u = 223x xy y ++.则 2ux y∂∂∂ =分析：u x ∂∂ = 22x y +, 则2u x y∂∂∂ = 2'(2)x y += 2y3.椭球面 2222315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为分析：由方程可得，222(,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12）因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则(2)Dy d σ+=⎰⎰___________分析：画出平面区域D （图自画），观图可得，2(2)(2)8xxDy d dx y dy σ-+=+=⎰⎰⎰⎰5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则2Lx ds =⎰_________分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有112Lx ds xx ===⎰⎰⎰ 6.D 提示：级数1nn u∞=∑发散，则称级数1nn u∞=∑条件收敛二.解答下列各题（每小题6分，共36分）1.设2ln()tan 2z x y x y =+++，求dz 分析：由z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂可知，需求z x ∂∂及z y ∂∂12z xy x x y ∂=+∂+ ， 21z x y x y∂=+∂+ ，则有 211(2)()z z dz dx dy xy dx x dy x y x y x y∂∂=+=+++∂∂++ 2.设(4,23),u f xy x y =-其中f 一阶偏导连续，求uy∂∂ 分析：设v = 4xy , t = 2x – 3y ,则'''4(3)(43)u f v f t f x f x f y v y t y∂∂∂∂∂=+=+-=-∂∂∂∂∂ 3.设(,)z z x y =由222100x y z xyz ++-=确定.求z y∂∂ 分析：由222100x y z xyz ++-=得，222(,,)100F x y z x y z xyz =++-- 则有由2()x Fx x yz xyz =-+，2()y Fy y xz xyz =-+，2Fz z xy =- 则2()()222y y y xz xyz xz xyz y z Fyy Fz z xy z xy-++-∂=-=-=∂-- 4.求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值提示：详细答案参考高数2课本第111页例4 5.求二重积分22,x y Ded σ+⎰⎰其中D ：2219x y ≤+≤分析：依题意，得 21902ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩，即1302ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩则有，22223901()x y Ded de d e e πρσσρρπ+==-⎰⎰⎰⎰6.求三重积分2xyz dV Ω⎰⎰⎰，Ω：平面x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1所围区域分析：依题意，得0201y z ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩ 则有 3212203xyz dV dx dy xyz dz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三.解答下列各题（每题6分，共24分） 1.求Lydx xdy -⎰，L ：圆周229x y +=，逆时针分析：令P=y , Q= - x , 则1Q x ∂=-∂，1Py∂=∂ 由格林公式得()(2)LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy x y ∂∂-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 作逆时针方向的曲线L ：{cos sin x r y r θθ== ，02θπ≤≤则20()(2)24LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy d x y πθπ∂∂-=-=-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.设:∑平面31x y z ++=位于第一卦限部分.试求曲面积分xdS ∑⎰⎰分析：由:∑平面31x y z ++=可得13z x y =--则 13yx y z zz x ∂∂==-=-∂∂，z = 则有DxyDxyxdS xdxdy ∑==⎰⎰⎰⎰由于xy D 是∑在xOy 面的第一卦限的投影区域，即由0,031x y x y ==+=及所围成的闭区域.因此113018xDxyxdS xdxdy dx xdy -∑===⎰⎰⎰3. 设∑是22z x y =+位于平面4,9z z ==之间部分且取下侧，求zdxdy ∑⎰⎰分析：依题意，可得0249z θπ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩，由于∑是取下侧，则有92463054zdxdy zdz d d ππθρρ∑=-=-⎰⎰⎰⎰4.设∑是锥面z =与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧。

高等数学基础期末复习资料 (2)

《高等数学基础》课程期末考试复习资料册一、单项选择题1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点2.函数在x=0处连续，则k=(C）.A.1B.5D.03.下列等式中正确的是(C).4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A).5.下列无穷限积分收敛的是(D).6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点7.当时，下列变量中( A)是无穷大量.8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B).9.函数在区间(2,4)内满足(A).A.先单调下降再单调上升B.单调上升C.先单调上升再单调下降D.单调下降10.=(B).A.0B. ПC.2ПD. П/211.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.12.当，变量(C)是无穷小量.13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A).14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）.15.下列无穷限积分收敛的是(C).16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称.A.坐标原点B.x轴C.y轴D. y=x17.当时，变量(D)是无穷小量.18.设f(x)在x。

可导，则=（C）.19.若则=（B）.20. =（A）.21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.22.当k=（C）时，在点x=0处连续.A. -1B. 0c.1 D.223. 函数在区间(2,4)内满足(B).A. 先单调下降再单调上升B.单调上升C. 先单调上升再单调下降D.单调下降24 若,则= (D).A. sinx十CB. -sinx十cC. -cosx+cD. cosx 十C25. 下列无穷积分收敛的是(A).26.设函数f(x) 的定义域为，则函数f(x)- f（-x)的图形关于(D)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点27. 当x→0时，变量(C)是无穷小量.28. 函数在区间(-5，5) 内满足(B).A. 单调下降B.先单调下降再单调上升C先单调上升再单调下降 D.单调上升29. 下列等式成立的是(A).30.下列积分计算正确的是(D).31. 函数的定义域是（D）.32.若函数，在x=0处连续，则k=（B）.A .1 B.2C.-1D.33.下列函数中，在内是单调减少的函数是（A）.34.若f(x) 的一个原函数是，则=（C）.A. cosx +cB. - sinx十CC. sinx十CD. - cosx十C35. 下列无穷限积分收敛的是（C）.36.下列各函数对中，(C)中的两个函数相等.37. 37.在下列指定的变化过程中， (A)是无穷小量.38. 设f(x)在可导，则= (C).39. =(A).40. 下列无穷限积分收敛的是(C).41.下列函数中为奇函数的是(A).42. 当x→0时，变量(C)无穷小量.43.下列等式中正确的是（B）.44 若f(x)的一个原函数是，则=(D).45.=(A).46.函数的图形关于(D)对称.A.y=xB.x轴c.y轴 D.坐标原点47. 在下列指定的变化过程中，(A)是元穷小量.48.函数在区间(-5，5)内满足(C).A. 先单调上升再单调下降B.单调下降C. 先单调下降再单调上升D.单调上升49. 若f(x) 的一个原函数是，则 = (B).50.下列无穷限积分收敛的是(B).二、填空题1.函数的定义域是（3,5） .2.已知，当时，f(x)为无穷小量.3.曲线f(x)=sinx在处的切线斜率是 -1 .4.函数的单调减少区间是 .5.= 0 .6.函数的定义域是（2，6） .7.函数的间断点是 x=0 .8.函数的单调减少区间是 .9.函数的驻点是 x= - 2 .10.无穷积分当时p >1 时是收敛的.11..若，则f(x)= .12.函数的间断点是 x=0 .13.已知，则= 0 .14.函数的单调减少区间是 .15.= .16.函数的定义域是 (-5,2) .17. .18.曲线在点(1,3)处的切线斜率是 2 .19.函数的单调增加区间是 .20.若则f(x）= .21.若则f(x）= .22 已知当时，f(x）为无穷小量.23. 曲线在(l ,2) 处的切线斜率是 .24. = .25 若,则= .26.函数的定义域.27. 函数的间断点是 x=0 .28. 曲线在x=2处的切线斜率是 .29. 函数的单调增加区间是 .30.= .31. 函数，则f(x)= .32. 函数的间断点是 x=3 .33. 已知则 = 0 .34. 函数的单调减少区间 .35. 若f(x) 的一个原函数为lnx，则 f(x) = .36. 若函数，则f(O)= -3 .37.若函数在x=O处连续,则k=e .38.曲线在(2，2)处的切线斜率是 .39.函数的单调增加区间是 .40.= .41. 函数的定义域是(-2，2) .42. 函数的间断点是 x=3 .43. 曲线在(0，2)处的切线斜是 1 .44. 函数的单调增加区间是 .45. 若,则f(x)= .46.函数的定义域是 .47.若函数，在x=O处连续，则k= e .48. 已知f(x) =ln2x ，则= 0 .49. 函数的单调增加区间是 .50. ，则= .三、计算题1.计算极限.解：2..解:由导数四则运算法则和复合函数求导法则得3.计算不定积分.解:由换元积分法得4.计算定积分.解:由分部积分法得5.计算极限.解：6.设,求.解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得7.计算不定积分.解:由换元积分法得8.计算定积分.解:由分部积分法得9.计算极限解:10.设，求dy.解:由微分四则运算法则和一阶微分形式不变性得11.计算不定积分.解:由换元积分法得12.计算定积分.解:由分部积分法得13.计算极限.解：14.设，求.解：15.计算不定积分·解:由换元积分法得16.计算定定积分.解:由分部积分法得17.计算极限.解：18.设求dy.解：19.计算不定积分.解：由换元积分法得20.计算定积分.解：由分部积分法得21.计算极限.22.设求 .解：由导数四则运算法则和导数基本公式得23.计算不定积分.解：由换元积分法得24.计算定积分.解：由分部积分法得25.计算极限.26.设，求.解: 由导数四则运算法则和复合函数求导法则得27.计算不定积分.解：由换元积分法得28.计算定积分.解：由分部积分法得29. 计算极限.30.设,求.解:由导数运算法则和导数基本公式得31.计算不定积分.解：由换元积分法得32. 计算定积分.解：由分部积分法得33. 计算极限.34设，求dy.解: 由微分运算法则和微分基本公式得35.计算不定积分.解：由换元积分法得36.计算定积分.解：由分部积分法得37. 计算极限38.设，求dy.解: 由微分运算法则和微分基本公式得39.计算不定积分.解：由换元积分法得40. 计算定积分.解：由分部积分法得四、应用题1.求曲线上的点，使其到点A(0,2)的距离最短.解:曲线上的点到点A(0,2)的距离公式为d与在同一点取到最大值，为计算方便求最大值点，将代人得求导得令得，并由此解出，即曲线上的点和点到点A(0,2)的距离最短。

南京财经大学2011~2012第二学期《高等数学》期末试题解答

南京财经大学2011－2012学年第(二)学期《高等数学》期末试题详细解答一、填空题（每题3分，共18分）1、母线平行于x 轴且通过曲线⎩⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 的柱面方程是22316y z -= 解：因为“母线平行于x 轴的柱面方程”中不含x ，故所求柱面方程就是“消去曲线⎩⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 方程中的x ”后得到的方程，即22316y z -=。

2、空间曲线段⎩⎨⎧==02L 2x y z ：绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为222()z x y =+ 解：因为“曲线⎩⎨⎧==02L 2x y z ：在yoz 面上”，故它绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面方程就是将曲线⎩⎨⎧==02L 2x y z ：的方程中的式子22z y =中的z 不变、y换成得到的，即为(22222()z x y ==+，也即222()z x y =+。

3、过点()1,1,2-且在x 轴、y 轴上的截距分别为2和1的平面方程为12xy z ++= 解：由条件“所求平面在x 轴、y 轴上的截距分别为2和1”，可设所求平面的截距式方程为121x y z c ++=，又所求平面过点()1,1,2-，则2111121c c-++=⇒=，故所求平面方程为1211x y z++=，或2220x y z ++-=。

4、00x y →→=0解：2222000000221()112lim =lim 0112x x x y y y x y x y y x →→→→→→=++ 5、已知22yx ydxa dy x du ++=，则a =1- 解：此题是考平面曲线积分与路径无关的那几个等价条件。

因为222222x dy a ydx ay xdu dx dy x y x y x y +==++++，所以2222x yx ay x y x y ''⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即22222222222222222222221()()()()x y x x x y y y y x x y a a a x y x y x y x y +-+---=⇒=⇒=-++++ 6、设L 为周长为a 的椭圆15422=+y x ，则22(254)L xy x y ds ++=⎰20a 解：因为椭圆周22:145x y L +=关于x 轴和y 轴对称，而 2222(254)2(54)LLLxy x y ds xy ds x y ds ++=++⎰⎰⎰，则由对称性，得20Lxy ds =⎰；故222222(254)(54)20202045L L L L x y xy x y ds x y ds ds ds a ⎛⎫++=+=+== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰。

高数复习题 2011-2012 下 (期末试卷)

高等数学（二）复习参考考试涉及范围：空间解析几何向量运算；平面方程、直线方程、曲线方程、常见曲面多元函数微分概念；偏导数、全微分的计算；多元函数复合求偏导；隐函数求偏导数；几何应用；极值重积分二重积分的计算及交换积分先后次序；三重积分的计算曲线与曲面积分对弧长曲线积分的计算；对坐标曲线积分的计算；格林公式；对面积曲面积分的计算；对坐标曲面积分的计算；高斯公式无穷级数常数项级数的审敛法及求和；幂级数的收敛域，和函数考试题型：一、选择题二、填空题三、计算题四、应用题五、证明题复习题一一、选择题1．曲面624222=+-z y x 上点)3,2,2(处的法线方程为（）．A ．334212-=--=--z y x B ．334212-=--=-z y x C ．334212-=-=--z y x D ．334212-=-=-z y x 2．(),z f x y =偏导数zx∂∂及z y ∂∂在点(),x y 处存在且连续是(),z f x y =在该点可微的( )．A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．无关条件 3．二元函数206922+-++-=y x y xy x z （）．A ．无驻点B ．有驻点但无极值C ．有极大值D ．有极小值 4．设L 为222R y x =+，取逆时针方向，则⎰-Lx d y y d x =（）． A ．2R B ．2R π C ．0 D ．22R π 5．下列级数中为条件收敛的级数是（）．A ．∑+∞=-121)1(n n nB ．n n n ∑+∞=-1)1(C ．∑+∞=-11)1(n n nD ．∑+∞=-121)1(n n n二、填空题1．设,2,23k j i b k j i a -+=--=则=⨯b a .2．()()=+-→xy xy y x 42lim02，， .3．223y xy x z ++=，21==y x dz= .4．交换二次积分的积分次序⎰⎰10),(y x d y x f y d = .5．⎰Lx d xy = ，其中L 是抛物线x y =2上从点)1,1(-到点)1,1(的一段弧．三、计算题1．设 v n l u z 2=，而y x v y xu 23-==，，求 x z ∂∂、yz ∂∂． 2．设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂． 3．计算⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x zd y d x d ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体． 4．⎰Ls d x ，其中L 为直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界．5．计算⎰⎰∑+S d y x )(22 ，其中∑是：锥面22y x z +=被平面0=z 和1=z 所截得的部分． 6.()()()⎰⎰∑+++++y d x d x z x d z d z y z d y d y x ，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，a y =， a z =所围成的立体的表面的外侧．7．求幂级数∑∞=++-11212)1(n n nn x 收敛域及和函数．四、应用题求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体．五、证明题1.证明：y d y n i s x x n i s y x d x s o c y y s o c x )2()2(22-++在整个y O x 平面内是某一函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u ． 2.证明: 设()22y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，证明：211z z zx x y y y∂∂+=∂∂．复习题二一、选择题1．(),z f x y =偏导数z x ∂∂及z y∂∂在点(),x y 处存在是(),z f x y =在该点可微的( )． A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．无关条件 2．二元函数xy x z +=2（）．A ．有极大值B ．有极小值C ．有驻点但无极值D ．无驻点３．交换二次积分⎰⎰ex dy y x f dx 1ln 0),(的积分次序为（）． A ．⎰⎰10),(e e ydx y x f dy B ．⎰⎰e e y dx y x f dy 10),(C ．⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( D ．⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(4．设L 为x y x222=+，取逆时针方向，则⎰-Lx d y y d x =（）．A ．1B ．πC ．0D ．π2 5．若级数∑+∞=1n nu收敛，则下列级数中（）发散．A ．∑+∞=+1100n nuB ．∑+∞=+1100n nuC ．()∑+∞=+1100n nu D ．∑+∞=1100n nu二、填空题1．设,2,23k j i b k j i a -+=--=则()=⋅-b a 2 .2．()()=→y xy y x ）（，，tan lim04 .3．xye z =，12==y x dz= .4．曲面14222=++z y x 在点()3,2,1处的切平面方程为 . 5．⎰-Lx d y x )(22= ，其中L 是抛物线2x y =上从点)0,0(到点)4,2(的一段弧．三、计算题1．设 222z y x eu ++=，而y x z sin 2=，求x u∂∂、yu ∂∂． 2．设 ,0=-z y x e z求 22xz∂∂． 3．计算⎰⎰⎰Ωz d y d x d z y x ，其中Ω为球面1222=++z y x 及三个坐标面所围成的在第一象限内的闭区域． 4．⎰Γ++s d zy x 2221，其中L 为曲线t n i s e x t =， t s o c e y t =，t e z =上相应于t 从0变到2的这段弧． 5．⎰⎰∑+--S d z x x y x )22(2 ，其中∑为平面622=++z y x 在第一卦限中的部分． 6.⎰⎰∑++y d x d z x d z d y z d y d x 222，其中∑为平面0=x ，0=y ， 0=z ，a x =，a y =， a z =所围成的立体的表面的外侧．7．求幂级数()∑∞=+++-11212121n n n n x 收敛域及和函数．四、应用题求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积．五、证明题 1.证明：曲线积分⎰-+-)4,3()2,1(2232)36()6(y d y x y x x d y y x 在整个y O x 平面内与路径无关，并计算曲线积分的值． 2. 证明：()()dx x f e x a dx x f edy x a m ay x a m a )()()(0--⎰⎰⎰-=．复习题一参考答案一、选择题1．B ；２．A ； 3．Ｄ； 4．D ； 5．C ．二、填空题1．k j i 75++；２．41-； 3．dy dx 78+； 4． ⎰⎰110),(x y d y x f x d ； 5． 54．三、计算题1．设 v n l u z 2=，而y x v y xu 23-==，，求 x z ∂∂、yz ∂∂．解x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂3122⋅+⋅=v u y v n l u y vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2(222-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=v u y x v n l u 2．设04222=-++z z y x ，求22x z∂∂．解设()=z y x F ,,z z y x 4222-++，则x F x 2=，42-=z F z 当2≠z 时，zx F F x z z x -=-=∂∂2，故，()()22222z xz x z xz-∂∂+-=∂∂()()2222z z x x z -⎪⎭⎫⎝⎛-+-=()()32222z x z -+-=3．计算⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x zd y d x d ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体．解原式z d z y x yd x d y x Dyx ⎰⎰⎰--+++=103)1(1z d z y x yd x d y x x 3101010)1(1+++=⎰⎰⎰--- ⎰⎰-+++-=x y d y x x d 10210))1(2181(165221))1(21883(10-=+++-=⎰n l x d x x ． 4．⎰Ls d x ，其中L 为直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界．解记 ,:21xy L =则 )10(41)()(222≤≤+=+=x dx x y d x d s d ；,:2x y L =则 .)10(2)()(22≤≤=+=x dx y d x d s d于是，⎰Ls d x ⎰⎰+=21L L s d x s d x ⎰⎰++=10102241x d x x d xx)12655(121221215125-+=+-=5．计算⎰⎰∑+S d y x )(22 ，其中∑是：锥面22y x z +=被平面0=z 和1=z 所截得的部分．解 ∑：22y x z +=，有,22yx x xz+=∂∂,22yx y yz+=∂∂2122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y zx z ．于是，⎰⎰+S d y x )(22⎰⎰+=yx D y d x d y x 2)(22⎰⎰+=yx D y d x d y x )(222πρρρθπ22210220=⋅=⎰⎰d d6.()()()⎰⎰∑+++++y d x d x z x d z d z y z d y d y x ，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，a y =， a z =所围成的立体的表面的外侧．解解法一：y x P +=，z y Q +=，x z R +=，于是1=∂∂x P ，1=∂∂y Q ，1=∂∂zR．由高斯公式，有⎰⎰∑++y d x d z x d z d y z d y d x 222⎰⎰⎰Ω++=z d y d x d )111(333a z d y d x d ==⎰⎰⎰Ω．解法二：由对称性有()()()⎰⎰∑+++++y d x d x z x d z d z y z d y d y x ()⎰⎰∑+=z d y d y x 3，记∑在平面0=x ，a x =，0=y ，a y =， 0=z ，a z =所在的部分为1∑，2∑，3∑，4∑，5∑，6∑。

高等数学复习期末试题含答案

高等数学试题（含答案）一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母代号填在题干后的括号内。

每小题2分，共40分）。

1．设函数f )x1x (+=x 2+2x1，则f(x)=（） A ．x 2B ．x 2-2 C ．x 2+2D ．24x1x+2．在实数范围内，下列函数中为有界函数的是（） A ．e x B ．1+sinx C ．lnx D ．tanx 3．=++++∞→2x 1x xlim x （）A ．1B ．2C ．21D ．∞4．函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1sin x ，在点x=0处（） A ．极限不存在B ．极限存在但不连续C ．可导D ．连续但不可导5．设f(x)为可导函数，且1x2)x (f )x x (f lim 000x =∆-∆+→∆，则=')x (f 0（）A ．1B ．0C ．2D ．216．设F(x)=f(x)+f(-x)，且)x (f '存在，则)x (F '是（） A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶的函数D ．不能判定其奇偶性的函数7．设y=xx ln ，则dy=（）A ．2xx ln 1-B ．dx xx ln 12-C ．2x1x ln - D ．dx x1x ln 2-8．设y=lncosx ，则)x (f '=（） A ．xcos 1 B ．tanx C ．cotxD ．-tanx9．下列四个函数中，在[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（） A ．y=|x|+1 B ．y=4x 2+1 C ．y=2x1D ．y=|sinx|10．函数y=3x3x ln 2-+的水平渐近线方程是（）A ．y=2B ．y=1C ．y=-3D ．y=011．若)x (F '=f(x)，则⎰'dx )x (F =（） A ．F(x) B ．f(x) C ．F(x)+CD ．f(x)+C12．设f(x)的一个原函数是x ，则⎰xdx cos )x (f =（） A ．sinx+C B ．-sinx+CC ．xsinx+cosx+CD ．xsinx -cosx+C13．设F(x)=dt te 1xt 2⎰-，则)x (F '=（）A ．2xxeB ．2xxe -C ．2xxe-D ．2xxe--14．设广义积分⎰+∞α1x1发散，则α满足条件（） A ．α≤1 B ．α<2 C ．α>1D ．α≥115.设z=cos(3y -x)，则xz ∂∂=（）A ．sin(3y -x)B ．-sin(3y -x)C ．3sin(3y -x)D ．-3sin(3y -x) 16．函数z=x 2-y 2+2y+7在驻点（0，1）处（） A ．取极大值 B ．取极小值 C ．无极值 D ．无法判断是否取极值 17．设D={(x,y)|x ≥0，y ≥0,x+y ≤1}，⎰⎰⎰⎰βα+=+=D2D1dxdy)y x (I ,dxdy )y x (I ，0<α<β，则（） A ．I 1>I 2B ．I 1<I 2C ．I 1=I 2D ．I 1，I 2之间不能比较大小18．级数5n 7n )1(1n 1n --∑∞=-的收敛性结论是（） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛D ．无法判定19．幂级数n1n nx3n 3∑∞=+的收敛半径R=（）A ．41 B ．4 C ．31D ．320．微分方程y ln y y x ='的通解是（） A ．e x +C B ．e -x +C C ．e Cx D ．e -x+C二、简单计算题（每小题4分，共20分）。

2011-2012年高等数学第二学期期末考试试卷

11高职各班数学卷第 1 页共2页重庆化工职业学院2011—2012年第二学期期末试题高等数学适用：11高职各班班级学号姓名成绩一.填空（每空分，共分）将各题答案填入对应编号格中 123456 7 8 91.方程y y ='满足初始条件20==x y 的特解2．方程02'''=-+y y y 的通解是 3．设()223y x z +=，则=∂∂x z，=∂∂yz 4．行列式213121021----，其中31a 的余子式是，23a 的代数余子式是 5．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001412212x y y x ，则=x ，=y 6.已知()()dt t x x ⎰+=121ln ϕ，求()=x 'ϕ7．()[]_________,2'=+⎰dx x f b a_________;115=⎰+∞dx x_________,425=-⎰dx x _________11022=+⎰dx x x8．已知矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=06112312211x x A 其中()2=A r ，则=x 9．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231121A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=241310B ，求=+T B A 3 ______=AB二．单一选择题（每题4分，共36分） 123456789101．函数=⎰→320sin limxdt t xx （）A ．1 B. 0 C.21D.312．方程()012'=-+-+y x y x 是（）A ．可分离变量的微分方程B ．一阶齐次微分方程C ．一阶齐次线性微分方程D ．一阶非齐次线性微分方程 3. 设圆方程222a y x =+的面积为S ，则方程=-⎰-dx x a aa22（）A ．SB ．2SC ．4SD ．8S4.曲线x y sin =，2π-=x ，2π=x ，及x 轴所围成的平面图形面积是（）A ．0B ．1C ．2D ．45．由曲线22+=x y ，6=y 所围成的平面图形，绕y 轴旋转所形成的旋转体的体积是（）A. π4B. π8C. π16D. π3211高职各班数学卷第 2 页共2页 6．微分方程()()()0223'5'''4=++-y y y y 的通解中任意常数的个数为（）A.2B.3C.4D. 57．若D a a a a a a a a a =333231232221131211，则=333231232221131211a a a a a a a a a （）A ．D B. 2D C. -6D D. 6D 8．方程3'=+y xy 的通解是（） A. 3+=x c y B. c x y +=3 C. 3--=x c y D. 3-=xcy 9.已知二阶方阵A 的逆矩阵=⎪⎪⎭⎫⎝⎛A ,2132（）A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2312D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2132三．计算下列各题（每题分，共分） 1．0'''=++x y xy2. 若矩阵B XA =,且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=043021100A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101021B ,求：X3. 求由直线x y =，x y 2=及2=y 所围平面图形的面积。

高数复习题 2011-2012 下 (去年的期末试卷)

高等数学（二）复习参考考试涉及范围：空间解析几何向量运算；平面方程、直线方程、曲线方程、常见曲面多元函数微分概念；偏导数、全微分的计算；多元函数复合求偏导；隐函数求偏导数；几何应用；极值重积分二重积分的计算及交换积分先后次序；三重积分的计算曲线与曲面积分对弧长曲线积分的计算；对坐标曲线积分的计算；格林公式；对面积曲面积分的计算；对坐标曲面积分的计算；高斯公式无穷级数常数项级数的审敛法及求和；幂级数的收敛域，和函数考试题型：一、选择题二、填空题三、计算题四、应用题五、证明题复习题一一、选择题1．曲面624222=+-z y x 上点)3,2,2(处的法线方程为（）．A ．334212-=--=--z y x B ．334212-=--=-z y xC ．334212-=-=--z y xD ．334212-=-=-z y x 2．(),z f x y =偏导数zx ∂∂及z y∂∂在点(),x y 处存在且连续是(),z f x y =在该点可微的( )．A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．无关条件 3．二元函数206922+-++-=y x y xy x z （）．A ．无驻点B ．有驻点但无极值C ．有极大值D ．有极小值 4．设L 为222R y x =+，取逆时针方向，则⎰-Lx d y y d x =（）．A ．2RB ．2R πC ．0D ．22R π 5．下列级数中为条件收敛的级数是（）．A ．∑+∞=-121)1(n n nB ．n n n ∑+∞=-1)1(C ．∑+∞=-11)1(n n nD ．∑+∞=-121)1(n n n二、填空题1．设,2,23k j i b k j i a -+=--=则=⨯b .2．()()=+-→xy xy y x 42lim02，， .3．223y xy x z ++=，21==y x dz = .4．交换二次积分的积分次序⎰⎰10),(y x d y x f y d = .5．⎰Lx d xy = ，其中L 是抛物线x y =2上从点)1,1(-到点)1,1(的一段弧．三、计算题1．设 v n l u z 2=，而y x v y x u 23-==，，求 x z ∂∂、yz ∂∂． 2．设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂． 3．计算⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x zd y d x d ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体． 4．⎰Ls d x ，其中L 为直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界．5．计算⎰⎰∑+S d y x )(22 ，其中∑是：锥面22y x z +=被平面0=z 和1=z 所截得的部分． 6.()()()⎰⎰∑+++++y d x d x z x d z d z y z d y d y x ，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，a y =， a z =所围成的立体的表面的外侧．7．求幂级数∑∞=++-11212)1(n n nn x 收敛域及和函数．四、应用题求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体．五、证明题1.证明：y d y n i s x x n i s y x d x s o c y y s o c x )2()2(22-++在整个y O x 平面内是某一函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u ． 2.证明: 设()22y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，证明：211z z zx x y y y∂∂+=∂∂．复习题二一、选择题1．(),z f x y =偏导数z x ∂∂及z y∂∂在点(),x y 处存在是(),z f x y =在该点可微的( )． A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．无关条件 2．二元函数xy x z +=2（）．A ．有极大值B ．有极小值C ．有驻点但无极值D ．无驻点３．交换二次积分⎰⎰ex dy y x f dx 1ln 0),(的积分次序为（）． A ．⎰⎰10),(e e ydx y x f dy B ．⎰⎰e e y dx y x f dy 10),(C ．⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( D ．⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(4．设L 为x y x222=+，取逆时针方向，则⎰-Lx d y y d x =（）．A ．1B ．πC ．0D ．π2 5．若级数∑+∞=1n nu收敛，则下列级数中（）发散．A ．∑+∞=+1100n nuB ．∑+∞=+1100n nuC ．()∑+∞=+1100n nu D ．∑+∞=1100n nu二、填空题1．设,2,23k j i b k j i a -+=--=则()=⋅-b 2 .2．()()=→y xy y x ）（，，tan lim04 .3．xye z =，12==y x dz= .4．曲面14222=++z y x 在点()3,2,1处的切平面方程为 . 5．⎰-Lx d y x )(22= ，其中L 是抛物线2x y =上从点)0,0(到点)4,2(的一段弧．三、计算题1．设 222z y xe u ++=，而y x z sin 2=，求x u∂∂、yu ∂∂． 2．设 ,0=-z y x e z求 22xz∂∂． 3．计算⎰⎰⎰Ωz d y d x d z y x ，其中Ω为球面1222=++z y x 及三个坐标面所围成的在第一象限内的闭区域． 4．⎰Γ++s d zy x 2221，其中L 为曲线t n i s e x t =， t s o c e y t =，t e z =上相应于t 从0变到2的这段弧． 5．⎰⎰∑+--S d z x x y x )22(2 ，其中∑为平面622=++z y x 在第一卦限中的部分． 6.⎰⎰∑++y d x d z x d z d y z d y d x 222，其中∑为平面0=x ，0=y ， 0=z ，a x =，a y =， a z =所围成的立体的表面的外侧．7．求幂级数()∑∞=+++-11212121n n n n x 收敛域及和函数．四、应用题求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积．五、证明题 1.证明：曲线积分⎰-+-)4,3()2,1(2232)36()6(y d y x y x x d y y x 在整个y O x 平面内与路径无关，并计算曲线积分的值． 2. 证明：()()dx x f e x a dx x f edy x a m ay x a m a )()()(0--⎰⎰⎰-=．复习题一参考答案一、选择题1．B ；２．A ； 3．Ｄ； 4．D ； 5．C ．二、填空题1．k j i 75++；２．41-； 3．dy dx 78+； 4． ⎰⎰110),(x y d y x f x d ； 5． 54．三、计算题1．设 v n l u z 2=，而y x v y x u 23-==，，求x z∂∂、yz ∂∂．解 x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂3122⋅+⋅=vu y v n l uy v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2(222-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=v u y x v n l u 2．设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂．解设()=z y x F ,,z z y x 4222-++，则x F x 2=，42-=z F z 当2≠z 时，z xF F x z z x -=-=∂∂2，故，()()22222z xz x z xz -∂∂+-=∂∂()()2222z z x x z -⎪⎭⎫⎝⎛-+-=()()32222z x z -+-= 3．计算⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x zd y d x d ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体．解原式z d z y x y d x d y x D y x ⎰⎰⎰--+++=103)1(1z d z y x y d x d y x x 3101010)1(1+++=⎰⎰⎰---⎰⎰-+++-=x y d y x x d 10210))1(2181( 165221))1(21883(10-=+++-=⎰n l x d x x ． 4．⎰Ls d x ，其中L 为直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界．解记 ,:21xy L =则 )10(41)()(222≤≤+=+=x dx x y d x d s d ；,:2x y L =则 .)10(2)()(22≤≤=+=x dx y d x d s d于是，⎰Ls d x ⎰⎰+=21L L s d x s d x⎰⎰++=10102241x d x x d x x)12655(121221215125-+=+-=5．计算⎰⎰∑+S d y x )(22 ，其中∑是：锥面22y x z +=被平面0=z 和1=z 所截得的部分．解 ∑：22y x z +=，有,22yx x xz +=∂∂,22yx y yz +=∂∂2122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y zx z ．于是，⎰⎰+S d y x )(22⎰⎰+=yx D y d x d y x 2)(22⎰⎰+=yx D y d x d y x)(222πρρρθπ22210220=⋅=⎰⎰d d6.()()()⎰⎰∑+++++y d x d x z x d z d z y z d y d y x ，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，a y =， a z =所围成的立体的表面的外侧．解解法一：y x P +=，z y Q +=，x z R +=，于是1=∂∂x P ，1=∂∂y Q ，1=∂∂zR．由高斯公式，有⎰⎰∑++y d x d z x d z d y z d y d x 222⎰⎰⎰Ω++=z d y d x d )111(333a z d y d x d ==⎰⎰⎰Ω．解法二：由对称性有()()()⎰⎰∑+++++y d x d x z x d z d z y z d y d y x ()⎰⎰∑+=z d y d y x 3，记∑在平面0=x ，a x =，0=y ，a y =， 0=z ，a z =所在的部分为1∑，2∑，3∑，4∑，5∑，6∑。

高等数学二期末复习题及答案

高等数学二期末复习题及答案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅，则=（）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线（C ）圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（）(A) 22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 224002ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为（）（A ）发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y(B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-xx y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰1010d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面（B ）柱面（C ）圆锥面（D ）椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（）. （A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充要条件（D ）无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π11、若级数1n n a ∞=∑收敛，则下列结论错误的是（）(A)12n n a ∞=∑收敛 (B) 1(2)n n a ∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D) 13n n a ∞=∑收敛12、二重积分的值与（）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关；（C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。

历年第二学期高数期末考试试题

历年第二学期高数期末考试试题(经管类)(总36页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--Ａ卷2006—2007学年第二学期《高等数学》试卷（管理类）专业班级姓名学号开课系室数学学院基础数学系考试日期 2007年7月2日题号一二三四五六总分得分阅卷人2．封面及题目所在页背面和附页为草稿纸。

3．答案必须写在该题后的横线上或指定的括号内，解的过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。

一：填空题(共10小题,每小题3分,共30分)1．微分方程322323()0d y d y dx x dx += 的阶数为_______3_____2．微分方程22x xe xy dx dy -=+的通解是22212x xx e ce --+3. 三角形的顶点),2,0,0(),0,1,2(),1,1,1(C B A -则ABC ∆;过这三点的平面方程是420x y z --+=4．2ln()z x y =-(写出集合形式) 222{(,)1}x y x y x y +≥>且5．设(),f u v 是二元可微函数，(,),y xz f x y =则z zx y x y ∂∂-=∂∂()()121ln ln 1y x yx x f xy y f ''-+-6．曲面222326x y z ++=在点()111--，，的法线方程是111132x y z -++==-- 7.函数23u xyz yz z =--在点(1,1,1)P 处沿从点P 到点(3,3,2)Q 方向的方向导数等于43-；该函数在点(1,1,1)P 沿方向{1,1,4}--的方向导数值最大，其方向导数最大值是8．已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围，则Dyd σ⎰⎰= 09．2(,)ydy f x y dx⎰⎰交换积分次序得22(,)xdx f x y dy⎰⎰10．若级数1(1)nn u∞=+∑收敛，则n u →∞=n lim -1二:选择题(共10小题,每小题2分,共20分)1. 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个解()()12,y x y x ，C 为任意常数，则该方程通解是（ B ） (A)()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦ (B) ()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦ (C)()()12C y x y x +⎡⎤⎣⎦(D)()()()112y x C y x y x ++⎡⎤⎣⎦2．已知2,2==b a，且2=⋅b a ，则=⨯b a （ A ）（A ）2 （B ）22 （C ）22（D ）13．直线37423zy x =-+=-+与平面3224=--z y x 的关系是( A ) (A)平行,但直线不在平面上 (B)直线在平面上(C)垂直相交 (D)相交但不垂直4. 双曲抛物面22234x y z -=与xoy 平面的交线是（ D ）(A)双曲线 (B)抛物线 (C)平行直线 (D)相交于原点的两条直线5. 函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z 在点),(00y x f x 存在全微分的（ B ）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件6．设),1sec(-=xy z ，则=x z ( B )(A)sec(1)tan(1)xy xy -- (B)sec(1)tan(1)y xy xy --(C)2tan (1)y xy - (D)2tan (1)y xy --7. 设函数(),f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dyππ⎰⎰等于( B )(A) 1arcsin (,)ydy f x y dxππ+⎰⎰(B) 1arcsin (,)ydy f x y dxππ-⎰⎰(C)1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ+⎰⎰ (D)1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ-⎰⎰8．设曲面∑是上半球面：()22220,x y z R z ++=≥曲面1∑是曲面∑在第一卦限中的部分，则有( C ) (A)14xdS xdS∑∑=⎰⎰⎰⎰ (B)14ydS ydS∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C)14zdS zdS∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D)14xyzdS xyzdS∑∑=⎰⎰⎰⎰9. 级数21cos (0)n nxx n ∞=≠∑，则该级数（ B ）(A)是发散级数 (B)是绝对收敛级数(C)是条件收敛级数 (D)仅在()()1,00,1-内级数收敛,其他x 值时数发散10. 若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（ D ）(A) 1nn a ∞=∑收敛 (B) ()11nnn a ∞=-∑收敛 (C) 11n n n a a ∞+=∑收敛 (D) 112n n n a a ∞+=+∑收敛三、解答题(本题共8小题,共50分)1.（本题6分）求微分方程''2xy y e -=的通解.解： 210,1r r -==±，123x x y c e c e -'=+设 *2x y Ae =，*2*22,4x x y Ae y Ae '''==22214,31,53x x x Ae Ae e A A '∴-=∴==222163x x xe c e e -'∴++1通解y=c2. （本题6分）设某一曲面由曲线⎩⎨⎧==02y x z 绕oz 周旋转一周生成，求该旋转曲面的方程;若该区面上的一个切平面与平面0324=+-+z y x 平行，求此切平面的方程.解：令22(,,)F x y z x y z =+-， 00{2,2,1}2n x y '=-00221421x y -==- 0002,1,5x y z ⇒==={4,2,1}5n '∴=- 4(2)2(1)(5)0x y z -+---= 即 42506x y z '+--=3. （本题6分）sin ,uz e v =而,,u xy v x y ==-求,.z z x y ∂∂∂∂ 解：sin ,,,sin cos 1sin()cos()3u u u xy xyz e v u xy v x y z z u z v e v y e v x u x v xye x y e x y ===-∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂'=-+-sin()cos()6xy xy z z u z vxe x y e x y y u y v y∂∂∂∂∂'=+=---∂∂∂∂∂ 4. （本题6分）设fx y x f x z ),,(2=有连续的二阶偏导数，求y x z ∂∂∂2.解：21222()z y xf x f f x x ∂''=+-∂2' 22212222222122222122211112[]26z y x f x f f f x y x x x x xyf xf f f x yf xf f x∂''''''=+--∂∂''''''=+--''''''=+-或2222221222126z x f xf y xz z y f xf f x y y xx ∂'''==∂∂∂''''''∴==+-∂∂∂∂5. （本题6分）设(),f x y 连续，且()(),,,Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰其中D 是由20,,1y y x x ===所围区域，求(),f x y .解：()()()()()()()2211,,2,,11,512311,,688DDD DDDDxx DDDf x y dxdy xydxdy f u v dudvdxdyxydxdy f u v dudv dxdydx xydxdy f x y dxdy dx dxdyf x y dxdy f x y dxdy f x y xy '=+=+=+'=+'∴=∴=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰6. （本题6分）求()21Dx y dxdy++⎰⎰,其中D 为224x y +≤.解：()222222220122214484126DDDDx y dxdy x y x y xy dxdyx y dxdy dxdyd r rdr πθππππ++=+++++'=++'=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. （本题6分）判别级数11(1)(1)nnn e ∞=--∑是否收敛如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛解：考虑级数()11111(1)(1)nnnn n e e ∞∞==--=-∑∑111111lim 1,(1)31nn n n n e e n n∞∞→∞==-'=∴-∑∑且发散发散11(1)(1)n nn e ∞=--∑是交错级数且1111111,lim 10n n nn n n u e eu e ++→∞=->-=-=，由莱布尼兹判别法知，11(1)(1)nnn e ∞=--∑收敛。

大学高等数学期末考试试题及答案

院（系）别班级班级学号学号学号姓名姓名成绩成绩大题大题一二三四五六七小题小题1 2 34 5得分得分，把答案直接填在题中横线上），a = ，b = = ．，则2z x y¶=¶¶ ．处的切平面方程为处的切平面方程为．处收敛于处收敛于，在处收敛于处收敛于．= ．，答题时必须写出详细的解答过程，1ln n n 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？,)y 具有二阶连续偏导数，求,z z x x y¶¶¶¶¶．,dSz òò三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-ò，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n ¥=×å的收敛域及和函数．的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy S=++-òò，其中S 为曲面221(0)z x y z =--³的上侧．的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]t F t z f xy z dv W =+++òòò，其中t W 是由曲面22z x y=+与222z t x y =--所围成的闭区域，求所围成的闭区域，求 30()lim t F t t+®．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面®答题纸®草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。

2011-2012学年二学期高等数学期末考试试卷_A卷_02

江汉大学数学与计算机科学学院
2011-2012 学年二学期高等数学平常练习试卷(A 卷)-2 班级:___________学号:___________姓名:___________得分:___________ 题号得分阅卷题目部分，(卷面共有 15 题,45.0 分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (10 小题,共 30.0 分) [1]直线 A、垂直 [2]方程 A、单叶双曲面 [3]设向量 A、 [4]两平面 A、相交的 [5]对任何向量 A、 C、 [6]曲面 A、 B、 C、 D、平面上曲线平面上曲线平面上曲线平面上曲线是绕轴旋转而成的旋转曲面绕轴旋转而成的旋转曲面绕轴旋转而成的旋转曲面绕轴旋转而成的旋转曲面满足 B、平面 B、在是 B、双叶双曲面 C、椭球面 D、双曲抛物面平面内 C、平行轴 D、在平面内一二三四五六七八九十成绩复核
A、平行，但直线不在平面上 B、直线在平面上 C、垂直相交 D、相交但不垂直二、填空 (5 小题,共 15.0 分) [1] 设向量 _____ 。 [2] 球面与交线在 )。内，则及。平面上投影曲线的方程是满足，且，则 =
_________________________(其中 [3]要使直线 [4] 过点且与平面 _________________ 。 [5]由柱面，锥面在平面
[4]
或
[5]
2006 考研数学一真题点 (2, 1, 0) 到平面 3x 4 y 5 z 0 的距离 z = 答案： 2 .
，则必有 C、 D、各自与平面 D、重合的的交线是
B、平行的，总有
C、异面的
B、 D、

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高等数学期末复习题及答案一. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）1、.11)(;)1(21arctan )(;1ln arctan )(;1ln arctan )(,d arctan 2222C xD C x x x C C x x x B C x x x A I x x I +++++++-++-==⎰ 则设答(A ) 2、[) ）答（和、　依赖于，不依赖于　依赖于　和　依赖于，不依赖于　依赖于　的值则，　上连续，且，在设函数t x s D s t C s t B t s A I t s dx sxt f s I x f st )()()()()00()(10)(0>>+=∞+⎰ 答( C ) 3、cx x x x D cx x x x C c x x x x B cx x x x A I xdx I +⋅-+-+⋅-++⋅-++⋅++==⎰sec tan 21|tan sec |ln 21)(sec tan 21|tan sec |ln 21)(sec tan 21tan sec ln )(sec tan 21|tan sec |ln 21)(,sec 3 则设答( A ) 4、答（）等于是同阶无穷小，则与时，且当，，，有连续的导数，设4)(3)(2)(1)()(0)()()(0)0(0)0()(022D C B A k x x F x dt t f t x x F f f x f k x'→-=≠'=⎰答( C ) 5、）答（是等价无穷小，则的导数与时，若已知21)( 1)(21)( 1)()0(d )()()(02022--=''''-=→⎰D C B A f x t t f t x x F x x答( B ) 6、)()()()()()()()()(0, 2cos 1)(lim,0)0(,0)(0 答的驻点但不是极值点　是的驻点不是的极小值点　是的极大值点是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x xx f f x x f x ==-==→ 答( Ｂ ) 7、（）答是单调的　不为极植取极大值　取极小值处必在函数)()()()(3)3cos cos 2()(0D C B A x dt t t x f xπ=+=⎰答( B ) 8、.)1ln(2)(;)1ln(2)(;)1ln()()1ln()(,d 11c e x D c x e C c e B c e A I x e e I x x x x x x ++-+-++++-=+-=⎰ 则设答(C ) 9、）答（不为常数　恒为零为负常数　为正常数则设)()()()()(,sin )(2sin D C B A x F tdt e x F x xtdt⎰+⎰=π答( C )10、设函数在点处可导则它在处关于自变量改变量的微分等于答　y f x x x x dy A f x x f x B f x f x x C f x x D f x =+--+''(),()()()()()()()()()()()∆∆∆∆答()C11、极限的值为．；．　．　．．答（）limtan sin x x xx A B b C D →-∞030112答( C ) 12、设　则点　是的极大值点是的极小值点　是的驻点但不是极值点不是的驻点答 lim()()(),()()()()()(),,()()()x af x f a x a x aA f xB f xC f xD f x →--=-=21答( A ) 13、[] 答（）无穷多内零点的个数必为，在则函数，上连续，且，在设函数)( 2)(1)( 0)()()(1)()(0)()(D C B A b a dt t f dt t f x F x f b a x f x b x a ⎰⎰+=> 答( B ) 14、[] ）答（要条件　既不是充分也不是必　充分必要条件充分条件　必要条件的为奇函数是积分上连续，则，在设)( )()( )(0)()()(D C B A dx x f x f a a x f aa=-⎰-答( B )15、)()()()( )())((0)(,0)()(0000 答必不取得极值能不取得极大值可能取得极大值也可　必有极小值必有极大值处则在的某邻域有定义且在函数D C B A x f x x x f x f x x x f ==''='=答()C 16、cx D c x x x C c x x B c xA I x x I ++-++==⎰2)(ln 21)(ln )(ln )(;1)( d ln 则设答( C ) 17、答（）确定定积分4)(2)(1)(0)(cos 0D C B A dx x ⎰π=答( C )二. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 5 小题，每小题3分，总计 15 分）1、_____________000)(sin 2sin ==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x x a x xe e xf xx 处连续则　在，，设填: 12、. ___________0 , 001sin )(2==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=a x x a x x e x x f ax 处连续，则在，当，当填 : 1-3、已知是的一个原函数cos (),x xf x =⋅⎰x x xx f d cos )(则___________. ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅⎰⎰)cos d(cos d cos )(x x x x x x x x f 填c x +2)cos (1　4、⎰='x x f x xxx f d )(,sin )(则的一个原函数为设______________。

2-2大学高数历年期末试题

3. L 为圆 x2 y2 1的一周，则 (x 2 y 2 )ds _____________.
L
lim an 1
4. 设 n
a
n
2
an x2n 1
，级数 n 1
的收敛半径为 _____________.
f (x)
5. 设
x2 e y2 dy
1 xf (x)dx
1
，则 0
_____________.
a b a c ，则（
）.
（A）必有 aa, b0, ;c 满足关系式
（B）必有b c 0
（C）当 a 0 时，必有b c ;
（D）必有 a (b ; c) ( 为常数).
x3 y4 z
2. 直线 2
7 3 与平面 4x 2 y 2z 3 的关系是（
）.
（A）平行，但直线不在平面上;
（B）直线在平面上；
二.选择题（共 4 小题，每小题 4 分，共计 16分）
x 3y 2z 0
1. 设直线 L 为 2x y 10z 3 0, 平面为4x 2 y z 2 0
(A) L 平行于平面
(B) L 在平面上
,则（） .
(C) L 垂直于平面
(D) L 与相交，但不垂直
x y z dv
2．设有空间区域 : x2 2 R4
（C）垂直相交;
（D）相交但不垂直.
f (x, y)
5xy , (x, y) (0,0) x2 y2
3. 二元函数
0,
(A) 不连续，偏导数存在
(C) 连续，偏导数存在
(x, y) (0,0) 在点（0，0）处（）
(B) 连续，偏导数不存在 (D) 不连续，偏导数不存在

2011年高等数学一II期末考试试卷

2011年6月高等数学一II 期末考试试卷说明：2011年9月教学计划调整，第二学期的微分方程与原第一学期空间解析几何对换，请同学们注意。

一．填空题（4分⨯5=20分）1．(,)(0,0)lim x y→= ．２．设 22240,x y z z ++-= 则z x ∂=∂ ．３．设 23(,,),f x y z x y z =++ 则(1,1,1)gradf = ．４．设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为 1,0,(),0.x f x x x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩ 则()f x 的傅里叶级数在0x =处收敛于．５．微分方程 440y y y '''++= 的通解是．二．单项选择题（４分⨯５＝２0分）１．已知 22(,)sin(),f x y x x y =+则x f =（）．（A ）０（B ）１（C ） π （D ） 2π ２．lim 0n n u →∞= 是级数 1n n u ∞=∑ 收敛的（）（A ）充分必要条件（B ）充分条件（C ）必要条件（D ）非充分且非必要条件３．交错级数11(1)n n ∞-=-∑ 是（）（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）可能收敛也可能发散4．幂级数 1(1)nn n x n ∞=-∑ 的收敛域是（）（A ）（－１，１）（B ）（－１，１] （C ）［－１，１) （D ）［－１，１］５．微分方程 22y xy '= 满足初始条件 01x y == 的特解是（）（A ）211y x =- （B ） 211y x =- （C ） 2x y e = （D ） 2x y e =第张共张三．计算题（7分⨯2＝１4分）１．设D 由圆 224x y += 围成，求二重积分D ．２．设L 为圆周 224x y +=，求对弧长的曲线积分 22L x y ds +⎰．四．判别下列级数的收敛性（１6分）１．11(2)n n n n ∞=++∑ （7分）２．1np n a n∞=∑ (0,0a p >>（9分）五．（１0分）求函数21()56f x x x =-+ 关于(1)x -的幂级数展开式，并指出收敛域．六．（10分）求微分方程 2109x y y y e '''-+= 的通解．七．（10分）已知曲线积分[()]sin ()cos x L f x e ydx f x ydy --⎰ 与路径无关，其中()f x 具有一阶连续导数，且(0)0f =，求()f x ．。