第四章 研参数估计基础
参数估计基础
▪
样本均数的总体标准差
x
资料的总体标准差
n
X ~ N(,x2)
11
正态总体样本均数的分布
❖样本均数的标准差 X ,称为样本均数的标准误 (standard error of mean ,SE),简称均数标 准误 X
❖ 它反映样本均数之间的离散程度,也反映样本均 数抽样误差的大小。
❖误差大小 X ,实质是要估计 X 的分布中的离 散程度特征
72 74 74 73 66 67 80 73 64 75 78 69
70.1 4.4
-2.40
74 80 76 64 66 71 82 78 67 79 56 64 65 4
69 74 64 66 62 75 71 80 83 77 76 71
71.6 7.1
-0.90
75 72 79 74 76 65 80 71 74 75 79 74 73
1
72.8 6.3
76 70 67 63 76 65 78 72 72 78 74 81
0.30
74 61 65 75 67 78 72 70 67 74 74 74 74 2
77 72 69 81 71 60 70 67 78 78 77 64
71.6 5.5
-0.90
73 71 71 67 68 68 67 61 68 66 70 66 71 3
样本量 n=5 n=100
统计量 u t u t
平均值 0.0149031 0.0319309 0.0033231 0.0034704
P2.5 -1.950067 -2.654214 -1.950886 -1.981183
P97.5 1.969157 2.838163 1.971245 2.000407
概率密度函数的估计.
∵ P(Xk| μ )=N(μ ,σ2),P(u)=N(μ 0,σ02)
P ( | X i ) a
k 1
1 1 Xk exp{ 2 2
1 N Xk 2 0 2 a' exp{ [ ]} 2 k 1 0
1 N 1 2 1 N 0 a' ' exp{ [( 2 2 ) 2( 2 Xk 2 ) ]} 2 0 k 1 0
三. 参数估计的基本概念
1. 统计量:样本中包含着总体的信息,总希望通过样本 集把有关信息抽取出来。也就是说,针对不同要求构 造出样本的某种函数,该函数称为统计量。 2. 参数空间:在参数估计中,总假设总体概率密度函数 的形式已知,而未知的仅是分布中的参数,将未知参 数记为 ,于是将总体分布未知参数 的全部可容许 值组成的集合称为参数空间,记为 。 3. 点估计、估计量和估计值:点估计问题就是构造一个 统计量d x1, , xN 作为参数 θ 的估计ˆ ,在统计学中 i i 是属于类别 的几个 称 ˆ 为 θ 的估计量。若 x1 , , xN i 样本观察值,代入统计量d就得到对于第i类的ˆ 的具体 数值,该数值就称为 θ 的估计值。
Xk
T
结论:①μ 的估计即为学习样本的算术平均
②估计的协方差矩阵是矩阵 X k X k 的算术 平均(nⅹn阵列, nⅹn个值)
T
二. 贝叶斯估计
极大似然估计是把待估的参数看作固定的未知量, 而贝叶斯估计则是把待估的参数作为具有某种先验 分布的随机变量,通过对第i类学习样本Xi的观察, 通过贝叶斯准则将概率密度分布P(Xi/θ)转化为后 验概率P(θ/Xi) ,进而求使得后验概率分布最大的 参数估计,也称最大后验估计。 估计步骤:
教育与心理统计学 第四章 抽样理论与参数估计考研笔记-精品
第四章抽样理论与参数估计第一节抽样理论的基本知识分层抽样,又叫分层随机抽样,这种抽样方法是按照总体已有的某些特征,承认总体中已有的差异,按差异将总体分为几个不同的部分,每一部分称为一个层,在每一个层中实行简单随机抽样。
它充分利用了总体的已知信息,因而是一种非常适用的抽样方法,其样本代表性及推论的精确性一般优于简单随机抽样。
分层的原则是层与层之间的变异越大越好,各层内的变异要小。
试述分层抽样的原则和方法?分层抽样是按照总体上已有的某些特征,将总体分成几个不同部分,在分别在每一部分中随机抽样。
分层的总的原则是:各层内的变异要小,而层与层之间的变异越大越好。
在具体操作中,没有一成不变的标准,研究人员可根据研究需要依照多个分层标准,视具体情况而定。
⑷两阶段随机抽样两阶段随机抽样首先将总体分成M个部分,每一部分叫做一个"集团"(或"群"),第一步从M个集团中随机抽取m个"集团”作为第一阶段样本,第二步是分别从所选取的m个"集团”中抽取个体(g构成第二阶段样本。
一般而言,两阶段抽样相对于简单随机抽样,标准误要大些,但是,两阶段抽样简便易行,节省经草贼,因而它是大规模调查研究中常被使用的抽样方法。
例如,如果我们要了解全国城市初中二年级学生的身高,第一步我们可以从全国几百个城市中随机抽取几十个城市作为第一阶段的样本。
第二步,在第一阶段随机抽取出来的城市中再随机抽取初中二年级的学生。
(二)非旃抽样非概率抽样不是完全按随机原则选取样本,有方便抽样、判断抽样。
方便抽样是由调查人员自由、方便地选择被调查者的非随机选样。
判断抽样是通过某些条件过滤,然后选择某些被调查者参与调查的抽样法。
当采取非概率抽样的方法选取样本时,研究者要说明采用此种方取样的原因以及对研究结果可能造成的影响。
第二节抽样分布[统计量分布、基本随机变量函数的分布]总体:又称母全体、全域,指具有某种特征的一类事物的全体。
《卫生统计学》考试重点复习资料
卫生统计学Statistics第一章绪论统计学:是一门通过收集、分析、解释、表达数据,目的是求得可靠的结果。
总体:根据研究目的确定的同质(大同小异)的观察单位的全体。
分为目标总体和研究总体。
样本:从总体中随机抽取部分观察单位,其测量结果的集合称为样本(sample)。
样本应具有代表性。
所谓有代表性的样本,是指用随机抽样方法获得的样本。
抽样:从研究总体中抽取少量有代表性的个体。
变量:表现出个体变异性的任何特征或属性。
分定型变量和定量变量。
定型变量:1)分类变量或名义变量:最简单的是二分类变量。
0-1变量也常称为假变量或哑变量。
2)有序变量或等级变量。
定量变量:分离散型变量和连续型变量。
变量只能由高级向低级转化:定量→有序→分类→二值。
常见的三种资料类型1)计量或测量或数值资料,如身高、体重等。
2)计数资料或分类资料,如性别、血型等。
3)等级资料,如尿蛋白含量-、+、++、+++、…第一章定量变量的统计描述此章节x即为样本均数(X拔)1.离散型定量变量的取值是不连续的。
累计频数为该组及前面各组的频数之和。
累计频率表示各组累计频数在总例数中所占的比例。
可用直条图表达。
2.编制频数表的步骤与要点步骤:1确定极差2确定组数3确定各组段的上下限4列表要点(注意事项)1)制表是为了揭示数据的分布特征,故分组不宜过粗或过细。
2)为计算方便,组段下限一般取较整齐的数值3)第一组段应包含最小值,最后一个组段应包含最大值。
3.频率分布表(图)的用途1)描述变量的分布类型2)揭示变量的分布特征3)便于发现某些离群值或极端值4)便于进一步计算统计指标和统计分析。
4.描述平均水平的统计指标算术均数(mean):描述一组数据在数量上的平均水平。
总体均数用μ表示,样本均数用X表示。
适用于服从对称分布变量的平均水平描述,这时均数位于分布的中心,能反应全部观察值的平均水平。
分:直接法和频率表法。
即所有变量值加和除以总数n或所有频数f k乘以组中值X0k后求和再除以总数n。
第四章 参数估计
x
n
总体标准差,若 未知,可用样本
标准差代替
36
总体均值的置信区间引例
(2 未知)
例:某商场从一批袋装食品中随机抽取10袋,测得 每袋重量(单位:克)分别为789,780,794, 762,802,813,770,785,810,806,要 求以95%的把握程度,估计这批食品的平均每袋 重量的区间范围。假定食品重量服从正态分布。
0.95,Z/2=1.96
x Z 2
n
,
x
Z
2
n
26 1.96 6 ,26 1.96 6
100
100
24.824,27.176
我们可以95%的概率保证平均每天 参加锻炼的时间在24.824~ 27.176 分钟之间。
一般置信水平
一般使用的置信水平是:90%, 95%, 99%
Confidence Level
▪ 总体服从正态分布,且总体方差(2)已知 ▪ 如果不是正态分布,可以由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量Z
Z
x s
m ~ N (0,1)
n
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
s
s
x
Za 2
,x n
Za 2 n
总体均值的置信区间
(2 已知)
抽样极限误差:
s x Za 2 n
❖ 定理1
当总体 X ~ N ( m , s 2 ) 时,抽自该总体
的简单随机样本 x1 , x 2 , , x n 的样本平均数
服从数学期望为 ,方差为 s2的正态分布,
n
即 x ~ N (m, s2 ) 。
n
Z x ~ N (0,1) n
参数估计基础
p ~ B(n,π), 给定n=50, π =0.20. 共抽取100个样本,计算黑球的比例, p1,p2,…,p100.结果见表5-3。
表5-3 从B(n=50 =0.20)抽取的100 个样本频率的频数分布
黑球比例(%) 8.010.012.014.016.018.020.022.024.026.0-
试估计:该样本频率的抽样误差。 已知:p=41.5%,n=776,代入公式(5-4)得到标准误估 计值:
S pp 1 n p 0 .4 1 5 7 1 7 6 0 .4 1 5 0 .0 1 7 7 或 1 .7 7 %
标准误的估计值较小,说明用样本患病率 41.5%估计总体患病率的可靠性较好。
组段(cm) 152.6~
153.2~ 153.8~ 154.4~ 155.0~ 155.6~ 156.2~ 156.8~ 157.4~ 158.0~158.6
合计
频数 1
4 3 19 25 23 18 4 1 2 100
频率(%) 1.0
4.0 3.0 19.0 25.0 23.0 18.0 4.0 1.0 2.0 100.0
= 时,t分布就完全等于标准正态分布。 3、标准正态分布有两个固定常数(0,1),t分 布只有一个参数 。
❖ 练习:
❖ 1、ν=10,双侧尾部面积为0.05的t界值是?
❖ 2、ν=100,单侧尾部面积为0.05的t界值是?
❖ 3、ν=∞,双测尾部面积和单侧尾部面积分别 为0.05的界值是?
❖1、t 0.05/2,10=2.228
两侧越分散; ➢ 随着 逐渐增大,t分布逐渐逼近标准正态分布;
当 趋于 时,t分布就完全成为标准正态分布。
统计基础知识学习之参数估计
总体总量、总体平均数、总体成数、总 体方差和标准差
总体平均数:是总体所研究标志的平均值, 用 表示。 X 例如:研究某县102个行政村的人均纯收入, 那么该县每个村的纯收入之和除以该县常 住人口数得到的平均数就是总体平均数。
X=
∑x
i =1
i
n
其中:xi为每个村的纯收入,n为该县常住人口数。
总体总量、总体平均数、总体成数、总 体方差和标准差
参数估计
二00八年六月 八年六月
主要内容
总体参数 统计量 估计的理论依据 统计误差 点估计 区间估计
一、参数估计的概念
估计就是根据从样本中收集的信息对总 体未知量进行推断的过程。参数估计就是 根据随机抽样调查得来的样本数据,对未 知的总体水平、结构、规模等数量特征进 行估计,即样本指标估计总体指标。
中心极限定理的意义
只要是服从正态分布,我们就有可能 开展抽样调查。 中心极限定理为点估计和区间估计奠 定了理论基础 。 我们就可以用样本代替总体,用样本 值来推断总体数。
二、统计误差
●统计误差是指统计数据与客观实际数量之
间的差异。 间的差异。
(一)登记误差和代表性误差
1、登记误差 登记误差又称工作误差,是指在调查、整理工作 中,由于各种主观原因引起的误差。 例如:由于指标含义不清、口径不同而造成的误 差;在登记、计算、抄写上有差错造成的误差。
2、样本指标
●样本指标是根据样本各单位标志值计算的综合
指标。 ●常用的样本指标有样本平均数、样本成数、样 本方差和样本标准差。
●样本指标一般用小写字母表示。
x
(三)参数估计的理论基础
●大数定律:
它说明:如果被研究的总体是由大 量的相互独立的随机因素组成,而且 每个因素对总体的影响都相对小,那 么对这些大量因素加以综合平均,因 素的个别影响将相互抵消,而呈现出 其共同作用的影响,使总体具有稳定 的性质。
参数估计教程
目录参数估计 ________________________________________________________________________________ 3第一节抽样推断的基本概念与原理 ________________________________________________________ 3一、抽样推断的特点和作用 _____________________________________________________________ 3二、重复抽样与不重复抽样 _____________________________________________________________ 4三、抽样误差与抽样平均误差 ___________________________________________________________ 4四、抽样推断的理论基础 _______________________________________________________________ 6五、参数估计的基本步骤 _______________________________________________________________ 7第二节参数估计中的点估计 ______________________________________________________________ 7一、总体参数的点估计 _________________________________________________________________ 7二、点估计量的优良标准 _______________________________________________________________ 7第三节参数估计中的区间估计 ____________________________________________________________ 8一、参数估计的精度与抽样平均误差计算 _________________________________________________ 8二、参数估计的误差范围与概率度 _______________________________________________________11三、总体参数的区间估计 ______________________________________________________________ 12第四节抽样组织方式及其参数估计 _______________________________________________________ 13一、简单随机抽样 ____________________________________________________________________ 13二、分层抽样 ________________________________________________________________________ 14三、机械抽样 ________________________________________________________________________ 16四、整群抽样 ________________________________________________________________________ 16第五节必要样本容量的确定 _____________________________________________________________ 17一、平均数的必要样本容量 ____________________________________________________________ 17二、成数的必要样本容量 ______________________________________________________________ 18三、影响必要样本容量的因素 __________________________________________________________ 19 习题 ___________________________________________________________________ 错误!未定义书签。
第4章参数估计和假设检验
第4章参数估计和假设检验第四章参数估计与假设检验掌握参数估计和假设检验的基本思想是正确理解和应⽤其他统计推断⽅法的基础,后⾯将要学习的⽅差分析、⾮参数检验、回归分析、时间序列等统计推断⽅法都是在此基础上展开的。
需要特别指出的是,所有的统计推断都要以随机样本为基础。
如果样本是⾮随机的,统计推断⽅法就不适⽤了。
由于相关知识在先修课程中已经学习过,本章主要在回顾相关知识的基础上,补充讲解必要样本容量的计算、p值、参数估计和假设检验⽅法的软件操作和结果分析等内容。
本章的主要内容包括:(1)参数估计的基本思想和软件实现。
(2)简单随机抽样情况下样本容量的计算。
(3)假设检验的基本原理。
(4)假设检验中的p值。
(5)⼏种常⽤假设检验的软件实现。
第⼀节参数估计⼀、参数估计的基本概念参数估计是指利⽤样本信息对总体数字特征作出的估计。
例如,我们可以通过估计⼀部分产品的合格率对整批产品的合格率作出估计,通过调查⼀个样本的⼈⼝数来对全国的⼈⼝数作出估计,等等。
参数估计可以分为点估计和区间估计。
点估计是指根据样本数据给出的总体未知参数的⼀个估计值。
对总体参数进⾏估计的⽅法可以有多种,例如矩估计法、极⼤似然估计法等,得到的估计量(样本统计量)并不是唯⼀的。
例如我们可以使⽤样本均值对总体均值作出估计,也可以使⽤样本中位数对总体均值进⾏估计。
因此,在参数估计中我们需要对估计量的好坏作出评价,这就涉及到估计量的评价准则问题。
常⽤的估计量评价准则包括⽆偏性、有效性、⼀致性等。
⽆偏性是指估计量的数学期望与总体参数的真实值相等;有效性的含义是,在两个⽆偏估计量中⽅差较⼩的估计量较为有效,⽅差越⼩越有效;⼀致性是指随着样本容量的增⼤,估计量的取值应该越来越接近总体参数。
样本的随机性决定了估计结果的随机性。
由于每⼀个点估计值都来⾃于⼀个随机样本,所以总体参数真值刚好等于⼀个具体估计值的可能性极⼩。
区间估计的⽅法则以概率论为基础,在点估计的基础上给出了⼀个置信区间,并给出了这⼀区间包含总体真值的概率,⽐点估计提供了更多的信息。
参数估计的基础
参数估计基础抽样研究的目的就是要用样本信息来推断相应总体的特征,这一过程称为统计推断。
统计推断包括两方面的内容:参数估计和假设检验总体样本抽取部分观察单位统计量参数统计推断统计推断statistical inferenceμ如:样本均数样本标准差S样本率P 如:总体均数总体标准差总体率σπX 内容:1.参数估计(estimation of parameters)包括:点估计与区间估计2. 假设检验(testof hypothesis)误差:泛指测得值与真值之差,样本指标与总体指标之差。
误差按其产生的原因与性质分为两大类(系统误差和偶然误差)。
1.系统误差:由于受试对象、研究者、仪器设备、研究方法、非实验因素影响等确定性原因造成,有一定倾向性或规律性的误差。
可以避免。
2.随机测量误差:由于多种无法控制的偶然因素引起,对同一样品多次测量数据的不一致。
无倾向性,不可避免。
只可控制在一定的范围内。
3.抽样误差:由个体变异产生的、由于抽样而造成的样本统计量与样本统计量及样本统计量与总体参数之间的差异称为抽样误差。
无倾向性,不可避免。
均数的抽样误差、总体均数的估计、分布t1、均数的抽样误差和标准误抽样试验以110名20岁健康男大学生的身高作为假设的有限总体,其总体均数,标准差。
)(73.172cm =μ)(09.4cm =σ每次随机抽取10个人的身高作为一个样本,记录下数据并计算均数、标准差,再放回重新抽样,共重复100次,求得100个样本均数和标准差,其样本均数列入表3.1。
数理统计推理和中心极限定理表明:●从中随机抽取n 例的样本,样本均数也服从正态分布,且●即使从非正态总体中抽取样本,当n 足够大(n>30),分布仍近似正态分布。
●随着样本量的增大, 样本均数的变异范围也逐渐变窄。
X ),(2σμN X ),(~2x N x σμ2 样本频率的抽样分布与抽样误差从同一总体中随机抽出观察单位相等的多个样本,样本率与总体率及各样本率之间都存在差异,这种差异是由于抽样引起的,称为频率的抽样误差。
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤参数估计是统计学中的一种方法,用于根据样本数据估计总体参数的取值。
它在各个领域都有广泛的应用,例如经济学、医学、社会学等。
本文将介绍参数估计的一般步骤,帮助读者了解如何进行参数估计。
一、确定参数类型在进行参数估计之前,首先需要确定要估计的参数类型。
参数可以是总体均值、总体比例、总体方差等,根据具体问题来确定。
二、选择抽样方法接下来,需要选择合适的抽样方法来获取样本数据。
常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等。
选择合适的抽样方法可以保证样本的代表性,从而提高参数估计的准确性。
三、收集样本数据在进行参数估计之前,需要收集样本数据。
收集样本数据时要注意数据的准确性和完整性,避免数据采集过程中的偏差。
四、计算点估计量得到样本数据后,可以计算点估计量来估计总体参数的取值。
点估计量是根据样本数据计算得出的一个具体数值,用来估计总体参数的未知值。
常见的点估计量有样本均值、样本比例等。
五、构建置信区间除了点估计量,还可以构建置信区间来估计总体参数的取值范围。
置信区间是一个区间估计,表示总体参数的真值有一定的概率落在该区间内。
置信区间的计算方法与具体的参数类型有关,可以利用统计学中的分布理论或抽样分布来计算。
六、进行假设检验除了估计总体参数的取值,参数估计还可以用于假设检验。
假设检验是根据样本数据来判断总体参数是否符合某个特定的假设。
在假设检验中,需要先提出原假设和备择假设,然后计算检验统计量,最后根据统计显著性水平来判断是否拒绝原假设。
七、解释结果需要对参数估计的结果进行解释和说明。
解释结果时要清楚、简洁,避免使用过于专业的术语,以便读者能够理解和接受。
参数估计是统计学中重要的内容之一,它可以帮助我们从有限的样本数据中推断总体的特征。
通过合理选择抽样方法、收集准确的样本数据,并运用适当的统计方法,我们可以得到准确可靠的参数估计结果,为实际问题的决策提供科学依据。
计量经济学第四章完整课件
并举例说明它们在多元线性回归模型中
的应用。
3
三元及以上的模型形式
介绍三元甚至更高元线性回归模型的形 式和特点,以及如何使用OLS方法对其进 行参数估计。
虚拟变量的提出及其意义
介绍虚拟变量的提出及其意义,比如如 何解决分类变量无法进行直接运算的问 题。
OLS的代数性质
算术型和几何型
介绍OLS方法多元线性回归模型 中的代数性质,以及如何理解 算术型和几何型模型。
2 决定系数
介绍决定系数的概念、计算方法和意义,在实际问题中它常用来度量模型的拟合优度。
3 调整后的决定系数
介绍调整后的决定系数的概念、计算方法和意义,在实际问题中它比决定系数更加准确 地度量了模型的拟合优度。
多元线性回归模型的精确定义
1
解释变量和控制变量的区别
2
介绍解释变量和控制变量的概念和区别,
OLS估计量的性质
介绍OLS估计量的无偏性、一致 性、有效性和正态性等性质,以 及它们在实际问题中的影响。
OLS的假设条件
介绍OLS估计方法的假设条件, 包括线性和可加性、无自相关性、 零均值和同方差性等。
模型拟合优度的度量
1 相关系数
介绍相关系数的概念、计算方法和意义,在实际问题中它常用来度量两个变量之间的线 性关系。
OLS系数估计量的可加性 和线性性
介绍OLS估计量的可加性和线性 性在多元线性回归模型中的应 用。
方差和协方差的估计
介绍如何利用OLS方法对方差和 协方差进行估计,以及估计量 的属性和应用。
经济变量的分类
将经济变量按照性质、应用领域、研究对象等多个维度进行分类,帮助您更好地理解和分析 变量。
经济变量的测度
介绍经济变量的测度方法,包括定量测度和定性测度,以及各自的优劣势。
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤
参数估计是通过从总体中抽取一个样本,利用样本数据对总体未知参数进行估计的过程。
参数估计的一般步骤如下:
1. 确定总体参数:首先需要明确要估计的总体参数,例如总体均值、总体比例、总体方差等。
2. 选择样本:从总体中抽取一个合适的样本。
样本的选择应该具有代表性,能够反映总体的特征。
3. 收集样本数据:对选择的样本进行观测或测量,收集样本数据。
4. 选择估计方法:根据所收集的样本数据和要估计的总体参数,选择合适的估计方法。
常见的估计方法包括点估计和区间估计。
5. 计算估计量:使用所选择的估计方法,根据样本数据计算出估计量。
估计量是用于估计总体参数的统计量。
6. 评估估计量的性质:评估所计算出的估计量的性质,如无偏性、有效性、一致性等。
这些性质可以帮助判断估计量的优劣。
7. 计算置信区间或置信水平:如果进行的是区间估计,根据估计量和置信水平,计算出总体参数的置信区间。
8. 解释估计结果:根据估计量或置信区间,对总体参数进行推断和解释。
同时,需要考虑估计结果的统计显著性和实际意义。
9. 分析误差和不确定性:考虑样本大小、抽样方法等因素对估计结果的影响,分析可能存在的误差和不确定性。
10. 结论和应用:根据参数估计的结果,得出结论并将其应用于实际问题中,例如进行决策、预测或进一步的研究。
需要注意的是,参数估计的具体步骤和方法会根据不同的统计问题和数据类型而有所差异。
在进行参数估计时,应根据实际情况选择合适的方法,并结合统计学原理和专业知识进行分析和解释。
统计学 第四章 参数估计
由样本数量特征得到关于总体的数量特征 统计推断(statistical 的过程就叫做统计推断 的过程就叫做统计推断 inference)。 统计推断主要包括两方面的内容一个是参 统计推断主要包括两方面的内容一个是参 数估计(parameter estimation),另一个 数估计 另一个 假设检验 。 是假设检验(hypothesis testing)。
ˆ P(θ )
无偏 有偏
A
B
θ
ˆ θ
估计量的无偏性直观意义
θ =µ
•
•
•
• •
• • • •
•
2、有效性(efficiency)
有效性:对同一总体参数的两个无偏点估计 有效性: 量,有更小标准差的估计量更有效 。
ˆ P(θ )
ˆ θ1 的抽样分布
B A
ˆ θ2 的抽样分布
θ
ˆ θ
பைடு நூலகம்
3、一致性(consistency)
置信区间与置信度
1. 用一个具体的样本 所构造的区间是一 个特定的区间, 个特定的区间,我 们无法知道这个样 本所产生的区间是 否包含总体参数的 真值 2. 我们只能是希望这 个区间是大量包含 总体参数真值的区 间中的一个, 间中的一个,但它 也可能是少数几个 不包含参数真值的 区间中的一个
均值的抽样分布
总体均值的区间估计(例题分析)
25, 95% 解 : 已 知 X ~N(µ , 102) , n=25, 1-α = 95% , zα/2=1.96。根据样本数据计算得: x =105.36 96。 总体均值µ在1-α置信水平下的置信区间为 σ 10 x ± zα 2 = 105.36 ±1.96× n 25 = 105.36 ± 3.92
统计学简答题参考答案
统计学简答题参考答案第一章绪论1、什么就是统计学?怎样理解统计学与统计数据得关系?答:统计学就是一门收集、整理、显示与分析统计数据得科学。
统计学与统计数据存在密切关系,统计学阐述得统计方法来源于对统计数据得研究,目得也在于对统计数据得研究,离开了统计数据,统计方法以致于统计学就失去了其存在意义。
2.简要说明统计数据得来源。
答:统计数据来源于两个方面:直接得数据:源于直接组织得调查、观察与科学实验,在社会经济管理领域,主要通过统计调查方式来获得,如普查与抽样调查。
间接得数据:从报纸、图书杂志、统计年鉴、网络等渠道获得。
3、简要说明抽样误差与非抽样误差。
答:统计调查误差可分为非抽样误差与抽样误差。
非抽样误差就是由于调查过程中各环节工作失误造成得,从理论上瞧,这类误差就是可以避免得。
抽样误差就是利用样本推断总体时所产生得误差,它就是不可避免得,但可以控制得。
4、解释描述统计与推断统计得概念?(P5)答:描述统计就是用图形、表格与概括性得数字对数据进行描述得统计方法。
推断统计就是根据样本信息对总体进行估计、假设检验、预测或其她推断得统计方法。
第二章统计数据得描述1描述次数分配表得编制过程。
答:分二个步骤:(1)按照统计研究得目得,将数据按分组标志进行分组。
按品质标志进行分组时,可将其每个具体得表现作为一个组,或者几个表现合并成一个组,这取决于分组得粗细。
按数量标志进行分组,可分为单项式分组与组距式分组单项式分组将每个变量值作为一个组;组距式分组将变量得取值范围(区间)作为一个组。
统计分组应遵循“不重不漏”原则(2)将数据分配到各个组,统计各组得次数,编制次数分配表。
2、一组数据得分布特征可以从哪几个方面进行测度?答:数据分布特征一般可从集中趋势、离散程度、偏态与峰度几方面来测度。
常用得指标有均值、中位数、众数、极差、方差、标准差、离散系数、偏态系数与峰度系数。
3、怎样理解均值在统计中得地位?答:均值就是对所有数据平均后计算得一般水平得代表值,数据信息提取得最充分,具有良好得数学性质,就是数据误差相互抵消后得客观事物必然性数量特征得一种反映,在统计推断中显示出优良特性,由此均值在统计中起到非常重要得基础地位。
数学建模中的参数估计与优化算法研究
数学建模中的参数估计与优化算法研究第一章引言数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程。
在数学建模中,参数估计和优化算法是两个重要的研究方向。
本文将分别介绍参数估计和优化算法在数学建模中的应用、相关的研究成果以及未来的发展趋势。
第二章参数估计2.1 参数估计的概念参数估计是根据已有的观测数据,通过建立数学模型来推断未知参数的过程。
在数学建模中,参数估计是一个基本且关键的环节。
通过参数估计,我们可以根据已有数据来推断出最合理的参数值,从而为后续的计算和分析提供基础。
2.2 参数估计方法常见的参数估计方法包括最小二乘法、极大似然估计和贝叶斯估计等。
最小二乘法是一种常用的无偏估计方法,通过最小化观测值与模型估计值之间的残差平方和来推断最佳参数值。
极大似然估计是一种通过最大化观测数据的似然函数来推断参数值的方法。
贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法,通过先验概率和观测数据来计算后验概率,以得到参数的估计值。
2.3 参数估计的应用参数估计在数学建模中有着广泛的应用。
例如,在金融领域中,通过参数估计可以对股票价格和利率进行预测,从而帮助投资者制定决策。
在医学领域中,参数估计可以用于疾病的诊断和治疗方案的制定。
在物理学中,参数估计可以用于天体物理学的研究和粒子物理实验的设计等。
2.4 参数估计的挑战与展望参数估计面临着许多挑战,如数据质量、模型复杂性和计算效率等。
未来的研究可以重点关注如何提高参数估计的准确性和稳定性,以及如何处理大规模数据和高维数据的参数估计问题。
此外,随着机器学习和深度学习等技术的发展,参数估计也可以与这些技术相结合,提高建模的精确度和效率。
第三章优化算法3.1 优化算法的概念优化算法是一种通过最小化或最大化目标函数来寻求最优解的方法。
在数学建模中,优化算法是一个重要的工具,可以用于求解复杂的优化问题。
优化算法可以应用于多个领域,如工程优化、物流优化和网络优化等。
3.2 常用优化算法常见的优化算法包括梯度下降法、遗传算法和粒子群优化等。
第四章参数的最小二乘法估计讲解
第四章 最小二乘法与组合测量§1 概述最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。
对于从 事精密科学实验的人们来说, 应用最小乘法来解决一些实际问题, 仍是目前必不 可少的手段。
例如,取重复测量数据的算术平均值作为测量的结果, 就是依据了 使残差的平方和为最小的原则, 又如,在本章将要用最小二乘法来解决一类组合 测量的问题。
另外,常遇到用实验方法来拟合经验公式, 这是后面一章回归分析 方法的内容,它也是以最小二乘法原理为基础。
最小二乘法的发展已经经历了 200 多年的历史,它最先起源于天文和大地测 量的需要, 其后在许多科学领域里获得了广泛应用, 特别是近代矩阵理论与电子 计算机相结合,使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。
本章只介绍经典的最小二乘法及其在组合测量中的一些简单的应用, 一些深 入的内容可参阅专门的书籍和文献。
§2 最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻求最可信赖值的问题。
对某 量 x 测量一组数据 x 1,x 2, ,x n ,假设数据中不存在系统误差和粗大误差,相互独 立,服从正态分布,它们的标准偏差依次为: 1, 2, n 记最可信赖值为 x ,相 应的残差 v i x i x 。
测值落入 (x i ,x i dx)的概率。
根据概率乘法定理,测量 x 1,x 2, ,x n 同时出现的概率为P i2i 2 exp( 2v ii 2)dx1 1 v PP i1n exp[ 1( i )2 ](dx)n ii ( 2 )n 2 i i显然,最可信赖值应使出现的概率 P 为最大,即使上式中页指数中的因子达 最小,即2 v ii2 Min i i 22[ wvv]w i v i Min再用微分法,得最可信赖值 xnw i x ii1 x nw ii1这里为了与概率符号区别,以 i 表示权因子。
特别是等权测量条件下,有:[vv] v i 2 Min以上最可信赖值是在残差平方和或加权残差平方和为最小的意义下求得的, 称之为最小二乘法原理。
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据数理统计的原理,率的标准误用 表示
P
1
n
π :总体率,n:样本例数。
当π未知时,p π(为样本含量足够大,且
p和1-p不太小)
公式为:
SP
P1 P
n
:率的标准误的估计值,p:样本率。
例5-2 某市随机调查了50岁以上的中老年妇 女776人,其中患有骨质疏松症者322人,患病率 为41.5%,试计算该样本频率的抽样误差。
(标准误的理论值)
标准误的大小与σ的大小成正比,与n成反比,而σ 为定值,说明可以通过增加样本例数来减少标准误, 以降低抽样误差。
σ未知,用样本标准差S来估计总体标准差σ。
S X S / n (标准误的估计值)
用 来表示均数抽样误差的大小。
例5-1 2000年某研究所随机调查某地健康 成年男子27人,得到血红蛋白的均数为125g/L, 标准差为15g/L 。试估计该样本均数的抽样误 差。
均数的抽样误差: 由个体变异产生的、由于抽样而造成的样本均
数与样本均数及样本均数与总体均数之间的差异称为 均数的抽样误差。用于表示均数抽样误差的指标叫样 本均数的标准差,也称样本均数的标准误。
抽样实验一:假定从13岁女学生身高总体均数
标准差
的正态总体中进行随机抽样。
❖样本均数的抽样分布特点:
1 各样本均数未必等于总体均数 2 样本均数之间存在差异 3 样本均数的分布很有规律,围绕着总体均数,中 间多,两边少,左右基本对称,也服从正态分布 4 样本均数的变异较之原变量变异大大缩小
N=50
0
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 1 1 1 10
111119988776655443322110....................00112 - - - - - - - - - - 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5
mm MIDPOINT
mm MIDPOINT
PERCENT 30
n=30
N=30
PERCENT 30
n=50
N=50
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 40 40 40 40 40 50 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 50 61 72 83 94 05 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
05050
0 505 0505 05
t3 MIDPOINT
t50 MIDPOINT
二、t 分布的图形和t分布表 t分布曲线特点:
1) t分布曲线是单峰分布,它以0为中心,左 右对称。
2)t分布的形状与样本例数n有关。自由度越小, 则 越大,t 值越分散,曲线的峰部越矮,尾部翘的 越高。
3) 当 n→∞时,则S逼近σ,t分布逼近标准
两倍,即t0.10/2,16 = t0.05,16 =1.746。
第三节 总体均数及总体概率的估计
一、参数估计的概念 统计推断包括参数估计和假设检验。参数估计就是 用样本指标(统计量)来估计总体指标(参数)。
参数估计
点估计(point estimation) 区间估计(interval estimation)
值。 单侧概率 (one-tailed probability):用t,υ表示 双侧概率 (two-tailed probability):用t/2,υ表示
t分布
• 例如, 当 =16,单侧概率P =0.05时,由表中查 得单侧t0.05,16=1.746;而当 =16,双侧概率P
=0.05时,由表中查得双侧t0.05/2,16=2.120。按t分 布的规律,理论上有 单侧:P(t t0.05,16)=0.05 和 P(t t0.05,16) =0.05 双侧:P(t t0.05/2,16)+P(t t0.05/2,16)=0.05
表5-3 总体概率为20%时的随机抽样结果(ni= 35)
黑球比例% 5.0~
8.0~ 11.0~ 14.0~ 17.0~ 20.0~ 22.0~ 25.0~ 28.0~ 31.0~ 34.0~ 40.0~ 合计
样本频数 3
7 5 8 16 22 15 7 7 5 3 2 100
% 3.0
7.0 5.0 8.0 16.0 22.0 15.0 7.0 7.0 5.0 3.0 2.0 100.0
21100...................05050505050505050505..... 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 . . . . . . . . . . .
.....5050505050505050505
05050 . . . . . . . . . . 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0
第二节 t 分布
一、t分布的概念
在统计应用中,可以把任何一个均数为µ,标准差为
σ的正态分布N(µ,σ2)转变为µ=0,σ=1的标准正态分布,
即将正态变量值X用
Z X来 代 替。
也服从正态分布,
服从标准正态分布N(0,1)
服从ν=n-1的t分布
FREQUENCY 200
N=3
FREQUENCY 200
PERCENT 30
n=5
N=5
n=10 PERCENT
30
N=10
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 04 04 04 04 04 04 05 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 04 15 26 37 48 59 60 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
mm MIDPOINT
mm MIDPOINT
1)从正态总体N(µ,σ2)中,随机抽取例数为n的多 个样本,样本均数 服从正态分布;即使是从偏态 总体中随机抽样,当n足够大时(如n>50), 也近 似正态分布。
2)从均数为µ,标准差为σ的正态或偏态总体中抽 取例数为n的样本,样本均数的标准差即标准误为 。
正态分布。 t分布不是一条曲线,而是一簇曲线。
f(t) 0.3 0.2 0.1
υ=∞(标准正态分布) υ=5
υ=1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t分布
统计学家将t分布曲线下的尾部面积(即概率
P)与横轴t值间的关系编制了不同自由度 下的t
界值表(附表2)。
t界值表:横标目为自由度 ,纵标目为概率P。 t临界值:表中数字表示当 和P 确定时,对应的
• t分布
• 总体均数和概率的估计
第一节 抽样分布与抽样误差
用样本信息来推断相应总体的特征,这一过程称为统 计推断。
统计推断包括两方面的内容:参数估计和假设检验 抽样误差:由个体变异产生的、由于抽样而造成的
样本统计量与样本统计量及样本统计量与总体参数之 间的差异称为抽样误差。无倾向性,不可避免。
一、样本均数的抽样分布与抽样误差
2. 区间估计:按预先给定的概率(1-α)估计总体参数的 可能范围,该范围就称为总体参数的1-α置信区间 (confidence interval, CI)。
预先给定的概率(1-α)称为置信度,常取95%或99%。如无 特别说明,一般取双侧95%。
可信区间由两个数值即置信限构成,其中最小值 称为下限,最大值称为上限。严格讲,可信区间不包 括上下限两个端点值。
• 抽样实验二:非正态总体样本均数的抽 样实验(实验5-2)
图5-1(a)是一个正偏峰的分布,