初二数学人教版秋季班(学生版版)第12讲因式分解二--尖子班

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八年级上册数学同步培优：第12讲因式分解二--基础班

第12讲因式分解（二）⎧⎪⎨⎪⎩十字相乘法因式分解法（二）分组分解法因式分解的综合应用知识点1 十字相乘法对于像2ax bx c ++这样的二次三项式来说，如果可以把二次项系数a 分解成两个因数12a a ，的积，把常数项c 分解成两个因数12c c ，的积，并使1221a c a c +正好等于一次项的系数b ．那么可以直接写成结果：1122((²ax bx c a x c a x c ++=++））．【典例】1.因式分解：x 2﹣x ﹣12= ．【方法总结】用十字相乘法对一个形如2ax bx c ++的二次三项式进行因式分解，关键是找出二次项系数，一次项系数和常数项之间的数量关系，此题中，-12可以分为多个有理数相乘的形式，但是满足其他条件的只能选取-4×3的形式，以后做题时，需要多试一下，找到满足题意的那一组.2.因式分解：4a 2+4a ﹣15= ．【方法总结】这类题和上类题相比，最主要的区别是二次项的系数不是1，而是其他整数，所以在做这类题时，我们不仅要对常数项进行拆分因数，还需要对二次项系数拆分因数（上类题都拆分成1×1），然后在寻找符合条件的因数. 方法与上类题类似，只是需要分析更多的可能性.3.分解因式：3x 3﹣12x 2﹣15x= ．【方法总结】利用十字相乘进行因式分解，该式子必须满足十字相乘的相关条件，对于这种高次（大于二次）三项式，我们得先降次，对于有公因式的，通常做法是先提取公因式，再利用十字相乘因式分解；除此之外，有的虽然是二次三项式，但每项都含有公因式，我们第一步也得先提取公因式，然后再进行下面的计算.4.因式分解：（x+y）2+5（x+y）﹣6= ．【方法总结】如果式子2ax bx c++可以利用十字相乘因式分解，那么式子中的x既可以是一个字母，也可以是一个式子. 该题中x就是一个式子，我们可以先把这个式子用一个字母代替，，然后进行因式分解，当分解到最后时，再把式子的值带回最后的结果中即可.【随堂练习】1．（2018•高密市二模）因式分解：﹣2x2y+8xy﹣6y=_______．2．（2018•阳信县模拟）因式分解：x2﹣3x+（x﹣3）=______．3．（2018春•揭阳期末）多项式x2﹣4x+m分解因式的结果是（x+3）（x﹣n），则=____．知识点2 分组分解法分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.【典例】1.多项式ab﹣bc+a2﹣c2分解因式的结果是________【方法总结】对于多项式（大于三项）分组时，尽量：有公因式的分在一组，可以利用公式法的分在一组（有平方和的一般用完全平方公式，有平方差的一般用平方差公式），然后根据实际情况选取其他的因式分解的方法进行计算.2.把多项式x2+y2﹣2xy﹣1因式分解的结果是_____【方法总结】对式子进行分组时，有平方和的一般利用完全平方公式，这时需要再找到两个底数乘积的2倍（负2倍也行）即可. 利用完全平方公式因式分解之后，再根据题意继续因式分解.3.分解因：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2= ．【方法总结】在进行分组时，有平方和的，如果还能找到两个平方底数的（负）2倍的项，那么这三项就可以分到一组，利用完全平方公式进行因式分解.4.分解因式：a2+4a﹣b2﹣2b+3= ．【方法总结】在利用分组法因式分解时，有时需要对式子中的一些数或者式子进行简单的拆分，拼凑出可以因式分解的式子（如果式子中含有平方项且无法直接使用公式法因式分解的，一般都需要进行拆分其他的式子或数字进行拼凑）.【随堂练习】1．（2018春•合浦县期中）因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．2．（2017秋•浦东新区月考）因式分解：x3+x2y﹣xy2﹣y3．3．（2017秋•灵台县校级月考）把下列各式分解因式：（1）（a2+a+1）（a2﹣6a+1）+12a2；（2）（2a+5）（a2﹣9）（2a﹣7）﹣91；（3）；（4）（x4﹣4x2+1）（x4+3x2+1）+10x4；（5）2x3﹣x2z﹣4x2y+2xyz+2xy2﹣y2z．知识点3 因式分解的综合应用【典例】1.已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值____【方法总结】这类题主要考察因式分解和三角形的三边关系，首先先要对式子因式分解，分解完之后，再根据三角形三边关系来判断式子中各项的正负. 有时也会考察判断三角形的形状，同样，先因式分解题干中的式子，在利用三角形的边关系来判断.2阅读材料：方程x2﹣x﹣2=0中，只含有一个未知数且未知数的次数为2．像这样的方程叫做一元二次方程．把方程的左边分解因式得到（x﹣2）（x+1）=0．我们知道两个因式乘积为0，其中有一个因式为0即可，因此方程可以转化为：x﹣2=0或x+1=0．解这两个一次方程得：x=2或x=﹣1．所以原方程的解为：x=2或x=﹣1．上述将方程x2﹣x﹣2=0转化为x﹣2=0或x+1=0的过程，是将二次降为一次的“降次”过程，从而使得问题得到解决．仿照上面降次的方法，解决下列问题：（1）解方程x2﹣3x=0；（2）2a2﹣a﹣3=0；【方法总结】此类题属于“新定义题型”，首先要读懂题意，明白题干中告知的对于新题型的解题思路是什么，然后根据已经学习过的知识，进行分析解答，此类题认真审题读懂题意是关键.3.阅读理解以下文字：我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．例如：方程2x2+3x=0就可以这样来解：解：原方程可化为x（2x+3）=0，所以x=0或者2x+3=0．解方程2x+3=0，得x=﹣．所以解为x1=0，x2=﹣．根据你的理解，结合所学知识，方程x2﹣5x=6的解是_______【随堂练习】1．（2018春•成都期中）若a=2009x+2007，b=2009x+2008，c=2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为____．综合运用1.因式分解：x2﹣x﹣12= ．2.因式分解：﹣2x2+12x﹣18= ．3.分解因式：4x2﹣4x﹣3= ．4.因式分解：（k+1）x2+（3k+1）x+2k﹣2= ．5.分解因式：（a﹣b）2+6（b﹣a）+9= ．6.分解因式：2m2﹣mn+2m+n﹣n2= ．7.分解因式：a2﹣b2+4a+2b+3= ．8.分解因式：a2﹣4ab+4b2+3a﹣6b= ．9.已知△ABC的三边长分别为a、b、c，判断式子b2﹣a2+2ac﹣c2的结果是______（填正负性）10.若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）（c﹣a）=0，那么△ABC的形状是_______。

佳一数学2014年秋季人教版教案八年级-12 因式分解

第十二讲因式分解[教学内容]《佳一数学思维训练教程》秋季人教版，八年级第十二讲“因式分解”.[教学目标]知识技能1．理解因式分解的意义，体会因式分解与整式乘法的关系；2．了解因式分解的一般步骤，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解.数学思考1．经历探究分解因式方法的过程，体会整式乘法与分解因式之间的关系；2．通过合作探究，加深学生对因式分解的进一步理解和应用，能够熟练运用各种方法进行因式分解，体会转化的思想.问题解决1．学会逆用平方差公式，归纳出因式分解的不同的方法；2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探索的结果.情感态度1．通过分析、引导、同学交流、同学归纳等数学活动，体验数学问题的探索性、挑战性；2．提高学生的数学思维水平.[教学重点和难点]重点：用提取公因式法和公式法进行因式分解难点：能够灵活应用各种不同的方法进行因式分解[教学准备]动画多媒体语言课件第一课时教学过程：第二课时教学过程：参考答案类似性问题：1.D2.D3.A4.(m-n)(m+x)5.解：(1)原式＝（4m2-9)2=(2m-3)2(2m+3)2；(2)原式＝（8xy+x2+16y2)(8xy-x2-16y2)＝-(x+4y)2(x-4y)2；(3)原式＝(16m+n)(m-2n)；(4)原式＝(x-2y)2-3(x-2y)+2=(x-2y-1)(x-2y-2)；(5)原式＝(4x2-4x+1)-(y2-4y+4)=(2x-1)2-(y-2)2=(2x+y-3)(2x-y+1).6.解：（1）原式＝(a+b)2=(3+4)2=49.(2)a2+2ab=a(a+2b)或a2-2ab=a(a-2b)或a2-b2=(a+b)(a-b),答案不唯一. 练习册答案：1. C2. D3. D4. C5. 16. (a+b+1)(a-b-1)7. （n+3)²-n²=3(2n+3)8. (x²+4x-3)(x²+4x+1)9. 解：原式=-2xy(x+y). 当x+y=1,xy=-12时，原式=1.10. 解：mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46,由已知m+11整除mn+9m+11n+145, 且n+9整除mn+9m+11n+145,m+11=n+9,得m+11整除46,n+9整除46.∵46=46×1＝23×2，∴m+11=n+9=46或m+11=n+9=23，由此可得每人捐款数为47元或25元.11.（1）2 （2）11 20。

学而思初二数学第12讲.专题突破之一元二次方程.尖子班.学生版

39初二春季·第12讲·尖子班·学生版方程12级特殊根问题方程13级根系关系及应用题方程6级方程14级一元二次方程专题突破春季班第十二讲春季班第十讲围图形满分晋级阶梯漫画释义12专题突破之——一元二次方程40初二春季·第12讲·尖子班·学生版题型切片（四个）对应题目题型目标一元二次方程的定义及方程的根例1，练习1；一元二次方程的解法例2，练习2；一元二次方程的特殊根例3，例4，练习3，练习4；一元二次方程的综合运用例5，例6，例7，练习5．题型切片知识互联网41初二春季·第12讲·尖子班·学生版一、一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．1. 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．2. 任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．3. 关于x 的一元二次方程式20ax bx c ++=()0a ≠的项与各项的系数．2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．二、一元二次方程的解法1. 直接开平方法：适用于解形如2()(0)x a b b +=≥的一元二次方程．2. 配方法：解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程．3. 公式法：利用求根公式和判别式来求解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程．4. 因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．三、一元二次方程根的判别式1. 一元二次方程根的判别式的定义：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2. 判别式与根的关系．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则 ①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac x a -±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；思路导航42初二春季·第12讲·尖子班·学生版若∆为完全平方式，同时24b b ac -±-是2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 3. 一元二次方程的根的判别式的应用． ① 运用判别式，判定方程实数根的个数；② 利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ③ 通过判别式，证明与方程相关的代数问题；④ 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型解几何存在性问题、最值问题．【例1】 ⑴ 关于x 的方程()25410a x x ---=有实数根，则a 满足（）A. a ≥1B. a >1或a ≠5C. a ≥1且a ≠5D. a ≠5⑵ 已知关于x 的方程()2110kx k x +--=，下列说法正确的是（）A. 当k =0时，方程无解B. 当k =1时，方程有一个实数解C. 当k =1-时，方程有两个相等的实数解D. 当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解⑶ 若关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根是1-，则a – b + c = ；若有4a - 2b + c = 0此方程必有一个根．【例2】用适当的方法解关于x 的一元二次方程：⑴ ()22239x x -=- ⑵ 222250x x --=典题精练典题精练题型一：一元二次方程的定义及方程的根题型二：一元二次方程的解法43初二春季·第12讲·尖子班·学生版⑶ ()()22352360x x ---+= ⑷ ()22321410a a x ax +--+=44初二春季·第12讲·尖子班·学生版【例3】已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．⑴讨论此方程根的情况；⑵若方程有两个整数根，求正整数k 的值．【例4】若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．典题精练题型三：一元二次方程的特殊根45初二春季·第12讲·尖子班·学生版【例5】已知关于x 的方程21(1)(3)0mm x m x k +++-+=，问：⑴ m 取何值时，它是一元一次方程？ ⑵ m 取何值时，它是一元二次方程？①若2x =是一元二次方程的一个根，求k 的值； ②若3k =-，求出此一元二次方程的解；③分别求出一元二次方程无实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根对应的k 的取值范围．④若一元二次方程的解是整数，把你发现字母k 的取值规律用含字母n （n 为正整数）的式子表示为．【例6】已知关于x 的方程()23130mx m x +++=．⑴ 求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；⑵ 若此方程有两个不同的整数根，试确定m 的正整数值；⑶ 当m 为⑵中所求数值时，1x 与1x n +（n ≠0）分别是关于x 的方程()23130mx m x b +++-=的两个根，求代数式22114125168x x n n n ++++的值．真题赏析题型四：一元二次方程的综合运用【例7】列方程（组）解应用题：如图是一块长、宽分别为60m、50m的矩形草坪，草坪中有宽度均为x m的一横两纵的甬道．⑴用含x的代数式表示草坪的总面积S；⑵当甬道总面积为矩形面积的10.4%时，求甬道的宽．初二春季·第12讲·尖子班·学生版4647初二春季·第12讲·尖子班·学生版题型一一元二次方程的定义及方程的根巩固练习【练习1】 ⑴ 关于x 的方程的一元二次方程()22230a x x ---=有一根为3，则另一根为（） A. 1- B. 3 C. 2 D. 1 ⑵ 关于x 的一元二次方程230x x m +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A. 112m >B. 112m <C. 112m >-D. 112m <-题型二一元二次方程的解法巩固练习【练习2】 ⑴ 用配方法解方程2410x x ++=，配方后的方程是（）A. ()223x +=B. ()223x -=C. ()225x -= D. ()225x +=⑵ 把方程2630x x ++=化成()2x m n +=的形式，正确的结果为（） A. ()236x += B. ()236x -= C. ()2312x += D. ()21633x +=题型三一元二次方程的特殊根巩固练习【练习3】已知关于x 的一元二次方程()21002ax bx a ++=≠有两个相等的实数根，求()()()22111ab a b b -++-的值．【练习4】已知：关于x 的一元二次方程()()2413301kx k x k k -+++=>⑴ 求证：方程有两个不相等的实数根复习巩固48初二春季·第12讲·尖子班·学生版⑵ 若方程的两个实数根分别是1x ，2x （其中12x x <），设212y x x =--，判断y 是否为变量k 的函数？如果是，请写出表达函数；若不是，请说明理由．题型四一元二次方程的综合应用巩固练习【练习5】某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该车把进价为27万元；每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．⑴ 若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为_________万元； ⑵ 如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利 = 销售利润 + 返利）第十六种品格：感恩陈毅为老母洗屎尿裤20世纪60年代初，陈毅时任国务院副总理兼外交部长，日理万机，公务繁忙。

初二人教版数学春季班(教师版)第12讲一元二次方程及其解法 --提高班

第12讲一元二次方程及其解法知识点1 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数【典例】例1（2020秋•新抚区期末）下列方程中，是一元二次方程的为（）A．x2＝0B．x2﹣2y＝0C．2x﹣3＝0D．x2+1x=−3【解答】解：A、∵x2＝0是一元二次方程，∴选项A符合题意；B、∵x2﹣2y＝0含有两个未知数，∴x2﹣2y＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意；C、∵2x﹣3＝0的未知数的最高次数是1，∴2x﹣3＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意；D、∵x2+1x=−3不是整式方程，∴x2+1x=−3不是一元二次方程，选项D不符合题意．故选：A．【方法总结】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．例2（2020秋•铁锋区期末）若关于x的方程（a﹣1）x a2+1−7x+3＝0是一元二次方程，则a＝﹣1．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x a2+1−7x+3＝0是一元二次方程，∴a2+1＝2且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1．故答案为：﹣1．【方法总结】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．例3 （2020秋•恩平市期中）将方程x（x﹣1）＝3x+1化为一元二次方程的一般形式x2﹣4x﹣1＝0．【解答】解：x（x﹣1）＝3x+1，去括号、移项，得x2﹣x﹣3x﹣1＝0，合并同类项，得x2﹣4x﹣1＝0．故答案是：x2﹣4x﹣1＝0．【方法总结】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．例4（2020秋•马村区月考）将关于x的一元二次方程（2x+1）2﹣（x+√5）（x−√5）＝0化为一般形式后，其二次项系数为（）A．3B．﹣3C．4D．﹣4【解答】解：由（2x+1）2﹣（x+√5）（x−√5）＝0得到：3x2+4x+6＝0，其中二次项系数是3．故选：A．【方法总结】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．注意在说明二次项，一次项，常数项时，一定要带上前面的符号．【随堂练习】1．（2020秋•松山区期末）已知关于x的方程（m﹣1）x m2+1+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为﹣1．【解答】解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．2．（2020秋•越秀区校级期中）若关于x的方程（m﹣2）x2﹣mx+3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是m≠2．【解答】解：由题意，得m﹣2≠0，解得m≠2，故答案是：m≠2．3．（2020秋•青羊区校级月考）方程5x2＝21﹣9x化成一般形式后，若二次项的系数为5，则它的一次项系数是（）A．9B．﹣9C．9x D．﹣9x【解答】解：5x2＝21﹣9x，5x2+9x﹣21＝0，一次项系数是9，故选：A．4．（2020秋•东海县期中）将一元二次方程3x（x﹣1）＝2化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式为3x2﹣3x﹣2＝0．【解答】解：方程3x（x﹣1）＝2，去括号得：3x2﹣3x＝2，移项得：3x2﹣3x﹣2＝0．故答案为：3x2﹣3x﹣2＝0．知识点2 一元二次方程的解法1、形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法；2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ①移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ①配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方； ①化原方程为的形式；①如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. 3、公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a 、b 、c 的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论（1）一元二次方程的根的判别式①=b 2－4ac当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当①＜0时，没有实数根．反过来也成立（2）一元二次方程的求根公式是4、因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；①将方程的左边化成两个一次因式的乘积；①令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解【典例】直接开平方法例1（2020春•浦东新区期末）解关于y 的方程：by 2﹣1＝y 2+2．)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠21,240)x b ac =-≥【解答】解：移项得：by 2﹣y 2＝2+1，合并同类项得：（b ﹣1）y 2＝3，当b ＝1时，原方程无解；当b ＞1时，原方程的解为y ＝±√3b−3b−1；当b ＜1时，原方程无实数解．【方法总结】此题主要考查解一元二次方程．解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，方程两边都除以b ﹣1时注意讨论是否为0这一前提条件，是易错点．例2（2020秋•马山县期中）解方程：1﹣8x +16x 2＝2﹣8x ．【解答】解：1﹣8x +16x 2＝2﹣8x ，移项、合并同类项，得16x 2＝1，两边同时除以16，得x 2=116，解得x ＝±14．【方法总结】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2＝a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．【随堂练习】1．（2020秋•孟津县期末）解方程：（y +2）2＝（3y ﹣1）2．【解答】解：直接开平方，得y +2＝±（3y ﹣1）即y +2＝3y ﹣1或y +2＝﹣（3y ﹣1），解得：y 1=32，y 2=−14．2．（2020春•金山区期中）解关于x 的方程：x 2﹣1＝1﹣ax 2（a ≠﹣1）．【解答】解：x2﹣1＝1﹣ax2（a≠﹣1）．（1+a）x2＝2，当a＜﹣1，无解，当a＞﹣1，x=±√21+a，x1=√2+2a1+a，x2=−√2+2a1+a．【典例】配方法例1 （2020秋•云县期中）将一元二次方程：x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b的形式正确的是（）A．（x+4）2＝21B．（x﹣4）2＝11C．（x﹣4）2＝21D．（x﹣8）2＝69【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0，∴x2﹣8x＝5，则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，故选：C．【方法总结】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．例2（2020•武汉模拟）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0x2﹣2x−12=0x2﹣2x+1=12+1（x﹣1）2=3 2∴x1＝1+√62，x2＝1−√6 2．【方法总结】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．【随堂练习】1．（2020秋•句容市期中）若将方程x2﹣4x+1＝0化为（x+m）2＝n的形式，则m＝﹣2．【解答】解：方程x2﹣4x+1＝0，移项得：x2﹣4x＝﹣1，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，则m＝﹣2．故答案为：﹣2．2．（2020秋•喀什地区期末）用配方法解方程：2x2﹣3x+1＝0．【解答】解：x2−32x=−12，x2−32x+916=−12+916，（x−34）2=116x−34=±14，所以x1=12，x2＝1．【典例】公式法例1（2020秋•南安市期中）x=−3±√32+4×2×12×2是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+3x+1＝0B．2x2﹣3x+1＝0C．2x2+3x﹣1＝0D．2x2﹣3x﹣1＝0【解答】解：A．此方程的解为x=−3±√32−4×2×12×2，不符合题意；B．此方程的解为x=3±√(−3)2−4×2×12×2，不符合题意；C．此方程的解为x=−3±√32+4×2×12×2，符合题意；D．此方程的解为x=3±√(−3)2−4×2×(−1)2×2，不符合题意；故选：C．【方法总结】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．例2（2020秋•台州月考）解方程：2x 2﹣4x ＝﹣1；【解答】解：∵2x 2﹣4x ＝﹣1， ∴x 2﹣2x ＝﹣0.5，则x 2﹣2x +1＝1﹣0.5，即（x ﹣1）2=12， ∴x ﹣1＝±√22， ∴x 1＝1+√22，x 2＝1−√22；【方法总结】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•冠县期末）解一元二次方程：（x +1）（x ﹣2）＝4．【解答】解：（x +1）（x ﹣2）＝4，整理得，x 2﹣x ﹣6＝0， a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣6，△＝b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，x =−b±√b 2−4ac 2a =−(−1)±52， x 1＝3，x 2＝﹣2．【典例】因式分解法例1（2020秋•皇姑区期末）解方程：3x 2+4x ﹣4＝0．【解答】解：方程3x 2+4x ﹣4＝0，分解因式得：（3x﹣2）（x+2）＝0，可得3x﹣2＝0或x+2＝0，解得：x1=23，x2＝﹣2．【方法总结】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．例2 （2020秋•平江县期中）已知一个等腰三角形的腰长和底边长是一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个等腰三角形的周长为（）A．10B．13C．17D．13或17【解答】解：解方程x2﹣10x+21＝0，得x1＝7，x2＝3，当7为腰，3为底时，7﹣3＜7＜7+3，能构成等腰三角形，周长为7+7+3＝17；当3为腰，7为底时，3+3＜7，不能构成等腰三角形．故选：C．【方法总结】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．【随堂练习】1．（2020秋•兰州期末）解方程：3x（2x+1）＝4x+2．【解答】解：方程整理得：3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，分解因式得：（3x﹣2）（2x+1）＝0，可得3x﹣2＝0或2x+1＝0，解得：x1=23，x2=−12．2．（2020秋•莲湖区期中）已知一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两根恰好是某等腰三角形的两边长，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．6C．8D．2或6【解答】解：方程x2﹣8x+12＝0，因式分解得：（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x ＝2或x ＝6，若2为腰，6为底，2+2＜6，不能构成三角形；若2为底，6为腰，此时可以构成三角形．故选：A ．知识点3：根与系数的关系根与系数关系又称为韦达定理：(1)如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(2)如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q (3)当方程的两个根分别为x 1、x 2，满足条件的方程为（x -x 1）（x -x 2）=0 (4)常常配合平方差公式和完全平方公式完成解题【典例】根与系数的关系应用例1（2020秋•东莞市校级月考）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1＝0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m 的值．【解答】（1）证明：∵△＝（m +3）2﹣4×1×（m +1）＝m 2+6m +9﹣4m ﹣4 ＝m 2+2m +1+4 ＝（m +1）2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另外一根为a ，根据题意，得：{a −2=−m −3−2a =m +1，解得：{a =4m =−5，所以方程的另一根为4，m 的值为﹣5．【方法总结】本题主要考查根与系数关系、根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q ＝x1x2．例2（2020秋•伊川县期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别为x1，x2，当k为最小的正整数时，求x12+x22的值．【解答】解：（1）由题意得△＝（2k+1）2﹣4k2＞0，∴k＞−1 4；（2）∵k＞−14且为最小正整数，∴k＝1，∵方程x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝1，∴x12+x22=(x1+x2)2+2x1x2=(−3)2−2×1=7．【方法总结】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了根的判别式．【随堂练习】1．（2020秋•农安县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【解答】（Ⅰ）证明：△＝（m+2）2﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（Ⅱ）解方程得，x=m+2±(m−2)2m，x1=2m，x2＝1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m＝1或2，m＝2不合题意，∴m＝1．2．（2020秋•绥棱县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m的值．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△＝25﹣4m≥0，解得，m≤25 4；（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，∵3x1﹣2x2＝5，∴3x1+3x2﹣5x2＝5，∴﹣5x2＝﹣10，解得，x2＝2，把x＝2代入原方程得，m＝6．综合运用1．（2020秋•科左中旗期末）一元二次方程x（2x+3）＝5的常数项是（）A．﹣5B．2C．3D．5【解答】解：方程整理得：2x2+3x﹣5＝0，则常数项为﹣5，故选：A．2．（2020秋•洛宁县月考）用配方法解一元二次方程：x2﹣4x﹣2＝0，可将方程变形为（x ﹣2）2＝n的形式，则n的值是（）A．0B．2C．4D．6【解答】解：方程x2﹣4x﹣2＝0，移项得：x2﹣4x＝2，配方得：x2﹣4x+4＝6，即（x﹣2）2＝6，则n＝6．故选：D．3．（2020秋•荥阳市校级月考）以下是小明解关于x的方程（x+m）2＝n的过程：x+m=±√n；x=±√n−m；你认为是否正确？如果正确写“是”，如果错误写出错误原因：没有就n≥0还是n＜0讨论．【解答】解：错误，没有就n≥0还是n＜0讨论，故答案为：没有就n≥0还是n＜0讨论．4．（2020秋•乌苏市月考）已知方程（m+4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，求m的值．【解答】解：∵方程（m+4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，∴m+4≠0且|m|﹣2＝2，解得：m＝4．5．（2020•宿松县模拟）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．【解答】解：∵4（2x﹣1）2﹣36＝0，∴（2x﹣1）2＝9，∴2x﹣1＝±3，∴x＝2或﹣16．（2020秋•龙沙区期末）解方程：（x+1）2﹣4＝3（x+1）．【解答】解：∵（x+1）2﹣4＝3（x+1），∴（x+1）2﹣4﹣3（x+1）＝0，设t＝x+1，∴t2﹣3t﹣4＝0，∴（t﹣4）（t+1）＝0，∴t＝4或t＝﹣1∴x+1＝4或x+1＝﹣1，∴x＝3或x＝﹣2．7．（2020秋•白云区期中）已知方程x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0是关于x的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．【解答】（1）证明：△＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4．∵（k﹣1）2≥0，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）将x＝2代入原方程得：22﹣2（k+1）+k﹣1＝0，解得：k＝1，∴原方程为x2﹣2x＝0．∴方程的另一个根＝2﹣2＝0．8．（2020秋•海珠区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2﹣1＝0．（1）用含k的代数式表示该方程根的判别式；（2）若该方程有两个实数根x1，x2，且满足x1x2＝2x1+2x2，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2﹣1＝0，∴△＝[2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＝8k+8．（2）∵方程有两个实数根x1，x2，∴△＝8k+8≥0，∴k≥﹣1，由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2（k+1），x1x2＝k2﹣1，∵x1x2＝2x1+2x2，∴k2﹣1＝﹣4（k+1）∴k2+4k+3＝0，解得k＝﹣3或k＝﹣1，∵k≥﹣1，∴k＝﹣1．。

人教版八年级数学上册《运用完全平方公式因式分解》课件

B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( B) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是_____1___． 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为 ________±__4_ ．
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法
2.平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
第三页，共28页。
讲授(jiǎngshòu)新课
一用完全平方公式分解因式你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼
成的图形的面积吗？
a a² a
ab a ab a b²b
b
b
b
同学们拼出图形为：
第四页，共28页。
几个非负数的和为 0，则这几个非负数都为0.
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
＝112＝121.
第十九页，共28页。
方法总结：此类问题(wèntí)一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题(wèntí)．
第二十页，共28页。
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2 －2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明(shuōmíng)理由．
第二十六页，共28页。
课堂(kètáng)小结
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
完全平方
公式分解
因
式
特点
（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成

初中数学春季班-人教版-初二(学生版)第12讲一元二次方程及其解法 --尖子班

第12讲一元二次方程及其解法知识点1 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx ，c 分别称为二次项、一次项、常数项；a ，b 分别称为二次项系数、一次项系数【典例】例1（2020秋•安居区期中）已知方程（m ﹣2）x m 2+（m ﹣3）x +1＝0．（1）当m 为何值时，它是一元二次方程？（2）当m 为何值时，它是一元一次方程？例2（2020•广西模拟）关于x 的方程(m −3)x m 2−7−x =5是一元二次方程，求m 的值．例3 （2020秋•市中区期中）将一元二次方程13x(x −2)=5化为二次项系数为“1”的一般形式是，其中，一次项系数是，常数项是．例4 （2020秋•双流区校级期中）若关于x 的一元二次方程（m +4）x 2+5x +m 2+3m ﹣4＝0的常数项为0，则m 的值等于．【随堂练习】1．（2020秋•重庆期末）已知关于x 的方程（a ﹣3）x 2﹣4x ﹣5＝0是一元二次方程，那么a 的取值范围是．2．（2020秋•城关区校级月考）当k 取何值时，关于x 的方程（k ﹣5）x 2+（k +2）x +5＝0．（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？3．（2020秋•天津期中）将一元二次方程4x 2﹣5x ＝81化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别为．4．（2020秋•永州月考）若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣x +m 2﹣m ＝0的常数项为0，则m 的值为多少．知识点2一元二次方程的解法1、形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法；2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ①移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ①配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方； ①化原方程为的形式；①如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥3、公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a 、b 、c 的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论（1）一元二次方程的根的判别式①=b 2－4ac当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当①＜0时，没有实数根．反过来也成立（2）一元二次方程的求根公式是4、因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；①将方程的左边化成两个一次因式的乘积；①令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解【典例】直接开平方法例1（2020秋•杨浦区期中）若关于x 的一元二次方程a （x ﹣m ）2＝3的两根为12±12√3，其中a 、m 为两数，则a ＝，m ＝．例2（2020秋•石家庄期中）关于x 的方程a （x +m ）2+b ＝0的解是x 1＝﹣3，x 2＝2（a 、b 、m 为常数，a ≠0），则方程a （x +m +1）2+b ＝0的解是．【随堂练习】1．（2020秋•于洪区校级月考）若一元二次方程ax 2＝b （ab ＞0）的两个根分别是m +1与2m ﹣4，则ab = ．2．（2020•鼓楼区校级模拟）已知关于x 的方程a （x +c ）2+b ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）20(0)ax bx c a ++=≠21,240)2b x b ac a -±=-≥的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为．【典例】配方法例1（2020秋•白云区校级期中）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则b＝．例2（2020秋•五常市期末）解方程：2x2+8x﹣1＝0．【随堂练习】1．（2020秋•硚口区期中）如果把方程x2+10x+9＝0化为（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（）A．5，﹣16B．﹣5，﹣16C．﹣5，16D．5，16 2．（2020秋•武功县期末）解方程：4x2﹣8x+1＝0．【典例】公式法例1（2020秋•河南月考）用公式法解一元二次方程2x2﹣3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，﹣1B．2，3，1C．2，﹣3，1D．2，3，﹣1例2（2020秋•斗门区校级期中）解方程x2﹣2√2x=1 4．【随堂练习】1．（2020秋•奈曼旗月考）解方程：x2+3x﹣4＝0．【典例】因式分解法例1（2020秋•伊通县期末）若规定两个实数a 、b 通过运算※，得到3ab ，即a ※b ＝3ab ，如2※5＝3×2×5＝30．（1）（−√2）※x ＝；（2）若x ※x ﹣2※x ﹣2※4＝0，求x 的值．例2（2020秋•吉安期中）菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程x 2﹣7x +12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为（） A ．12 B ．14C ．16D ．12或16【随堂练习】1．（2020秋•闽侯县期中）矩形ABCD 的一条对角线长为5，边AB 的长是方程x 2﹣6x +8＝0的一个根，则矩形ABCD 的面积为（） A ．12 B ．20C ．2√21D ．12或2√212．（2020秋•三水区校级期中）点P 的坐标恰好是2x 2﹣x ﹣1＝0的两根，则P 点在第（）象限． A ．一或三 B ．一或四C ．二或四D ．三或四知识点3 根与系数的关系根与系数关系又称为韦达定理：(1)如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a(2)如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q (3)当方程的两个根分别为x 1、x 2，满足条件的方程为（x -x 1）（x -x 2）=0 (4)常常配合平方差公式和完全平方公式完成解题【典例】根与系数的关系应用例1（2020秋•云梦县月考）关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根x1，x2满足x12+2x2＝m2，求m的值．例2（2020秋•蔡甸区月考）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．【随堂练习】1．（2020秋•泰兴市月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，方程的两根分别为x1，x2．（1）若c＝1，x1＝﹣1，①用含a的代数式表示b；②若方程两根（包括x1，x2）之间有且只有三个整数，求a的取值范围；（2）已知b2−4ac=4a，(x1−x2)2=c2−2c+6c，设y＝x1•x2，请用含c的代数式表示y，并求出y的最小值．2．（2020秋•孝感月考）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）若方程的一个根为1，求m的值；（2）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．综合运用1．（2020秋•科左中旗期末）一元二次方程x（2x+3）＝5的常数项是（）A．﹣5B．2C．3D．52．（2020秋•洛宁县月考）用配方法解一元二次方程：x2﹣4x﹣2＝0，可将方程变形为（x ﹣2）2＝n的形式，则n的值是（）A．0B．2C．4D．63．（2020秋•荥阳市校级月考）以下是小明解关于x的方程（x+m）2＝n的过程：x+m=±√n；x=±√n−m；你认为是否正确？如果正确写“是”，如果错误写出错误原因：．4．（2020秋•乌苏市月考）已知方程（m+4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，求m的值．5．（2020•宿松县模拟）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．6．（2020秋•龙沙区期末）解方程：（x+1）2﹣4＝3（x+1）．7．（2020秋•白云区期中）已知方程x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0是关于x的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．8．（2020秋•海珠区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2﹣1＝0．（1）用含k的代数式表示该方程根的判别式；（2）若该方程有两个实数根x1，x2，且满足x1x2＝2x1+2x2，求k的值．。

人教版数学八年级上册第14章第12课14.3因式分解(教案)

五、教学反思
今天我们在课堂上学习了因式分解这一章节，回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。首先，我在导入新课环节通过提问方式引导学生思考日常生活中的问题，发现他们对此还是挺感兴趣的，这为接下来的教学奠定了良好的基础。
然而，在新课讲授过程中，我发现有些学生对提公因式法和公式法的掌握程度并不理想。在讲解过程中，我尽量通过具体例子和详细步骤来解释这两个方法，但可能由于时间关系，学生练习的机会相对较少，导致他们对这些方法的运用还不够熟练。在今后的教学中，我需要更加注意讲解与练习的平衡，让学生有更多机会动手操作，提高他们对知识点的掌握。
-提公因式法的步骤与技巧；
-公式法（平方差公式、完全平方公式）的应用；
-解决实际问题时的因式分解方法。
举例解释：
-重点讲解因式分解的意义，通过具体例题使学生理解将多项式分解成几个整式乘积的过程；
-强调提公因式法的关键步骤，如确定公因式、分解多项式；
-详细解释平方差公式（a² - b² = (a + b)(a - b)）和完全平方公式（a² + 2ab + b² = (a + b)²）的构成和应用；
-通过实际问题的解决，让学生掌握如何将现实问题转化为数学问题，进而运用因式分解解决。
2.教学难点
-确定多项式的公因式；
-熟练运用平方差公式和完全平方公式；
-将因式分解应用于复杂问题的解决；
-在实际问题中识别需要因式分解的数学模型。
举例解释：
-难点在于帮助学生理解如何从多项式中提取公因式，特别是当多项式中含有多个项时，如何识别和选择合适的公因式；
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《因式分解》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生”（如分配零食、分组工作等）。这个问题与我们将要学习的因式分解密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索因式分解的奥秘。

学而思初二数学秋季班第12讲.几何综合.尖子班.学生版

47初二秋季·第13讲·尖子班·学生版全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。

判断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL （直角三角形），如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件，引出相应的辅助线然后再证明。

一、常见辅助线的作法有以下几种：1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对称”；2. 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；思路导航13名校期末试题点拨——几何部分题型一：全等三角形与轴对称484. 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；5. 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

二、常见模型1.最值问题：“将军饮马”模型；2. 全等三角形经典模型：三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模型等。

三、尺规作图部分地区会考察尺规作图，难点在于构造轴对称图形解决几何问题。

【例1】 ⑴如下左图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A =60°，∠1=95°，则∠2的度数为（）A ．24°B ．25°C ．30°D ．35°⑵长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如上右图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n =3时，a 的值为．【例2】 ⑴如图所示，在长方形ABCD 称轴l 上找点P ，使得△P AB 、典题精练21C'B'FE CBA 第二次操作第一次操作l DCBA49初二秋季·第13讲·尖子班·学生版△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有（）． A ．1个 B ．3个 C ．5个 D ．6个⑵改为：在长方形ABCD ()2AB BC AB BC >≠且的对称轴上找点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有个⑵已知，横线和竖线相交的点叫做格点，P 、A 、B 为格点上的点，A 、B 的位置如图所示，若此三点能够构成等腰三角形，P 点有种不同的位置？【解析】12种，如下图所示：【例3】 ⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小；⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小；⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．图4图3图2图1P DCAOP C BAP E D CB AP E D CBA50【例4】如图，AD=BC ，DF=CA ，∠C =∠D ，AD 交BC 于点H ，AE ⊥BC 于点E ，点F 在BC上．⑴ 若AN 是△AEC 的角平分线，求证：::AEN ACN S S AE AC △△；⑵ 当∠B=∠BAD +12°时，求∠B 的度数.NNMN ABCDEFHABCEFH H FED CBA【例5】如图1，在ABC∠=∠，BAC∠的平分线ACB B△中，2AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l AO⊥于H，分别交直线AB AC BC、、于点、、.N E M⑴当直线l经过点C时（如图2），证明：BN CD=；⑵当M是BC的中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；⑶请直接写出BN CE CD、、之间的等量关系.初二秋季·第13讲·尖子班·学生版5152一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余；2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab =c h ；4. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即222c b a =+；5. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半（或含30°的直角三角形三边之比为1：3：2）；6. 含45°角的直角三角形三边之比为1：1：2．二、直角三角形的判定1. 有一个角为90°的三角形是直角三角形；2. 两个锐角互余的三角形是直角三角形；3. 勾股定理的逆定理：在以a 、b 、c 为边的三角形中，若222c b a =+，则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形；思路导航题型二：直角三角形与勾股定理53初二秋季·第13讲·尖子班·学生版4. 一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．【例6】在给定的图形内作一条折线AB 1C 1D 1E ，使AB 1⊥AB ，B 1C 1⊥BC ，C 1D 1⊥CD ，D 1E ⊥DE ，且A ，B ，C ，D ，E ，B 1，C 1，D 1都是格点．EDCBA【例7】如图，AC =AB ，DC =DB ，∠CAB =60°，∠CDB =120°，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE =BF ．图1C AEG BFD图2DABCE 思考验证：⑴求证：DE =DF ；⑵在图1中，若G 在AB 上且∠EDG =60°，试猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系并证明；探究应用：⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，∠ABC =90°，∠CAB =∠CAD =30°，E 在AB 上，DE ⊥AB ，且∠DCE =60°，若AE =3，求BE 的长．典题精练【例85455初二秋季·第13讲·尖子班·学生版NMDC BA训练1. ⑴如图所示，EFGH 是一个台球桌面，有黑白两球分别置于A B 、两点的位置上，试问怎样撞击黑球A ，经桌面HE EF 、连续反弹后，准确击中白球B ？（写出作法并画图）HGF EAB⑵如图，在锐角△ABC 中，4245AB BAC =∠=，°，BAC ∠的平分线交BC于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是___________．训练2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°. 将△ABC 绕点C 逆时针旋转α角，得到△A 1B 1C ，连结BB 1，设B 1C 交AB 于D ，A 1B 1分别交AB 、AC 于E 、F .⑴ 当090︒<α<︒时，如图1，请在不添加任何线段的情况下，找出一对全等三角形，并加以证明（△ABC ≌△A 1B 1C 除外）；⑵ 在⑴的条件下，当△BB 1D 是等腰三角形时，求α；⑶ 当90180︒<α<︒时，如图2，求证：△A 1CF ≌△BCD .图2图1ABCA 1B 1E F DDFEB 1A 1CBA训练3. 已知如图，AB=AC ，PB=PC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E .思维拓展训练(选讲)56PEDC B A AB C DEP⑴ 求证：PD=PE ；⑵ 若BP AB =，o 45=∠DBP ,2=AP ,求四边形ADPE 的面积.训练4. ⑴如图，等腰直角三角形ABC 分别沿着某条直线对称得到图形b 、c 、d ．若上述对称关系保持不变．平移ABC ∆，使得四个图形能够拼成一个重叠且无缝隙的正方形，此时点C 的坐标和正方形的边长为（）A ．11222⎛⎫- ⎪⎝⎭，， B ．(11)2-，，C．(11)-， D．1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，⑵如图，△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交DC 间的数量关系，并证明.57初二秋季·第13讲·尖子班·学生版【练习1】 ⑴如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M ，N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN 上，落点记为A '，折痕交AD 于点E ．若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A N '=_________；若M 、N 分别是AD 、BC 边上距DC 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则A N '=_________（用含有n 的式子表示） ⑵如图，D 为ABC △内一点，CD 平分ACB ∠， BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若5AC =，3BC =，则BD 的长为（） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5【练习2】如图，ABC △是等腰三角形，AB AC =，AD 是角平分线，以AC 为边向外作等边三角形ACE ，BE 分别与AD 、AC 交于点F 、点G ，连接CF ．⑴ 求证：FBD FCD ∠=∠；⑵ 若1FD =，求线段BF 的长．复习巩固DCB AG F EDCB A第十五种品格：创新创新的力量20世纪40年代，美国有许多制糖公司向南美洲出口方糖，因方糖在海运中会有受潮现象，这给公司带来巨大损失。

【秋季课程人教版初二数学】第12讲——因式分解_教案

教学过程一、复习预习计算下列各题a(b+c) (x+y)(a+b)解答：a(b+c)=ab+ac (x+y)(a+b)=ax+bx+ay+by将此式子倒过来可以得到ab+ac=a(b+c) ax+bx+ay+by=(x+y)(a+b)二、知识讲解考点1把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

可见，因式分解与整式乘法是相反的过程。

考点2如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式化成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

考点3找公因式的方法：①系数取公约②字母找公有③指数找最低④首项与公因式的符号保持一致。

考点4十字相乘法十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式（x+a ）（x+b ） =ab x b a x +++)(2，用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。

（1）对于二次项系数为1方法是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式方法是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母。

考点5、分组分解法我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。

人教版八年级数学上册第12章12

(3)因为B2C2＝BC，所以点C2和点C重叠，于是B2C2与 BC重叠，A2C2和CA也重叠，则可知△A2B2C2与△ABC 重叠，即 △A2B2C2≌△ABC ．
1、如图，B点在A点旳正北方向。两车从路段AB旳一端A出发，分别向东、向西进行相同旳距离，到达C、 D两地。此时C，D到B旳距离相等吗？为何？
2. 用尺规作图：已知两边及其夹角旳三角形
布置作业：课本104页3、4题同步练习
12.2全等三角形旳鉴定
（SAS）
画△ABC,使AB=3cm，AC=4cm。
这么画出来旳三角形与同桌所画旳三角形进行比较，它们相互重叠吗？
若再加一种条件，使∠A=45°，画出△ABC
画法： 1. 画∠MAN= 45°
2. 在射线AM上截取AB= 3cm 3. 在射线AN上截取AC=4cm
4.连接BC 则△ABC就是所求旳三角形
【解】我们把甲、乙、丙三个三角形移动后覆盖在△ABC 上，使得A1B1，A2B2，A3B3和AB重叠，∠B1、∠B2、 ∠B3和∠B重叠，C1和C2、C3将落在直线BC上，其中： (1)因为B1C1＜BC，所以点C1在C旳左侧，可知△A1B1C1
和△ABC不全等；
(2)因为B3C3＞BC，所以点C3在点C旳右侧，可知△A3B3C3和△ABC也不全等；
已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD 。问AD=CD， BD 平分∠ ADC 吗？
证明：在△ABD与△CBD中
B
A
A∠BA=BCDB=∠CBD
D BD=BD
C ∴△ABD≌△CBD（SAS）
∴AD=CD
∠ADB=∠CDB
即BD平分∠ADC
由前边两个题目能够看出：

八年级数学上册因式分解(12)(人教版)

第八章：因式分解一．大纲要求：二．重点、难点和关键1.重点：因式分解的三种基本方法2.难点：灵活运用三种方法进行因式分解3.关键：因式分解是整式乘法的逆变形。

要熟练掌握每一种方法与对应的整式乘法之间的关系。

三．本章课时安排8.1 提取公因式法约3课时8.2 运用公式法约7课时8.3 分组分解法约6课时小结与复习约3课时第一节：提取公因式法一．重点与难点：1.重点：运用提取公因式法分解因式提取公因式法分解因式是最简单的同时也是最基本的因式分解的方法，在对一个多项式进行因式分解时，首先要考虑的就是提取公因式法，它有时也和其它的方法混合在一起运用。

2.理解因式分解的意义；公因式的确定。

要明确以下几点：（1）分解的对象是多项式；（2）分解的目的是化成整式的积的形式；（3）分解的过程与整式的乘法相反；（4）分解的结果要彻底。

二．学法点拔运用提取公因式法分解因式的关键是找到一个多项式各项都含有的因式，我们称之为公因式。

然后根据乘法分配律的逆运算，把公因式提到括号外面，从而将多项式化为积的形式。

三．概念辩析题解1.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是-----------------------------------------（）(A) a (a –b)= a2 – a b （B）a2–2 a+1= a(a–2)+1(C) x2–x = x ( x – 1) (D) xy2 = xy (y)答案：（C）（A）是整式的乘法；（B）右边不是整式的积的形式；（D）的左边不是多项式。

整式乘法的特征：积化和差式。

因式分解的特征：和差式化积。

2. –6xyz+3xy2–9x2y的公因式是---------------------------------------------------------（）（A）–3x (B) 3xz (C)3yz (D) –3xy答案：（D）公因式确定的方法为：（1）系数取最大公约数；（2）同底数幂取最底次幂；（3）第一项为负数时连同负号一起提出。

初二数学人教版因式分解-讲义(2021年整理)

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八年级数学因式分解辅导学案因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法。

:ma+mb+mc=m （a+b+c)二、运用公式法。

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如：(1 ） (a+b)（a —b ） = a 2—b 2 -—-—---——a 2—b 2=(a+b ）(a-b)；(2 ）（a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——- a 2±2ab+b 2=（a ±b)2；例。

已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（） A 。

直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒== 选C练习（1))(3)(2x y b y x a --- （2）1222-+-b ab a （3)（x －1）（x ＋4）－36（4)（m 2＋n 2)2－4m 2n 2 (5）－2a 3＋12a 2－18a ； (6）9a 2(x －y ）＋4b 2(y －x ）；(7) (x ＋y ）2＋2(x ＋y )＋1.三、分组分解法.（一)分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

人教版初二数学上册《因式分解完全平方公式PPT课件》

两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
问题2：如何用符号表示完全平方公式？
a2+2ab+b2=(a+b)2，
a2-2ab+b2=(a-b)2．
今天我们就来研究用完全平方公式分解因式
下列各式是不是完全平方式？（1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）4a2+2ab+ b2 （4）a2-ab+b2（5）x2-6x-9 （6）a2+a+0.25
B、6a-9-a2=-(a-3)2 C、1+4m-4m2=(1-2m)2 D、x2+xy+y2=(x+y)2
3、分解因式：
(1)a2-10a+25 (2)-3x2+6xy-3y2 (3)3ax2+6axy+3ay2 (4)(a+b)2-12(a+b)+36ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2(a-b)2．
人教版 · 数学 · 八年级(上)
因式分解
问题1、根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？
将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．
2、能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？
= - (x-2y)2
例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2-12(a+b)+36.
1、下列多项式中，是完全平方式的是( ) A、x2-6x-9 B、a2-16a+3

人教版八年级上册第十二章《全等三角形》尖子生训练题(含答案)

第十二章《全等三角形》尖子生训练题一．选择题1．下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠FB．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠DC．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DFD．△ABC的周长等于△DEF的周长2．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（）A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC3．在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形．如图是5×5的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（）A．2个B．4个C．6个D．8个4．如图，请你根据所学的知识，说明作出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS5．如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，下列结论：①∠C＝∠B；②∠D＝∠E；③∠EAD＝∠BAC；④∠B＝∠E．其中错误的是（）A．①②B．②③C．③④D．只有④6．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．如图，在Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，E为垂足，若AB＝10，AC＝6，则BE＝（）A．4 B．6 C．8 D．108．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使CE＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝7cm，则AE的长是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm9．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB＝14cm，BC＝16cm，则DE的长度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm10．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，若AQ＝PQ，PD＝PE，则下列结论：①AE＝AD；②∠B＝∠C；③QP∥AD；④∠BAP＝∠CAP；⑤△ABP≌△ACP．其中正确的有（）A．①③④B．①②⑤C．①②③④D．①②③④⑤二．填空题11．以下说法错误的是．（多选）A．周长相等的两个三角形全等B．有两边及一角分别相等的两个三角形全等C．两个全等三角形的面积相等D．面积相等的两个三角形全等12．如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE的长是．13．如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE 上．若AD＝5，BE＝2，则AB的长是．14．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，求图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的和的度数为．15．如图，点E，F分别在x轴，y轴的正半轴上．点A（4，4）在线段EF上，过A作AB⊥EF分别交x轴，y轴于点B，C，点P为线段AE上任意一点（P不与A，E重合），连接CP，过E作ED⊥CP，交CP的延长线于点G，交CA的延长线于点D．有以下结论①AC＝AE②CP＝BE③OB+OF＝8④S△ABE ﹣S△BOC＝16其中正确的结论是．（写出所有正确结论的番号）三．解答题16．如图，在△ABC和△DBE中，点D在边AC上，BC与DE交于点P，AB＝DB，∠A＝∠BDE，∠ABD＝∠CBE．（1）求证：BC＝BE；（2）若AD＝DC＝2.5，BC＝4，求△CDP与△BEP的周长之和．17．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC 上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？18．填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．已知：如图，BC∥EF，AB＝DE，BC＝EF，试说明∠C＝∠F．解：∵BC∥EF（已知）∴∠ABC＝（）在△ABC与△DEF中AB＝DE∴△ABC≌△DEF（）．∴∠C＝∠F（）．19．如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE，顶点F在BC 上，边DF经过点C，点A，E在BC同侧，DE⊥AB．（1）求证：△ABC≌△DEF（2）若AC＝10，EF＝6，CF＝4，求BD的长．20．已知，在△ABC中，AC＝BC．分别过A，B点作互相平行的直线AM和BN．过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．（1）如图1．若CD＝CE．求∠ABE的大小；（2）如图2．∠ABC＝∠DEB＝60°．求证：AD+DC＝BE．参考答案一．选择题1．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F是AAA，不能判定两三角形全等，故选项不符合题意；B、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D是SSA，不能判定两三角形全等，故选项不符合题意；C、∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF符合ASA，能判定两三角形全等，故选项符合题意；D、△ABC的周长等于△DEF的周长，三边不可能相等，故选项不符合题意．故选：C．2．解：过D点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、F，∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点D，∴ED＝GD，GD＝DF，∴ED＝DF，∴AP平分∠CAB．故选：B．3．解：根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．故选：B．4．解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'（SSS），则∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）．故选：D．5．解：∵AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，∴△ABD≌△ACE（SSS）∴∠B＝∠C，∠D＝∠E，∠EAC＝∠DAB，∴∠EAD＝∠BAC，故①②③正确，④错误，故选：D．6．解：∵在△DAE和△CAB中，∴△DAE≌△CAB（SAS），∴∠1＝∠AED，∵∠AED+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故选：D．7．解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△ADE和△ADC中，∴Rt△ADE≌△ADC（HL），∴AE＝AC＝6，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4．故选：A．8．解：∵EF⊥AC，CF⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∠F+∠ECF＝90°，∴∠A＝∠F，且CE＝CB＝3cm，∠ACB＝∠FEC＝90°，∴△ACB≌△FEC（AAS）∴AC＝EF＝7cm，∴AE＝4cm，故选：B．9．解：作DF⊥BC于F，如图，∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵S△ABC ＝S△ABD+S△BCD，∴×DE×AB+×DF×BC＝30，即×DE×14+×DE×16＝30，∴DE＝2（cm）．故选：B．10．解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，PD＝PE，∴AP是∠BAC的角平分线，∴∠BAP＝∠CAP，故④正确；在Rt△APD和Rt△APE中，，∴Rt△APD≌Rt△APE（HL），∴AE＝AD，故①正确；∵AQ＝PQ，∴∠CAP＝∠APQ，∵∠BAP＝∠CAP，∴∠APQ＝∠BAP，∴QP∥AD，故③正确；在△ABP和△ACP中，缺少全等条件，故②、⑤不正确；故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：A、周长相等的两个三角形，不一定全等，故此选项符合题意；B．两边和夹角相等的两个三角形全等，故原说法错误，符合题意；C．两个全等三角形的面积相等，正确，不合题意；D．面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项符合题意；故答案为：A、B、D．12．解：∵△ABC≌△ADE，BC＝7，∴DE＝BC＝7（cm），故答案为：7cm．13．解：如图，过点C作CF⊥AB于F，∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，∴∠DAC＝∠FAC，∠FBC＝∠EBC，在△ADC和△AFC中，∵，∴△ADC≌△AFC（AAS），∴AD＝AF，在△CBE≌△CBF中，∵，∴△CBE≌△CBF（AAS），∴BE＝BF，∴AB＝AF+BF＝AD+BE＝5+2＝7，故答案为：7．14．解：在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴∠5＝∠BCA，∴∠1+∠5＝∠1+∠BCA＝90°，在△ABD和△AEH中，，∴△ABD≌△AEH（SAS），∴∠4＝∠BDA，∴∠2+∠4＝∠2+∠BDA＝90°，∵∠3＝45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝90°+90°+45°＝225°．故答案为：225°．15．解：如图，作AM⊥y轴于M，AN⊥OE于N．∵A（4，4），∴AM＝AN＝4，∵∠AMO＝∠ANO＝90°，∴四边形ANON是矩形，∵AM＝AN，∴四边形AMON是正方形，∴OM＝ON＝4，∴∠MAN＝90°，∵CD⊥EF，∴∠FAC＝∠MAN＝90°，∴∠CAM＝∠EAN，∵∠AEB+∠EFO＝∠EFO+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠AEN，∴△AMC≌△ANE（ASA），∴AC＝AE，CM＝EN，故①正确，同法可证△AMF≌△ANB（ASA），∴FM＝BN，∴OF+OB＝OM+FM+ON﹣BN＝2OM＝8，故③正确，∵CM＝EN，AC＝AE，∵FM＝BN，∴CF＝BE，∵AC＝AE，AF＝AB，∴△AFC≌△ABE（SSS），∴S△ABE ﹣S△BOC＝S△AFC﹣S△BOC＝S四边形ABOF＝S正方形AMON＝16，故④正确，当BE为定值时，点P是动点，故PC≠BE，故②错误，故答案为①③④．三．解答题（共5小题）16．（1）证明：∵∠ABD＝∠CBE，∴∠ABC＝∠DBE，∵∠A＝∠BDE，AB＝BD，∴△ABC≌△DBE（ASA），∴BC＝BE；（2）∵△ABC≌△DBE，∴DE＝AC＝AD+DC＝2.5+2.5＝5，BE＝BC＝4，∴△CDP和△BEP的周长和＝DC+DP+CP+BP+PE+BE＝DC+DE+BC+BE＝15.5．17．解：（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，∵△ABC中，AB＝AC，∴在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD＝PC，BP＝CQ时，②当BD ＝CQ，BP＝PC时，两三角形全等；①当BD＝PC且BP＝CQ时，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD＝CQ，BP＝PC时，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x＝；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．18．解：∵BC∥EF（已知），∴∠ABC＝∠DEF（两直线平行，同位角相等），在△ABC与△DEF中，AB＝DE，∠ABC＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠C＝∠F（全等三角形的对应角相等）．19．证明：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠A+∠B＝90°，∠D+∠B＝90°，∴∠A＝∠D，在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（2）∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，BC＝EF，若AC＝10，EF＝6，∴DF＝10，BC＝6，∵CF＝4，∴DC＝DF﹣CF＝10﹣4＝6，∴BD＝DC+BC＝6+6＝12．20．（1）解：如图1，延长AC交BN于点F，∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，在△ADC和△FEC中，，∴△ADC≌△FEC（AAS），∴AC＝FC，∵AC＝BC，∴BC＝AC＝FC＝AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABE＝90°；（2）证明：如图2，在EB上截取EH＝EC，连CH，∵AC＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵∠DEB＝60°，∴△CHE是等边三角形，∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，∴∠BHC＝120°，∵AM∥BN，∴∠ADC+∠BEC＝180°，∴∠ADC＝120°，∴∠DAC+∠DCA＝60°，又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，∴∠DCA+∠BCH＝60°，∴∠DAC＝∠BCH，在△DAC与△HCB中，，∴△DAC≌△HCB（AAS），∴AD＝CH，DC＝BH，又∵CH＝CE＝HE，∴BE＝BH+HE＝DC+AD，即AD+DC＝BE．。