芝罘区数学二次函数题型-二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程之间的关系
)
当m＝1时，AB2有最小值8.
A．b≥
B．b≥1或b≤－1
6．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( )
C．m＝ n2 D．m＝ n2
C．0＜b＜1 D．b＜1
当m＜－1时，z随m的增大而减小；
y＝ － x 2＋ 2 x＋ 3，
由
y＝ －
3 2
x＋ 3，
得
x1＝0， y 1＝3，
∴D(
7 2
，－ 9
4
.)
∵S△ABP＝4S△ABD，
∴
1 2
AB×|yP|＝4×
1 2
AB×
9 4
，
x2＝
7 2
，
y2＝－
9 4
，
∴|yP|＝9，即yP＝±9， 当y＝9时，－x2＋2x＋3＝9，无实数解； 当y＝－9时，－x2＋2x＋3＝－9， 解得x1＝1＋ 1 3 ，x2＝1－ 1 3， ∴点P的坐标为(1＋ 1 3 ，－9)或(1－ 1 3 ，－9)．
当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴____无____交点； 当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有__一__个____交点； 当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有___两__个___交点． 返回
6．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( D ) A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4
题型
2
二次函数的图象与x轴的交 点情况在求字母范围中应用
14．(中考•南京)已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)．
(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是( D )
A．0 B．1 C．2 D．1或2
(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之
《二次函数与一元二次方程的关系》ppt课件
结论和要点
通过本课件，我们了解到二次函数与一元二次方程之间的密切关系，以及它们在实际应用中的重 要性和用途。
密切关系
二次函数与一元二次方程存在密切的对应关系。
实际应用
二次函数与一元二次方程在建筑设计、汽车行驶路程、项目成本控制等实际应用中发挥重要 作用。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程是密切相关的，通过二次函数的系数可以求解一元二次方程的根，反之亦然。
1
系数的求解
通过一元二次方程的系数可以确定二次函数的形式。
2
根的求解
通过二次函数的图像可以推导出一元二次方程的根。
3
相互转换
二次函数与一元二次方程可以相互转换，实现从函数到方程的求解和从方程到函数的绘 图。
如何由一元二次方程求解二次函数的 系数
通过一元二次方程的系数可以确定二次函数的形式，具体步骤包括：
1 步骤一
找出一元二次方程的a、b、c。
2 步骤二
将a、b、c代入二次函数的表达式。
3 步骤三
得到二次函数的形式。
如何由二次函数求解一元二次方程的 根
通过二次函数的图像可以推导出一元二次方程的根，具体步骤包括：
1 步骤一
观察二次函数的图像。2 Leabharlann 骤二根据图像找到方程的根。
实际应用中的例子
二次函数与一元二次方程在实际应用中有广泛的应用，例如：
建筑设计
二次函数的抛物线形状可以用于 建筑设计中的拱形结构。
汽车行驶路程
通过二次函数的图像可以预测汽 车行驶的路程。
项目成本控制
通过二次函数的图像可以进行项 目成本的控制和优化。
《二次函数与一元二次方 程的关系》
本课件将介绍二次函数与一元二次方程之间的关系，包括定义与图像、基本 形式、系数的求解、根的求解、实际应用的例子以及结论和要点。
课件：二次函数与一元二次方程之间的关系
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
知1－讲
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t －5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得 到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解， 则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则， 说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 抛物线与x轴的交点个数之间的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
知2－练
1 抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0
＝0的解是( )
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
人教版九年级数学上册第22章《 二次函数：22.2.1 二次函数与一元二次方程之间的关系》
2.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的 一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则 ax2＋bx＋c＝0的解是D( )
A．x＝－2 B．x＝－3 C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝－3，x2＝1
第二十二章 二次函数
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
第二十二章 二次函数
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t －5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得 到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解， 则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则， 说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
解：（1）当h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
22.2.1 二次函数与一元二次方程之间的关系
第二十二章 二次函数
以前我们从一次函数的角度看一元一次方 程，认识了一次函数与一元一次方程的联 系．本节我们从二次函数的角度看一元二次方 程，认识二次函数与一元二次方程的联系．先 来看下面的问题．
第二十二章 二次函数
第二十二章 二次函数
小结
二次函数与一元二次方程的关系： 已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
第二十二章 二次函数
1.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图， 则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( B )
A．无解 B．x＝－1或x＝4 C．x＝－4 D．x＝1或x＝-4
第二十二章 二次函数
问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时， 球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：
九年级数学二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c的图象 方程ax2+bx+c=0的
和x轴交点
根
b2-4ac
函数的图象
有两个交点
方程有两个不相等 的实数根
b2-4ac > 0
y .o . x
y
只有一个交点
方程有两个相等 的实数根
b2-4ac = 0
o
x
没有交点
y
方程没有实数根 b2-4ac < 0 o
x
中考链接： （2009肇庆市）已知一元二次方程x²+px+q+1=0=的一根为 2．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△ ＝b2－4ac．
（1）当△＝b2－4ac＞0时
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；
（2）当△＝b2－4ac＝0时
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；
（3）当△＝b2－4ac＜0时
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．
探究点三：二次函数图像与系数之间的关系
方程可以看成是对于二次函数y= ax2＋bx＋c（a≠0）， 当y=0时，函数即可化为一元二次方程ax2＋bx＋c=0，这 时方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标
y=ax2+bx+c的 方程ax2+bx+c=0
图象和x轴交点
的根
b2-4ac
有两个交点
只有一个
交点
方程有两个 不相等的实 数根 方程有两个 相等的实数 根
图象与x轴有两个交点；
（2）△＝b2-4ac=62-4×(-1) ×(-9）=0，函 数的图象与x轴有一个交点； （3）△=b2-4ac=62-4×3×11=-96＜0，函 数的图象与x 轴没有交点。
总结二次函数与一元二次方程的联系
总结二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程是高中数学中的重要内容，它们之间存在着密切的联系。
通过对二次函数和一元二次方程的总结与探讨，我们可以更加深入地理解它们之间的内在关系，并在解题过程中运用得心应手。
一、二次函数表达式与一元二次方程的关系二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c（其中a ≠ 0），而一元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0）。
从表达式上看，二次函数和一元二次方程具有相似的形式，二次函数中的自变量x对应于一元二次方程中的未知数x，而函数值y对应于方程中的等式左边。
将二次函数的函数值y等于0，即 y = 0，得到二次函数的零点或根。
将一元二次方程的等式左边等于0，即 ax^2 + bx + c = 0，也可得到方程的根。
这表明，二次函数的零点与一元二次方程的根是对应的。
二、二次函数与一元二次方程的图像特点二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上，而当a<0时，抛物线开口向下。
一元二次方程的解的情况与二次函数的图像形态相对应。
当一元二次方程有两个不相等的实根时，抛物线与x轴有两个交点；当方程有一个实根时，抛物线与x轴有一个交点；而当方程无实根时，抛物线与x轴没有交点。
三、二次函数与一元二次方程的求解方法1. 通过二次函数求解一元二次方程已知二次函数的表达式 y = ax^2 + bx + c，要求解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可先将方程的等式左边化为0，然后确定二次函数的系数a、b、c的值，进而求出方程的根。
2. 通过一元二次方程求解二次函数的性质已知一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，要求解对应的二次函数的性质，可通过求方程的根来确定抛物线与x轴的交点、顶点的横坐标、开口方向等。
进而可以得到二次函数的图像特点。
四、二次函数与一元二次方程的实际应用二次函数与一元二次方程广泛应用于实际问题的建模与求解过程中。
【特荐】九年级上册数学 人教版 二次函数与一元二次方程的关系(知识点+练习题)
课题：二次函数与一元二次方程的关系（一）二次函数与坐标轴的交点 环节一、求函数与坐标轴的交点坐标1、求一次函数36y x =+与x 轴、y 轴的交点坐标. 解：当x=0时，y=∴函数36y x =+与 轴的交点坐标是（ ， ） 当y=0时，得方程 解得∴函数36y x =+与 轴的交点坐标是（ ， ） 2、求二次函数y=x 2-4x+3与x 轴，y 轴的交点坐标. 解：当x=0时，y=∴函数与 轴的交点坐标是（ ， ）； 当y=0时，得方程 解得∴函数与 轴的交点坐标是（ ， ）与（ ， ）.3、求二次函数962++=x x y 与x 轴，y 轴的交点坐标解：4、求二次函数322+-=x x y 与x 轴，y 轴的交点坐标解：环节二：两个函数的交点坐标1、如图，已知直线x y =与直线3+-=x y 相交 于点A ， 则交点A 的坐标是即方程组⎩⎨⎧+-==3x y xy 的解是直线x y =与直线3+-=x y 的交点坐标（x ，y ）是方程组⎩⎨⎧+-==3x y xy 的 .5、求二次函数y=x 2和y=21x+3的交点坐标. 解：依题意，得方程组⎩⎨⎧解得⎩⎨⎧∴二次函数y=x 2和y=21x+3的交点坐标是 . 3、由上题还可知：方程x 2=21x+3的解是 .归纳总结：1、二次函数与一元二次方程的关系：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标12,x x 是一元二次方程 的根.2、（1）当24b ac - 0 时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有 个不同的交点；（2）当24b ac -=0 时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有 根，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有 个交点；（3）当24b ac - 0 时，方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴 交点；环节三、巩固练习 A 组1、抛物线y=x 2-5x-6 与y 轴的交点坐标（ ， ）；与x 轴交点的坐标（ ， ）和（ ， ）.2、抛物线y=--2x 2+3x+2 与y 轴的交点坐标（ ， ）；与x 轴交点的坐标（ ， ）和（ ， ）.3、已知方程2x 2-3x+5=0的两个根是25，-1，则二次函数y=2x 2-3x-5与x 轴两个交点坐标（ ， ）和（ ， ），两交点间距离为 .4、不论m 为何实数时，抛物线y=x 2－mx －1与x 轴的交点（ ）.A.有0个B.有1个C.有2个D.无法确定5、已知直线y=－2x+3与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点，求A 、B 两点的坐标.6、已知：二次函数y=2x 2-4x-6，求：（1）函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，（2）求函数图象与y 轴交点、与x 轴交点坐标，并画出草图 ※（3）以此函数与x 轴，y 轴交点为顶点的三角形的面积 解：（二）、二次函数与一元二次不等式之间的关系 环节一、例题学习例1、已知：二次函数y=x 2-3x-4的图象（如图）（1）方程x 2-3x-4=0的解是 ，则二次函数与x 轴交点的坐标是（ ， ）和（ ， ）；图象与y 轴交点坐标是（ ， ）；（2）看图得：当x 或x 时，y>0；此时不等式x 2-3x-4>0 的解集为（3）看图得：当 <x< 时，y<0；此时不等式x 2-3x-4<0的解集为 例2、已知y=x 2+4x-12,当x 取何值时y>0, 当x 取何值时y ＜0?解：函数2412y x x =+-，开口向 ，对称轴 ，顶点坐标 ；函数y= x 2+4x-12与x 轴交点坐标（ ， ）和（ ， ） 根据开口方向、顶点坐标和对称轴与x 轴交点坐标，画出函数草图： 看图回答：不等式x 2+4x-12>0的解集由上图，可得，不等式x 2+4x-12<0的解集是 .小结：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为()()0,0,21x x ： ① 0＞a当 时，0＞y 即ax 2+bx+c>0；当 时，0＜y 即ax 2+bx+c<0； ② 0＜a当 时，0＞y 即ax 2+bx+c>0；当 时，0＜y 即ax 2+bx+c<0. 环节二、巩固练习 A 组1、抛物线如图所示：①当x 时，y=0； ②当x= 时，y 有最 值.③当x<－1或x>3时，y 0；当－1<x<3时，y 0； -11 2 3xyO —1 —22、抛物线y=x 2-2x-8开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ， 与y 轴的交点坐标（ ， ）与x 轴交点的坐标（ ， ）和（ ， ）。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程是数学中常见的概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将探讨二次函数与一元二次方程之间的联系，并强调它们在解题和图像分析中的作用。
一、一元二次方程的定义及求解方法一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
一元二次方程的求解通常借助于求根公式，即：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。
这个公式被称为“二次根公式”。
为了更好地理解二次根公式的应用，我们举一个例子：求解方程x²+3x-4=0。
根据二次根公式，我们可以得到两个解：x₁=(-3+√(3²-4×1×(-4)))/(2×1)=-4，x₂=(-3-√(3²-4×1×(-4)))/(2×1)=1。
因此，该方程的解集为{x|x=-4或x=1}。
二、二次函数的定义及图像特征二次函数是一种特殊的函数形式，它的一般表达式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向和形状与a的正负有关。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的图像还具有以下特征：当自变量x的取值在无穷小区间内变化时，函数值f(x)也在相应的范围内连续变化；二次函数的对称轴是与抛物线关于顶点对称的轴线；顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）；当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋近于正无穷或负无穷。
三、二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程之间存在着密切的关系。
具体来说，当我们给定一个二次函数f(x)=ax²+bx+c时，如果我们要求解f(x)=0的解，就相当于求解一元二次方程ax²+bx+c=0的解。
同样地，当我们给定一个一元二次方程ax²+bx+c=0时，如果我们要分析该方程的图像，就可以将它转化为二次函数f(x)=ax²+bx+c，并通过分析f(x)的图像来获得有关方程的信息。
《二次函数与一元二次方程》知识点梳理
《二次函数与一元二次方程》知识点梳理
知识点一、二次函数与一元二次方程的关系 1．函数
，当
时，得到一元二次方程
，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点
的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不
相等实根；
(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，
这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时
，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
要点诠释：
二次函数图象与 x 轴的交点的个数由的值来确定. 2．函数
与直线
的公共点情况
方程
的根的情况.
函数
与直线
的公共点情况
方程
的根的情况.
知识点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程的步骤：
1．作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数
2．由二次函数图象与的交点位置，确定交点的横坐标的取值范围；3．利用计算器计算方程的近似根.。
九年级数学-二次函数与一元二次方程
第7讲 二次函数与一元二次方程【板块一】二次函数与一元二次方程的关系方法技巧(1)二次函数的图象与x 轴的交点横坐标，对应一元二次方程的根； (2)二次函数的图象与x 轴的交点个数，对应一元二次方程根的情况．题型一：二次函数的图象与a ，b ，c 之间的联系例1：如图是y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n )，则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a (c －n )；①一元ニ次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】∵抛物线与x 轴的一个交点在(3，0)和(4，0)之间，由对称性知另一交点在(－2，0)和(－1，0)之间，当x ＝－1时，y ＞0，a －b ＋c ＞0，故①正确；由对称轴12=-ab，b ＝－2a ，3a ＋b ＝3a －2a ＝a ＜0故②不正确：顶点(1，n )，∴n ＝ab ac 442-，∴b 2＝4ac －4an ＝4a (－m )故③正确；∵抛物线与直线y ＝n只有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n ＝1有两个交点，∴一元二次方程a 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根，故④正确，选C ．题型二：方程的解与交点横坐标的对应【例2】如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝kx ＋m 交于A ，B 两点．(1)方程ax 2＋bx ＋c ＝kx ＋m 的解为 ；(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤kx ＋m 的解集为 ．【解析】(1)方程的解就是两图象交点的横坐标，即x 1＝－1，x 2＝2； 结合图象，根据增减性可知，解集为≤－1或x ≥2．题型三：二次三项式的值恒为正(或负)的条件【例3】无论x 为何值，二次三项式a 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋21的値恒为负数，则a 的取值范固是( ) A ．32<<0a B ．0<<32a - C ． 32<-a D ．32-≤a【解析】设y ＝a 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋21，值恒为负，则⎩⎨⎧0<0<△a ，即()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+0<214140<2a a a a ，解得32<-a ，选C ．针对练习11．二次函数y ＝a 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋21(a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc ＜0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④b 2－4ac ＞0．其中正确结论有( B ）A ．①②③B ．①②①C ．①③①D ．②③④ 答案：B第2题图2．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝mx ＋n 的图象如图所示：(1)方程ax 2＋bx ＋c ＝mx ＋n 的解为： ．(2)不等式ax 2＋(b －m )x ＋c －n ＜0的解集为： ． 答案：（1）x 1＝－2，x 2＝1 （2） －2＜x ＜13．二次函数y ＝(m －1)x 2＋2mx －1的图象都在x 轴的下方，求m 的取值范围． 答案：解：⎩⎨⎧0<0<1-△m ，()⎩⎨⎧-+0<1440<1-2m m m 解得251<<251+-+-m 4．无论x 为何值，二次根式()3212++-+m mx x m 恒有意义，求m 的取值范围．答案：解：设y ＝(m ＋1)x 2－2mx ＋m ＋3，则y 恒为非负数，∴⎩⎨⎧≤+00>1△m ，即()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤++---031421>2m m m m 解得m ≥43-板块二：函数图象的交点与解方程 方法技巧联立两函数的解析式，求图象交点的坐标；交点的个数与方程的判别式有关． 少题型一二次函数的图象与x 轴的交点【例1】已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜4 B ．k ≤4 C ．k ＜4且k ≠3 D ．k ≤4且k ≠3【解析】当k －3＝0时，该函数为一次函数y ＝2x ＋1，其图象与x 轴有交点，当k －3≠0时，该函数为二次函数，△≥0．22－4(k －3)＝0，即k ≤4且k ≠3，综上，当k ≤4时，函数图象与x 轴有交点，故选B ．题型二：二次函数的图象与直线y ＝k (k ≠0)的交点 例2：已知一元二次方程1－(x －3)(x ＋2)＝0有两个实数根x 1，x 2，(x 1＜x 2)，则下列判断正确的是( ) A ．－2＜x 1＜x 2＜3 D ．x 1＜－2＜3＜x 2 C ．－2＜x 1＜3＜x 2 D ．x 1＜－2＜x 2＜3【解析】画出直线y ＝1与ニ次函教y ＝(x －3)(x ＋2)的图象，由图象可知：x 1＜－2＜3＜x 2，故选B ．【注】方程ax 2＋bx ＋c －k ＝0的解，即函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与函数y ＝k 的图象的交点的横坐标．题型三：二次函数的图象与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)的交点【例3】直线AB :y ＝x ＋4与抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2＋m ＋4交于A ，B 两点，试判断AB 的长是否发生变化?若不变，求出其值;若变化，求出其取值范围．【解析】联立⎩⎨⎧+++-=+=42422m m mx x y x y ，∴x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0． ∴(x －m )(x －m －1)＝0，∴x A ＝m ，x B ＝m ＋1∴BH ＝x A －x B ＝1，AH ＝y B － y A ＝(x B ＋4)－(x A ＋4)＝1在R △AHB 中，AB ＝22BH AH +＝2，即AB 的长不发生支化，其长为2．题型四：分段函数与交点【例4】若函数y ＝b 的图象与函数y ＝x 2－31-x －4x －3的图象恰有三个交点，则b 的值是6或425． 【解析】当x ≥1时，y ＝x 2－7x ，当x ＜1时，y ＝x 2－x －6，结合图象知b ＝一6或425-．题型五：抛物线与直线在定区间有唯一公共点【例5】已知抛物线y ＝x 2－mx －3与直线y ＝2x ＋3m 在一2＜x ＜2之间有且只有一个公共点，则m 的取值范围是 ．【解析】∵x 2－mx －3＝2x ＋3m ，，x 2－2x －3＝m (x ＋3)，即直线y ＝m (x ＋3)与抛物线y ＝x 2－2x －3，在一2＜x ＜2有唯一公共点，把(一2，5)代入y ＝m (x ＋3)，得m ＝5，把(2，－3)代入y ＝m (x ＋3)，得m ＝53-，∴53-≤m ＜5，x 2－(m ＋2)x －3－3m ＝0，△＝(m ＋2)2＋12＋12m ＝0，解得m ＝－8－34(舍去)，m ＝－8＋34，综上，53-≤m ＜5或m ＝－8＋34．针对练习21．已知抛物线y ＝(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1(m ＞1)． (1)求抛物线与x 轴的交点坐标；(2)若一次函数y ＝kx －k 的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式． 答案：(1)y ＝0时，(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0，∴(x －1)[(m －1)x －(m ＋1)]＝0，∴x 1＝1，x 2＝11-+m m ，∴抛物线与x 轴的交点空为(1，0)，(11-+m m ，0)． (2) 联立()⎩⎨⎧++--=-=1212m mx x m y k kx y ，∴(m －1)x 2－(2m ＋k )x ＋m ＋1＋k ＝0， △＝(2m ＋k )2－4(m －1)(m ＋1＋k )＝k 2＋4k ＋4＝(k ＋2)2＝0，∴ k ＝－2，∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋2．2．将二次函邮y ＝2x 2＋4x －6的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y ＝21x ＋b 与此图象有两个公共点时，求b 的取值范围． 答案：解:A (3，0)，B (1，0)，当直线过A 点时，b ＝23，1322b -<<当直线经过B 点时，b ＝21-． ∴1322b -<<，联立224612y x x y x b ⎧=--+⎪⎨=+⎪⎩得292602x x b ++-= 29=()8(3)02b ∆--=，273=32b ，综上，1322b -<<或27332b >，有两个公共点．3．若直线y ＝2x －5m 与抛物线y ＝x 2－mx －3在0≤x ≤4之间有且只有一个公共点，求m 的取值范围． 答案：联立2253y x m y x mx =-⎧⎨=--⎩得2235x x mx m --=-，即223y x x =--与直线(5)y m x =-在0≤x ≤4有唯一公共点．①把（0，－3）代入(5)y m x =-得35m =，把（4，5）代入(5)y m x =-得m ＝－5， ∴－5≤m ＜35．②当直线与抛物线“相切”时，2(2)530x m x m -++-=，0∆=，∴2(2)4(53)0m m +--=，得8m =-8m =+（舍），综上，－5≤m ＜35或8m =-4．已知关于x 的二次函数22(1)y ax a x a =+--的图象与x 轴的一个交点坐标为（m ，0），若2＜m ＜3，则a 的取值范围是____ ___． 答案：当y ＝0时，22(1)=0ax a x a +--，∴（ax －1）（x ＋a ）＝0，∴11x a =，2x a =-，当123a <<时，1132a <<，当2＜－a ＜3时，－3＜a ＜－2，即1132a <<或－3＜a ＜－2．【板块三】二次函数与根与系数的关系方法技巧（1）若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于（x 1，0），（x 2，0），则1212,b c x x x x a a+=-=．（2）12||x x -=． 题型一 抛物线截水平线段的长【例1】若点P （1x ，c ），点Q （2x ，c ）在函数243y x x =-+的图象上，且x 1＜x 2，PQ ＝2a ，则21261x ax a -++的值为（ C ）A ．－2B ．3C ．5D ．6【解析】∵对称轴为x ＝2，P （1x ，c ），Q （2x ，c ）关于直线x ＝2对称，PQ ＝2a ，∴12x a =-，22x a =+，∴221261(2)(2)615x ax a a a a a -++=--+++=，故选C ．yx【例2】抛物线1121()()4y x x x x =--交x 轴于两点A （1x ，0）B （2x ，0）两点（x 1＜x 2），直线22y x t=+经过点A ，若函数y ＝y 1＋y 2的图象与x 轴有且只有一个公共点，则线段AB 的长为（ B ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【解析】22y x t =+经过点A （1x ，0），∴012x t =+，12t x =-，121211211()()22()(8)44y y y x x x x x x x x x x =+=--+-=--+．∵与x 轴有且只有一个公共点，∴有等根，∴128x x =-，∴218x x -=，∴AB ＝8，选B ． 题型二 抛物线斜线段【例3】抛物线21344y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点，直线34y kx k =-+与抛物线交于C ，D 两点，求△BCD 面积的最小值．【解析】直线34(3)4y kx k k x =-+=-+，经过定点E （3，4），又B （3，0），∴E B x x =，∴BE ∥y 轴，∴1||2||2BCD BCE BDED C D C S S S BE x x x x =+=-=-△△△，联立2341344y kx k y x x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得2(44)12130x k x k -++-=，∴44C D x x k +=+，1213C D x x k =-，∴22221()()416166816()642D C D C C D x x x x x x k k k -=+-=-+=-+≥64，∴||D C x x -的最小值为8，∴BCD S △的最小值为16．。
二次函数与一元二次方程1二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式b2-4ac
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？
Y
b2-4ac＜0
b2-4ac =0
b2-4ac ＞0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0 7．已知二次函数ｙ＝-ax2，下列说法不正确 的是（ D ） Ａ．当ａ＞０,ｘ≠０时,ｙ总取负值 Ｂ．当ａ＜０,ｘ＜０时,ｙ随ｘ的增大而减小 Ｃ．当ａ＜０时，函数图象有最低点，即ｙ 有最小值 Ｄ．当ｘ＜０，ｙ＝ -ax2的对称轴是ｙ轴
3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p=-1，q= -6 。
4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果 相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8
（3）y=x2-4x+4
5. 已知抛物线 y2x12 ,8 ①求抛物线与y轴的
(1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横 坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(整理)二次函数和一元二次方程 的关系.
二次函数和一元二次方程的关系教学设计一教学设计思路通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。
然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。
最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。
二教学目标1 知识与技能（1）．经历探索函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．（2）．会利用图象法求一元二次方程的近似解。
2 过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．三情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况培养学生自主探索意识，从中体会事物普遍联系的观点，进一步体会数形结合思想．四教学重点和难点重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
五教学方法讨论探索法六教学过程设计（一）问题的提出与解决问题如图，以20m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2。
考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2。
所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。
解：（1）解方程15＝20t—5t2。
二次函数与一元二次方程的关系
、适应个人终身发展和社会发展需要的人的、具有数学特征的关键能力与 思维品质。
后天习得的、与特定情境有关的、通过人的行为所表现出来的 知识、能力和态度，涉及人与社会、人与自己、人与工具。
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o
x 所以与 x 轴没有交点。
当二次函数y a x2 bx c,当给定y的值时,则二次函数
可转化为一元二次方程.
如: 二次函数y x2 4x的值为3,求自变量x的值, 可以解一元二次方程 x2 4x 3(即 x2 4x 3 0). 反过来,解方程 x2 4x 3 0又可以看作已知二次 函数y x2 4x 3的值为0,球自变量x的值.
（3） y = x2 – x+ 1
o
x
令 y= 0，解一元二次方程的根
（1） y = 2x2＋x－3 y
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
o
x
x 1 =－
3 2
，x 2 = 1
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
二次函数的两点式
y =a（x－x1）（x－ x 1）
需要多少飞行时间? (3) 球的飞行高度能否达到20.5m?为什么? (4)球从飞出到落地要用多少时间?
(1)球的飞行高度能否达到15m?如能, 需要多少飞行时间?
解15: (1)解20方t程
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06二次函数与一元二次方程之间的关系
年级 学生教学目标九年级二次函数与一元二次方程之间的关系学校讲义编号老师周老师授课时间2017..（：00——:00）理解二次函数与一元二次方程之间的关系重 点 二次函数与 x 轴交点的个数的判定难 点 二次函数与一元二次方程之间的关系教学内容判定抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交点的个数的方法：当 b2 4ac＞0 时，有两个交点；当 b2 4ac 0 时，有一个交点；当 b2 4ac＜0 时，没有交点。
抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴两交点为 Ax1，0，Bx2，0，由于 x1 、 x2 是方程 ax2 bx c 0 的两个根，故x1x2b a, x1x2c aAB x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 b 2 4c a ab2 4ac aa【例题与讲解】 利用解一元二次方程求抛物线与坐标轴的交点坐标求二次函数 y x2 2x 8 的图像与坐标轴的交点坐标。
利用一元二次方程根的判别式判别抛物线与 x 轴的交点情况（1）二次函数 y x2 qx 2 的图象与 x 轴交点的个数为。
（2）已知二次函数 y x2 (m 2)x m 1 ，试证明：不论 m 取何实数，这个二次函数的图象必与 x 轴有两个交点。
利用函数图象判定关于二次函数各项系数的代数式的值的情况第1页共6页已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c-m=9 没有实数根。
有下列结论：①b2-4ac>0；②abc<0；③m>2.其中，正确结论的个数是X（A）0（B）1（C）2（D）3二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若 M=a+b-c，N=4a-2b+c，P=2a-b．则 M，N，P 中，值小于0 的数有（ ）A．3 个B．2 个C．1 个D．0 个利用一元二次方程的根解有关抛物线和几何的问题已知二次函数 y ax2 bx c （a＞0）的图象与 x 轴交于 A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与 y 轴交于点 C，x1，x2 是方程 x2 4x 5 0 的两根．（1）若抛物线的顶点为 D，求 S△ABC：S△ACD 的值； （2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．【二次函数的最值】第2页共6页1、如图，已知点 A（4，0），O 为坐标原点，P 是线段 OA 上任意一点（不含端点 O，A），过 P、O 两点的二次函数 y1 和过 P、A两点的二次函数 y2 的图象开口均向下，它们的顶点分别为 B、C，射线 OB 与 AC 相交于点 D．当 OD=AD=3 时，这两个二次函数的 最大值之和等于（ ）A. 54B.53C.3D.42、已知二次函数 y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0 时，下列说法正确的是（ ） A．有最小值-5、最大值0 B．有最小值-3、最大值6 C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值63、已知二次函数 y=（x-1）2-1（0≤x≤3）的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ） A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值-1，有最大值0 C．有最小值-1，有最大值3 D．有最小值-1，无最大值4、已知二次函数 y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值 1，则 a，b 的大小关系为（A．a＞bB．a＜bC．a=b） D．不能确定5、二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数且 a≠0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表：x-3-2-1012345y1250-3-4-30512给出了结论：（1）二次函数 y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为-3；（2）当- 1 ＜x＜2 时，y＜0； 2（3）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧．则其中正确结论的个数是（ ）A．3B．2C．1D．06、：在面积为 7 的梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P 为边 AD 上不与 A、D 重合的一动点，Q 是边 BC 上的任意一点，连接 AQ、DQ，过 P 作 PE∥DQ 交 AQ 于 E，作 PF∥AQ 交 DQ 于 F，则△PEF 面积最大值是 。
二次函数和一元二次方程的关系
培训学科教师辅导讲义学生姓名：年级：课时数：3辅导科目：数学辅导教师：辅导内容：二次函数与一元二次方程的关系辅导日期：教学目标: 1.探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的联系；2.理解抛物线与x 轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系；3.会求抛物线与坐标轴的交点坐标.【同步知识讲解】知识点1：抛物线与x 轴的交点知识点梳理：对于任何一个一元二次方程02=++c bx ax ，我们可以通过的值判断方程的根的情况如下：当>0时，方程有实数根；当=0时，方程有实数根；当<0时，方程实数根.例题1:抛物线y ＝x 2+3x ﹣10与x 轴的交点坐标为．【分析】抛物线与x 轴交点的纵坐标为0，代入解析式即可求出横坐标．例题2:已知抛物线y ＝x 2﹣6x +m 与x 轴仅有一个公共点，则m 的值为．【分析】根据抛物线y ＝x2﹣6x+m 与x 轴仅有一个公共点，可知（﹣6）2﹣4×1×m ＝0，从而可以求得m 的值，本题得以解决．例题3:已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax +3与x 轴的一个交点是（﹣1，0），则该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为【分析】利用配方法找出抛物线的对称轴，结合抛物线与x 轴的一个交点横坐标可求出另一交点的横坐标，此题得解．变式1：二次函数y ＝x 2+2x ﹣3与x 轴两交点之间的距离为．【分析】先解方程x2+2x ﹣3＝0得抛物线与x 轴的两交点坐标，然后计算两点之间的距离即可．变式2：若二次函数y ＝x 2﹣2x +m 的图象与x 轴没有交点，则m 的取值范围是．【分析】由题意可得二次方程无实根，得出判别式小于0，解不等式即可得到所求范围变式3：已知抛物线y ＝mx 2+2x ﹣1与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是．【分析】根据二次函数的定义及抛物线与x 轴有两个交点，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即专题1：二次函数与＝﹣（2019•南岸区模拟）究请补充完整以下探索过程，≠，，点．已知抛物线）（1.答案是：．解得﹣AB＝；）（）（＝＞；，时，＝＜制作人：徐春香审核人：尹王冠。
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【芝罘区数学】
1 二次函数题型-二次函数与一元二次方程的关系 教学目标: 二次函数的二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）
1. 如果二次函数y ＝x 2＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个
即可）
2. 二次函数y ＝x 2-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为
3. 抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( )
A.没有交点
B.只有一个交点
C.有两个交点
D.有三个交点
4. 如图所示，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于点C ， 则△ABC
的面积为( )
A.6
B.4
C.3
D.1
5. 已知抛物线y ＝5x 2＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离平方等于为
4925 ，则m 的值为( )
A.－2
B.12
C.24
D.48
6. 若二次函数y ＝(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是
7. 已知抛物线y ＝x 2-2x-8，
（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。