一线性规划汇总
整数规划主要是指整数线性规划一个线性规划问题汇总
选目标函数当前最大值节点，找到的整数
解质量高。慢。
例6 用分枝定界法求解纯整数规划：
max z 3 x1 2 x2
2 x1 3 x2 14 x1 0.5 x2 4.5 s .t x1 , x2 0 x1 , x2 Z
解：首先不考虑整数约束， 得到相应的线性规划问题B： min z 3 x1 2 x2
基本思路 minZ=CX AX=b (A)
minZ=CX (B) AX=b X 0
X 0
X为整数来自百度文库
(B)为(A)的松弛问题。
i+1
Xj*
i
X*
(C)
(B)
Xj i+1 (D)
(B)
Xj i
例 5： minZ=－40X1－ 90X2 9X1+7X2 56 7X1+20X2 70 X1 , X2 0 X1 , X2为整数
2 x1 3 x2 14 s .t x1 0.5 x2 4.5 x , x 0 1 2
用单纯形法进行求解，得到最优解： x1＝3.25，x2＝2.5，min z＝-14.75。 这时下界 z ＝－14.75，上界 z ＝0。
取 x2＝2.5 构造两个分枝：x2 2, x2 3分别加到 B 中构成两个后继问题 B1，B2：
B1
《运筹学》知识点全总结汇总
一、线性规划：基本概念
1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S：
资源
每
单位产
品资源
使用量
可用资
源
产品A 产品B
Q R S 2
1
3
1
2
3
2
2
4
利润/单位3000
美元
2000
美元
满足所有线性规划假设。
（1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型；
（2）用代数方法建立一个相同的模型；
（3）用图解法求解这个模型。
5、普里默（Primo）保险公司引入了两种新产品：特殊风险保险和抵押。每单位特殊风险保险的利润是5美元，每单位抵押是2美元。
管理层希望确定新产品的销售量使得总期望利润最大。工作的要求如下：
部门单位工
时可使用工时
特殊风
险
抵押
承保管理索赔3
2
2
1
2400
800
1200
（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型。
8、拉尔夫·艾德蒙（Ralph Edmund）喜欢吃牛排和土豆，因此他决定将这两种食品作为正餐的全部（加上一些饮料和补充维生素的食品）。拉尔夫意识到这不是最健康的膳食结构，因此他想要确定两种食品的食用量多少是合适的，以满足一些主要营养的需求。他获得了以下营养和成本的信息：
成分
每
份各种
成分的
克数
每天需
要量
（克）
牛排土豆
碳水化合物
蛋白质
脂肪
5
20
15
15
5
2
≥50
≥40
≤60
每份成
本
4美元 2美元
拉尔夫想确定牛排和土豆所需要的份数（可能是小数），以最低的成本满足这些需求。
（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型；
（3）用图解法求解这个模型。
二、线性规划的what-if分析
权重的确定方法汇总
权重的确定方法汇总
1.主观评估法：该方法是根据领域专家的主观判断来确定权重。专家会根据他们的经验和知识，对不同因素的重要性进行评估，并给出相应的权重。这种方法适用于主观性较强的问题，如风险评估等。
2.权衡矩阵法：该方法是通过创建一个矩阵来确定权重。在矩阵中，将各个影响因素两两进行比较，并根据重要性给出分值。然后，根据分值计算权重。这种方法适用于多个因素相互关联的问题。常见的权衡矩阵方法有AHP（层次分析法）和ANP（层次网络过程）。
3.数据驱动方法：该方法是通过数据分析来确定权重。可以使用统计分析、机器学习等技术，根据历史数据和模型训练结果，计算出各个因素的权重。这种方法适用于大数据环境下，有足够的数据支持的问题。
4.线性规划法：该方法是通过线性规划模型来确定权重。首先需要确定目标函数和约束条件，将问题转化为线性规划问题，然后使用线性规划算法求解出最优解，从而确定权重。这种方法适用于有明确目标和约束的问题。
5.直觉法：该方法是通过个人的直觉和经验来确定权重。根据个人判断，给出各个因素的权重。这种方法适用于专家经验丰富、问题较为简单的情况。
6. Delphi法：该方法是通过专家群体的意见和建议来确定权重。专家群体通过多轮的匿名调查和讨论，逐渐达成共识，最终确定权重。这种方法适用于问题复杂、需要多个专家意见的情况。
7.模糊数学方法：该方法是通过模糊数学理论来确定权重。通过模糊
数学的模糊相似度和模糊综合评判等方法，计算出各个因素的权重。这种
方法适用于问题涉及的因素模糊性较强的情况。
8.回归分析法：该方法是通过回归分析模型来确定权重。将因变量和
线性代数与线性规划
线性代数与线性规划
第一章 行列式
一、二阶行列式： 定义：
11
12
2122
a a a a =a 11a 22-a 12a 21
注：对角线法则 二、三阶行列式：
1、定义：111213
212223313233
a a a a a a a a a =a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33
2、代数余子式表达：1112
13
212223313233
a a a a a a a a a =222311
32
33
a a a a a -212312
3133
a a a a a +212213
3132
a a a a a
3、a 11的余子式M 11：
222332
33
a a a a （以此类推）
4、a 11的代数余子式：（-1）1+1M 11 四、n 阶行列式：
定义：D=
nn
2
n 1
n n
22221
n 11211a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=a 11A 11+a 12A 12+…+a 1n A 1n
注：当n=1时，|a 11|=a 11 五、三角行列式：
定义：三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积，即
nn
2n 1
n 2221
11
a a a 0a a 00a ⋯⋯
⋯
⋯
⋯
⋯⋯= a 11a 22a 33…a nn
六、行列式的基本性质：
1、转置行列式：将行列式各行元素作为各列构成的行列式
D=nn
2n 1
n n 22221
n 11211a a a a a a a a a ⋯⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⇒
最全高中数学公式汇总
最全高中数学公式汇总1. 集合与常用逻辑用语
5.不等式、线性规划
7. 函数、基本初等函数的图像与性质3. 平面向量
8. 函数与方程、函数模型及其应用10.三角函数的图形与性质
17.直线与圆的方程
11.三角恒等变化与解三角形19.圆锥曲线的热点问题
12.等差数列、等比数列
13.数列求和及数列的简单应用
14.空间几何体
15.空间点、直线、平面位置关系
16.空间向量与立体几何
18.圆锥曲线的定义、方程与性质
26.不等式选讲
高中数学线性规划知识点汇总
高中数学线性规划知识点汇总
高中数学线性规划知识点汇总
一、知识梳理
1.目标函数：包含两个变量x和y的函数P=2x+y被称为目标函数。
2.可行域：由约束条件表示的平面区域被称为可行域。
3.整点：坐标为整数的点称为整点。
4.线性规划问题：在线性约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的问题被称为线性规划问题。对于只包含两个变量的简单线性规划问题，可以使用图解法来解决。
5.整数线性规划：要求变量取整数值的线性规划问题被称为整数线性规划。
线性规划是一门研究如何使用最少的资源去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理等实际问题的专门学科。主要应用于以下两类问题：一是在资源有限的情况下，如何最大化任务的完成量；二是如何合理地安排和规划任务，以最小化资源的使用。
1.对于不含边界的区域，需要将边界画成虚线。
2.确定二元一次不等式所表示的平面区域的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。若直线不过原点，通常选择原点代入检验。
3.平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。
4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域。此时，变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点来确定。
5.简单线性规划问题就是求解在线性约束条件下线性目标函数的最优解。无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
1）寻找线性约束条件和线性目标函数；
2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
数学建模方法大汇总
数学建模方法大汇总
数学建模是数学与实际问题相结合，通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法。在数学建模中，常用的方法有很多种，下面将对常见的数学建模方法进行大汇总。
1.描述性统计法：通过总结、归纳和分析数据来描述现象和问题，常用的统计学方法有平均值、标准差、频率分布等。
2.数据拟合法：通过寻找最佳拟合曲线或函数来描述和预测数据的规律，常用的方法有最小二乘法、非线性优化等。
3.数理统计法：通过样本数据对总体参数进行估计和推断，常用的方法有参数估计、假设检验、方差分析等。
4.线性规划法：建立线性模型，通过线性规划方法求解最优解，常用的方法有单纯形法、对偶理论等。
5.整数规划法：在线性规划的基础上考虑决策变量为整数或约束条件为整数的情况，常用的方法有分支定界法、割平面法等。
6.动态规划法：通过递推关系和最优子结构性质建立动态规划模型，通过计算子问题的最优解来求解原问题的最优解，常用的方法有最短路径算法、最优二叉查找树等。
7.图论方法：通过图的模型来描述和求解问题，常用的方法有最小生成树、最短路径、网络流等。
8.模糊数学法：通过模糊集合和隶属函数来描述问题，常用的方法有模糊综合评价、模糊决策等。
9.随机过程法：通过概率论和随机过程来描述和求解问题，常用的方
法有马尔可夫过程、排队论等。
10.模拟仿真法：通过构建系统的数学模型，并使用计算机进行模拟
和仿真来分析问题，常用的方法有蒙特卡洛方法、事件驱动仿真等。
11.统计回归分析法：通过建立自变量与因变量之间的关系来分析问题，常用的方法有线性回归、非线性回归等。
线性规划导论
（A）和专业型（P）。管理层需要给销售部门50台 专业电脑，并预计这种专业型产品销售量会最多会 是助手型的0.5倍。由此产生的需求约束条件是？ 考虑一个包括两个决策变量（R和T）的问题。假 设R产生的单位数至少等于T产生的单位数，满足 该要求的约束条件是？
解。
2.5.2 剩余变量
剩余变量（surplus variable）：在左边减去这个变
量，使得大于等于型的不等式变成等式形式。这种 变量被解释为多于某一最低要求的量。
线性规划问题的标准型其实与原始形式是等价的。
也就是说，一个线性规划问题的最优解与其标准型 的最优解的值应该是一样的。
2.5.3 M&D问题的计算机求解
Thank you for your attention! Any questions?
课后作业：《习题》任选三道
(1/10)540+(1/4)252=117
135
18
几个专业术语
松弛变量（slack variable）：加到小于等于形式的
约束条件的左边，使其成为等式的变量。这个变量 的值可看成是未使用资源的数量。 标准型（standard form）：所有约束都写成等式的 形式的线性规划问题。标准型的最优解同原问题的 最优解是一样的。 冗余约束（redundant constraint）：不影响可行域 大小的约束。删除冗余约束不会影响问题的可行域。
线性规划应用案例
市场营销应用
案例一：媒体选择
在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。 REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。
考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了收集到的这些信息。
表4-1 REL发展公司可选的广告媒体
REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。应当推荐何种广告媒体选择计划呢？
高中数学线性规划知识点汇总
高中数学线性规划知识点汇总
一、知识梳理
1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。
2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。
3 整点：坐标为整数的点叫做整点。
4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。
5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。
线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。
2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。若直线不过原点，通常选择原点代入检验。
3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。
4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。
5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
第2章 线性规划简介《管理运筹学》PPT课件
2.1 线性规划模型
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
表2-1 股票的国别和估计投资收益列表
描述 国库券 硬件 剧院 电信 酿酒 高速公路 汽车 银行 软件 电子
国别 加拿大 美国 美国 美国 英国 法国 德国 卢森堡 印度 日本
风险类型 N R R R N N N N R R
期望收益率 5 17 26 12 8 9 7 6 31 21
定义2.4 线性规划的基： 对于线性规划的约束条件 AX=b X≥0 其中A为m×n的矩阵，n>m，秩A=m，b为m×1向量。设B是A矩阵 中的一个非奇异的m×m子矩阵，则称B为线性规划的一个基。 定义2.5 线性规划问题的基解、基可行解和可行基： 线性规划的解:
称为线性规划与基B对应的基解。
2.4 线性规划的计算机求解
量的线性函数，也满足线性规划的3个基本假设。
2.2 线性规划图解法
对模型中只含有2个变量的线性规划问题，可以通过 在平面上作图的方法求解。通过图解法，可以对线性规 划问题及其求解过程有一个直观的认识，便于建立N维 空间中线性规划问题的概念，同时帮助读者更好地理解 求解一般线性规划问题的单纯形法的思路。
0.07x4 0.08x4
0.06x5 0.15x5
0.08x6 0.08x6
6.5 10012%
4x1 10x2 2x3 10x4 4x5 6x6 7 100
一、一般线性规划问题的数学模型
第一章线性规划及单纯形法
1、一般线性规划问题的数学模型
问题的提出
在生产管理的经营活动中，通常需要对“有限的资源”寻求“最佳”的利用或分配方式。任何资源，如劳动力、原材料、设备或资金等都是有限的。因此，必须进行合理的配置，寻求最佳的利用方式。
由此可以把有限资源的合理配置归纳为两类问题：一类是如何合理地使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大；另一类是在生产或经营的任务确定的条件下如何合理地组织生产，安排经营活动，使所消耗的资源数最少。这是最常见的两类规划问题。
与规划问题有关的数学模型由两部分组成：一部分是约束条件，反映了有限资源对生产经营活动的种种约束，或者生产经营必须完成的任务，另一部分是目标函数，反映生产经营在有限资源条件下希望达到的生产或经营的目标。
例1 常山机器厂生产甲、乙两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C三种不同设备上加工。按工艺材料规定，生产每件产品甲需占用各设备分别为2小时、4小时、0小时，生产每件产品乙需占用各设备分别为2小时、0小时、5小时。已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12小时、16小时、15小时，又知每生产一件甲产品企业能获得2元利润，每生产一件乙产品企业能获得3元利润，问该企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大？
解：为更加直观理解题意，把上述问题转化为如下表格
假定用x1和x2分别表示甲、乙两种产品在计划期内的产量。因设备A在计划期内的可用时间为12小时，不允许超过，于是有2x1+2x2≤12。对设备B、C也可列出类似的不等式：4x1≤16，5x2≤15。企业的目标实在各种设备能力允许的条件下，使总的利润收入z=2x1+3x2为最大。所以可归结为：约束于
数学建模算法汇总
数学建模算法汇总
数学建模常用的算法分类
全国大学生数学建模竞赛中，常见的算法模型有以下30种：
1.最小二乘法
2.数值分析方法
3.图论算法
4.线性规划
5.整数规划
6.动态规划
7.贪心算法
8.分支定界法
9.蒙特卡洛方法
10.随机游走算法
11.遗传算法
12.粒子群算法
13.神经网络算法
14.人工智能算法
15.模糊数学
16.时间序列分析
17.马尔可夫链
18.决策树
19.支持向量机
20.朴素贝叶斯算法
21.KNN算法
22.AdaBoost算法
23.集成学习算法
24.梯度下降算法
25.主成分分析
26.回归分析
27.聚类分析
28.关联分析
29.非线性优化
30.深度学习算法
一、线性回归：用于预测一个连续的输出变量。
线性回归是一种基本的统计学方法，用于建立一个自变量（或多个自变量）和一个因变量之间的线性关系模型，以预测一个连续的输出变量。这个模型的形式可以表示为：
y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βpxp + ε
其中，y 是因变量（也称为响应变量），x1， x2， ...， xp 是自变量（也称为特征变量），β0，β1，β2， ...，
βp 是线性回归模型的系数，ε 是误差项
线性回归的目标是找到最优的系数β0, β1, β2, ...,
βp，使得模型预测的值与真实值之间的误差最小。这个误差通常用残差平方和来表示：
RSS = Σ （yi - ŷi）^2
其中，yi 是真实的因变量值，ŷi 是通过线性回归模型预测的因变量值。线性回归模型的最小二乘估计法就是要找到一组系数，使得残差平方和最小。
线性规划应用案例
市场营销应用
案例一：媒体选择
在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。
REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。
考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了收集到的这些信息。
表4-1 REL发展公司可选的广告媒体
5.电台早8:00或晚5:00新闻
3001003020
（30秒）KNOP台
REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。应当推荐何种广告媒体选择计划呢
《运筹学Ⅰ》教案汇总
《运筹学Ⅰ》教案汇总
第一章：引言
1.1 课程介绍
介绍运筹学的定义、起源和发展历程。
强调运筹学在实际应用中的重要性和广泛性。
1.2 运筹学方法论
解释运筹学的基本原理和方法论。
介绍运筹学的基本步骤：问题定义、建模、求解和验证。
1.3 运筹学应用领域
列举运筹学在不同领域的应用实例。
探讨运筹学在生产、物流、金融、医疗等领域的实际应用。第二章：线性规划
2.1 线性规划基本概念
介绍线性规划的定义和目标函数。
解释线性约束条件和可行解的概念。
2.2 线性规划的图解法
学习如何通过图形方法求解线性规划问题。
探讨图形方法在解决线性规划问题时的局限性。
2.3 线性规划的代数法
学习使用代数方法（如单纯形法）求解线性规划问题。
解释代数方法的原理和步骤。
第三章：整数规划
3.1 整数规划概述
介绍整数规划的定义和特点。
强调整数规划与线性规划的区别和联系。
3.2 整数规划的求解方法
学习常用的整数规划求解方法，如分支定界法和动态规划法。探讨各种求解方法的优缺点和适用场景。
3.3 整数规划应用实例
分析整数规划在实际问题中的应用实例。
探讨整数规划在物流、人力资源等领域的应用。
第四章：非线性规划
4.1 非线性规划基本概念
介绍非线性规划的定义和目标函数。
解释非线性约束条件和可行解的概念。
4.2 非线性规划的求解方法
学习常用的非线性规划求解方法，如梯度下降法和牛顿法。探讨各种求解方法的优缺点和适用场景。
4.3 非线性规划应用实例
分析非线性规划在实际问题中的应用实例。
探讨非线性规划在金融、生物信息学等领域的应用。
第五章：运输问题
5.1 运输问题基本概念
《线性规划》教学设计
《线性规划》教学设计
教学设计：线性规划
一、教学目标：
1.知识目标：理解线性规划的基本概念和原理，掌握线性规划模型的建立方法和解题技巧；
2.能力目标：能够根据实际问题，构建线性规划模型，利用线性规划方法求解最优解；
3.情感目标：培养学生的数学建模思维，培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：
1.线性规划的基本概念和原理；
2.线性规划模型的建立方法和解题技巧；
3.在实际问题中应用线性规划进行求解。
三、教学步骤：
第一步：导入新知
2.再现：通过对一个线性方程组图像的讨论，引导学生思考如何在图像上找到最优解；
3.引出：通过上述引入，导出线性规划的概念和意义，并与线性方程组进行对比。
第二步：概念讲解
1.线性规划的定义和特点；
2.线性规划模型的建立方法：目标函数的确定，约束条件的建立；
3.线性规划模型的求解方法：几何法、单纯形法。
第三步：解题演练
1.练习1：通过一个简单的例子，引导学生理解线性规划模型的建立和求解过程；
2.练习2：通过一个较复杂的实际问题，引导学生应用线性规划模型进行求解。
第四步：拓展应用
1.探究1：通过给出一个实际问题，让学生自己构建线性规划模型，并进行求解；
2.探究2：让学生自选一个实际问题进行建模和求解，并在班内进行交流和展示。
第五步：归纳总结
1.汇总学生的解题思路和方法，共同总结线性规划模型的建立和求解的一般步骤；
2.通过思考，总结线性规划在实际问题中的应用范围和意义。
四、教学手段：
1.板书：绘制线性规划的基本概念和公式；
2.多媒体：播放动态示意图和实例讲解视频，帮助学生理解和记忆；
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则该问题的数学模型为：
4
例1－2 成本问题
某炼油厂根据每季度需供应给合同单位汽油15万吨、煤油
பைடு நூலகம்
12万吨、重油12万吨。该厂计划从A，B两处运回原油
提炼，已知两处的原油成分含量见表1－2；又已知从A
处采购的原油价格为每吨（包括运费）200元，B处采购
的原油价格为每吨（包括运费）290元, 问：该炼油厂该
3
例1－1：（计划安排问题）
I II 设备A(h) 0 3 设备B(h) 4 0 原材料(公斤) 2 2 利润(万元） 2 3
资源总量 15 12 14
max S= 2x1 +3x2 3x2 15
4x1
12
2x1+2x2 14
I,II生产多少, 可获最大利润? x1，x2 0
解:设 计划期内生产产品I、II的数量x1、x2
解：引进3个新非负变量x3，x4，x5使不等式变为等式 ，标准型为：
Max Z=2x1+3x2+0·x3+0·x4+0·x5 3x2+x3=15 4x1+x4 =12 2x1+2x2+x5=14 x1，x2，x3，x4，x5≥0
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例1－4
将 min S = -x1+2x2 –3x3
x1+x2 +x3 7
如何从A，B两处采购原油，在满足供应合同的条件下，
使购买成本最小。
油品来源 A
B
成分
min S 200x1 290x2
汽油
15% 50%
0.15x1 0.50x2 15
煤油 重油
20% 30% 50% 15%
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
12 12
其它
15% 5%
S=CB B-1 b+(CN -CB B-1 N)XN14
若令非基变量 xm+1 = ···= xn = 0 ,用高斯消元法 可求出LP标准型的一个解 X = ( x1 x2 ···xm 0 ···0 )T 称 X 为基本解.
这个解的非0分量的数目不大于方程个数 m.
15
1. 可行解: 满足约束条件的解 X = ( x1, x2, ···, xn) 称为线性规T 划问题的可行解；所有可行解的集合称为可行解集或可行域。
解：① 令x3 =x4 - x5
x1 -x2 +x3 2 x1，x2 0，x3无限制
② 添加松弛变量x6 ③ 添加剩余变量x7 ④ 令S'= -S
化为标准型
maxS'= x1 –2x2 +3x4 –3x5
x1 +x2 +x4 -x5 +x6=7
x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
x1 0, x2 0
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线性规划模型特点
• 决策变量：向量(x1… xn)T , xi非负 • 约束条件：线性等式或不等式 • 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，
求Z极大或极小
满足以上三个条件的数学模型称为 -------线性规划数学模6型
一般形式：
max(min) S=c1x1+ c2x2+…+cnxn
…………………
am1 am2 ………amn m×n
xn
bm
C=(C1 C2 …Cn )
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矩阵形式：
(目标函数)
(约束条件)
max(min)S CX
AX (或 , )b
s.t
X O
8
二、线性规划问题的标准型
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2
a11x1+ a12x2+…+ a1nxn (=, )b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2
………
am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm
xaj110a(12j=…1…,……,na)1n
x1
b1
令 A=
a21 a22 ……… a2n
X= x2 b= b2
… …
a1n xn b1 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0
．目标函数 max ．变量 非负 ．约束条件 等式 ．约束常数 非负
(1.4)
9
例1－3将例1－1的数学模型化为标准型。 Max Z=2x1+3x2 3x2 15 4x1 12 2x1+2x2 14 x1，x2≥0
11
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
n
max Z c j x j j 1
n
aij x j bi
j1
x
j
0
(i 1,2, ,m) ( j 1, 2, , n)
(1.6) (1.7) (1.8)
12
max S=CX
AX =b
X0 Am×n 满秩
a11 … a1m a1m+1 … a1n a21 … a2m a2m+1 … a2n ………… ……………
am1 … amm amm+1 … amn P1 … Pm Pm+1 … Pn
A=[BB N ] N
(m< n) r(A)=m , 至少有一个m 阶子式不为0
不失一般性,不妨假设P1 … Pm线性无关
基阵—A中一个子矩阵B是可逆矩 阵， 则方阵B称为LP问题的一个基。13
有：AX=P1 x1+ P2 x2 + … +Pn xn=b
…
A= (P1 … Pm Pm+1 … Pn )
=(B N ) 定义：基向量 X= x1 … xm T xm+1 … xn T
非基向量
=(XB XN)T 定义：基变量 非基变量
AX=b 求解 A=(BN) X=(XB XN )T
(BN)
XB XN
=b
BXB +NXN=b
BXB =b-NXN
XB = B-1 b - B-1N XN
经济与管理学院 -张凤林
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授课内容 第一章 线性规划 第二章 对偶单纯形法与灵敏度分析 第三章 运输问题 第四章 整数规划 第五章 动态规划 第六章 图论与网络计划 第七章 存储论 第八章 决策分析
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第一章 线性规划
第 一 节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
2. 最优解: 满足约束条件及目标函数的可行解称为线性规划 问题的最优解。
最优值
3. 基: 假设 A 是约束方程组的系数矩阵，其秩数为 m ，B是 矩阵 A 中由 m 列构成的非奇异子矩阵(B的行列式的值不为0)， 则称 B 是线性规划问题的一个基。这就是说，矩阵 B 是由 m 个 线性无关的列向量组成，不失一般性，可假设: