高一数学摸底考试
河南省高一下学期开学摸底考试数学试题(解析版)
高一下学期开学摸底考试数学试题一、单选题1．已知，集合，，则（ ） U =R {}24A x x =<<{}|(5)(3)0B x x x =--≥()U A B = ðA ． B ． {}25x x <<{}23x x <≤C ．或 D ．{|5x x ≥}4x <{}34x x <<【答案】D【分析】根据集合的交并补运算和一元二次不等式的解法求解. 【详解】由得或，则或， ()()530x x --≥5x ≥3x ≤{|5B x x =≥}3x ≤故， {}|35U B x x =<<ð故. {}()|34U A B x x =<< ð故选:D.2．已知函数f (x )=(a ∈R )，若，则a =（ ）2,0,2,0x x a x x -⎧⋅≥⎨<⎩((1))1f f -=A ．B ．C ．1D ．21412【答案】A【分析】先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案 (1)f -((1))f f -【详解】解：由题意得， (1)(1)22f ---==所以，解得a =. 2((1))(2)241f f f a a -==⋅==14故选：A【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题3．在中，点D 在BC 边上，且.设，，则可用基底，表示为ABC A 2BD DC = AB a=AC b = AD a b （ ）A ．B ．1()2a b +r r 2133a b + C ．D ．1233a b + 1()3a b +r r 【答案】C【分析】根据向量的加减运算法则、数乘运算即可求解.【详解】因为，所以.2BD DC =23BD BC = 所以22()33AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+- 12123333AB AC a b =+=+故选：C 4．若，则下列不等式中不正确的是（ ） 110a b<<A ． B ． C ． D ．a b ab +<a b >22a b >2ab b <【答案】C【分析】结合不等式的性质确定正确选项. 【详解】由<0，得b <a <0，故B 项正确；∴a 2<b 2，ab <b 2，故C 项不正确，D 项正确；11a b<∵a +b <0，ab >0，∴a +b <ab ，故A 项正确. 故选：C5．已知，则等于（ ） sin 2cos 0αα+=cos 2sin 2αα-A ．B ．C ．D ．45352515【答案】D【分析】由已知得值，待求式用二倍角公式变形再转化为关于的二次齐次式，弦化tan αsin ,cos αα切代入求值．【详解】由得，sin 2cos 0αα+=tan 2α=-222222cos sin 2sin cos cos 2sin 2cos sin 2sin cos sin cos αααααααααααα---=--=+．22221tan 2tan 1(2)2(2)1tan 1(2)15ααα-----⨯-===+-+故选：D ．6．已知幂函数满足，若，，，则，()f x x α=()()2216f f =()4log 2a f =()ln 2b f =()125c f -=a ，的大小关系是（ ）b c A ． B ． a c b >>a b c >>C ． D ．b ac >>b c a >>【答案】C【分析】由可求得，得出单调递增，根据单调性即可得出大小.()()2216f f =13α=()f x 【详解】由可得，∴，()()2216f f =4222αα⋅=14αα+=∴，即.由此可知函数在上单调递增.13α=()13f x x =()f x R 而由换底公式可得，，242log 21log 2log 42==22log 2ln 2log e =125-∵，∴，于是， 21log 2e <<2222log 2log 2log 4log e<4log 2ln 2<又，∴，故，，的大小关系是. 12<1245log 2-<a b c b a c >>故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小.7．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭()f x 右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则的值可能为（ ）()0m m >()g x mA ．B ．C ．D ．π6π2π3π2【答案】B【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利()f x ()g x 用函数的对称性可求得的表达式，即可得出结果.()g x m 【详解】由图可得，函数的最小正周期为，则， 3A =()f x π4π6π2T ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π163ω==因为，可得， ()303sin 2f ϕ==1sin 2ϕ=因为且函数在附近单调递增，故，所以，， ππ22ϕ-<<()f x 0x =π6ϕ=()π3sin 36x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数的图象向右平移个单位长度后，可得到函数的图象，()f x ()0m m >()g x 则，()()1π1π3sin 3sin 36363m g x x m x ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为函数的图象关于原点对称，则，解得，()g x ()ππ63m k k -=∈Z ()π3π2m k k =-∈Z 当时，， 0k =π2m =故选：B.8．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩ (2)()()2()g x f x kx xk =--∈R k 围是（ ）A ．B ．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．D ．(,0)(0,-∞ (,0))-∞+∞ 【答案】D【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分(0)0g =|2|y kx =-()()||f x h x x =3三种情况，数形结合讨论即可得到答案.0,0,0k k k =<>【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 (0)0g =()g x ()|2|||f x kx x -=即可， 令，即与的图象有个不同交点. ()h x =()||f x x |2|y kx =-()()||f x h x x =3因为， 2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 0k =2y =2y =()()||f x h x x =1当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 0k <|2|y kx =-()()||f x h x x =3当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 0k >2y kx =-2y x =220x kx -+=令得，解得，所以0∆=280k -=k =k >综上，的取值范围为. k (,0))-∞+∞ 故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.二、多选题9．在下列命题中，真命题是（ ） A ．命题“”的否定形式是：“，”. 0001,2x R x x ∃∈+≥x ∀∈R 12x x+<B ．.20,10x R x x ∃∈++=C ．，使得.,x y Z ∃∈3210x y -=D ．.2,x R x x ∀∈>【答案】AC【解析】根据特称命题的否定可判断A ，由可判断B ，取特值可判断CD.22131()024x x x ++=++>【详解】对于A ，特称命题的否定为全称命题，所以命题“”的否定形式是：“0001,2x R x x ∃∈+≥，”，正确； x ∀∈R 12x x+<对于B ，，所以不正确；22131(024x x x ++=++>20,10x R x x ∃∈++=对于C ，当时，所以正确；4,1x y ==3210x y -=对于D ，当是，，所以不正确.0x =2x x =故选：AC.10．若、，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） a b ∈R 0ab >A ．B ． 222a bab +≥a b +≥C ．D ．11a b +>2b aa b+≥【答案】AD【分析】利用作差法可判断A 选项；利用特殊值法可判断BC 选项；利用基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，，故，A 对； ()22220a b ab a b +-=-≥222a b ab +≥对于B ，取，此时，B 错； 1a b ==-22a b +=-<=对于C ，取，此时，C 错； 1a b ==-1122a b +=-<=对于D ，因为，所以，，所以， 0ab >0a b >0b a >2b a a b +≥=当且仅当时，等号成立，D 对. a b =故选：AD.11．已知函数（，且）的值域为，函数，，则||x y a =0a >1a ≠(]0,1()()21log a f x a x x a=-[],2x a ∈下列判断正确的是（ ） A ．01a <<B ．函数在上为增函数 ()f x [],2a C ．函数在上的最大值为2 ()f x [],2a D ．若，则函数在上的最小值为-3 12a =()f x [],2a 【答案】ACD【分析】对于A ，由指数函数的性质结合函数的值域可求出的范围，对于B ，对函数化简后由对a 数函数的单调性进行判断，对于CD ，由函数的单调性可求出函数的最值.【详解】对于A ，因为函数的值域为，且为偶函数，当时，， ||x y a =(]0,1||x y a =0x ≥x y a =所以，所以A 正确，01a <<对于B ，，， ()()22111log log log 2log a a a a f x a x x a x x x x a a a=-=+-=+-[],2x a ∈由，可知和在上单调递减， 01a <<log a y x =1y x a=-[],2a 所以函数在上为减函数，所以B 错误，()f x [],2a 对于C ，由选项B 可知在上为减函数，所以，所以()f x [],2a max 1()()2log 2a f x f a a a a==+-⋅=C 正确，对于D ，由选项B 可知在上为减函数，所以当时， ()f x [],2a 12a =，所以D 正确， min 122()(2)2log 2312f x f ==+-=-故选：ACD.12．设函数，则（ ）()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．的最小值为，其周期为 ()y f x=πB ．的最小值为，其周期为()y f x =2-2πC ．在单调递增，其图象关于直线对称()y f x =0,2π⎛⎫⎪⎝⎭4x π=D ．在单调递减，其图象关于直线对称()y f x =0,2π⎛⎫⎪⎝⎭2x π=【答案】AD【分析】首先化简函数，再判断函数的性质.()2f x x =【详解】，函数的最小值是，周期，故A 正()2244fx x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22T ππ==确，B 错误；时，，所以在单调递减，令，得，其中一0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,x π∈()y f x =0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭2x k =π,2k x k Z π=∈条对称轴是，故C 错误，D 正确.2x π=故选：AD三、填空题13． 设，使不等式成立的的取值范围为__________. x R ∈2320x x +-<x 【答案】2(1,3-【分析】通过因式分解，解不等式． 【详解】， 2320x x +-<即， (1)(32)0x x +-<即， 213x -<<故的取值范围是．x 2(1,)3-【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．14．△的内角，，的对边分别为，，，若，，，则△ABC A B C a b c 4a =223b c bc +=120A =︒的面积为_______．ABC【分析】由余弦定理的边角关系可得，即可求，再利用三角形面积公式求面积316cos1202bc bc-︒=bc 即可.【详解】由余弦定理得：，则，解得：，222cos 2b c a A bc+-=316cos1202bc bc -︒=4bc =∴. 112sin 4sin223ABC S bc A π==⨯⨯=A15．已知函数，把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得到π()24f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x π3的图象，若，则的最小值为____________．()g x ()()()122120g x g x x x ⋅=>>12x x +【答案】13π12【分析】根据函数图象的平移可得，进而根据的有界性可知π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ，根据最值点即可由三角函数的性质求解.()()122g x g x ==【详解】有题意得，由于对任意的，π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R ()g x ≤故根据得()()()122120g x g x x x ⋅=>>()()12g x g x ==()()12g x g x ==若且, ()()12g x g x ==12ππ2ππ,,N,5π5π221212x k x m k m +2，2=+2+=∈+m k >因此， 12122ππN ,πN 5π5ππ121212x x n n x x n n 2+2，，+**+++=∈+=∈故当时，取最小值，且最小值为， 1n =12x x +13π12若且, ()()12g x g x ==123π3π2π5π5π12π,,N,2122x k x m k m ++=∈+2，2=+2m k >因此， 121223ππN 5π5π13π1212,πN 12x x n n x x n n **++=∈+=∈+2+2，，+故当时，取最小值，且最小值为， 1n =12x x +25π12故取最小值，且最小值为， 12x x +13π12故答案为：13π1216．已知，若∈，使得，若的最大π()2sin(23f x x =+123,,x x x ∃3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦123()()()f x f x f x ==123x x x ++值为M ，最小值为N ，则___________.M N +=【答案】23π6【分析】作出在上的图象，为的图象与直线y =m 交点的横坐标，()f x 3π0,2⎡⎤⎢⎣⎦123,,x x x ()f x 利用数形结合思想即可求得M 和N ﹒ 【详解】作出在上的图象（如图所示） π()2sin(2)3f x x =+3π[0,]2因为 π(0)2sin3f ==3ππ(2sin(π23f =+=所以当的图象与直线 ()f x y =设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N ，1x 2x 3x由，π2sin(23x +=πsin(2)3x +=则，，，；10x =2π6x =3πx =7π6N =当的图象与直线相交时，()f x y =设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为， 1x 2x 3x M由π2sin(23x +=πsin(23x +=则，，；127π6x x +=33π2x =8π3M =所以. 23π6M N +=故答案为：. 23π6四、解答题17．已知集合，． 2111x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭(){}2220B x x m x m =+--<(1)当时，求；1m =A B ⋂(2)是的必要条件，求的取值范围．x A ∈x B ∈m 【答案】(1)112A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭(2) 24m -≤≤【分析】（1）当时，求出集合、，利用交集的定义可求得集合； 1m =A B A B ⋂（2）分析可知，对、的大小关系进行分类讨论，根据检验或得出关于实数的B A ⊆2m-1B A ⊆m 不等式，综合可求得实数的取值范围. m 【详解】（1）解：由可得，解得，即， 2111x x +<-2121011x x x x ++-=<--2<<1x -{}21A x x =-<<当时，，此时，.1m ={}2121012B x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭112A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）解：由题意可知，且，B A ⊆()(){}210B x x m x =+-<当时，即当时，，不满足，不符合题意；12m->2m <-12m B x x ⎧⎫=<<-⎨⎬⎩⎭B A ⊆当时，即时，，符合题意； 12m-=2m =-B =∅当时，则，由，得，解得.12m-<12m B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭B A ⊆212m -≤-<24m -<≤综上，．24m -≤≤18．的内角的对边分别为，已知． ABC A ,,A B C ,,a b c 2sin()8sin2B AC +=（1）求；cos B （2）若，面积为2，求． 6a c +=ABC A b 【答案】（1）；（2）2． 1517【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简A C B π+=-，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知()sin A C +28sin 2B22sin cos 1B B +=cos B ，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出. 8sin 17B =ac b 试题解析：（1），∴，∵， ()2sin 8sin2BA C +=()sin 41cosB B =-22sin cos 1B B +=∴，∴，∴； ()22161cos cos 1B B -+=()()17cos 15cos 10B B --=15cos 17B =（2）由（1）可知， 8sin 17B =∵，∴， 1sin 22ABC S ac B A =⋅=172ac =∴， ()2222222217152cos 2152153617154217b a c ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=∴．2b =19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t 相关，时间t （单位：小时）满足，.经测024t <≤t ∈N 算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减1624t ≤≤016t <<少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.(16)t t -()f t (1)求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；()f t (2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个()3160320f t P t-=+时间需要提供的矿泉水瓶数最少?【答案】(1)，候车厅候车人数为4200人 ()()()()51602016,(01)5160,1624t t t f t t N t ⎧--<<⎪=∈⎨≤≤⎪⎩(2)时，需要提供的矿泉水瓶数最少10t =【分析】（1）根据题意，设出函数解析式，代入，可得解析式，代入，可得答案；()6,396012t =（2）根据题意，写出函数解析式，由基本不等式和反比例函数的单调性，比较大小，可得答案.【详解】（1）当时，设，，则，016t <<()5160(16)f t kt t =--(6)3960f =20k =. ()()()()51602016,(01)5160,1624t t t f t t N t ⎧--<<⎪∴=∈⎨≤≤⎪⎩，(12)5160201244200f =-⨯⨯=故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.（2）， ()()10020,(016)2000320,1624t t t P t N t t⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=∈⎨⎪+≤≤⎪⎩①当时，，当且仅当时等号成立； 016t <<1002020400P t t ⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭10t =②当时，； 1624t ≤≤200032040324P ≥+≈又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.403400>10t =20．已知函数的部分图象如图所示． ()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭(1)求，的值；A ω(2)求函数在区间上的最大值和最小值． ()f x ,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1)，1A =2ω=(2)最大值1；最小值 12-【分析】（1）根据图象直接可得与函数的最小正周期，从而求出. A ω（2）由（1）可得函数解析式，根据的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质x 26x π+计算可得.【详解】（1）解：由图象知，由图象得函数的最小正周期为， 1A =2236πππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭则由得．2ππω=2ω=（2）解：由（1）知， ()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，， 64x ππ-≤≤Q 232x ππ∴-≤≤， 22663x πππ∴-≤+≤． 1sin 2126x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭当，即时，取得最大值1；262x ππ+=6x π=()f x 当，即时，取得最小值． ππ266x +=-6x π=-()f x 12-。
2024-2025学年重庆市高一上册开学摸底测试数学模拟试题(附解析)
2024-2025学年重庆市高一上学期开学摸底测试数学模拟试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 一个四边形的四边长依次为，，，，且，则这个四边形一定a b c d ()2a cb d -+-=为（ ）A. 平行四边形 B. 矩形C. 菱形 D. 正方形2. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ）()2419x k x -++k A. B. C. 或 D. 或6±12±13-111311-3. 把分解因式的结果是（ ）2212x xy y -++A. B. ()()()112x x y x y +-++()()11x y x y ++--C.D.()()11x y x y -+--()()11x y x y +++-）A. 7与8B. 8与9C. 9与10D. 10与115. 将抛物线通过某种方式平移后得到抛物线，则下列平移223y x x =-+()244y x =-+方式正确的是（ ）A. 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度B. 向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度C. 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度D. 向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度6. 若实数，且a ，b 满足，，则代数式a b ≠2850a a -+=2850b b -+=的值为（ ）1111b a a b --+--A. 2B. －20C. 2或－20D. 2或207. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）23208kx kx +-<x kA .B. C. D. 或30k -<<30k -≤≤30k -<≤3k <-0k ≥8. 若关于x 的不等式组无解，且一次函数的图象不经1024223x aa x -⎧->⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩()()52y a x a =-+-过第一象限，则符合条件的所有整数a 的和是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.我们定义一种新函数，形如的函数叫做“鹊桥”函22(0,40)y ax bx c a b ac =++≠->数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列四个结论，223y x x =--其中正确的结论是（）A. 图象与y 轴的交点为()0,3B. 图象具有对称性，对称轴是直线1x =C. 当或时，函数值y 随x 值的增大而增大11x -≤≤3x ≥D. 当时，函数的最大值是41x =10. 已知不等式，则下列说法正确的是（）23210ax ax ++>A. 若，则不等式的解集为1a =-11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 若不等式的解集为，则42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭18a =-C. 若不等式的解集为，则()12,x x 120x x >D. 若不等式的解集为，()12,x x 1223x x x x ++-≥11. 已知抛物线，当时，；当时，．下列说法正确212y x bx c =-+1x =0y <2x =0y <的是（）A. 22b c<B. 若，则1c >32b >C. 已知点在抛物线上，当时，()()1122,,,A m n B m n 212y x bx c =++12m m b <<12n n >D. 若方程的两实数根为，则2102x bx c -+=12,x x 123x x +>三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分．12. 多项式的最小值为_______．22244625x xy y x -+++13. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，1sin cos sin 2b A C a B =，则△ABC 的面积为______．6ab =14. 对于每个x ，函数y 是，这两个函数的较小值，则函数y 16y x =-+22246y x x =-++的最大值是________.四、解答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知关于x 的一元二次方程有两个实数根．()222221x kx k x -++=-12,x x （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两个实数根，满足，求k 的值．12,x x x x x x +=-1212616. 已知函数．21x ay x +=+（1）当时，函数值随的增大而增大．求的取值范围；1x >-y x a （2）若，求时，函数值的取值范围．1a =[]0,2x ∈y 17. 已知二次函数的图象经过点，2y ax bx c =++(2,)A c（1）求该抛物线的对称轴；（2）若点和点均在该抛物线上，当时．请你比较的大小；1(,)n y 2()2,n y -2n <12,y y （3）若，且当时，y 有最小值，求a 的值．1c =12x -≤≤1318. 已知的值，小明是这样分析与解答的：a =2281a a -+∵，2a===∴，2a -=∴，即，()223a -=2443a a -+=∴，241a a -=-∴．()()222812412111a a a a -+=-+=⨯-+=-请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）若的值；a =23121aa --（2的值；+（3的大小，并说明理由．-19. 已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点．()3,4-()0,5（1）求该二次函数的解析式，（2）若当时，该二次函数的最大值与最小值的差是9，求的值；2x t ≤≤t （3）已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，求的取值()()2,,5,4M m N -MN m 范围．2024-2025学年重庆市高一上学期开学摸底测试数学模拟试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 一个四边形的四边长依次为，，，，且，则这个四边形一定a b c d ()2a cb d -+-=为（ ）A. 平行四边形 B. 矩形C. 菱形 D. 正方形【正确答案】A【分析】由非负数和为零的意义得，，由平行四边形的判定方法即可求0a c -=0b d -=解．【详解】，()2a cb d -+-=，，0a c ∴-=0b d -=，，a c ∴=b d =四边形一定是平行四边形．∴故选：A ．2. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ）()2419x k x -++k A. B. C. 或 D. 或6±12±13-111311-【正确答案】C【分析】由题意可知，关于的方程有两个相等的实根，可得出x ()24190x k x -++=，即可求得实数的值.0∆=k【详解】由题意可知，关于的方程有两个相等的实根，x ()24190x k x -++=则，解得或.()()22214491120k k ∆=+-⨯⨯=+-=11k =13-故选：C.3. 把分解因式的结果是（ ）2212x xy y -++A. B. ()()()112x x y x y +-++()()11x y x y ++--C.D.()()11x y x y -+--()()11x y x y +++-【正确答案】D【分析】观察发现：一、三、四项一组，符合完全平方公式，然后运用平方差公式继续分解．【详解】．2212x xy y -++()2221x xy y =++-2()1x y =+-()()11x y x y =+++-故选：D ．）A. 7与8B. 8与9C. 9与10D. 10与11【正确答案】C【分析】根据二次根式的乘法和二次根式的性质化简 的大小，进一步求解.【详解】，5+=+=+，1.414≈，45∴<<.9510∴<+<故选：C.5. 将抛物线通过某种方式平移后得到抛物线，则下列平移223y x x =-+()244y x =-+方式正确的是（）A. 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度B. 向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度C. 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度D. 向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度【正确答案】A【分析】将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据二次函数的平移法则即可判断.【详解】函数，对称轴轴为，顶点为，()222312y x x x =-+=-+1x =()1,2函数，对称轴为，顶点为，()244y x =-+=4x ()4,4故将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，223y x x =-+得到的图象.()244y x =-+故选：A6. 若实数，且a ，b 满足，，则代数式的a b ≠2850a a -+=2850b b -+=1111b a a b --+--值为（ ）A. 2B. －20C. 2或－20D. 2或20【正确答案】B【分析】利用韦达定理可求的值.1111b a a b --+--【详解】因为，，故为方程的两个根，2850a a -+=2850b b -+=,a b 2850x x -+=故.8,5a b ab +==又()()()()()()22211222111111b a a b a b ab b a a b ab a b ab a b -+-+-+-+--+==---++-++，641610220581--+==--+故选：B.本题考查一元二次方程的解、韦达定理，注意利用同构的思想来构建方程，另外注意将代数式整合成与两根和、两根积有关的代数式，本题属于基础题.7. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）23208kx kx +-<x k A. B. C. D. 或30k -<<30k -≤≤30k -<≤3k <-0k ≥【正确答案】C【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分类讨论进行求解.23208kx kx +-<x 【详解】解：对一切实数都成立，23208kx kx +-<x ①时，恒成立，0k =38-<②时，，解得，0k ≠20Δ30k k k <⎧⎨=+<⎩30k -<<综上可得，，30k -<≤故选：C.8. 若关于x 的不等式组无解，且一次函数的图象不经过1024223x aa x -⎧->⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩()()52y a x a =-+-第一象限，则符合条件的所有整数a 的和是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【正确答案】C【分析】先解不等式组求出a 的取值范围,再根据一次函数的图象不经过第一象限求出a 的取值范围，从而可得符合条件的所有整数a ,然后求和即可得到答案.【详解】因为，{x−a2−1>0①4a +2x3≤2②解不等式①得： ，2x a >+解不等式②得： ，32x a ≤-此不等式组无解,，解得，232a a ∴+≥-13a ≥一次函数的图象不经过第一象限，()()52y a x a =-+-，解得，5020a a -<⎧∴⎨-≤⎩25a ≤<综上所述：25,a ≤<所以符合条件的所有整数的和是a 2349++=故选: C二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.我们定义一种新函数，形如的函数叫做“鹊桥”函22(0,40)y ax bx c a b ac =++≠->数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列四个结论，223y x x =--其中正确的结论是（）A. 图象与y 轴的交点为()0,3B. 图象具有对称性，对称轴是直线1x =C. 当或时，函数值y 随x 值的增大而增大11x -≤≤3x ≥D. 当时，函数的最大值是41x =【正确答案】ABC【分析】代入检验函数图象上的点判断选项A ；观察图象结合二次函数对称轴公式求解选项B ；观察图象变化情况判断选项C ；由函数图象得最值情况判断选项D.【详解】对于A ，点的坐标满足函数，所以函数图象与y 轴的交点为(0,3)223y x x =--，A 选项正确；(0,3)对于B ，观察图象可知，图象具有对称性，对称轴用二次函数对称轴公式求得是直线，1x =故B 选项正确；对于C ，根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y 随x 值的增大而增11x -≤≤3x ≥大，故C 选项正确；对于D ，由图象可知，当时，函数值y 随x 值的减小而增大，当时，函数值y 1x <-3x >随x 值的增大而增大，均存在大于顶点纵坐标的函数值，故当时，函数值4并非最大值，D 选项不正确.1x =故选：ABC.10. 已知不等式，则下列说法正确的是（）23210ax ax ++>A. 若，则不等式的解集为1a =-11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 若不等式的解集为，则42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭18a =-C. 若不等式的解集为，则()12,x x 120x x >D. 若不等式的解集为，()12,x x 1223x x x x ++-≥【正确答案】ABD【分析】对于A 解一元二次不等式即可判断，对于BC 根据不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数的关系求解即可判断，对于D ，根据根与系数的关系及绝对值不等式即可判断.【详解】对于A ，时，不等式，即，即1a =-23210x x --+>23210x x +-<，解得，所以不等式的解集为，A 正确；()()3110x x -+<113x -<<11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭对于B ，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭2321y ax ax =++，0a <且方程的两根为，故，所以，B 正确；23210ax ax ++=42,3-14233a =-⨯18a =-对于C ，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即()12,x x 2321y ax ax =++，0a <且方程的两根为，故，C 错误；23210ax ax ++=12,x x 12103x x a =<对于D ，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即()12,x x 2321y ax ax =++，0a <且方程的两根为，故，23210ax ax ++=12,x x 1223x x +=-所以，()()12121223x x x x x x x x x x ++-≥+--=+=当且仅当时，等号成立，D 正确.()()120x x x x +-≤故选：ABD.11. 已知抛物线，当时，；当时，．下列说法正确212y x bx c =-+1x =0y <2x =0y <的是（ ）A. 22b c<B. 若，则1c >32b >C. 已知点在抛物线上，当时，()()1122,,,A m n B m n 212y x bx c =++12m m b <<12n n >D. 若方程的两实数根为，则2102x bx c -+=12,x x 123x x +>【正确答案】BC【分析】对于A,利用根的判别式可判断; 对于B,把 , 代入, 得到不等式, 即可判断; 对x =1于C,求得抛物线的对称轴为直线, 利用二次函数的性质即可判断;对于D,利用根与系数x b =的关系即可判断.【详解】对于A,, 开口向上, 且当 时, ；当 时， ，102a => x =10y <x =20y < 抛物线与 轴有两个不同的交点,∴212y x bx c =-+x 22Δ420,b ac b c ∴=-=->,故A 不正确;22b c ∴>对于B, 当 时, ,x =10y <, 即 ,102b c ∴-+<12b c >+, 故B 正确;312c b >∴>对于C,抛物线的对称轴为直线,且开口向上,212y x bx c =-+x b =当时， 的值随的增加反而减少，x b <y x 当时，,故C 正确；∴12m m b <<12n n >对于D,方程 的两实数根为,2102x bx c -+=12,x x,122x x b ∴+=当时,, ,1c >32b >∴123x x +>但当时, 则未必大于 ,则的结论不成立,故D 不正确;1c <b 32123x x +>故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分．12. 多项式的最小值为_______．22244625x xy y x -+++【正确答案】16【分析】将多项式分别按照的二次项与的二次项进行配方，分析即可求得.,x y x 【详解】()()22222244625446916x xy y x x xy y x x -+++=-+++++，()()222316x y x =-+++因对任意实数，都有成立，,x y ()()2220,30x y x -≥+≥故当且仅当，即时，多项式取得最小值16.2030x y x -=⎧⎨+=⎩323y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩故1613. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，1sin cos sin 2b A C a B =，则△ABC 的面积为______．6ab =【分析】根据正弦定理化简可得.1sin cos sin 2b A C a B =【详解】由正弦定理，，1sin sin cos sin sin 2B A C A B=因为，故.sin 0,sin 0A B >>1cos 2C =又，故，()0,πC ∈π3C =故1sin 2ABC S ab C ==V14. 对于每个x ，函数y 是，这两个函数的较小值，则函数y 16y x =-+22246y x x =-++的最大值是________.【正确答案】6【分析】根据函数解析式，在同一平面直角坐标系内作出大致图象，然后根据图象即可解答.【详解】函数，的图像如图，函数y 取两个函数的较小值，16y x =-+22246y x x =-++图像是如图的实线部分，两个函数图像都过点.()0,6当时，，函数y 的最大值是6，0x ≤12y y ≤当时，函数y 无论在上取得，还是上取得，总有，0x >16y x =-+22246y x x =-++6y <即时，函数y 的图像是下降的.0x >所以函数y 的最大值是6.故6.四、解答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知关于x 的一元二次方程有两个实数根．()222221x kx k x -++=-12,x x （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两个实数根，满足，求k 的值．12,x x x x x x +=-12126【正确答案】（1）；12k ≤（2）.4-【分析】（1）利用一元二次方程有实根的等价条件，列出不等式求解即得.（2）利用韦达定理，结合已知列出方程并求解即得.【小问1详解】方程，整理得，22222(1)x kx k x -++=-222(1)0x k x k --+=由该方程有两个实数根，得，解得，12,x x 224(1)40k k ∆=--≥12k ≤所以实数k 的取值范围是.12k ≤【小问2详解】由是方程的两个实数根，得，12,x x 222(1)0x k x k --+=2121221(),x x k x x k -+==而，则，由（1）知，，x x x x +=-121262|2(1)|6k k -=-2()10k -<于是，又，解得，2280k k +-=12k ≤4k =-所以k 的值为.4-16. 已知函数．21x a y x +=+（1）当时，函数值随的增大而增大．求的取值范围；1x >-y x a （2）若，求时，函数值的取值范围．1a =[]0,2x ∈y 【正确答案】（1）2a <（2）51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)将变形为，根据反比例函数的性质可求出的取值范围；21x a y x +=+221a y x -=++a (2)将代入到函数，根据函数单调性即可求出函数的值域.1a =【小问1详解】，()212222111x a x a a y x x x ++-+-===++++因为当时，函数值随的增大而增大，1x >-y x 根据反比例函数性质可知，即，20a -<2a <所以的取值范围是.a 2a <【小问2详解】因为，所以，1a =211211x y x x +==-++因为当时，函数值y 随x 的增大而增大，[]0,2x ∈所以当时，y 有最小值；当时，有最大值，0x =12101-=+2x =y 152213-=+所以当，时，函数值的取值范围是．1a =[]0,2x ∈y 51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦17. 已知二次函数的图象经过点，2y ax bx c =++(2,)A c （1）求该抛物线的对称轴；（2）若点和点均在该抛物线上，当时．请你比较的大小；1(,)n y 2()2,n y -2n <12,y y （3）若，且当时，y 有最小值，求a 的值．1c =12x -≤≤13【正确答案】（1）；1x =（2）答案见解析； （3）或.2329-【分析】（1）把代入二次函数解析式，求出的关系，再求出对称轴.(2,)c ,a b （2）把和分别代入二次函数解析式，作差分类即可判断.1(,)n y 2()2,n y -（3）按二次项系数的正负分类求出最小值即可得解.【小问1详解】由二次函数的图象过点，得，解得，2y ax bx c =++(2,)A c 42a b c c ++=2b a =-所以该抛物线的对称轴为直线，即.2bx a =-1x =【小问2详解】由（1）得抛物线的解析式为，22y ax ax c =-+依题意，，，212y an an c =+-222(()22)y a n a n c --=-+则，而，2212)2[2()()2]4(22y y an an c a n a n c a n +---=-=+---2n <当时，有，因此；0a >420()a n -<12y y <当时，有，因此，0a <420()a n ->12y y >所以当时，；当时，.0a >12y y <0a <12y y >【小问3详解】由，得抛物线的解析式为，1c =221y ax ax =-+当时，则当时，y 有最小值，即，解得；0a >1x =1213a a -+=23a =当时，即当时，y 有最小值，即，解得，0a <1x =-1213a a ++=29a =-所以a 的值为或.2329-18. 已知的值，小明是这样分析与解答的：a =2281a a -+∵，2a ===∴，2a -=∴，即，()223a -=2443a a -+=∴，241a a -=-∴．()()222812412111a a a a -+=-+=⨯-+=-请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）若的值；a =23121a a --（2的值；+（3的大小，并说明理由．-【正确答案】（1）2（2）9（3<【分析】(1)根据小明的分析过程，，则，两边平a =2a =+2a -=方得，由即可求解；241a a -=()223121341a a a a --=--(2)的每一项分++母有理化，即可求得结果；(3)，，由>>0>0>，可得结论.=+=+【小问1详解】∵，2a ===+∴，2a -=∴，即，∴，()225a -=2445a a -+=241a a -=∴.()2231213413112a a a a --=--=⨯-=【小问2详解】++=+++.119=++=-=【小问3详解】<-∵，202520242023>>>>，，>0>，==，==+，+>+，>∴<-19. 已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点．()3,4-()0,5（1）求该二次函数的解析式，（2）若当时，该二次函数的最大值与最小值的差是9，求的值；2x t ≤≤t （3）已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，求的取值()()2,,5,4M m N -MN m 范围．【正确答案】（1）. 265y x x =-+（2）6（3）或4m =-3m >-【分析】（1）利用顶点设出抛物线标准方程，代入点，计算即得函数解析式；()0,5（2）根据抛物线的对称轴与给定的的范围分类讨论，列方程计算即得t 的值；x （3）作出二次函数图象，就直线上的动点的两个特殊位置和2x =()2,M m 1(2,3)M -,分别结合图象即可判断得到m 的取值范围.2()2,4-M 【小问1详解】由二次函数图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，(3,−4)2(3)4y a x =--∵图象经过点，∴，解得.()0,5945a -=1a =∴该二次函数的解析式为.22(3)465y x x x =--=-+【小问2详解】①当时，最小值为，最大值为，23t ≤<265y t t =-+226253y =-´+=-由可得，此时方程无实数解；23(65)9t t ---+=26170t t -+=②当时，的最小值为－4，3t ≥2(3)4y x =--若，则的最大值为，此时，不34t ≤<2(3)4y x =--2(23)43--=-3(4)19---=≠合题意；若，则的最大值为，此时，，解4t ≥2(3)4y x =--265y t t =-+265(4)9t t -+--=得或，因，故.0t =6t =4t ≥6t =综上，当时，二次函数的最大值与最小值的差是9.6t =【小问3详解】如图，函数的图象大致如下，265y x x =-+由题意，知点是直线上的动点，()2,M m 2x =在抛物线上，由可得，此时点的坐标为，265y x x =-+2x ==3y -1M (2,3)-因，由图可知：()5,4N -①当时，点在点上方，此时函数的图象与线段只有一个3m >-M 1M 265y x x =-+MN 公共点，符合题意；②又当时，图中点,也满足函数的图象与线段只有一4m =-2()2,4-M 265y x x =-+MN 个公共点．综上所述，的取值范围为或.m 4m =-3m >-。
黑龙江省哈尔滨市2024_2025学年高一数学上学期入学摸底考试试卷无答案
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高一数学上学期入学摸底考试试卷考试时间: 90分钟试卷满分: 120分留意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题(本题共8小题，每小题5分,共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 以下元素的全体能构成集合的是 A. 中国古代四大独创 B. 接近于 1 的全部正整数 C. 末来世界的高科技产品 D. 地球上的小河流2. 设全集U R =, 集合{25},{13}A x x B x x =<<=<<∣∣, 则集合()UA B =A. {23}xx <<∣ B. {23}xx <≤∣ C. {35}xx ≤<∣D. {35}xx <<∣ 3. 已知x R ∈, 则 “0x =” 是 “2340x x --≤” 的A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合{}2280,{}M x x x N x x a =+-==>∣∣, 若M N ≠∅, 则实数a 的取值范围是A. {2}aa <∣B. {2}aa ≤∣ C. {4}aa <-∣ D. {4}aa ≤-∣ 5. 全集{||4,}U x xx Z =≤∈∣, 集合{,2}B x x U x U =∈-∈∣, 则UB =A. {4,3,2}---B. {4,3}--C. {2,1,0,1,2,3,4}--D. {4,1}--6. 如图, 已知全集U R =, 集合{1,2,3,4,5},{12}A B x x ==-≤≤∣, 则图中阴影部分表示的集合的子集个数为 A. 3 B. 4 C. 7 D. 87. 下列命题中, 假命题的个数是(1) *2,(1)0x N x ∀∈->;(2) 3,1x x ∃∈<Z ;(3) ,a b ∀∈R ，方程0ax b +=恰有一解; (4) 两个无理数的和肯定是无理数.A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个8. 非空集合A 具有下列性质: ①若 ,x y A ∈, 则xA y∈; ②若 ,x y A ∈, 则x y A +∈, 下列推断肯定成立的是 (1) 1A -∉;(2)20202021A ∈; (3) 若 ,x y A ∈, 则xy A ∈;(4) 若 ,x y A ∈, 则x y A -∉.A. (1) (3)B. (1) (2)C. (1) (2) (3)D. (1) (2) (3) (4)二、多选题 (本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分） 9. 已知集合{}{}222280,(2)0A x x a x a B x x =++-==+=∣∣, 且A B A B =. 集合D 为a 的取值组成的集合, 则下列关系中正确的是A. 2D -∈B. 2D ∉C. D ∅⊆D. 0D ∉ 10. 下列命题正确的是A. 命题“2R,10x x x ∃∈++≥”的否定是“2R,10x x x ∀∈++<” B. 0a b +=的充要条件是1ba=- C. 2R,0x x ∀∈>D. 1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件11. 命题“2[1,3],0x x a ∃∈-≤”是真命题的一个充分不必要条件是 A. 1a ≥- B. 0a ≥ C. 2a ≥ D. 3a ≥12. 1872 年德国数学家戴德金从连续性的要求动身, 用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”) ,并把实数理论建立在严格的科学基础上,从而结束了无理数被认为“无理”的时代, 也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满意,,MN Q M N M ==∅中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割. 试推断下列选项中, 可能成立的是A. {Q0},{Q 0}M x x N x x =∈<=∈>∣∣满意戴德金分割 B. M 没有最大元素, N 有一个最小元素C. M 有一个最大元素, N 有一个最小元素D. M 没有最大元素, N 也没有最小元素三、填空题（本题共 4 小题, 每小题 5 分,共 20 分）13 . 设R x ∈, 则“01x ≤<” 是“11x -≤≤”的_________条件.14. 设集合62A x ZN x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭∣, 则用列举法表示集合A 为_________. 15. 设全集{}22,4,5U m m =+-, 集合{2,1}A m =-, 若{1}U A =, 则实数m =_________.16. 对于集合{}22,,M a a x y x Z y Z ==-∈∈∣, 给出如下三个结论:①假如{21,}P bb n n Z ==+∈∣, 那么P M ⊆; ②假如42,c n n Z =+∈, 那么c M ∉; ③假如12,a M a M ∈∈, 那么12a a M ∈. 其中正确结论的序号是_________.四、解答题（本题共4小题,每小题10分,共40分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.)17. 已知集合{}2,2,2A a a =+.(1) 若1A -∈, 求实数a 的值;(2) 若{2,2}B =-, 且A B 的元素个数为 2 , 求实数a 的值; (3) 若4A ∈, 求实数a 的值.18. 已知{3},{1M xa x a N x x =≤≤+=>∣∣6}x <-. (1) 若M N φ=, 求实数a 的取值范围;(2) 若x N ∈是x M ∈的必要条件, 求实数a 的取值范围.19. 已知集合{}212,{30},103A x x B x ax C x x kx ⎧⎫=∈-<<=+≥=-+=⎨⎬⎩⎭N∣∣∣. (1) 若A B B =, 求实数a 的取值范围; (2) 若A C C =, 求实数k 的取值范围.20. 已知集合11100M k k⎧=≤≤⎨⎩∣且}{}*12,,,,n k A a a a ∈=N , 其中*n ∈N ,且2n ≥.若A M ⊆, 且对集合A 中的随意两个元素,,i j a a i j ≠, 都有130i j a a -≥, 则称集合A 具有性质P .(1)推断集合11111,,,,34567⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否具有性质P ; (2)若集合{}12,,,n A a a a =具有性质P .①求证:()i j a a -的最大值不小于130n -; ②求n 的最大值.。
高一数学模拟试题及答案
高一数学模拟试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个选项不是实数集合R的子集？A. 整数集合ZB. 有理数集合QC. 无理数集合D. 复数集合C2. 函数f(x) = 2x + 3的值域是：A. (-∞, +∞)B. [3, +∞)C. (-∞, 3]D. [0, +∞)3. 如果a和b是方程x^2 - 4x + 4 = 0的两个根，那么a + b的值是：A. 0B. 2C. 4D. 84. 已知点A(3, 4)和点B(6, 8)，线段AB的长度是：A. 2B. 3C. 4D. 55. 以下哪个不等式是正确的？A. |-3| > 3B. |-3| < 3C. |-3| = 3D. |-3| ≠ 36. 圆的标准方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25，圆心坐标是：A. (1, 2)B. (-1, -2)C. (2, 1)D. (-2, -1)7. 函数y = sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π8. 已知等差数列的首项a1 = 3，公差d = 2，第5项a5的值是：A. 7B. 9C. 11D. 139. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. x = 2B. x = 3C. x = 4D. x = 610. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，根据余弦定理，角A的余弦值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/5D. 1/6二、填空题（每题3分，共15分）11. 圆的面积公式为πr^2，其中r是圆的______。
12. 函数y = 3x - 2的反函数是______。
13. 已知等比数列的首项a1 = 2，公比q = 3，第3项a3的值是______。
14. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a和b，那么c^2 = ______。
15. 已知向量\(\vec{a}\) = (2, 3)，向量\(\vec{b}\) = (4, -1)，向量\(\vec{a}\)与向量\(\vec{b}\)的数量积是______。
【数学】周南中学2022-2023学年高一上学期入学摸底测试(解析版)
2022年周南中学高一新生入学摸底考试数学试题时间90分钟，分值120分姓名__________考生号__________一、选择题（本大题共12小题，共36.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.根据纸张的质量不同，厚度也不尽相同，500张A4打印纸()280g /m 约厚0.052m ，因此，一张纸的厚度大约是0.000104m ，数据“0.000104”用科学记数法可表示为（）A.30.10410-⨯B.510.410-⨯ C.31.0410-⨯ D.41.0410-⨯【答案】D 【解析】【分析】利用科学记数法求解即可.【详解】数据“0.000104”用科学记数法可表示为41.0410-⨯.故选：D.2.在3317，π，2022这五个数中无理数的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据无理数的定义可得答案.【详解】在33172=-，π，2022π，共有两个.故选：A .3.如图，这个组合几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】根据组合体直观图可知，几何体下面是长方体，长方体的左上方是圆柱，故左视图下面是矩形，左上方是矩形.故选：A4.下列计算正确的是（）A.=B.1-=C.2= D.3=【答案】C 【解析】【分析】利用二次根式运算，逐项判断作答.【详解】对于A 不是同类二次根式，不能进行加减运算，A 错误；对于B ，115-==，B 错误；对于C 2÷==，C 正确；对于D ，-=，D 错误.故选：C5.世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络.5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率.设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（）A.5005004510x x -= B.5005004510x x -=C.500050045x x-= D.500500045x x-=【答案】A 【解析】【分析】分别求在4G 网络峰值速率下传输500兆数据的时间和在5G 网络峰值速率下传输500兆数据的时间，从而得解.【详解】设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，则在4G 网络峰值速率下传输500兆数据需要500x秒，5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在5G 网络峰值速率下传输500兆数据需要50010x秒，而5G 网络比4G 网络快45秒，所以5005004510x x-=.故选:A.6.已知一组数据5，5，6，6，6，7，7，则这组数据的方差为（）A.47B.447C.547D.6【答案】A 【解析】【分析】根据平均数、方差公式求解即可.【详解】将数据从小到大排列：5566677，，，，，，，.平均数为5+5+6+6+6+7+767x ==，方差为()()()22221425636627677s ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，故A 正确.故选：A7.下列说法正确的是（）A.海底捞月是必然事件B.明天的降雨概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨C.为了调查长沙市所有初中学生的视力情况，适合采用全面调查D.甲、乙两人各进行了10次射击测试，方差分别是21.3s =甲，21.1s =乙，则乙的射击成绩比甲稳定【答案】D 【解析】【分析】利用事件、概率的意义判断AB ；利用抽样、方差的意义判断CD 作答.【详解】对于A ，海底捞月是不可能事件，A 错误；对于B ，概率反映的是事件发生的可能性大小，明天的降雨概率为80%，说明明天降雨的可能性为80%，B 错误；对于C ，长沙市的初中学生很多，采用全面调查比较困难，适合抽样调查，C 错误；对于D ，由于22s s >甲乙，则乙的射击成绩比甲稳定.故选：D8.已知点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y 在反比例函数2y x=-的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A.132y y y >>B.123y y y >>C.123y y y <<D.213y y y <<【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出1y 、2y 、3y 的值即可作答.【详解】由点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y 在反比例函数2y x=-的图象上，得1232,2,1y y y ==-=-，所以132y y y >>.故选：A9.如下图，一次函数4y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点(2,0)C -是x 轴上一点，点E ，F 分别为直线4y x =+和y 轴上的两个动点，当CEF △周长最小时，点E ，F 的坐标分别为（）A.53,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭，(0,2)F B.(2,2)E -，(0,2)F C.53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(2,2)E -，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】作C 关于y 轴的对称点G ，作C 关于4y x =+的对称点D ，连接DG 交y 轴于F ，交AB 于E ，有++=++=EC FC EF ED FG EF DG ，即此时CEF △周长最小，求出D 点坐标，可得直线DG 方程，与4y x =+联立求出E 点坐标，令0x =可得F 点坐标.【详解】作(2,0)C -关于y 轴的对称点(2,0)G ，作(2,0)C -关于4y x =+的对称点(,)D a b ，连接DG 交y 轴于F ，交AB 于E ，所以,==FG FC EC ED ，此时CEF △周长最小，即++=++=EC FC EF ED FG EF DG ，由(2,0)C -，直线AB 方程为4y x =+，所以122422ba b a ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩，所以(4,2)D -，可得直线DG 方程为022042--=---y x ，即1233y x =-+，由41233y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得5232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令0x =可23y =，所以20,3F ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.10.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠，分别交BC ，BD 于点E ，P ，连接OE ，若60ADC ∠=︒，122AB BC ==，则下列结论：①30CAD ∠=︒，②14OE AD =，③ABCD S AB AC =⋅，④BD =.其中结论正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【解析】【分析】根据平行四边形的性质根据角平分线的定义可得=60BAE DAE ABE ∠=∠︒=∠，从而可得ABE 为等边三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得30CAE ACE ∠=∠=︒，然后根据角的和差即可判断①；根据三角形中位线定理即可判断②；根据90BAC ∠=︒，利用平行四边形的面积公式即可判断③；先在Rt ABC △中，利用勾股定理可得AC 的长，从而可得OA 的长，再在Rt AOB △中，利用勾股定理可得OB 的长，然后根据2BD OB =即可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，122AB BC ==，60,120,//,,,4ABC BAD AD BC OA OC OB OD AD BC ∴∠=︒∠=︒====，AE 平分BAD ∠，60BAE DAE ABE ∴∠=∠=︒=∠，ABE ∴ 为等边三角形，2AE BE AB ∴===，60AEB ∠=︒，422CE BC BE ∴=-=-=，CE AE BE ∴==，1302CAE ACE AEB ∴∠=∠=∠=︒，又AD //BC ，30CAD ACE ∠∴∠==︒，结论①正确；,B OA OC E CE == ，111244OE AB BC AD ∴===，结论②正确；90BAC BAE CAE ∠=∠+∠=︒ ，AB AC ∴⊥，ABCD S AB AC ∴=⋅ ，结论③正确；在Rt ABC △中，AC ===12OA AC ∴==在Rt AOB △中，OB ===2BD OB ∴==综上，结论正确的有4个，故选：D ．11.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2x =-，并与x 轴交于A ，B 两点，若5OA OB =，则下列结论中：①0abc >；②22()0a c b +-=；③940a c +<；④若m 为任意实数，则224am bm b a ++≥，正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的开口可得0a >，与y 轴的交点在下方可得0c <，抛物线的对称轴可得0b >可判断①；设()1,0A x ，()2,0B x ，由5OA OB =可得1251x x =-=，，从而5c a =-，可判断②③④.【详解】因为抛物线的开口向上，所以0a >，与y 轴的交点在下方，所以0c <，抛物线的对称轴是202bx a=-=-<，可得0b >，所以<0abc ，故①错误；设()1,0A x ，()2,0B x ，抛物线对称轴是22bx a=-=-，即4b a =，可得124x x +=-，因为5OA OB =，所以125x x =-，可得1251x x =-=，，所以125cx x a==-，即5c a =-，所以2222()(5)160=-=+--a c b a a a ，故②正确；可得()94945110+=+⨯-=-<a c a a a ，故③正确；因为0a >，若m 为任意实数，则()222248244am bm b am am a a m a ⎡⎤++=++=++≥⎣⎦，故④正确.故选：C.12.如下图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图”，四边形ABCD ，四边形EBGF ，四边形HNQD 均为正方形，BG ，NQ ，BC 是某个直角三角形的三边，其中BC 是斜边，若:8:9HM EM =，2HD =，则AB 的长为（）A.114B.2910C.3D.【答案】B 【解析】【分析】设,9HM t EM t ==，根据给定图形，用t 表示出BG ，NQ ，BC ，再利用勾股定理列式计算作答.【详解】由:8:9HM EM =，设8,9HM t EM t ==，0t >，因为四边形ABCD ，四边形EBGF ，四边形HNQD 均为正方形，则92BC AD AH HD EM HD t ==+=+=+，2BG BE AB AE AD HM t ==-=-=+，2NQ HD ==，又BG ，NQ ，BC 是某个直角三角形的三边，即222BC BG NQ =+，因此222(92)(2)2t t +=++，即220810t t +-=，而0t >，解得110t =，所以2910AB BC ==.故选：B二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.因式分解：22ab ab a -+=__________.【答案】2(1)a b -【解析】【分析】根据给定条件，利用提公因式法、公式法分解因式作答.【详解】2222(21)(1)ab ab a a b b a b -+=-+=-.故答案为：2(1)a b -14.圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120︒l =__________.【答案】【解析】【分析】由圆锥的底面半径求出底面周长，再利用锥体的侧面展开图的弧长，可求得圆锥的母线.【详解】设圆锥的底面半径为r 2π3，可得圆锥底面周长为2π2πr =圆锥的母线为l ,该圆锥的侧面展开图弧长为2π3l ⨯=解得l =故答案为：.15.已知()2484m n m n ka b a b -+=，则k m n ++=__________.【答案】6或2【解析】【分析】利用指数幂的运算和多项式相等可得答案.【详解】因为()222222484-+-+==m n m nm n m n ka b k a b a b ，所以24224228k m n m n ⎧=⎪-=⎨⎪+=⎩，解得231k m n =⎧⎪=⎨⎪=⎩，或231k m n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则6k m n ++=，或2k m n ++=.故答案为：6或2.16.若关于x 的分式方程121-=+k x 的解为负数，则k 的取值范围为__________.【答案】3k <且1k ≠【解析】【分析】分析可知1x ≠-，解方程121-=+k x 得出x ，根据题意可得出关于实数k 的不等式组，解之即可.【详解】对于方程121-=+k x ，有10x +≠，可得1x ≠-，由121-=+k x 可得32k x -=，因为关于x 的分式方程121-=+k x 的解为负数，则302312k k -⎧<⎪⎪⎨-⎪≠-⎪⎩，解得3k <且1k ≠.故答案为：3k <且1k ≠.17.代数式||1|1|x x x x -+-的一切可能值为__________.【答案】2-，0，2【解析】【分析】分0x <、01x <<、1x >讨论去绝对值可得答案.【详解】由已知0x ≠，1x ≠，当0x <时，111211--+=--=---x x x xx x ；当01x <<时，111011--+=-=--x x x xx x ；当1x >时，111211--+=+=--x x x xx x .故答案为：2,0,2-.18.如图①，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，BA 长为半径作 AC ，F 为 AC 上一动点，过点F 作 AC 所在圆的切线，交AD 于点P ，交DC 于点Q .（1）图①中DPQ V 的周长等于__________.（2）如图②，分别延长PQ 、BC ，延长线相交于点M ，设AP 的长为x ，BM 的长为y ，则y 与x 之间的函数表达式_________________________.【答案】①.8②.8(04)2xy x x =+<<【解析】【分析】根据过圆外一点的切线长相等可得DPQ V 的周长；连接BF 、BP ，过点P 作PN BM ⊥于点N ，判断出 BAP BFP ≌△可得==PM BM y ，再由222PM MN PN =+可得y 与x 之间的函数表达式.【详解】 四边形ABCD 是正方形，4AB BC CD DA ∴====，90∠=∠=∠=∠= BAD B BCD D ，AD ∴切 AC 所在圆于点A ，CD 切 AC 所在圆于点C ，又PQ ∵切 AC 所在圆于点F ，AP PF =，CQ QF =，DPQ ∴△的周长8AD CD =+=；如图，连接BF 、BP ，过点P 作PN BM ⊥于点N ，则易得四边形ABNP 为矩形，4PN AB ∴==，BN AP x ==，MN BM BN y x ∴=-=-，在BAP △和BFP △中，AB FB AP FP BP BP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，BAP BFP ∴≌△△，APB FPB ∴∠=∠，四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴，APB PBC ∴∠=∠，FPB PBC ∴∠=∠，PM BM y ∴==.在Rt PMN △中，222PM MN PN =+，222()4y y x ∴=-+，即8(04)2x y x x =+<<.故答案为：①8；②8(04)2x y x x =+<<.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.一方有难，八方支援.“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手.某公司用甲，乙两种货车向某市运送爱心物资，两次满载的运输情况如下表：甲种货车辆数乙种货车辆数合计运物资吨数第一次3429第二次2631（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；（2）目前有46.4吨物资要运输到该市，该公司拟安排甲乙货车共10辆，全部物资一次运完，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用.【答案】（1）甲乙分别能运输5吨和3.5吨（2）甲货车8辆，乙货车2辆【解析】【分析】（1）设甲乙每次满载分别能运输x 吨和y 吨物资，根据已知数据列方程组求x 、y 即可；（2）设甲货车z 辆，乙货车(10)z -辆，结合（1）及已知有5 3.5(10)46.4z z +-≥，求z ，进而确定最节省费用的车辆安排.【小问1详解】设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x 吨和y 吨物资，根据题意得34292631x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得53.5x y =⎧⎨=⎩，答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3.5吨物资.【小问2详解】设安排甲货车z 辆，乙货车(10)z -辆，根据题意得5 3.5(10)46.4z z +-≥，解得7.6z ≥，z 为整数，则8z =或9或10，因为甲种货车的费用大于乙种货车的费用，所以甲种货车数量最小时最节省费用，∴当8z =时1082-=，最小费用850023004600=⨯+⨯=（元），答：该公司应安排甲货车8辆，乙货车2辆最节省费用.20.我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB 的长.（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB 底部a 米的点D 处，测角仪高为b 米，从C 点测得A 点的仰角为α，求灯杆AB 的高度.（用含a ，b ，α的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义.如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG 放在灯杆AB 前，测得其影长CH 为1米，再将木杆沿着BC 方向移动1.8米至DE 的位置，此时测得其影长DF 为3米，求灯杆AB 的高度.【答案】（1）(tan )a b α+米（2）3.8米.【解析】【分析】（1）利用在Rt AEC △中tan tan AE CE a αα=⋅=，可得AB AE BE =+；（2）由ABH GCH ∽△△得211AB BC =+，由ABF EDF ∽ 得233 1.8AB BC=++，从而求出BC ，可得答案.【小问1详解】如图：由题意得：BE CD b ==米，EC BD a ==米，90AEC ∠= ，ACE α∠=，在Rt AEC △中，tan tan AE CE a αα=⋅=（米），()tan AB AE BE b a α∴=+=+米，∴灯杆AB 的高度为()tan a b α+米；【小问2详解】由题意得：2GC DE ==米， 1.8CD =米，90ABC GCD EDF ∠=∠=∠=︒，AHB GHC ∠=∠ ，ABH GCH ∴∽△△，CG CH AB BH ∴=，211AB BC∴=+，F F ∠=∠ ，ABF EDF ∴∽△△，DE DF AB BF ∴=，233 1.8AB BC ∴=++，1313 1.8BC BC ∴=+++，0.9BC ∴=米，2110.9AB ∴=+， 3.8AB ∴=米，∴灯杆AB 的高度为3.8米.21.如图，O 的直径10AB =，弦6AC =，ACB ∠的平分线交O 于D ，过点D 作//DE AB 交CA 的延长线于点E ，连接AD ，BD .（1）由AB ，BD ， AD 围成的曲边三角形的面积是多少？（2）求证：DE 是O 的切线；（3）求线段DE 的长.【答案】（1）2525π24+；（2）证明见解析；（3）354.【解析】【分析】（1）连接OD ，利用给定条件，证明OD AB ⊥，再计算扇形面积和三角形面积作答.（2）证明OD DE ⊥，再利用切线的判定推理作答.（3）过A 作AF D E ⊥，再借助相似三角形求解作答.【小问1详解】连接OD ，由O 的直径10AB =，得90ACB ∠=︒，又ACB ∠的平分线交O 于D ，则2290AOD ABD ACD ACB ∠︒=∠=∠=∠=，即OD AB ⊥，扇形AOD 面积2125ππ44S OA '=⋅=，所以由AB ，BD ， AD 围成的曲边三角形的面积12525π224BOD S S S OD OB S ''=+=⋅+=+ .【小问2详解】由（1）知OD AB ⊥，而//DE AB ，则OD DE ⊥，所以DE 是O 的切线.【小问3详解】由（1）知90ACB ∠=︒，又10AB =，6AC =，则8BC ==，过点A 作AF D E ⊥于点F ，由（1）（2）知，四边形AODF 是正方形，即5FD AF OD ===，又90EAF CAB ABC ∠=︒-∠=∠，则Rt Rt EAF ABC ∽，于是EF AC AF BC =，即561584EF ⨯==，所以1535544=+=+=DE DF EF .22.已知：如图，抛物线22y x x c =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，该抛物线的顶点为M .（1）求点A 、B 的坐标以及c 的值.（2）证明：点C 在以BM 为直径的圆上.（3）在抛物线上是否存在点P ，使直线CP 把BCM 分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）点(1,0)A -，点(3,0)B ，3c =；（2）证明见解析；（3）存在，点P 坐标为57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）将点C 的坐标代入，再解方程作答.（2）利用两点间的距离公式，结合勾股定理推理作答.（3）设出直线CP 所对函数解析式，再利用等面积法求解作答【小问1详解】将点(0,3)C -代入22y x x c =--得：3c =，则抛物线的解析式为：2=23y x x --，而抛物线2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点，由2230x x --=，解得=1x -或3x =，所以点(1,0)A -，点(3,0)B .【小问2详解】由（1）知2(1)4y x =--，即点(1,4)M -，而点(3,0)B ，点(0,3)C -，则BC ==BM ==CM ==，因此22220BC CM BM +==，即有=90BCM ∠︒，所以点C 在以BM 为直径的圆上.【小问3详解】设直线CP 与BM 的交点为F，如图，由直线CP 把BCM 分成面积相等的两部分，得CMF BCF S S = ，而CMF 和BCF △是等高的两个三角形，即有FM BF =，点F 是BM 的中点，由点(3,0)B ，点(1,4)M -，得点F 坐标为(2,2)-，设直线CP 的解析式为y mx n =+，把点C 、点F 得坐标代入得322n m n =-⎧⎨+=-⎩，解得123m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，于是直线CP 解析式132y x =-，而点P 是直线CP 与抛物线2=23y x x --的交点，则由213232x x x -=--解得：0x =或52x =，显然点P 与C 不重合，即点P 的横坐标不为0，当52x =时，74y =-，所以点P 坐标为57(,)24-.23.如图，在半径为3的圆O 中，OA 、OB 都是圆O 的半径，且90AOB ∠=︒，点C 是劣弧 AB 上的一个动点（点C 不与点A 、B 重合），延长AC 交射线OB 于点D .（1）如果设AC x =，BD y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当185AC =时，点E 在线段OD 上，且1OE =，点F 是线段OA 上一点，射线EF 与射线DA 交于点G ，如果以点A 、G 、F 为顶点的三角形与DGE △相似，求AGF DGE S S 的值.【答案】（1）3x y x-=，0x <<；（2）2581.【解析】【分析】（1）连接OC ，AB ，过点O 作OH AC ⊥于点H ，利用相似三角形性质求出解析式，再由点C 的位置求出定义域作答.（2）利用相似三角形性质求出AF ，结合（1）的信息，及相似三角形性质求解作答.【小问1详解】连接OC ，AB ，过点O 作OH AC 于点H ，如图2，由OA OC =，AC x =，得1122AH AC x ==，OH ===又90AOD ∠=︒，则OAH DOH ∠=∠，而90AHO AOD ∠=∠=︒，即AOH ADO ∽ ，于是AH OA OH OD =，又BD y =，因此13213x y =+，即3363x x y x -=，由点C 是劣弧 AB 上的一个动点（点C 不与点A 、B 重合），得0AC AB <<，而AB ===0x <<，所以y 关于x的函数解析式为3x y x-=，定义域为0x <<.【小问2详解】如图，当185AC =时，由（1）知，1185BD ==，由1OE =，3OB =，得2BE =，3DE =，4OD =，由AGF EGD ∽，得GFA D ∠=∠，而GFA OFE ∠=∠，则OFE D ∠=∠，因此OFE ODA ∽，则OF OE OD OA =，即143OF =，解得43OF =，45333AF OA OF =-=-=，所以225253(()381AGF DGE S AF S ED === .。
陕西省西安市第八十五中学2023-2024学年高一上学期第一次摸底考试数学试题(解析版)
西安市第八十五中学高2023级新生入学摸底考试数学试题一、单项选择题（每小题44分，共32分）1.全称量词命题“R x ∀∈，254x x +=”的否定是（）A.R x ∃∈，254x x +=B.R x ∀∈，254x x ≠+C.R x ∃∈，254x x ≠+D.以上都不正确【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出结论.【详解】全称量词命题“R x ∀∈，254x x +=”的否定为“R x ∃∈，254x x ≠+”.故选：C.2.已知集合{}10,A x x a =≤=，则a 与集合A 的关系是（）A.a A ∈B.a A∉ C.a A= D.{}a A∈【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由元素与集合的关系，即可得到结果.【详解】因为10a =≤，所以a A ∈.故选:A3.设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则（）A.a >bB.a <bC.a ≥bD.a ≤b【答案】C 【解析】【分析】作差比较可得答案.【详解】a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以a ≥b .故选：C .4.设集合U ＝{－1,1,2,3}，M ＝{x |x 2－5x ＋p ＝0}，若∁U M ＝{－1,1}，则实数p 的值为()A.－6B.－4C.4D.6【答案】D 【解析】【详解】∵集合{}1,1,2,3U =-，且{}1,1U C M =-∴{}2,3M =∵{}2|50M x x x p =-+=∴236p =⨯=故选D5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A.∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0B.∃x ∈N ，2x 为偶数C.所有菱形的四条边都相等D.π是无理数【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的概念，结合命题的意义判定真假，从而做出判定.【详解】对A ，是全称量词命题，但不是真命题(当1x =-时结论不成立），故A 不正确；对B ，是真命题(当0x =时2x 即为偶数)，但不是全称量词命题，故B 不正确；对C ，是全称量词命题，也是真命题，故C 正确；对D ，是真命题，但不是全称量词命题，故D 不正确，故选：C.6.已知集合{}44A x x =-≤≤，{}B x x a =<，则“5a >”是“A B A = ”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】若A B A = ，即可得到A B ⊆，从而求出a 的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若A B A = ，则A B ⊆，又{}44A x x =-≤≤，{}B x x a =<，所以4a >，所以由5a >推得出A B A = ，故充分性成立；由A B A = 推不出5a >，故必要性不成立，所以“5a >”是“A B A = ”的充分不必要条件.故选：A7.已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|11B x x =-<<，集合{}|10C x mx =+>，若()A B C ⊆ ，则实数m 的取值范围为（）A.{}|21m m -≤≤ B.1|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C.1|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D.11|24m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】求出A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，利用集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，分类讨论，可得结论．【详解】由题意，A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，∵集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，①m ＜0，x 1m -＜，∴1m -≥2，∴m 12≥-，∴12-≤m ＜0；②m ＝0时，C ＝R,成立；③m ＞0，x 1m -＞，∴1m-≤-1，∴m ≤1，∴0＜m ≤1，综上所述，12-≤m ≤1，故选：B ．【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．8.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合[]{}03A x x =∈<<Z ，()(){}2220B x x axxx b =+++=，且 R A B ⋂=∅ð，则集合B 的子集个数为（）．A.4B.8C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】由新定义及集合的概念可化简集合{}1,2A =，再由()A B ⋂=∅R ð可知A B ⊆，分类讨论1,2的归属，从而得到集合B 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合B 的子集的个数.【详解】由题设可知，[]{}{}Z |031,2A x x =∈<<=，又因为()A B ⋂=∅R ð，所以A B ⊆，而()(){}22|20B x x axxx b =+++=，因为20x ax +=的解为=0x 或x a =-，220x x b ++=的两根12,x x 满足122x x +=-，所以1,2分属方程20x ax +=与220x x b ++=的根，若1是20x ax +=的根，2是220x x b ++=的根，则有221+1=02+22+=0a b ⎧⨯⎨⨯⎩，解得=1=8a b -⎧⎨-⎩，代入20x ax +=与220x x b ++=，解得=0x 或=1x 与=2x 或4x =-，故{}0,1,2,4B =-；若2是20x ax +=的根，1是220x x b ++=的根，则有222+2=01+21+=0a b ⎧⨯⎨⨯⎩，解得=2=3a b -⎧⎨-⎩，代入20x ax +=与220x x b ++=，解得=0x 或=2x 与=1x 或3x =-，故{}0,1,2,3B =-；所以不管1,2如何归属方程20x ax +=与220x x b ++=，集合B 总是有4个元素，故由子集个数公式可得集合B 的子集的个数为42=16.故选：C二、多项选择题（每小题4分，共16分，全对得4分，少选得2分，错选得0分）9.已知集合{}2{|10,R},560A x ax a B x x x =+=∈=--=，若A B ⊆，则实数a 的值可以是（）．A.19B.17C.0D.18-【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，求得{7,8}B =-，再分0a =和0a ≠，求得集合A ，结合A B ⊆，即可求解.【详解】由方程256(8)(7)0x x x x --=-+=，解得7x =-或8x =，即{7,8}B =-，当0a =时，则方程10ax +=无实数解，此时A =∅，满足A B ⊆，符合题意；当0a ≠时，由10ax +=，可得1x a =-此时1A a ⎧-⎫=⎨⎬⎩⎭，要使得A B ⊆，可得17a -=-或18a -=，解得17a =或18a =-.综上可得，实数a 的值为0或17或18-.故选：BCD.10.一元二次方程()24300ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A.a<0B.2a <-C.1a <-D.1a <【答案】BC 【解析】【分析】先根据方程根的分布得到判别式和两根之积的关系式，解出等价条件，再利用真子集是其充分不必要条件即得结果.【详解】若方程()24300ax x a ++=≠有一个正根1x 和一个负根2x ，则121612030a x x a ∆=->⎧⎪⎨=<⎪⎩，解得a<0，则一元二次方程()24300ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件应为(),0∞-的真子集，故BC 正确，AD 错误.故选：BC.11.下列说法正确的是（）．A.命题p ：“R x ∃∈，210x x ++<”的否定是：“R x ∀∈，210x x ++≥”B.已知,R a b ∈，“1a >且1b >”是“1ab >”的充分而不必要条件C.“1x ≠”是“2320x x -+≠”的充要条件D.若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题p ：“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为“x ∀∈R ，210x x ++≥”所以A 正确；对于B 中，由1a >且1b >，可得“1ab >，即充分性成立；反正：例如：1,42a b ==，满足1ab >，但1a >且1b >不成立，即必要性不成立，所以1a >且1b >是1ab >的充分而不必要条件，所以B 正确；对于C 中，由2320x x -+≠，可得1x ≠且2x ≠，所以1x ≠是2320x x -+≠的必要不充分条件，所以C 不正确；对于D 中，根据充分条件、必要条件的关系，可得p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件，所以D 正确.故选：ABD.12.设非空集合{}S x m x n =≤≤，其中,R m n ∈，若集合S 满足：当x S ∈时，有2x S ∈，则下列结论正确的是（）．A.若12m =-，则114n ≤≤ B.若12n =，则02m -≤≤C.若1m =，则{}1S x x =≥ D.若1n =，则10m -≤≤【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，求得1m ≥或0m ≤，且01n ≤≤，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】因为非空集合{}S x m x n =≤≤，满足：当x S ∈时，有2x S ∈，所以当m S ∈时，由2m S ∈，即2m m ≥，解得1m ≥或0m ≤，同理，当n S ∈时，由2n S ∈，即2n n ≤，解得01n ≤≤，对于A 中，若12m =-，则必有214m S =∈，则201n m n ⎧≥⎨≤≤⎩，解得114n ≤≤，所以A 正确；对于B 中，若12n =，则2212m m m ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得02m -≤≤，所以B 正确；对于C 中，若1m =，则必有21m S =∈，则101n n ≥⎧⎨≤≤⎩，此时1m n ==，所以{}1S =，所以C 不正确；对于D 中，若1n =，则满足221m m m ⎧≤⎨≤⎩，解得10m -≤≤或1m =，所以D 错误.故选：AB.三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上）13.命题p ：一次函数()121y k x k =-++的图像经过一、二、四象限的充要条件是__________．【答案】112k -<<【解析】【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】因为一次函数()121y k x k =-++的图像经过一、二、四象限，则满足10210k k -<⎧⎨+>⎩，解得112k -<<，即一次函数()121y k x k =-++的图像经过一、二、四象限的充要条件是112k -<<.故答案为：112k -<<.14.若集合(){}210|A x k x x k =++-=有且仅有两个子集，则实数k 的值是_______.【答案】－1或12-【解析】【分析】依据题意可知A 中只有一个元素，然后分1k =-，1k ≠-讨论计算即可.【详解】由条件，知A 中只有一个元素．当1k =-时，{}1A =-．当1k ≠-时，()1410k k ∆=++=，解得12k =-，此时{}1A =-．综上所述，实数k 的值为1-或12-．故答案为：－1或12-15.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是________．①11a b<②2ab ab <③2ab a -<-④11a b-<-【答案】④【解析】【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.【详解】由0a b <<，可得0,0ab b a >->，对于①中，由110b a a b ab --=>，所以11a b>，所以①不正确；对于②中，由2(1)0ab ab ab b -=->，所以2ab ab >，所以②不正确；对于③中，由2()()0ab a a b a ---=-->，所以2ab a ->-，所以③不正确；对于④中，由11()0a b a b ab ----=<，所以11a b-<-，所以④正确.故答案为：④.16.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合{}1,2A =-，{}22,0B x ax a ==≥，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为_____.【答案】10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出a 值，即可求解【详解】当0a =时，B =∅，此时满足B A ⊆，当0a >时，B ⎧⎪=⎨⎪⎩，此时,A B 集合只能是“蚕食”关系，所以当,A B 集合有公共元素1=-时，解得2a =，当,A B 2=时，解得12a =，故a 的取值集合为10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭四、解答题（本题共4小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）化简：；（2）求方程()28120x x x -+=∈R 的解集．【答案】（11-；（2）{}2,2,6,6--．【解析】【分析】（1）将式子分母有理化，即可得解；（2）依题意可得28120x x -+=，解得x ，即可求出x ，从而得解.【详解】（1）+++=11=-+=-；（2）方程()28120x x x -+=∈R ，即28120x x -+=，则()()260x x --=，解得2x =或6x =，所以2x =或2x =-或6x =或6x =-，则方程()28120x x x -+=∈R 的解集为{}2,2,6,6--.18.若12,x x 是方程2220230x x +-=的两个实数根，试求下列各式的值：（1）2212x x +；（2）12x x -．【答案】（1）4050（2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到12122,2023x x x x +=-=-，结合()2221212122x x x x x x +=+-，即可求解；（2）由（1），结合12x x -==，即可求解.【小问1详解】解：因为12,x x 是方程2220230x x +-=的两个实数根，可得12122,2023x x x x +=-=-，则()()22121222122(2)220234050x x x x x x =+-=--⨯-=+.【小问2详解】解：由（1）知12122,2023x x x x +=-=-，则12x x -====.19.已知命题:210p x ≤≤，命题:q x a <或21x a >+，其中0a >．若p 是q 成立的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案】10a >或102a <<【解析】【分析】令{}|210A x x =≤≤，{|B x x a =<或()210}x a a >+>，依题意可得A 真包含于B ，即可得到不等式（组），解得即可.【详解】令{}|210A x x =≤≤，{|B x x a =<或()210}x a a >+>，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 真包含于B ，所以10a >或2120a a +<⎧⎨>⎩，解得10a >或102a <<，故a 的取值范围为10a >或102a <<．法二：由A 真包含于B ，可得如下两种情况，结合数轴得10a >或2120a a +<⎧⎨>⎩，解得10a >或102a <<，故a 的取值范围为10a >或102a <<．20.已知集合[0,2]A =，[,3]B a a =+．（1）若R ()R A B = ð，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a 使R ()R A B = ð且A B ⋂=∅？【答案】（1）[1,0]-；（2）不存在.【解析】【分析】（1）求出集合A 的补集，再利用并集的结果求解即得.（2）利用（1）的结论，结合交集的结果求得的范围即可.【小问1详解】集合[0,2]A =，则R (,0)(2,)A =-∞+∞ ð，而[,3]B a a =+，且R ()R A B = ð，因此032a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得10a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[1,0]-.【小问2详解】由（1）知10a -≤≤，由A B ⋂=∅，得30a +<或2a >，解得3a <-或2a >，所以不存在实数a 使R ()R A B = ð且A B ⋂=∅成立.。
新高一数学摸底考试及分班考试经典试题
新高一数学水平测试题一、选择题（每题10分，共40分）1、已知，如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，AC PE ⊥于E ，BD PF ⊥于F ，如果AB=3，AD=4，那么（ ） A.512=+PF PE ； B. 512＜PF PE +＜513；C. 5=+PF PED. 3＜PF PE +＜42、一个等腰三角形的两边长分别为25和32，则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425+ D 、无法确定3、若的值为那么2013223,012++=-+m m m m （ ）A 、1B 、2C 、2013D 、20144、已知3344554,3,2===c b a ，那么c b a 、、的大小关系是（ ） A 、c b a >> B 、a c b >> C 、b c a >> D 、c a b >>5、若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 值有（ ）A.3个B.4个C.6个D.8个6、如图，已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A ＝30°，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）A.2个B.4个C.6个D.8个7、若bx ax y +=2，对于任意x ，都有212xy x +≤≤成立，则b a +的值是（ ）A 0B 1C 2D 38、设G 为ABC ∆的重心,且6,8,10AG BG CG ===,则ABC ∆的面积是( ) A 58 B 66 C 72 D 84 二、填空题（每题10分，共40分）1、化简5210452104++++-的值为________________________________2、设实数a 、b 、c 满足a<b<c (ac<0)，且|c|<|b|<|a|，则|x －a|＋|x －b|＋|x ＋c|取最小值时，x 的值是________________________________。
湖南省常德市西洞庭管理区第一中学2024-2025学年高一上学期9月入学中考摸底考试数学试题
湖南省常德市西洞庭管理区第一中学2024-2025学年高一上学期9月入学中考摸底考试数学试题一、单选题 1．把方程0.10.20.710.30.4x x---=的分母化为整数的方程是（ ） A ．0.10.20.734x x --= B ．127101034x x---= C ．127134x x---= D ．12710134x x---= 2．若一个三角形的三边长之比为3:5:7．则这个三角形三边上的高之比为（ ） A ．3:5:7 B ．7:5:3 C ．35:21:15D ．6:5:43．如图，在同一块矩形草地上，修一条小路（小路任何地方的水平宽度都是1），关于四条小路的面积，下列说法正确的是（ ）A ．123S S S <<B ．124S S S <<C ．243S S S =<D ．134S S S =<4．如图，点A 、B 是反比例函数3y x=图像上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若阴影部分的面积为01S =，则12S S +=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．下列命题：（1）等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合；（2）在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上；（3）直角三角形的两个锐角互余；（4）有一个角等于60︒的三角形是等边三角形；（5）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16．其中正确的命题个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》（又有资料为《倡只律》）解释:一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟.照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.018秒.则一天24小时有（ ） A ．4.8×104刹那 B ．4.8×106刹那 C ．4.8×105刹那 D ．4.8×107刹那二、填空题7．点(),A a b 与点()3,4B -关于y 轴对称，则a b +的值为．8．对于解关于x 的一元二次方程()23x m +=，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是32x +=-，则m 的值为．9．定义一种新运算“※”，即1x y x y =+※，例如：723231=⨯+=※.则()1143⎛⎫- ⎪⎝⎭※※的值是．10．已知x11．中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘徽提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”由此求得圆周率π的近似值．设圆的半径为r ，圆内接正n 边形的周长为C ，圆的直径为d ．如图1，当n=6时，π≈C d =346?2A A r =12?sin30?2r r =3;如图2，当n=12时，π≈C d=．(结果精确到0.01;参考数据：sin 15°≈0.259，sin 75°≈0.966)12．如图，30AOB ∠=o ，C 是BO 上的一点，4CO =，点P 为AO 上的一动点，点D 为CO 上的一动点，则PC PD +的最小值为 ，当PC PD +的值取最小值时，则OPC V的面积为.三、解答题13．已知232A x xy y -=-，22B x xy y =-++． (1)化简2A B -（结果用含x ，y 的式子表示）； (2)当=1x -，2y =时，求（1）式的值； (3)若（1）式的结果与y 无关，求（1）式的值．14．阏伯台又叫火星台、火神台，位于商丘古城西南1.5公里处，是距今4000多年的观星台遗址，火神台为圆形夯土筑成．某数学小组想要测量火神台AB 的高度，如图，数学小组用测角仪在点C 处测得火神台顶端A 的仰角为39o ，用无人机在点D 处测得火神台顶端A 的仰角为45o ，23m,15m CH DH ==，求火神台AB 的高度．(结果精确到0.1 m ．参考数据：sin390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan390.81︒≈)15．如图，现有4个质地和大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．将标有1，2的小球放入不透明的甲袋中，标有3，4的小球放入不透明的乙袋中．从甲袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作指数，再从乙袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作底数，从而得到一个乘方，并计算其值，记作m．(1)用列表或画树状图的方法，表示m的所有可能结果．(2)老师说：“如果我再放进一个标有数字0的小球，那么放到甲袋中得到的m是奇数的概率和放到乙袋中得到的m是偶数的概率是一样的．”请判断老师的结论是否正确，并说明理由．16．如图1，AB是☉O的直径，C是☉O上异于点A，B的一点，连接AC，BC，并延长BA 至点E，使得∠ECA=∠B．(1)求证：CE是☉O的切线．(2)如图2，若∠B=30°，请直接写出三个．．你认为正确的结论(注：不另外添加辅助线)．17．每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级开展“国家安全法”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(100分制，80分及以上为优秀)进行整理、描述和分析(成绩用x 表示，共分成四组：A ．060x ≤<，B ．6080x ≤<，C ．80100x ≤<，D ．100x =)．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在C 组的数据是：80，84，85，90，95，98． 八年级抽取的学生竞赛成绩在C 组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出a ，b 的值．(2)该校七、八年级共有800人参加此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数．18．某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%，在销售期间发现销售数量y （件）与销售单价x （元）的关系如下表：(1)请你根据表格直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元?(3)将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w （元）最大?最大利润是多少元?19．如图，在Rt ABC △中，90,B ∠=o 60cm AC =，60A ∠=︒，点D 从点A 出发沿AC 方向以4cm /秒的速度向点C 匀速运动，同时点E 从点B 出发沿BA 方向以2cm /秒的速度向点A匀速运动，设点D 、E 运动的时间是t 秒（015t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF ．(1)求证：四边形AEFD 是平行四边形；(2)当t 为何值时，动点D 恰好在AF 的垂直平分线上；(3)点D 、E 在运动过程中是否存在t 的值，使DEF V 是直角三角形，若存在求出t 的值，若不存在，说明理由．20．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为O e 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF .(1)求证：DF 是O e 的切线；(2)若AC =，求tan ABD ∠的值.21．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做等补四边形．(1)概念理解∶①根据上述定义举一个等补四边形的例子：．②如图1，四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒，求证：四边形ABCD 是等补四边形．(2)性质探究：①小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形ABCD 内接于⊙O ，AB AD =，则A C D ∠ A C B ∠（填“＞”“＜”或“＝”）；②若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论： ． (3)问题解决∶在等补四边形ABCD 中，2AB BC ==，等边角120ABC ∠=︒，等补对角线BD 与等边垂直，求CD 的长．22．在平面直角坐标系中，顶点为C 的抛物线24y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．(1)若点B 的坐标为(3，0)，求b 的值．(2)规定：横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知抛物线24y x bx =+-的对称轴为y 轴． ①求抛物线24y x bx =+-与x 轴所围成封闭图形G 内部(不包括边界)整点的个数; ②若双曲线y=mx与抛物线24y x bx =+-在第四象限内围成的封闭图形W 内部及边界上的整点的个数总和为2，求实数m 的取值范围． (3)若点C 在第三象限，且点C 到x 轴的距离为254，直线y=12x t -与抛物线24y x bx =+-在x 轴下方的部分有两个交点，直接写出t 的取值范围．23．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（每位同学的矩形纸片规格不同）.老师规定矩形纸片按如下方式操作（如图1）.操作一：在矩形纸片ABCD 的边CD 上找一点E ，将矩形沿直线AE 折叠，使点D 的对应点为点D ¢；操作二：将矩形沿过点A 的直线折叠，使点B 的对应点B '落在边AD '上，折痕为AF .(1)根据以上操作可知EAF∠的度数为.(2)如图2，小明折叠自己的矩形纸片后发现，当点D¢落在矩形ABCD的边BC上时，射线FB'△的形状并说明理由.恰好经过点D，请判断AEF(3)如图3，在小华的矩形纸片ABCD中，4AB=，5BC=，若经过小华折叠后的EF=，请直接写出DE的长.。
2024学年第一学期杭州地区新高一开学摸底考试数学试题(含答案解析)
2024学年第一学期杭州地区新高一开学摸底数学模拟试题（1-3章）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{2,4}A =，2{|560}B x x x =−+=，则()U A B ∪= A. {0,1,5}B. {0,4,5}C. {2,3,5}D. {2,3,4}2.“22ac bc >”是“a b >”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知函数()y f x =的对应关系如下表所示，函数()y g x =的图象是如图所示的曲线ABC ，则()2f g 的值为( )x1 2 3 ()f x23A. 3B. 0C. 1D. 24.下列函数中是奇函数的为( ) A. 1y x =−B. 2y x =C. ||y x =D. y x =5.在同一坐标系内，函数(0)m y x x =>和1y mx m=+的图象可能是( ) A. B.C. D.6.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为()[]G x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[ 1.2]2−=−，[1.2] 1.=定义符号函数()sgn x =1,0,0,0,1,0,x x x >= −<， 则[()][()]sgn G G sgn ππ+= ( ) A. 2−B. 1−C. 1D. 27.已知0a >，0b >，若44a b ab +=，则a b +的最小值是( ) A. 21+C.94D.528.函数()()()252,2213,2a x x f x x a x a x −−− = +−−< ，若对任意1x ，212()x R x x ∈≠，都有()()12120f x f x x x −<−成立，则实数a 的取值范围为( ) A. []4,1−−B. []4,2−−C. (]5,1−−D. []5,4−−二、多选题：本题共3小题，共15分。
湖北省孝感市2024-2025学年高一上学期入学摸底考试数学试卷含答案
孝感2024级高一年级入学摸底考试数学试卷（答案在最后）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.一次函数2y x =+与21y x =-的图象交点组成的集合是（）A.{}3,5 B.{}3,5x y == C.(){}3,5 D.(){}5,3【答案】C 【解析】【分析】联立两函数方程求出交点，用点的集合表示即可.【详解】因为221y x y x =+⎧⎨=-⎩，解得35x y =⎧⎨=⎩，所以两函数图象交点组成的集合为(){}3,5.故选：C.2.把2212x xy y -++分解因式的结果是（）A.()()()112x x y x y +-++B.()()11x y x y ++--C.()()11x y x y -+-- D.()()11x y x y +++-【答案】D 【解析】【分析】观察发现：一、三、四项一组，符合完全平方公式，然后运用平方差公式继续分解．【详解】2212x xy y -++()2221x xy y =++-2()1x y =+-()()11x y x y =+++-．故选：D ．3.已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4A =，{}(1)(1)(2)0B xx x x =+--=∣，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{0,3,4}B.{0,1,3,4}C.{0,2,3,4}D.{3,4}【分析】由图像可知阴影部分对应的集合为()U A B ð，然后根据集合的基本运算求解即可．【详解】由已知得1,{}1,2B =-，由图像可知阴影部分对应的集合为()U A B ð，()U {0,3,4}A B ∴⋂=ð．故选：A.4.已集合{}2{30},9A xax B x x =+===∣∣，若A B ⊆，则实数a 的取值集合是（）A.{1}B.{1,1}-C.{1,0,1}-D.{0,1}【答案】C 【解析】【分析】利用子集的定义即可求解.【详解】{3,3}B =- ，∴当0a =时，A =∅，满足A B ⊆；当0a ≠时，若A B ⊆，则{3}=A 时，1;{3}a A =-=-时，1a =．a ∴的取值集合是{1,0,1}-．故选：C ．5.设三角形的三边a 、b 、c 满足4442220a b c b c ---=，则这个三角形的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.无法确定【答案】A 【解析】【分析】根据完全平方公式可得222a b c =+，即可求解.【详解】由4442220a b c b c ---=可得()244422222a b c b c b c =++=+，进而可得222a b c =+，故三角形为直角三角形，故选：A6.已知集合2,3k M x x k +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，2,3N x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则（）A.M N M⋂= B.M N M⋃= C.M N ⋂=∅D.M N=【分析】将集合N 中的式子通分成分母为3的式子，然后可判断出答案.【详解】由题意得，32,3k N x x k +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，而2k +表示整数，32k +表示被3除余2的整数，故NM ，则M N M ⋃=，故选：B ．7.已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程()222130x m x m +-++=的根，则m 等于（）A.-3 B.5C.5或-3D.-5或3【答案】A 【解析】【分析】由题意可知：菱形ABCD 的边长是5，则AO 2+BO 2＝25，则再根据根与系数的关系可得：AO +BO ＝﹣2m +1，AO •BO ＝m 2+3；代入AO 2+BO 2中，得到关于m 的方程后，求得m 的值．【详解】由直角三角形的三边关系可得：AO 2+BO 2＝25，又有根与系数的关系可得：AO +BO ＝﹣2m +1，AO •BO ＝m 2+3，∴AO 2+BO 2＝（AO +BO ）2﹣2AO •BO ＝（﹣2m +1）2﹣2（m 2+3）＝25，整理得：m 2﹣2m ﹣15＝0，解得：m ＝﹣3或5．又∵△＞0，∴（2m ﹣1）2﹣4（m 2+3）＞0，解得m 114-＜，∴m ＝﹣3，故选：A ．【点睛】将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．8.若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =--≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（）A.124q -≤≤B.50q -≤≤ C.54q -≤≤ D.123q -≤≤【答案】A 【解析】【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为1x m =+，进而可得412p p m ++=+，由函数图象过点(),p q ，可得2(1)4q m =--+，可求q 的取值范围.【详解】因为二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =--≤≤，所以二次函数的对称轴为1x m =+，函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，故点(),p q 和点()4,p q +关于直线1x m =+对称，所以412p p m ++=+，所以1[0,4]p m =-∈，又()()()()2222121223(1)4q p m p m m m m m m =--=----=-++=--+，当1m =，max 4q =，当5m =，min 12q =-，所以124q -≤≤.故选：A.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知集合{}2|1A x y x ==+，{}2|1B y y x ==+，下列关系正确的是（）A.A B = B.A B ≠ C.A B A= D.A B B= 【答案】BD 【解析】【分析】化简集合A ,B ,再逐项判断即可得解.【详解】化简得R A =，[)1,B =+∞，所以B A ⊆，所以A B ≠，A B B = ，故选：BD ．10.随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（）A.10月测试成绩为“优秀”的学生有40人B.9月体育测试中学生的及格率为30%C.从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长D.12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多【答案】CD 【解析】【分析】通过统计图一一分析选项即可.【详解】由图易知全体学生有1025015090500+++=人，而10月测试成绩为“优秀”的学生占10%，即有50人，故A 错误；9月体育测试中学生的及格及以上人数为410人，占比为4100.82500=，即及格率为82%，故B 错误；由第二个图可知优秀率递增，且12月比11月增长4%，11月比10月增长3%，显然C 、D 正确.故选：CD11.下列选项正确的有（）A.已知2210x x -+=，则代数式()()()()214220x x x x x -+-+-+=.B.已知2310x x -+=，则331315x x +-=.C.若12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，则2223a b c ab bc ac ++---=.D.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870-+=x x 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是9.【答案】BC 【解析】【分析】求出x 值并代入计算判断A ；求出1x x+，变形计算判断B ；求出,,a b b c c a ---，变形代入计算判断C ；利用韦达定理计算判断作答.【详解】对于A ，由2210x x -+=，得1x =，则()()()()214226x x x x x -+-+-+=-，A 错误；对于B ，由2310x x -+=，得13x x +=，则33331113()3()3333315x x x x x x+-=+-+-=-⨯-=，B 正确；对于C ，依题意，1,2,1a b b c c a -=-=--=，则222a b c ab bc ac++---222211[(32)()()](121)2a b b c c a =-+-+-++==，C 正确；对于D ，令直角三角形的二直角边长分别为,m n ，依题意，472m n mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以该直角三角形斜边长为3==，D 错误.故选：BC三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若关于x 的分式方程22411x a x ax x --+-=-+的解为整数，则整数a =______．【答案】1±【解析】【分析】由分式方程有意义可知1x ≠且1x ≠-，再化简方程求解2x a=，由,a x 均为整数可求.【详解】则方程22411x a x a x x --+-=-+可知，1x ≠且1x ≠-.方程可化为222211x a x a x x --+-=+-+，即2211a ax x -+=-+，解得2x a=，由1x ≠且1x ≠-，所以2a ≠且2a ≠-.由a 为整数，且x 为整数，则当1a =-，2x =-，或当1a =，2x =时满足题意.所以1a =±.故答案为：1±.13.定义运算{},,A A x x a b a A b A *==-∈∈，若集合{}1,2,3A =，则A A *=______.【答案】{2,1,0,1,2}--【解析】【分析】根据给定运算，利用列举法计算即得.【详解】依题意，由{}1,2,3A =，当1a =时，{1,2,3}b ∈，则{0,1,2}a b -∈--，当2a =时，{1,2,3}b ∈，则{1,0,1}a b -∈-，当3a =时，{1,2,3}b ∈，则{2,1,0}a b -∈，所以{2,1,0,1,2}A A *=--.故答案为：{2,1,0,1,2}--14.抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a <）经过()2,0A ，()4,0B -两点，下列四个结论：①一元二次方程20ax bx c ++=的根为122,4x x ==-；②若点()15,C y -，()2π,D y 在该抛物线上，则12y y <；③对于任意实数t ，总有2at bt a b +≤-；④对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（p 为常数，0p >）的根为整数，则p 的值只有两个．其中正确的结论是______（填写序号）．【答案】①③【解析】【分析】根据题目已知条件分别对各个结论进行运算验证即可得出答案.【详解】因为抛物线20y ax bx c =++=经过(2,0),(4,0)A B -两点,∴一元二次方程20ax bx c ++=的根为122,4x x ==-,则结论①正确; 抛物线的对称轴为421,2x -+==-∴3x =时的函数值与5x =-时的函数值相等, 0a <,∴当1x ≥-时,y 随x 的增大而减小,又 13π-<<,∴12y y >,则结论②错误;当1x =-时,y a b c =-+,则抛物线的顶点的纵坐标为a b c -+,且0a b c -+>,将抛物线2y ax bx c =++向下平移a b c -+个单位长度得到的二次函数解析式为22()y ax bx c a b c ax bx a b =++--+=+-+,由二次函数图象特征可知,2y ax bx a b =+-+，()0a <的图象位于x 轴的下方,顶点恰好在x 轴上，即0y ≤恒成立,则对于任意实数t ,总有20at bt a b +-+≤,即2at bt a b +≤-,结论③正确;将抛物线2y ax bx c =++向下平移p 个单位长度得到的二次函数解析式为2y ax bx c p =++-,函数2y ax bx c p =++-对应的一元二次方程为20ax bx c p ++-=,即2ax bc c p ++=,因此,若一元二次方程2ax bx c p ++=的根为整数,则其根只能是121,3x x ==-或10x =,22x =-或121x x ==-,对应的p 值只有三个,则结论④错误；故答案为：①③.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质（对称性、增减性）、二次函数图像的平移问题、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握并灵活运用二次函数的图像与性质是解题关键.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知集合2{|210}A x R ax x =∈++=，其中a R ∈.（1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中有且仅有一个元素，求实数a 的组成的集合B ；（3）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.【答案】（1）1,13A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；（2）{}0,1B =；（3）{|1a a ≥或0}a =.【解析】【分析】（1）若1∈A ，则a ＝﹣3，解方程可用列举法表示A ；（2）若A 中有且仅有一个元素，分a ＝0，和a ≠0且△＝0两种情况，分别求出满足条件a 的值，可得集合B ．（3）集合A 中至多有一个元素包括有两种情况，①A 中有且仅有一个元素，②A 中一个元素也没有，分别求出即可得到a 的取值范围．【详解】解：（1）∵1是A 的元素，∴1是方程ax 2+2x +1＝0的一个根，∴a +2+1＝0，即a ＝﹣3，此时A ＝{x |﹣3x 2+2x +1＝0}．∴x 1＝1，213x =-，∴此时集合113A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，；（2）若a ＝0，方程化为x +1＝0，此时方程有且仅有一个根12x =-，若a ≠0，则当且仅当方程的判别式△＝4﹣4a ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实根x 1＝x 2＝﹣1，此时集合A 中有且仅有一个元素，∴所求集合B ＝{0，1}；（3）集合A 中至多有一个元素包括有两种情况，①A 中有且仅有一个元素，由（2）可知此时a ＝0或a ＝1，②A 中一个元素也没有，即A ＝∅，此时a ≠0，且△＝4﹣4a ＜0，解得a ＞1，综合①②知a 的取值范围为{a |a ≥1或a ＝0}【点睛】本题考查的知识点是集合中元素与集合的关系，一元二次方程根的个数与系数的关系，难度不大，属于基础题．考点：1、元素与集合的关系；2、集合的表示.16.已知集合{}|33A x x =-<≤，{}|221,R B x m x m m =-≤≤+∈．（1）当1m =时，求集合A B ð；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|31A B x x =-<<-ð（2）{|3m m <-或11}m -<≤．【解析】【分析】（1）由补集的定义即可得出答案；（2）由A B B = ，得B A ⊆，讨论B =∅和B ≠∅，列出不等式求得结果.【小问1详解】集合{}|33A x x =-<≤，当1m =时，{}|13B x x =-≤≤，所以{}|31A B x x =-<<-ð．【小问2详解】由A B B = ，得B A ⊆．①当B =∅时，则有221m m ->+，解得：3m <-，符合题意；②当B ≠∅时，则有22123213m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+≤⎩，解得：11m -<≤．综合①②可得：实数m 的取值范围为{|3m m <-或11}m -<≤．17.（1）求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值；（2）已知函数221y ax ax =++在区间32x -≤≤上的最大值为4，求实数a 的值.【答案】（1）max min 3312,19;,;48x y x y =-===（2）3a =-或38a =.【解析】【分析】（1）化成顶点式，得到对称轴，根据二次函数性质即可得到最值；（2）先求出对称轴=−1，再分=0,>0和0a <讨论即可.【详解】（1）把二次函数解析式配成顶点式,得：22331235248y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为20a =>，所以抛物线开口方向向上，对称轴是34x =，所以顶点的纵坐标即为最小值是318，而当2x =-时，函数值最大，所以最大值是()()22232519⨯--⨯-==.综上当34x =，min 318y =；当2x =-，max 19y =.（2）221y ax ax =++当0a =时，1y =不符合最大值为4，不合题意；其对称轴为212ax a=-=-，①当>0时，其图象开口向上，此时=2离对称轴更远，当=2时有最大值，最大值为44181a a a ++=+，814a +=，解得38a =；②当0a <，其图象开口向下，则当=−1时函数有最大值，最大值为211a a a -+=-+，14a ∴-=，解得3a =-.综上所述a 的值为38或3-.18.已知关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=.（1）判断方程根的情况；（2）若方程的两根1x 、2x 满足()()12116x x --=，求k 值；（3）若ABC V 的两边AB 、AC 的长是方程的两根，第三边BC 的长为5，①则k 为何值时，ABC V 是以BC 为斜边的直角三角形？②k 为何值时，ABC V 是等腰三角形，并求出ABC V 的周长.【答案】（1）方程有两个不相等的实数根（2）3k =-或2k =（3）①2k =；②答案见解析【解析】【分析】（1）根据判别式即可求解，（2）根据韦达定理即可代入求解，（3）根据因式分解可得110x k =+>，220x k =+>，即可结合勾股定理以及等腰关系求解.【小问1详解】在方程22(23)320x k x k k -++++=中，2224[(23)]4(32)10b ac k k k ∆=-=-+-++=>,∴方程有两个不相等的实数根．【小问2详解】由题知：1223x x k +=+，21232x x k k =++.()()12116x x --= 变形为：()121216x x x x -++=()2322316k k k ∴++-++=．得：3k =-或2k =.【小问3详解】()()()222332120x k x k k x k x k -++++=----= ．110x k ∴=+>，220x k =+>，则1k >-．①不妨设1AB k =+，2AC k =+，斜边5BC =时，有222AB AC BC +=，即：22(1)(2)25k k +++=，解得：12k =，215(k x =-、2x 为负，舍去）.当2k =时，ABC V 是直角三角形；②1AB k =+ ，2AC k =+，5BC =，由（1）知AB AC≠故有两种情况：当5AC BC ==时，25k +=，则3k =，314AB =+=，4 、5、5满足任意两边之和大于第三边，此时ABC V 的周长为45514++=；当5AB BC ==时，15k +=，4k =，26AC k =+=，6 、5、5满足任意两边之和大于第三边，此时ABC V 的周长为65516++=.综上可知：当3k =时，ABC V 是等腰三角形，此时ABC V 的周长为14；当4k =时，ABC V 是等腰三角形，此时ABC V 的周长为16.19.定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =-++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0-，则m =______．（3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a -，(),C a a --，(),D a a -，其中0a >．①若函数6y x =关于直线2x =-的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值；②若6a =，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）1,13,1x x y x x +≥⎧=⎨-+<⎩（2）172m -=或172m +=，（3）①3；②()5,1,12⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）取点()2,3M ，()3,4N ，求两点关于1x =的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，由此可得结论；（2）判断点()1,0-与函数243y x x =-++的图象的关系，再求()1,0-关于直线x m =的对称点，由条件列方程求m 即可；（3）①求函数6y x =关于直线2x =-的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定a 的值；②分别在0n >，0n =，0n <时求函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”解析式，讨论n ，由条件确定n 的范围.【小问1详解】在函数1y x =+的图象上位于1x =右侧的部分上取点()2,3M ，()3,4N ，点()2,3M 关于直线1x =的对称点为0,3，点()3,4N 关于直线1x =的对称点为()1,4-，设函数1y x =+，1x >的图象关于1x =对称的图象的解析式为,1y kx b x =+<，则34b k b =⎧⎨-+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩，所以函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为1,13,1x x y x x +≥⎧=⎨-+<⎩；【小问2详解】取1x =-可得，2431432y x x =-++=--+=-，故函数243y x x =-++的图象不过点()1,0-，又点()1,0-关于直线x m =的对称点为()21,0m +，由已知可得()()20214213m m =-++++，1m >-，所以12m -=或12m +=，【小问3详解】①当0x >或20x -≤<时，函数6y x =关于直线2x =-的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =，当2x <-时，设点s 在函数6y x =关于直线2x =-的“迭代函数”的图象上，则点()4,x y --在函数6y x =的图象上，所以64y x =--，所以函数6y x =关于直线2x =-的“迭代函数”的解析式为[)()()6,2,00,6,,24x x y x x∞∞⎧∈-⋃+⎪⎪=⎨⎪∈--⎪--⎩，作函数6y x=关于直线2x =-的“迭代函数”的图象如下：观察图象可得3a =时，函数6y x=关于直线2x =-的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，②若0n >，当x n ≥时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =，当0x <或0x n <<时，设点s 在函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y -在函数6y x =的图象上，所以62y n x =-，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为()()()6,,6,,00,2x n x y x n n x ∞∞⎧∈+⎪⎪=⎨⎪∈-⋃⎪-⎩，当6n >时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当6n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有2个公共点，当16n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当1n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有3个公共点，当01n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当0n =时，函数6y x =关于直线=0的“迭代函数”的解析式为6,06,0x x y x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，若0n <，当0n x ≤<或0x >时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=，当x n <时，设点s 在函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y -在函数6y x =的图象上，所以62y n x =-，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为[)()()6,,00,6,,2x n x y x n n x∞∞⎧∈⋃+⎪⎪=⎨⎪∈-⎪-⎩，当10n -<<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当1n =-时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当512n -<<-时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有6个公共点，当52n =-时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当7522n -<<-时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当72n =-时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当762n -<<-时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n =-时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n <-时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，综上，n 的取值范围为()51,12∞⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭，.【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
上海市高中名校2024学年高一入学分班数学摸底考试卷(附答案,共3套)
xax =2cos 60tan45sin -30tan60︒︒⋅︒︒x x --1()()32x -)2(2x +)2(2x 2h52h42h32h2l 4l 3l 2l 1-a 2≤a 3且<≠x x 10>x 1>x 0<<x 01-<x 1)03232=-y x x 324121-1641一、选择题（本大题共6题，第1至第3题，每题3分；第4至第6题，每题4分，满分21分） 1.计算的值是（） A.4B.2C.D.2.将二次函数的图形作一次平移，若平移后所的图像的对称轴是x=3，则该平移只能是（） A. 向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位3.的解是（） A. B. C. D.4.若实数，的结果是（）A.2B.6-2aC.6-2a 或2D.2a-65.如图，直线//////，相邻两条平行线间的距离都等于h ，若正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则该正方形的面积等于（ ）A. B. C. D. 6.已知x 是无理数，且(x+1)(x+3)是有理数，则下列选项中是有理数的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题7.计算：= ______________。
8.若关于x 的分式方程无实数解，则实数a = _____________。
上海市高中名校2024学年高一入学分班数学摸底考试卷（一）9.=xy k=+y x b +PBPA PCAD <<<d c b a rRCD b a =AD b =AB a :x yz yzx某种商品的标价为120元，若以标价的90%降价出售，相对于进货价仍能盈利20%，则该商品的进货价是___________元。
10.若yz ：zx ：xy = 1:2:3，则= ____________。
11.在梯形ABCD 中，AD ∥BC 且BC=2AD ，若，，则用、表示 = ____________。
2023-2024学年辽宁省沈阳市高一上册开学摸底考试数学试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省沈阳市高一上册开学摸底考试数学试题一、单选题1．集合{}{}2ln ,1A x y x B y y x ====+∣∣，则R A B = ð（）A ．[]0,1B ．()0,1C ．(),1-∞D ．[)1,+∞【正确答案】B【分析】由对数函数定义域得{}0A x x=>∣，二次函数值域得{}1B y y =≥∣，即可根据补集、交集运算法则求得结果【详解】由ln y x =，()0,x ∈+∞，则{}0A x x=>∣；又211y x =+≥，则{}1B y y =≥∣，{}1y B y =<R ∣ð，故{}10R x A B x ⋂=<<∣ð.故选：B2．已知函数12(4),0,()log (2),0,f x x f x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩则(2022)f -=（）A ．2-B ．2C ．1-D ．1【正确答案】A【分析】根据分段函数的特征，可将(2022)f -转化成()2f ，进而代入即可求解.【详解】当0x <时，可知()(4)f x f x =+，故(2022)(50542)(2)=(2)f f f f -=-⨯-=-而12(2)log 42f ==-.故(2022)2f -=-，故选：A3．若224a b +=，223b c +=，223(c a a +=，b ，)c R ∈，则ab bc ca ++的最小值为（）A ．5-B ．2-C．2-D．2--【正确答案】B【分析】根据已知条件求出a ，b ，c 的值，即可求解．【详解】解：因为224a b +=，223b c +=，223(c a a +=，b ，)c R ∈，所以联立方程组，求得22a =，22b =，21c =，从而a =b =，1c =±，所以当a ，b 异号时，ab bc ca ++取最小值为2-．故选：B ．4．若命题p ：“x ∃∈R ，()()2214130k x k x -+-+≤”是假命题，则k 的取值范围是（）A ．{}17k k <<B ．{}17k k ≤<C ．{}71k k -<<D ．{}71k k -<≤【正确答案】B【分析】首先根据存在量词命题的否定为全称量词命题写出命题的否定，再根据全称量词命题为真求出参数的取值范围．【详解】解：命题“x ∃∈R ，22(1)4(1)30k x k x -+-+”是假命题，则命题“x ∀∈R ，22(1)4(1)30k x k x -+-+>”是真命题，当1k =时，30>恒成立．当1k =-时，830x +>不恒成立．当1k ≠±时，则2221016(1)12(1)0k k k ⎧->⎨∆=---<⎩，解得17k <<．故k 的取值范围为：17k <，即{}17k k ≤<．故选：B ．5．已知00a b >>，，且4a b ab +=，则下列不等式不正确的（）A ．16ab ≥B ．26a b +≥+C ．0a b -<D ．2211612a b +≥【正确答案】C【分析】因为00a b >>，，4ab a b =+≥16ab ≥，可判断A ；由44222(1)66611a a b a a a a +=+=-++≥+=--，可判断B ；举反例可判断C ；由4a b ab +=得141a b +=，所以2221161421ab a b ⎛⎫⎛⎫+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得2211612a b +≥，可判断D.【详解】因为00a b >>，，4ab a b =+≥，当且仅当4a b =时等号成立，所以16ab ≥，A 正确；由4a b ab +=得401ab a =>-，1a >，同理4b >，44222(1)66611a a b a a a a +=+=-++≥+=--，当且仅当42(1)1a a -=-，即1a =时等号成立，B 正确；5,5a b ==满足题意，但0a b -=，C 错；由4a b ab +=得141a b +=，所以2221161421ab a b ⎛⎫⎛⎫+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22116a b =即4b a =时等号成立，所以2211612a b +≥．D 正确．故选：C6．已知函数()()0bf x ax ab x=+≠，若存在两相异实数,m n 使()()f m f n c ==，且40a b c ++=，则m n -的最小值为（）A ．2B ．2C D 【正确答案】B【分析】由题意，,m n 是方程20ax cx b -+=的两个不等实数根，利用根与系数的关系把m n-化为含有,a b 的代数式，令bt a =，进一步转化为关于t 的二次函数，再由配方法求最值.【详解】由题意，当()bf x ax c x=+=，有20ax cx b -+=()0x ≠，()()f m f n c ==，∴,m n 是方程20ax cx b -+=的两个不等实数根，cm n a∴+=，b mn a =，而m n -=40a b c ++=，即4c b a =--，∴m n -=令b t a =，则m n -==则当18t =-时，m n -故选：B7．若函数()24542322022t x tx x f x x t+++=+在[]2022,2022-上的最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝2024，则实数t 的值为（）A ．－506B ．506C ．2022D ．2024【正确答案】B【分析】先对函数变形得()54320222x x f x t x t+=++，令()()54320222x x F x f x t x t +=-=+，可判断出()F x 为奇函数，则()F x 的最大值为2M t -，最小值为2N t -，从而得()()220M t N t -+-=，再由M ＋N ＝2024，可求出t 的值.【详解】函数()()4524554442320222322022320222t x t x x t x tx x x x f x t x t x t x t+++++++===++++，令()()54320222x x F x f x t x t +=-=+，因为()()5432022x x F x F x x t---==-+，所以()F x 为奇函数，又()f x 在[]2022,2022-上的最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝2024，所以()F x 的最大值为2M t -，最小值为2N t -，所以()()220M t N t -+-=，则t ＝506．故选：B8．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【正确答案】B【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】(0,1]x ∈ 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、多选题9．设计如图所示的四个电路图，p ：“开关S 闭合”，q ：“灯泡L 亮”，则p 是q 的充要条件的电路图是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】BD【分析】利用充分条件，必要条件和充要条件的定义判断.【详解】由题知，A 中电路图，开关S 闭合，灯泡L 亮，而灯泡L 亮，开关S 不一定闭合，故A 中p 是q 的充分而不必要条件；B 中电路图，开关S 闭合，灯泡L 亮，且灯泡L 亮，则开关S 闭合，故B 中p 是q 的充要条件；C 中电路图，开关S 闭合，灯泡L 不一定亮，灯泡L 亮，则开关S 一定闭合，故C 中p 是q 的必要而不充分条件；D 中电路图，开关S 闭合，则灯泡L 亮，灯泡L 亮，则开关S 闭合，故D 中p 是q 的充要条件．故选：BD.10．已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（）A ．5-B ．C ．πD ．5【正确答案】ABD【分析】根据一元二次不等式可求两个不等式的解，根据不等式组的解只有一个整数解，结合两不等式的解的交集，即可确定第二个不等式端点需要满足的关系，即可列不等式求解.【详解】解不等式2280x x -->，得>4x 或<2x -解方程22(27)70x k x k +++=，得127,2x x k=-=-（1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依题意，则54k -≤-<-，即45k <≤；（2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-，要使不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中只有一个整数，则需满足：35k -<-≤，即53k -≤<；所以k 的取值范围为[5,3)(4,5]- .故选：ABD.11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则下列说法正确的是（）A ．()00f =B ．()f x 为奇函数C ．()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n D ．()()2110f x f x -+->的解集为{}21x x -<<【正确答案】ABD【分析】令0x y ==可判断A 选项；令y x =-，可得()()()00f x f x f +-==，得到()()f x f x -=-可判断B 选项；任取1x ，，且12x x <，则120x x -<，()120f x x ->，根据单调性的定义得到函数()f x 在R 上的单调性，可判断C 选项；由()()2110f x f x -+->可得()()()2111f x f x f x ->--=-，结合函数()f x 在R 上的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，在()()()f x y f x f y +=+中，令0x y ==，可得()()020f f =，解得()00f =，A 选项正确；对于B 选项，由于函数()f x 的定义域为R ，在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，可得()()()00f x f x f +-==，所以()()f x f x -=-，则函数()f x 为奇函数，B 选项正确；对于C 选项，任取1x ，，且12x x <，则120x x -<，()120f x x ->，所以()()()()()1212120f x f x f x f x f x x -=+-=->，所以()()12f x f x >，则函数()f x 在R 上为减函数，所以()f x 在区间[],m n 上有最小值()f n ，C 选项错误；对于D 选项，由()()2110f x f x -+->可得()()()2111f x f x f x ->--=-，又函数()f x 在R 上为减函数，则211x x -<-，整理得220x x +-<，解得2<<1x -，D 选项正确.故选：ABD ．12．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（）A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【正确答案】CD令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点．故选：CD ．本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．三、填空题13．计算21log 5.50310.064()28-+--+__________．【正确答案】322【分析】根据指数幂的运算以及对数的运算，进行化简求值，可得答案.【详解】因为11350.0640.42--==，01()18-=，2log5.52 5.5=，2==+，所以21log5.5310.064()28-+--+51 5.522=+-+=故14．已知2111xfx x+⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()f x的值域为______.【正确答案】()1,+∞【分析】先求出()()()2111f x x x=-+≠，再结合二次函数的性质即可得出值域.【详解】解：令1xtx+=，则111tx=+≠，所以11tx=-，所以()()211f t t=-+，故()f x的解析式为()()()2111f x x x=-+≠，其值域为()1,+∞.故答案为.()1,+∞15．若不等式220ax bx++>的解集是1123x x⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b+>的解集为__________.【正确答案】1,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【分析】由不等式220ax bx++>的解集结合对应方程的韦达定理可求出,a b，即可求出0ax b+>的解集.【详解】解：不等式220ax bx++>的解集是1123x x⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则根据对应方程的韦达定理得到：112311223baa⎧⎛⎫-+=-⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⋅=⎪⎪⎝⎭⎩，解得122ab=-⎧⎨=-⎩，则1220x-->的解集为1,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.故答案为.1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭16．已知正数a b ，满足1a b +=，R c ∈，则222313a c bc b abc ab++++的最小值为__________.【正确答案】3-##3-+【分析】把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值作答.【详解】由1a b +=，得2221a ab b ++=，0,0a b >>，则222222222(31132143)3(2)311a a a ab b a b c c c bc b abc ab c b ab c b a ++++=++=+++++++，2263(1)331c c ≥++-≥+，当且仅当2262,3(1)1b ac c ==++时取“=”，所以当212,,133a b c ===时，222313a c bc b abc ab++++的最小值为3.故3-思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.四、解答题17．已知集合{|211}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =≤≤．(1)在①1a =-，②0a =，③1a =这三个条件中选择一个条件，求A B ⋃；(2)若A B A = ，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)见解析(2)1a ≤-或1a ≥【分析】(1)根据并集的定义求解；(2)根据集合间的包含关系即可求解.【详解】（1）选择①1a =-，则{|30}A x x =-<<，所以{|31}A B x x =-<≤U ；选择②0a =，则{|11}A x x =-<<，所以{|11}A B x x ⋃=-<≤；选择③1a =，则{|12}A x x =<<，所以{|02}A B x x =≤< ；（2）由题{|0B x x =<或1}x >，因为A B A = ，所以A B ⊆，（i ）若211a a -≥+即2a ≥，则A =∅满足题意；（ii ）若211a a -<+即2a <，由A B ⊆得10a +≤或211a -≥，解得1a ≤-或12a ≤<，综上实数a 的取值范围为1a ≤-或1a ≥.18．在①[]2,2x ∀∈-，②[]1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间[]22-,上的值域；(2)若______，()0f x ≥，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)[]3,12(2)答案见解析【分析】（1）利用二次函数的性质直接求解其值域，（2）若选条件①，求出抛物线的对称轴，分22a -≤-，222a-<-<和22a -≥三种情况求出函数的最小值，使最小值大于等于零，即可求出a 的取值范围，若选条件②，则()max 0f x ≥，由抛物线的性质可得()10f ≥或()30f ≥，从而可求出a 的取值范围.【详解】（1）当2a =-时，()()222413f x x x x =-+=-+，∴()f x 在[]2,1-上单调递减，在[]1,2上单调递增，∴()()min 13f x f ==，()()max 212f x f =-=，∴函数()f x 在区间[]22-,上的值域为[]3,12．（2）方案一：选条件①．由题意，得()22424a a f x x ⎛⎫=++-⎪⎝⎭．若22a-≤-，即4a ≥，则函数()f x 在区间[]22-,上单调递增，∴()()min 2820f x f a =-=-≥，解得4a ≤，又4a ≥，∴a ＝4．若222a -<-<，即44a -<<，则函数()f x 在区间2,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()2min4024a a f x f ⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭，解得44a -≤≤，∴44a -<<．若22a-≥，即4a ≤-，则函数()f x 在区间[]22-,上单调递减，∴()()min 2820f x f a ==+≥，解得4a ≥-，又4a ≤-，∴a ＝－4．综上所述，实数a 的取值范围为[]4,4-．方案二：选条件②．∵[]1,3x ∃∈，()0f x ≥，∴()max 0f x ≥，∵函数()f x 的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得．∴()10f ≥或()30f ≥，解得5a ≥-或133a ≥-，∴5a ≥-．故实数a 的取值范围为[)5,-+∞．19．某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，()N n n +∈年内的总维修保养费用为()2420nn +万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n 年年底，该项目的纯利润为y 万元．（纯利润=累计收入-总维修保养费用-投资成本）(1)写出纯利润y 的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：①年平均利润最大时，以72万元转让该项目；②纯利润最大时，以8万元转让该项目．你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．【正确答案】(1)()2480144y n n n +=-+-∈N ，从第3年起开始盈利(2)选择方案①更有利于该公司的发展；理由见解析【分析】（1）根据题意可得表达式，令0y >，解不等式即可；（2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案.【详解】（1）由题意可知()()22100420144480144y n n n n n n +=-+-=-+-∈N ，令0y >，得24801440n n -+->，解得218n <<，所以从第3年起开始盈利；（2）若选择方案①，设年平均利润为1y 万元，则136********y y n n n ⎛⎫==-+≤-⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当36n n=，即6n =时等号成立，所以当6n =时，1y 取得最大值32，此时该项目共获利32672264⨯+=（万元）．若选择方案②，纯利润()22480144410256y n n n =-+-=--+，所以当10n =时，y 取得最大值256，此时该项目共获利2568264+=（万元）．以上两种方案获利均为264万元，但方案①只需6年，而方案②需10年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．20．已知函数()()2log 41xf x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值;(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-;(3)设()()()2log 20xg x a a a =⋅+≠，若函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1-(2)()(),20,-∞-⋃+∞(3)()2,1【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断0x ≥时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；（3）由函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，可得1222x x xa a ⋅+=+有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.【详解】（1）函数的定义或为R ，函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.()()f x f x ∴-=，即()()22og 41lo l g 41x x kx kx -+-=++，()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+，1k ∴=-；（2）()()222411log 41log log 222x xx x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x ≥时，21x ≥，122xxy =+单调递增，()f x \在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0-∞上单调递减；()()211f m f m +>- ，211m m ∴+>-，解得2m <-或0m >，所以所求不等式的解集为()(),20,-∞-⋃+∞；（3） 函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，()()()()22241log 2log 41log 2x xxx g x a a f x x ⎛⎫+∴=⋅+==+-= ⎪⎝⎭，即4112222x xx xx a a +⋅+==+，20x a a ⋅+>，设20x t =>，则1at a t t+=+，即()2110a t at -+-=，又2x t =在R 上单调递增，所以方程()2110a t at -+-=有两个不等的正根；()()210Δ411001101a a a a a a -≠⎧⎪=--⨯->⎪⎪∴⎨->-⎪⎪->⎪-⎩，解得21a <<，即a的取值范围为()2,1-.21．定义在()1,1-上的函数()f x 满足对任意的x ，()1,1y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，且当()0,1x ∈时，()0f x <．(1)求证：函数()f x 是奇函数；(2)求证：()f x 在()1,1-上是减函数；(3)若112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()221f x t at ≤--对任意11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，[]1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)(),11⎡-∞-⋃+∞⎣.【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明.（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明.（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.【详解】（1）令0x =，0y =，得()()()000f f f +=，所以()00f =．令y x =-，得()()()00f x f x f +-==，即()()f x f x =--，所以函数()f x 是奇函数．（2）设1211x x -<<<，则()11,1x -∈-，所以()()()()212121121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭．因为210x x ->，11x <，21x <，所以121x x <，即1211x x -<<，所以211201x x x x ->-．又()()12211212111011x x x x x x x x +---=<--，所以2112011x x x x -<<-，所以211201x x f x x ⎛⎫-< ⎪-⎝⎭，所以()()210f x f x -<，即()()12f x f x >．所以()f x 在()1,1-上是减函数．（3）由（2）知函数()f x 在()1,1-上是减函数，所以当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值为11122f f⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()221f x t at ≤--对任意11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，[]1,1a ∈-恒成立等价于2121t at ≤--对任意[]1,1a ∈-恒成立，即2220t at --≥对任意[]1,1a ∈-恒成立．设()222222g a t at ta t =--=-+-，是关于a 的一次函数，[]1,1a ∈-，要使()2220g a ta t =-+-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立，所以(1)0(1)0g g ≥⎧⎨-≥⎩，即22220220t t t t ⎧--≥⎨+-≥⎩，解得1t ≤-或1t ，所以实数t的取值范围是(),11⎡-∞-⋃+∞⎣．22．已知函数()x a f x x-=(0a >)，且满足112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求a 的值；（2）设函数()()g x xf x =，()2xh x t t =-(1t >)，若存在1x ，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =成立，求实数t 的取值范围；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程()22220x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）1；（2）2t ≥；（3）10,16⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，代入函数值，即可求解；（2）根据题意，求解函数()g x 和()f x 值域，若存在1x ，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =成立，转化为值域有交集，即可求解参数取值范围；（3）由（1）分析函数()f x 的值域，可知()()0,1f x ∈时，x 有两根；再观察方程，同除2x 后方程可化简为()()2220fx f x m -+=，只需使方程在()()0,1f x ∈上有两根，即可求解.【详解】（1）由1121122af -⎛⎫== ⎪⎝⎭，得1a =或0.因为0a >，所以1a =，所以()1x f x x-=.（2）()()1,1211,12x x g x xf x x x -≤≤⎧⎪==⎨-≤<⎪⎩，所以()01g x ≤≤;故()g x 的值域为[]0,1A =因为1t >时，()2x h x t t =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦()222t h x t t -≤≤-，所以()h x的值域为22,2B t t t ⎤=-⎦，由题意A B φ⋂≠，20t <，所以220t t -≥，解得2t ≥;综上:实数t 的取值范围是2t ≥（3）当1x >时，()111x f x x x-==-，()f x 在()1,+∞上为增函数;当()1,x ∈+∞时，()()110,1f x x=-∈.可得()f x 在()0,1上为减函数，当()0,1x ∈时，()()110,f x x=-∈+∞.方程()2221120x x x mx ---+=可化为2211220x x m x x---+=，即()()2220fx f x m -+=.设()s f x =，方程可化为2220s s m -+=.要使原方程有4个不同的正根，则关于s 方程2220s s m -+=在()0,1有两个不等的根1s ，2s ，则有211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<，所以实数m 的取值范围为10,16⎛⎫⎪⎝⎭.（1）考查计算能力，基础题；（2）转化与化归思想解题，考查求函数值域，交集不空的参数范围，属于中等题；（3）转化方程与已知函数关联，考查函数与方程思想，转化与化归思想，一元二次方程根的限定条件，综合性较强，属于难题.。
2021-2022年高一数学新生摸底考试试题
实用文档 2021-2022年高一数学新生摸底考试试题一、选择题（每题5分）1下列因式分解正确的是（ ）A ()()x x x x x 322342++-=+-B ()()x x x x x 322342++-=+-C D ()2321x x xy y x xy y x +-=+-2 已知方程且关于ｘ的不等式组只有4个整数解，那么ｂ的取值范围是（）A B C D3已知方程的一个根是1，另一个根为（ ）A B 3 C D4式子分解因式的结果是（ ）A BC D5不等式的解为（ ）A B C D6若不等式的解集为全体实数，则实数ａ的取值范围（ ）A B C D7、如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点（3，0），则的值为（）A. 0B. －1C. 1D. 28、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第7题图第8题图9 已知不等式的解是，则ａ，ｂ的值分别为（）A 12，-2B -12，-2 C-12，2 D 12，210、若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2二填空题（每题5分）实用文档实用文档11 在实数范围内分解因式：_____________ 12()()[]()()[]=+--+-++xy y x y x xy y x y x 22_________________ 13如果关于ｘ的二次不等式的解为，那么m=________________ 14已知x=3是不等式()003422≠+-k kx x k 的一个解，则的取值范围__________ 三解答题（15题10分，16题10分,17题10分）15把下列各式分解因式（1） （2）()()()()2222021417+-+-+-y y x x16解下列不等式（1） （2）17已知二次函数的图像经过点（3,2），对称轴是(1) 求这个函数的解析式(2) 当x>0时，求使y 2的x 的取值范围(3) 设图像与x 轴交点为()()的值，求AB B A 0,,0,21x x数学答案一选择题1-5 DDACA 6-10 CABBD二填空题11， 12， 13, 3 14三解答题15（1）（2）()27-+yyxx(-107)32-16 （1）（2）17 （1）（2）（3）23228 5ABC 媼25376 6320 挠31543 7B37 笷9~23059 5A13 娓 39495 9A47 驇26354 66F2 曲•29033 7169 煩23952 5D90 嶐38325 95B5 閵33775 83EF 華实用文档。
湖北省孝感市第一高级中学2023-2024学年高一上学期摸底考试数学试卷 - 副本
孝感一中2023级高一摸底考试数学试卷命题教师：储广钊 审题教师：佘坤一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 设全集U={1，2，3，4}，且A ={x | 250x x m −+=,x ∈U},若U C A ={2，3}，则m 的值等于A.4B.6C.4或6D.不存在2.若n 满足（n -2022）2+（2023-n ）2=1,则（2022-n ）（n -2023）等于A ． －1B ． 0C ．1D ． 23.若112x y−=，则x+xy−y x−xy−y 的值为 A ．35 B ．35− C ．−13 D. 13 4.如果x 12−2x 1=2，x 22−2x 2=2，且x 1≠x 2，那么x 1x 2等于A.2B. −2C.1D.−15.已知p :x ＋y ＞3,q :x ＞1且y ＞2,则q 是p 的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +−++=的根，则m 等于A ．53−或B ．53−或C ．3−D ．57．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=−和完全平方式2(2)M at b =+的关系是A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定8．若实数,a b 满足22850,850a a b b −+=−+=，则代数式1111b a a b −−+−−的值为 A ．20− B ．2 C ．220−或 D ．220或二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列选项正确的有A. 比较接近1的整数的全体能构成一个集合B. 由实数x ,-x ,｜x ｜,√x 2,-√x 33所组成的集合,其元素的个数最多为2C. 设x ,y ∈R ,A ＝{(x ,y )｜y ＝x },B ＝(x ,y )｜y x ＝1},则A =BD. 若集合M ＝{x ｜x ＝k 2＋14,k ∈Z },集合N ＝{x ｜x ＝k 4＋12,k ∈Z },则M ⫋N 10.已知集合A ,B 均为R 的子集,若A ∩B ＝⌀,则A.A ⊆∁R BB.∁R A ⊆BC.A ∪B ＝RD.(∁R A )∪(∁R B )＝R11．下列选项正确的有A.已知x 2﹣2x+1=0．则代数式（x ﹣1）2+x （x ﹣4）+（x ﹣2）（x+2）=0．B.已知x 2−3x +1=0，则x 3+1x 3−3=15.C.若11120,19,21202020a x b x c x =+=+=+，则222a b c ab bc ac ++−−−=3．D.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x −+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 9 .12.下列选项正确的有A.已知全集U={x | x 2-3x +2=0},A ={x | x 2-p x +2=0}, C U A =φ，则实数p 的值为3.B.若{a,b a ,1}={a 2,a +b,0},则a 2023+b 2023=1或−1C.已知集合{}R a x ax x A ∈=++=,022中元素至多只有1个，则实数a 的范围是a ≥18D.若A ={x |52≤≤−x }，B ={x | 121−≤≤+m x m }，且B ⊆A ，则m ≤3．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合2{|23,}A y y x x x R ==−−∈，2{|213,}B y y x x x R ==−++∈，那么A B ⋂= ． 14.用一长度为2米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________ ．15.已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =−=−，则a = _____ ，b = _____．16.设x y ，则33x y +的值等于 .四、解答题（本大题共6小题，共70分。
高一数学下学期摸底试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校元氏县第四二零二零—二零二壹高一数学下学期摸底试题〔含解析〕一.选择题〔每一小题5分，一共60分〕1.从装有完全一样的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，那么互为对立事件的是〔〕A.“至少一个红球〞与“至少一个黄球〞B.“至多一个红球〞与“都是红球〞C.“都是红球〞与“都是黄球〞D.“至少一个红球〞与“至多一个黄球〞【答案】B【解析】【分析】A选项“至少一个红球〞与“至少一个黄球〞可以同时发生；B选项说法正确；C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球〞与“至多一个黄球〞可以同时发生.【详解】从装有完全一样的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，“至少一个红球〞即一红一黄或者两红，“至少一个黄球〞即一红一黄或者两黄，所以这两个事件不是对立事件；“至多一个红球〞即一黄一红或者两黄，与“都是红球〞互为对立事件；“都是红球〞与“都是黄球〞仅仅是互斥事件；“至少一个红球〞即一红一黄或者两红，“至多一个黄球〞即一红一黄或者两红，不是对立事件.应选：B【点睛】此题考察对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项里面的事件的本质意义.2.某工厂利用随机数表对消费的600个零件进展抽样测试，先将600个零件进展编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345假设从表中第6行第6列开场向右依次读取3个数据，那么得到的第6个样本编号为〔〕A.522B.324C.535D.578【答案】D【解析】【分析】根据随机抽样的定义进展判断即可．【详解】第6行第6列开场的数为808〔不适宜〕，436，789〔不适宜〕，535，577，348，994〔不适宜〕，837〔不适宜〕，522，535〔重复不适宜〕，578那么满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578那么第6个编号为578此题正确选项：D【点睛】此题主要考察随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决此题的关键．3.某班有60名学生，其中男生有40人，现将男、女学生用分层抽样法抽取12人观看校演讲总决赛，那么该班中被抽取观看校演讲总决赛的女生人数为〔〕A.8B.6C.4D.2【答案】C【解析】【分析】根据男女生人数关系得男女生人数之比为2:1，即可得出抽取的12人中男生女生各多少人. 【详解】某班有60名学生，其中男生有40人， 那么女生20人，男女生人数之比为2:1，抽取的12人，女生人数为11243⨯=人. 应选：C【点睛】此题考察抽样方法，根据分层抽样求样本中各类数据. 4.一元二次不等式2260x x +-≥的解集为〔〕A.(]3,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B.([)3,2,2⎤-∞-+∞⎥⎦C.32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】A 【解析】 【分析】确定相应一元二次方程的解，根据二次函数性质确定不等式的解集. 【详解】原不等式可化为()()2320x x -+≥，解得，2x -≤，或者32x ≥. 应选：A【点睛】此题考察解一元二次不等式，属于简单题. 5.等差数列{}n a 中，378a a +=，那么该数列前9项和9S 等于()A.4B.8C.36D.72【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及其求和公式即可得出． 【详解】解：由等差数列{}n a 的性质可得：37198a a a a +==+，那么该数列前9项和1999()983622a a S +⨯===． 应选：C ．【点睛】此题考察了等差数列的性质及其求和公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 6.某地有两个国家AAAA 级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2021年1月至6月的月客流量〔单位：百人〕，得到如下列图的茎叶图.关于2021年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的选项是．．．．．．〔〕 A.甲景区月客流量的中位数为12950人 B.乙景区月客流量的中位数为12450人 C.甲景区月客流量的极差为3200人 D.乙景区月客流量的极差为3100人 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案. 【详解】根据茎叶图的数据：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人. 甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人. 应选：D【点睛】此题考察了茎叶图中位数和极差的计算，意在考察学生的应用才能. 7.假设等比数列{}n a 的各项均为正数，23a =，23174a a a =，那么5a =〔〕A.34B.38C.12D.24【答案】D 【解析】 【分析】 由23174a a a =，利用等比中项的性质，求出q ，利用等比数列的通项公式即可求出5a ．【详解】解：数列{}n a 是等比数列，各项均为正数，2231744a a a a ==，所以224234a q a ==，所以2q ．所以33523224a a q =⋅=⨯=，应选D ．【点睛】此题考察了等比数列的通项公式，等比中项的性质，正确运算是解题的关键，属于根底题． 8.变量x ,y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+,且变量x ,y 之间的一组相关数据如表所示,那么以下说法错误的选项是()A.变量x ,y 之间呈现负相关关系B.可以预测,当x =20时,y =﹣C.m =4D.该回归直线必过点(9,4) 【答案】C 【解析】【分析】根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进展逐一分析，即可进展选择. 【详解】对于A ：根据b 的正负即可判断正负相关关系.线性回归方程为0.710.3y x =-+，b =﹣0.7<0，故负相关.对于B ：当x =20时，代入可得y =﹣ 对于C ：根据表中数据：()16810124x=+++=9. 可得0.7910.3y =-⨯+=4即()163244m +++=， 解得：m =5.对于D ：由线性回归方程一定过(x y ，)，即(9，4). 应选：C.【点睛】此题考察线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合根底题. 9.一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数是2，方差是13，那么另一组数据1234521,21,21,21,21x x x x x -----的平均数，方差分别为〔〕A.43,3B.33,2C.44,3D.34,2【答案】A 【解析】 解答：∵一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数是2,方差是13， ∴另一组数据1234521,21,21,21,21x x x x x -----的平均数为：2×2−1=3，方差为：22×13=43. 应选A.10.在ABC ∆中，4a b B π===，那么A 等于〔〕A.6π B.3π C.6π或者56π D.3π或者23π 【答案】D 【解析】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以sin sin sin a B A b π===，又a b >，所以4A π>，所以3A π=或者23A π=．选D ．点睛：三角形的两边和一边对角解三角形时，需利用正弦定理求另一边的对角，解题时要注意讨论该角的个数，这是解题的难点，应引起注意．11.正实数,x y 满足3x y +=，那么41x y+的最小值〔〕A.2B.3C.4D.103【答案】B 【解析】【详解】()41141144133y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1533⎛≥+= ⎝， 当且仅当4y xx y=，即21x y ==，，时41x y+的最小值为3.应选B.点睛：此题主要考察根本不等式.在用根本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或者积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，获得最值.12.如图，一辆汽车在一条程度的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北o 45〔即o 45BAC ∠=〕的方向上，行驶m 后到达B 处，测得此山顶在北偏东o 15〔即o 75ABC ∠=〕的方向上，仰角o 30DBC ∠=，那么此山的高度CD =〔〕A.mB.mC.mD.m【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理先求得BC ,再求出DC 即可. 【详解】易得180457560BCA ∠=︒-︒-︒=︒.由正弦定理得sin 1200sin sin sin AB BC AB BACBC m BCA BAC BCA⋅∠=⇒===∠∠∠.故tan301200CD BC m =⨯︒==. 应选：C【点睛】此题主要考察理解三角形中的正余弦定理的实际运用,属于中等题型. 二.填空题〔每一小题5分，一共20分〕13.等比数列{a n }中，a 2=9，a 5=243，那么{a n }的前4项和为______． 【答案】120 【解析】【分析】利用等比数列的运算公式，结合条件，先求得q 的值，进而求得1a 的值，由此求得4S 的值.【详解】q 3=52a a =27，∴q =3，∴a 1=2a q=3，∴S 4=()4111a q q--=120故答案为120【点睛】本小题主要考察等比数列通项公式的根本量计算，考察等比数列前n 项和公式，属于根底题. 14.ABC ∆的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，假设b =2a =,60B ∠=︒，那么边c=_____．【答案】4 【解析】 【分析】根据余弦定理得到关于c 的方程，解方程求得结果. 【详解】由余弦定理得：22222cos 4212b a c ac B c c =+-=+-=解得：2c =-〔舍〕或者4c = 此题正确结果：4【点睛】此题考察利用余弦定理解三角形，属于根底题. 15.等差数列{}n a 中，13a =-，58115a a =，那么其前n 项和n S 的最小值为______．【答案】﹣4 【解析】 【分析】由题意结合等差数列的通项公式可得()()1134537d d -+=-+，求出2d =后，可得()224n S n =--，即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，58115a a =，13a =-，∴()()1134537d d -+=-+，解得2d =， ∴()()2132242n n n S n n -=-+⨯=--， ∴当2n =时，n S 的最小值为4-．故答案为：4-.【点睛】此题考察了等差数列根本量运算与前n 项和最值的求解，属于根底题. 16.数列{}n a 满足前n 项和232n S n n =-+，那么数列n a 的通项公式为_____________【答案】0,124,2n n a n n ⎧⎨-≥⎩＝＝【解析】 【分析】由中{}n a 前n 项和232n S n n =-+，结合1112n n n S n a S S n ，＝＝，-⎧⎨-≥⎩，分别讨论2n ≥时与1n =时的通项公式，并由1n =时，1a 的值不满足2n ≥时的通项公式，故要将数列{}n a 的通项公式写成分段函数的形式． 【详解】∵数列{}n a 前n 项和232n S n n =-+，∴当2n ≥时，22132[1312]24nn n a S S n n n n n -=-=-+----+=-（）（）），又∵当1n =时，110214a S ==≠⨯-，故0,124,2n n a n n ⎧⎨-≥⎩＝＝，故答案为0,124,2n n a n n ⎧⎨-≥⎩＝＝.【点睛】此题考察的知识点是等差数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n 项和S n ，求通项公式的方法1112n n n S n a S S n ，＝＝，-⎧⎨-≥⎩和步骤是解答此题的关键．三.解答题〔17题10分，18-22每一小题12分，一共70分〕17.某校学生社团组织活动丰富，学生会为理解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进展问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值〔百分制〕按照[40，50〕，[50，60〕，[60，70〕，…，[90，100]分成6组，制成如下列图频率分布直方图．〔1〕求图中x的值；〔2〕求这组数据的中位数；〔3〕现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80〕的学生中按分层抽样的方法抽取5人进展座谈理解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．【答案】〔1〕【解析】【分析】〔1〕由面积和为1，可解得x的值；〔2〕由中位数两侧的面积相等，可解得中位数；〔3〕列出所有根本领件一共10个，其中符合条件的一共4个，从而可以解出所求概率．【详解】解：〔1〕由〔0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x〕×10=1，解得x．〔2〕中位数设为m，那么0.05+0.1+0.2+〔m-70〕，解得m=75．〔3〕可得满意度评分值在[60，70〕内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2满意度评分值在[70，80〕内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组〞为事件A，根本领件有〔a1，a2〕，〔a1，b1〕，〔a1，b2〕，〔a1，b3〕，〔a2，b1〕，〔a2，b2〕，〔a2，b3〕，〔b1，b2〕，〔b1，b3〕，〔b2，b3〕一共10个，A包含的根本领件个数为4个，利用古典概型概率公式可知P〔A〕=04．【点睛】此题主要考察频率分布直方图，中位数和古典概型，属于根底题． 18.ABC ∆的内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，sin cos c B b C =．〔1〕求C ；〔2〕假设c=，b =ABC ∆的面积．【答案】〔1〕4π；〔2〕5. 【解析】 【分析】〔1〕根据正弦定理得sin sin sin cos C B B C =，化简即得C 的值；〔2〕先利用余弦定理求出a 的值，再求ABC ∆的面积．【详解】〔1〕因为sin cos c B b C =，根据正弦定理得sin sin sin cos C B B C =， 又sin 0B ≠，从而tan 1C =，由于0C π<<，所以4Cπ．〔2〕根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-，而c =，b =4Cπ，代入整理得2450a a --=，解得5a =或者1a =-〔舍去〕．故ABC ∆的面积为11sin 55222ab C =⨯⨯=． 【点睛】此题主要考察正弦余弦定理解三角形，考察三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题. 19.等差数列{}n a 满足1243102a a a a +=-=，.等比数列{}n b 满足2337b a b a ==，.(I)求数列{}n a 的通项公式;(II)设nn n c a b =+,求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】〔Ⅰ〕22na n =+；〔Ⅱ〕22324n n S n n +=++-.【解析】 【分析】(I)利用等差数列的通项公式即可求解. (II)由等比数列的通项公式求出11422n n nb -+=⨯=，再由数列分组求和即可求解.【详解】解:(I)在等差数列{}n a 中，由题意可知12102a d d +=⎧⎨=⎩解得142a d =⎧⎨=⎩22n a n ∴=+.(II)在等比数列{}n b 中，由题意可知121816b q b q =⎧⎨=⎩ 解得142b q =⎧⎨=⎩11422n n n b -+=⨯=∴, 1222n n c n +∴=++,22324n n n +=++-.【点睛】此题主要考察等差数列、等比数列的通项公式、分组求和，此题属于根底题.20.某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入x 〔万元〕与销售收入y 〔万元〕进展了统计，得到相应数据如下表：〔1〕求销售收入y 关于广告投入x 的线性回归方程y bx a =+．〔2〕假设想要销售收入到达36万元，那么广告投入应至少为多少.参考公式：()()()121niii ni i x x y y bx x∧==--=-∑∑，ˆˆ•a y bx =- 【答案】〔1〕71510ˆyx =+〔2〕30 【解析】 【分析】〔1〕由表中数据计算平均数和回归系数，求出y 关于x 的线性回归方程； 〔2〕利用回归方程令715361ˆ0yx =+≥，求出x 的范围即可． 【详解】〔Ⅰ〕由题意知，10,22,xy ==()()()()()222221101211223710212ˆ10b-⨯-+⨯+-⨯-+⨯-+⨯==++++则，72210151ˆ0a∴=-⨯=， ∴y 关于x 的线性回归方程为71510ˆy x =+.〔Ⅱ〕令715361ˆ0yx =+≥，那么30x ≥，即广告投入至少为30〔万元〕. 【点睛】此题考察了线性回归方程的求法与应用问题，是根底题． 21.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，ADC 60∠=，AB =4BD =.〔1〕求ABD ∆的面积. 〔2〕假设120BAC∠=，求sin C 的值.【答案】〔1〕〔2〕7【解析】 【分析】〔1〕先由余弦定理求得2AD =，再求出ABD ∆的面积；〔2〕利用正弦定理求出sin 14B =，再根据()sin sin 60CB =-求解.【详解】〔1〕由题意，120BDA ∠=， 在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos120AB BD AD BD AD =+-⋅⋅，即228164AD AD =++，所以2AD =或者6AD =-〔舍〕，∴ABD ∆的面积11sin 42222S DB DA ADB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=〔2〕在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD AB B BDA =∠，代入得sin 14B =，由B 为锐角，故cos B =，所以()21sin sin 60sin 60cos cos 60sin 7CB B B =-=-=. 【点睛】此题主要考察正弦定理余弦定理解三角形，考察三角函数求值，考察三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度. 22.等比数列{}n a 的公比2q，且31a +是2a 、4a 的等差中项.〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕设nn b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】〔1〕12nn a ；〔2〕()121n nS n =-⋅+.【解析】 【分析】〔1〕根据题中条件得出()32421a a a +=+，求出1a 的值，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式； 〔2〕求出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】〔1〕由题意可得()32421a a a +=+，即()11124128a a a +=+，解得11a =.因此，数列{}n a 的通项公式为1111122n n n n a a q ---==⨯=；〔2〕12n n n b na n -==⋅，01211222322n n S n -∴=⨯+⨯+⨯++⨯，()12121222122n n n S n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯， 上式-下式得()()012111222222212112n n nn n nSn n n -⨯--=++++-⨯=-⨯=-⋅--，因此，()121n nS n =-⋅+.【点睛】此题考察等比数列通项公式的求解，同时也考察了错位相减法，解题时要熟悉错位相减法对数列通项构造的要求，考察计算才能，属于中等题.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学开学检测
一、单项选择题（本题有10个小题，每小题4分，共40分）
1．下列运算正确的是（ ）
A ．3
36a
a a +=
B ．2()2a b a b +=+
C ．2
2
()ab ab
--= D ．6
24
a
a a
÷=
2．如果一个四边形ABCD 是中心对称图形，那么这个四边形一定是（ ） A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．平行四边形 3． 下面四个数中，最大的是（ ）
A ．
35-
B ．sin88°
C ．tan46°
D ．
2
1
5- 4．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．10
5．二次函数ｙ＝（2ｘ－1）2
＋2的顶点的坐标是（ ） A ．（1，2）
B ．（1，－2）
C ．（
2
1
，2）
D ．（－
2
1，－2）
6．足球比赛中，胜一场可以积3分，平一场可以积1分，负一场得0分，某足
球队最后的积分是17分，他获胜的场次最多是（ ） A ．3场 B ．4场 C ．5场 D ．6场
7． 如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，如果△CDE 的面积
为3，△BCE 的面积为4，△AED 的面积为6，那么△ABE 的面积为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8． 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 为⊙O 的直径，交BC 于点E ，
若DE ＝2，OE ＝3，则tanC·tanB ＝（ ）（特殊值法）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9
．方程
3120
x -=，当
0y ≤时，m
的取值范围是（） A ．4m ≤
B ． 04m ≥≥
C ．2m ≥
D ． 4m ≥
10．目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x 分钟后，水龙头滴出y 毫升的
水，请写出y 与x 之间的函数关系式是（ ）
第17题图
A 、y=0.05x
B 、y=5x
C 、y=100x
D 、y=0.05x+100
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．写出一条经过第一、二、四象限，且过点(1-，3)的直线解析式 .
12．一元二次方程ｘ2
＝5ｘ的解为 ．
13． 凯恩数据是按照某一规律排列的一组数据，它的前五个数是：
26
9
,177,21,53,21，按照这样的规律，这个数列的第8项应该是 ．
14．如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 是BC 延长线上一点，
∠ACD=150°，则∠B= ____ ．
15.已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图），则阴影部分面积是 cm 2
（结果保留π）．
16．如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙
（墙的长度不限）的矩形菜园
ABCD ，设AB 边长为
x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为
________________（要求写出自变量x 的取值范围）．
三、解答题(17题8分，18题12分19题16分)
17．计算：
01)32011(22
1
245cos 4)21(8--⨯÷-︒-+-
18．已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标.
19. 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出
y 与x 之间的函数表达式；
（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少?
A
B C
D
图1
菜园
墙。