2广义积分收敛判别法共32页
广义积分的收敛性与计算方法
广义积分的收敛性与计算方法广义积分是微积分中重要的概念之一，它在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
本文将讨论广义积分的收敛性以及一些计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、广义积分的定义广义积分是对一类具有特殊性质的函数进行积分的过程。
对于函数f(x)在区间[a, b]上的广义积分表示为：∫[a,b] f(x) dx其中积分的上下限可以是有限的实数或者无限，但函数f(x)在积分区间内必须满足一定的条件。
二、广义积分的收敛性广义积分的收敛性是指积分结果是否存在有限的极限。
根据函数f(x)在积分区间的性质，广义积分可以分为两类：绝对收敛和条件收敛。
1. 绝对收敛如果函数f(x)在积分区间内绝对可积，并且积分结果存在有限的极限，那么广义积分就是绝对收敛的。
绝对收敛的广义积分具有一些重要的性质，例如线性性、保号性和可积性。
2. 条件收敛如果函数f(x)在积分区间内可积，但在某些点上发散，那么广义积分就是条件收敛的。
条件收敛的广义积分存在一定的不确定性，因此在计算时需要特别注意。
三、广义积分的计算方法广义积分的计算可以使用不同的方法，取决于具体的函数和积分区间。
以下是广义积分常用的计算方法之一：1. 初等函数法如果被积函数f(x)是一个初等函数，即可以使用基本初等函数（例如指数函数、对数函数、三角函数等）和基本运算（例如加、减、乘、除）表示，那么可以直接通过对这个函数求导和积分，以及使用基本积分公式来计算广义积分。
2. 替换法替换法是一种常用的计算广义积分的方法。
当被积函数f(x)在积分区间内具有一定的特殊性质时，可以通过引入一个新的变量，将积分转化为一个更容易计算的形式，然后再进行求解。
3. 分部积分法分部积分法是一种常用的计算广义积分的方法之一。
根据分部积分公式，可以将一个积分转化为两项乘积的形式，从而简化计算过程。
4. 极限求和法极限求和法是对广义积分进行近似计算的一种方法。
通过将广义积分转化为一列定积分的和或差，并通过极限运算来逼近积分结果，可以得到一个近似值。
广义积分的收敛性
§2 广义积分的收敛性 主要知识点：广义积分及其敛散性概念；非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法； 一般函数广义积分收敛性的A be l 、Dilic hl et 判别法； 广义积分与级数的关系。
1、 讨论积分1121(1)[ln(1)]xe dx x αβ+∞--+⎰ 的敛散性。
解：211,x x xαβ→+∞ 时“分子”“分母” 。
2、 证明积分4201sin dxx x +∞+⎰ 收敛 。
10,02kkk k k k k kk I v v v πδπδπδδδ+--'↓=++≤=≤∑∑⎰⎰解：取则，其中 ，11(1)(1)42111()sin k k kkk k kk k k v k πδπδπδπδπδ+++-+-+++'=≤+⎰⎰ 。
431,k kvkδ=∑取则收敛；114433()0,k k kkM M v v kkπδδ+--''≤≤≤∑又可见也收敛。
3、 证明积分1223(1)(sin )dxxx +∞+⎰ 收敛 。
解：注意到(1)2233(sin )[sin()],n n nx x n I u πππ+=-==∑∑⎰故 ，由于22223210,1sinn nu dx un xππ≤≤+∑⎰故收敛。
4、 讨论积分的10sin 1cos xdx k x παα-+⎰敛散性 。
解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以为0,π瑕点，且当时分别x →∞与1111,()x x ααπ---同阶，故当时积分0α>收敛。
⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是0,π 。
11201I I I π=+=+⎰⎰k = 1时，将在点处展cos x π成Tayl o r 公式，可知与同阶1cos x +2()x π-。
于是仅当时1I 0α>收敛，2I 仅当时收敛0α<，从而原积分不收敛。
最新广义积分的收敛判别法
广义积分的收敛判别法第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在[a, +∞）上的广义积分«Skip收敛的充分必要条件是：«Skip Record If...», 存在A>0, Record If...»使得b, «Skip Record If...»>A时，恒有«Skip Record If...»使用柯西收敛原理立即证明：对«Skip Record If...»«Skip Record If...»得此结论．(«Skip Record If...»为瑕点), 我同样对瑕积分«Skip Record If...»们有定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a, b–«Skip Record If...»]上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是: «Skip Record If...», «Skip «Skip Record If...»Record If...», 只要0<«Skip Record If...»，就有«Skip Record If...»定义9.5如果广义积分«Skip Record If...»收敛，我们称广义积分«Skip Record If...»绝对收敛（也称f (x )在[a ,+«Skip Record If...»上绝对可积]; 如«Skip Record If...»收敛而非绝对收敛，则称«Skip RecordIf...»条件收敛，也称f (x )在[a ,+«Skip Record If...»上条件可积．由于«Skip Record If...»，均有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分«Skip Record If...»绝对收敛，则广义积分«Skip Record If...»必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分⎰+∞adx x f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b ,b '>A 时，恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )((b 为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a ,b –ε]上常义可积，则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是: 0>∀ε, 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9.5如果广义积分⎰+∞adx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞a dxx f )(收敛而非绝对收敛，则称⎰+∞adx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,，均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A Adx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞adxx f )(必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的,有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用,对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值。
对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 - 积分收敛,否则其结果毫无意义。
因此,判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9。
1(Cauchy 收敛原理）f （x ）在[a , +∞ ）上的广义积分⎰+∞adxx f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε， 存在A>0, 使得b ， b '>A 时，恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )((b 为瑕点）, 我们有定理9。
2(瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在［a ，b )上有定义，在其任何闭子区间[a ,b –ε]上常义可积,则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是： 0>∀ε， 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9.5如果广义积分⎰+∞a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰+∞adxx f )(绝对收敛（也称f （x )在[a ，+)∞上绝对可积］; 如⎰+∞adx x f )(收敛而非绝对收敛，则称⎰+∞adx x f )(条件收敛，也称f （x ）在［a ,+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,，均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A A dx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞adx x f )(必收敛．它的逆命题不一定成立,后面我们将会看到这样的例子。
广义积分的收敛判别法
ln x x
2019/4/26
b
1 4
1 4
x 0
x ln x x
3 4
1 4
1 x
3 4
据比较判别法2, 所给积分绝对收敛 .
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三、 函数
1. 定义
函数 : ( s ) x ( s 0 ) x ed
5
a t
lim x ) d x x ) d x f( f(
a
t
f( x ) d x 收敛 . 极限存在 , 即广义积分 a
若
a
f (x )d x发散 , 因为 t a时有
0 x ) d x ( x ) d x f( g
a a t t
3 2
2 的收敛性
.
x
1 1 1 1 2
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别广义积分
解:
x d x 的收敛性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x lim lim x2 1 2 2 x1 x x 1 x
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
0 , A a , 使 对 A , A A 都 有 0 0
|
A A
f (x)d x|.
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
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3
柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）， 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生 于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成
§2广义积分的收敛判别法ppt课件
令t, 可见广义 ag积 (x)dx分 必发 . 散
说明: 已知
a
1 xp
dx
收,敛 p1 (a0)
发,散p1
故常 g(x取 )xA p(A0)作比较 ,得函 下列比数 较判别法.
14.04.2020
.
6
定理4. (比较判别法 1) 设非负 f(x)函 C[a数 ,)
(a0).
1) 若存在常 M数 0, p1, 使对充分大的x有
§2 广义积分的收敛判别法
无穷限的广义积分 广义积分
无界函数的广义积分
一、无穷限广义积分的收敛判别法 二、无界函数广义积分的收敛判别法
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.
1
一、无穷限广义积分的收敛判别法
定理1. 设 f ( x ) C [ a , ) , 且 f ( x ) 0 ,若函数
x
F(x)a f (t)dt
思考题:
讨论广义积分
13
1 dx的收敛性 x3 1
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
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.
8
定理5. (极限判别法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
f (x)
则af(x)dx收敛 ;
M xp
2) 若存在常 N数 0, p1, 使对充分大的 x有
f
(x)
N xp
则af(x)dx发散 .
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.
7
例1.
判别广义积分
广义积分的收敛辨别法
上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发
现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但
因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者
常采用数值计算方法或 Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分
而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无
0 f (x) k(x), （k 为正常数）
则当
当
a
a
f
(
x)dx
(x)dx 发散时,
收敛时,
a
证明：由 Cauchy 收敛原理马上得结论成立．
对瑕积分有类似的结论判别法
a
(
f
(x)dx 也收敛;
x)dx
也发散．
定理 9.5 设 f(x), g(x) 均为[a,b)上的非负函数，b 为两个函数的奇点，
(x)dx 必收敛．
a
f
a
Hale Waihona Puke f(x)dx 条件收敛，也称
(x)dx 绝对收敛，则广义积分
它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及
性质．
法．
下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别
比较判别法：
定理 9.4（无限区间上的广义积分）设在[a,+ )上恒有
如存在一个正常数 k, 使
0 f (x) kg(x), x [a, b), 则
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
广义积分的收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分⎰+∞adxx f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )((b 为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a , b –ε]上常义可积，则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是: 0>∀ε , 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9.5如果广义积分⎰+∞a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰+∞adxx f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞a dx x f )(收敛而非绝对收敛，则称⎰+∞adx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,，均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A Adx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞adx x f )(必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法之答禄夫天创作上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不克不及直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采取，对这类问题计算工作者常采取数值计算方法或MonteCarlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy 收敛原理）f(x)在[a, +∞ ）上的广义积分⎰+∞adx x f )(收敛的充分需要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b,b '>A 时，恒有证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰ba dx x f )((b 为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a,b –ε]上常义可积，则瑕积分⎰badx x f )(收敛的充要条件是: 0>∀ε, 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有定义9.5如果广义积分⎰+∞a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰+∞a dx x f )(绝对收敛（也称f(x)在[a,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞adx x f )(收敛而非绝对收敛，则称⎰+∞a dx x f )(条件收敛，也称f(x)在[a,+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,，均有因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞adx x f )(必收敛．它的逆命题纷歧定成立，后面我们将会看到这样的例子。
对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法．比较判别法：定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a,+∞)上恒有),()(0x k x f ϕ≤≤（k 为正常数） 则当⎰+∞a dx x )(ϕ收敛时,⎰+∞a dx x f )(也收敛; 当⎰+∞a dx x f )(发散时,⎰+∞a dx x )(ϕ也发散． 证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立．对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5 设f(x), g(x)均为[a,b)上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使∈∀≤≤x x kg x f ),()(0[a,b), 则1） 如⎰badx x g )(收敛，则⎰badx a f )(也收敛。
§2广义积分的收敛判别法
的收敛性 .
解:
由比较判别法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论广义积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
的收敛性 .
可知原积分发散 .
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定理5. (极限判别法1)
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 1) 当p 1时, 根据极限定义, 对取定的
(1
1
x)2
1 (1 x2 )(1 k 2x2 )
x
则有: 1) 当
2) 当
例5.
判别广义积分
3
1
dx ln x
的敛散性
.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限判别法2 , 所给积分发散 .
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1
例6. 判定椭圆积分
dx
(k 2 1) 的收
0 (1 x2 )(1 k 2 x2 )
敛性 .
解: 此处 x 1为瑕点, 由于
解:
lim x2 x x
1 1 x2
lim
x
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
1 1
1 x2
1
3
例3. 判别广义积分
x2 1 1 x2
dx
的收敛性 .
解:
3
lim
x
x
1 2
1
x
2
x
2
lim x 1
x2 x
2
1
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
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§2广义积分的收敛判别法
s
xs1 exd x
0
0
s (s)
注意到: (1) n N , 有
0
e
x
d
x
1
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1)
n!(1)
2020/3/7
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(2) 当s 0时, (s) .
Dirichlet是Gauss的学生和继承人。他毕生敬仰Gauss.他说Gauss的讲课是“一 生所听过的最好，最难忘的课。”1855年，Gauss逝世后，他作为Gauss的继承者被哥 丁根大学聘为教授，接替Gauss原任的职务，直到逝世。
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数
的广义积分中来 .
2020/3/7
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利用
b
a (
x
1 a)
q
dx
收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
类似定理 4 与定理 5，有如下的收敛判别法.
当0 s 1时,
x s 1
ex
1 x1s
e1x
1 x1s
而1 s 1, 根据比较判别法2知I1 收敛.
2020/3/7
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I2
xs1 exd x
1
2) 讨论 I2 .
( x s 1
ex )
lim
广义积分与收敛性判定
广义积分与收敛性判定广义积分是微积分中的重要概念之一，它扩展了定积分的概念，用于求解某些无界函数的积分。
而广义积分的收敛性判定则是确定广义积分是否存在有限值的关键方法。
本文将介绍广义积分的定义、性质以及几种常见的收敛性判定方法。
一、广义积分的定义广义积分是对某些函数在无界区间上的积分进行推广，定义如下：设函数f(x)在区间[a, +∞)上有定义，如果对于任意的正数M，存在一个实数A使得当x ≥ A时，有1/(M(x)) ≤ f(x) ≤ 1/(N(x))成立（其中M(x)和N(x)是[x, +∞)上的两个函数），则称f(x)在区间[a, +∞)上绝对可积。
如果极限∫(x→+∞) f(x)dx存在，且与A的选取无关，那么称该极限为函数f(x)在区间[a, +∞)的广义积分，记作∫[a, +∞) f(x)dx。
二、广义积分的性质广义积分具有线性性、区间可加性和保号性等性质，使得我们可以进行算术操作和区间分割来计算广义积分。
具体性质如下：（1）线性性质：对于任意实数α和β，以及可积函数f(x)和g(x)，有∫[a, +∞) [αf(x) + βg(x)]dx = α∫[a, +∞) f(x)dx + β∫[a, +∞) g(x)dx。
（2）区间可加性：对于可积函数f(x)，如果a ≤ c ≤ b，那么∫[a, b) f(x)dx = ∫[a, c) f(x)dx + ∫[c, b) f(x)dx。
（3）保号性：如果对于区间[a, +∞)上的可积函数f(x)，有f(x) ≥ 0成立，则∫[a, +∞) f(x)dx ≥ 0。
三、收敛性判定方法确定广义积分的收敛性是对其进行求解的重要步骤。
下面介绍几种常见的收敛性判定方法。
（1）比较判定法：设在区间[a, +∞)上，函数f(x)和g(x)满足0 ≤ f(x) ≤ g(x)，如果∫[a, +∞) g(x)dx收敛，则∫[a, +∞) f(x)dx也收敛；如果∫[a, +∞) f(x)dx发散，则∫[a, +∞) g(x)dx也发散。
广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法【2 】上一节我们评论辩论了广义积分的盘算, 在现实运用中,我们将发明大量的积分是不能直接盘算的,有的积分固然可以直接盘算,但因为进程太庞杂,也不为盘算工作者采用,对这类问题盘算工作者常采用数值盘算办法或MonteCarlo 办法求其近似值. 对广义积分而言,求其近似值有一个先决前提 — 积分收敛,不然其成果毫无意义. 是以,断定一个广义积分收敛与发散是异常主要的．定理9.1（Cauchy 收敛道理）f(x)在[a, +∞ ）上的广义积分⎰+∞adx x f )(收敛的充分必要前提是：0>∀ε, 消失A>0, 使得b, b '>A 时,恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证实：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 运用柯西收敛道理立刻得此结论．同样对瑕积分⎰badx x f )((b 为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛道理）设函数f(x)在[a,b)上有界说,在其任何闭子区间[a,b –ε]上常义可积,则瑕积分⎰badx x f )(收敛的充要前提是: 0>∀ε, 0>∃δ, 只要0<δηη<</,就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f界说9.5假如广义积分⎰+∞adx x f |)(|收敛,我们称广义积分⎰+∞a dx x f )(绝对收敛（也称f(x)在[a,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞adx x f )(收敛而非绝对收敛,则称⎰+∞a dx x f )(前提收敛,也称f(x)在[a,+)∞上前提可积． 因为a AA ≥∀/,,均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A A dx x f是以,由Cauchy 收敛道理,我们得到下列定理． 定理9.3假如广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛,则广义积分⎰+∞a dx x f )(必收敛．它的逆命题不必定成立,后面我们将会看到如许的例子.对其它情势的广义积分,相似地有绝对收敛及前提收敛的界说及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时,广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：定理9.4（无穷区间上的广义积分）设在[a,+∞)上恒有),()(0x k x f ϕ≤≤（k 为正常数） 则当⎰+∞adx x )(ϕ收敛时,⎰+∞a dx x f )(也收敛;当⎰+∞adx x f )(发散时,⎰+∞a dx x )(ϕ也发散．证实：由Cauchy 收敛道理立时得结论成立． 对瑕积分有相似的结论判别法定理9.5 设f(x), g(x)均为[a,b)上的非负函数,b 为两个函数的奇点,如消失一个正常数k, 使∈∀≤≤x x kg x f ),()(0[a,b), 则 1）如⎰b a dx x g )(收敛,则⎰badx a f )(也收敛.2）如⎰badx x f )(发散,则⎰ba dx x g )(也发散．比较判别法在现实运用时,我们常常用下列极限情势．定理9.6 假如f(x), g(x)是[a,+)∞上的非负函数, 且,)()(liml x g x f x =+∞→则 (1) 假如+∞<≤l 0, 且⎰+∞a dx x g )(收敛, 则积分⎰+∞a dx x f )(也收敛． (2) 假如+∞≤<l0, 且⎰+∞a dx x g )(发散,则积分⎰+∞a dx x f )(也发散．证实：假如,0)()(lim≠=∞→l x g x f x 则对于)0(0>->εεl , 消失A, 当A x≥时, εε+<<-≤l x g x f l )()(0即)()()()()(x g l x f x g lεε+<<-成立. 显然⎰+∞adx x f )(与⎰+∞a dx x g )(同时收敛或同时发散,在l=0或 l=∞时,可相似地评论辩论. 运用同样的办法,我们有定理9.7 对以b 为独一瑕点的两个瑕积分⎰badx x f )(与⎰ba dx x g )(假如f(x), g (x) 长短负函数,且,)()(lim l x g x f bx =-→则 （1） 当+∞<≤l 0, 且⎰badx x g )(收敛时,则⎰badx x f )(也收敛． （2） 当+∞≤<l 0,且⎰badx x g )(发散时,则⎰badx x f )(也发散．对无穷区间上的广义积分中,取⎰∞+ap dx x1作比较标准,则得到下列Cauchy 判别法：设f(x)是[a,+)∞的函数,在其随意率性闭区间上可积,那么:定理9.8 若0≤f(x)≤pxc, p>1,那么积分⎰+∞adx x f )(收敛,如f(x)≥p xc,p ≤1,则积分⎰+∞adx x f )(发散．其极限情势为定理9.9 如+∞→x lim l x f x p=)((+∞<≤l 0, p>1), 则积分⎰+∞a dx x f )(收敛．如∞→b liml x f x p=)(,而+∞≤<l 0,p ≤1, 则⎰+∞a dx x f )(发散.例9.8 断定下列广义积分的收敛性.(1)⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x (2)⎰∞++11dx xx nm(m>0, n>0) 解：（1）因为0x x +-+≤11)11ln(=+-≤x x 11121)1(1x x x ≤+由⎰∞+121dx x 收敛推出⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x 收敛． （2）因为+∞→x lim ,11=+-n mmn xx x 所以当n －m>1时,积分⎰∞++11dx x x n m 收敛. 当n －m ≤1时,积分⎰∞++11dx xx nm发散． 对于瑕积分,运用⎰-bapdx a x )(1作为比较标准,我们有下列柯西判别法． 定理9.10 设x=a 是f(x)在[a,b )上的独一奇点,在其随意率性闭区间上可积,那么（1） 如0≤f(x)≤p a x c)(- (c>0), p<1, 则⎰badx x f )(收敛．（2） 如f(x)≥pa x c)(- (c>0), p ≥1, 则⎰badx x f )(发散．瑕积分的Cauchy 断定法的极限情势为 定理9.11 设kx f a x p a x =-+→)()(lim如0≤k<∞, p<1, 则⎰badx x f )(收敛如0<k ≤∞, p ≥1, 那么⎰ba dx x f )(发散．例9.9 判别下列瑕积分的敛散性. (1)⎰--10222)1)(1(x k x dx(k2<1)(2)⎰2cos sin πxx dxqp (p,q>0) 解：（1）1是被积函数的独一瑕点因为 -→1limx )1)(1()1(22221x k x dx x --- =+∞<-)1(212k由21=p 知瑕积分收敛． （2）0与2π都是被积函数的瑕点．先评论辩论,cos sin 4⎰πx x dx q p 由+→0lim x 1cos sin 1=xx x q p p知: 当p<1时, 瑕积分⎰40cos sin πx x dx q p 收敛; 当p ≥1时,瑕积分⎰40cos sin πxx dx q p 发散． 再评论辩论 ⎰24cos sin ππx x dxq p 因-→2lim πx 1cos sin 1)2(=-x x x q p pπ所以当 q<1时, 瑕积分⎰24cos sin ππx x dxq p 收敛, 当q ≥1时,瑕积分⎰24cos sin ππx x dxq p 发散． 综上所述,当p<1且q<1时, 瑕积分⎰20cos sin πxx dxqp 收敛; 其他情况发散． 例9.10 求证: 若瑕积分⎰1)(dx x f 收敛,且当+→0x 时函数f(x)单调趋势于+∞,则+→0lim x x f(x)=0. 证实：不妨设]1,0(∈∀x , f(x)≥0, 且f(x)在(0, 1)上单调削减.已知⎰10)(dx x f 收敛,由柯西收敛准则,有0>∀ε, 0>∃δ(δ<1), δ<<∀x 0有,)(2ε<⎰xxdt t f从而0<)(2x f x≤ε<⎰x x dt t f 2)( 或0<x f(x)ε2<即+→0lim x x f(x)=0. 例9.11 求证瑕积分⎰-10)]cos 1([1dx x x λ(λ>0), 当λ<31时收敛 当λ31≥时发散.证实:∵+→0lim x λλ)]cos 1([3x x x -=+→0limx λλλ⎪⎭⎫ ⎝⎛-233cos 1x x x x =+→0lim x λλ2cos 112=⎪⎭⎫⎝⎛-x x所以当3λ<1时,即λ<31时,瑕积分收敛．当3λ≥1,即λ≥31时,瑕积分发散．前面评论辩论的长短负函数的反常积分的收敛性,为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行评论辩论,我们先给出下面的主要成果．定理9.12（积分第二中值定理）设g(x)在[a,b]上可积,f(x)在[a,b]上单调,则消失ξ∈[a,b] 使⎰badx x g x f )()(=⎰⎰+ξξa a dx x f b g dx x f a g )()()()(为了证实定理9.12,我们先评论辩论下列特别情况．引理9.1设f(x)在[a,b]上单调降低并且非负,函数g(x)在[a,b]上可积,则消失c ∈[a,b],使⎰badx x g x f )()(=f(a)⎰ca dx x g )(证实：作帮助函数)(x ψ= f(a),)(⎰xa dt t g 对[a,b]的任一分法P: a=x0<x1<x2<…<xn=b我们有⎰badx x g x f )()(=dx x g x f ni x x ii )()(11∑⎰=-由此得到|⎰badx x g x f )()(－dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--|=|dx x g x f x f i ni x xii )()]()([111-=-∑⎰-|≤dx x g x f x f i ni x x ii |)(||)()(|111-=-∑⎰-≤)(1f L ni i ∑=ω△xi这里L 是|g(x)|在[a,b]的上界,)(f w i 是)(x f 在[]i i x x ,1-上的振幅,从这个估量式可知,当P 0→时,应该有dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--→⎰ba dx x g x f )()(我们来证实≤∈)(min ],[x b a x ψdx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--)(max ],[x b a x ψ∈≤为此,引入记号 G(x)=⎰xa dt t g )(并作如下变换dx x g x f ni x xi ii )()(111∑⎰=--=)]()([)(111-=--∑i i ni i x G x G x f=-∑=-)()(11i n i i x G x f )()(111-=-∑i ni i x G x f=-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(1i n i i x G x f ∑-==-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(11i n i i x G x f ∑-= （0)()(0==a G x G ）=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f因为0)()(1≥--i i x f x f , )(n x f 0≥,所以dx x g x f ni x xi ii )()(111∑⎰=--=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f≥{)(])()([11n ni i i x f x f x f +-∑=-})(min ],[x G b a x ∈=)(min )(],[x G a f b a x ∈同样可证dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max )(],[x G a f b a x ∈我们证清楚明了不等式)(min )(],[x G a f b a x ∈≤dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max )(],[x G a f b a x ∈即)(min ],[x b a x ψ∈≤dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max ],[x b a x ψ∈现令|p|0→, 取极限,就得到)(min ],[x b a x ψ∈≤⎰ba dx x g x f )()(≤)(max ],[x b a x ψ∈是以,消失c ∈[a,b],使得)(c ψ=⎰ba dx x g x f )()(（因为)(x ψ在［b a ,］上是持续函数）也就是⎰badx x g x f )()(=⎰ca dx x g a f )()(证毕下面我们证实定理9.12证实：如f(x)是单调降低的,则f(x)－f(b)单调降低且非负,由引理12.2.1知,消失c ∈[a,b ), 使⎰-b a dx x g b f x f )()]()([=⎰-ca dx x gb f x f )()]()([即⎰badx x g x f )()(=,)()()()(⎰⎰+bc c a dx x g b f dx x g a f对f(x)单调上升的情况,可作相似评论辩论.运用积分第二中值定理,我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法 定理9.13 若下列两个前提之一知足,则⎰+∞adx x g x f )()(收敛（1）（Abel 判别法）⎰+∞adx x f )(收敛,g(x)在[a,∞]上单调有界;（2）（Dirichlet 判别法）设F(A)=⎰Aadx x f )(在[a,∞]上有界,g(x)在[a,)∞上单调, 且+∞→x lim g(x)=0.证实：（1）0>∀ε, 设|g(x)|≤M,∈∀x [a,∞), 因⎰+∞a dx x f )(收敛,由Cauchy 收敛道理,a A ≥∃0, 使01,A A A ≥∀时, 有Mdx x f A A 2|)(|1ε<⎰由积分第二中值定理,我们得到|)()(|1⎰A A dx x g x f ≤+⋅⎰|)(||)(|ξA dx x f A g |)(||)(|11⎰⋅A dx x f A g ξ≤+⋅⎰|)(|ξA dx x f M |)(|1⎰⋅A dx x f M ξ≤2ε+2ε=ε 再由Cauchy 收敛道理知⎰+∞adx x g x f )()(收敛(2) 设M 为F(A)在[a,+)∞上的一个上界,则a A A ≥∀1,, 显然有M dx x f A A 2|)(|1<⎰同时, 因为+∞→x lim g(x)=0,所以消失a A ≥0, 当x>A0时, 有g(x)|<M4ε于是,对01,A A A ≥∀有≤⎰|)(|1A A dx x f +⋅⎰|)(||)(|ξA dx x f A g |)(||)(|11⎰⋅A dx x f A g ξ≤+⋅|)(|2A g M |)(|21A g M ⋅≤2ε+2ε=ε 由Cauchy 收敛道理知⎰+∞adx x g x f )()(收敛例9.12 评论辩论广义积分⎰∞+1cos dx xx的敛散性, 解：令f(x)=x1, g(x)=cosx则当x +∞→时,f(x)单调降低且趋于零, F(A)=⎰Axdx 1cos =1sin sin -A 在[a,∞)上有界．由Dirichlet 判别法知⎰∞+1cos dx xx收敛, 另一方面≥x x |cos |=x x 2cos xx22cos 1+因⎰∞+121dx x 发散,⎰∞+122cos dx xx 收敛 从而非负函数的广义积分⎰∞+122cos dx xx发散 由比较判别法知⎰∞+1|cos |dx xx 发散, 所以⎰∞+1cos dx xx前提收敛 例9.13 评论辩论广义积分⎰∞+1arctan cos xdx xx的敛散性． 解：由上一题知,广义积分⎰∞+1cos dx xx收敛, 而arctanx 在[a, +∞)上单调有界,所以由Abel 判别法知⎰∞+1arctan cos xdx xx收敛. 另一方面, 当),3[∞+∈x 时, 有|arctan cos |x x x ≥|cos |xx 前面已证⎰∞+1|cos |dx xx 发散 由比较判别法知⎰∞+1|arctan cos |dx x x x 发散, 所以⎰∞+1arctan cos dx xx x 前提收敛.对瑕积分也有下列情势的Abel 判别法和Dirichlet 判别法 定理9.14若下列两个前提之一知足,则⎰badx x g x f )()(收敛：（b 为独一瑕点）（1）（Abel 判别法）⎰badx x f )(收敛, g(x)在[a,b )上单调有界(2) (Dirichlet 判别法) )(ηF =⎰-ηb adx x f )(在[a,b )上有界, g(x) 在(],0a b -上单调, 且0)(lim =-→x g bx . 证实: (1) 只须用第二中值定理估量⎰--/)()(ηηb b dx x g x f读者可以模仿定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的证实. (2) 读者可以模仿定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的证实.例9.14 评论辩论积分 ⎰101sin dx x x p(0<p ≤2) 的敛散性 解: 对于0<p<1 , 因为p p x x x 11sin≤ 由⎰11dx xp 收敛知 ⎰11sin dx x x p绝对收敛敛对于0≤p<2, 因为函数f(x) =px-2, 当+→0x时单调趋于0, 而函数g(x)=21sin x x 知足2|1cos 1cos |1sin 1≤-≤⎰ηηdx xx p所以积分⎰11sindx x x p ⎰-=10221sindx x x x p 收敛.但在这种情况下,dx x x p⎰11sin 是发散的,事实上由pp p p x x x x x x x 22cos211sin 1sin 2-=≥ 因⎰1021dx x p发散, ⎰1022cos dx x x p 收敛, 知dx x x p ⎰101sin 发散 从而当0≤p<2时, 积分前提收敛. 最后我们评论辩论p=2的情况, 因为⎰121sinηdx x x n1cos 1cos -= 当+→0η时, 上式无极限, 所以积分⎰1021sin dx x x 发散. 值得留意的是, 两种广义积分之间消失着亲密的接洽, 设⎰badx x f )(中x=a 为f(x)的瑕点, 作变换y=a x -1, 则有 ⎰b adx x f )(=⎰∞+-+ab dy yya f 12,)1(尔后者是无穷区间上的广义积分.习题 9.21、 论下列积分的敛散性（包括绝对收敛, 前提收敛, 发散）(1)⎰∞+2sin ln ln ln xdx xx; (2)⎰+∞02sin dx x ;(3)⎰222sin cos 1πdx xx ; (4)⎰-121ln dx x x ; (5)⎰---1011ln )1(xdx x xq p ;(6))0,(ln 111>-⎰--q p dx xx x q p ;(7)⎰∞++01dx xx qp ; (8)⎰+∞--01dx e x x p ; (9)⎰∞+-+0211dx xx p ; (10)⎰∞+0sin 2sin dx x xe px ; (11))0(1sin 1≥+⎰∞+p dx xxx pq ;(12))0()1sin(0>+⎰∞+p dx x x x p．2．证实：若瑕积分⎰1)(dx x f 收敛, 且当+→0x 时, 函数f(x)单调趋于+∞, 则+→0lim x x f(x)=0． 3. 若函数f(x)在),[+∞a 有持续导数f/(x), 且无穷积分⎰+∞adx x f )(与⎰+∞adx x f )(/都收敛, 则+∞→x lim f(x)=0．4. 设f(x)在),[+∞a 上可导,且单调削减,+∞→x limf(x)=0, 求证:⎰+∞adx x f )(收敛 ⇔⎰+∞adx x xf )(/收敛．5. 证实：若函数f(x)在),[+∞a 上一致持续, 且无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛, 则+∞→x lim f(x)=0．6. 求证： 若无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛, 函数f(x)在),[+∞a 内单调, 则f(x)=o(x1)．7. 盘算下列广义二重积分的值．(1)⎰⎰Dqp yx dxdy,个中D={}|1,1|),(>≥x xy y x ; (2)⎰⎰≤+≤--1022221y x yx dxdy ;(3)dxdy ey x ⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-)(22, 并由此证实π112=⎰+∞∞--dx ex .8.评论辩论下列广义重积分的敛散性． (1)dxdy y x y x a ap ⎰⎰-00||),(ϕ, My x m ≤≤<|),(|0ϕ;(2)dxdy xy y x y x py x )(),(22122++⎰⎰≤+ϕM y x m ≤≤<|),(|0ϕ．。