浙江省东阳市18学年高二数学1月阶段性检测试题

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2024-2025学年第一学期数学阶段检测(二)(选择性必修一)(A4)

2024-2025学年第一学期阶段检测（二）高二数学试题注意事项：1．试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的考号、姓名等相关信息填写在答题卡上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡的指定区域，写在本试题卷上无效。

4．试卷包括试题卷（共4页）和答题卡（共6页）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

5.本套试卷的范围：选择性必修一全册．．．．．．．．。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，M 在线段OA 上，且3OA AM =，点N 为BC 中点，则MN =A ．121232a b c -+B ．211322a b c-++ C ．111222a b c+-D ．2132b a c+-2．“2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,P p ，则m n p -+的值是A ．24B ．0C ．20D ．4-4．双曲线22:1C x y -=的一条渐近线被圆22(1)1x y -+=所截得的弦长为A ．2B ．1C ．32D 5．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一内切球O ，点P 在球O 的表面上运动，则PA PC ⋅的取值范围为A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]2,4-D ．[]0,46．曲线C ：()10=>xy x 上到直线1620x y ++=距离最短的点坐标为A ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．14,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．14,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 且倾斜角为2π3，若抛物线C 上存在点M 与点3,02N ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线l 对称，则抛物线C 的准线方程为A ．12x =-B ．=1x -C ．2x =-D ．14x =-8．已知椭圆()22222122:10,x y C a b c a b a b+=>>=-的右焦点为F ，过点F 作圆222:20C x y cx ++=的切线与椭圆1C 相交于,A B 两点，且2FB AF =，则椭圆1C 的离心率是A B 6C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.9．已知曲线C 的方程为()221R 15x y m m m+=∈+-，则A ．当2m =时，曲线C 为圆B ．当7m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为12y x =±C ．当m>2时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．当7m =时，曲线C10．下列说法正确的有A ．直线30x +=的倾斜角为150︒B ．直线()32y k x -=-必过定点()2,3C ．方程()2y k x =-与方程2yk x =-表示同一条直线D ．经过点()2,1P ，且在,x y 轴上截距相等的直线方程为30x y +-=11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E F G M N 、、、、均为所在棱的中点，动点P 在正方体表面运动，则下列结论中正确的为A ．P 在BC 中点时，平面PEF ⊥平面GMNB ．异面直线EF GN 、所成角的余弦值为14C ．E F G M N 、、、、在同一个球面上D ．111112A P t A A A M t A B =+- ，则P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知空间四点()4,1,3=A ，()2,3,1=B ，()3,7,5=-C ，(),1,3=-D x 共面，则x =．13．已知点P 是直线80-+=x y 上的一个动点，过点P 作圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，与圆切于点,M N ，则cos MPN ∠的最小值是．14．已知双曲线E ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .过点2F 的直线与y 轴交于点B ，与E 交于点A ，且2232F B F A =-，点1F 在以AB 为直径的圆上，则E 的渐近线方程为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为10,F 为双曲线的右焦点，且点F 到渐近线的距离为4．（1）求双曲线C 的方程；（2）若点()120A ,，点P 为双曲线C 左支上一点，求PA PF +的最小值．16．（本题满分15分）已知以点()1,2A -为圆心的圆与______，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．从①直线270x y ++=相切；②圆()22320x y -+=关于直线210x y --=对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．（1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程．17．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//,,2AB CD AB BC BC CD ⊥==，4,PA PD AB PB ====（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PC 的中点，求平面ADE 与平面ABCD 的夹角的余弦值.18．（本题满分17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．且离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 斜率存在，交椭圆C 于A ，B 两点，A ，B ，F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（i ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．19．（本题满分17分）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“孪生”曲线，若双曲线2C 与椭圆1C 是“孪生”曲线，且椭圆()2212:1039x y C b b +=<<，12e e =12,e e 分别为曲线12,C C 的离心率）（1）求双曲线2C 的方程；（2）设点,A B 分别为双曲线2C 的左、右顶点，过点()5,0M 的动直线l 交双曲线2C 右支于,P Q 两点，若直线,AP BQ 的斜率分别为,AP BQk k ①是否存在实数λ，使得AP BQ k k λ=，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由；②试探究AP BQ k k +的取值范围．。

福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期第一次阶段性质量检测数学试卷

福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期第一次阶段性质量检测数学试卷一、单选题1．已知2b a c =+，则直线0ax by c ++=恒过定点（） A ．(1,2)- B ．(1,2) C ．(1,2)-D ．(1,2)--2．已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（） A ．(][),11,-∞-+∞U B ．[]1, 1-C ．[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．下列命题中正确的是（）A ．点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1--B ．若直线l 的方向向量为()1,1,2e =-r ，平面α的法向量为()6,4,1m =-r，则l α⊥C ．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120o ，则直线l 与平面α所成的角为30oD ．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r ，则12m =-4．已知{},,a b c r r r为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A ．a b +r r ，c b +r r ，a c -r rB ．2a b +r r，b r ，a c -r r C ．2a b +r r，2c b +r r ，a b c ++r r rD ．a b +r r ，a b c ++r r r ，c r5．过点()1,4A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（） A ．30x y -+=B ．50x y +-=C ．40x y -=或50x y +-=D ．40x y -=或30x y -+=6．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11A ADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，则异面直线AP 与DC 的夹角的余弦值为（）A B C D 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（）A B C D 8．平面几何中有定理：已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，且AC BD ⊥，过点E 分别作边AB ，BC ，CD ，DA 的垂线，垂足分别为1P ，2P ，3P ，4P ，则1P ，2P ，3P ，4P 在同一个圆上，记该圆为圆F .若在此定理中，直线AB ，BC ，AC 的方程分别为0x y -=，20x y +=，2x =，点()43,1P ，则圆F 的方程为（）A ．()221252416x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭B ．()22113239x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C ．()221412416x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ D ．()22125239x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭二、多选题9．已知向量()1,1,0a =-r ，()1,0,1b =-r ，()2,3,1c =-r，则（） A ．6a b -=rr B ．()()37a b b c +⋅+=r r rrC ．()4a b c +⊥r r rD ．()a b c -r rr ∥10．给出下列命题正确的是（）A ．直线l 的方向向量为()3,1,2a =-r，平面α的法向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，则l 与α平行B ．直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-C ．已知直线()2210a x ay ++-=与直线320ax y -+=垂直，则实数a 的值是43-D ．已知,,A B C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则,,,P A B C 四点共面11．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，AB ，AD ，1AA 两两所成夹角均为60o ，点E ，F 分别在棱1BB ，1DD 上，且12BE B E =，12D F DF =，则（）A ．A ，E ，1C ，F 四点共面B ．1AA u u u r 在1AC uuu r 方向上的投影向量为113AC u u u urC ．EF u u u rD ．直线1AC 与EF三、填空题12．1:30l x y -+=，与直线2:220l x my +-=平行，则直线1l 与2l 的距离为.13．已知{},,a b c r r r是空间向量的一个基底，{},,a b a b c +-r r r r r 是空间向量的另一个基底，若向量p r 在基底{},,a b c r r r 下的坐标为()4,2,3，则向量p r在基底{},,a b a b c +-r r r r r 下的坐标为．14．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设()11,A x y ，()22,B x y ，则A ，B 两点间的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-．已知()4,6M ，点N 在圆22:640C x y x y +++=上运动，若点P 满足(),2d M P =，则PN 的最大值为．四、解答题15．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为矩形，且12,,AA AB AD E F ==分别为111,C D DD 的中点.(1)证明：//AF 平面1A EB .(2)求平面11A B B 与平面1A BE 夹角的余弦值.16．已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =. (1)求直线BC 的方程和点C 的坐标； (2)求ABC V 的面积．17．设直线1:230l x y -+=和直线2:30l x y ++=的交点为P .(1)若直线l 经过点P ，且与直线250x y ++=垂直，求直线l 的方程； (2)若直线m 与直线250x y ++=关于点P 对称，求直线m 的方程. 18．在空间几何体ABC DEF -中，四边形,ABED ADFC 均为直角梯形，π2FCA CAD DAB ABE ∠=∠=∠=∠=，4,5,6AB AC CF AD BE =====．(1)如图1，若π2CAB ∠=，求直线FD 与平面BEF 所成角的正弦值； (2)如图2，设π02CAB θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭（ⅰ）求证：平面BEF ⊥平面DEF ；（ⅱ）若二面角E BF D --cos θ的值．19．已知圆C 经过坐标原点O 和点()2,2G -，且圆心C 在直线20x y +-=上．（1）求圆C 的方程；（2）设PA PB 、是圆C 的两条切线，其中,A B 为切点． ①若点P 在直线20x y --=上运动，求证：直线AB 经过定点； ②若点P 在曲线214y x =（其中4x >）上运动，记直线PA PB 、与x 轴的交点分别为 M N 、，求PMN V 面积的最小值．。

2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高二（上）期中数学试卷一.单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l 的方程：x +√3y −1=0，则直线l 的倾斜角为（） A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π32．若复数z 满足：z （1+2i ）＝8+i ，则复数z 的虚部为（） A ．﹣3B ．2C ．3D ．﹣3i3．“x ＜1”是“lnx ＜0”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若函数f （x ）＝cos （2x +φ）（φ＞0）的图象关于直线x =−56π对称，则φ的最小值是（） A ．4π3B ．2π3C ．π3D ．π65．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AA 1，D ，E 分别为AC ，BC 的中点，则异面直线C 1D 与B 1E 所成角的余弦值为（）A ．√33B ．√55C ．√1010D ．√30106．若关于x 的不等式x 2﹣（m +1）x +9≤0 在[1，4]上有解，则实数m 的最小值为（） A ．9B ．5C ．6D ．2147．设椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 与双曲线C 2：x 2a 2−y 2b2=1的离心率分别为e 1，e 2，且双曲线C 2的渐近线的斜率小于√155，则e 2e 1的取值范围是（） A ．（1，4）B ．（4，+∞）C ．（1，2）D ．（2，+∞）8．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2，△ACD 是正三角形，P A ⊥AC ，平面P AC ⊥平面PBC ，若点F 是△P AD 所在平面内的动点，且满足|F A |+|FD |＝2，点E 是棱PC （包含端点）上的动点，则当直线AE 与CD 所成角取最小值时，线段EF 的长度不可能为（）A ．√52B ．√62C ．√264D ．√72二.多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符 9．下列命题正确的是（）A ．集合A ＝{a ，b ，c } 的子集共有8个B ．若直线l 1：x +ay ﹣1＝0 与 l 2：a 2x −y +1=0 垂直，则a ＝1C ．若x 2+y 2＝1（x ，y ∈R ），则3x ﹣4y 的最大值为5D ．长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球的表面积是14π10．已知向量a →=(−√2，cosθ)，b =(sinθ，1)，则下列命题正确的是（） A ．不存在θ∈R ，使得a →∥b →B ．当tanθ=√22时，a →⊥b →C ．对任意θ∈R ，都有|a →|≠|b →|D ．当a →⋅b →=√3时，a →在b →方向上的投影向量的模为35√511．已知直线l ：（λ+1）x +（1﹣λ）y +2λ＝0，⊙C ：x 2+y 2﹣4y ＝0，则下列结论正确的是（） A ．直线l 恒过定点（﹣2，4） B ．直线l 与⊙C 必定相交C ．⊙C 与⊙C 1：x 2+y 2−4x =0公共弦所在直线方程为y ＝xD ．当λ＝0时，直线l 与⊙C 的相交弦长是√2 12．设椭圆C ：x 24+y 2=1 的左、右焦点分别为 F 1F 2，椭圆C 的右顶点为A ，点P 、Q 都在椭圆C 上且P 、Q 关于原点对称，直线x ＝m 与椭圆C 相交于点M 、N ，则下列说法正确的是（） A ．四边形PF 1QF 2不可能是矩形 B ．△PQF 2周长的最小值为6C ．直线P A ，QA 的斜率之积为定值−14D ．当△F 2MN 的周长最大时，△F 2MN 的面积是√3三.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应的横线上）13．若双曲线16x2﹣9y2﹣144＝0上一点M与它的一个焦点的距离为9，则点M与另一个焦点的距离为．14．已知一个圆锥的侧面积为6π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为．15．若直线l：x+y+m＝0与曲线C：y=√9−x2只有一个公共点，则实数m的取值范围是．16．已知扇形OPQ中，半径r＝2，圆心角为θ(0＜θ＜π2)．若要在扇形上截取一个面积为1的矩形ABCD，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则tanθ的最小值为．四.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA+√3acosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a＝2，AC边上的中线BD=√3，求△ABC的面积S．18．（12分）亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，衢州举办了亚运知识竞赛活动．活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，如图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第8的选手分数；（2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是多少？（3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为11，试求所有选手的平均分和方差．19．（12分）已知双曲线C 的渐近线方程是y =±√3x ，点M （2，3）在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若动直线l ：y ＝kx +1与双曲线C 交于A ，B 两点，问直线MA ，MB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．20．（12分）如图，四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，BC ＝4，PC ＝PD ＝CD ＝2，M 为AD 的中点．（1）若BM ⊥PC ，求证：BM ⊥PM ；（2）若二面角P ﹣CD ﹣A 的余弦值为√33求直线PB 与平面P AD 所成角θ的正弦值．21．（12分）已知函数f （x ）＝3x 2﹣（2x ﹣a ）|x ﹣a |．（1）当a ＝0 时，求函数f （x ）的值域；（2）若不等式f （x ）≥33对 x ∈R 恒成立，求实数a 的最小值．22．（12分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F （1，0），且长轴长是短轴长的√2倍．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，F 1是椭圆的另一个焦点，若△ABF 1内切圆的半径r =√23，求直线l 的方程．2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

浙江省台州市2023-2024学年高二上学期1月期末质量评估数学试题含答案

台州市2023学年第一学期高二年级期末质量评估试题数学2024.01（答案在最后）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.直线21y x =-的斜率等于（）A.1-B.1C.2D.2-【答案】C 【解析】【分析】由斜截式判定直线斜率即可.【详解】由直线的斜截式y kx b =+可知21y x =-的斜率为2k =.故选：C2.若双曲线()2221012x y m m -=>的离心率为2，则实数m =（）A.2B.C.4D.16【答案】A 【解析】【分析】根据离心率表示出方程22124m m +=，计算即可求解.【详解】由题意得,22222124c m e a m+===,解得24m =.又0m >，则2m =.故选:A.3.若空间向量()()1,0,1,2,1,2a b == ，则a 与b的夹角的余弦值为（）A.23B.3C.3D.13-【答案】C 【解析】【分析】利用空间向量夹角的坐标表示即可求解.【详解】由题意，得cos,3a ba ba b⋅==.故选:C.4.已知等差数列{}()*na n∈N的前n项和为nS.若541353S a a==，，则其公差d为（）A.2- B.1- C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式，通项公式列式计算求解.【详解】由()155355352a aS a+===，所以37a=，又413a a=，1112733a da d a+=⎧∴⎨+=⎩，解得132ad=⎧⎨=⎩.故选：D.5.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D-中，记1AB a AD b AD c===uu u r uuu r uur r rur,,，则1D C=（）A.a b c+-r r rB.a b c-++C.a b c-++D.a b c--+【答案】A【解析】【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：111D C D D DC DC AD AD a b c=+=+-=+-uuur uuu r uuu r uuu r uuu r ruu ru r r.故选：A.6.人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列{}()*1N n a n a m m ∈=，（为正整数），1231.nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩，为偶数，，为奇数若51a =，则m 所有可能的取值的和为（）A.16B.18C.20D.41【答案】B 【解析】【分析】由已知数列的递推式倒推得到m 的值.【详解】若51a =，则由递推关系只能有42a =，34a =，有28a =或21a =，当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，所以m 所有可能的取值为16或2，16218+=.故选：B7.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,,A B 两点在抛物线C 上，并满足3AF FB = ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为M ，若1FM =，则p =（）A.12B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】分过F 的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立抛物线，得到两根之积，根据向量比例关系得到方程，求出112p x =+，2123p x =-，从而得到方程，求出答案.【详解】由题意得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当过F 的直线斜率不存在时，AF FB =，不合要求，舍去，当过F 的直线斜率存在时，设为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立2:2C y px =得，()222222204k p k x k p p x -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则2124p x x =，因为3AF FB = ，所以12322p p x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又1FM =，故112p x -=，解得112p x =+，故2312p x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2123p x =-，故2112234p p p ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得1p =.故选：B8.在空间四边形ABCD 中，AB BC BC CD CD DA DA AB ⋅=⋅=⋅=⋅，则下列结论中不一定正确．．．．．的是（）A.()AB BC CD DA+=-+ B.2222AB BC CD DA +=+C.ABD DCA ≅ D.AC BD ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用向量线性运算判断A ；利用空间向量数量积的应用判断B ；利用给定等式结合垂直关系的向量表示推理判断CD.【详解】依题意，()AB BC AC CA CD DA +==-=-+，A 正确；显然22()()AB BC CD DA +=+ ，即222222AB BC AB BC CD DA CD DA ++⋅=++⋅ ，因此2222AB BC CD DA +=+ ，B 正确；由()BC CD BD DB DA AB +==-=-+ ，同理得2222BC CD DA AB +=+ ，于是||||,||||AD BC AB CD == ，由AB BC BC CD ⋅=⋅，得()0BC AB DC ⋅+= ，由CD DA DA AB ⋅=⋅，得()0DA AB DC ⋅+= ，取BD 中点O ，连接CO 并延长至E ，使OE CO =，连接,,BE DE AE ，取AE 中点F ，连接,BF DF ，显然四边形BCDE 为平行四边形，则||||||,||||||AD BC DE AB CD BE ====，//,//BC DE CD BE ，于是2AB DC AB EB FB +=+=，即有0,0BC FB DA FB ⋅=⋅=，则,BC BF AD BF ⊥⊥，DE BF ⊥，而,,AD DE D AD DE =⊂ 平面ADE ，则BF ⊥平面ADE ，又DF ⊂平面ADE ，因此BF DF ⊥，2BD OF AC ==，而,AB CD AD =为公共边，所以ABD △≌DCB △，C 正确；显然线段,BC CD 不一定相等，而BF ==，DF =，即直角三角形BFD 的两条直角边不一定相等，FO 与BD 不一定垂直，又//FO AC ，所以,AC BD 不一定垂直，D 错误.故选：D【点睛】结论点睛：首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知数列{}n a 和{}()*N n b n ∈是等比数列，则下列结论中正确的是（）A.{}2na 是等比数列B.{}n n a b +一定不是等差数列C.{}n n a b ⋅是等比数列D.{}n n a b +一定不是等比数列【答案】AC 【解析】【分析】AC 可利用等比数列的定义进行判断，CD 选项，可举出反例.【详解】A 选项，设数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=，故2212n na q a +=，所以{}2n a 是等比数列，A 正确；BD 选项，设1,2n n a b ==，满足数列{}n a 和{}()*Nn b n ∈是等比数列，所以123n n a b +=+=，故此时{}n n a b +是等差数列，也是等比数列，BD 错误；C 选项，设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公比为1q ，则111n n n na b qq a b ++⋅=⋅，故{}n n a b ⋅是等比数列，C 正确；故选：AC10.已知4a >-且0a ≠，曲线22:14x y C a a+=+，则下列结论中正确的是（）A.当0a >时，曲线C 是椭圆B.当40a -<<时，曲线C 是双曲线C.当0a >时，曲线C 的焦点坐标为()()0,20,2-，D.当40a -<<时，曲线C 的焦点坐标为()()2,0,2,0-【答案】ABD 【解析】【分析】对于AC ，若0a >，则40a a +>>，从而可判断；对于B ，若40a -<<，则40a +>，a<0，从而可判断；对于D ，40a -<<时，曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，求出焦点坐标即可判断.【详解】对于A ，若0a >，则40a a +>>，故曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若40a -<<，则40a +>，a<0，故曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，故B 正确；对于C ，0a >时，由A 可得曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，故C 错误；对于D ，40a -<<时，由B 可得曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，曲线22:14x y C a a +=+，可化为曲线22:14x y C a a-=+-，双曲线C2=，故焦点坐标为()()2020-，，，，故D 正确.故选:ABD.11.如图，在四面体ABCD 中，E F G H ，，，分别是AB BC CD DA ，，，的中点，EGFH ，相交于点M ，则下列结论中正确的是（）A.//AC 平面EFGHB.AC BD⊥C.()14AM AB AC AD =++D.若S T ，分别为AC BD ，的中点，则M 为ST 的中点【答案】ACD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断A ；对于B ，将AC 与BD 的位置关系转化为EF 与FG 的关系进行判断；根据空间向量的线性运算即可判断C ；通过分析得到2AS AT AM +=，即可判断D.【详解】对于A ，因为,E F 分别是,AB BC 的中点，所以//EF AC .又因为EF ⊂平面EFGH ，AC ⊄平面EFGH ，所以//AC 平面EFGH ，故A 正确；由A 可得，//EF AC ，因为,F G 分别是,BC CD 的中点，所以//FG BD .由题中条件得不到EF 与FG 垂直，所以也得不到AC 与BD 垂直，故B 错误；对于C ，()11112222AM AE EM AB EG AB EF FG =+=+=++11112222AB AC BD ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()111244AB AC AD AB =++- ()14AB AC AD =++,故C 正确；对于D ，因为T 是BD 的中点，所以()12AT AB AD =+.又因为S 是AC 的中点，所以12AS AC =，所以()122AT AS AB AC AD AM +=++=,所以M 为ST 的中点，故D 正确.故选:ACD.12.已知()()(){}()()(){}2222,21,0,21,0S x y x y m y x y x y m y =-+-=≥⋃-++=≥，()1,|,2T x y y x P S T ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭ ，则下列结论中正确的是（）A.当12m =时，(){}33,0202022S x y y ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⋂==-+ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，B.当2m =时，P 有2个元素C.若P 有2个元素，则1122m -<<+D.当012m <<-时，P 有4个元素【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，画出S 表示的部分图形，求出与x 轴的交点坐标，得到A 正确；B 选项，得到此时S 为()()22221x y -+-=，由圆心()2,2到12y x =的距离小于半径得到有两个交点，求出答案；C 选项，举出反例；D 选项，画出S 表示的部分图形，结合点到直线距离，数形结合得到答案.【详解】A 选项，12m =时，()22121,02x y y ⎛⎫-+-=≥ ⎪⎝⎭表示圆心为12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为1的圆位于x 轴上方的部分（包括x 轴上的两点），由()2212012x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭得322=+x 或322x =-，故332,0,2,022A B ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22121,02x y y ⎛⎫-++=≥ ⎪⎝⎭表示圆心为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为1的圆位于x 轴上方的部分（包括x 轴上的两点），由()2212012x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，解得22=+x或22x =-，同理可得2,0,2,022A B ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故S表示的部分如图所示，(){},0x y y =表示x 轴，故(){},0202022S x y y ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⋂==-+ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，，A 正确；B 选项，当2m =时，()()22221x y -+-=，由于圆心()2,2到x 轴的距离等于2，大于1，整个圆位于x 轴上方，()()22221x y -++=，由于圆心()2,2-到x 轴的距离等于2，大于1，整个圆位于x 轴下方，故S表示的部分如图所示，由于圆心()2,2到12y x =15=<，故直线12y x =与圆()()22221x y -+-=有两个交点，P 有2个元素，B 正确；C 选项，当0m =时，此时两圆圆心相同，半径相等，此时S 表示的部分如图所示，此时直线12y x =与S有两个交点，而102->，C 错误；D选项，当012m <<-时，()()2221x y m -+-=，由于圆心()2,m 到12y x =0,5⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()()2221x y m -++=，由于圆心()2,m -到12y x =的距离为,15⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，画出S表示的部分如图所示，此时直线12y x =分别与两圆交于两点，共4个交点，所以P 有4个元素，D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：有关直线与圆的位置关系判断，可利用代数法或几何法进行求解，代数法即联立直线与圆的方程，根据根的判别式进行判断；几何法则使用点到直线距离，数形结合进行求解.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.点()1,2P 到直线3460x y +-=的距离为______．【答案】1【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得.【详解】点()1,2P 到直线3460x y +-=的距离1d ==.故答案为：114.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上的点，若1260F PF ∠=︒，122PF PF =，则椭圆的离心率等于______.【答案】3【解析】【分析】根据椭圆定义求出1242,33a a PF PF ==，由余弦定理求出方程，求出离心率.【详解】由椭圆定义可得122PF PF a +=，又122PF PF =，故1242,33a a PF PF ==，由余弦定理得222222221212122121642044999cos 421622339a a a c c F P F P F F F PF a a a F P F P +--+-∠===⋅⋅⋅，故222204191629a c a -=，故2224016899a a c -=，解得3c a =，故离心率为3故答案为：315.已知数列()()()*121221n n n n n n +⎧⎫+⎪⎪∈⎨⎬+++⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和为n S .当1760n S >时，n 的最小值是______.【答案】4【解析】【分析】将()()121221n n n n n +++++化为111221n n n n +-+++，利用裂项求和法求出n S ，再结合数列的单调性，求解不等式，即可得答案.【详解】由于()()112111221221n n n n n n n n n +++=-++++++，故111111111131122132166n n n n S n n n ++-+-++--==+++++ ，由1760n S >，可得1111732160n n +->++，即12120n n +++>，由于()1*21,n n n +++∈N 的值随n 的增大而增大，且3n =时，12120n n +++=，4n =时，1213720n n +++=>，故n 的最小值为：4，故答案为：416.已知抛物线21:4C x y =和22:8C x y =-.点P 在2C 上（点P 与原点不重合），过点P 作1C 的两条切线，切点分别为A B ，，直线AB 交2C 于C D ，两点，则ABCD 的值为______.【答案】2【解析】【分析】设出直线AB 方程y kx b =+，分别与抛物线1C ，2C 联立，结合判别式，韦达定理及弦长公式即可求解.【详解】依题知直线AB 的斜率存在且不为0，设直线:,(0)AB y kx b k =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，联立24=+⎧⎨=⎩y kx b x y，得2440x kx b --=，则216160k b ∆=+>，121244x x k x x b +=⎧⎨⋅=-⎩，设过A 点的切线方程为111()y y k x x -=-，则1112()4y y k x x x y-=-⎧⎨=⎩，得221111440-+-=x k x k x x ，由221111161640k k x x ∆=-+=，得112x k =，故过A 点的切线方程为111()2x y y x x -=-，即112x x y y =-，同理过B 点的切线方程为222x x y y =-，联立得1222x x x k y b+⎧==⎪⎨⎪=-⎩，则点(2,)p k b -，则2(2)8()k b =--，得22k b =，设3344(,),(,)C x y D x y ，联立28y kx b x y=+⎧⎨=-⎩，得2880x kx b ++=，264320k b ∆=->，343488x x k x x b +=-⎧⎨⋅=⎩，1234||||||||2x x AB CD x x -==-.故答案为：2.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知圆C 经过原点及点()(200A B ，，.（1）求圆C 的标准方程；（2）过原点的直线l 与圆C 相交于P Q ，两点，若2PQ =，求直线l 的方程.【答案】（1）()(2214x y -+-=（2）0y =或y =【解析】【分析】（1）由OA OB ⊥，可知线段AB 的中点为圆心，线段AB 的长为圆C 的直径，得解；（2）分直线l 的斜率是否存在进行讨论，在存在时，利用勾股定理求出弦心距，求解直线方程.【小问1详解】设原点为O ，易知OA OB ⊥，线段AB的中点为圆心，圆心坐标为(.线段AB 的长为圆C 的直径，AB 4=，半径2r =.圆C 的标准方程为()(2214x y -+-=【小问2详解】①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，令0x =，代入圆C 的标准方程，解得0y =或y =PQ =.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，将其转化为一般式方程0kx y -=，圆心到直线的距离为d，则d ===得(()2231k k =+，化简得0k =或k =l 的方程为0y =或y =.18.已知数列{}()*N n a n ∈是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S .已知1233,2,a a a 成等差数列，326S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n b n a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）123n n a -=⋅；（2）3n n T n =⋅.【解析】【分析】（1）应用等比数列的基本量运算及等差中项即可；（2）应用错位相减法即可.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得：13234a a a +=，即211134a a q a q +=，10a ≠ ，得234q q +=，解得1q =或3q =.由于1q =不符合题意，因此3q =.由326S =得，12326a a a ++=，即1113262a a ==，.所以123n n a -=⋅.【小问2详解】由题意得，()1213n n b n -=+，则()()01221335373213213n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-++ ，则()()12313335373213213n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-++ ，则()()()()1012131323323332133221313n n n n nT n n ----=⨯+⨯+++-+=+-+- ，则()()12333121323n n n n T n n --=+--+=-⋅，3n n T n =⋅.19.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==.从①②这两个条件中任选一个解答该题.①直线AB 与平面1ACD 所成角的正弦值为23；②平面11ABB A 与平面1ACD 的夹角的余弦值为23.（1）求1AA 的长度；（2）E 是线段1BD （不含端点）上的一点，若平面11A C E ⊥平面ADE ，求1BE BD 的值.【答案】（1）12AA =；（2）116BE BD =.【解析】【分析】（1）以1BC BA BB ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面1ACD 的法向量，借助二面角或线面角的向量法求解即可;（2）设()()1,,2,1BE BD λλλλλ==≠ ，求出平面11A C E 的法向量与平面ADE 的法向量，利用法向量垂直，即可求出1BE BD 的值.【小问1详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，易知1BC BA BB ，，两两垂直，如图，以B 点为坐标原点，以1BC BA BB ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.则()()()0,0,00,1,01,0,0B A C ，，，设1AA a =，则()()()111,1,1,1,01,0,D a AC AD a =-= ，，，设平面1ACD 的法向量()111,,n x y z =.1111100n AC x y n AD x az ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，，取1111x a y a z ===-，，，则(),,1n a a =- .若选择条件①，()0,1,0AB =- ，设直线AB 与平面1ACD 所成角为θ，则2sin cos ,3n AB θ=== ，解得2a =，或2a =-（舍去），即12AA =.若选择条件②，易知平面11ABB A 的法向量为()1,0,0m = ，设平面11ABB A 与平面1ACD 的夹角为α，则2cos ·3m n m n α⋅=== ，解得2a =，或2a =-（舍去），即12AA =.【小问2详解】由题（1）得:()()()()()1111111,1,20,1,21,0,21,1,21,1,0D A C BD A C ==- ，，，，.设()()1,,2,1BE BD λλλλλ==≠ ，则()()1,,2,,1,22E A E λλλλλλ=-- .设平面11A C E 的法向量()222,,.s x y z =所以111s A C s A E ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，即()()1122122201220s AC x y s A E x y z λλλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-+-=⎪⎩ ，，取222121,22x y z λλ-===-，则121,1,22s λλ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭,又()(),1,21,0,0AE AD λλλ=-= ，，设平面ADE 的法向量()333,,t x y z =.()33331200t AE x y z t AD x λλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，，令3321y z λλ=-=-，，则()0,2,1t λλ=-- . 平面11A C E ⊥平面0ADE s t ∴⋅=，，即()()12112220222λλλλλλ----+=-+=-，解得16λ=，所以116BE BD =.20.如图，圆C 的半径为4，A 是圆内一个定点且2CA P =，是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径CP 相交于点Q ，点P 在圆上运动.（1）求点Q 的轨迹；（2）当CP CA ⊥时，证明：直线l 与点Q 形成的轨迹相切.【答案】（1）Q 点的轨迹是以C A ，为焦点，长轴长等于4的椭圆（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义可得答案；（2）以线段CA 的中点为坐标原点O ，以过点C A ，的直线为x 轴，以线段CA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系Oxy ，求出椭圆的标准方程，当CP CA ⊥时，P 点的坐标为()1,4-和()1,4--，求出直线l 的方程与椭圆方程联立利用判别式可得答案.【小问1详解】44CP QC QP QP QA QC QA =+==∴+= ，，，因为2QC QA CA +>=，所以Q 与两个定点C A ，的距离的和等于常数（大于CA ），由椭圆的定义得，Q 点的轨迹是以C A ，为焦点，长轴长等于4的椭圆；【小问2详解】以线段CA 的中点为坐标原点O ，以过点C A ，的直线为x 轴，以线段CA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系Oxy ，设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，由椭圆的定义得：24a =，即222a c ==；，即1c =，则椭圆的标准方程为22143x y +=，当CP CA ⊥时，P 点的坐标为()1,4-和()1,4--.当P 点的坐标为()1,4-时，已知A 点的坐标为()1,0，线段PA 的中点坐标为()0,2，直线AP 的斜率为40211-=---，直线l 的方程122y x =+，联立方程22122143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2213421202x x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，整理得2210x x ++=，可得Δ440=-=，所以直线l 与点Q 形成的轨迹只有1个交点，即直线l 与点Q 形成的轨迹相切.当P 点的坐标为()1,4--时，已知A 点的坐标为()1,0，线段PA 的中点坐标为()0,2-，直线AP 的斜率为40211--=--，直线l 的方程122y x =--，联立方程22122143y x x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2213421202x x ⎛⎫+---= ⎪⎝⎭，整理得2210x x ++=，可得Δ440=-=，所以直线l 与点Q 形成的轨迹只有1个交点，即直线l 与点Q 形成的轨迹相切.综上，直线l 与点Q 形成的轨迹相切.21.某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为θ的笔直公路，其中2cos 7θ=.摩天轮近似为一个圆，其半径为35m ，圆心O 到地面的距离为40m ，其最高点为A A ，点正下方的地面B 点与公路的距离为70m .甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）（1）如图所示，甲位于摩天轮的A 点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？（2）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？【答案】（1）1514（2）1424【解析】【分析】（1）设公路所在直线为l ，过B 点作l 的垂线，垂直为D ,由tan AB ADB AD ∠=得答案;（2）设甲位于圆O 上的R 点处,直线OF 垂直于OA 且交圆O 于F 点，射线OR 可以看成是射线OF 绕着O 点按逆时针方向旋转α角度得到.过R 点正下方的地面T 点向l 作垂线，垂足为S .tan RST ∠取得最大值时，RST ∠即为从乙看甲的最大仰角，tan RST ∠8sin 7727cos αα--=-⋅-,其中，8sin 77cos αα---表示点()cos ,sin αα和点87,7⎛⎫ ⎪⎝⎭构成的直线a 的斜率，根据直线与圆的位置关系即可求解.【小问1详解】如图所示，设公路所在直线为l ，过B 点作l 的垂线，垂直为D ，70BD =m.因为圆的半径为35m ，圆心O 到地面的距离为40m ，所以75AB =m.从甲看乙的最大俯角与ADB ∠相等，由题意得AB BD ⊥，则7515tan 7014AB ADB AD ∠===.【小问2详解】如图所示，设甲位于圆O 上的R 点处，直线OF 垂直于OA 且交圆O 于F 点，射线OR 可以看成是射线OF 绕着O 点按逆时针方向旋转α角度得到.过R 点正下方的地面T 点向l 作垂线，垂足为S .当tan RST ∠取得最大值时，RST ∠即为从乙看甲的最大仰角.题意得：35sin 40tan 27035cos 7RST αα+∠=-⨯88sin sin 777727cos 27cos αααα+--=⋅=-⋅--,其中，8sin 77cos αα---表示点()cos ,sin αα和点87,7⎛⎫- ⎪⎝⎭构成的直线a 的斜率，当直线a 的斜率取得最小值时，tan RST ∠取最大值.因为点()cos ,sin αα在单位圆221x y +=上，所以当直线a 与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值.设过点87,7⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线方程为：()877y k x +=-，1=，解得1484k -±=，则直线a 的斜率最小值为1415184--，代入可得tan RST ∠取最大值是1415124+.【点睛】方法点睛：求()sin cos x a f x x b+=+的最值时，可转化为求点()cos ,sin x x 与(),b a --连线斜率的最值，设出过点(),b a --的直线方程，由点()cos ,sin x x 在单位圆上，根据直线与圆相切即可求解.22.已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的实轴长为，直线2x =交双曲线于A B ，两点，2AB =.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知点()2,3M ，过点(),0T t 的直线l 与双曲线交于P Q ，两点，且直线MP 与直线MQ 的斜率存在，分别记为12k k ，.问：是否存在实数t ，使得12k k +为定值？若存在，则求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y -=；（2）存在，1t =.【解析】【分析】（1）由已知得2a =，将2x =代入方程可解得b ，故可得双曲线C 的标准方程；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212123322y y k k x x --+=+--，再分直线l 的斜率不存在和直线l 的斜率存在讨论可得答案.【小问1详解】由已知得2a =，故a =将2x =代入方程22212x y b-=，得y b =±，由2AB =得，22,1b b ==.因此双曲线的标准方程为2212x y -=.【小问2详解】设()()1122,,P x y Q x y ，，则12121233,22y y k k x x --==--，则1212123322y y k k x x --+=+--.①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()y k x t =-，则()11y k x t =-,()22y k x t =-,则()()1212123322k x t k x t k k x x ----+=+--()()()()()()122112323222k x t x k x t x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=--()()()1212121222341224kx x k t x x kt x x x x ⎡⎤-+++++⎣⎦=-++.联立方程()2212y k x t x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩可得()()22222124220k x k tx k t -+-+=，因为过点(),0T t 的直线l 与双曲线交于P Q ，两点，所以()()()222222120Δ4412220k k t k k t ⎧-≠⎪⎨=+-+>⎪⎩，即222212120k k t k ⎧≠⎪⎨⎪+->⎩.则222121222422,1212k t k t x x x x k k++=-=---.故22122222124244122882k t kt k k k k k t k t k +--++=-+-+()()()22212241122442k t k t k t t -+-+=-+-+.令()()()22212241122442k t k t k t t λ-+-+=-+-+，整理得()()()2212222411220t t k t k λλ⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦.要使得对任意的k 上式恒成立，则()()()21222204101220t t t λλ⎧-+-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得1,6t λ==,所以，当1t =时，21221212622k k k k -++==-+.②当直线l 的斜率不存在时，由①得，12k k +为定值的必要条件是1t =，即直线l 过定点()1,0，此时直线l 的方程为1x =，易知直线l 与双曲线没有交点，不符合题意的要求.综上所述，当1t =时，12k k +为定值6.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．。

2023-2024学年浙江省A9协作体高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省A9协作体高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．椭圆x 236+y 29=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则点P 到另一个焦点的距离为（）A ．7B ．5C ．4D ．12．已知向量a →=（﹣3，2，1），b →=（2，x ，4），且a →⊥b →，则实数x 的值是（） A ．1B ．2C ．3D ．43．若直线l 的一个方向向量n →=（1，−√3），则l 的倾斜角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．已知圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x +3）2+（y +4）2＝16，则两圆的公切线条数为（） A ．1B ．2C ．3D ．45．若直线4x +3y ﹣12＝0与两坐标轴的交点为A 、B ，则以AB 为直径的圆的方程为（） A ．x 2+y 2﹣3x ﹣4y ＝0 B ．x 2+y 2﹣4x ﹣3y ＝0C ．x 2+y 2+3x +4y ＝0D ．x 2+y 2+4x +3y ＝06．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，二面角A ﹣B 1D 1﹣A 1的余弦值为（） A ．√32B ．√63 C ．√22D ．√337．已知点F 为椭圆C ：x 225+y 216=1的右焦点，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆M ：（x +3）2+y 2＝1上的动点，则|PF||PQ|的最小值是（）A ．12B ．29C ．23D ．838．如图，一束平行光线与地平面的夹角为60°，一直径为24cm 的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为（）A ．√33B ．√32C ．√22D ．12二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．直线l 经过点（2，﹣3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（）A ．3x +2y ＝0B ．2x +3y ＝0C ．x ﹣y ﹣5＝0D ．x +y +1＝010．在空间直角坐标系Oxyz 中，点O （0，0，0），A （﹣2，﹣1，1），B （3，4，5），下列结论正确的有（） A ．|AB|=3√5B ．向量OA →与OB →的夹角的余弦值为−√36C ．点A 关于z 轴的对称点坐标为（﹣2，﹣1，﹣1）D ．向量OA →在OB →上的投影向量为−110OB →11．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，AB ＝2，SD ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别为SC 、AB 的中点，若线段SD 上存在点G ，使得GE ⊥GF ，则线段SD 的长度可能值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6 12．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为x 2+y 2＝a 2+b 2．已知椭圆C 的离心率为√63，点A ，B 均在椭圆C 上，直线l ：bx +ay ﹣4＝0，则下列描述正确的为（） A ．点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB ．若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为x 23+y 2=1C ．若l 上任意一点Q 都满足QA →⋅QB →＞0，则b ＞1D ．若b ＝1，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA ⊥MB ，则△AOB 面积的最大值为√32三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．已知椭圆x 25+y 2k=1的一个焦点是（2，0），则k 的值为．14．已知实数x ，y 满足x ﹣2y +4＝0，则√x 2+y 2的最小值为．15．已知点A ，B 分别为圆M ：（x +4）2+（y ﹣1）2＝1与圆N ：（x ﹣2）2+（y ﹣7）2＝4上的动点，点P 为x 轴上的动点，则|P A |+|PB |的最小值为．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为AA 1，A 1D 1的中点，点P 在正方体表面上运动，若直线D 1P ∥平面BEF ，则点P 的轨迹长度为．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知直线x ﹣y ﹣1＝0和直线x +2y +2＝0的交点为P ．（1）求过点P 且与直线x ﹣2y +1＝0平行的直线方程；（2）若点P 到直线l ：mx +y +m ＝0距离为√2，求m 的值．18．（12分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AC ＝BC ＝CC 1＝2，AC ⊥BC ，点M 是线段AB 的中点．（1）证明：平面MCC 1⊥平面ABB 1A 1．（2）求异面直线CA 与B 1M 所成角的余弦值．19．（12分）已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝4．（1）若直线l 过定点A （1，0）且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l ：kx ﹣y ﹣2k +3＝0与圆C 交于A ，B 两点，求|AB |的最小值．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率e =√22，且椭圆C 经过点(1，√22)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P （2，0）且斜率不为零的直线与椭圆C 交于B ，D 两点，B 关于x 轴的对称点为A ，求证：直线AD 与x 轴交于定点Q ．21．（12分）已知空间几何体ABCDEF ，底面ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，EF ∥AB ，AE ＝DE ，AB ＝2，EF ＝1，平面ADE ⊥平面ABCD ，BM →=13BF →，AN →=12AD →．（1）求证：EN ⊥BC ；（2）若直线AE 与平面ABCD 所成角为60°，求直线AM 与平面BCF 所成角的正弦值．22．（12分）已知椭圆T ：x 24+y 2=1，F 1，F 2为椭圆的左右焦点，C ，D 为椭圆的左右顶点，直线l ：y =12x +m 与椭圆T 交于A ，B 两点．（1）若m =−12，求|AB |；（2）设直线AD 和直线BC 的斜率分别为k 1，k 2，且直线l 与线段F 1F 2交于点M ，求k 1k 2的取值范围．2023-2024学年浙江省A9协作体高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．椭圆x 236+y 29=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则点P 到另一个焦点的距离为（）A ．7B ．5C ．4D ．1解：椭圆x 236+y 29=1，所以a ＝6，2a ＝12，由椭圆的定义可知：椭圆上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为：7．故选：A ．2．已知向量a →=（﹣3，2，1），b →=（2，x ，4），且a →⊥b →，则实数x 的值是（） A ．1B ．2C ．3D ．4解：向量a →=（﹣3，2，1），b →=（2，x ，4），且a →⊥b →，则（﹣3）×2+2x +4＝0，解得x ＝1．故选：A ．3．若直线l 的一个方向向量n →=（1，−√3），则l 的倾斜角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：由直线l 的方向向量可知直线的斜率k =−√31=−√3，设直线的倾斜角为α，0°≤α＜180°，即tan α=−√3，所以α＝120°．故选：C ．4．已知圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x +3）2+（y +4）2＝16，则两圆的公切线条数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4解：圆C 1：x 2+y 2＝1，其圆心坐标是（0，0），半径是1，圆C 2：（x +3）2+（y +4）2＝16，其圆心坐标是（﹣3，﹣4），半径为4， C 1C 2=√(−3−0)2+(−4−0)2=5＝4+1， ∴两个圆外切，所以圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x +3）2+（y +4）2＝16的公切线条数为3．故选：C ．5．若直线4x +3y ﹣12＝0与两坐标轴的交点为A 、B ，则以AB 为直径的圆的方程为（） A ．x 2+y 2﹣3x ﹣4y ＝0B ．x 2+y 2﹣4x ﹣3y ＝0C ．x 2+y 2+3x +4y ＝0D ．x 2+y 2+4x +3y ＝0解：直线4x +3y ﹣12＝0与两坐标轴的交点为A 、B ，则A （3，0），B （0，4），故|AB |=√(3−0)2+(0−4)2=5，以AB 为直径的圆的半径为52，点A ，B 的中点坐标为（32，2），故圆的方程为(x −32)2+(y −2)2=(52)2，化简整理可得，x 2+y 2﹣3x ﹣4y ＝0．故选：A ．6．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，二面角A ﹣B 1D 1﹣A 1的余弦值为（） A ．√32B ．√63C ．√22D ．√33解：取B 1D 1中点E ，连接A 1E ，AE ，由方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，可得A 1B 1＝A 1D 1，AB 1＝AD 1， ∴A 1E ⊥B 1D 1，AE ⊥B 1D 1，∴∠A 1EA 是二面角A ﹣B 1D 1﹣A 1的平面角，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则可得A 1E =√22，AE =√1+12=3√2，∴cos ∠A 1EA =A 1E AE =√22√32=√33．故选：D ．7．已知点F 为椭圆C ：x 225+y 216=1的右焦点，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆M ：（x +3）2+y 2＝1上的动点，则|PF||PQ|的最小值是（）A ．12B ．29C ．23D ．83解：由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝4，c ＝3，设椭圆的左焦点F '，则|PF |＝2a ﹣|PF '|＝10﹣|PF '|，由圆的方程可得圆心M 与F '重合，且半径为1，所以|PQ |＝|PF '|+1，所以|PF||PQ|=10−|PF′||PF′|+1=−(|PF′|+1)+11|PF′|+1=−1+11|PF′|+1，因为P 在椭圆上，所以a ﹣c ≤|PF '|≤a +c ＝5+3＝8，所以|PF||PQ|≥−1+118+1=29．故选：B ．8．如图，一束平行光线与地平面的夹角为60°，一直径为24cm 的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为（）A ．√33B ．√32C ．√22D ．12解：由题意如图所示：设BC ＝2b ，AB ＝2a ，∠CAB ＝60°，即短轴长2b ＝24，长轴长2a =2b sin60°=4b 3，即a =2b3，所以椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a2=√1−34=12．故选：D ．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．直线l 经过点（2，﹣3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（） A ．3x +2y ＝0B ．2x +3y ＝0C ．x ﹣y ﹣5＝0D ．x +y +1＝0解：截距都为0时，即直线过原点，则直线的方程为y =−32x ，即3x +2y ＝0；当截距不为0时，且截距相等时，设直线的方程为x +y ＝a ，将点（2，﹣3）代入方程，可得2﹣3＝a ，即a ＝﹣1，所以此时方程为x +y +1＝0；当截距不为0时，且截距相反时，设直线的方程为x ﹣y ＝b ，将点（2，﹣3）代入方程，可得2﹣（﹣3）＝b ，即b ＝5，所以此时方程为x ﹣y ﹣5＝0．故选：ACD ．10．在空间直角坐标系Oxyz 中，点O （0，0，0），A （﹣2，﹣1，1），B （3，4，5），下列结论正确的有（） A ．|AB|=3√5B ．向量OA →与OB →的夹角的余弦值为−√36C ．点A 关于z 轴的对称点坐标为（﹣2，﹣1，﹣1）D ．向量OA →在OB →上的投影向量为−110OB →解：点O （0，0，0），A （﹣2，﹣1，1），B （3，4，5），则OA →=（﹣2，﹣1，1），OB →=(3，4，5)，AB →=(5，5，4)， |AB →|=√52+52+42=√66，故A 错误； cos ＜OA →，OB →＞=OA →⋅OB →|OA →||OB →|=−5√6×5√2=−√36，故B 正确；点A 关于z 轴的对称点坐标为（2，1，1），故C 错误； OA →在OB →上的投影向量为：OA →⋅OB →|OB →|×OB →|OB →|=−550OB →=−110OB →，故D 正确．故选：BD ．11．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，AB ＝2，SD ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别为SC 、AB 的中点，若线段SD 上存在点G ，使得GE ⊥GF ，则线段SD 的长度可能值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DS 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设SD ＝2m （m ＞0），则F （2，1，0），E （0，1，m ），设G （0，0，x ），∴GE →=（0，1，m ﹣x ），GF →=（2，1，﹣x ），∵GE ⊥GF ，∴GE →•GF →=1﹣x （m ﹣x ）＝0，即x 2﹣mx +1＝0，因方程有解，∴Δ＝m 2﹣4≥0，解得m ≥2，故SD ≥4．故选：BCD ．12．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为x 2+y 2＝a 2+b 2．已知椭圆C 的离心率为√63，点A ，B 均在椭圆C 上，直线l ：bx +ay ﹣4＝0，则下列描述正确的为（） A ．点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB ．若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为x 23+y 2=1C ．若l 上任意一点Q 都满足QA →⋅QB →＞0，则b ＞1D ．若b ＝1，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA ⊥MB ，则△AOB 面积的最大值为√32解：因为椭圆C 的离心率为√63，所以e =ca =√63，① 又a 2＝b 2+c 2，联立①②，可得a 2＝3b 2，此时C 的蒙日圆方程为x 2+y 2＝4b 2，对于选项A ：因为原点O 到蒙日圆上任意一点的距离都为2b ，O 到椭圆上任意一点的距离最大值为a =√3b ，所以C 上任意一点A 与C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为(2−√3)b ，选项A 错误；对于选项B ：因为直线l 与蒙日圆：x 2+y 2＝4b 2相切，此时圆心O 到直线l 的距离d =4√a 2+b =42b=2b ，解得b ＝1，则C 的方程为x 23+y 2=1，故选项B 正确；对于选项C ：由蒙日圆的定义知，点Q 应在蒙日圆外，所以直线l 与蒙日圆：x 2+y 2＝4b 2相离，此时圆心O 到直线l 的距离为d =4√a 2+b =42b ＞2b ，解得0＜b ＜1，故选项C 错误；对于选项D ：易知椭圆C 的方程为x 2+3y 2＝3，蒙日圆方程为x 2+y 2＝4，不妨设M （x 0，y 0），因为点M 在蒙日圆上，所以x 02+y 02=4，不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），此时直线MA 的方程为x 1x +3y 1y ＝3，MB 的方程为x 2x +3y 2y ＝3，将M （x 0，y 0）代入MA 、MB 方程中，可得x 1x 0+3y 1y 0＝3，x 2x 0+3y 2y 0＝3，所以直线AB 的方程为x 0x +3y 0y ＝3，联立{x 2+3y 2=3x 0x +3y 0y =3，消去y 并整理得(x 02+3y 02)x 2−6x 0x +(9−9y 02)=0，由韦达定理得x 1+x 2=6x 0x 02+3y 02，x 1x 2=9−9y 02x 02+3y 02，所以|AB|=2(1+2y 02)2+y 02，因为原点O 到AB 的距离d ′=3√x 0+9y 0=3√0，所以S △AOB=12|AB|⋅d′=3√1+2y 022(2+y 02)，不妨令t =√1+2y 02∈[1，3]此时S △AOB =3⋅t t 2+3=3⋅1t+3t，因为t +3t ≥2√t ×3t=2√3，所以S △AOB ≤√32，当且仅当t =3t ，即t =√3时，等号成立，故选项选项D 正确．故选：BD ．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．已知椭圆x 25+y 2k=1的一个焦点是（2，0），则k 的值为 1 ．解：由椭圆的焦点坐标可知椭圆的焦点在x 轴上，所以a 2＝5，b 2＝k ，所以c 2＝22＝a 2﹣b 2＝5﹣k ，解得k ＝1．故答案为：1．14．已知实数x ，y 满足x ﹣2y +4＝0，则√x 2+y 2的最小值为4√55．解：因为x ﹣2y +4＝0表示一条直线，√x 2+y 2表示直线上的点P （x ，y ）到原点的距离，所以√x 2+y 2的最小值是原点到直线的距离，即为d =|0−0+4|√1+(−2)=4√55．故答案为：4√55． 15．已知点A ，B 分别为圆M ：（x +4）2+（y ﹣1）2＝1与圆N ：（x ﹣2）2+（y ﹣7）2＝4上的动点，点P 为x 轴上的动点，则|P A |+|PB |的最小值为 7 ．解：圆M ：（x +4）2+（y ﹣1）2＝1的圆心M （﹣4，1），半径r ＝1，圆N ：（x ﹣2）2+（y ﹣7）2＝4的圆心N （2，7），半径r '＝2，设M 关于x 轴的对称点M '（﹣4，﹣1），则|M 'N |=√(2+4)2+(7+1)2=10，由题意A ，B 在两个圆上，所以|P A |+|PB |≥|M 'N |﹣r ﹣r '＝10﹣r ﹣r '＝10﹣1﹣2＝7，所以|P A |+|PB |的最小值为7．故答案为：7．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为AA 1，A 1D 1的中点，点P 在正方体表面上运动，若直线D 1P ∥平面BEF ，则点P 的轨迹长度为 2√5+3√2 ．解：根据题意，取CC 1的中点M ，BC 的中点N ，连接D 1M 、MN 、AN ，AD 1，由于E ，F 分别为AA 1，A 1D 1的中点，则EF ∥AD 1，又由M 、N 分别为CC 1、BC 的中点，则MN ∥AD 1，则有EF ∥MN ，A 、D 1、M 、N 四点共面，又由E 为AA 1中点，M 为CC 1的中点，易得MD 1∥BE ，又由BE ⊂平面BEF ，且MD 1⊄平面BEF ，则得MD 1∥平面BEF ，又由EF ∥AD 1，EF ⊂平面BEF ，AD 1⫋平面BEF ，则AD 1∥平面BEF ， AD 1∩MD 1＝D 1，且AD 1⊂平面AD 1MN ，MD 1⊂平面AD 1MN 则有平面AD 1MN ∥平面BEF ，故P 的轨迹为梯形AD 1MN ，又由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则AD 1=√4+4=2√2，MN =12AD 1=√2，AN ＝MD 1=√4+1=√5，故点P 的轨迹长度为2√5+3√2．故答案为：2√5+3√2．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知直线x ﹣y ﹣1＝0和直线x +2y +2＝0的交点为P ．（1）求过点P 且与直线x ﹣2y +1＝0平行的直线方程；（2）若点P 到直线l ：mx +y +m ＝0距离为√2，求m 的值．解：（1）联立方程组{x −y −1=0x +2y +2=0，解得{x =0y =−1，所以点P （0，﹣1），又所求直线与直线x ﹣2y +1＝0平行，设所求直线的的方程为：x ﹣2y +a ＝0，将点P （0，﹣1）代入可得2+a ＝0，即a ＝﹣2，则所求的直线方程x ﹣2y ﹣2＝0；（2）点P 到l ：mx +y +m ＝0的距离为d =|m⋅0+(−1)+m|√m 2+1=√2，解得m ＝﹣1．即m 的值为1．18．（12分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AC ＝BC ＝CC 1＝2，AC ⊥BC ，点M 是线段AB 的中点．（1）证明：平面MCC 1⊥平面ABB 1A 1．（2）求异面直线CA 与B 1M 所成角的余弦值．（1）证明：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥CC 1，又∵等腰Rt △ACB 中，点M 为AB 的中点，∴AB ⊥CM ，又∵CM ∩CC 1＝C ，∴AB ⊥平面MCC 1，又AB ⊂平面ABB 1A 1，∴平面MCC 1⊥平面ABB 1A 1；（2）解：取BC 中点N ，连结MN ，B 1N ，易知MN ∥CA ， ∴∠B 1MN 即为异面直线CA 与B 1M 所成角，设为θ，由题意可知MN ＝1，B 1N =√BB 12+(BC 2)2=√22+12=√5， B 1M =√BB 12+(AB2)2=√22+(2√22)2=√6， ∴由余弦定理可知cos θ=MN B 1M =16=√66．19．（12分）已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝4．（1）若直线l 过定点A （1，0）且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l ：kx ﹣y ﹣2k +3＝0与圆C 交于A ，B 两点，求|AB |的最小值．解：（1）C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝4，则圆心C （3，4），半径r ＝2，当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，满足题意．当直线斜率存在时，设直线l ：y ＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k ＝0，圆心C （3，4）到直线l 的距离为d =|3k−4−k|√k +1=2，得k =34，此时直线方程为34x −y −34=0，整理得3x ﹣4y ﹣3＝0．所以直线l 的方程为3x ﹣4y ﹣3＝0和x ＝1．（2）直线l 的方程可化为点斜式y ﹣3＝k （x ﹣2），所以l 过定点P （2，3）．又点P （2，3）在圆C 内，当直线l 与直线CP 垂直时，直线l 被圆截得的弦|AB |最小．因为k CP =4−33−2=1，所以l 的斜率k ＝﹣1，所以l 的方程为y ﹣3＝﹣（x ﹣2），即x +y ﹣5＝0，因为|CP|=√(3−2)2+(4−3)2=√2，r ＝2，此时|AB|=2√r 2−|CP|2=2√2 所以当k ＝﹣1时，|AB |的最小值为2√2． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率e =√22，且椭圆C 经过点(1，√22)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P （2，0）且斜率不为零的直线与椭圆C 交于B ，D 两点，B 关于x 轴的对称点为A ，求证：直线AD 与x 轴交于定点Q ．解：（1）由题意可得：{ e =ca =√22a 2=b 2+c 21a 2+12b 2=1，解得{a 2=2b 2=1，所以椭圆C 的方程为：x 22+y 2＝1；证明：（2）设点B （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则A （x 1，﹣y 1），设直线PB 的方程为x ＝my +2，联立{x =my +2x 2+2y 2=2，整理可得（m 2+2）y 2+4my +2＝0，则y 1+y 2=−4m m 2+2，y 1y 2=2m 2+2，Δ＝8m 2﹣16＞0，得m 2＞2，由题意，直线AD 的方程为y =y 2+y 1x 2−x 1(x −x 2)+y 2，令y ＝0，所以点Q 的横坐标x Q =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=2my 1y 2y 1+y 2+2=1．所以直线AD 与x 轴交于定点Q （1，0）．21．（12分）已知空间几何体ABCDEF ，底面ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，EF ∥AB ，AE ＝DE ，AB ＝2，EF ＝1，平面ADE ⊥平面ABCD ，BM →=13BF →，AN →=12AD →．（1）求证：EN ⊥BC ；（2）若直线AE 与平面ABCD 所成角为60°，求直线AM 与平面BCF 所成角的正弦值．（1）证明：∵AN →=12AD →，∴N 为AD 的中点， ∵AE ＝DE ，∴EN ⊥AD ，∵底面ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ， ∴EN ⊥BC ；（2）解：平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ，EN ⊥AD ，∴EN ⊥平面ABCD ， ∴AE 与平面ABCD 所成角为∠EAN ＝60°，又AE ＝DE ，所以△ADE 为正三角形，故AE ＝DE ＝AD ＝2．以N 为坐标原点，分别以NA ，NB ，NE 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． A （1，0，0），B(0，√3，0)，C(−2，√3，0)，E(0，0，√3)，F(−12，√32，√3)，∵BM →=13BF →，∴可得M 点坐标为M(−16，5√36，√33) 所以AM →=（−76，5√36，√33），设平面BCF 得法向量为n →=（x ，y ，z ），又BC →=（﹣2，0，0），BF →=（−12，−√32，√3）， ∵{n →⋅BC →=0n →⋅BF →=0，即{2x =0−12x −√32y +√3z =0，可得n →=（0，2，1），设直线AM 与平面BCF 所成角为θ，可得n →•AM →=−76×0+5√36×2+√33×1＝2√3，|n →|=√02+22+12=√5，|AM →|=√4936+25×336+39=√343，∴sin θ＝|cos ＜AM →，n →＞|＝|n →⋅AM→|n →|⋅|AM →||=2√35×√343=6√3√170=3√51085．22．（12分）已知椭圆T ：x 24+y 2=1，F 1，F 2为椭圆的左右焦点，C ，D 为椭圆的左右顶点，直线l ：y =12x +m 与椭圆T 交于A ，B 两点．（1）若m =−12，求|AB |；（2）设直线AD 和直线BC 的斜率分别为k 1，k 2，且直线l 与线段F 1F 2交于点M ，求k 1k 2的取值范围．解：（1）由椭圆的方程可得a ＝2，b ＝1，c =√3，则C （﹣2，0），D （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =12x −12x24+y 2=1，整理可得：2x 2﹣2x ﹣3＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4•2•（﹣3）＝28＞0，x 1+x 2＝1，x 1x 2=−32，故弦长|AB |=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+14•√12−4×(−32)=√352；（2）联立直线l 与椭圆方程：{y =12x +m x24+y 2=1，整理可得：x 2+2mx +2m 2﹣2＝0，Δ＝4m 2﹣4（2m 2﹣2）＞0，则m 2＜2，可得x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2=2m 2−2，因为k 1k 2=y 1x 1−2y 2x 2+2=y 1(x 2+2)y 2(x 1−2)=(12x 1+m)(x 2+2)(12x 2+m)(x 1−2)=12x 1x 2+mx 2+x 1+2m 12x 1x 2+mx 1−x 2−2m ，将2m ＝﹣（x 1+x 2），x 1x 2=2m 2−2代入可得k 1k 2=m 2−1+(m−1)x 2m 2−1+(m+1)x 1=m−1m+1⋅m+1+x 2m−1+x 1，因为m ﹣1+x 2＝﹣（m +1+x 1），所以k 1k 2=1−m 1+m，因为点M 在线段F 1F 2上，所以−2m ∈[−√3，√3]，即m ∈[−√32，√32]，代入k 1k 2=1−m 1+m，可得k 1k 2∈[7−4√3，7+4√3]．。

浙江省东阳中学2013-2014学年高二6月阶段检测数学理试题 Word版含答案

2013-2014学年东阳中学6月阶段性检测卷（高二数学理）一、选择题1．全集U R =，{|21}A x x =-≤≤，{|13}B x x =-≤≤，则()U B A =ð （）A ．{|23}x x -<≤B ．{|13}x x <≤C ．{|21}x x x <-≥或D ．{|23}x x x <-或>2．“1k =-”是“两直线320kx y +-=和(2)70k x y -+-=互相垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，则下列命题正确的是（）A ．若//n α，则//αβB ．若αβ⊥，则//m nC ．若m n ⊥，则//αβD ．若//αβ，则m n ⊥4．直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是（）A ．1[0,]2B ．[0,1]C ．[0,2]D ．1[,0]2-5．已知α是第二象限角，且sin(3)5πα+=-，则tan2α的值为（）A ．45B ．237-C ．247-D ．2476．如果函数|cos()|4y ax π=+的图象关于直线x π=对称，则正实数a 的最小值是（） A ．14 B ．12 C ．34D ．1 7．已知函数12log (1)(1)()1(1)x x f x x +≥⎧⎪=⎨⎪<⎩，则不等式2(3)(2)f x f x -<的解集为（）A ．(3,1)- B．[ C ．1[,1)2 D．1(28．已知P 为抛物线24y x =上一动点，则点P 到y 轴的距离与到点(2,3)A 的距离之和的最小值为（）A ．2B ．3 CD19．在△ABC 中，已知4AB AC =，||3BC =，M 、N 分别是BC 边上的三等分点，则AM AN的值是（）A ．5B ．214C ．6D ．8 10．已知正四面体ABCD ，线段AB //平面α，E 、F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，则线段AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是（） A． B． C ．1[,1]2D．1[2 二、填空题11．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于 cm 3 ．12．设变量,x y 满足约束条件0510080y a x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，且目标函数25z x y =-的最小值是－10，在a 的值是．13．设双曲线22221(0)x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线l，则此双曲线的离心率为． 14．在数列{}n a 中，13a =，1(2)(2)2n n a a +--=，则该数列的前2014项的和是．15．若实数,x y 满足：3412x y +=，则222x y x ++的最小值是．16．对函数y =f (x )（x l ≤x ≤x 2），设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是图象上的两端点．O 为坐标原点，且点N 满足OB OA ON )1(λλ-+=．点M （x ，y ）在函数y =f (x )的图象上，且x =λx 1+（1－λ）x 2（λ为实数），则称|MN |的最大值为函数的“高度”，则函数 f (x )= x 2－2x －l 在区间[－1，3]上的“高度”为．17．已知A 为射线0(0)x y x +=<上的动点，B 为x 轴正半轴上的动点，若直线AB 与圆221x y +=相切，则|AB |的最小值为．三、解答题18．在△ABC 中，三内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，且2cos 2b C a c =-．（1）求角B 的大小；（2）求sin sin A C 的取值范围．19．设数列{}n a 中，12a =，*120(2,)n n a a n n n N ---=≥∈．（1）求23,a a 的值，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设12321111n n n n nb a a a a +++=++++，若对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈-时，不等式2*12()6n tmt b n N -+>∈恒成立，求实数t 的取值范围．侧视图2 2 420．在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AP =AB=，AC =4，D 为PC 的中点，PB ⊥AD ．（1）证明：BC ⊥AB ；（2）求二面角B —AD —C 大小的正切值．21．椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是12,F F，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接1PF ，2PF ，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ，若0k ≠，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值．P C B A D22．设a 为实数，记函数()f x =的最大值为()g a ．（1）设t t 的取值范围，并把f （x ）表示为t 的函数m （t ）；（2）求()g a ；（2）试求满足1()()g a g a=的所有实数a ．参考答案：1~10 BADCC ABDCB11.32312. 2 13. 2 14. 7049 15. 8 16. 4 17. 2 18．（1）3B π=；（2）3(0,]4． 19．（1）236,12a a ==，(1)n a n n =+；（2）22t t <->或．20．（221．解：（1）椭圆C 的方程为：2214x y += ……………5分（2）定值为－8．22.21．（1）∵x x t -++=11，∴要使t 有意义，必须01≥+x 且01≥-x ，即11≤≤-x ∵]4,2[12222∈-+=x t ，且0≥t ……① ∴t 的取值范围是]2,2[。

浙江名校协作体2024年高二上学期开学考试数学试题参考答案

2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学次命题兼审校：温岭中学审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分（Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分（Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ，则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。

江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测(9月)数学试题含答案

2024-2025学年第一学期高二年级第一次阶段检测数学试卷（答案在最后）一、单选题(每题5分，共40分）1.已知直线1l的斜率为0，且直线12l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为A.0︒B.45︒C.90︒D.180︒【答案】C 【解析】【分析】由斜率定义可判断直线1l 与x 轴平行，再由直线12l l ⊥得解．【详解】因为直线1l 的斜率为0，所以直线1l 与x 轴平行，又直线12l l ⊥，故直线2l 的倾斜角为90 ．【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角的定义．2.已知直线3230x y +-=和6410x y ++=之间的距离是（）A.4B.13C.26D.26【答案】D 【解析】【分析】由平行线间距离公式即可求解.【详解】直线6410x y ++=可以转化为13202x y ++=，由两条平行直线间的距离公式可得7713226d ===.故选：D3.圆()2249x y -+=和圆()2234x y +-=的位置关系是（）A.外离B.相交C.外切D.内含【答案】C 【解析】【分析】计算两圆的圆心之间的距离和半径比较，即得答案.【详解】圆()2249x y -+=的圆心为()4,0，半径为3，圆()2234x y +-=的圆心为0,3，半径为2，523==+，所以两圆外切.故选：C4.已知圆()22420x y mx my m m ++-+=∈R 与x 轴相切，则m =（）A.1B.0或14C.0或1D.14【答案】D 【解析】【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得r m ==求解.【详解】将()22420x y mx my m m ++-+=∈R 化为标准式为：()()22225x m y m m m ++-=-，故圆心为()2,m m -半径为r =15m >或0m <，由于()22420x y mx my m m ++-+=∈R 与x轴相切，故r m ==，解得14m =，或0m =（舍去），故选：D5.已知点()0,1P -关于直线10x y -+=对称的点Q 的坐标是（）A.(2,1)B.(2,1)- C.(1,2)D.(2,1)--【答案】B 【解析】【分析】设(),Q a b ，根据,P Q 中点在对称直线上及PQ 与对称直线垂直列方程求解.【详解】设(),Q a b ，则110011022b a a b +⎧=-⎪⎪-⎨+-⎪-+=⎪⎩，解得2a =-，1b =.故选：B6.已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF △的周长的最小值为（）A.8B.6+C.10D.8+【答案】C【解析】【分析】根据题意结合椭圆定义可得2ABF △的周长为2a AB +，结合椭圆的性质分析求解.【详解】椭圆的方程为22194x y +=，则3a =，2b =，c ==，连接1AF ，1BF ，则由椭圆的中心对称性可知12OA OB OF OF ==，，可知12AF BF 为平行四边形，则21BF AF =，可得2ABF △的周长为22122AF BF AB AF AF AB a AB ++=++=+，当AB 位于短轴的端点时，A 取最小值，最小值为24b =，所以周长为26410a AB +≥+=．故选：C.7.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】首先求出直线PA 、PB 的斜率，然后结合图象即可写出答案．【详解】解：记()1,1为点P ，直线PA 的斜率31421PA k --==--，直线PB 的斜率213314PB k --==--，因为直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，结合图象，可得直线l 的斜率k 的取值范围是(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭．故选：B ．8.已知直线(2)y k x =+与曲线21y x =-有公共点，则实数k 的取值范围是（）A.33,33⎡-⎢⎣⎦B.30,3⎡⎢⎣⎦C.3,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[3,3]-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到直线(2)y k x =+过定点(2,0)P -，以及曲线221(0)x y y +=≥，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解.【详解】由直线(2)y k x =+过定点(2,0)P -，又由曲线21y x =-221(0)x y y +=≥，作出曲线21y x =-(2)y k x =+的图象，如图所示，因为直线(2)y k x =+，可得20kx y k -+=，2221(1)kk =+-，解得33k =±，若直线(2)y k x =+与曲线21y x =-303k ≤≤，即实数k 的取值范围为30,3⎡⎢⎣⎦.故选：B.二、多选题(每小题6分，本题18分)9.以下四个命题叙述正确的是（）A.直线210x y -+=在x 轴上的截距是1B.直线0x ky +=和2380x y ++=的交点为P ，且P 在直线10x y --=上，则k 的值是12-C.设点(,)M x y 是直线20x y +-=上的动点，O 为原点，则OM 的最小值是2D.直线()12:310:2110L ax y L x a y ++=+++=，，若12//L L ，则3a =-或2【答案】BC 【解析】【分析】求出直线的横截距判断A ；解方程组求出k 判断B ；求出点到直线的距离判断C ；验证判断D.【详解】对于A ，直线210x y -+=在x 轴上的截距是12-，A 错误；对于B ，由238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩解得12x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,2)P --，则120k --=，解得12k =-，B 正确；对于C ，依题意，min222211OM-==+C 正确；对于D ，当2a =时，直线12:2310,:2310L x y L x y ++=++=重合，D 错误.故选：BC10.已知M 是圆22:414450C x y x y +--+=上任一点，()2,3Q -，则下列说法正确的是（）A.圆心C 的坐标为()2,7B.点Q 在圆C 内C.MQ 的最大值为62D.过()3,5P 的最短弦长是23【答案】ACD 【解析】【分析】由圆的标准方程可判断A ，由点和圆的位置关系可判断B ，由圆外一点到圆的距离的最值可判断C ，由圆的几何性质可判断D.【详解】将圆C 的方程化为标准方程()()22278x y -+-=，圆心()2,7,C r =对于A ：圆心C 的坐标为()2,7，故A 正确；对于B ：因为()()2222378--+->，所以点Q 在圆C 外，故B 错误；对于C ：因为CQ ==，r =所以MQ ≤≤，即MQ ≤≤，故C 正确；对于D ：因为()()22325758CP =-+-=<，所以点()3,5P 在圆内，当弦垂直于CP 时弦长最短，又CP =，最短弦长为=D 正确.故选：ACD.11.已知椭圆22:416C x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的任意一点，则（）A.C 的离心率为12B.128PF PF +=C.1PF 的最大值为4+D.使12F PF ∠为直角的点P 有4个【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求出,,a b c ，由离心率定义判断A ，由椭圆定义判断B ，由椭圆的几何性质判断C ，根据以线段12F F 为直径的圆与椭圆交点个数判断D.【详解】由原方程可得椭圆标准方程为221164x y +=，4,2a b c ∴==⇒=，2c e a ∴==，故A 错误；由椭圆定义可知1228PF PF a +==，故B 正确；由椭圆的性质知1max ||4PF a c =+=+C 正确；易知以线段12F F 为直径的圆（因为b c a <<）与C 有4个交点，故满足12F PF ∠为直角的点P 有4个，故D 正确.故选：BCD三、填空题(每小题5分，本题15分)12.已知三点A (1,1)-，B (,3)a ，C (4,5)在同一直线上，则实数a 的值是________.【答案】3【解析】【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式.【详解】三点A (1,1)-，B (,3)a ，C (4,5)在同一直线上，AB AC k k ∴=，∴4613a =-，解得3a =.故答案为：3.13.已知椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若ABF △为等腰三角形，则C 的离心率为______．【答案】12-+【解析】【分析】利用椭圆的性质计算即可.【详解】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为()2,2,20,0,0a b c a b c >>>，则222a b c =+，且根据椭圆的性质易知()()(),0,,0,0,F c A a B b -，所以,AB AF a c BF a ==+=，显然若ABF △为等腰三角形，则只能有AB AF =，即()22222220a b a c a ac c +=+⇒--=，则21312202c c c e a a a -+⎛⎫--=⇒== ⎪⎝⎭.故答案为：132-+14.如果实数,x y 满足等式224240x y x y --++=，那么22x y +的最大值是________；2x y -的最大值是________．【答案】①.1465+6514②.355##535-+【解析】【分析】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可.【详解】由224240x y x y --++=，得2222(2)(1)9,x y x y ++-=+的几何意义为圆22(2)(1)9x y ++-=上的动点到原点距离的平方．因为圆心()2,1-553+，则22x y +的最大值是253)1465=+令2x y t -=，则t -是直线2x y t -=在y 轴上的截距，当直线与圆相切时，直线2x y t -=在y 轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值，此时，圆心()2,1-到直线2x y t -=的距离4135td ---==，解得535t =-±，所以2x y -的最大值为355-．故答案为：1465+；355.四、解答题15.已知点(2,1)P -和直线:250l x y +-=.（1）若直线1l 经过点P ，且1l l ⊥，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过点P ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线2l 的方程.【答案】（1）250x y --=（2）20x y +=和10x y +-=【解析】【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解，（2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解.【小问1详解】由直线l 的方程可知它的斜率为12-，因为1l l ⊥，所以直线1l 的斜率为2.又直线1l 经过点(2,1)P -，所以直线1l 的方程为：12(2)y x +=-，即250x y --=；【小问2详解】若直线2l 经过原点，设直线方程为y kx =，代入(2,1)P -可得20x y +=，若直线2l 不经过原点，设直线方程为1x ya a+=，代入(2,1)P -可得1a =，故直线2l 方程为10x y +-=.综上，直线2l 的方程为20x y +=和10x y +-=.16.（1）椭圆C 与椭圆C 1:2212x y +=有相同的焦点，且经过点M 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求椭圆C 的标准方程；（2）已知椭圆22126x y +=的焦点分别是1F ，2F ，点M 在椭圆上，且120F M F M ⋅= ，求点M 到x 轴的距离.【答案】（1）22143x y +=；（2【解析】【分析】（1）确定椭圆焦点坐标，根据椭圆定义求得,a b ，即得答案；（2）设(,)M x y ，可得1(,2)F M x y =+ ，2(,2)F M x y =-；由120F M F M ⋅= 得2240x y +-=，结合椭圆方程求出||y =，即得答案.【详解】（1）椭圆C 1：2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，所以椭圆C 的焦点坐标也为(1,0)±，即得焦距为22c =，∵椭圆C 过点M 3(1,2，∴24a =+=，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）由椭圆方程得，1(0,2)-F ，2(0,2)F ，设(,)M x y ，则1(,2)F M x y =+ ，2(,2)F M x y =-；由120F M F M ⋅=得：2240x y +-=（1）；又点M 在椭圆上，可得22126x y +=（2）；（1）（2）联立消去2x 得，23y =，即||y =；故点M 到x 17.（1）已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，2,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是34-，求点M 的轨迹方程；（2）如图，已知圆22:1O x y +=和定点()4,0A ，P 为圆O 外一点，直线PQ 与圆O 相切于点Q ，若PQ =，求点P 的轨迹方程．【答案】（1）()221243x y x +=≠±；（2）221633x y x +-+=0.【解析】【分析】设动点坐标为(),x y ，用坐标表示动点满足的条件，列出方程，化简即可.【详解】（1）设s ，则2AM y k x =+，2BM y k x =-，()32224AM BM y y k k x x x ∴⋅=⋅=-≠±+-，化简整理得，()2234122x y x +=≠±，所以点M 的轨迹方程为：()221243x y x +=≠±.（2）设s ，依题意2PQ =，则222PQ PA =，即2222OP OQ PA -=，即()2222124x y x y ⎡⎤+-=-+⎣⎦，整理得2216330x y x +-+=.18.（1）求圆心在直线1:2l y x =-上，与直线2:1l x y +=相切于点(2,1)A -的圆C 的方程.（2）若过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)2D x y -++=的切线，求切线的斜率.【答案】（1）22(1)(2)2x y -++=；（2）23-±【解析】【分析】（1）由圆的切线性质求出直线CA 的方程，进而求出圆心C 的坐标及圆半径即可得解.（2）按切线斜率存在与否分类讨论，借助点到直线距离公式列式计算即得.【详解】（1）依题意，2CA l ⊥，则直线CA 的斜率为1，方程为12y x +=-，即3y x =-，由23y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，则圆C 的圆心(1,2)C -，22(21)(12)2||CA -=-++=所以所求圆的方程为：22(1)(2)2x y -++=.（2）圆22:(1)(2)2D x y -++=的圆心(1,2)D -，半径r =当切线l 的斜率不存在时，:1l x =-，点D 到切线l 的距离为2，不等于半径，不满足题意；当切线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =+，即0kx y k -+=，=，解得2k =-±，所以切线的斜率为2-±19.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()3,1P ，焦距为，斜率为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点P 的,M N 两点，且直线,PM PN 均不与x 轴垂直.（1）求椭圆C 的方程；（2）若MN =，求MN 的方程；（3）记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，证明:12k k 为定值.【答案】（1）221124x y +=（2）123y x =--（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；（2）设直线l 的方程为13y x m =-+，与椭圆联立，由弦长公式求得MN 的方程；（3）将韦达定理代入12k k 中计算结果为定值.【小问1详解】由题意得222229112a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为221124x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为13y x m =-+，()()1122,,,M x y N x y 由22131124y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22469360x mx m -+-=，由()22Δ(6)14440m m =-->，得434333m -<<，则212123936,24m m x x x x -+==.2MN ===解得2m =或2m =-当2m =时，直线1:23l y x =-+经过点()3,1P ，不符合题意，舍去；当2m =-时，直线l 的方程为123y x =--.【小问3详解】直线PM ，PN 均不与x 轴垂直，所以123,3x x ≠≠，则0m ≠且2m ≠，所以()()1212121212111111333333x m x m y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=⋅=----()()()212121212111(1)9339x x m x x m x x x x --++-=-++()222221936131(1)3619432936391833942m m m m m m m m m m -⋅--⋅+--===---⋅+为定值.。

浙江省湖州2023-2024学年高二上学期第一次阶段性检测技术试题含解析

浙江省湖州2023学年第一学期高二年级第一次阶段性测试技术（答案在最后）考生须知：1.全卷分试卷和答卷。

试卷4页，答卷2页，共6页。

考试时间90分钟，满分100分。

2.本卷的答案必须做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效；3.请用黑色水笔或钢笔将班级、序号、姓名、座位号分别填写在答卷的相应位置上。

第一部分信息技术(50分)一、选择题（本大题共15小题，每题2分，共30分）1.以下关于数据的说法，正确的是（）A.数据是信息的一种表现形式，数据是信息的载体B.数据的记录过程一定需要人的参与C.数据就是信息，信息就是数据D.数据是计算机被发明之后产生的，所以在古代没有数据【答案】A【解析】【详解】本题考查数据。

数据通常是信息的一种表现形式，它可以被视为信息的载体，因为它可以存储和传递信息。

数据可以包括文本、数字、声音、图像等信息。

A选项正确。

数据的记录过程可以需要人的参与，但也可以由机器或传感器自动记录。

B选项错误。

数据和信息是相关的概念，但它们不是完全相同的。

数据通常是未经处理的原始事实或值，而信息是对数据的解释和加工。

C选项错误。

数据存在于古代，尽管在计算机出现之前的形式和规模可能有限，但人类一直在记录和处理数据，比如使用文字、符号、计数方法等。

D选项错误。

故答案为A选项。

2.下列关于信息特征的说法，错误的是（）A.“狼来了”的故事内容，说明信息存在真伪B.大家都知道“狼来了”的故事，说明信息可以共享C.不同的人讲“狼来了”的故事或多或少会有所不同，说明信息可以被加工和处理D.在公园无意听到一位母亲在给小孩讲“狼来了”的故事，说明信息传播不需要载体【答案】D【解析】【详解】本题主要考查信息相关知识点。

“狼来了”的故事内容，说明信息存在真伪；大家都知道“狼来了”的故事，说明信息可以共享；不同的人讲“狼来了”的故事或多或少会有所不同，说明信息可以被加工和处理；在公园无意听到一位母亲在给小孩讲“狼来了”的故事，是通过声音载体传播的，故本题选D选项。

高中数学阶段质量检测(一)(含解析)湘教版选修1-2-湘教版高二选修1-2数学试题

阶段质量检测（一）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据如下样本数据x 345678y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y＝bx＋a，则( )A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：由表中数据画出散点图，如图，由散点图可知b<0，a>0.答案：B2．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为( ) A．0.12 B．0.88C．0.28 D．0.42解析：P＝(1－0.3)(1－0.4)＝0.42.答案：D3．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200解析：由题意知选项B、D为正相关，选项C不符合实际意义．答案：A4．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行不放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是( )A．互斥的事件B．相互独立的事件C．对立的事件 D．不相互独立的事件解析：由互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义可知，A1与A2不互斥也不对立，同时A1与A2也不相互独立．答案：D5．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576解析：可知K，A1，A2三类元件正常工作相互独立．所以当A1，A2至少有一个能正常工作的概率为P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为P K·P＝0.9×0.96＝0.864.答案：B6．对有线性相关关系的两个因素建立的回归直线方程y＝bx＋a中，回归系数b( ) A．可以小于0 B．大于0C．能等于0 D．只能小于0解析：∵b＝0时，则r＝0，这时不具有线性相关关系，但b可以大于0也可以小于0.答案：A7．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总数262450已知P(χ2≥3.841)≈0.05，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为( )A．99% B．95%C．90% D．无充分依据解析：由题表中数据得χ2＝50×18×15－8×9226×24×27×23≈5.060>3.841.所以有95%的把握认为两变量之间有关系．答案：B8．2017年7月持续高温，下表是某同学记录的7月11日至7月22日每天因中暑去某医院的人数，及根据这些数据绘制出的散点图如下：日期7.117.127.137.147.157.16人数100109115118121134日期7.177.187.197.207.217.22人数141152168175186203下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有正相关关系；③根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系．其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：由散点图可知日期与人数具有线性相关关系而不是一次函数关系，故①正确，③错误．由散点图可知，人数随日期的增加而增多，故②正确．答案：C9．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过( )x 123 4y 57910A．点(2,8) B．点(2.5,8)C．点(10,31) D．点(2.5,7.75)解析：线性回归方程必过样本点的中心(x，y)，即(2.5,7.75)．答案：D10．硕士学位与博士学位的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如表所示：根据以上数据，则( ) A ．性别与获取学位类别有关 B ．性别与获取学位类别无关 C ．性别决定获取学位的类别 D ．以上都是错误的解析：由列联表可得：博士：男性占2735≈77%，女性占835≈23%，相差很大，所以性别与获取学位的类别有关．答案：A11．已知x ，y 的取值如表所示：如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ＝bx ＋2，则b 的值为( )A ．－12B.12C ．－110D.110解析：计算得x ＝3，y ＝5，代入到y ＝bx ＋132中，得b ＝－12.答案：A12．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：由以上数据，计算得到χ2≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是( ) A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B ．有1%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D ．有99%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关解析：根据临界值表，9.643＞6.635，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 13．有两组问题，其中第一组中有数学题6个，物理题4个；第二组中有数学题4个，物理题6个．甲从第一组中抽取1题，乙从第二组中抽取1题．甲、乙都抽到物理题的概率是________，甲和乙至少有一人抽到数学题的概率是________．解析：设A ＝{甲抽到物理题}，B ＝{乙抽到物理题}．则P (A )＝410＝25，P (B )＝610＝35，P (AB )＝P (A )P (B )＝625，∴甲、乙至少有一人抽到数学题的概率为P ＝1－P (AB )＝1925.答案：625192514．已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要________h.解析：当x ＝600时，y ＝0.01×600＋0.5＝6.5. 答案：6.515．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x (个) 10 203040 50 加工时间y (min) 62758189现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________．解析：由表知x ＝30，设模糊不清的数据为m ，则y ＝15(62＋m ＋75＋81＋89)＝307＋m5，因为y ＝0.67x ＋54.9，即307＋m5＝0.67×30＋54.9，解得m ＝68. 答案：6816．为了判断高中一年级学生选修文科与选修理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：理科文科总计男 13 10 23 女 7 20 27 总计203050已知P (χ2≥3.841)≈0.05，P (χ2≥5.024)≈0.025. 根据表中数据，得到χ2＝50×13×20－10×7223×27×30×20≈4.844.则认为选修文科与性别有关出错的可能性是________．解析：由χ2≈4.844>3.841，得选修文科与性别无关是不成立的，即有关的概率是95%，出错的可能性是1－95%＝5%.答案：5%三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响．(1)求3人同时被选中的概率； (2)求3人中至少有1人被选中的概率．解：记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.(1)3人同时被选中的概率P 1＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.(2)3人中有2人被选中的概率P 2＝P (AB C ∪A B C ∪A BC )＝25×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×34×13＝2360.3人中只有1人被选中的概率P 3＝P (A B C ∪A B C ∪A B C )＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝⎛⎭⎪⎫1－25×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×13＝512.故3人中至少有1人被选中的概率为110＋2360＋512＝910.18．(本小题满分12分)某企业的某种产品产量与单位成本数据如下：月份 1 2 3 4 5 6 产量(千件) 2 3 4 3 4 5 单位成本(元)737271736968(1)试确定回归直线；(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本下降多少？(3)假定产量为6 000件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少件？解：(1)设x 表示每月产量(单位：千件)，y 表示单位成本(单位：元)作散点图．由图知y 与x 间呈线性相关关系，设线性回归方程为y ＝bx ＋a ，x ＝3.5，y ＝71，S xy ＝－53，S 2x ＝1112，故由公式可求得b ＝S xyS 2x＝－1.818，a ＝77.363， ∴线性回归方程为y ＝－1.818x ＋77.363.(2)由线性回归方程知，每增加1 000件产量，单位成本下降1.818元． (3)当x ＝6 000时，y ＝－1.818×6＋77.363＝66.455(元)，当y ＝70时，70＝－1.818x ＋77.363，得x ＝4.05(千件)．19．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160 270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.(2)χ2＝500×40×270－30×1602200×300×70×430≈9.967.由于9.967>6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．20．(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分 70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C ＝C B1C A1∪C B2C A2.P (C )＝P (C B1C A1∪C B2C A2)＝P (C B1C A1)＋P (C B2C A2) ＝P (C B1)P (C A1)＋P (C B2)P (C A2)．由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A1)＝1620，P (C A2)＝420，P (C B1)＝1020，P (C B2)＝820，P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.21．(本小题满分12分)如图是我国2012年到2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,∑i ＝17y i －y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t2∑i ＝1n y i －y2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t2，a ^＝y －b ^t .解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17y i －y2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.892×2.646×0.55≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17t i －ty i －y∑i ＝17t i －t2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将2020年对应的t ＝9代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．22．(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量＜50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 62 38 新养殖法3466根据表中数据及χ2的计算公式得， χ2＝200×62×66－34×382100×100×96×104≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．。

【高二上数学】浙江省9+1高中联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2023学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试数学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一．单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线310x +−=的倾斜角是（） A.π3B.2π3C.π6D.5π6【答案】D 【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到直线的斜率与倾斜角. 【详解】直线310x −=，即3333y x =−+，则直线的斜率33k =−，所以倾斜角为5π6. 故选：D2. 若复数z 满足：()12i 8i z +=+，则复数z 的虚部为（） A. 3− B. 2C. 3D. 3i −【答案】A 【解析】【分析】先根据复数的除法运算求解出z ，然后判断出z 的虚部即可. 【详解】因为()12i 8i z +=+，所以()()()()8i 12i 8i 816i i 223i 12i 12i 12i 5z +−+−++====−++−，所以z 的虚部为3−，故选：A.3. “1x <”是“ln 0x <”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】由ln 0x < ，解得01x << ，所以“1x <”是“ln 0x <”成立的必要不充分条件.故选B. 4. 若函数()()cos 2f x x φ=+的图象关于直线56πx =−对称，则ϕ的最小值是（） A.4π3B.2π3C. π3 D. π6【答案】C 【解析】【分析】利用余弦函数的对称轴列式，计算即可得解.【详解】由题意555cos π1ππ,Z ππ,Z 333k k k k ϕϕϕ⎛⎫−+=±⇒−+=∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭ϕ⇒=⋅⋅⋅，4π3−，π3−，2π3，5π3，…，则ϕ的最小值是π3，故选：C.5. 在直三棱柱111ABCA B C 中，1,,,AB BC AB BC AA D E ⊥==分别为,AC BC 的中点，则异面直线1C D 与1B E 所成角的余弦值为（）A.33B.5 C.1010D.3010【答案】D 【解析】【分析】设2AB =，取11A B 的中点F ，连接1,,C F DF DE ，则可得1C DF ∠为异面直线1C D 与1B E 所成的角或补角，然后在1C DF 中求解即可.【详解】设2AB =，取11A B 的中点F ，连接1,,C F DF DE ，则11112B F A B = 因为,D E 分别为,AC BC 的中点，所以DE ∥AB ，12DE AB =，因为11A B ∥AB ，11A B AB =，所以DE ∥1B F ，1B F DE =，所以四边形1DEB F 为平行四边形，所以DF ∥1B E ，所以1C DF ∠为异面直线1C D 与1B E 所成的角或补角.因为1,,2,AB BC AB BC AA D E =⊥==分别为,AC BC 的中点，所以()222222111125,125,226DF B E C F C D ==+==+==+=，所以11163022cos 5C DC DF DF ∠===. 故选：D6. 若关于x 的不等式()2190x m x −++≤在[]1,4上有解，则实数m 的最小值为（）A. 9B. 5C. 6D.214【答案】B 【解析】【分析】先通过分离参数得到91m x x +≥+，然后利用基本不等式求解出9x x+的最小值，则m 的最小值可求.【详解】因为()2190x m x −++≤在[]1,4上有解，所以91m x x+≥+在[]1,4上有解，所以[]()min 911,4m x x x ⎛⎫+≥+∈⎪⎝⎭，又因为9926x x x x+≥⋅=，当且仅当9x x =即3x =时取等号，所以16m +≥，所以5m ≥，即m 的最小值为5，故选：B.7. 设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：22221x ya b−=的离心率分别为1e ，2e ，且双曲线2C 的渐近线的斜率小于155，则21e e 的取值范围是（）A. ()1,4B. ()4,+∞C. ()1,2D. ()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于155，即可得出22305b a <<，由此即可求出21e e 的取值范围，从而求解【详解】由题意得，221c a b =−222c a b =+所以22221112221c c a b b e a a a a −====−22222222221c c a b b e a a a a+====+又因为双曲线的渐近线的斜率小于155，得222305b k a <=<，所以222212101b e a e b a+=>−，即()2222211211,411e k e k k ⎛⎫+==−+∈ ⎪−−⎝⎭，得()211,2e e ∈，故C 正确. 故选：C.8. 如图，四棱锥P ABCD −中，//AB CD ，22AB CD ==，ACD 是正三角形，PA AC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，若点F 是PAD 所在平面内的动点，且满足2FA FD +=，点E 是棱PC （包含端点）上的动点，则当直线AE 与CD 所成角取最小值时，线段EF 的长度不可能为（）A.5 B.62C.264D.72【答案】A 【解析】【分析】由三余弦定理确定直线AE 与CD 所成角取最小值时点E 的位置，根据椭圆定义确定F 点的轨迹，在平面PAD 内，以O 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，求椭圆方程，求OF 范围；因为EO ⊥平面PAD ，所以EO OF ⊥，根据勾股定理求67,22EF. 【详解】三余弦定理：如图直线AB 与平面BOC 相交于点B ，过A 作AO ⊥平面BOC ,垂足为O ，BC 为平面BOC 内一直线, 过O 向BC 引垂线且垂足为C ，连结BO ，因为AO ⊥平面BOC ，AO BO ⊥,AO BC ⊥ 又因为BC OC ⊥,且AO OC O =,所以BC⊥平面AOC ，所以BC AC ⊥所以AOB 90∠=,90OCB ∠=,90ACB ∠=, 设ABO α∠=,ABC β∠=,CBO,cosBCAB ,cos BOAB ,cos BCBO, 所以cos cos cos βαγ=⋅；因为ACD 是正三角形，所以1DC AC ==,60ACD ∠=, 又因为//AB CD ，所以60CAB ∠=,在ABC 中，1AC =,2AB =,60CAB ∠=，由余弦定理有：2222cos 60BC AC AB AC AB ，解得3BC =,满足222AB AC BC =+,所以BC AC ⊥, 过A 作AH PC ⊥于点H ,因为平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =,由面面垂直的性质可知AH BC ⊥, 又AHAC A =,所以BC ⊥平面PAC ；因为AE 与CD 所成的角等于AE 与AB 所成的角设为θ，即EAB θ=∠，由三余弦定理得：11cos cos cos cos 22EAC CAB EAC θ=∠⋅∠=∠≤，此时E 与C 重合，设AD 的中点为O ，因为ACD 是正三角形，⊥EO AD , 则222213122EOEAAO，根据已知条件，点F 的轨迹满足椭圆定义，设椭圆方程()2222100x y a b a b +=>>，，因22FAFDa ，所以1a =，因为12AD c ，所以12c =，因为a c >，所以点F 的轨迹是椭圆，222a b c =+，所以32b =, 在平面PAD 内，以O 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，为为椭圆方程为22413y x +=，设()00,F x y ，则2200413y x ，又因为PA AE ⊥,PA BE ⊥,AE BE E =,所以PA ⊥平面ABCD ,PA EO ⊥,PA AD A ⋂=, 所以EO ⊥平面PAD ，因为EO ⊥平面PAD ，所以EO OF ⊥, 所以222222000371443EFOE OF x y y ，又因为20304y ，所以267174434y ，所以67,22EF， 2426626727284424244故选：A【点睛】三余弦定理的应用，利用椭圆方程求OF 的范围，利用垂直关系转化边长求EF 范围.二．多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分）9. 下列命题正确的是（） A. 集合{},,A a b c =的子集共有8个B. 若直线1l ：10x ay +−=与2l ：210a x y −+=垂直，则1a =C. 若221x y +=（x ，R y ∈），则34x y −的最大值为5D. 长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球的表面积是14π【答案】ACD 【解析】【分析】根据子集的概念求出子集判断A ，利用两直线垂直的公式列式计算判断B ，换元法利用余弦函数的最值判断C ，根据长方体的外接球的直径为体对角线求解半径，代入球的表面积公式计算判断D . 【详解】集合{},,A a b c =的子集有∅，{}a ，{}b ，{}c ，{},a b ，{},a c ，{},b c ，{},,a b c 共8个，故A 正确；因为直线1l ：10x ay +−=与2l ：210a x y −+=垂直，则20a a −=，即()2110a a ⨯+⨯−=，解得0a =或1，故B 错误；由221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，则()343cos 4sin 5cos 5x y θθθϕ−=−=+≤，故C 正确；由长方体的体对角线为其外接球的直径知：222212314R =++=，所以142R =，所以长方体的外接球的表面积是24π14πS R ==，故D 正确；故选：ACD10. 已知向量()2,cos a θ=−，()sin ,1b θ=，则下列命题正确的是（） A. 不存在R θ∈，使得//a b B. 当2tan 2θ=时，a b ⊥ C. 对任意R θ∈，都有a b ≠D. 当3a b ⋅=时，a 在b 方向上的投影向量的模为355【答案】ABD 【解析】【分析】根据向量间运算与三角恒等变换逐项判断即可. 详解】对于A ，若//a b ，则有sin cos 2sin 2221θθθθ=−⇒=−<−⇒不存在，故A 正确；对于B ，若ab ⊥，则【202cos 0tan 2a b θθθ⋅=⇒−+=⇒=，故B 正确；若22222cos sin 1cos 21a b θθθ=⇒+=+⇒=−，存在θ，故C 不正确；()22sin cos 333,33a b θθθθθϕ⎫⋅=−+=+=+=⎪⎪⎭其中3cos ,sin ,363ϕϕ== 所以()()cos 12π,k Z k θϕθϕ+=⇒+=∈222sin sin 3θϕ⇒==， 2333cos 35551sin a b a bθθ⋅====+，故D 正确；故选：ABD11. 已知直线l ：()()1120x y λλλ++−+=，C ：2240x y y +−=，则下列结论正确的是（）A. 直线l 恒过定点()2,4−B. 直线l 与C 必定相交C.C 与1C ：2240x y x +−=公共弦所在直线方程y x =D. 当0λ=时，直线l 与C 的相交弦长是2【答案】BC 【解析】【分析】求出直线l 过的定点判断A ；由点与圆的位置关系判断B ；求出公共弦所在直线方程判断C ；利用圆的弦长公式计算判断D.【详解】依题意，直线l ：()()20x y x y λ−+++=，由200x y x y −+=⎧⎨+=⎩，解得11x y =−⎧⎨=⎩，直线l 恒过定点()1,1−，A 错误；显然点()1,1−在C 内，则直线l 与C 必定相交，B 正确；C 的圆心(0,2)C ，半径2r =，1C 的圆心1(2,0)C ，半径12r =，111||22(,)CC r r r r =−+，即C 与1C 相交，把两个圆的方程相减得公共弦所在直线方程440y x −+=，即y x =，C 正确；为当0λ=时，直线l ：0x y +=，点()0,2C 到直线l 的距离，0222d +==，因此直线l 与C 的相交弦长为22222r d −=，D 错误.故选：BC12. 设椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆C 的右顶点为A ，点P 、Q 都在椭圆C 上且P 、Q 关于原点对称，直线x m =与椭圆C 相交于点M 、N ，则下列说法正确的是（） A. 四边形12PFQF 不可能是矩形 B.2PQF 周长的最小值为6C. 直线P A ，QA 的斜率之积为定值14−D. 当2F MN 的周长最大时，2F MN 3 【答案】BCD 【解析】【分析】A ：先判断出四边形12PFQF 是平行四边形，然后根据对角线长度的关系判断即可； B ：利用椭圆的定义以及PQ 的范围求解出2PQF 周长的最小值；C ：利用坐标表示出斜率关系，然后根据点在椭圆上化简运算，从而求得结果；D ：将点M 设为(),2πcos ,in 2s πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后表示出2F MN 的周长，结合三角形函数确定出周长最小时θ的值，从而可求面积.【详解】对于A ：因为点O 平分12,PQ F F ，所以四边形12PFQF 是平行四边形，又因为2a =，1b =且[]2,2PQ b a ∈，所以[]221,2,4c a b PQ =−=∈，所以123F F =12PQ F F =有可能成立，故A 不正确；对于B ：因为四边形12PFQF 是平行四边形，所以21QF PF=，所以2PQF 周长为2221246PF QF PQ PF PF PQ a PQ PQ ++=+=+=+≥+，故B 正确；对于C ：因为()2,0A ，设()11,P x y ，所以()11,Q x y −−，所以21211122111141422444AP AQx y y y k k x x x x −−−⋅=⋅===−−−−−−，故C 正确；对于D ：由题意可知()2,0m ∈−，设()π2cos ,πsin ,2M θθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)23,0F ，所以()()()222222cos 3sin 03cos 43cos 43cos 223MF θθθθθθ=−+−=−+=−=，所以2F MN 的周长为π4232sin 44sin 83θθθ⎛⎫−+=+−≤ ⎪⎝⎭，当且仅当πsin 13θ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，即ππ5π326θθ−=⇒=时取等号，所以2112sin 2cos 3123322F MN S θθ=⨯⨯=⨯⨯=△，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆性质的综合运用，其中涉及到焦点三角形、定值等问题，着重考查学生的转化与计算能力，难度较大.C 项的解答关键在于表示完斜率乘积后利用点所满足的椭圆方程进行化简计算，D 项的解答关键在于将点的坐标设为三角函数形式，利用三角形函数的取值范围进行分析求解.三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的横线上）13. 若双曲线221691440x y −−=上一点M 与它的一个焦点的距离为9，则点M 与另一个焦点的距离为________．【答案】15或3 【解析】【分析】化双曲线方程为标准方程，利用双曲线定义求解.【详解】因为221916x y −=，所以3a =，4b =，5c =，设点M 与另一个焦点的距离为x ，则由双曲线的定义得，926x a −==，解得15x =或3x =. 故答案为：15或314. 已知一个圆锥的侧面积为6π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为___________. 【答案】3π 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，分析得出2l r =，由圆锥的侧面积计算出l 、r 的值，可求得圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则圆锥的底面圆周长为r l 2π=π，可得2l r =，圆锥的侧面积为226rl r πππ==，解得3r =，23l =，所以，圆锥的高为223h l r =−=，因此，该圆锥的体积为21133333V r h πππ==⨯⨯=. 故答案为：3π.15. 若直线l ：0x y m ++=与曲线C ：29y x =−只有一个公共点，则实数m 的取值范围是________．【答案】(]{}3,332−−【解析】【分析】先对曲线C 进行变形，可知其表示圆的上半部分，画出曲线C 及直线l ，采用数形结合即可求得结果．【详解】因为曲线2:9C y x =−，可化为()2290x y y +=≥，所以曲线C 是以(0,0)为圆心，3为半径的圆的上半部分，直线:l y x m =−−的斜率为1−，在y 轴上的截距为m −，画图如下：由于直线与曲线只有一个公共点，由图得：[)(]3,33,3m m −∈−⇒∈−，当直线l 与圆相切时，则3322m d m ==⇒=±，由图可知32m =−综上：(]3,3m ∈−或32m =−．故答案为：(]{}3,332−−．16. 已知扇形OPQ 中，半径2r =，圆心角为π02θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，若要在扇形上截取一个面积为1的矩形ABCD ，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则tan θ的最小值为________．【答案】43【解析】【分析】连接CO ，设COP α∠=，分别用含α的三角函数表示,AB BC ，表示出矩形ABCD 的面积，由矩形面积为1求得tan θ的最小值.【详解】连接CO ，设COP α∠=，则2sin AD BC α==，2cos OB α=，2sin tan tan AD OA αθθ==，2sin 2cos tan AB OB OA ααθ=−=−，则2sin 2cos 2sin 1tan ABCD S AB BC αααθ⎛⎫=⋅=−⋅= ⎪⎝⎭，则24sin 4sin cos 1tan αααθ−=，即24sin 4sin cos 1tan αααθ=−，即24sin tan 4sin cos 1αθαα=−24cos cos 41sin sin αααα=⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∴当cos 12tan sin 2ααα=⇒=时，()min 4tan 3θ=，故答案为：43四．解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3cos 0b A a B +=．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，AC 边上的中线3BD =，求ABC 的面积S ．【答案】（1）2π3（2）23【解析】【分析】（1）由正弦定理统一为角的三角函数，化简即可得解；（2）利用中线的向量性质()12BD BA BC =+，结合余弦定理求出4c =，用面积公式求ABC 的面积【小问1详解】sin sin 3cos 0sin 3tan 3B A A B B B B =⇒=−⇒=−，因为()0,πB ∈，所以2π3B = 【小问2详解】()2211134222804242BD BA BC c c c c c ⎡⎤⎛⎫=+⇒=++⋅−⇒−−=⇒= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦113sin 2423222S ac B ⇒==⨯⨯⨯= 18. 亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届．1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，衢州举办了亚运知识竞赛活动．活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，下图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第8的选手分数：（2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是多少？（3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为11，试求所有选手的平均分和方差．【答案】（1）0.025；131 （2）1415（3）118；146 【解析】【分析】（1）先求出所有矩形的面积和为1，从而可求缺失部分的面积，根据矩形面积可求得第8名的成绩位于区间125分至135分之间，从而求解；（2）求得105以下合计6个人，对这6人编号后，利用列举法求解；（3）利用平均数和方差的定义求解即可. 【小问1详解】根据题意得：0.050.20.20.3101h ++++=，得：0.025h =，所以：图中缺失部分的直方图的高度0.025h =；因为分数位于135分至145分人数为：0.1404⨯=人，分数位于125分至135分人数：0.254010⨯=，设第8名选手的分数为x ，则：13541010x −=，得：131x =，所以可估算排名第8名选手的分数为131. 【小问2详解】分数105以下人数有：85分至95分人数：0.05402⨯=人，95分至105分人数：0.1404⨯=人，总共：6人，将6人依次编号为1，2，3，4，5，6（95分以下人编号为1，2），任选2个人的方法如下：列举出所有样本点：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共计15种，至多有1位是95分以下的选手有14种，所以概率为：1415P =. 【小问3详解】男子组40位选手的平均分:0.05900.11000.21100.31200.251300.1140119y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所有选手的平均分：1171191182z +==，女子组的方差：2121xS =，男子组的方差：()2222222901190.05190.190.210.3110.25210.1169y S =−⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()222222214014011171214012111740x S x x x x =+⋅⋅⋅+−=⇒+⋅⋅⋅+=+， ()()222222214014011191694016911940y S y y y y =+⋅⋅⋅+−=⇒+⋅⋅⋅+=+，所有选手的方差：()222222222140140112111716911921182901191181171181181468022zS x x y y +++−⨯++−−=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+−===综述：所有选手的平均分118z =，所有选手的方差2146z S =.19. 已知双曲线C 的渐近线方程是3y x =±，点()2,3M 在双曲线C 上. （1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若动直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A ，B 两点，问直线MA ，MB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2 （2）是，3 【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，将点的坐标代入求解方程，利用离心率公式直接求解即可；（2）联立方程，韦达定理，代入两斜率之和表达式化简即可求解. 【小问1详解】的由双曲线C 的渐近线方程是3y x =±，故设C ：223x y λ−=，因为()2,3M 在双曲线C 上，所以1293λ=−=，所以C ：2213y x −=，所以1a =，3b =222c a b =+=，所以2ce a==；【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22331x y y kx ⎧−=⎨=+⎩得()223240k x kx −−−=，则248120k ∆=−>得24k <且23k ≠，12223kx x k +=−，12243x x k −=−，又111113132222222MA y kx k k k k k x x x −+−−+−===+−−−， 222223132222222MB y kx k k k k k x x x −+−−+−===+−−−，所以()121122222MA MBk k k k x x ⎛⎫+=+−+ ⎪−−⎝⎭()()()212121222244322122142424233kx x k k k k k k x x x x k k −+−−=+−=+−−+−++−−−()()()()()()()22222232124262212121341244221k k k k k k k k k k k k k k k k k k +−−++−=+−=−−=−−=−+−−+−+−.即直线MA ，MB 的斜率之和是3.20. 如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，4BC =，2PC PD CD ===，M 为AD 的中点．（1）若BM PC ⊥，求证：BM PM ⊥；（2）若二面角P CD A −−的余弦值为33，求直线PB 与平面PAD 所成角θ的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）证明出BM ⊥平面PCM ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设CD 的中点为N ，AB 的中点为E ，连接PN 、PE 、NE ，过点P 在平面PNE 内作PO NE ⊥，垂足为点O ，分析可知，二面角P CD A −−的平面角为PNE ∠，根据已知条件求出ON 、PN 的长，推导出PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DC 、ON 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得sin θ的值. 【小问1详解】证明：因为四边形ABCD 为矩形，则4AD BC ==，因为M 为AD 的中点，则122AM AD ==，又因为2AB =，AB AM ⊥，则ABM 为等腰直角三角形，所以，45AMB ∠=，同理可证45CMD ∠=，所以，18090BMC AMB CMD ∠=−∠−∠=，即BM CM ⊥，因为BM PC ⊥，PC CM C ⋂=，PC 、CM ⊂平面PCM ，所以，BM ⊥平面PCM ，因为PM ⊂平面PCM ，所以，BM PM ⊥. 【小问2详解】证明：设CD 的中点为N ，AB 的中点为E ，连接PN 、PE 、NE ，过点P 在平面PNE 内作PO NE ⊥，垂足为点O ，因为2PC PD CD ===，且N 为CD 的中点，则PCD 为等边三角形，且PN CD ⊥，2222213PN PD DN =−=−=因为四边形ABCD 为矩形，则//AB CD 且AB CD =，因为N 、E 分别为CD 、AB 的中点，所以，//AE DN 且AE DN =，且AD DN ⊥，所以，四边形ADNE 为矩形，所以，CD NE ⊥，所以，二面角P CD A −−的平面角为PNE ∠，则3cos 3PNE ∠=，因为PO NE ⊥，则3cos 313ON PN PNE =∠==，则22312PO PN ON =−=−=因为CD NE ⊥，PN CD ⊥，PN NE N =，PN 、NE ⊂平面PNE ，所以，CD ⊥平面PNE ，因为PO ⊂平面PNE ，则PO CD ⊥，因为PO NE ⊥，CDNE N =，CD 、NE ⊂平面ABCD ，所以，PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DC 、ON 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,3,0A −−、()1,1,0D −、()1,3,0B −、(2P ，则()0,4,0AD =，(2AP =，(2BP =−，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则40320n AD y n AP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =，则()2,0,1n =−，所以，222sin cos ,3323n BP n BP n BPθ⋅====⨯⋅，因此，直线PB 与平面PAD 所成角θ的正弦值为23. 21. 已知函数()()232f x x x a x a =−−−．（1）当0a =时，求函数()f x 的值域；（2）若不等式()33f x ≥对x ∈R 恒成立，求实数a 的最小值．【答案】（1）[)0,∞+ （2）215a ≥ 【解析】【分析】（1）根据分段函数分别求各段()f x 的取值范围，然后取其并集即得. （2）首先去绝对值，分别求出0a ≤和0a >时，()f x 的最小值，结合恒成立条件解不等式即得. 【小问1详解】（1）()222,00325,0x x a f x x x x x x ⎧≥=⇒=−=⎨<⎩，①()[)200,x f x x ≥⇒=∈+∞；②()()2050,x f x x <⇒=∈+∞；综上：函数()f x 的值域是[)0,∞+；【小问2详解】（2）去绝对值得()22223,53,x ax a x af x x ax a x a⎧+−≥=⎨−+<⎩，当x a ≥时，方程2230x ax a +−=的21130a ∆=≥，()2222313324f x x ax a x a a ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭，当x a <时，方程22530x ax a −+=的22110a ∆=−≤，()222235553510100f x x ax a x a a ⎛⎫=−+=−+ ⎪⎝⎭，①2313430022a a a f a a ⎪−⎛⎫≤⇒≤−⇒−=< ⎝⎭，不符题意，∴0a ≤舍去； ②302a a a >⇒>−，()2min 3355331010100a a a f x f a ⎛⎫>⇒==≥ ⎪⎝⎭， 260215a a ⇒≥⇒≥；综上：215a ≥22. 已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为()1,0F 2倍．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，1F 是椭圆的另一个焦点，若1ABF 内切圆的半径23r =，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y += （2）1x y =±+【解析】【分析】（1）由题意可求得1c =，2a b =，并且222a b c =+，求得a ，b ，c ，代入椭圆标准方程可得解；（2）设出直线l 方程与椭圆方程联立，根据韦达定理可得12y y +，12y y ，可求得112212112ABF S F F y y y y =⋅⋅−=−△，再根据内切圆半径可表示出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此求得答案. 【小问1详解】由题可得1c =，焦点在x 轴上，222a b=2a b =， )2221b b ∴=+，解得21b =，22a =，所以椭圆C ：2212x y +=. 【小问2详解】设()11,,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程为1x ty =+，()22222222101x y t y ty x ty ⎧+=⇒++−=⎨=+⎩的根为1y ，2y ， 12222t y y t +=−+，12212y y t −=+，且2880t ∆=+>，又∵()12221211212212212422ABF t S c y y y y y y y y t +=⋅⋅−=−=+−=+△，111244422233ABF S a r =⋅⋅=⨯=△， 2221413t t ⋅+=⇒=±，所以直线l 的方程为：1x y =±+.【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点F 的直线l 与椭圆联立，由韦达定理可得12y y +，12y y ，可求出1122112ABF S F F y y =⋅⋅−△，另根据三角形内切圆半径和面积的关系可求得1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线l 的方程.。

高二数学(人教B版)选修1-1阶段性测试题1

阶段性测试题一(第一章基本知能检测)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中，不表示命题的一个是( )A ．3>8B ．0是自然数C ．杭州是省会城市D ．他去哪儿 [答案] D[解析] 选项D 不涉及真假．2．下列命题是真命题的为( )A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2 [答案] A[解析] 判断命题的真假，根据选项容易选出A.3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题和逆否命题中( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真 [答案] D[解析] 原命题与其逆否命题同真假，原命题真，故选D.4．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词的情况是( )A ．没有使用逻辑联结词B ．使用了逻辑联结词“且”C ．使用了逻辑联结词“或”D ．使用了逻辑联结词“非”[答案] C[解析] “π≥3.14”的意思为：“π>3.14或π＝3.14”．故选C.5．设p ：x <－1或x >1；q ：x <－2或x >1，则¬p 是¬q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ¬p ：－1≤x ≤1，¬q ：－2≤x ≤1，¬p ⇒¬q ，而¬q ⇒/ ¬p .6．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题( )A ．是真命题B ．是假命题C ．不一定是真命题D ．不一定是假命题 [答案] A[解析] 一个命题的逆命题与否命题真值相同．7．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵N M ，∴若a ∈N ，则a ∈M ，当a ＝52时，a ∈M ，但a ∉N ，故选B. 8．a ＝3是直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行且不重合的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] C[解析] 当直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行时，有a (a －1)＝6，解得a ＝3或a ＝－2.当a ＝－2时，两直线重合．9．下列判断不正确．．．的是( ) A ．命题“若p 则q ”与“若¬q 则¬p ”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a <b ”的充要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否定为假D ．命题“∅{1,2}或4∈{1,2}”为真[答案] B[解析] 由am 2<bm 2⇒a <b ，但a <b ⇒/ am 2<bm 2.例如：m ＝0时，故选B.10．如果命题“¬(p 或q )”为假命题，则( )A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个真命题D ．p 、q 中至多有一个真命题[答案] C[解析] “¬(p 或q )”为假，则“p 或q ”为真，故p 、q 中至少有一个为真．11．“1x 2>1y 2”是“|x |<|y |”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] |x |<|y |⇔x 2<y 2，1x 2>1y 2⇔1x 2－1y 2>0 ⇔y 2－x 2x 2y 2>0⇔y 2－x 2>0⇔x 2<y 2. 当x 2＝0，y 2≠0时，x 2<y 2成立，但1x 2无意义，故选A. 12．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x≥1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] a ＝18⇒2x ＋a x＝2x ＋18x ≥22x ×18x＝1. 另一方面，对任意正数x,2x ＋a x≥1，只要2x ＋a x ≥22x ×a 8x ＝22a ≥1⇒a ≥18，所以选A. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．命题“如果ab 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________．[答案] 如果a ，b 至少有一个为零，则ab 为零[解析] 将原命题的结论和条件进行“换位”及“换质”，即得其逆命题．14．用“p ∨q ”“p ∧q ”“¬q ”填空．命题“－x 2＋2≤2”是________形式，命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．[答案] “p ∨q ” “¬p ”15．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若¬p 是¬q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[答案] 0≤a ≤12[解析] 命题p ：|4x －3|≤1⇔12≤x ≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇔a ≤x ≤a ＋1.∵¬p 是¬q 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1，∴0≤a ≤12. 16．已知：①命题“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“如果m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题；④命题“如果A ∩B ＝A ，则A B ”的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．[答案] ①②③[解析] ①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1，是真命题．②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题．如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，有|a|＝|b|＝2，但a ≠b .③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是因为当m <0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m >0恒成立，故方程有根，所以其逆否命题也是真命题．④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解析] 逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0；真命题．否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1；真命题．逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0；真命题．18．(本题满分12分)已知命题p {x |1－c <x <1＋c ，c >0}，命题q (x －3)2<16，且p 是q的充分而不必要条件．求c 的取值范围．[解析] 命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，由(x －3)2<16可解得命题q 对应的集合B ＝{x |－1<x <7}，∵p 是q 的充分而不必要条件，∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c >01－c ≥－11＋c ≤7，解得：0<c ≤2，经检验知c ＝2也符合题意，所以所求c 的取值范围为0<c ≤2.19．(本题满分12分)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根；命题q ：关于x 的方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，已知命题p 和q 中，一个为真命题，一个为假命题，求m 的取值范围．[解析] p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0m >0解得m >2. q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0解得1<m <3.∵p ，q 中一真一假．∴有两种可能，即p 真q 假或者p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >2m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21<m <3，解得：m ≥3或1<m ≤2.20．(本题满分12分)指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；(2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0；(3)p ：a >2，q ：a >5；(4)p ：a <b ，q ：a b<1. [解析] (1)在△ABC 中，∠A >∠B ⇔BC >AC .所以p 是q 的充要条件．(2)a ＝3⇒(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0⇒/ a ＝3.所以p 是q 的充分而不必要条件．(3)a >2⇒/ a >5，但a >5⇒a >2，所以p 是q 的必要而不充分条件．(4)a <b ⇒/ a b <1，且a b<1⇒/ a <b ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件． 21．(本题满分12分)已知p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋116a )的定义域为R ；q ：a ≥1.如果命题“p ∨q 为真，p ∧q 为假”，求实数a 的取值范围．[解析] 由p 真可知⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4a ·116a <0，解得a >2，由p ∨q 为真，p ∧q 为假知，p 和q 中一个为真、一个为假．若p 真q 假时a 不存在，若p 假q 真时1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围是1≤a ≤2.22．(本题满分14分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．[解析] 当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a >1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同两点等价于(2a －3)2－4>0.即a <12或a >52. (1)p 正确，q 不正确．则a ∈(0,1)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪12≤a ≤52且a ≠1，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1. (2)p 不正确，q 正确．则a ∈(1，＋∞)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a <12或a >52，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞.综上所述，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.。

浙江省东阳中学2017-2018学年高一1月阶段性检测化学试题缺答案

东阳中学2017年高一1月阶段性考试化学试题命题人:曹碧云审题人：吴朝辉可能用到的数据:H—1 C-12 N-14 O—16 Na-23 S-32 Fe—56 Zn-65 Cu—64 Ba—137一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题2分,共50分）1．设N A为阿伏加德罗常数的值,下列各项表达中错误的是A．15 ℃、101 Pa下,32 g O2和O3混合气体中含有的原子数为2N A B．标准状况下，33.6 L H2和33。

6 L 3H2均含有3N A个氢原子C．131I原子和127I原子相差4个质子D．核外电子排布为的原子与的原子形成1 mol化合物时，电子转移数是N A2．太阳能电池已为人们所熟悉，制造太阳能电池板的核心材料是A．二氧化硅B．硅C．钛合金D．铝合金3．下列各项操作，错误的是A．萃取、分液前需对分液漏斗检漏B．进行分液时，分液漏斗中的下层液体从下口放出,上层液体则从上口倒出C．用酒精萃取溴水中的溴单质的操作可选用分液漏斗，而后静置分液D．为保证分液漏斗内的液体顺利流出，需将上面的塞子拿下4．1 g O2中含有m个原子，则阿伏加德罗常数的值用m可表示为A．错误! B．16 m C．错误!D．32 m5．在两个密闭容器中,分别充有质量相同的甲、乙两种气体,若两容器的温度和压强均相同，且甲的密度大于乙的密度，则下列说法正确的是A．甲的物质的量比乙的物质的量少B．甲的分子数比乙的分子数多C．甲的摩尔体积比乙的摩尔体积小D．甲的相对分子质量比乙的相对分子质量小6．下列关于浓硫酸的说法中，正确的是A．浓硫酸具有吸水性，可以干燥任何气体B．浓硫酸与不活泼金属反应生成的一般是SO2，与活泼金属反应生成的一般是H2C．浓硫酸可以用来干燥HCl、HI、H2S等酸性气体D．浓硫酸与铜共热的反应中，浓硫酸既表现出强氧化性，又表现出酸性7．下列转化一定要加还原剂才能实现的A．H2SO4→SO2B．SO32−→SO2C．H2S→S D．SO2→S8．下列物质的化学式，错误的是A．绿矾：Fe2（SO4) 3·7H2O B．生石膏:CaSO4·2H2O C．重晶石:BaSO4D．芒硝：Na2SO 4·10H2O 9．已知R原子有b个中子，R2＋核外有a个电子，表示R原子符号正确的是A．错误!R B．错误!R C．错误!R D．错误!R 10．下列溶液中，跟100 mL 0。

湖南省长沙市2023-2024学年高二上学期第一阶段性检测数学试题含答案

长沙市2023－2024学年度高二第一学期第一次阶段性检测数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}-1,0,1,2,32,3,0,1U A B ===，，则()U C A B = （）A.∅ B.{}0,1 C.{}0 D.{}1【答案】B 【解析】【分析】求出{1,0,1}AU C =-，即得解.【详解】由题得{1,0,1}A U C =-，所以(){0,1}U C A B =.故选：B2.24x <的一个必要不充分条件是（）A.02x <≤B.20x -<< C.22x -≤≤ D.13x <<【答案】C 【解析】【分析】可根据命题特点进行转化，因为24x <化简后为22x -<<，题设需要寻找24x <的一个必要不充分条件，所以相当于寻找x 取值范围比22x -<<更大的范围即可【详解】24x <即22x -<<，因为22x -<<能推出22x -≤≤，而22x -≤≤不能推出22x -<<，所以24x <的一个必要不充分条件是22x -≤≤．答案选C【点睛】本题考查命题条件的推导，需注意两种不同的说法：A 是B 的充分不必要条件⇔B 的必要不充分条件是A ，同理A 是B 的必要不充分条件⇔B 的充分不必要条件是A3.如图，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 为所在棱的中点，则直线AB 与平面MNP 的位置关系为（）A.平行B.垂直C.相交D.直线在平面内【答案】A 【解析】【分析】根据图形，连接CD ，由M 、N 、P 为所在棱的中点结合正方体的结构特征，易得//AB MP ，然后利用线面平行的判定定理判断.【详解】如图所示：连接CD ，则//AB CD ，又因为M 、N 、P 为所在棱的中点，所以//CD MP ，所以//AB MP ，又AB ⊄平面MNP ，MP ⊂平面MNP ，所以直线AB //平面MNP ，故选：A【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及正方体的结构特征，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于基础题.4.已知平面向量(2,3)a x =，(1,9)b = ，如果a b ∥，则x =（）A.16B.16-C.13D.13-【答案】A 【解析】【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解.【详解】由a b ∥可得1830x -=，所以16x =，故选：A5.下列一组数据的25%分位数是（）2.8,3.6,4.0,3.0,4.8,5.2,4.8,5.7,5.8,3.3A.3.0B.4C.4.4D.3.3【答案】D 【解析】【分析】先把这组数据按从小到大的顺序排列，根据百分位数的定义可得答案.【详解】把该组数据按照由小到大排列，可得：2.8,3.0,3.3,3.6,4.0,4.8,4.8,5.2,5.7,5.8，由1025% 2.5⨯=，不是整数，则第3个数据3.3是25%分位数．故选：D.6.已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，则12PF PF ⋅的最大值是（）A.254B.9C.16D.25【答案】D 【解析】【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案.【详解】因为1210PF PF +=，所以21212252PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当125PF PF ==时，12PF PF ⋅取到最大值.故选：D.7.实数,x y 满足2220x y x ++=,则1y xx --的取值范围是（）A.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭C.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先对1y x x --化简,令11y t x -=-,则10tx y t -+-=与圆()2211x y ++=有交点，根据点到直线的距离小于等于半径解不等式即可.【详解】()22222011x y x x y ++=⇒++=,()1111111y x y x y x x x -----==----,令11y t x -=-,化简得10tx y t -+-=,所以10tx y t -+-=与圆()2211x y ++=有交点,1≤,解得403t ≤≤,所以111113y x --≤-≤-.故选:C.8.在正四棱锥P ABCD -中，若23PE PB = ，13PF PC =，平面AEF 与棱PD 交于点G ，则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为（）A.746B.845 C.745D.445【答案】B 【解析】【分析】利用A 、E 、F 、G 四点共面，25PG PD = ，由锥体体积公式，求出P AEFP ABCD V V --和P AGF P ABCD V V --的值，即可得P AEFGP ABCDV V --的值.【详解】如图所示，设PG PD λ=，由A 、E 、F 、G 四点共面，设AF xAE y AG =+ ，则()()AP PF x AP PE y AP PG +=+++ ，即()12()()33x AP AB AD AP xAP AB AP y AP y AD AP λλ++-=+-++-，得2120133333x x y y AP AB y AD λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又AP ，AB ，AD 不共面，则203312033103x y y xy λλ⎧--+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得：2=5λ，即25PG PD = ，设1h ，2h 分别是点F 到平面PAE 和点C 到平面PAB 的距离，则12h PF h PC=，所以1229P AEF F PAE PAE PAE P ABC C PAB PAB PAB V S PF PA h P S E V V V S h S P C A PB PF PE P PB F PC P PC ----⋅===⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅ ，12P ABCP ABCD V V --=，19P AEF P ABCD V V --=，同理，215P AGF F PAG P ADC C PAD PA V PG PF PG PF PC P V V V PA P C D PD ----=⋅=⋅=⋅⋅=，12P ADC P ABCD V --=，115P AGF P ABCD V V --=，11891545P AEFG P AGF P AEF P ABCD P ABCD V V V V V -----+=+==则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为845.故选：B【点睛】方法点睛：点共面问题可转化为向量共面问题；求几何体的体积，要注意分割与补形；利用锥体体积公式，棱锥的体积比最终转化为棱长之比.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个3选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论不正确的是（）．A.过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B.直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3--C.直线240x y +-=与直线2410x y ++=之间的距离是2D.已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是5【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，求出过点()1,3A ，()3,1B -的直线的斜率，进而得到倾斜角不为30︒；B 选项，变形后得到方程组，求出恒过点()3,3-；C 选项，直线240x y +-=变形为2480x y +-=，利用两平行线间距离公式求出答案；D 选项，在坐标系中画出点的坐标，利用对称性求出PA PB +的最小值.【详解】A 选项，过点()1,3A ，()3,1B -的直线的斜率为()311132-=--，设直线倾斜角为θ，则1tan 2θ=，由于tan 303︒=，故过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角不为30︒，A 错误；B 选项，直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 变形得到()()34330x y x m m +-++=∈R ，令343030x y x +-=⎧⎨+=⎩，解得33x y =-⎧⎨=⎩，故直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过点()3,3-，B 错误；C 选项，直线240x y +-=变形为2480x y +-=，故与直线2410x y ++=10==，故C 错误；D 选项，在平面直角坐标系中画出()2,3A ，()1,1B -，两点都在x 轴上方，画出()1,1B -关于x 轴的对称点()1,1D --，连接AD ，与x 轴交于点P ，则AD 即为PA PB +的最小值，则()min5PA PB+==，D 正确.故选：ABC10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（其中0,(π,π)ωϕ>∈-）相邻的两个零点为π5π,36，则（）A.函数()f x 的图象的一条对称轴是π6x =B.函数()f x 的图象的一条对称轴是π12x =C.ϕ的值可能是π3D.ϕ的值可能是5π6【答案】BC 【解析】【分析】由5π262π3πT =-=，得到周期，再由1π5π7π23612x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到对称轴方程，然后由π3是零点得到2ππ,Z 3k k ϕ=-∈判断即可.【详解】由5π262π3πT =-=，得2ππT ω==，则2ω=，则1π5π7π23612x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以7π12x =为()f x 的一条对称轴，故()f x 的对称轴可表示为7ππ,Z 122x k k =+⋅∈，故A 错误，B 正确；∵π3是零点，故2ππ,Z 3k k ϕ+=∈，则2ππ,Z 3k k ϕ=-∈（k ∈Z ）.故C 正确，D 错误.故选：BC.11.如图，在三棱锥-P ABC 中，2PA AB AC BC ====，若三棱锥-P ABC 的体积为233V =，则下列说法正确的有（）A.PA BC⊥B.直线PC 与面PAB 所成角的正弦值为64C.点A 到平面PBC 的距离为233D.三棱锥-P ABC 的外接球表面积28π3S =【答案】ABD 【解析】【分析】A.由体积公式，计算点P 到平面ABC 的距离，即可判断；B.根据垂直关系，构造线面角，即可判断；C.利用等体积转化，即可求解并判断；D.根据外接球的半径公式，即可求解并判断.【详解】设点P 到平面ABC 的距离为h ，三棱锥的体积1133223223V h =⨯⨯⨯⨯=，得2h =，因为2PA =，所以PA ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，故A 正确；因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABC ，且平面PAB ⋂平面ABC AB =，取AB 的中点D ，连结,PD CD ，因为ABC 是等边三角形，所以CD ⊥平面PAB ，CPD ∠为直线PC 与面PAB 所成角，3CD =，2222PC PA AC =+=所以6sin 4CD CPD PC ∠==,故B 正确；PBC 中，22PB PC ==，2BC =，所以BC ()22217-=，12772=⨯=PBC S △,设点A 到平面PBC 的距离为h '，则13733h '=，得2217h '=，故C 错误；如图，过ABC 的中心H 作平面ABC 的垂线，过线段PA 的中点M 作PA 的垂线，两条垂线交于点O ，则点O 到四点,,,P A B C 的距离相等，即点O 是三棱锥外接球的球心，ABC 外接圆的半径3232233r HA ==⨯=，12PA OH ==,所以三棱锥外接球的半径222123PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以外接球的表面积228π34πS R ==，故D 正确.故选：ABD12.已知定义在R 上的函数()f x ，对于给定集合A ，若12,R x x ∀∈，当12x x A -∈时都有()()12f x f x A -∈，则称()f x 是“A 封闭”函数，则下列命题正确的是（）A.()3f x x =是“[]1,1-封闭”函数B.定义在R 上函数()f x 都是“{}0封闭”函数C.若()f x 是“{}1封闭”函数，则()f x 一定是“{}k 封闭”函数()*N k ∈D.若()f x 是“[],a b 封闭”函数()*,N a b ∈，则()f x 在区间[],a b 上单调递减【答案】BC 【解析】【分析】特殊值122,1x x ==判断A ；根据定义及函数的性质判断B ；根据定义得到R x ∀∈都有(1)()1f x f x +=+，再判断所给定区间里是否有22()()f x k f x k +-=成立判断C ；举例说明判断D 作答.【详解】对于A ：当122,1x x ==时，121[1,1]x x -=∈-，而12()()817[1,1]f x f x -=-=∉-，A 错误；对B ：对于集合{}0，12,R x x ∀∈使120x x -=，即12x x =，必有12()()0f x f x -=，所以定义在R 上的函数()f x 都是“{}0封闭”函数，B 正确；对C ：对于集合{}1，12,R x x ∀∈使{}121x x -∈，则121x x =+，而()f x 是“{}1封闭”函数，则22(1)()1f x f x +-=，即R x ∀∈都有(1)()1f x f x +=+，对于集合{}k ，12,R x x ∀∈使{}12x x k -∈，则12x x k =+，*N k ∈，而22()(1)1f x k f x k +=+-+，22(1)(2)1f x k f x k +-=+-+，…，22(1)()1f x f x +=+，所以()()()()()()2222221112f x k f x k f x f x k f x k f x k +++-+++=+-++-+++ ，即22()()f x k f x k +=+，故21()()f x f x k -=，()f x 一定是“{}k 封闭”函数()*N k ∈，C 正确；对D ，函数()f x x =，集合[1,2]A =，12,R x x ∀∈，当[]121,2x x m -=∈时，()()[]12121,2f x f x x x m -=-=∈，则函数()f x 是“[1,2]封闭”函数，而函数()f x x =是R 上的增函数，D 错误.故选：BC【点睛】关键点睛：对于C ，根据给定的条件得到R x ∀∈都有(1)()1f x f x +=+，R x ∀∈有()()f x a f x b +=+恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知i 是虚数单位，化简2i1i-+的结果为__________.【答案】13i 22-【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222----===-++-.故答案为：13i 22-.14.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为23和35，则密码被成功破译的概率为________．【答案】1315【解析】【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】设事件A =“甲能破译密码”，事件B =“乙能破译密码”，则事件A 与B 相互独立，且23(),()35P A P B ==，则密码被成功破译的概率为：()()()()()()()()()P P AB P AB P AB P A P B P A P B P A P B =++=++23232313(1)(1)35353515=⨯+-⨯+⨯-=.故答案为：1315.15.已知圆22:(3)(4)9C x y -+-=和两点(,0),(,0) (0)A m B m m ->，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为_____________．【答案】8【解析】【分析】根据给定条件可得点P 是动圆222x y m +=与圆C 的公共点，再借助两圆的位置关系列式求解即得.【详解】因点P 满足90APB ∠=︒，则点P 在以线段AB 为直径的圆上(除点A ，B 外)，即点P 在以原点O 为圆心，m 为半径的圆上，于是得点P 的轨迹方程为：222(0)x y m y +=≠，又圆22:(3)(4)9C x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径为3，而点P 在圆C 上，即圆O 与圆C 有公共点，因此有|3|||3m OC m -≤≤+，而||5OC ==，即3535m m +≥⎧⎨-≤⎩，解得28m ≤≤，当且仅当圆O 与圆C 内切时，m =8，圆O 与圆C 外切时，m =2，所以m 的最大值为8.故答案为：816.设函数π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωω在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个零点，且()f x 的图象在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个最高点，则ω的取值范围是____________．【答案】516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【解析】【分析】结合三角函数的图象，可找到满足条件的π4x ω+所在的区间，解不等式组，可求得结果.【详解】πππππππ(,0(,6446444x x ωωωω∈>∴+∈++ ,()f x 在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个零点，恰有两个最高点，πππ2π2π642,Z 5πππ2π+2π3π244k k k k k ωω⎧≤+<+⎪⎪∴∈⎨⎪<+≤+⎪⎩即331212,Z 228+9811k k k k k ωω⎧-≤<+⎪∈⎨⎪<≤+⎩，当0k <时，不符合题意,当0k =时，不等式组为3322911ωω⎧-≤<⎪⎨⎪<≤⎩，不等式无解，当1k =时,不等式组为2127221719ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，不等式无解，当2k =时，4551,222527.ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩得51252ω<<，当3k =时，6975223335ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，得69352ω≤≤，当4k ≥时,不等式无解.ω∴∈516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故答案为：516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线1l ：2340x y -+=与直线2l ：30x y +-=的交点为M ．（1）求过点M 且与直线1l 垂直的直线l 的方程；（2）求过点M 且与直线3l ：250x y -+=平行的直线l '的方程．【答案】（1）3270x y +-=；（2）230x y -+=．【解析】【分析】（1）先求两条直线的交点,设所求直线斜率k ，利用点斜式设出直线方程，由点到直线的距离公式求出k ，从而确定直线方程；（2）根据直线平行求出直线的斜率,利用点斜式方程求解即可.【详解】（1）由234030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，∴1l ，2l 交点M 坐标为()1,2，∵1l l ⊥，∴直线l 的斜率32k =-，直线l 的方程为()3212y x -=--，即3270x y +-=．（2）∵3//'l l ，∴直线l '的斜率12k =，又l '经过点()1,2M ，∴直线l '的方程为()1212y x -=-，即230x y -+=．18.移动公司在国庆期间推出4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．（1）求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．【答案】（1）56；（2）415.【解析】【分析】（1）选择套餐2和套餐3的客户数除以选择套餐1，2，3的总数即可求解；（2）按照分层抽样计算优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，再按照古典概型计算即可求解.【详解】（1）设事件A 为“从中任选1人获得优惠金额不低于300元”，则()1501005501501006P A +==++.（2）设事件B 为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为：1a ，1b ，2b ，3b ，1c ，2c ，从中选出2人的所有基本事件如下：11a b ，12a b ，13a b ，11a c ，12a c ，12b b ，13b b ，11b c ，12b c ，23b b ，21b c ，22b c ，31b c ，32b c ，12c c ，共15个．其中使得事件B 成立的有12b b ，13b b ，23b b ，12c c ，共4个．则()415P B =.故这2人获得相等优惠金额的概率为415.19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2a c C b b =-．（1）求角B ；（2）已知21b a c =-=，，求ABC 的面积．【答案】（1）π3（2）4【解析】【分析】（1）结合正弦定理及三角恒等变换，化简cos 2a c C b b=-可得cos B 的值，讨论即可得角B （2）结合余弦定理及完全平方公式，可求得ac ，即可由面积公式求得结果【小问1详解】cos ,2cos 22a c C b C a c b b=-∴=- ，由正弦定理可得，2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-，化简可得，sin 2sin cos C C B =，又1πsin 0,cos ,(0,π),23C B B B ≠∴=∈∴= ．【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理可得，2222cos b c a ac B =+-⋅，2222π()22cos ()3b c a ac ac b c a ac ∴=-+-⋅∴=-+，112,1,3,sin 32224ABC b a c ac S ac B =-=∴=∴=⋅=⨯⨯= ．20.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点，OCD 是边长为1的等边三角形，且6A BCD V -=.（1）证明:OA CD ⊥;（2）若2ED AE =，求二面角B EC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4214-【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明AO ⊥平面BCD 即可;（2）取CD 的中点G ，BC 的中点F ，连接,OF OG ，根据条件证明,,OA OF OG 两两垂直，分别以,,OF OG OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，求出平面BEC 和平面ECD 的法向量，根据公式求解即可.【小问1详解】因为AB AD =，O 为BD 的中点，所以AO BD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.【小问2详解】取CD 的中点G ，BC 的中点F ，连接,OF OG ，因为OCD 是边长为1的等边三角形，所以OG CD ⊥，因为//OF CD ，所以OF OG ⊥，由（1）知AO ⊥平面BCD ，所以,,OA OF OG 两两垂直，分别以,,OF OG OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系，因为OCD 是边长为1的等边三角形，O 为BD 的中点，所以1,120OB OC BOC ==∠= ，则30CBD ∠= ，所以BCD △为直角三角形，BC =，因为6A BCD V -=，所以1111326A BCDV AO AO-=⨯⨯=⇒=，则111,,,,,222222B C D⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为2ED AE=，即13AE AD=，设(),,E x y z，(),,1AE x y z=-，1,,122AD⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭，得132,,663E⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，设平面BEC的法向量为()1,,n x y z=，()2232,,,0,333BE BC⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭，则11002200333n BC yx zn BE x y z=⎧⋅==⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅=⎩-++=⎪⎪⎩⎩，令1x=，则()11,0,1n=，设平面ECD的法向量为()2,,b cn a=，()22,,,1,0,0333EC CD⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，则22002322333a an CDca b cn EC-=⎧⎧=⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨=+-=⋅=⎪⎪⎩⎩，令2b=，则(20,n=，所以121212cos,14n nn nn n⋅===⋅，由图可知二面角B EC D--为钝角，则二面角B EC D--的余弦值为14-. 21.已知函数()2()log1(0,1)xaf x a kx a a=++>≠为偶函数．（1）求k的值；（2）设函数()()25f x x xg x a a+=-，若[1,2]x∀∈-，()0g x≤恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）1k=-（2）(,12⎫⎪⎢⎪⎣⎭U 【解析】【分析】（1）由函数()f x 为R 上的偶函数可得()()11f f -=，即可得解；（2）由（1）得2252()x x g x a a -+=，令x t a =，则2252y t t =-+，则要使[1,2]x ∀∈-，()0g x ≤恒成立，只需要函数x t a =的值域是不等式22520t t -+≤的解集的子集即可，再分01a <<和1a >两种情况讨论即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为R ，因为函数()2()log 1(0,1)x a f x a kx a a =++>≠为偶函数，所以()()11f f -=，即()221log 1log 1a a k a k a ⎛⎫+-=++ ⎪⎝⎭，所以()22222111log 1log 1log 221a a a a a a ak a ⎛⎫⎛⎫+-+=⋅=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎭+=⎝，解得1k =-，经检验，符合题意，所以1k =-；【小问2详解】由（1）得()2()log 1x a f x ak =+-，则()2log 12252()25x a x a x x g x a a a a +=--+=，令x t a =，则2252y t t =-+，令22520y t t =-+≤，解得122t ≤≤，要使[1,2]x ∀∈-，()0g x ≤恒成立，只需要函数x t a =的值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集即可，当01a <<时，因为[1,2]x ∈-，所以21,x t a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2121201a aa ⎧≥⎪⎪⎪≤⎨⎪<<⎪⎪⎩，解得12a ≤<，当1a >时，则21,x t a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则211221a a a ⎧≥⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩，解得1a <≤综上所述，a的取值范围为(2,12⎫⎪⎢⎪⎣⎭U ．【点睛】关键点点睛：将[1,2]x ∀∈-，()0g x ≤恒成立，转化为函数x t a =的值域是不等式22520t t -+≤的解集的子集，是解决本题的关键.22.已知圆O 的方程为2216x y +=，直线l 与圆O 交于,R S两点．（1）若坐标原点O 到直线的距离为32，且l 过点(3,0)M ，求直线l 的方程；（2）已知点(4,0)P -，Q 为RS 的中点，若,R S 在x 轴上方，且满足π4OPR OPS ∠+∠=，在圆O 上是否存在定点T ，使得PQT △的面积为定值？若存在，求出PQT △的面积；若不存在，说明理由．【答案】（1）30x -=；（2）存在点(0,4)T ，使PQT S △为定值8.【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为：3x my =+，根据原点O 到直线的距离为32，解出m 的值即可；（2）设1122(,),(,)R x y S x y ，直线RS 的方程为：y kx b =+，利用韦达定理及π4OPR OPS ∠+∠=，可得1k =-，(,)(0)22b b Q b >，从而得点Q 的轨迹为(0y x x =<<，设T ππ(4cos ,4sin ),[0,)(,π)(π,2π)44θθθ∈⋃⋃，可得PQT S =π|1]8sin |4b θθ++-，再根据三角函数的性质即可得解.【小问1详解】解：设直线l 的方程为：3x my =+，因为原点O 到直线的距离为32，32=，解得m =，所以直线l的方程为30x ±-=；【小问2详解】解：设1122(,),(,)R x y S x y ，直线RS 的方程为：y kx b =+，由2216x y y kx b⎧+=⎨=+⎩，可得222(1)2160k x kbx b +++-=，则22222244(1)(16)4(1616)0k b k b k b ∆=-+-=-+>，2121222216,11kb b x x x x k k -+=-=++，所以12121222()21b y y kx b kx b k x x b k +=+++=++=+，因为,R S 在x 轴上方，所以120y y +>，所以0b >，又因为Q 为RS 的中点，所以22(,)11kb b Q k k -++，又因为11tan 4y OPR x ∠=+，22tan 4y OPS x ∠=+，所以πtan()tan14OPR OPS ∠+∠==，即12121212441144y y x x y y x x +++=-⋅++，整理得：12211212(4)(4)(4)(4)y x y x x x y y +++=++-，又因为1122,y kx b y kx b =+=+，整理得：221212(21)(44)()8160k k x x k b kb x x b b +-++-++++-=，代入2121222216,11kb b x x x x k k -+=-=++，化简得(1)4(1)b k k k +=+，所以4b k =或1k =-，当4b k =时，直线RS 过定点(4,0)-不符题意，所以1k =-，所以(,0)22b b Q b >，所以点Q 在直线y x =上，即点Q的轨迹为(02y x x =<<，所以直线:PQ 2(4)42by x b =++，即(4)8b y x b =++，(8)40bx b y b -++=且||PQ =，假设存在满足条件的点T ，其坐标为ππ(4cos ,4sin ),[0,(,π)(π,2π)44θθθ∈⋃⋃，则点T 到直线PQ的距离d ==，所以1||2PQT S PQ d =⋅⋅12=1|4cos 4(8)sin 4|24b b b θθ-++==|cos sin 8sin ||(cos sin 1)8sin |b b b b θθθθθθ=--+=-+-π|)1]8sin |4b θθ=++-，π104θ++=，即πcos()42θ+=-，π3π44θ+=，π2θ=时，PQT S △为定值8，此时T 的坐标为(0,4)，所以存在点(0,4)T ，使PQT S △为定值8.【点睛】关键点睛：本题的关键是得出点Q的轨迹，为后面设点Q的坐标和求Q的坐标作好铺垫.。

吉林省2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷含答案

2024—2025学年上学期高二年级数学学科阶段验收考试试卷（答案在最后）考试时间：90分钟满分：120分命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则下列说法不正确的是（）A.事件{}1,2P =是随机事件B.事件{}0,1,2Q =是必然事件C.事件{}1,2M =--是不可能事件D.事件{}1,0-是随机事件【答案】D 【解析】【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可.【详解】随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则事件{}1,2P =是随机事件，故A 正确；事件{}0,1,2Q =是必然事件，故B 正确；事件{}1,2M =--是不可能事件，故C 正确；事件{}1,0-是不可能事件，故D 错误.故选：D2.已知点()1,0A ，(1,B -，则直线AB 的倾斜角为（）A.5π6B.2π3C.π3 D.π6【答案】B 【解析】【分析】由两点坐标求出斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求【详解】0tan 11AB k α-===--，()0,πα∈，故直线AB 的倾斜角2π3α=.故选：B3.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（）A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【答案】A 【解析】【分析】由独立事件概率乘法公式可得.【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件123,,A A A ，由题知()()()()()()1231230.6,0.4P A P A P A P A P A P A ======，则3人中至少有2人投中的概率为：()()()()123123123123P P A A A P A A A P A A A P A A A =+++320.630.60.40.648=+⨯⨯=.故选：A.4.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()131,,+252P A P B P A B ===，则()P AB =（）A.13B.15C.25D.110【答案】D 【解析】【分析】先利用和事件的概率公式求出()P AB ，然后利用()()()P AB P A P AB =-求解即可.【详解】因为1()2P A =，3()5P B =，所以()251,()2P A P B ==，又()()()()()122512P A B P A P B P AB P AB +=+-=+-=，所以()25P AB =，所以()()()1102512P P P A AB A B ==-=-.故选：D.5.若()2,2,1A ，()0,0,1B ，()2,0,0C ，则点A 到直线BC 的距离为（）A.5B.5C.5D.5【答案】A 【解析】【分析】由题意得()2,2,0BA = ，()2,0,1BC =-，再根据点线距离的向量公式即可求解.【详解】()2,2,0BA = ，()2,0,1BC =- ，则BA 在BC上的投影向量的模为BA BC BC⋅= 则点A 到直线BC5=．故选：A.6.某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流．．．．发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（）A.13B.16C.112 D.524【答案】C 【解析】【分析】由于连胜两局者赢，则可写出四局的结果，计算即可.【详解】由于连胜两局者赢，甲先发球可分为：该局：第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢，则概率为22133231441⨯⨯⨯=；故选：C.7.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T 表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（）A.13B.12C.23D.35【答案】B 【解析】【分析】根据6根算筹，分为五类情况：51,42,33,24,15+++++，逐一分类求解满足要求的两位数，即可求解概率.【详解】根据题意可知：一共6根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为51,42,33,24,15+++++一共五类情况；第一类：51+，即十位用5根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是5或者9，个位为1，则两位数为51或者91；第二类：42+，即十位用4根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是4或者8，个位可能为2或者6，故两位数可能42，46，82，86；第三类：33+，即十位用3根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是3或者7，个位可能为3或者7，故两位数可能是33，37，73，77；第四类：24+，即十位用2根算筹，个位用4根算筹，那么十位为2或6，个位可能为4或者8，则该两位数为24或者28或者64或者68，第五类：15+，即十位用1根算筹，个位用5根算筹，那十位是1，个位为5或者9，则两位数为15或者19；综上可知：用6根算筹组成的满足题意的所有的两位数有：15，19，24，28，33，37，42，46，51，64，68，73，77，82，86，91共计16个，则不小于50的有：51，64，68，73，77，82，86，91共计8个，故概率为81=162，故选：B.8.正三棱柱111ABC A B C -中，12,3,AB AA O ==为BC 的中点，M 为棱11B C 上的动点，N 为棱AM上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的取值范围为（）A.4⎡⎫⎢⎣⎭B.,27⎢⎣⎦C.34747⎢⎣⎦D.【答案】B 【解析】【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.【详解】因为正三棱柱11ABC A B C -中,O 为BC 的中点，取11B C 中点Q ，连接OQ ，如图，以O 为原点，,,OC OA OQ 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,,1,0,,1,0,O A B C -，因为M 是棱11B C上一动点，设(M a ，且[1,1]a ∈-，所以(()0OM OA a ⋅=⋅=，则OA OM ⊥，因为ON AM ⊥，且MN MOMO MA=所以在直角三角形OMA 中可得：~OMN AMO 即222MO MN MA===，于是令tt =∈，2233tt t t-==-，t ∈，又符合函数3=-y t t 为增增符合，所以在t ∈上为增函数，所以当t =min 32t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即线段MN 长度的最小值为62，当t =时，max 37t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即线段MN长度的最大值为7，故选：B.【点睛】关键点睛：1.找到~OMN AMO ，再利用函数单调性求出最值.2.建系，设出动点(M a ，利用空间向量法求出ON AM ⊥，再结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的是（）A.若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，则这两个向量可能相等；B.在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11ACC A ；C.对于空间三个非零向量,,a b c，一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 成立；D.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是棱11A D ，AB 的中点，则异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25．【答案】ABD 【解析】【分析】由相等向量的概念即可判断选项A ，利用线面垂直的判定定理证明即可判断选项B ，由数量积的性质即可判断选项C ，建立空间直角坐标系利用向量的坐标即可计算异面直线MD 与NC 所成角的余弦值判断选项D.【详解】若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，而当两向量方向和长度相等时，这两个向量相等；故A 正确；在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中，即直棱柱1111ABCD A B C D -中底面为菱形，因为BD AC ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AA AC A = ，所以BD ⊥平面11ACC A ；故B 正确；对于空间三个非零向量,,a b c ，有()a b c c λ⋅⋅= ，()a b c a μ⋅⋅=，所以不一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅成立，故C错误；建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,2M ，()2,1,0N ，()0,2,0C ，所以()1,0,2DM = ，()2,1,0NC =-，所以2cos ,5DM NC ==-，所以异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25，故D 正确.故选：ABD.10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x 表示第一次抛掷骰子的点数，数字y 表示第二次抛掷骰子的点数，用(),x y 表示一次试验的结果．记事件A =“7x y +=”，事件B =“3x ≤”，事件C =“()21N xy k k *=-∈”，则（）A.()14P C =B.A 与B 相互独立C.A 与C 为对立事件D.B 与C 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6636⨯=个；其中事件A =“7x y +=”包含的样本点有：()1,6，()2,5，()3,4，()4,3，()5,2，()6,1共6个；事件C =“()*21Nxy k k =-∈”，包含的样本点有：()1,1，()3,3，()5,5，()1,3，()1,5，()3,1，()3,5，()5,1，()5,3共9个，事件B =“3x ≤”，包含的样本点有：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()3,5，()3,6共18个，对于A ，()91364P C ==，故A 正确；对于B ，事件AB 包含的样本点有()1,6，()2,5，()3,4共3个，所以()()()6118131,,3663623612P A P B P AB ======，所以()()()P A P B P AB =，所以A 与B 相互独立，故B 正确；对于C ，A C U 包含的样本点个数满足691536+=<，所以A 与C 不为对立事件，故C 错误；对于D ，事件BC 包含的样本点有：()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，共6个，而()14P C =，()12P B =，()61366P BC ==，从而()()()1816P P P BC B C ≠==，所以B 与C 不相互独立，故D 错误.故选：AB.11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条长为3的线段B.存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD C.三棱锥1Q A PD -的最大体积为518D.若12D Q =，且1D Q 与平面1A PD 所成的角为θ，则sin θ【答案】ACD 【解析】【分析】在111,BC CC 取点,E F ，使得1112,2C E B E C F CF ==，证得平面//DEF 平面1A PD ，进而得到1//D Q 平面1A PD ，可判定A 正确；以1D 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面1A PD 的一个法向量(3,2,3)m =-，根据1D Q m λ= ，得出矛盾，可判定B 不正确；利用向量的数量积的运算及三角形的面积公式，求得16A PD S =,在求得点Q 到平面1A PD的最大距离max d =，结合体积公式，可判定C 正确；根据题意，求得点点Q 的轨迹，结合线面角的公式，求得11(,1,)22Q 时，取得最大值，进而可判定D 正确.【详解】对于A 中，如图所示，分别在111,BC CC 取点,E F ，使得1112,2C E B E C F CF ==，可得1//EF B C ，因为11//A D B C ，所以1//EF A D ，因为1A D ⊂平面1A PD ，EF ⊄平面1A PD ，所以//EF 平面1A PD ，又由11//D F A P ，且1A P ⊂平面1A PD ，1D F ⊄平面1A PD ，所以1//D F 平面1A PD ，又因为1EF D F F ⋂=，且1,EF D F ⊂平面DEF ，所以平面//DEF 平面1A PD ，且平面DEF ⋂平面11BCC B EF =，若1//D Q 平面1A PD ，则动点Q 的轨迹为线段EF ，且223EF =，所以A 正确；对于B 中，以1D 为原点，以11111,,D A D C D D 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得12(1,0,0),(0,0,1),(1,1,)3A D P ，则112(1,0,1),(0,1,)3A D A P =-= ，设(,1,)(01,01)Q x z x z ≤≤≤≤，可得1(,1,)D Q x z =，设(,,)m a b c = 是平面1A PD 的一个法向量，则110203m A D a c m A P b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3c =，可得3,2z b ==-，所以(3,2,3)m =-，若1D Q ⊥平面1A PD ，则1//D Q m，所以存在R λ∈，使得1D Q m λ= ，则3[0,1]2x z ==-∉，所以不存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD ，所以B 错误；对于C 中，由112(1,0,1),(0,1,3A D A P =-=，可得1111132,33A D A P A D A P ==⋅=，则11cos ,A D A P =11sin ,A D A P = ，所以111111sin 2236A PD S A D A P DA P =⋅∠=⨯ ,要使得三棱锥1Q A PD -的体积最大，只需点Q 到平面1A PD 的距离最大，由1(1,1,)AQ x z =- ，可得点Q 到平面1A PD的距离1)5A Q m d x z m ⋅==+-，因为01,01x z ≤≤≤≤，所以当0x z +=时，即点Q 与点1C重合时，可得max d =，所以三棱锥1Q A PD -的最大体积为111533618A PD S =⋅=，所以C 正确；对于D 中，在正方体中，可得11D C ⊥平面11BCC B ，且1C Q ⊂平面11BCC B ，所以111D C C Q ⊥，则12C Q ==，所以点Q 的轨迹是以1C为圆心，以2为半径的圆弧，其圆心角为π2，则1(,0,)C Q x z =，所以12C Q == ，即2212x z +=，又由1(,1,)D Q x z =，设1D Q 与平面1A PD 所成的角θ，所以111sin cos ,m D Q m D Q m D Qθ⋅===，因为2212x z +=，可得222()2()x z x z +≤+，当且仅当x z =时，等号成立，所以1x z +≤，即12x z ==时，1D Q 与平面1A PD 所成的角最大值，sin θ=D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略：1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，第14题第一个空2分，第二个空3分，共15分．12.已知()3,2,1a =- ，()2,1,2b =r，当()()2ka b a b +⊥- 时，实数k 的值为____________．【答案】6【解析】【分析】由题意依次算得22,,a b a b ⋅ 的值，然后根据()()2ka b a b +⊥-列方程即可求解.【详解】因为()3,2,1a =-，()2,1,2b = ，所以()2294114,4149,3221126a ba b =++==++=⋅=⋅+⋅+-⋅=，因为()()2ka b a b +⊥-，所以()()()()22221214186122120ka b a b ka b k a b k k k +⋅-=-+-⋅=-+-=-=，解得6k =.故答案为：6.13.柜子里有3双不同的鞋子，分别用121212,,,,,a a b b c c 表示6只鞋，从中有放回地．．．．取出2只，记事件M =“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件M 的概率是____________．【答案】13【解析】【分析】列举法写出试验的样本空间，根据古典概型的概率公式直接可得解.【详解】设111,,a b c 表示三只左鞋，222,,a b c 表示三只右鞋，则从中有放回取出2只的所有可能为：()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ，共计36种，其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种，()121363P M ∴==.故答案为：13.14.已知正四面体ABCD 的棱切球1T （正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球2T 的半径为______；若动点,M N 分别在1T 与2T 的球面上运动，且满足MN x AB y AC z AD =++，则2x y z ++的最大值为______．【答案】①.3②.26+【解析】【分析】第一空：将正四面体ABCD 放入正方体中，由等体积法可知，只需求出正四面体的表面积以及体积即可列式求解该正四面体的内切球2T 的半径；第二空：由不等式可知，()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤，只需求出max MN 、minAT 即可.【详解】第一空：连接,AD EF ，设交点为M ，则M 是AD 中点，如图所示，将正四面体ABCD 放入正方体中，由对称性可知正方体中心就是正四面体ABCD 的中心，设正方体棱长为2a ，则棱切球球心到正四面体ABCD 的六条棱的距离都等于a ，设正四面体ABCD 的棱切球1T 的半径为1r ，所以11r a ==，正方体棱长为2，AD =，而正四面体ABCD 的体积为1182224222323A BCD V -⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，正四面体ABCD的表面积为(21422A BCD S -=⨯⨯⨯=设该正四面体的内切球2T 的半径为r，则由等体积法可知，1833⨯=，解得33r =；第二空：取任意一点T ，使得()22x y z AT MN xAB y AC z AD xAO y AC z AD ++==++=++，所以点T 在面OCD 内（其中O 是AB 中点），所以()13213x y z AT MN r r ++=≤+=+，而点A 到平面OCD 的距离为d AO ==所以()1232226x y z AT x y z x y z AT+++++≤++=≤+，等号成立当且仅当2x y z ++是正数且,T O重合且13MN =+ ，综上所述，2x y z ++的最大值为26+.故答案为：33，2626+.【点睛】关键点点睛：第二空的关键是得出()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤，由此即可顺利得解.四、解答题：本大题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==．设1,,AB a AC b AA c ===．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，求异面直线MN 与AC 的夹角的余弦值．【答案】（1）122333a b c-++（2）11【解析】【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可；（2）先用基向量,,a b c 表示AC 与MN ，然后求解MN 与AC 以及数量积MN AC ⋅，然后计算夹角的余弦值即可.【小问1详解】由图可得：()()1111111112123333MN MB BB B N A B AA B C AB AA AA AC AB=++=++=-++- 1122122333333AB AC AA a b c =-++=-++.【小问2详解】由（1）可知122333MN a b c =-++ ，因为11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，所以0a b ⋅=，12a c ⋅= ，12b c ⋅= ，2222212214444814424110333999999999999MN a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=-++=++-⋅-⋅+⋅=++--+= ⎪⎝⎭ ，所以113MN = ，AC b = ，1AC =，212212221·133333333MN AC a b c b a b b c b ⎛⎫⋅=-++=-⋅++⋅=+= ⎪⎝⎭所以cos ,11MN AC MN AC MN AC⋅==，所以异面直线MN 与AC的夹角的余弦值为11.16.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，,E F 分别为1BB ，1CC的中点．（1）证明：1A F ∥平面CDE ；（2）求三棱锥1A CDE -的体积；（3）求直线1A E 与平面CDE 所成的角．【答案】（1）证明过程见解析（2）16（3）π6【解析】【分析】（1）借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系，求出空间向量1A F与平面CDE 的法向量后，借助空间向量计算即可得；（2）求出空间向量1A E与平面CDE 的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值，进一步求得三棱锥的高以及底面积即可得解.（3）由（2）可知直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值，从而即可得解.【小问1详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两垂直，且122AA AB ==，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,2A.因为E ，F 分别为11,BB CC 的中点，所以()1,0,1E ，()1,1,1F ，则()1,0,0CD =- ，()0,1,1CE =- ，()11,1,1A F =-，设平面CDE 的法向量为(),,m x y z = ，则00CD m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则有0x =，1z =，即()0,1,1m =，因为()11011110A F m ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以1A F m ⊥ ，又1⊄A F 平面CDE ，所以1//A F 平面CDE ；【小问2详解】由（1）可知，()11,0,1A E =-，1111cos ,2A E m A E m A E m⋅==-，所以1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12.注意到1A E =所以点1A 到平面CDE122=，而()1,0,0CD =- ，()0,1,1CE =-，从而0CD CE =⋅，1,CD CE == 所以CD CE ⊥，三角形CDE的面积为1122⨯=，所以三棱锥1A CDE -的体积为113226⨯⨯=；【小问3详解】由（2）可知，1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12，所以直线1A E 与平面CDE 所成的角为π6.17.2023年10月31日，东北师大附中以“邂逅数学之美，闪耀科技之光”为主题的第17届科技节在自由、青华两校区开幕.在科技节中数学教研室组织开展了“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球4个，白球2个（红球编号为“1，2，3，4”，白球编号为“5，6”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个红球获胜编号之和不超过m 获胜（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）甲同学先玩了游戏一，当m 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．【答案】（1）13，49（2）m 可能取值为7,8,9,10,11【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；（2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解.【小问1详解】设事件A 表示“游戏一获胜”，B 表示“游戏二获胜”，C 表示“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为{}1Ω1,2,3,4,5,6=，则()1Ω6n =，()2n A =，()2163P A ∴==，所以游戏一获胜的概率为13．游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间(){}21Ω,,Ωx y x y =∈，则()2Ω36n =，而(){}{},,1,2,3,4B x y x y =∈，所以()16n B =，()164369P B ∴==，所以游戏二获胜的概率为49．【小问2详解】设M 表示“先玩游戏二，获得书券”，N 表示“先玩游戏三，获得书券”，则M ABC ABC ABC =⋃⋃，且ABC ，ABC ，ABC 互斥，,,A B C 相互独立，()()()()()P M P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ∴=⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P B P C P A P B P C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()1424141393939P C P C P C ⎡⎤=⨯-+⨯+⨯⎣⎦()482727P C =+，则N AC B ACB ACB =⋃⋃，且,AC B ACB ACB 互斥，,,A B C 相互独立，()P N =()()()()P ACB ACB ACB P ACB P ACB P ACB ⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P C P B P A P C P B P A P C P B ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()152414393939P C P C P C =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1727P C =，若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大，则()()P N P M >，即()()1748272727P C P C >+，解得()49P C >，设游戏三中两次取球的编号和为X ，则()26113C 15P X ===，()26114C 15P X ===，()26225C 15P X ===，()26226C 15P X ===，()26337C 15P X ===，()26228C 15P X ===，()26229C 15P X ===，()261110C 15P X ===，()261111C 15P X ===，所以当3m =时，()()143159P C P X ===<，不合题意；当4m =时，()()()2434159P C P X P X ==+==<，不合题意；当5m =时，()()()()44345159P C P X P X P X ==+=+==<，不合题意；当6m =时，()()()()()643456159P C P X P X P X P X ==+=+=+==<，不合题意；当7m =时，()()()()()()9434567159P C P X P X P X P X P X ==+=+=+=+==>，符合题意；所以当7m ≥时，都有()49P C >，所以符合题意的m 的取值有7,8,9,10,11.18.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上的三点，设a O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，劣弧BC 的长度记为a ，同理，圆b O ，c O 的劣弧AC 、AB 的长度分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．如果二面角,,C OA B A OB C B OC A ------的大小分别为,,αβγ，那么球面三角形的面积为()2++πABC S R αβγ=- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设1AOC θ∠=，2BOC θ∠=，3AOB θ∠=．①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，,(0,1]BE BD λλ=∈，S 为AC 的中点，T 为BC 的中点．设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求cos θ的最大值及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②cos 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面,,OAB OAC OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-= 球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：2222122222222232cos 2cos 2cos AC R R R BC R R R AB R R R θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =，则2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A B C D ，可得()20,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，)26,,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则222202202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，因为cos cos ,m n m n m n θ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ5=，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x yz=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路:直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=.2.利用空间向量求点到平面距离的方法:设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。

高二数学(人教B版)选修1-1阶段性测试题2

阶段性测试题二(椭圆、双曲线阶段性检测)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．平面上有两个定点A 、B 及动点P ，命题甲：“|P A |－|PB |是定值”，命题乙“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 当|P A |－|PB |＝|AB |时，点P 的轨迹是一条射线，故甲⇒/ 乙，而乙⇒甲，故选B.2．如果双曲线经过点(6，3)，且它的两条渐近线方程是y ＝±13x ，那么双曲线方程是( )A.x 236－y 29＝1 B.x 281－y 29＝1 C.x 29－y 2＝1 D.x 218－y 23＝1 [答案] C[解析] 设双曲线方程为⎝⎛⎭⎫13x ＋y ⎝⎛⎭⎫13x －y ＝λ将点(6，3)代入求出λ即可．答案C. 3．双曲线与椭圆x 25＋y 2＝1共焦点，且一条渐近线方程是3x －y ＝0，则此双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1B.y 23－x 2＝1 C ．x 2－y 23＝1D.x 23－y 2＝1 [答案] C[解析] ∵椭圆x 25＋y 2＝1的焦点为(±2,0)，∴双曲线的焦点为(±2,0)，排除A 、B. 又选项D 的渐近线为y ＝±33x ，故选C.4．若方程x 2a －y 2b ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是( )A.－b >aB.－b <aC.b >－aD.b <－a [答案] A[解析] 方程x 2a －y 2b＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴b <0，∴－b >a .5．设双曲线焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率为( )A ．5 B. 5 C.52D.54 [答案] C[解析] ∵b a ＝12，∴b 2a 2＝14＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝14，∴e 2＝54，e ＝52.6．在下列各对双曲线中，既有相同的离心率又有相同的渐近线的是( ) A.x 23－y 2＝1和x 29－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1和x 2－y 23＝1 C ．y 2－x 23＝1和x 2－y 23＝1 D.x 23－y 2＝1和y 23－x 29＝1 [答案] A[解析] A 中离心率都为233，渐近线都为y ＝±33x .7．若不论k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋b 与曲线x 2－y 2＝1总有公共点，则b 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－2,2)D ．[－2,2] [答案] B[解析] 由直线过点(2，b )，因为x ＝2时，y 2＝x 2－1＝3，所以y ＝±3，所以b ∈[－3，3]，故选B.8．已知以F 1(－2,0)、F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2 [答案] C[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1x ＋3y ＋4＝0，得(a 2＋3b 2)y 2＋83b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0，可得a 2＝7，∴2a ＝27. 9．A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫22，53，C (x 2，y 2)为椭圆x 29＋y225＝1上三点，若F (0,4)与三点A 、B 、C 的距离为等差数列，则y 1＋y 2的值为( )A.43 B.103 C.163 D.223 [答案] B [解析]|AF |a 2c －y 1＝c a ，即|AF |＝5－45y 1，|CF |a 2c－y 2＝c a ，即|CF |＝5－45y 2，|BF |＝8＋499＝113.由题意知2|BF |＝|AF |＋|CF |，所以5－45y 1＋5－45y 2＝223，所以y 1＋y 2＝103.10．a ≠0，b ≠0，则方程ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 表示的曲线可能是( )[答案] C[解析] 由图象可知选C.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 [答案] B[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1的离心率为e 2＝m 2－b 2m，由e 1·e 2＝1得a 2＋b 2a ·m 2－b 2m＝1，∴a 2＋b 2＝m 2，∴a ，b ，m 为边长的三角形一定是直角三角形．12．已知F (c,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为m ，最小值为n ，则椭圆上与点F 的距离为m ＋n2的点是( )A ．(c ，±b 2a )B ．(c ，±ba )C ．(0，±b )D ．不存在 [答案] C[解析] 在椭圆中，m ＋n 2＝(a ＋c )＋(a －c )2＝a ，而a 2＝b 2＋c 2，所以短轴端点(0，±b )与F 的距离为a .二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确的答案填在题中横线上) 13．已知椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为________．[答案]22[解析] 由题意a 2＋a 2＝4c 2，所以e ＝c a ＝22.14．(2009·辽宁)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．[答案] 9[解析] 设右焦点为F ′，由题意知F ′(4,0)．由双曲线定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|P A |＝4＋|PF ′|＋|P A |，∴要使|PF |＋|P A |最小，只需|PF ′|＋|P A |最小即可，|PF ′|＋|P A |最小需P ，F ′，A 三点共线，最小值即4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝4＋5＝9.15．与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为__________．[答案] 2x 25－2y 25＝1[解析] ∵双曲线的两渐近线互相垂直， ∴双曲线为等轴双曲线，又c 2＝5，∴a 2＝b 2＝52.16．点P 是双曲线x 24－y 2＝1上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．[答案] x 2－4y 2＝1[解析] 设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，由中点坐标公式可得x 0＝2x ，y 0＝2y ，代入双曲线方程得(2x )24－(2y )21＝1，即x 2－4y 2＝1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知双曲线E 的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率e ＝62，且双曲线过点P (2，32)，求双曲线E 的方程．[解析] 当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝c a ＝62，∴c 2＝32a 2，b 2＝12a 2，又点P (2,32)在双曲线上，解得a 2＝－32(舍去)．当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，同理解得a 2＝10，b 2＝5， ∴双曲线E 的方程为：y 210－x 25＝1.18．(本题满分12分)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m . (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围． (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[解析] (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1y ＝x ＋m，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点．所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由韦达定理，得x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)．所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2[4m 225－45(m 2－1)] ＝2510－8m 2，所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .19．(本题满分12分)在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝12，tan ∠MNP ＝－2，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点且过点P 的双曲线方程．[解析] 以MN 所在直线为x 轴，MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设P (x 0，y 0)，M (－c,0)，N (c,0)(y 0>0，c >0)，如图所示，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0＋c ＝12，y0x 0－c ＝2，12×2c ×y 0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝536，y 0＝233，c ＝32，设双曲线的方程为x 2a 2－y 234－a 2＝1，将P (536，233)代入，可得a 2＝512，所以所求双曲线的方程为x 2512－y 213＝1. 20．(本题满分12分)椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两端点B 1、B 2的连线互相垂直，且此焦点与较近的长轴端点A 的距离为10－5，求椭圆方程．[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义知Rt △B 2OF 中，有|B 2F |＝a ＝|B 1F |，又△B 2FB 1为等腰直角三角形，则|OB 2|＝|OF |＝b ，∴a ＝2c ，由已知|F A |＝a －c ，则有⎩⎨⎧a －c ＝10－5a ＝2c解之得c ＝5，故b ＝5，a ＝10. ∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1.21．(本题满分12分)已知α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，试讨论当α的值变化时，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示曲线的形状．[解析] 当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1化为y 2＝1，即y ＝±1，方程表示两条直线，当0<α<π4时，0<sin α<cos α，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在x 轴上的椭圆；当α＝π4时，sin α＝cos α＝22，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1化为x 2＋y 2＝2， ∴方程表示以原点为圆心，以42为半径的圆；当π4<α<π2时，sin α>cos α>0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；当α＝π2时，sin α＝1，cos α＝0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1化为x ＝±1， ∴方程表示两条直线．22．(本题满分14分)已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，过其右焦点F 作倾斜角为π4的直线，交椭圆于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ ，求此椭圆的离心率e .[解析] 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线方程为y ＝x －c ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) 得， (a 2＋b 2)x 2－2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2，又y 1＝x 1－c ，y 2＝x 2－c ，∴y 1y 2＝x 1x 2－c (x 1＋x 2)＋c 2＝b 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2，∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2＋b 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2＝0，又b 2＝a 2－c 2，化简得c 4－4a 2c 2＋2a 4＝0，∴e 4－4e 2＋2＝0，e 2＝2－2，e ＝2－ 2.。

2022-2023学年人教版高二数学阶段复习精练选择性必修一-综合检测卷(基础解析版)

选择性必修一本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．三棱柱ABC DEF -中，G 为棱AD 的中点，若,,BA a BC b BD c ===，则CG =（）A ．a b c -+-B ．1122a b c -+C ．12a b c -++D ．1122-++a b c【答案】B 【解析】()()()()1111122222CG CA AG CA AD BA BC BD BA a b c a a b c =+=+=-+-=-+-=-+．故选：B2．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(0,1)C -，过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（） A ．(2,3)-B ．(2,0)(0,3)-⋃C ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞D ．以上都不对【答案】C【解析】如图所示：∵过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，∵直线l 的斜率k ≥kBC 或AC k k ≤， ∵直线l 的斜率3k ≥ 或2k ≤-，∵直线l 斜率k 的取值范围：(,2][3,)-∞-⋃+∞，故选：C ．3．点A ，B 分别在空间直角坐标系O -xyz 的x ，y 正半轴上，点C （0，0，2），平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C—AB—O 的大小为θ，则cos θ的值为（）A ．BC ．23-D ．23【答案】D【解析】设平面ABO 的法向量为(,,)m x y z =，设(,0,0)(0),(0,,0)(0)A a a B b b >>，则(,0,0),(0,,0)OA a OB b ==，于是有：00(0,0,1)00ax OA m m by OB m ⎧=⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨=⋅=⎩⎩，因此2cos 312m n m nθ⋅===⋅⨯，故选：D 4．给出下列命题：∵若空间向量a b ，满足a b =则a b = ∵空间任意两个单位向量必相等∵若空间向量a b c ，，满足a c b c ⋅=⋅，则a b = ∵在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，必有11BD B D =∵向量a =（1，1，0；其中假命题的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】在∵中，若空间向量a b ，满足a b =，向量a 与b 方向不一定相同，故∵是假命题；在∵中，空间任意两个单位向量的模必相等，但方向不一定相同，故∵是假命题；在∵中，若空间向量a b c ，，满足a c b c ⋅=⋅，，则向量a 与b 不一定相等，故∵是假命题；在∵中，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，由向量相等的定义得必有11BD B D =，故∵是真命题；在∵中，由模的定义得向量a =（1，1，0，故∵是真命题．故选：C ．5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则直线1A E 与平面11A BC 所成角的正弦值为（）A ．35B ．55C ．515 D ．1515【答案】D【解析】以点D 为坐标原点，向量1,,DA DC DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则1(1,0,1)A，(1,1,0)B，1(0,1,1)C，11,,02E⎛⎫⎪⎝⎭，可得11(1,1,0)AC=-，1(1,0,1)BC=-，110,,12A E⎛⎫=-⎪⎝⎭，设面11A BC的法向量为(,,)n x y z=，有111A C n x yBC n x z⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x=，则(1,1,1)n=，所以111122⋅=-=-A E n，152=A E，||3n=，则直线1A E与平面11A BC所成角的正弦值为115215532-=⨯．故选：D.6．已知双曲线22221x ya b-=（0a>，0b>）的左、右焦点分别为1F，2F，点A的坐标为,02a⎛⎫-⎪⎝⎭，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且1212∠=∠F PF F PA，点Q是线段2PF的中点，且1F，Q关于直线P A对称，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．32D【答案】C【解析】由题设，易知：121||||||2PF PQ PF==，由1212∠=∠F PF F PA知：1122||||1||||2PF AFPF AF==，即1222acac-=+，整理得：32cea==.故选：C7．已知圆221:420C x y x y+-+=与圆222:240C x y y+--=相交于A､B两点，则圆()()22:331C x y++-=上的动点P到直线AB距离的最大值为（）A1B．1C．12+D1【答案】A【解析】圆221:(2)(1)5C x y-++=的圆心1(2,1)C-，半径1r=222:(1)5C x y+-=的圆心2(0,1)C，半径2r12||C C =121212||||||r r C C r r -<<+，即圆1C 与2C 相交，直线AB 方程为：10x y --=，圆()()22:331C x y ++-=的圆心(3,3)C -，半径1r =，点C 到直线AB 距离的距离d ==所以圆C 上的动点P 到直线AB 1.故选：A8．已知直线:10l mx y +-=与圆2216x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则当AB 最小时，CD =（）A ．4B ．C ．8D ．【答案】D【解析】：直线:10l mx y +--=过定点)P，AB 最小时，OP AB ⊥，∴圆心到直线l 的距离2d OP ==，∴AB =因为OP k ==AB k =AB 的倾斜角为120，过点D 作DE CA ⊥交AC 于点E ，则DE AB ==在Rt CDE △中30DCE ∠=︒，所以2sin 30DE CD AB ===︒故选：D一、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知两条直线()12:2320,:60l a x y a l x ay -++=++=，则下列结论正确的是（） A ．当12a =时，12l l ⊥ B ．若12l l //，则1a =-或3a = C ．当2a =时，1l 与2l 相交于点104,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．直线1l 过定点42,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】：因为()12:2320,:60l a x y a l x ay -++=++=，对于A ：当12a =时，1231:310,:6022l x y l x y -++=++=，则112l k =、22l k =-，所以121212l l k k ⋅=-⨯=-，所以12l l ⊥，故A 正确；对于B ：若12l l //，则()213a a -⨯=⨯，解得1a =-或3a =，当1a =-时，12:3320,:60l x y l x y -+-=-+=满足题意，当3a =时12:360,:360l x y l x y ++=++=，1l 与2l 重合，故3a =舍去，所以1a =-，故B 错误；对于C ：当2a =时，12:340,:260l y l x y +=++=，则340260y x y +=⎧⎨++=⎩，解得43103y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即两直线的交点为104,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ：()1:2320l a x y a -++=，即()2320x a y x ++-=，令20320x y x +=⎧⎨-=⎩，即243x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即直线1l 过定点42,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：ACD10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，()00,M x y 是抛物线C 上一个动点，点(0,2)A ，则下列说法正确的是（） A ．若5MF =，则04y =B ．过点A 与抛物线C 有一个公共点的直线有3条 C ．MF MA +D ．点M 到直线30x y -+=的最短距离为【答案】BC【解析】A 选项，过点M 作MA 垂直抛物线准线1x =-于点B ，根据抛物线定义可知：5MF MB ==，即015x +=，解得：04x =，代入抛物线中得：04y =±，故A 错误；B 选项，过点A 平行于x 轴的直线2y =与抛物线有一个公共点，过点A 的y 轴，与抛物线相切，有一个公共点，当直线斜率存在时，设过点A 的直线方程为2y kx -=，与抛物线联立得：()224440k x k x +-+=，由0∆=得：12k =，即122y x =+与抛物线相切，只有一个交点，综上：共有3条，B 正确；C 选项，由抛物线方程可知：()1,0F ，连接AF ，与抛物线交于一点，由两点之间，线段最短，可知，此点即为符合要求的M 点，此时MF MA +最小，最小值为145+=，C 正确；D 选项，设与30x y -+=平行且与抛物线相切的直线为:0l x y c -+=，此时直线:0l x y c -+=与抛物线的切点即为M ，则:0l x y c -+=与30x y -+=的距离即为点M 到直线30x y -+=的最短距离d ，联立:0l x y c -+=与抛物线方程得：()22240x c x c +-+=，由()222440c c ∆=--=解得：1c =，故d ==D 选项错误.故选：BC11．已知线段BC 的长度为4，线段AB 的长度为m ，点D ,G 满足AD DC =，0DG AC ⋅=，且G 点在直线AB 上，若以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则（）A ．当4m =时，点G 的轨迹为圆B ．当68m ≤≤时，点G 的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．当2m =时，点G 的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为y =D ．当5m =时，BCG 面积的最大值为3 【答案】BCD【解析】根据题意可知：点A 的轨迹为以B 为圆心，半径为m 的圆B ，点D 为线段AB 的中点，点G 为线段AC 的中垂线与直线AB 的交点，则GA GC =当4m =时，线段AC 为圆B 的弦，则AC 的中垂线过圆心B ，点G 即点B ，A 错误；当68m ≤≤时，如图1，点G 在线段AB 上，连接GC则GC GB GA GB AB m +=+==∵点G 的轨迹为以B ，C 为焦点，长轴长为m 的椭圆，即,22m ac则椭圆的离心率，B 正确；当G 为椭圆短轴顶点时，BCG 面积的最大若5m =时，则2253,2,22ac b a c ，最大面积为3bc =，D 正确；当2m =时，过点C 作圆B 的切线，切点为,M N若点A 在劣弧MN （不包括端点,M N ）上，如图2，点G 在BA 的延长线上，连接GC 则2GB GC GB GA AB -=-==∵点G 的轨迹为以B ，C 为焦点，长轴长为m 的双曲线的左半支若点A 在优弧MN （不包括端点,M N ）上，如图3，点G 在AB 的延长线上，连接GC 则2GC GB GA GB AB -=-==∵点G 的轨迹为以B ，C 为焦点，长轴长为m 的双曲线的右半支则点G 的轨迹为双曲线∵1,2,a c b ===by x a=±=，C 正确；故选：BCD ．12．已知圆22:(3)9C x y -+=，直线:440()l mx y m m R +--=∈，则下列结论正确的有（）A ．当3m =时，圆C 上恰有两个点到直线l 的距离等于2B ．对于任意实数m ，直线l 恒过定点(1,1)C ．若直线l 交圆C 于A ，B 两点，则弦长AB 的最小值为4D ．D 是圆C 上的动点，点(2,4)E ，若动点M 满足2DM DE ，则点M 的轨迹方程为22(1)(8)9x y -+-=【答案】BCD【解析】选项A 中，圆22:(3)9C x y -+=的圆心坐标为(3,0)，半径3r =，当3m =时，直线:3470l x y +-=，圆心C 到直线l 的距离25d =，2133255r d -=-=> ，∴圆C 上有4个点到直线l 的距离等于2，故A 错误；选项B 中，化直线l 为(1)440m x y -+-=，联立10440x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，∴直线l 过定点(1,1)，故B 正确；选项C 中，定点(1,1)N 与圆心(3,0)C 的距离||5NC ，则22min ||2||4AB r NC ，故C 正确；选项D 中，设(,)M x y ，(,)D a b ，由2DMDE 可得：4282x a a y b b -=-⎧⎨-=-⎩，所以48a xb y=-⎧⎨=-⎩，又因为点D 在圆22:(3)9C x y -+=上，所以可得：22(43)(8)9x y --+-=，所以22(1)(8)9x y -+-=，故D 正确.故选：BCD . 三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，P 为C 右支上一点，P 与 x 轴切于点 F 与 y 轴交于点 A ，B ，60APB ∠=︒，则C 的离心率为_____________.【解析】不妨设点 P 在 x 轴的上方，因为PF x ⊥轴，将P x c =代入22221x y a b -=，得2P b y PF a ==，因为60APB ∠=︒，PA PB PF ==，则有AB PF =，且ABP △为等边三角形，所以2b c a=，即)222ac c a -，所以210c ca a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()1,c e a =∈+∞，所以==ce a14．已知点P 是x 轴上的任意一点，(0,2)A -，(3,0)B -，则2||||AP BP +的最小值为_________.【答案】3+3【解析】如图，过B 点作倾斜角为6π的一条直线:3)BM y x =+，过点P 作PE BM ⊥于E ，则||1||2PE PB =，即1||||2PE PB =，所以1||||||||||2AP BP AP PE AE +=+≥，A 到直线BM 的距离d =因此2||||AP BP +的最小值为3+故答案为：323+15．已知平面α的法向量是3115a x x =--+(，，)，平面β的法向量是213b x x x =++-(，，)，且αβ⊥，则实数x 的值为____．【答案】1-或4##4或1- 【解析】αβ⊥，a b ∴⊥，2311350a b x x x x x ∴⋅=-+-+-+=()()()()，解得1x =-或4x =．故答案为：1x =-或4x =．16．已知双曲线22221x y a b-=，（0a >，0b >）的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c 过1F 的直线l 与圆2221:24c C x c y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第四象限交于一点M ，且有2MF x ⊥轴，则直线l 的斜率是___________，双曲线的渐近线方程为___________. 【答案】4- y x =± 【解析】如图所示，不妨设直线l 与圆C 相切于点A ，1CA F M ∴⊥2112F M CA AF F F ∴=，由于11123,,,222c c CA CF AF F F c =====2(,F M M c ∴=1tan l ck CF A ∴=-∠==代入(,M c 进入22221x y a b -=，可得 22222222221122c c a a a b b a b b +-=∴-=+a b ∴=，渐近线方程为b y x x a =±=±故答案为：y x =± 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在四棱锥P ABMN -中，PNM △是边长为2的正三角形，AN NP ⊥，AN BM ∥，3AN =，1BM=，AB =C ，D 分别是线段AB ，NP 的中点．(1)求证：CD ∥平面PBM ；(2)求证：平面ANMB ⊥平面NMP ； (3)求直线CD 与平面ABP 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)3620【解析】（1）如图，取MN 中点Q ，连CQ ，DQ ，∵DQ 为中位线，∵DQ MP ∥，又DQ ⊄平面BMP ，MP ⊂平面BMP ，∵DQ ∥平面BMP ，同理，在梯形ABMN 中，CQ MB ∥，又CQ ⊄平面BMP ，MB ⊂平面BMP ，∵CQ ∥平面BMP ，且DQ ⊂平面CDQ ，CQ ⊂平面CDQ ，DQ CQ Q ⋂=，∵平面CDQ ∥平面BMP ，又CD ⊂平面CDQ ，所以CD ∥平面BMP ．（2）如上图，在四边形ABMN 中，过B 作BE MN ∥交AN 于E ，在AEB △中，得2AE =，2BE =，22AB =222AB AE BE =+，得AE BE ⊥，∵BE MN ∥，∵AN NM ⊥，又由已知条件AN NP ⊥，NM NP N ⋂=，,⊂NM NP 平面NMP ，故AN ⊥平面NMP ，又AN ⊂平面ANMB ，∵平面ANMB ⊥平面NMP ．为等腰三角形，∵DM NP ⊥，又因为AN ⊥平面MNP ，∵PMN 点建立空间直角坐标系，如图：可得()0,0,0D ，以D 为原()1,0,0N -，()3,0M ，()1,0,3A -，()3,1B ，()1,0,0P ，1322C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABP 的法向量为(),,n x y z =，()1,3,2AB =-，()2,0,3AP =-，根据00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n AB n AP ，得320230⎧-=⎪⎨-=⎪⎩x z x z ，解得33,,23n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1322DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线CD 与平面ABP 所成角为θ，则sin cos ,314362223053CD n CD n CD nθ⋅==⋅-++==⋅CD 与平面ABP 所成角的正弦值36sin θ=18．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在ABC 中，已知()2,0A ，()0,4B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=．求：(1)外心F 的坐标； (2)重心G 的坐标； (3)垂心H 的坐标．【答案】(1)()1,1F -(2)24,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)()0,2H【解析】 (1)AB 中点为()1,2M 且40202AB k -==--，AB ∴垂直平分线方程为：()1212y x -=-，即230x y -+=，由23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得：11x y =-⎧⎨=⎩，即外心()1,1F -.(2)设(),C m n ，则重心24,33m n G ++⎛⎫⎪⎝⎭，将24,33m n G ++⎛⎫⎪⎝⎭代入欧拉线得：242033m n ++-+=，即40m n -+=…∵；由FA FC =得：()()()()2222111210m n ++-=--+-…∵；由∵∵得：40m n =-⎧⎨=⎩或04m n =⎧⎨=⎩（与B 重合，不合题意），()4,0C ∴-，∴重心24,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)由（2）知：()4,0C -；由（1）知：2AB k =-， AB ∴边的高CH 所在直线方程为：()142y x =+，即240x y -+=；由24020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得：02x y =⎧⎨=⎩，∴垂心()0,2H . 19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，1F ，2F 分别为其左，右焦点，双曲线C 上存在点P ，满足124F PF π∠=，且12F PF △的面积为(231a ．(1)求双曲线C 的离心率；(2)设A 为双曲线C 的左顶点，Q 为第一象限内双曲线C 上的任意一点，问是否存在正实数λ，使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2；(2)存在，2λ=.【解析】(1)不妨设点P 在双曲线的右支上，设12,PF m PF n ==，则2m n a -=，在12F PF △中，由余弦定理，得22242cos4c m n mn π=+-，即()2242c m n mn =-+，所以(242b mn =，因为12F PF △的面积为(231a ，所以1sin 24mn π=(231a .所以223b a =，所以2c e a ==.(2)由（1）知222213x y a a -=，,2b c a ==.当22QF A π∠=时，()2,3Q a a ，23AF a =，所以24QAF π∠=，此时222QF A QAF ∠=∠，即2λ=；下面求满足条件222QF A QAF ∠=∠的轨迹，设(),M x y 为轨迹上任意一点，则222MF A MAF ∠=∠，因为22tan ,tan 2y y yMF A MAF x c a x x a∠=-=∠=--+，因为222222tan tan tan 21tan MAF MF A MAF MAF ∠∠=∠=-∠，所以()22221y y x a y a x x a +=--+，化简，得22233x y a -=，即222213x y a a-=，与双曲线完全一致，所以存在2λ=，使222QF A QAF ∠=∠成立.20．在直角梯形CEPD 中，//,8,6PD EC PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形．将四边形PABE 沿AB 折叠，使得PA AD ⊥，得到如图（2）所示的几何体．(1)求直线PD 与平面PCE 所成角的正弦值；(2)当F 为线段AB 的中点时，求二面角P CE F --的余弦值．【答案】【解析】(1)：依题意可得PA AB ⊥、PA AD ⊥，AB AD ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()4,0,0B 、()4,4,0C 、()0,4,0D 、()0,0,4P 、()4,0,2E ，所以()0,4,2CE =-，()4,4,4CP =--，()0,4,4DP =-，设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =，所以4204440n CE y z n CP x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=--+=⎩，令1y =，则2z =，1x =，所以()1,1,2n =，设直线PD 与平面PCE 所成角为θ，则sin 42n DP n DPθ⋅===⋅ (2)：依题意可得()2,0,0F ，则()2,4,0CF =--，设平面CEF 的法向量为(),,m a b c =，所以240420m CF a b m CE b c ⎧⋅=--=⎨⋅=-+=⎩，令1b =，则()2,1,2m =-，则3cos ,36n m n m n m⋅===⋅，显然二面角P CE F --的锐二面角，所以二面角P CE F --的余弦值为66；21．已知圆M ：(222899x y ++=的圆心为M ，圆N ：(2219x y -+=的圆心为N ，一动圆与圆N 内切，与圆M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)已知点()6,3P ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且0PA PB ⋅=，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)22193x y -=，3x ≥；(2)过，()12,6-. 【解析】(1)设圆E 的圆心为(),E x y ，半径为r ，则173EM r =+，13EN r =-，所以6EM EN MN -=<．由双曲线定义可知，E 的轨迹是以M ，N 为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，所以动圆的圆心E 的轨迹方程为22193x y -=，3x ≥； (2)设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为x my t =+．由221,3,93,x y x x my t ⎧-=≥⎪⎨⎪=+⎩得()2223290m y mty t -++-=，且230m -≠，故12221222,39.3mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩又0PA PB ⋅=，所以()()()()121266330x x y y --+--=．又11x my t =+，22x my t =+，所以()()()()12126633PA PB my t my t y y ⋅=+-+-+--()()()()22121216369m y y mt m y y t =++--++-+()()()()()22222192631245303m t mt mt m t t m m +----+-+-==-，即2218318720m mt t t +-+-=．又()()()()2221831872183612366120,m mt t t m mt t t m t m t +-+-=+---=+--+=故612t m =+或36t m =-+．若36t m =-+，则直线l 的方程为()36x m y =-+，过点()6,3P ，与题意矛盾，所以36t m ≠-+，故612t m =+，所以直线l 的方程为()612x m y =++，过点()12,6-．22．设椭圆221:143x y +=Γ，抛物线2Γ的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，并且经过点()4,4-，过2Γ的焦点F 作直线l ，与2Γ交于A ，B 两点，(1)求2Γ的标准方程；(2)设M 是2Γ准线上一点，直线MF 的斜率为0k ，MA 、MB 的斜率依次为1k 、2k ，请探究：0k 与12k k +的关系；(3)若l 与1Γ交于C ，D 两点，0F 为1Γ的左焦点，求00F AB F CDS S △△的最小值．【答案】(1)24y x =；(2)1202k k k +=；(3)43.【解析】(1)根据题意，设抛物线方程为22(0)y px p =>，又其过点()4,4-，故可得168p =，解得2p =，故抛物线2Γ的方程为：24y x =.(2)根据（1）中所求可得，F 点的坐标为()1,0，2Γ的准线方程为1x =-，故可设M 的坐标为()1,n -，又直线AB 的斜率不为零，故设其方程为1x my =+，联立抛物线方程24y x =可得：2440y my --=，设,A B 坐标为()()1122,,,x y x y ，故可得12124,4y y m y y +==-；因为12k k +()()()()()()1221121212221122y n my y n my y n y n x x my my -++-+--=+=++++ ()()()12122121222424my y mn y y n m y y m y y +-+-=+++()()224141n m nm -+==-+；又00112n nk -==---，则1202k k k +=. (3)由（2）中所求可得：()212122444AB x x m y y m =++=++=+；联立AB 直线方程1x my =+与椭圆方程22143x y +=可得： ()2234690my my ++-=，设,C D 的坐标为()()3344,,,x y x y ，故可得34342269,3434m y y y y m m -+=-=++，则()()2212134m CD m +===+；又因为,,,A B C D 四点共线，故00F AB F CDS S △△234433ABm CD +==≥，当且仅当0m =时取得等号. 即00F AB F CDS S △△的最小值为43.。

浙江省东阳中学_学年高二英语上学期12月阶段性考试试题

东阳中学2018年下学期12月阶段性检测考试卷（高二英语）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

请将客观题答案用2B铅笔填涂在答题纸上，将主观题答案用黑色水笔或钢笔填写在答题纸上。

考试结束后，上交答题纸。

第I卷 (选择题共95分）第一部分：听力 (共两节，满分30分)第一节（共5小题，每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有l0秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What does the woman suggest her son do?A. Have another cake.B. Take a nap in bed.C. Go for a walk.2. Where will the speakers meet Sally?A. In the park.B. In the museum.C. In the library3. How many people will have dinner together?A. 3.B. 4.C. 5.4. What does the man mean?A. His computer doesn’t work.B. There is a hole in his pocket.C. He can’t afford a new printer now.5. What does the woman have to do at 1:00 pm?A. Have a meeting.B. Give Mr. White a call.C. Have lunch with Mr.Woods.第二节（共15小题，每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有2至4个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

2023-2024学年浙江省第一学期精诚联盟返校联考高二数学试题+答案解析(附后)

2023-2024学年浙江省第一学期精诚联盟返校联考高二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则集合( )A. B. C. D.2.“为三角形的一个内角”是“为第一、二象限角”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3.下图是H城市某路段监测到的上午至通过该路段的所有汽车的时速频率分布直方图，若汽车通过该路段的时速大于等于70则属于违章行驶，已知时速在的汽车的频数是30，则本次统计中违章行驶的汽车有辆( )A. 10B. 20C. 30D. 404.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆半径为的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为( )A. 1B.C.D.5.已知a，b是实数，且满足，则( )A. B.C. D.6.若对任意实数a，b规定，则函数的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47.设，若函数为单调函数，且对任意实数x，都有，则的值等于( )A. B. C. D.8.已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设a、b、c是三条不同的直线，、、是三个不同平面，则下列命题不正确的有( )A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则10.某体育老师对甲乙两名队员进行了5次射击测试，统计了甲和乙的射击成绩，甲的成绩分别为环;乙的成绩分别为环，则下列说法正确的是( )A. 平均来说甲乙射击技术差不多B. 甲的射击技术比乙更稳定C. 甲成绩的中位数比乙高D. 甲的40百分位数比乙的高11.设，，则( )A. 的值域与的值有关B. 当时，在上单调递增C. 若是它的一条对称轴，则D. 若，则为偶函数12.函数，是实数且，，，则的图象可能是 ( )A. B.C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。