2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第92讲极坐标常见题型解法

第92讲 极坐标常见题型解法
【知识要点】
一、在平面内取一个定点O 为极点，引一条射线OX 为叫做极轴，再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.对于平面内的点M ，设||OM =ρ，
θXOM =∠，称ρ、θ为点M 的极径、极角，有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标.
二、一般地0ρ≥，当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)ρθ建 立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应.极点的极坐标是(0,)θ，其中极角θ是任意角.
三、负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，当0ρ<时，点位于极角的终边的反向延长线上，且||||OM ρ=，(,)M ρθ可以表示为(,2)k ρθπ+，或(,(21))k ρθπ-++ ()k Z ∈
四、直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到：cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩ （求
点的直角坐标的公式），222tan x y y x ρθ⎧=+⎪
⎨=
⎪⎩
（求点的极坐标的公式）.
五、球坐标系：设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，连接OP ，记||OP r =，OP 与z 轴正向所夹的角为θ，P 在xOy 平面的射影为Q ，x 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中0r ≥，0θπ≤≤，02ϕπ≤<.空间点P 的直角坐标
),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：2222
sin cos sin sin cos x y z r x r y r z r θϕ
θϕθ
⎧++=⎪
=⎪⎨
=⎪⎪=⎩； 六、柱坐标系：设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，用(,)ρθ(0,02)ρθπ≥≤< 表示点在平面xOy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(,,)z ρθ，表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(,,)z ρθ叫点P 的柱坐标，其中0ρ≥，02θπ≤<，z R ∈，空间点P 的直角坐标
(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ之间的变换关系为：cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
.
【题型讲评】
【例1】点P 的极坐标为(2,)3
p ，则它的直角坐标为 .
【点评】把极坐标化成直角坐标时，要求我们对三角函数的诱导公式很熟练很准备，否则就有可能计
算出错.
如本题中的4sin
sin()sin 333ππ
ππ=+=-=，就要计算准确. 【反馈检测1
】若M 点的极坐标为2,6π⎛
⎫
--
⎪⎝
⎭
，则M 点的直角坐标是（ ） A ．()
B ．()1-
C ．)1-
D ．
)
【例2】点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3
π B ．(2,)3
π
-
C ．2(2,
)3
π
D ．(2,2),()3k k Z ππ+∈
【点评】这种题最容易出错的是极角的大小，必须向定位，后定量.本题中极角和(1-位置相同，
所以极角在第二象限，又tan θ=
=，所以极角2=.
3θπ 【反馈检测2】点()
3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫
⎝
⎛
3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-3,2π D ．⎪⎭⎫
⎝⎛-34,2π
【例3】 把方程x y +=.
【解析】 cos sin sin()4
x y p
r q r q q +\+=\
+=sin()14p
r q \+=.
【点评】把直角坐标方程化成极坐标方程时，一般要利用辅助角公式化简,以达到最简的目的. 【反馈检测3】已知圆的方程为22(1)1x y -+=，求该圆的极坐标方程.
【例4】极坐标方程cos ρθ=和参数方程⎩
⎨
⎧+=--=t y t
x 321 (t 为参数)所表示的图形分别为( )
A ．圆、直线
B ．直线、圆
C ．圆、圆
D ．直线、直线
【点评】把极坐标方程cos ρθ=化成直角坐标方程时，注意技巧，可以方程的两边同时乘以ρ，得到
2cos ρρθ=，这样便于代公式.
【反馈检测4】极坐标方程cos 20ρθ
=表示的曲线为（ ）
A ．极点
B ．极轴
C ．一条直线
D ．两条相交直线
【例5
】 在极坐标系中，圆C 过极点，且圆心的极坐标是()2
a ，(0a >)，则圆C 的极坐标方程是（ ） A ．2sin a ρ=-θ． B ．2sin a ρ=θ． C ．2cos a ρ=-θ． D ．2cos a ρ=θ．
【点评】本题选择的是第一种方法，先把所有的条件化成直角坐标，求出直角坐标方程，再把直角坐标方程化成极坐标.
【反馈检测5】已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x t y t
=⎧⎨
=⎩（t 为参数），曲线C
在点处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程. 【例6】在极坐标系中，已知圆C 的圆心)3
,4(π
C ，半径2r =，Q 点在圆C 上运动.
（I ）求圆C 的极坐标方程；
（II ）若P 在直线OQ 上运动，且:3:2OQ OP =，求动点P 的轨迹方程. 【解析】（I ）
设圆C 上任意一点(,)M ρθ，则在三角形OCM 中，由余弦定理得
)3
cos(||||2||||||222π
θ-
⋅-+=OC OM OC OM MC
即：)3
cos(421642
π
θρρ-
⨯⨯-+=
整理即可得圆C 的极坐标方程为：012)3
cos(82
=+-
-π
θρρ
（II ）设(,)P ρθ,00(,)Q ρθ，依题意可知：
⎪⎩
⎪⎨⎧==ρρθθ2300代入012)3cos(8002
0=+--πθρρ得012)3cos(238492=+-⨯-πθρρ
化简得：动点P 的轨迹方程为：048)3
cos(4892
=+-
-π
θρρ
【点评】本题就是选择的方法二求的曲线的极坐标方程.其中多涉及到解三角形的知识（正弦定理和余弦定理）.
【反馈检测6】在极坐标系中，已知圆C 的圆心4
C π
，）半径1r =,求圆C 的极坐标方程.
【例7】在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨=⎩
（ϕ为参数），以O 为极点x 轴的非负
半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3
π
ρθ+=射线:3
OM π
θ=
与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的
交点为Q ，求线段PQ 的长.
【点评】（1）极坐标可以和很多知识整合，整合最多的是解析几何.（2）本题的第二问比较巧妙，计算线段的长度时，没有计算两个端点的坐标，因为这样的计算量比较大. 直接用两个端点的极径之差来求线段的长度，因为两个端点的极角相等.
【反馈检测7】在直角坐标系xOy 中，直线:{
x tcos l y tsin αα
==（t 为参数， 0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
）与圆 22:2410C x y x x +--+=相交于点,A B ，以O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）求
11
OA OB
+的最大值．
【反馈检测8】已知在平面直角坐标系xoy中，圆C，以ox
为极轴建立极坐标系，直线l l被圆C所截得的弦长为．
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第92讲：
极坐标常见题型解法参考答案
【反馈检测1答案】A
【反馈检测1
详细解答】cos 2cos()6x π
ρθ==-⨯-=，sin 2sin()16
y π
ρθ==-⨯-=，则M 点的
直角坐标是()
.故选A . 【反馈检测2答案】C
【反馈检测2详细解答】22
2
=+=y x ρ,⎩⎨⎧-==3
sin 21cos 2θϑ,所以3-π
θ=，故选C.
【反馈检测3答案】2cos ρθ=
【反馈检测3详细解答】由题得222+202cos 02cos x y x ρρθρθ-=∴-=∴= 【反馈检测4答案】D
【反馈检测4详细解析】∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴222cos 20(cos sin )0ρθρθθ=⇒-=，即
220x y y x -=⇒=或y x =-，表示的是两条相交直线.所以选择D .
【反馈检测5答案】sin()26
π
ρθ+
=
【反馈检测6答案】2
-2(sin cos ) 1.ρρθθ+=-
【反馈检测6详细解析】方法一：设点(,)P ρθ，在OCP ∆中，，|CP |1=，|OP |ρ=，
，即2-2(sin cos ) 1.ρρθθ
+=-
方法二：圆C 的圆心为（1,1）
直角坐标方程为22(y 1) 1.+-=(x-1)
即2
2
2(x y)1x y +-+=-，将2
2
2
=,cos ,sin x y x y ρρθρθ+==代入上式， 得22(sin cos ) 1.ρρθθ-+=-
【反馈检测7答案】（1）22cos 4sin 1
0ρρ
θρθ--+=；（
2）
【反馈检测8答案】【反馈检测8详细解析】圆C 的普通方程为9)1()3(22=-+-y x ，直线l 的普通方程为 03=-y x ，圆心C 到直线l 的距离11
313=+-=
d ，则直线l 被圆C 所截得的弦长为24192222=-=-d r .。