将数学建模引入高等数学教学中的典型案例
高等数学教学中的数学建模思想运用研究
高等数学教学中的数学建模思想运用研究高等数学在我国高质量人才培养中的作用不可替代。
但是，其中一些抽象的概念和定理，往往令学生望而生畏。
研究数学建模思想在高中数学教学中的应用，实际问题不仅比教材上的概念、定理更加具体，而且，可以培养学生数学的应用能力和创新能力。
高等数学数学建模思想创新能力数学应用能力一、引言高等数学教学是我国高等学校非数学专业学生培养计划中的一门非常重要的基础课。
在我国高质量人才培养过程中具有不可替代的作用。
通过对高等代数的学习，可以为其它专业课或者是基础课打下非常坚实的数学基础，并且提供必要的数学概念，培养学生的数学素质和修养。
在高等数学教学过程中，在向学生传授知识的同时，还应该利用教学过程中的各种环节来培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力、空间想象能力以及预算能力；培养学生利用已经掌握的知识综合运用去分析问题、解决问题的能力；培养学生的自主学习能力；以及培养学生的创新能力和创新精神。
数学建模的过程，就是一个对问题进行分析、提炼、演绎推理、归纳总结的过程，改变了传统仅重视推理的数学教学模式，突出了对数学知识的深入理解和实践应用，能够将抽象的数学思想具体化、复杂的推理简单化，强调对数学知识的直观说明和解释。
将数学建模思想融入到高等数学建模过程中，可以让学生不仅能够掌握表面的数学知识，而且有助于学生学会如何“使用数学”，学会将实际问题进行数学模型化，利用所学的数学知识来解决实际问题。
因此，将数学建模思想融入到高等数学教学过程中是十分必要的。
二、高等数学教学中的数学建模思想运用的基本思路1.在概念讲授中的应用高等数学中的极限、函数、积分、级数等概念，其本质上都是从客观事物中抽象出来的数学模型。
在对这些概念进行讲授时，应该自然而然的引入生活中的一些，来让学生将抽象的数学概念与客观世界向联系。
教师应该尽可能的结合实际，在观察、操作、猜想、实验、归纳以及验证等方面为学生提供更加直观、更加丰富的背景材料，从而引导学生自主到参加到教学活动中来。
数学建模案例在高等数学教学中的应用
经 过 一 些 合 理 假 设 后 ， 到 如 图 ２ ２坐 标 系 ， 中 Ａ， ， Ｄ正 方 形 Ａ Ｄ 的 中 心 为 坐 标 原 点 ． ＢＣ ０为 Ａ 连 线 与 轴 的 夹 角 ， （ Ｃ 厂 ０）
首 先 ， 们 把 易 拉 罐 近 似 看 成 一 个 正 圆 柱 形 进 行 建 模 是 有 一 定 合 理 性 的 ． 一 步 观 察 我 们 发 现 罐 体 的侧 边 我 进
材 料 很 薄 ， 顶 盖 材 料 很 硬 （ ， 为 要 使 劲 拉 ）； 说 明 实 际 建 模 必 须 考 虑 不 同 部 位 的 体 积 （ 同 部 位 材 料 不 而 厚 因 这 不 同 ， 应 的 价 格 也 不 同 ） 因此 ， 们 可 简 化 为 如 下 模 型 ： 拉 罐 内 部 体 积 一 定 ， 盖 厚 度 为 其 余 部 分 厚 度 的 相 ． 我 易 顶 倍 时 ， 易 拉罐 材料 的体 积最 小 的罐体 内部 的尺寸 为 多少 ？ 使 设 饮 料 罐 的 半 径 为 ｒ 因 此 ， 径 为 ｄ＝２ ）， 的 高 为 ｈ， 内 体 积 为 ； 盖 外 的 材 料 的 厚 度 为 ｂ 项 盖 的 厚 （ 直 ｒ 罐 罐 顶 ，
．
为 Ａ， ｃ两 脚 与 地 面 距 离 之 和 ， ） ｇ（ 为 ， 两 脚 与 地 面 距 离 之 和 ， ０） ０， Ｄ ｆ（ ｇ （ ０ ） ．由假 设 （ ） ｇ都 是 连 续 函 数 ． 假 设 （ ）， 于 任 意 ０ 厂 ） ｇ（ ）中 ２ ，， 由 ３ 对 （ 和 ０
案 例 ２： 点 存 在 定 理 与 椅 子 放 平 问 题 零
在 介 绍 闭 区 问 上 连 续 函 数 的 零 点 存 在 定 理 时 ， 们 可 以 给 出 下 面 来 自 日常 生 活 中 的 问 题 ： 把 四 条 腿 长 我 一
在高等数学教学中引入数学建模思想的探索与实践
文章 编 号： ０８ ８０ ２ １）３ ０６ － ６ ０ － ３Ｘ（０ ０ － ２ ９０ １ １
・
研 究简 报
在 高等数 学教 学 中引入数 学建模 思想 的探 索与 实践
李长青 ， 吴伟 志 ，张野芳
（ 浙江海 洋学 院数 理与信 息学院 ， 江舟 山 ３ ６ ０ ） 浙 １０ ４
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｅ ｉ ｔｏ ｕ ｔ ｎ Ｏ ｈ ｔ ｅ ｔ ａ ｄ ｌ ｇ ｉ ｅ ｓ ｉ ｅ ｃ ｉ ｇ ｃ ｌ ｕ ｕ ｓｈ ｌ ｆ ｌｔ ｈ ｗ ｔ ｅ ｓ ｒ ｃ ： ｈ ｎ ｒ ｄ ｃ ｉ ｆｔ ｅ ｍａ ｈ ｍａｉ ｌ ｏ ｃ ｍｏ ｅ ｉ ｄ ａ ｎ ｔａ ｈ ｎ ａ ｃ ｌ ｓ ｉ ｅｐ ｕ ｏ ｓ ｏ ｈ ｎ ｆ ｎ ｔ ｎ ｆｍａｈ ｍａ ｉ ａ ｄ ａ ｎ ｔ ｏ ｓ ｆ ｒ ｓｕ ｅ ｔ，ｔ ｔ ａ ｅ ｔ ｅ ｉ ｔ ｒ ｓ ｎ ｃ ｉ ｉ ｆ ｓｕ ｅ ｔ ｆ ｒ ｕ ｃ ｉ ｓ ｏ ｔ ｅ ｔ ｌ ｉ ｅ ｓ ａ ｄ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｔ ｄ ｎ ｓ ｏ ｍｏｉ ｔ ｈ ｎ ｅ ｅ ｔａ ｄ ａ ｔ ｔ ｏ ｔ ｄ ｎ ｓ ｏ ｏ ｃ ｖ ｖ ｙ ｓｕ ｙ ｎ ａｃ ｌ ｓ ｎ ｏ ｉ ｒ ｖ ｈ ｅ ｃ ｉ ｇ ｑ ａ ｉ ｆ ｃ ｌ ｕ ｕ ．Ｔ ｋ ｓ ｆ ｍａ ｈ ｍａｉ ａ ｄ ｌ ｇ ｔ ｄ ｉ ｇ ｃ ｌ ｕ ｕ ，ａ ｄ ｔ ｍｐ ｏ ｅ ｔ ｅ ｔ ａ ｈ ｎ ｕ ｌ ｙ ｏ ａ ｃ ｌ ｓ ｏ ｍａ ｅ ｕ ｅ ｏ ｔ ｅ ｔ ｌ ｍｏ ｅｉ ｔ ｃ ｎ ｅ ａ ｌ ｓ ｉ ｅ ｃ ｉ ｇ ｃ ｌｕ ｕ ， ｗ ｓ ｏｌ ｗ ｔ ｅ ｔｐ－ ｙ－ ｔｐ ｒｎ ｉ ｌ ａ ｄ ｈ ｏ ｅ ｈ ｍａ ｈ ｍａ ｉａ ｘ ｍｐ ｅ ｎ ｔ ａ ｈ ｎ ａ ｃ ｌ ｓ ｅ ｍｕ ｔ ｆｌ ｈ ｓｅ ｂ ｓｅ ｐ ｉ ｃ ｐ ｅ ｎ ｃ ｏ ｓ ｔ ｅ ｏ ｔｅ ｔ ｌ ｃ ｍｏ ｅ ｉ ｇ ｑ ｅ ｔ ｎ ｗ ｉｈ ａ ｅ ａ ｐ ｏ ｒａｅ ｆ ｒ ｔ ｅ ｓｕ ｅ ｔ． Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｅ ｐ ｅ ｅ ｔ ｏ ｒ ｅ ｐ ｏ ａ ｉ ｎ ａ ｄ ｄ ｌ ｕ ｓｉ ｓ ｈ ｃ ｒ ｐ ｒ ｐ ｉｔ ｈ ｔ ｄ ｎ ｓ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｗ ｒ ｓ ｎ ｕ ｘ ｌ ｒ ｔ ｎ ｎ ｏ ｏ ｏ ｐ ａ ｔ ｅ ｏ ｈ ｎ ｒ ｄ ｃ ｉ ｎ ｏ ｔ ｅ ｔ ａ ｄ ｌ ｇ ｉ ｅ ｓｉ ａｃ ｌ ｓｔ ａ ｈ ｎ ｙ ｅ ｅ ｌ ｃ ｔ ｎ ｓｕ ｙ ｒ ｃ ｉ ｎ ｔ ｅ ｉ ｔ ｕ ｔ ｆｍａ ｈ ｍａ ｉ ｌ ｃ ｏ ｏ ｃ ｍｏ ｅｉ ｄ ａ ｎ ｃ ｌ ｕ ｕ ｅ ｃ ｉ ｇ ｂ ｘ ｍｐ ｉ ａ ｉ ｔ ｄ ． ｎ ｉ ｆ ｏ Ｋｅ ｒ ｓ ｍａｈ ｍａ ｉ ａ ｄ ｌ ｇ ｃ ｌ ｕ ｕ ； ｌ ｍｅ ｔ ｒ ｔ ｅ ｔ ｓ ｍａ ｈ ｍａ ｉａ ｄ ａ ｙ ｗｏ ｄ ： ｔ ｅ ｔ ｌｍｏ ｅｉ ； ａ ｃ ｌ ｓ ｅ ｅ ｎ ａ ｙ ｍａｈ ｍａ ｉ ； ｔ ｅ ｔ ｌｉ ｅ ｓ ｃ ｎ ｃ ｃ
将数学建模思想融入高等数学课程教学中的研究
［ 作者简 介］郭志军 （９ ８一） 男 ， １７ ， 辽宁新 民人 ， 宁对外经 贸学 院副教授 ， 辽 硕士 。研究方向 ： 高等数学教学和数学建
模。
４ ８
学 习兴 趣一 下就 提高 了 ， 而激 发学 生 的求知 欲 ， 其 由被 动学 习到 主动研究 。 从 使
来， 各高 校 纷纷对 传 统 的教学方 法和模 式进 行改 革 ， 强 高等数 学 中的应用性 教学 ， 出理论 联系 实际 ， 加 突
让学生为应用而学 。而数学建模正是联系数学理论与应用的一座较好 的桥梁 ， 因此 ， 在高等数学教学过
程 中引人数 学 建模 思想 是十 分必要 的 。 所 谓数 学 建模 ， 是指 对 实际 问题 根据 研究 目的进行 合理 的简化 假设 后 ， 照 其 内在 规 律 ， 用 适 当 按 运
展 的初 衷 “ 提高 学生 素 质 ， 促进 高等 数学教 学改 革 ” 是分不 开 的。 在高 等数 学教 学 中融人 建模思 想可 以增 加学 生 的学 习兴趣 ， 养学生 的创新 能 力 ， 强 团 队合作 意 培 加 识 ， 而增 强 学生 学 习的积极 性 。本 文将 通过 几个 教学 实例 ， 进 分析 与研究 高等数 学教 学 中融 人数学 建模
例 ： 用数学 软件 ｍａ ｅ ａｉ 学 习割 圆术 。 应 ｔ ｍ ｔａ ｈ ｃ
首先 ， 画单 位 圆。应用 函数 Ｇａｈｃ［ ｉ ｌ［ ０ ０ ， ］ ， 示 圆心在 （ ，） 半 径 为 １的 圆 ； 下 ｒｐ ｉ Ｃｒ ｅ ｛ ， ｝ １ ］表 ｓ ｃ ００ 处 接 来， 画圆 内接正 Ｎ边形 。如何 画 圆 内接正 Ｎ边 形 ， 以让 学 生讨 论 。对 回答 正 确 的 学生 给 予 充分 的肯 可
数学建模案例在高等数学教学中的应用
高等数学是高等院校理工科 和经管类学生必修的一门数学基础课 程， 直接关系到学生后续数学课程和专业课程 的学习。然而 ， 现在 的 教学模式 过分强调数 学知识 的理 论性和技巧 性 ，忽略 了数学的应用 性。而数 学建模在提高学生学习数学的兴趣 ，提高学生主动获取 知识 的能力 ，培养学生应用知识解决实际问题的能力等方面体现 了重要 的 作用。因此， 将数学建模的思想融人日常的高等数学的课程教学中是 当今高等数学课程教学改革 的主要趋势。 １ 在高等ｔ学教学过程中啊入救掌ｔ■思想 的必要性 传 统 的数 学课程体 系偏重理 论 、注 重推理 ，淡 化知识 的实际背 景 ，使教学与实际割裂开来 ，导致学生 即使学了很多的公式 、定理 ， 也不能用其解决实际问题。而数学建模就为我们提供了这一平 台，使 学 生在熟练掌握数学基本知识的同时 ， 增强 了分析 、解决实际问题 的
教学文件教学业务部门的管理教学理论教育和研究活动等方面构成保管文件材料这是一种间接的教学活动的原始记录包括教师的教学价值结果的分析分析的论文研究项目教案反思在教学理论以及其他活动间接声像档案如教学实践视频等这些图像表达并辅以简短的文字澄清历史纪录纪录片直观典型的特点学校档案馆协助完成任务中占据重要地位的教育活动知识和信息的方式因为他们是存储详细真实地反映了大学的教学历史图片审查后传送的文件如教师教学教案实验报告研究论文毕业设计论论文等可以快速了解高等教育教学情境的基本使命而且还作为一种教学管理评估的基础上基本参考
证 明 ：将 椅 子 旋 转 ９ ０ 。 ，对 角 线 Ａ ｃ和 Ｂ Ｄ互 换 ， 由
ｇ （ ｏ Ｊ ＝ ０ ， － 厂 【 ０ ） ＞ ０可知 ｇ （ ￣ ／ ２ ） ＞ ０ ， ， ２ ） ＝ ０。令 ＾ ） ＝ ｇ （ ａ ） － ｆ （ ｏ ）
把数学建模融入高等数学教学中的两个案例
ＣＵＩＨａ ・ ｉ ｉｙｎｇ，Ｈ ＯＵ ｅ ｙ Ｗ ｎ—ｕ， Ｌ ｎ ｓ ｎ ＩＬｉ —ｈａ
（ ａｉ Ｃ ｕｓｓＤ ｐ ｒ ｅ ｔ ｆ ｅ ｉｇＵ ｉ ｎ ｅｓ ｙ Ｂ ｉｎ １ ０ ０ ， ｈｎ ） Ｂ ｓ ｏ ｒ ｅ ａ ｍ ｎ ｏ Ｂ ｉ ｎ ｎｏ Ｕ ｉ ｒｉ ， ｅ ｉ ｃ ｅ ｔ ｊ ｎ ｖ ｔ ｊ ｇ ０ １ １ Ｃ ｉａ
象 、 化 、 用数 学 的语 言 和 方 法 ， 立 数 学模 型 ， 简 运 建
边 ， 且 能够 加 深 学生 对 许 多 重要 的数 学概 念 、 而 方
法 的理解 ， 高他们学 习高等数 学 的兴 趣 、 心 ， 提 信 甚
至有 可能造 成 “ 而后 知 不 足 ” 用 的进 一步 学 习 更多
ｏ ｉｈ ｒｍａｈ ｍａｉ ｓｉ ｕ ｏ ｗａ ｄ．Ｔ ａ ｅ ｆｈ ｇ ｅ ｔ ｅ ｔ ｓｐ ｔｆ ｒ ｒ ｃ ｗｏ ｃ ｓ ｓ：ｔ ｅ ｃ ｉ ｃｄｅ ｃ ｅｗｅ ｎ ｍｉ ｕ ｅ ｈ ｎ ｎ ｏ ｒｈ ｎ ｈ ｏｎ ｉ ｎ ｅ ｂ ｔ ｅ ｎ ｔ ａ ｄ ａ ｄ ｈ ｕ ａ ｄ，ｔ ｅ ｓ ａ ｅ ｈ ｈ ｐ
第２ ４卷第 １ 总 ７ 期 ９期
把数学建模融人高等数学教学 中的两个 案例
崔 海英 ， 文 字 ， 林 杉 侯 李
（ 京 联 合 大 学 基 础部 ， 京 北 北 １０ ０ ） ０ １ １
［ 摘 要 ］ 简单介 绍 了数 学建模 ， 出 了可 以将 数 学建模 融入到 高等数 学教 学 中去 ， 出ａｉ ａ ｏ ｅ ｉｇ ｉ ｎ ｒ ｄ ｃ ｄ，ａ ｄ ａ ｄ ａ ｏ ｒ ｉ ｇ ｍａ ｈ ｍ ａｉ ａ ｏ ｅｉ ｇ ｉ ｔ ｅ ｃ ｉ ｇ ｔａ ｔ ｅ ｍ ｔ ｅ ｔｃ ｌｍ ｄ ｌ ｓｉ ｔｏ ｕ ｅ ｎ ｎ ｎ ｉｅ ｆｍｅ ｇｎ ｔ ｅ ｔｃ ｌｍ ｄ ｌ ｎ ｏ ｔａ ｈ ｎ ｎ
数学建模思想方法融入高等数学课堂的教学实例
１ 引言
长 期 以来 ， 高等 数学 教 学 和 培养 学 生 解 决实 例 问题 能力相 脱节 的 现象 比较严 重 ， 统 教 学模 式 所 传 导致 的教学 内容 和体 系一成 不变 、 教学 手段单 一 、 教 学 以考 试 为 目的等 问题 已经严 重地 影 响到高 等数学 的教学 效果 。为改 变 这 一 现状 ， 克服 传 统 教 学模 式
２ ２ 模 型建 立与 分析 ． 看到 这个 问 题 ， 先 ， 指 导 学 生 查 阅 相 关 文 首 要
所带来 的种种弊端， 我们尝试着将数学建模思想方 法融人 到 高等数 学 的实 际 教学 过 程 中 ， 以培养 学 生 解 决实 际 问题 的能力 ， 动 学 生 学 习高 等 数 学 的积 调 极 性 和主 动性 。下面 以一类 变质性 物 品的生 产一库 存 问题 作为应 用 实例 ， 以数 学建模思 想 方法为 指导 ， 尝试着 应用 高等数 学知识 去解 决这 一应 用实例 。
【 ｅ ｏｄ 】 ｍ ｔｅ ａｉ ｏ ｅｎ ；ｄａｃｄｍａｈｍａｉ ；ｅ ｒ ｒｔ ｇｏｓｉｖｎｏｙｓｓ ｍ；ｐｌｄｅａ ｌ Ｋ ｙｗ ｒｓ ａｈ ｍ ｔ ａ ｍ ｄｌ ｇａｖｎｅ ｔｅ ｔ ｓｄｔ ｉ ａｅ ｏｄ； ｅｔｒ ｙｔ ａｐ ｅ ｘｍｐ ｃ ｌ ｉ ｃ ｅｏ ｎ ｅ ｉ ｅ ［ 中图分类号］０ ２ ２７ ［ 文献标识码］Ａ ［ 文章编 号］１７ ６ ４—３２ （０ ２ ０ ２ ９ ２ １ ）３—０ ９ ０ ０ ８— ４
类变质性物品的生产一 库存 问题为例 ， 以数 学建模 思想方 法为指导 ， 应用高等数学知识 去解决应用 实例 ， 对于 强 化学 以致用的 目的、 培养学生的创新意识和创 新能力有很 大的启发性 。 【 关键词】 数学建模 ； 高等数学； 变质物 品； 库存 系统 ； 应用 实例
高等数学在数学建模中科学应用举例
室
设玻璃的热传导系数 为k1，空气的热传导系数 为k2，
内
单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的
室
一侧的热量为θ
外
T1 Ta
T2
Tb
由热传导公式 θ=kΔT/d
d
l
解得：
d
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
Tb l
k1
Tb
T2 d
Ta
1 k1l k2d T1 T2
R 线速 度v显然也是常数，否则图象声音必然会失真。此外，计数器的读 数n与转
ωvt 积分得到过的圈数有θ关，从而与转t 过的角
度θ成正比2 。
1 2
dθ v( π r ) dt 0
0
即
θ
2π ω
( ωv t π
r
2
)
1 2
t 0
2π ω
( ωπv t
再一步深入考虑
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来 的时间记 为t2，还得解一个方程组：
h
g k
( t1
1 k
e kt1
)
g k2
h 340t2
这一方程组是非线性 的，求解不太容易， 为了估算崖高竟要去 解一个非线性主程组 似乎不合情理
t1 t2 3.9 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次 h，令
令k=K/m，解得
F m dv mg Kv
v
dt
cekt
g
k
代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有
再积分一次，得：
v g g ekt kk h g t g ekt c k k2
高职《高等数学》教学中融入数学建模思想的几个案例
高职《高等数学》教学中融入数学建模思想的几个案例摘要：本文就高职高专高等数学课程在微分学的教学过程中，融入数学建模思想给出了若干个案例，旨在加强数学建模向高等数学渗透，增进学生对数学建模的了解，提高学生学习数学的兴趣，并使其感受数学应用的广泛性。
关键词：高职高等数学数学建模案例近年来，我国高等职业教育蓬勃发展，高等职业教育肩负着培养面向生产、建设、服务和管理第一线需要的高技能人才的使命。
高等职业教育的培养目标决定了高职培养的是高技能专门应用型人才，不要求学生的理论水平多高，但实践能力、动手能力要强。
数学建模在国民经济和社会活动的诸多方面都有非常具体的应用。
数学建模是用数学方法解决实际问题的第一步，许多模型的求解要借助计算机软件求解。
数学建模是把数学与计算机技术相结合解决各领域实际问题的一门学科。
现在的高职院校开设的数学课课时较少，而数学建模侧重数学应用，内容贴近实际，丰富多彩，是很好的培养应用能力的载体，很有必要把数学建模案例有机融入高等数学课程教学中，一方面培养学生的能力，提高素质，另一方面让学生体会到所学的数学是有用的，而且贴近实际的鲜活案例还能提高学生学习的兴趣，一举几得何乐不为。
下面就高等数学课中可融入数学建模的地方给出几个案例。
一、函数部分，可融入建立函数关系的几个案例案例1某单位要建造一个容积为v(m3)的长方形水池，它的底为正方形，如果池底的单位面积造价为a元,侧面单位面积造价b元，试建立总造价与底面边长之间的函数关系.案例2 某种品牌的电视机，销售价为1500元时，每月可销售2000台，每台销价为1000元时，每月可多销售400台．试求该电视机的线性需求函数．案例3某工厂生产某型号车床,年产量为a台,分若干批进行生产,每批生产准备费为b元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存费为c元.显然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,因而生产准备费高.为了选择最优批量,试求出一年中库存费和生产准备费之和与批量的函数关系.案例4有一块边长为l(cm)的正方形铁皮，它的四角剪去四块边长都是x的小正方形，形成一只没有盖的容器，求这容器的容积v 与高x的函数关系．5某单位有汽车一辆，一年中的税款、保险费及司机工资等支出共a（元），另外，行驶单位路程需油费b （元），试写出一年中该车总费用y与行驶路程x的函数关系式．案例6一物体由静止开始作直线运动，前10s内作匀加速运动，加速度为2m/s2，10s后作匀速运动，运动开始时路程为零，试建立路程s与时间t之间的函数关系．7某地区上年度电价为0.8元/kw.h.，年用电量为a/kw.h.，本年度将电价降到0.55元/kw.h至0.75元/kw.h.之间．而用户期望电价为0.4元/kw.h．.经测算，下调后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k)，该地区电力的成本价为0.3元/kw.h,写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式（提示：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价））．8 1982年底，我国人口为10.3亿，如果不实行计划生育政策，按照年均2%的自然增长率，那么到2000年底，我国人口将是多少？若人口基数为p0，人口自然增长率为r，试建立人口模型。
数学建模案例在高等数学教学中的应用探讨
多 学生 根本 不会 灵 活运 用 数 学 知 识 去 解 决 实 际
问题 ． 而 数学 建模 就是将 现 实生 活 中的实 际 问题 转 化 为数学 问 题 的一 门课 程 ． 因此 ， 我 们 应 该 在 高 等数 学 的教学 中 ， 用 数学 建模 的具体 案 例 使学 生 深刻认 识 到那 些枯 燥无 味 的概 念 、 公式 、 定理 ，
荆 科， 康 宁 ， 姚 云飞
（ 阜 阳师范学院 ）
【 摘
要】简要 分析高等数学与数 学建模的联 系， 研究了基 于数学建模思想在
高等 数 学课 程教 学 中的应 用 ， 探 讨 了在 高等 数 学教 学过 程 中适 当融入 数 学 建模 思
想 的必要性 及 原则 ， 并通 过具 体 数 学建 模 案 例 来 阐述 如 何 在教 学 中恰 当的 引入 数
并 非无 本之 木 、 无源之水． 从 而使 得 学 生 对 学 习 高 等数 学产 生浓 厚 的兴趣 ． 在 高等 数学 的教 学 中
引 人数 学建 模 案 例 的 目的 就是 让 学 生 知 道 高 等 数 学有 用 和怎样 用 ．
中心组 织 基 础 知 识 讲 授 ， 以“ 练” 为 手 段 选 择 灵
学 建模 案例 ， 将 复 杂 的概 念 ， 抓住实质讲 的明白 易懂 ， 使学 生觉 得 自然 亲切 ， 趣 味盎 然． 使 学生 把
阶段 的很 多 后继 课 程 在 本 质 上 都 可 以看 作 是 它 的延伸 、 深化 和应 用． 但是 ， 现在 的高等 数 学 的教
数 量变 化关 系 的分 析 ， 建 立 各类 数 学模 型 等 等 ．
这 些 内容 的融人 大大地 增 强 了课 程 的生 动性 ， 丰
将数学建模引入高等数学教学中的典型案例_朱长青
总 之 ，只 要 我 们 在 平 时 的 教 学 中 ，把 数 学 教 学 和 数 学建模有机地结合起来，在教学的每一环节适时适当渗 透 数 学 建 模 思 想 ，可 以 提 高 学 生 的 各 方 面 能 力 ，有 助 于 他们更好的学好专业课，更有利于今后适应时代对人才 的需要。
参考文献： [1]同济大学数学系.高等数学(第六版)上册[M].北京:高等教 育出版社,2007:23-24. [2]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学 教学,2006(1):9-11. [3]孙秀娟，王桂秋，杜广环．数学建模案例的应用研究[J]．高师 理科学刊，2010(4):41-43. [4]杨宏林，李医民，王学弟．关于数学建模课程的一些思考[J]． 大学数学，2012(4):113-115.
没有交叉点，P 是曲线所围成的图形上任意一点。求证：过
P 点一定存在着一条能够将图形面积二等分的直线 L。 符号说明：P 是曲线所围成的图形上一点；L 为过 P
点的任意一直线；S1，S2 表示直线 L 将曲线所围图形分为 两部分的面积；α0 为直线 L 与 X 轴的初始交角。
模型求解：如果 S1=S2，则 L 即是所要找的直线，现 在，考虑 S1≠S2 的情况，假设 S1<S（2 S1>S2 同理）。点 P 为旋 转中心，直线 L 按逆时针方向旋转，则面积 S1，S2 依赖于 角 α 连续地变化，即 S1=S（1 α），S2=S（2 α）都是关于角 α 的 连续函数。
参考文献： [1]吴志强.全面提高本科实验室条件建设质量之举措[J].实验 室研究与探索，2012（7）：1-4. [2]刘树郁.高校实践教育的探索与思考[J].实验室研究与探 索，2012,31(6):103-105. [3]时铭显.面向 21 世纪的美国工程教育改革[J].中国大学教 育，2002，3.
将数学建模引入高等数学教学中的典型案例
将数学建模引入高等数学教学中的典型案例作者：朱长青来源：《价值工程》2014年第03期摘要：首先阐述了将数学建模思想融入高等数学教学内容中的意义，接着从高等数学中的基本概念和基本定理出发，通过具体案例说明如何将数学建模案例融入在高等数学教学中。
最后给出了根据高等数学内容选编的典型建模案例。
Abstract： Firstly， the significance of integrating ideas of mathematical modeling into the content of higher mathematics course is discussed. Then starting from the basic concept and basic theorem of higher mathematics， it through concrete example shows how to blend mathematical modeling case in higher mathematics teaching. Finally， typical cases according to the content of higher mathematics are given.关键词：数学建模；高等数学；微分方程；零点定理Key words： mathematical modeling；higher mathematics；differential equation；zero point theorem中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）03-0258-020 引言高等数学课程[1]是数学类主干课程的核心，长期以来，在高等数学的教学中，教材大部分内容讲解概念、定理、推论及公式，教学上一味强调数学的严密性和逻辑性、抽象性，让学生感到似乎数学离我们很远，甚至有学了也没有什么用的错误想法，而数学建模正是联系数学理论知识与实际应用问题的桥梁，反映数学知识在各个领域的广泛应用，所以我们教师在高等数学教学过程中要不断渗透数学建模思想。
数学建模在高数教学中的应用
数学建模在高数教学中的应用【摘要】数学建模是高等数学教学中的一种重要方法，通过模拟实际问题并应用数学知识进行分析和求解，帮助学生更好地理解数学概念和方法。
本文从理论基础、方法论、具体应用案例、课程设置和发展趋势等五个方面探讨了数学建模在高数教学中的应用。
在理论基础部分，介绍了数学建模的基本原理和方法。
在方法论部分，探讨了如何运用数学建模进行数学教学。
具体应用案例展示了数学建模在实际问题中的应用。
课程设置部分提出了将数学建模融入高数课程中的建议。
结论部分强调了数学建模在高数教学中的重要性，提出了启示和展望。
通过本文的研究，可以更全面地了解数学建模在高数教学中的应用及其未来发展方向。
【关键词】数学建模, 高数教学, 应用案例, 理论基础, 方法论, 课程设置, 发展趋势, 重要性, 启示, 展望1. 引言1.1 数学建模在高数教学中的应用概述数学建模是一种将现实问题抽象为数学模型并通过数学方法解决的方式，已经在高数教学中得到广泛应用。
数学建模不仅可以提高学生对数学知识的理解和运用能力，还可以培养学生的实际问题解决能力和创新思维。
在高数教学中，数学建模的应用不仅可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念，还可以帮助他们将数学知识应用到实际问题中，培养学生的创新意识和实践能力。
通过数学建模, 学生可以学会如何利用数学工具来解决实际问题，培养学生的团队合作精神和创造能力。
数学建模还可以激发学生对数学的兴趣，提高学生的学习积极性和主动性。
数学建模在高数教学中的应用具有重要意义，可以促进学生全面发展，提高教学质量，培养学生的综合素质。
2. 正文2.1 数学建模在高数教学中的理论基础数学建模在高数教学中的理论基础是指在数学教学中运用数学建模方法所依据的理论原理和基础知识。
数学建模在高数教学中的理论基础主要包括数学分析、微积分、代数、几何、概率统计等数学基础知识，以及运用数学模型描述和解决实际问题的理论方法。
在数学建模中，数学分析和微积分是最基础的理论工具。
基于数学建模素养的高中数学教学案例
基于数学建模素养的高中数学教学案例一、教学目标在高中数学教学中，除了传授数学知识和解题技巧外，培养学生的数学建模素养也是非常重要的。
数学建模素养是指学生通过数学知识和技能来解决现实问题的能力和意识。
本教学案例旨在通过一系列的实例演练，帮助学生提高数学建模的能力，培养他们的实际问题解决能力。
二、教学内容本教学案例以高中数学中的函数与方程为主要内容，通过实际问题进行建模分析，并运用数学知识进行解决。
具体包括以下几个部分：1. 数学建模的基本概念和流程2. 实际问题的建模分析3. 函数和方程的应用4. 模型的建立与求解5. 结果的解释和实际问题的反馈三、教学过程1. 学生案例学习教师引导学生阅读一则关于人口增长模型的报道，让学生了解实际问题的背景和需求。
然后，教师提出以下问题：某国家的人口增长率为2%，根据该增长率，编制一个函数模型来描述20年后该国的总人口数。
然后，学生分组讨论，利用所学的函数和方程知识，进行建模分析并解决问题。
2. 知识梳理和讲解在学生进行案例分析过程中，教师及时进行知识点的梳理和讲解，引导学生运用函数的增长模型，对人口增长问题进行建模和求解，学生在实际问题的引导下，能更好地理解函数和方程的应用。
3. 实例演练在学生掌握了基本的建模流程和方法后，教师通过具体的实例演练，引导学生进一步加深对数学建模的理解。
通过“某城市的公交车票价为3元/人次，每天乘坐公交车的人数为3000人，现在市政府打算每次将票价提高0.5元，问提高后的票价是多少时，市民乘坐公交车的人数会下降到2000人？”这个实际问题，让学生运用函数的应用知识，进行建模分析和求解。
4. 模型的建立与求解在实例演练中，教师引导学生运用函数和方程的知识，建立模型并求解问题。
通过老师示范和学生练习相结合的方式，让学生在实际操作中掌握建模和求解的方法和技巧。
5. 结果的解释和实际问题的反馈教师和学生一起讨论并解释模型的结果，对实际问题进行反馈和分析。
数学建模思想融入高等数学教学的理论与实践
２ ． ２ 在数 学应用 时体现数 学建模 思想
在每章学完之后 ，适 当选择一些 与本章 内容相关 的实际应用问题 ，引导学生进行分
数学建模思想融人 高等数学教学 的理论 与实践
何俊杰 ，王娟
高等数学是大学数学类主干课程 ，其 目的是通过教学活动让学生掌握数学的基本理论 、 思想 和方法 ， 培养学生的数学应 用 意识 ， 提高学生运用数学知识分析解决其他学科 问题 或生产 、 生活实际 问题 的能力” ‘ ．而数学建模作 为一项数学教学 活动 ， 为培养 学生利用数学方法分析 、解决实际问题的能力开辟 了一条新 的途径 ．很多学校和教师开始思考高等数学教学和数学
２ ． ３ 在课 程大作业 中突出数 学建模 思想
在高等数学的教学 中引入课程大作业 的实践环节 ，可以弥补高等数学教学课时的
不足．课程大作业 主要包括 与现实生 活密切相关 的综合性应 用问题 以及数 学方 法的计算 机实 现等 ． 这些实 际上就是建立数学 模型和求解数学模型 的过程 ， 目的是为 了进一步 培养 学生综合 分析 问题 和解决 问题 的能力 ，增 强学 生应用数学 的意识 ．
教学方法与手段 的改革 ． ２ 数学 建模 思想 融入 高等 数学教学的途径
２ ． １ 在概 念引入 时渗透数 学建模 思想
高等数 学教学过程 中要注重概念 的形 成过程 ，通过用学生熟知的 、贴近生活 的实际
问题引入概念 ， 让学生从多方面 、多角度 了解数学概念 的背景与来源 ，体会数学概念是从客观事物的数量 关系中抽 象出来 的 数学模 型 ，是与 实际生活 和科学发 展密切相关 的．如引入导数概念时 ，为了让学生领 会导数的本质就是 相对 变化率 的极 限 ，
数学建模思想融入高等数学教学的研究
是学 习第二 换元 和分 部积 分 的前 提
律讲 授 同样 的数 学理 论 笔者 主张分 专业 ． 合实 结 与专 业相 关 的一 些模 具 ． 圆环 ， 解 以 多边 形 近似 如 讲
际 讲授 理论 比如在工 科专 业讲授 极 限定义 时 ． 找到
代 替 圆形 最早并 没有 出现 圆形 ． 人们 就用 正多 边形 去 逼近 圆形 ， 发现边 数越 多 ， 变长就 越短 ， 近似 效 果就
论． 不但使 学生 学 到知识 ． 也让 他们 体验 到探 索 、 发现 和创 造 的 过程 ． 学 生产 生 成 就感 ． 时也 让 学 生对 让 同 数 学产 生兴 趣． 如 ． 讲 授两个 重 要 极 限时 ． 科专 例 在 工
业 可 以 从 它 的 “ ／” “ ∞” 形 式 让 学 生 自 己 分 析 极 ００ ． １ 的
数 学建模思想融入高等数学教学 的研究
程 树 林
摘要 ： 高等 数 学 是 高等 院校 中非 常 重要 的 一 门基 础 课 程 ， 于 学 习方 法 的 问题 ， 多学 生认 为这 门课 难 学 ． 针 对 这 些 问 由 很 ． 题 ， 高等 数 学 的教 学 中 融入 数 学建模 方 法 ． 在 改进 高数 教 学 ． ． 关键词 ： 高等 数 学 ： 学建 模 思 想 ： 学 软件 ： 合 实例 数 数 结 中图分类号： ６２ Ｇ４． ０ 文 献 标识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ ３ １ ９ （ ０ ２ ０ — １ ０ ０ １７ — ９ ９２ １ ）６ ０ ８— ２
以数学模型为中心在医用高等数学教学中的引入及应用
以数学模型为中心在医用高等数学教学中的引入及应用1. 引言1.1 背景介绍医学领域一直以来都在不断追求更准确、更高效的诊断和治疗方法，而数学模型的引入为医学研究提供了全新的思路和工具。
数学模型在医学中的应用日益广泛，从生物医学工程到流行病学，从医学影像分析到药物动力学模拟，数学模型的作用不可小觑。
随着医学知识的不断扩展和深化，传统的医学教学方式已经无法满足日益增长的需求。
以数学模型为中心在医用高等数学教学中的引入成为一个备受关注的话题。
通过引入数学模型，可以更好地帮助医学生理解和掌握医学知识，同时培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
本文将围绕数学模型在医学教学中的应用进行深入探讨，通过案例分析和教学效果探讨，进一步验证数学模型在医学教学中的重要性。
展望未来，我们希望能够进一步探索数学模型在医学领域的潜力，为医学研究和教育带来更多创新和突破。
1.2 研究意义数学模型可以帮助科研人员更准确地预测疾病的发展趋势和治疗效果。
通过建立数学模型，可以对疾病的发病机理进行深入分析，从而制定更科学的治疗方案。
数学模型还可以帮助医学研究者模拟不同的治疗方案，评估其效果，从而提高治疗的成功率。
引入数学模型在医学高等数学教学中也具有重要的意义。
通过将数学模型融入医学教学中，可以帮助学生更好地理解医学知识，并培养他们的分析和解决问题的能力。
通过实际案例的分析，学生们可以更深入地了解数学模型在医学中的应用，从而激发他们对医学研究的兴趣。
1.3 研究目的研究目的主要是探讨以数学模型为中心在医用高等数学教学中的引入及应用的必要性和可行性。
通过深入研究医学与高等数学的联系以及数学模型在医学中的应用，我们可以更好地理解数学在医学领域的重要性和实际应用。
通过对以数学模型为中心的教学方法进行案例分析和教学效果探讨，我们可以评估这种教学模式对学生学习成果的影响。
最终，研究的目的是为了提高医学生对数学知识的理解和运用能力，培养他们将数学知识应用于医学实践中的能力，为医学教育和医学研究的发展提供更好的支持和帮助。
将数学建模思想引入经管类高等数学教学中的探索
ｐ＝ｉ ｍ ｉ ｌ ｍｐ ＝ｌ ｍｐ（＋ ／ ＝ ｅ １ ｒｍ）“ｐ
．
（） ２ 涉及 不 定积 分 与 定积 分 的 数 学模 型
【 航空公 司是租客机还 是买客机 问题 】某航空公 司为 了
发 展 新 航 线 的航 运 业 务 ， 要 增 加 ５ 波 音 ７ ７ 机 ． 果 购 需 架 ４客 如 进 一 架 客 机 需 要 一 次 支 付 ５０ 万 美 元 现 金 ， 机 的使 用 寿 命 ００ 客 为 １ 年 ．如 果 租 用 一 架 客 机 ． 每 年 需 要 支 付 ６ ０ 美 元 的 租 ５ ０万 金 ． 金 以 均 匀 货 币 流 的 方 式 支 付 ． 银 行 的 年 利 率 为 １％ ， 租 若 ２ 请 问购 买 客 机 与 租 用 客 机 哪种 方 案 最 佳 ？ 如果 银 行 的 年 利 率
为６ ％呢 ？
数 学 建 模 竞 赛 活 动 的开 展 ， 过 发 挥 其 独 特 的 作 用 ， 疑 可 通 无 以 为 实 施 素 质 教 育 作 出 重 要 的 贡 献 ．数 学 建 模 是 指 把 现 实 世 界 中 的 实 际 问题 加 以 提 炼 ， 象 为 数 学 模 型 ， 出 模 型 的 抽 求 解 ， 证 模 型 的 合 理 性 ， 用 该 数 学 模 型 所 提 供 的解 答 来 解 验 并 释 现 实 问 题 ．数 学 建 模 的 教 学 及 竞 赛 是 实 施 素 质 教 育 的 有
可 ｐｐｌ 知： ＜＋ ｍ ＿
即结 算 次 数 越 多 ， 客 的 最 终 存 款也 就越 多 ． 顾 （ ） 年 结 算 ｍ次 时 ， 利 率 为ｒ 共 结 算 ｍｎ ， ｎ 后 ３每 复 ／ ｍ， 次 将 年 顾 客 的存 款 额 记 为ｐ ， ｐ＝ （＋／ ． 则 ｐ１ｒ ｍ）
基于数学建模素养的高中数学教学案例
基于数学建模素养的高中数学教学案例随着数学建模在现代社会的广泛应用，数学建模已成为高中数学教学中不可或缺的一部分。
数学建模能够培养学生的综合运用数学知识和解决实际问题的能力，提高学生的数学素养和创新意识。
本教学案例以数学建模为主题，通过学习集合论和概率论的相关知识，培养学生的数学建模素养。
一、教学目标1. 理解集合的基本概念和运算法则。
2. 掌握集合的常见问题的解决方法。
3. 熟练运用概率的概念和方法分析和解决实际问题。
4. 培养学生的数学建模意识和解决实际问题的能力。
三、教学过程1. 导入：通过介绍数学建模在现实生活中的应用，向学生展示数学建模的重要性和实用性。
2. 学习集合论的基本概念和运算法则，例如集合的定义、空集、全集、交集、并集等。
3. 给出一些简单的集合问题，让学生尝试解答。
例如：已知集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，求A和B的交集、并集、差集等。
4. 学习概率论的基本概念和计算方法，例如概率的定义、概率的计算公式、事件的互斥和独立等。
5. 给出一些实际问题，让学生运用概率知识解决。
例如：某班级有40名学生，其中10名学生会弹吉他，20名学生会弹钢琴，5名学生既会弹吉他又会弹钢琴。
从这些学生中随机挑选一名学生，求这名学生会弹钢琴或吉他的概率。
6. 提供更复杂的数学建模问题，让学生分组探究解决方案，并展示给全班。
例如：某城市的人口有男性和女性两个性别，男性人口占总人口的60%，女性人口占总人口的40%。
已知男性中有5%是大学生，女性中有2%是大学生。
从该城市的人口中随机选择一个人，求这个人是大学生的概率。
7. 结束：总结本节课所学的数学建模的知识和方法，强调数学建模的重要性和实际应用。
四、教学评价1. 老师可以通过课堂练习和小组讨论等方式对学生的理解和掌握情况进行评价。
2. 学生可以通过小组展示和个人思考等方式对教学内容进行评价。
五、延伸拓展1. 鼓励学生进行更多的数学建模实践，探究和解决实际问题。
在高等数学中融入数学建模的教学案例分析
第２７卷㊀第３期河南教育学院学报(自然科学版)Ｖｏｌ.２７㊀Ｎｏ.３２０１８年９月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ(ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ)Ｓｅｐ.２０１８收稿日期:２０１８－０５－１７基金项目:河南省高等学校重点科研项目(１８Ｂ１１００１８)ꎻ商丘学院教改项目(ＫＹＣ－２０１７－２４)作者简介:仝㊀伟(１９８５ )ꎬ男ꎬ河南信阳人ꎬ商丘学院计算机工程学院讲师.ｄｏｉ:１０.３９６９/ｊ.ｉｓｓｎ.１００７－０８３４.２０１８.０３.０１４在高等数学中融入数学建模的教学案例分析仝㊀伟(商丘学院计算机工程学院ꎬ河南商丘４７６０００)㊀㊀摘要:结合高等数学课堂教学实践ꎬ以问题为导向ꎬ通过实际案例剖析如何将数学建模的思想融入高等数学的教学中ꎬ并对教学效果进行分析和评价ꎬ促使教师改变教学模式ꎬ从而提高学生学习兴趣和课堂教学质量ꎬ进而提高学生解决实际问题的数学素养.关键词:高等数学ꎻ数学建模ꎻ案例研究ꎻ教学模型ꎻ教学方法中图分类号:Ｇ６４２.４㊀㊀㊀㊀文献标志码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００７－０８３４(２０１８)０３－００５８－０４０㊀引言随着信息多元化的快速发展ꎬ各种新事物不断涌现ꎬ大学生对数学的学习重视程度有不断下降的趋势ꎬ他们很少有人能够认识到当今社会如此受崇拜的高科技技术其本质上是数学技术ꎬ比如医学上的ＣＴ(ｃｏｍ￣ｐｕｔｅｄｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ)技术㊁图像模糊处理技术㊁指纹存储识别㊁数据分析处理㊁金融风险预测㊁人工智能机器人的设计㊁导弹的轨迹追踪以及火箭的可靠性试验等.当今的数学知识不再是一个辅助作用ꎬ而是更广泛地直接应用到各技术领域中ꎬ数学正在向一切领域渗透.作为一名高校教师的迫切任务是如何使学生认识到数学的重要性ꎬ把数学的思想㊁方法等轻松愉快地传授给他们ꎬ使他们能够用数学思维方式去思考问题.在教学中笔者感触最深的是ꎬ学生学完数学课程ꎬ只会完成一些设定好的简单计算ꎬ而对一些实际问题ꎬ不会利用数学方法去处理ꎬ比如说和我们的生活息息相关的贷款利息的计算问题.贷款买房ꎬ如果采用等额本息还款方式ꎬ如何选择贷款年限以及清楚地计算出每月的还款额ꎬ很多学生甚至身边的同事都感到茫然ꎬ感觉这应该是很高深的算法.其实学过数列的相关知识ꎬ就很容易解决这样的问题.这种现象也从侧面反映了应试教育的缺陷ꎬ应该引起高校教师的重视.为了改变这种现象ꎬ在教学中应该把数学建模的思想融入数学类主干课程中[１]ꎬ利用它引入数学中的概念㊁方法㊁思维ꎬ使数学课堂更加贴近实际生活ꎬ让学生感觉到高等数学不再是那么虚无缥缈的东西ꎬ不仅体会到了数学知识的魅力ꎬ还提高了学生分析解决实际问题的能力ꎬ使学生更有兴趣主动地思考问题.高等数学是一门比较抽象的学科ꎬ也是大部分同学进入大学都要学习的一门公共课程.但是教学模式跟不上时代发展的需要ꎬ教材编写规范化㊁严谨化ꎬ导致学生看到的都是概念㊁定理㊁抽象符号ꎬ实例又比较陈旧ꎬ和生活脱节ꎬ所以限制了学生学习的主动性和积极性.这就要求教师要充分备课ꎬ收集一些与生活密切相关㊁同学们又比较关心的数学模型引入数学课堂教学.数学模型一定要简单易懂ꎬ与生活联系紧密ꎬ引起学生的关注和兴趣ꎬ这样调动了学生积极思考的主动性ꎬ从而顺利地切入数学专业知识讲解中来.１㊀如何将数学建模思想融入高等数学教学中高等数学教学内容较多ꎬ而教学课时有限ꎬ因此如何讲好高等数学课程对数学教师提出了严峻的挑战[２].不能再像以前一样满堂课全面讲解系统的理论知识ꎬ教会学生如何解题ꎬ而应该尽快改变这种教学模式ꎬ认识上要把数学当做一种工具去解决实际问题作为学习的出发点ꎬ从而提高数学的地位ꎬ满足社会发展的需要.如何快速恰当地将数学模型思想融入要讲的数学知识中ꎬ这就要求教师备课不能仅仅局限于教材ꎬ要查找文献素材或者创新实例ꎬ把与生活密切相关又恰到好处的实例模型融入要讲解的课堂内容中.这种教学模式对教师提出了较高的要求ꎬ不仅要求教师具有较强的专业知识ꎬ同时还要求教师开阔视野ꎬ拓宽自己㊀第３期仝㊀伟:在高等数学中融入数学建模的教学案例分析５９的知识面ꎬ尽可能多地了解和涉及数学在其他科学领域中的应用.比如ꎬ教经济类的学生㊁计算机类的学生㊁土木工程和通信工程的学生ꎬ他们对数学的偏重点不同ꎬ讲课尽可能收集到和专业相近的数学模型ꎬ补充到教材中去.教师是学生获得知识的主要来源ꎬ因此要求教师要向双师型转变ꎬ在注重理论知识的同时ꎬ还要有丰富的企业实践经验ꎬ从而更好地给学生传道㊁授业㊁解惑.高等数学中的许多概念㊁定理并不是 无源之水 ꎬ它们都是来源于实际问题ꎬ通过某一类实际问题ꎬ抽象出数学中的符号和工具ꎬ从而更好地解决此类问题ꎬ所以在大学的数学课堂中ꎬ我们的教学不能仅仅讲解抽象概念㊁符号ꎬ应该以问题为导向ꎬ引导学生在观察一些现象中主动去思考总结ꎬ下面举一些实际案例讲解如何把数学建模思想融入高等数学的教学中去.比如教师在讲解导数的概念时ꎬ不要仅仅局限于直接讲导数的定义㊁导数代表切线的斜率等ꎬ而要给学生灌输一种数学思想ꎬ把导数直接表述为变化率ꎬ让学生直观地去接触㊁理解一个未知的概念ꎬ然后ꎬ让同学们思考变化率代表什么样的现象ꎬ如生活中见到物体冷却时温度随时间变化的快慢ꎬ物体位移随时间变化的快慢等ꎬ让学生体会变化率贴近生活的含义ꎬ让学生真正理解原来导数是描述这种现象的.例如ꎬ在讲解定积分的概念时ꎬ一定要让学生了解其产生的实际背景及涉及的故事情节ꎬ了解其用途ꎬ真正体会定积分的含义ꎬ并用其解决实际生活中的问题ꎬ拉近数学与生活的距离.可以提问学生各种几何图形面积的求法ꎬ比如如何求椭圆的面积.给大家一点时间思考ꎬ通过讨论发现它们和规则图形的区别ꎬ由常量到变量如何处理这种问题.大家还能想到哪些变量数学问题ꎬ比如物理上恒力做功到变力做功ꎬ匀速直线运动到变速直线运动等.通过分析发现解决这类问题的共同点ꎬ不同背景下的问题最终归结成一类问题ꎬ那能不能用更好的方法或工具解决呢?从而避免了很多重复的工作ꎬ这样就水到渠成地引出了概念定理的核心内容.由具体到抽象ꎬ顺理成章地给出了定积分的概念ꎬ同学们知道定积分原来是解决这一类问题而产生的ꎬ比先讲概念再举例子效果更好.在讲解高等数学中的微分中值定理时ꎬ大部分教师只是讲解如何构造辅助函数ꎬ从几何角度出发证明定理.其实还可以按照它的物理实际意义去讲解ꎬ如平均速度等于某一时刻的瞬时速度.对于拉格朗日中值定理可举例:某个游客９点从山脚下出发ꎬ到１４点爬到山顶ꎻ第二天上午９点从山顶出发ꎬ到１４点到达山脚.问题:上山和下山过程中能否找到某一时刻的速度相同?这样通俗易懂的实例很容易激发同学们的思考.两者对学生能力培养有着不同的价值ꎬ前者突出对定理证明的理解和证明能力的提高ꎬ后者则突出对定理内涵的理解和应用能力的提高ꎬ应针对学生实际ꎬ有侧重采用不同的讲法ꎬ以通俗易懂的方式㊁素材㊁实例㊁讲解微积分ꎬ前提要求教师要充分备课.上例还可以用于讲解一元函数的介值定理ꎬ例如:某人第一天早上８点从山下出发ꎬ１４点到达山顶.第二天早上８点由山顶出发按照原路线返回ꎬ并于１４点到达山下原出发点.问题:在两天的行程中是否存在这样一个位置ꎬ该人经过这个位置的时刻相同[３]?针对该实际问题可建立数学模型:已知连续函数ｆ(ｘ)和ｇ(ｘ)ꎬ其中ｘɪ[ａꎬｂ]ꎬ且有ｆ(ａ)＝８ꎬｆ(ｂ)＝１４和ｇ(ａ)＝１４ꎬｇ(ｂ)＝８ꎬ求证存在一点ｘ０ɪ[ａꎬｂ]ꎬ使得ｆ(ｘ０)＝ｇ(ｘ０).高等数学作为基础学科ꎬ要弱化定理的证明过程ꎬ教会学生用直观的几何解释理解定理的内容ꎬ这样就减轻了学生的思维负担.比如在讲解微分方程的齐次方程时ꎬ向同学们提问探照灯或者汽车车灯的镜面是什么样的形状ꎬ为什么要这样去设计呢ꎬ改成其他形状好不好?这些都是现实中的实际问题ꎬ能够引起学生强烈的好奇心ꎬ活跃课堂气氛.比如在讲解极限时ꎬ可以提出这样的问题:一天之中分针和时针重合的时间有多少次?这种问题同学们在生活中经常遇到ꎬ教师可以先把它留下来给学生课下思考ꎬ大家经常见到这种现象ꎬ所以他们应该会感兴趣ꎬ思考解决此类问题的办法.在课堂教学中融入数学建模思想ꎬ可以有效解决数学教学的枯燥无味ꎬ因为通过数学建模的问题往往都是来源于实际生活ꎬ我们为了改变和创造世界ꎬ就不得不面临着做出各种合理的假设ꎬ收集各种数据ꎬ再利用数学方法建立各种变量之间的关系ꎬ即数学模型.复杂的模型求解还需要借助计算机软件处理ꎬ用得到的结果验证实际效果ꎬ整个过程就是一个不断探索创新㊁不断改进㊁不断优化的过程ꎬ让学生成为主体ꎬ锻炼学生观察事物㊁团结合作的能力.２ 教学中融入数学建模案例分析案例选取要精巧适度㊁实际应用性强㊁学生比较感兴趣ꎬ同时具备人文气息.通过通俗易懂的语言描述出来ꎬ上课语言幽默和风趣ꎬ内容充满生活性和文化性ꎬ这样会给学生带来耳目一新的感觉ꎬ使数学恢复原本所具有的人文色彩和生活色彩.下面举几个教学中的实例进行分析ꎬ例如在讲解一阶常微分方程时引入 物体６０㊀河南教育学院学报(自然科学版)２０１８年冷却模型 .案例１㊀把一杯１００ħ开水放到周围环境温度２０ħ中ꎬ观察水的温度在冷却过程中的变化规律.分析㊀根据牛顿冷却定律ꎬ物体温度Ｔ(ｔ)的变化率与物体Ｔ和环境的温度之差成正比的关系.设Ｔ＝Ｔ(ｔ)ꎬ则ｄＴｄｔ＝－ｋ(Ｔ－２０)(ｋ>０)ꎬ这就是物体冷却过程的数学模型.得到了含有温度Ｔ关于时间ｔ的导数的方程ꎬ可以请学生观察这个方程与之前学习过的方程有什么异同.通过这个方程我们能解出关于Ｔ(ｔ)的函数关系吗?如果能解出来ꎬ方程的解是什么呢?如何解呢?通过这个问题我们可以首先引入微分方程的概念:含有未知函数Ｔ及它的一阶导数ｄＴｄｔ的方程ꎬ称为一阶微分方程.模型求解:确定Ｔ和时间ｔ的关系ꎬ需要从方程中解出Ｔꎬ如何求解该微分方程呢?将方程改写成１Ｔ－２０ｄＴ＝－ｋｄｔꎬ这样变量Ｔ和ｔ就分离出来了ꎬ两边同时积分ʏ１Ｔ－２０ｄＴ＝ʏ－ｋｄｔꎬ即ｌｎＴ－２０＝－ｋｔ＋ｌｎＣꎬ则Ｔ＝Ｃｅ－ｋｔ＋２０.从而不需要测量就可以得到任意时刻水在冷却过程中的温度.然后让同学们思考:这个模型可以应用到哪些方面?比如说侦探小说里面的法医鉴定某人死亡的时间大致在几小时之前.还可以给同学们布置课外作业 请你破案 [４]ꎬ这样的模型选取简单易懂ꎬ同学们经常在电视剧和小说中看到这种情景.所以很容易让同学们产生共振ꎬ激发学生探索思考ꎬ从而让学生既体会到用数学理论解决实际问题的乐趣ꎬ又巩固了数学建模思想和方法ꎬ同时也培养了他们以后遇到疑难问题时理性思考问题的思维方式.案例２㊀探照灯的形状[５].上课时可以给学生提出这样的问题:汽车头上车灯的镜面是什么形状?为什么要这样设计呢?大家能否利用所学的微积分的知识去解释呢?探照灯的优点是:由点光源发出去的光线经过镜面时都能平行地反射出去ꎬ所以照射得更远.如图１探照灯的聚光镜的镜面是由图中的曲线Ｌ绕ｘ轴旋转一周而成ꎬ设点光源为Ｏꎬ曲线Ｌ:ｙ＝ｙ(ｘ)ꎬ设Ｍ(ｘꎬｙ)是曲线上任一点ꎬＭＴ为切线ꎬ斜率为ｙᶄ.分析探照灯的镜面形状如下ꎬ因为图１㊀聚光灯镜面Ｆｉｇ.１㊀ＣｕｒｖｅｏｆｍｉｒｒｏｒｓｕｒｆａｃｅｏｆｓｐｏｔｌｉｇｈｔøＯＭＮ＝øＮＭＲꎬ所以ｔａｎøＯＭＮ＝ｔａｎøＮＭＲꎬ则由正切的夹角公式可得ꎬｙｙᶄ２＋２ｘｙᶄ－ｙ＝０ꎬｙᶄ＝－ｘｙʃ１＋(ｘｙ)２ꎬ解得ｙ２＝２Ｃ(ｘ＋Ｃ２).则镜面的方程为ｙ２＋ｚ２＝２Ｃ(ｘ＋Ｃ２).此图形为典型的抛物线绕ｘ轴旋转一周而形成的旋转抛物面ꎬ代表了探照灯形状的方程.通过这一案例的讲解ꎬ不仅可以使学生对抽象的微分方程建立直观的印象ꎬ而且又可以使学生认识到微分方程与实际联系比较密切的教学内容ꎬ因此学生就更容易理解并掌握住学习的内容ꎬ并把它转化到实际中去.案例３㊀饿狼追兔问题[６].现有一只兔子㊁一匹狼ꎬ兔子位于狼的正西１００ｍ处ꎬ假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑ꎬ兔子往正北６０ｍ处的巢穴跑ꎬ而狼在追兔子.已知兔子㊁狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍.问狼能追杀兔子美餐一顿吗?分析㊀假设狼始终沿着兔子的方向追击ꎬ为了研究狼能否追上兔子ꎬ可以先考虑狼追击兔子的曲线轨迹.建立直角参考系ꎬ以兔子为原点Ｏꎬ东西㊁南北方向为ｘ轴㊁ｙ轴ꎬＡ为狼的初始位置ꎬＢ为兔子的巢穴.设兔子的速度为ｖꎬ狼的追击曲线为ｙ＝ｙ(ｘ).则根据狼在某一点Ｐ(ｘꎬｙ)的切线方向指向兔子和相同时间内狼跑的距离是兔子的两倍ꎬ从而列出两个方程式ꎬｙᶄ＝－ｖｔ－ｙｘꎬ２ｖｔ＝ʏ１００ｘ１＋ｙᶄ２ｄｘ.可得:２(ｙ－ｘｙᶄ)＝ʏ１００ｘ１＋ｙᶄ２ｄｘ.即２ｘｙᵡ＝１＋ｙᶄ２ꎬ又初始条件为ｙ(１００)＝０ꎬｙᶄ(１００)＝０.结合计算机利用数学软件ＭＡＴＬＡＢ求解ꎬｙ＝１３０ｘ３２－１０ｘ１２＋２００３ꎬ当ｘ＝０时ꎬｙ＝２００３>６０ꎬ说明狼追不上兔子ꎬ只能铩羽而归.这个问题若改为狼的速度是兔子的３倍又是什么样?或者ｒ倍会是什么样?让同学们课下分析讨论ꎬ这个例子不仅可以了解高阶微分方程ꎬ还融入了数学建模的思想ꎬ同时可以把它推广到军事上的导弹追击拦截问题等.表第３期仝㊀伟:在高等数学中融入数学建模的教学案例分析６１㊀１是常见的教学模型案例.表１㊀教学模型案例Ｔａｂ.１㊀Ｔｅａｃｈｉｎｇｍｏｄｅｌｃａｓｅｓ教学内容教学模型案例函数的极限割圆术求圆的面积㊁时针和分针重合的次数㊁连续复利(助学贷款㊁住房贷款)㊁植物生长㊁人口增长㊁细菌繁殖㊁经济增长㊁环境污染指标等模型ꎬ饮酒驾车问题ꎬ非法传销的 魅力 问题ꎬ合理避税问题导数易拉罐的外形设计㊁手机生产商的定价问题㊁最优化模型(商品存储费用优化ꎬ批量进货的周转周期ꎬ磁盘最大存储量ꎬ交通管理中的红㊁黄㊁绿灯亮的时间问题ꎬ洗衣机的节水问题)微分传染病模型㊁药物成分在体内的分布积分第二宇宙速度的计算㊁通信卫星的覆盖面积问题㊁行星轨道问题㊁交通信息黄灯闪烁时间的设定问题㊁天然气产量预测问题常微分方程探照灯镜面的形状㊁水的冷却模型(法医鉴定)㊁雪融化过程体积变化过程㊁降落伞下落运动规律㊁假画的鉴定㊁核废料处理㊁放射性元素衰变㊁传染病的流行㊁抵押贷款问题㊁饿狼追兔问题㊁导弹追踪问题级数龟兔赛跑悖论㊁投资费用问题３㊀小结面对目前的高等数学教学中出现的各种问题和困境ꎬ高等数学的教学改革刻不容缓ꎬ要想把高度抽象难懂的数学知识面向大众ꎬ必须把数学建模思想及案例融入教学中去ꎬ让学生体会到数学中的乐趣ꎬ同时也感受到数学的力量.这样学生学过高等数学后才能把它变成一种强有力的工具ꎬ解决生活中遇到的各种问题.总之ꎬ高校教师应该把数学建模思想和案例完美地融入数学教学中作为自己追求的目标.在 互联网＋ 的信息化时代大背景环境下ꎬ我们顺应时代发展的步伐ꎬ在高等数学教学过程中从教学内容㊁教学方法和授课方式等方面融入数学建模思想ꎬ使学生不再机械地学习高等数学ꎬ而是由实际问题联想到高等数学的知识ꎬ从实际案例中学习数学知识ꎬ从精心设计的微课资源上学习数学知识ꎬ把传统教学和微课资源以及多媒体结合起来ꎬ理解和领会本门课程的核心思想ꎬ全面提高学生的数学素养ꎬ不断推动高等数学教学的改革和发展.参考文献[１]㊀李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[Ｊ].中国大学教学ꎬ２００６(１):９－１１.[２]㊀王金华.数学建模思想融入高等数学教学的研究与实践[Ｊ].湘南学院学报ꎬ２０１０ꎬ３１(４):３１－３３.[３]㊀唐小峰.数学建模思想融入高等数学教学的研究与探讨[Ｊ].佳木斯教育学院学报ꎬ２０１３(２):１２５－１２７.[４]㊀朱长青.将数学建模引入高等数学中的典型案例[Ｊ].价值工程ꎬ２０１４(３):２５８－２５９.[５]㊀同济大学数学系.高等数学:上册[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１４:３０６－３０７.[６]㊀洪清.高等数学教学中引入生活实训的实践与思考[Ｊ].九江学院学报(自然科学版)ꎬ２０１４(３):１２１－１２３.ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎＴｅａｃｈｉｎｇＣａｓｅｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＭｏｄｅｌｉｎｇＡｐｐｌｉｅｄｉｎＡｄｖａｎｃｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＴＯＮＧＷｅｉ(ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬＳｈａｎｇｑｉｕＣｏｌｌｅｇｅꎬＳｈａｎｇｑｉｕ４７６０００ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｂａｓｅｄｏｎａｄｖａｎｃｅｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｐｒａｃｔｉｃｅａｎｄｇｕｉｄａｎｃｅｏｆｐｒｏｂｌｅｍｏｒｉｅｎｔｅｄꎬｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｈｏｗｔｏｐｅｒｍｅａｔｅｔｈｅｔｈｉｎｋｉｎｇｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｉｎｇｉｎｔｏａｄｖａｎｃｅｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｅａｃｈｉｎｇ.Ｔｏｃｈａｎｇｅｔｈｅｍｏｄｅｏｆｔｅａｃｈｉｎｇꎬａｎａｌｙｚｅｄａｎｄｅｖａｌｕａｔｅｄｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｅｆｆｅｃｔ.Ｉｔｉｍｐｒｏｖｅｄｓｔｕｄｅｎｔｓ ｌｅａｒｎｉｎｇｉｎｔｅｒｅｓｔａｎｄｔｈｅｑｕａｌｉｔｙｏｆｔｅａｃｈｉｎｇꎬａｎｄｆｕｒｔｈｅｒｉｍｐｒｏｖｅｄｓｔｕｄｅｎｔｓ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｌｉｔｅｒａｃｙｔｏｓｏｌｖｅｐｒａｃｔｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ａｄｖａｎｃｅｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎻｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｉｎｇꎻｃａｓｅｓｓｔｕｄｙꎻｔｅａｃｈｉｎｇｍｏｄｅｌꎻｔｅａｃｈｉｎｇｍｅｔｈｏｄ。
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要 不 断 渗 透 数 学 建 模 思 想 。 中 国 科 学 院 院 士 李 大 潜 曾提
出 “ 将 数 学 建 模 的 思 想和 方法 融 入 大 学 数 学 类 主 干 课 程 ３ ７ ℃按 照 牛 顿 冷 却 定 律 （ 物体 在 空 气 中 的冷 却 速 度 正 比于 教学 中” １ ２ １ 。 合 理 安 排 数 学 建 模 案 例 是 数 学 建 模 的 思 想 与 物 体 温 度 与 空 气 温 度 差 ） 开始下降 ， 假 定 两 小 时后 尸 体 温 方 法 融 入 到 高 等 数 学 中 的具 体 实 践 ｆ ３ １ ４ 】 ， 譬如 ， 减 肥模 型、 度 降为 ３ ５ ｃ 【 ＝ ， 并且假设室温保持 ２ ０ ｏ 【 ＝ 不 变。试 求尸 体 温度
・
２ ５ ８・
价 值 工 程
将数 学建模 引入高等数 学教 学 中的典型 案例
Ｔｈｅ Ｔｙｐ ｉ ｃ ａ ｌ Ｃａ ｓ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｍ ａｔ ｈｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａｌ Ｍｏ ｄｅ ｌ ｉ ｎｇ ｉ ｎｔ ｏ ｔ ｈ ｅ Ｔｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎｇ ｏ ｆ Ｈｉ ｇ ｈｅ ｒ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
中图分类号 ： ０ １ ３
文献标 识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ６ — ４ ３ １ １ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ３ — ０ ２ ５ ８ — ０ ２
高等数 学的概 念一般都是从 客观事物 的某种数量 关 本 身 这 一 过 程 就 是 高 等数 学课 程［ ］ 是数 学 类主 干 课程 的核 心 ， 长 期 以 系或 空 间 形 式 中 抽 象 出来 的数 学 模 型 ， 来， 在 高等 数学 的教学 中 ， 教 材 大部 分 内 容 讲 解 概 念 、 定 数 学 建 模 的过 程 ， 因此， 我 们 在 引入 概 念 时 ， 借 助概 念 产 生
０ 引言 理 、 推 论 及 公 式 ，教 学 上 一 味 强 调 数 学 的严 密 性 和 逻 辑 的来 源 背 景 和 实 际 生 活 中 的实 际 例 子 ， 对其 抽 象 、 概括 、 归
使 学 生 实 实在 在 感 受 到 数 学 的 性、 抽象性 ， 让学 生感 到似乎 数 学离我 们很远 ， 甚 至 有 学 纳 求 解 自然 而 然 引 出概 念 ， 了也 没 有 什 么 用 的错 误 想 法 ，而 数 学 建 模 正 是 联 系 数 学 作 用 ， 数 学 就在 我们 身 边。
摘要： 首先阐述 了将数 学建模思想融入 高等数 学教学 内容中的意义， 接着从 高等数 学中的基本概念和基本定理 出发 ， 通过具体案 例说 明如何将数 学建模案例融入在 高等数 学教学 中。最后给 出了根据 高等数 学内容选编的典型建模案例。
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ｌ ｙ ，ｔ ｈ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｉ ｆ ｉ ｃ ａ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｉ ｄ ｅ ａ ｓ ｏ ｆ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｈ ｉ ｇ ｈ ｅ ｒ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｃ ｏ ｎ ｒ ｓ ｅ ｉ ｓ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ． Ｔ ｈ ｅ ｎ ｓ ｔ ａ ｒ ｔ ｉ ｎ ｇ ｆ ｒ ｏ ｍ ｔ ｈ ｅ ｂ ａ ｓ ｉ ｃ ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｐ ｔ ａ ｎ ｄ ｂ ａ ｓ ｉ ｃ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｏ ｆ ｈ ｉ ｇ ｈ ｅ ｒ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， ｉ ｔ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｃ ｏ ｎ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｓ ｈ ｏ ｗ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｏ ｂ ｌ ｅ ｎ ｄ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ ｃ ａ ｓ ｅ ｉ ｎ ｈ ｉ ｇ ｈ ｅ ｒ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ． Ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｙ ， ｔ ｙ ｐ ｉ ｃ ａ ｌ ｃ ａ ｓ ｅ ｓ ａ ｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｈ ｉ ｇ ｈ ｅ ｒ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｒ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ．
朱长青 Ｚ ＨＵ Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ — ｑ ｉ ｎ ｇ
（ 湖］ ｔ Ｉ 业 大学 工 程 技 术 学 院 ， 武汉 ４ ３ ０ ０ ６ ８ ） （ Ｈ ｕ ｂ ｅ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ， Ｗｕ ｈ ａ ｎ ４ ３ ０ ０ ６ ８ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ
理 论 知 识 与 实 际 应 用 问 题 的桥 梁 ，反 映 数 学 知 识 在 各 个 领 域 的 广 泛 应 用 ，所 以 我 们 教 师 在 高 等 数 学 教 学 过 程 中
案 例 １ 微 分 方程 的概 念 问题 引入 ： 刑 事侦 察 中死 亡 时 பைடு நூலகம் 的 鉴定
问题 提 出 ： 当一次谋 杀发生后 ， 尸 体 的 温 度 从 最 初 的
关键词 ： 数学建模 ； 高等教学； 微分方程； 零点定理
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ ； ｈ ｉ ｇ ｈ ｅ ｒ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ； ｄ ｉ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ｚ ｅ ｒ ｏ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ