柯西不等式的应用技巧修订稿
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧一、求解极值问题∫[a,b] f(x)g(x)dx ≤ √[∫[a,b] f^2(x)dx] * √[∫[a,b]g^2(x)dx]，其中等号成立来自于两个函数的线性相关性。
利用柯西不等式，我们可以求解函数的最大值和最小值。
以求解函数f(x)=x(1-x)在区间[0,1]上的极值为例，我们可以将f(x)表示为f(x)=x-x^2，进而应用柯西不等式得到：∫[0,1] x(1-x) dx ≤ √[∫[0,1] x^2 dx] * √[∫[0,1] (1-x)^2 dx]=√[1/3]*√[1/3]=1/3所以函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为1/3二、求解积分问题以求解积分∫[0,1] (x^2 + 1) dx为例，我们可以构造一个辅助函数g(x) = 1，然后应用柯西不等式得到：∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √[∫[0,1] (x^2 + 1)^2 dx] *√[∫[0,1] 1^2 dx]计算得到：∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √[∫[0,1] (x^4 + 2x^2 + 1) dx] *√[1]=√[1/5+2/3+1]=√[(5+10+15)/15]=√[2]所以∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √2三、求解概率问题以证明概率分布函数的Cauchy-Schwarz不等式为例，假设X和Y是两个随机变量，它们的概率分布函数分别为f(x)和g(x)。
根据柯西不等式，我们有：E(XY)^2≤E(X^2)E(Y^2)，其中E(表示期望。
通过柯西不等式，我们可以证明两个随机变量的相关系数的上限为1、若X和Y的相关系数为ρ，则根据定义有：ρ = Cov(X,Y) / (σ(X)σ(Y))其中Cov(X,Y)表示X和Y的协方差，σ(X)和σ(Y)表示X和Y的标准差。
我们可以利用柯西不等式证明：ρ，≤1四、其他应用总结起来，柯西不等式是一个在线性代数中非常有用的工具。
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式是指对于凸的函数f的任何实数可以进行如下不等式的谓词：f(x) ≤ f(y) + f'(y)*(x-y)，这里f'(y)表示y点处函数f的导数。
柯西不等式可以
用来推断函数f在任何给定点处拥有特定属性，其特性更适用于凸函数。
柯西不等式可以用于求凸函数的极值，其可以把函数的极值分解为一系列的数
学运算，只有当所有的函数值都子满足柯西不等式的限制时，才能够换取到函数的极值。
柯西不等式其极大值点和极小值点也可以由其求出，而不需要考虑函数可能存在的复杂变化。
柯西不等式可以用来求解优化问题，可以把未知数量和变量映射到相应的函数，如果不满足柯西不等式，则可以构建一个优化问题求解未知变量，此时优化问题可以被视为最小化或最大化某一函数。
柯西不等式可以确保求解的可行性，同时可以加快优化的速度，将复杂的多变量求解转变为更简单的一维求解。
柯西不等式广泛应用于概率计算。
在概率论中，可以根据柯西不等式计算出概
率变量以及其相关的定义域范围，这允许概率论家以可视化的方式解决复杂的统计问题。
换句话说，只要满足某种柯西不等式，这些分析问题就可以被解决，比如联合概率分布，条件概率分布等。
总而言之，柯西不等式是一种极其重要的基础工具，其可用于求凸函数的极值，求解优化问题，甚至在概率计算上也有极大的作用。
柯西施瓦茨不等式的应用
柯西施瓦茨不等式的应用柯西施瓦茨不等式是数学中一种重要的不等式，具有广泛的应用。
它得名于法国数学家柯西和德国数学家施瓦茨，被广泛应用于线性代数、概率论、几何学等多个领域。
本文将介绍柯西施瓦茨不等式的数学表达形式，以及它在不同领域的应用。
一、柯西施瓦茨不等式的数学表达形式柯西施瓦茨不等式的最基本形式如下：对于实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + an²)(b₁² + b₂² + ... + bn²)其中等号成立的条件是两个向量之间存在线性依赖关系。
这一不等式可以用向量的内积来表示，形式如下：|<a, b>|² ≤ <a, a> • <b, b>其中，a和b是n维向量，<a, b>代表a和b的内积。
二、柯西施瓦茨不等式在线性代数中的应用柯西施瓦茨不等式在线性代数中被广泛应用。
其中一个重要的应用是证明向量的正交性。
如果两个向量的内积等于零，那么它们就是正交的。
这可以通过柯西施瓦茨不等式来证明。
另一个应用是证明向量的长度和内积之间的关系。
根据柯西施瓦茨不等式，两个向量的内积的绝对值小于等于两个向量的长度的乘积。
这意味着向量的长度越大，它们之间的内积的绝对值就越大。
三、柯西施瓦茨不等式在概率论中的应用柯西施瓦茨不等式在概率论中也有重要的应用。
在概率论中，两个随机变量的协方差可以通过柯西施瓦茨不等式来估计。
协方差描述了两个随机变量之间的线性关系。
柯西施瓦茨不等式告诉我们，两个随机变量的协方差的绝对值小于等于它们的标准差的乘积。
这为我们估计随机变量之间的相关性提供了一个重要的工具。
四、柯西施瓦茨不等式在几何学中的应用柯西施瓦茨不等式在几何学中也有广泛的应用。
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柯西不等式的证明及相关应用摘要 ：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容，也是高中数学的一个重要知识点， 它不仅历史悠久， 形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词 ：柯西不等式柯西不等式变形式 最值一、柯西（ Cauchy ）不等式：a 1b 1 a 2 b 2 a n b n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22 b n 2 a i ,b i R, i 1,2 n等号当且仅当 a 1 a 2 a n0 或 b ika i 时成立（ k 为常数， i 1,2n ）现将它的证明介绍如下：方法 1 证明：构造二次函数f ( x) a x b 2a x b2a x b21122nn= a 12 a 22a n 2 x 2 2 a 1b 1 a 2 b 2a nb n x b 12 b 22b n 2由构造知f x0 恒成立又 Q a 12 a 22 L a n n4 a 1b 1 a 2 b 2a nb n 2 4 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22b n 2即 a 1b 1a 2b 2a nb n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22b n 2当且仅当 a i xb i 0 i 1,2n即a1a 2 L a n 时等号成立b 1b 2 b n方法 2证明 :数学归纳法（ 1） 当 n 1 时左式 = a 1b 1 22右式 =a 1b 1显然左式 =右式当 n2 时a 12 a 22b 12 b 22a 1b 1 2 a 2 b 22a 12b 22右式a 22b 12222a a bb2 左式a ba b2a b a b1 12 212 1 1 222故 n 1,2时 不等式成立（ 2）假设 n k k, k 2 时，不等式成立即 a 1b 1 a 2 b 2 a k b k2a 12 a 22a k 2b 12 b 22b k 2当 b i ma i ， m 为常数， i 1,2 k 或 a 1a 2 L a k0 时等号成立设 A= a 12 a 22a k 2B= b 12 b 22b k 2C a 1b 1 a 2b 2 L a k b kAB C 2则 A a k21 B b k21 AB Ab k21 Ba k21 a k21b k21C 2 2Ca k 1b k 1 a k2 1b k2 1C 2ak 1bk 1a12 a22 L a k2 a k2 b12 b22 L b k2 b k21 a1b1 21 a2b2Lakbkak 1bk 1当b i ma i，m为常数， i 1,2 k 1 或 a1 a2 a k 1时等号成立即n k 1时不等式成立综合（ 1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧柯西不等式是高等数学中一种重要的不等式，广泛应用于数学分析、线性代数、概率论等领域。
它由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出，被认为是不等式理论的巅峰之作。
柯西不等式的应用技巧有很多，下面主要介绍其中的几种常见应用。
一、向量长度的柯西不等式推导给定n维实向量x=(x1,x2,...,xn)和y=(y1,y2,...,yn)，那么它们的内积满足如下不等式：(x,y)，≤√((x,x)·(y,y))其中(x,y)表示x和y的内积，(x,x)为x的长度平方，(y,y)为y的长度平方。
这个不等式可以通过Cauchy-Schwarz求平方法来证明。
应用技巧：1.在证明向量长度之间的不等式时，可以使用柯西不等式进行推导。
2.可以利用柯西不等式来估计向量长度之间的关系。
二、几何中的柯西不等式给定平面上的两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，那么它们的内积满足如下不等式：a·b，≤，a，·，b其中a·b表示a和b的内积，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。
应用技巧：1.可以使用柯西不等式来推导平面上向量的夹角关系。
2.可以利用柯西不等式来证明平面上的几何定理。
三、数列的柯西不等式给定两个数列a=(a1,a2,...,an)和b=(b1,b2,...,bn)，那么它们的内积满足如下不等式：∑(ak·bk)，≤ √(∑(ak^2)·∑(bk^2))其中ak·bk表示ak和bk的乘积，∑(ak·bk)表示乘积的和，ak^2表示ak的平方，∑(ak^2)表示平方的和。
应用技巧：1.可以利用柯西不等式来证明数列的性质，例如数列的单调性、有界性等。
2.可以将柯西不等式应用于数学问题的解法中，寻找合适的数列。
四、概率论中的柯西不等式给定两个随机变量X和Y，它们之间的相关系数满足如下不等式：E(XY)，≤√(E(X^2)·E(Y^2))其中E(XY)表示X和Y的期望值，E(X^2)和E(Y^2)分别表示X和Y的平方的期望值。
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式（CauchyInequality）在数学中是一种常见的不等式，它表示两个实数乘积的平方和大于或等于它们的乘积。
即a+b≥2ab，柯西不等式也可以写成a+b≥ab。
在中学数学中，柯西不等式可以用来解决多种问题，比如：
一、计算平方和
用柯西不等式可以很容易的计算出一个实数的平方和。
假设我们有一个数列 1,2,3,4,5，我们可以使用柯西不等式来计算它们的平方和。
首先，我们可以将其分解成两部分，1+2+3+4+5=（1+2+3）（1+2+3）+4+5，由柯西不等式可知，（1+2+3）（1+2+3）≥9，所以1+2+3+4+5≥9+4+5，因此，1+2+3+4+5≥55，也就是说，它们的平方和至少是55。
二、求实数的最大值
用柯西不等式也可以求得实数的最大值。
假设有一组数a,b,c,它们的乘积是abc，对于这组数，柯西不等式可以写成a+b+c≥abc，其中abc是给定值。
为了得到a,b,c的最大值，我们可以用微积分法，求解柯西不等式的最大值，得到的结果就是a,b,c各自的最大值。
三、求两个数之间的最小值
用柯西不等式也可以求得两个实数之间的最小值。
假设有两个实数a和b，a+b=k，那么柯西不等式可以写成a+b≥2ab，由此可以得到a+b≥2k(1/2)，其中2k(1/2)=k，也就是说，两个实数之间的最小值至少是k。
以上就是柯西不等式在中学数学中的应用，它可以用来计算实数的平方和、求实数的最大值以及求两个数之间的最小值。
柯西不等式在中学数学中被频繁使用，它让一些复杂的问题变得简单，也为数学发展做出了重要贡献。
三角形的柯西不等式及其应用
三角形的柯西不等式及其应用柯西不等式是数学中常用的一种不等式，它有助于我们理解和解决各种问题。
在本文中，我们将研究三角形的柯西不等式及其应用。
无论是求解三角形的边长、角度还是面积等问题，都可以通过柯西不等式来简化计算和推导过程。
柯西不等式是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出的。
它的数学表达式为：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2该不等式既适用于实数，也适用于复数。
首先，让我们来看看三角形的柯西不等式如何应用于求解边长问题。
假设我们有一个三角形ABC，已知边长分别为a, b, c，我们可以应用柯西不等式来推导出一些关系式。
首先，我们取向量AB和向量AC，分别表示为向量a和向量b。
根据柯西不等式，我们可以得到：|a·b| ≤ |a|·|b|其中，|a·b|表示向量a和向量b的内积。
由于两向量的模值等于边长，我们可以将不等式改写为：ab·cos(C) ≤ ab这意味着cos(C) ≤ 1，从而得出结论，对于任意三角形ABC，cos(C) ≤ 1。
这是显然成立的，因为cos(C)表示角C的余弦值，其取值范围为[-1, 1]。
接下来，我们可以利用柯西不等式来推导三角形的角度之间的关系。
假设我们已知三角形的边长为a, b, c，角A, B, C对应的边长分别为a, b, c，则根据余弦定理，我们可以得到以下等式：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cos(B) = (c^2 + a^2 - b^2) / (2ca)cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)将这三个等式代入柯西不等式的左边，我们可以得到：[(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2)] / [(2bc)(2ca)(2ab)] ≤ (cos(A))^2 + (cos(B))^2 + (cos(C))^2化简上述不等式，我们可以得到：[(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2)] ≤[(2bc)(2ca)(2ab)][(cos(A))^2 + (cos(B))^2 + (cos(C))^2]通过柯西不等式，我们可以简化三角形角度之间的关系，并进行更方便的运算和推导。
柯西不等式应用
柯西不等式应用柯西不等式在数学中是一个非常基础的不等式，它具有广泛的应用，涵盖了各种各样的领域。
在此，我们简单介绍一些柯西不等式的应用。
一、向量的内积柯西不等式最早是被用于向量的内积，其表述为：（a·b）² ≤ (a·a)(b·b)其中，a和b为任意两个向量，a·b表示向量a和b的内积。
由此可知，当两个向量的内积等于其模的乘积时，也就是a·b = |a||b|时，等号成立。
换言之，当两个向量的方向一致时，它们的内积达到最大值；当两个向量相互垂直时，它们的内积为0，达到最小值。
在实际应用中，向量的内积经常作为一种衡量相似度的方式，比如文本相似度算法中，可以将每个文本表示为一个向量，再通过计算每个文本向量的内积来判断它们之间的相似度。
二、积分的上界柯西不等式不仅在向量的内积中有应用，在积分学中也有着重要的地位。
考虑如下的积分：∫abf(x)g(x)dx其中，a和b是积分区间的端点，f(x)和g(x)是可积函数。
柯西不等式表示为：(∫abf(x)g(x)dx)² ≤ ∫abf(x)²dx ∫abg(x)²dx其中，等号成立当且仅当f(x)和g(x)线性相关，并且至少其中一个函数不等于0。
由此可知，柯西不等式提供了一个计算积分上界的方法，其取决于函数f(x)和g(x)的平方和。
在数学分析、微积分等领域，柯西不等式被广泛地应用于计算积分上界。
三、概率论与统计学柯西不等式在概率论和统计学中也具有广泛的应用。
例如在统计学中，柯西不等式可用于证明均方误差最小的估计量为最优估计量。
具体而言，对于一个随机变量x和估计量y(x)，它们的均方误差可表示为：E[(x-y(x))²]其中，E[...]表示期望。
通过应用柯西不等式，可得到均方误差的下界：E[(x-y(x))²] ≥ (E[(x-y(x))])²其中，等号成立当且仅当y(x)是x的线性函数。
柯西不等式及其应用
柯西不等式及其应用柯西不等式是初等数学中的一种重要的不等式，它可以用于求解向量、积分等问题。
柯西不等式的形式如下：对于任意的实数a1、a2、......、an 和b1、b2、......、bn，有(a1^2 + a2^2 + ...... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ...... + bn^2) ≥(a1b1 + a2b2 + ...... + anbn)^2其中，等号成立的条件是两个向量之间存在线性关系，即存在实数k1、k2、......、kn，使得b1 = k1a1、b2 = k2a2、......、bn = knan。
柯西不等式可以用于求解向量内积、求解二次函数的最小值等问题。
例如，对于两个向量A = (a1, a2, ......, an) 和B = (b1, b2, ......, bn)，它们的内积可以表示为：A·B = a1b1 + a2b2 + ...... + anbn根据柯西不等式，有：A·B ≤√(a1^2 + a2^2 + ...... + an^2)√(b1^2 + b2^2 + ...... + bn^2)这个不等式告诉我们，两个向量的内积不会大于它们的长度之积，当且仅当它们之间存在线性关系时取到最大值。
另外，柯西不等式还可以用于求解积分不等式。
例如，对于两个非负可积函数f(x) 和g(x)，它们的积分可以表示为：∫f(x)g(x)dx根据柯西不等式，有：(∫f(x)g(x)dx)^2 ≤(∫f(x)^2dx)(∫g(x)^2dx)这个不等式可以用于证明一些数学定理，如证明二维傅里叶级数的正交性。
总之，柯西不等式是一种十分重要的数学工具，它在向量、积分、函数等方面有着广泛的应用。
掌握柯西不等式可以帮助我们更好地理解数学问题，提高数学解题的效率。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用引言柯西不等式（Cauchy’s inequality）是数学中一项重要的不等式，它在多个领域中得到了广泛的应用。
本文将介绍柯西不等式的几种常见形式的证明，并探讨其在数学分析、概率论和信号处理等领域的应用。
一. 柯西不等式的基本形式下面是柯西不等式的基本形式：定理1：对于任意两个n维向量a=(a1,a2,...,a n)和b=(b1,b2,...,b n)，有如下不等式成立：(a1b1+a2b2+...+a n b n)2≤(a12+a22+...+a n2)⋅(b12+b22+...+b n2)证明我们可以用多种方法证明柯西不等式的基本形式，其中最常见的方法是使用向量的内积。
方法一我们首先定义向量a和b的内积为<a,b>=a1b1+a2b2+...+a n b n。
根据向量内积的性质，我们可以将柯西不等式写成如下形式：<a,b>2≤||a||2⋅||b||2其中||a||2=a12+a22+...+a n2表示向量a的模的平方。
由于平方根函数是单调递增的，所以不等式的成立与不成立性质不改变。
因此，我们可以将证明目标转化为证明以下形式的不等式：<a,b>2≤<a,a>⋅<b,b>方法二另一种证明柯西不等式的基本形式的方法是利用二次函数的性质。
设f (t )=(a 1t +b 1)2+(a 2t +b 2)2+...+(a n t +b n )2，其中t 是实数。
如果对于任意t ，函数f (t )都大于等于零，则不等式成立。
我们来计算f (t )： f (t )=∑(a i 2t 2+b i 2+2a i b i t )n i=1=∑a i 2n i=1t 2+∑b i 2n i=1+2t ∑a i n i=1b i由于任何一个实数的平方都大于等于零，所以第一项和第二项都大于等于零。
而根据数列的有序性质，∑a i n i=1b i ≤√(∑a i 2n i=1)⋅(∑b i 2n i=1)，不等式成立。
例谈柯西不等式的实践运用
例谈柯西不等式的实践运用
柯西不等式是一种有力的分析工具，用于探究给定的假设背后的真实规律。
它
已成为现代数学的分析重要核心，在生活娱乐中也有广泛的应用。
首先，我们可以以财政管理为例来谈论柯西不等式。
财政管理就是一种分配资源，依据柯西不等式，当资源分配得越均衡、结构越稳定时，财政部门节约的成效就更加彰显。
实践中，企业可以通过改善家庭、公司财务和税务管理，发展更有利的财政政策，从而大幅度提高资源利用效率，并减少损失。
其次，柯西不等式也被广泛应用于众多其他领域，如工程学、法律学等。
以
工程学为例，在设计工程结构和特定设备时，工程师需要仔细分析问题，考虑受体的结构特征，分析材料耐受的力学性能，并判断介质的变形情况。
此时，柯西不等式就可以展现针对不同危险因素的响应状态，从而决定构建风险控制策略，保证工程项目安全、高效运行。
另外，柯西不等式在运动技能的训练中也有重要作用。
传统运动者通过反复练
习来提高技能水平，当然，尽管练习仍然有一定效果，但是借助柯西不等式，可以分析运动各个细节方面的状况，最大化提升运动技能，这对于提高运动表现有很大帮助。
总之，柯西不等终牛已经得到越来越多的关注和应用，无论是财政管理、工程
学还是运动技能训练，都是维护社会和谐稳定、促进技术发展不可或缺的重要工具。
浅析述柯西不等式在高考中的应用及解题技巧
浅析述柯西不等式在高考中的应用及解题技巧摘要：柯西不等式是高中数学新课程中的新增内容，其在解决数学问题中是非常重要并且高效的解题方法。
在解决证明命题问题或者最值等问题时，柯西不等式是较优的选择，同时，在培养学生的综合运用能力、分析能力以及转换能力方面都具有一定辅助作用，并且有利于帮助学生形成多方面思考的解题习惯，有利于创新思想的形成。
关键词：柯西不等式；高中数学；高考应用柯西不等式在其构造形式以及表现形式上，具有非常高的灵活性，学生可以运用数学归纳法、构造函数法、线性相关法、配方法、比较法、参数法或者均值不等式或向量内积等方法来证明柯西不等式。
同样的，柯西不等式也可以在多中不同的情况下，灵活巧妙的应用。
例如：解决数学中的不等式证明问题、最值求解问题、推到空间点导致先的距离公式等问题上都可以借助柯西不等式进行求解。
在高中阶段，较为常用的是利用柯西不等式解决最值问题、不等式的证明问题以及利用其变形公式进行求解的问题。
在本文中，将针对上述三种问题，具体论述柯西不等式在高考数学中的应用。
1.利用柯西不等式解决最值问题在利用柯西不等式解决最值问题时，有些可直接套用，有些可能需要对题目中所给的式子进行适当的配凑，再进行公式的套用。
在解决不等式问题时，可以应用到的方法很多，但是利用柯西不等式解决此类问题最大的特点便是效率，过程不再有那么繁琐，简单精简，显得干净利落。
并且，最值问题这类题目的难度系数不高，出现在高考中的可能性较大，如果能够掌握好柯西不等式的应用，对于解决此类问题十分重要。
下面以两个例子，具体阐述柯西不等式的应用：例1：已知实数a、b、c、d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值：解：通过柯西不等式可知：（2b2+3c2+6d2）（1/2+1/3+1/6）≥（b+c）2a由条件可以得出：5—a2≥（3—a）解得：1≤a≤2 当且仅当时等等号成立代入：b=1,c=1/3,d=1/6时，可得a最大值为2b=1,c=2/3,d=1/3时，可得a最小值为1例2：求解函数的最大值解：根据题意可知：y>0，并且x的范围为1到5闭区间所以由柯西不等式可知：当且仅当：即当x=61/25时取等号所以函数的最大值为101.利用柯西不等式解决不等式证明问题柯西不等式是在证明一些不等式问题时的经常会使用的理论根据，通过利用柯西不等式以及对给出证明式的拆分变形，可以减少在证明不等式过程中会遇到的许多问题，有利于题目的求解。
(完整word版)柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧及练习柯西不等式的一般形式是：设1212,,,R n n a a a b b b ∈,则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当且仅当1212nna a ab b b ===或120n b b b ====时等号成立．其结构对称,形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活,技巧性强．一、巧配数组观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和,右边是左边中对立的两项乘积之和的平方,因此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b 和,便是应用柯西不等式的一个主要技巧．例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值． 例２ 设,,R x y z ∈，求证：≤≤ 二、巧拆常数运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧．例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等， 求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 。
三、巧添项四、巧变结构有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件,但是只要我们改变一下式子的形式结构,认清其内在的结构特征,就可达到运用柯西不等式的目的． 例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++例７ 设,121+>>>>n n a a a a 求证：011111113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n练习题1. （2009年浙江省高考自选模块数学试题）已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设.2222z y x t ++= （1） 求t 的最小值；（2） 当21=t 时，求z 的取值范围2 （2010年浙江省第二次五校联考）已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。
柯西不等式在高考中的运用1
柯西不等式在高考中的运用柯西不等式：(1) 二维形式()()()22222bd ac d c b a +≥++公式变形：()()2222d c b abd ac ++≤+，等号成立条件：当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛==d b c a bc ad 即时。
（2） 一般形式()()()()n i R b a b b b a a a b a b a ba i i nn n n 2,1,,,222212222122211=∈++++++≤+++等号成立条件：nn b a b a b a === 2211，或()n i b a i i ,2,1,=中有一为零。
（3）柯西不等式的三角形式设d c b a ,,,都是实数，则()()222222d b c a d c b a -+-≥+++.从题型上来分，柯西不等式可用于不等证明问题和最值问题两大类。
其中不等证明问题可细分为 分式和不等式证明问题、整式和不等式证明问题；最值问题又可进一步细分为多元变量代数式的最值问题和一元变量的最值问题。
1、求最值问题（1）求多元变量代数式的最值求多元变量代数式的最小值时，可考虑多元变量代数式放置在柯西不等式的左边；当求多元变量代数式的最大值时，可考虑多元变量代数式放置在柯西不等式的右边。
例6（2012高考浙江卷文科第9题）若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（ ）。
A.524 B.528C.5D.6 解：由xy y x 53=+，得.513=+yx（*） 由柯西不等式，得()()2491343+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++y x y x （* *）即()25435≥+y x ，所以543≥+y x ，且.54321,1=+==y x y x 时， 所以y x 43+的最小值是5，故选C.例7 （2014年高考陕西卷理科第15题）设R n m b a ∈,,,且5,522=+=+nd ma b a ，则22n m +的最小值为 。
柯西不等式的应用（整理篇）
柯西不等式在解题中的几点应用一、 引言柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳。
主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式人民教育出版社高中《代数》下册“不等式”一章的习题中有这样一道题（P 、15练习第2题）： 求证：ac+bd ≤22b a +*22d c +这题用比较法是很容易证明的，这里用比值的方法来证明。
证明：当a=b=c(或c=d=0)时，显然成立； 假设2a +2b ≠0 且2c +2d ≠0,则2222*d c b a bd ac +++≤2222*dc b a bd ac +++=22222222**dc b a bd dc b a ac+++++=222222222222**dc d b a b d c c b a a +++++ ≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2222222222222121d c d b a b d c c b a a =1故ac+bd ≤2222*d c b a bd ac bd ac ++≤+≤+(1) 式就是著名的柯西不等式的一个简单特例。
柯西不等式的一般形式为：对任意的实数有及n n b b b a a a ,,,,,,2121(2)或,*12121∑∑∑===≤ni ini ini ii baba (3)其中等号当且仅当nn b a b a b a === 2211时成立（当0=k b 时，认为).1,0n k a k <≤= 柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题作,121221⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i n i i n i i i i b a b a一些介绍。
二、 柯西不等式在解题中的应用a) 利用柯西不等式证明恒等式 利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用以《柯西不等式在中学数学中的应用》为标题，写一篇3000字的中文文章柯西不等式是一种数学定理，在数学理论中发挥着重要作用。
它可以广泛应用于中学数学教学中。
本文旨在通过分析柯西不等式的定义、应用范围及其在中学数学教学过程中的重要作用，对中学教师及学生对柯西不等式的运用提供建议。
首先，我们先了解柯西不等式的定义。
柯西不等式是一种数学定理，它指出：如果x和y是实数，则|x+y| |x|+|y|。
由此可见，该定理的含义是，当x和y的绝对值相加时，其和的绝对值不会超过它们的绝对值之和。
它可以帮助学生更加深入地理解绝对值的概念。
其次，柯西不等式可以广泛应用于中学数学教学中。
柯西不等式可用于证明一些数学定理，例如：如果a和b是实数，则a+b≥|a|+|b|。
此外，柯西不等式还可用于处理复数，复数属于公认的中学数学教学范围之内。
柯西不等式可以帮助学生更好地理解复数概念。
最后，柯西不等式在中学数学教学过程中发挥重要作用。
教师可以利用柯西不等式的定理来教授中学数学中的一些基本概念，例如求解几何问题、探究分数概念及学习向量等。
此外，柯西不等式还可以用于教授学生求解不等式，以便解决实际问题。
通过以上分析，可以看出柯西不等式在中学数学教学中十分重要，教师应该充分利用它的定理，引导学生更好地理解和运用它。
学生应根据教师的指导和练习，掌握柯西不等式的基本概念，用它解决实际问题。
只有这样，中学学生才能有效地运用柯西不等式，取得更好的数学成绩。
综上所述，柯西不等式对中学数学教学有着重要意义，学生与教师都应充分运用它，从而提高学生的数学素养，取得理想的数学成绩。
柯西-许瓦兹不等式的证明方法及应用
柯西-许瓦兹不等式的证明方法及应用
柯西-许瓦兹不等式，又称柯西-赫瓦尔定理，是数学界著名的最优化理论。
它由美国数学家约翰·柯西和法国数学家许瓦兹在1817年提出，用于证明函数的最值点。
它被广泛应用于各种科学研究中，如机械学、力学、数学分析等，既是数学理论的基础，又是实际应用的基础。
柯西-许瓦兹不等式的数学公式是：若函数f(x)在[a,b]上对任意x ∈ [a,b]可导，则有∫ (b-x)f′(x)dx⩾ f(b)-f(a)，其中f′(x)是函数f(x)的导数。
柯西-许瓦兹不等式的证明方法也比较简单，也是在把数学分析中许多有用的公理和定理的基础上构建起来的。
在把函数f(x)分割成多个子区间
[x1,x2],…[xn-1,xn]，分别用梯形公式积分，利用分几数对称性，重用中值定理，及利用适当的技巧，可以得到上式?
柯西-许瓦兹不等式的应用非常广泛，它可以用于分析和证明函数的极值点、求解参数的最优值，也可以应用到定积分和积分方程等问题中。
比如，可以用来证明函数f在[a,b]上存在最大值或最小值点，也可以用来对最优利用问题进行研究，分析有限资源最优分配问题等。
柯西-许瓦兹不等式在解决数学最优化问题中有非常重要的作用，因此它的证明方法及应用也成为当代数学学习中备受重视的研究内容。
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式的应用(新高考通用)解析版
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.解：x 2+y 2 12+12 ≥x +y 2，则8≥x +y 2所以x +y ≤22，当且仅当x =y =2时等号成立.答案：222设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.【分析】(1)根据条件x +y +z =1，和柯西不等式得到(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43，再讨论x ,y ,z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x ,y ,z 代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围.【详解】(1)[(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2](12+12+12)≥[(x -1)+(y +1)+(z +1)]2=(x +y +z +1)2=4故(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43等号成立当且仅当x -1=y +1=z +1而又因x +y +z =1，解得x =53y =-13z =-13时等号成立，所以(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值为43.(2)因为(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13，所以[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)≥1.根据柯西不等式等号成立条件，当x -2=y -1=z -a ，即x =2-a +23y =1-a +23z =a -a +23 时有[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)=(x -2+y -1+z -a )2=(a +2)2成立.所以(a +2)2≥1成立，所以有a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【详解】因为2a +b =3，所以4a +2b =6由权方和不等式a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y可得1a -1+12b -1=44a -4+12b -1=224a -4+122b -1≥2+1 24a -4+2b -1=9当且仅当24a -4=12b -1，即a =76,b =23时，等号成立．【答案】C【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14 B.12C.10D.8【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可.【详解】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A5(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【分析】由空间向量的坐标表示计算OP =xOA +yOB +zOC ，然后由柯西不等式求解即可.【详解】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12 =x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为 3.故选：B二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【分析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，代入公式即可得解.【详解】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：67(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.【答案】9【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.【详解】∵a +3b +6c =16≤12+32+6 2a 2+b 2+c 2=4a 2+b 2+c 2∴a 2+b 2+c 2≥4,当且仅当a 1=b 3=c6时等号成立，即a =1,b =3,c =6，∵x -a 2+y -b 2+z -c 2=1-2xa +by +cz +a 2+b 2+c 2≥1-2x 2+y 2+z 2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=1-2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 2-1 2≥9，当且仅当a x =b y =c z 时等号成立，可取x =14,y =34,z =64故答案为：98(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k的最小值为.【答案】305/1530【分析】运用柯西不等式进行求解即可.【详解】由柯西不等式的变形可知5x +y =x 215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y 1，即y =25x 时等号成立，则k 的最小值为305.故答案为：3059(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．【答案】15,85【分析】先根据MN 的最小值求出CD =7，即a -6 2+b -8 2=49，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN 最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离CD =4+1+2=7，即a -6 2+b -8 2=49，由柯西不等式得：a -6 2+b -8 2 ⋅32+42 ≥3a -6 +4b -8 2，当且仅当a -63=b -84，即a =515,b =685时，等号成立，即3a +4b -50 2≤25×49，解得：15≤3a +4b ≤85.故答案为：15,8510已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．【答案】163/513【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=133a +b +c +d ×1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=13a +b +c +b +c +d +c +d +a +d +a +b ×(1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b)≥131+1+1+1 2=163，当且仅当a =b =c =d =14时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.【答案】(1)26(2)证明见解析【分析】(1)利用柯西不等式直接求解；(2)由分析法转化为求证4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，换元后由函数单调性得证.【详解】(1)由柯西不等式得：a 2+b 2 22+32 ≥2a +3b 2，即2a +3b 2≤26，故2a +3b ≤26，当且仅当3a =2ba 2+b 2=2 ，即a =22613b =32613时取得等号，所以2a +3b 的最大值为26.(2)要证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92，只需证：4≤a 4+b 4+ab a 2+b 2 ≤92，只需证：4≤a 2+b 2 2+ab a 2+b 2 -2a 2b 2≤92，即证：4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，由a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2可得2=a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，即0<ab ≤1，设ab =t ∈(0,1]，则设f t =-2t 2+2t +4,t ∈0,1 ，∵f (x )在0,12 上单调递增，在12,1 上单调递减，又f (0)=f (1)=4,f 12=94，∴4≤f t ≤92，即4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a2+b2+c2≥1641.【答案】(1)12 5(2)证明见解析【分析】(1)结合已知等式，将1a+1100b-4c化为1a+9a+1100b+4b-4，利用基本不等式，即可求得答案；(2)利用柯西不等式，即可证明原不等式.【详解】(1)因为a,b,c均为正实数，9a+4b+4c=4，所以1a+1100b-4c=1a+1100b+9a+4b-4=1a+9a+1100b+4b-4≥21a×9a+21100b ×4b-4=125，当且仅当1a=9a1100b=4b，即a=13,b=120,c=15时等号成立．(2)证明：根据柯西不等式有9a2+b2+c232+42+42≥(9a+4b+4c)2=16，所以9a2+b2+c2≥16 41．当且仅当3a3=b4=c4，即a=441,b=c=1641时等号成立，即原命题得证.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由题意可得b+c=1-a，又12-2a2=b2+c2，结合基本不等式可得12-2a2≥1-a22，化简求得0≤a≤25，得证；(2)法一，由已知条件得a21-a +1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c 4≥c，三式相加得证；法二，根据已知条件可得121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b2 1-b +c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c，利用柯西不等式求解证明.【详解】(1)因为a+b+c=1，所以b+c=1-a．因为2a2+b2+c2=1 2，所以12-2a2=b2+c2≥b+c22=1-a22，当且仅当b=c时等号成立，整理得5a2-2a≤0，所以0≤a≤2 5．(2)解法一：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，所以a21-a+1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c4≥c，以上三式相加得a21-a+b21-b+c21-c≥54a+b+c-34=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．解法二：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，且121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b21-b+c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c≥121-a⋅a1-a+1-b⋅b1-b+1-c⋅c1-c2=12a+b+c2=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．【答案】9 2【分析】由x>-1知：x+1>0，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形1x+1+2y=1x+1+42y，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】1a-2b +4b=1a-2b+123b≥1+122a-2b+3b=14+46(等号成立条件，略).15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．【答案】1 4【解析】x2x+2+y2y+1≥x+y2x+y+3=14当xx+2=yy+1，即x=23,y=13时，等号成立．16已知a >0，b >0，且2a +2+1a +2b=1，则a +b 的最小值是．【答案】12+2【解析】1=2a +2+1a +2b ≥2+1 22a +2b +2当2a +2=1a +2b，即a =2,b =12时，等号成立，a +b min =12+2．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值．【答案】25【分析】由f x =2x +91-2x =42x +91-2x ，再利用权方和不等式即可得解.【详解】由0<x <12，得1-2x >0，由权方和不等式可得f x =2x +91-2x =42x +91-2x ≥2+3 22x +1-2x=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取等号，所以函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故答案为：25.18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y 的最小值为【答案】13【分析】根据权方和不等式可得解.【详解】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.19(2023高三·全国·专题练习)已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【分析】应用权方和不等式即可求解.【详解】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6020(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【分析】利用权方和不等式：b n +1a n +d n +1c n ≥b +d n +1a +cn求解.【详解】1sin θ+8cos θ=132sin 2θ12+432cos 2θ12≥1+432sin 2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5521(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y 2的最小值.【答案】27【分析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2 ，由权方和不等式计算可得.【详解】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y 2的最小值为27.故答案为：2722(2024高三·全国·专题练习)已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：823(2023高三·全国·专题练习)已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =2，M =3x +2y +12x -y的最小值为.【答案】85/1.6【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当a x =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.不妨令m (x +2y )+(2x -y )=n (x +y ),整理得(m +2)x +(2m -1)y =nx +ny ，则m +2=n 2m -1=n,解得m =3n =5 ,则M =3x +2y +12x -y =93x +6y +12x -y =93x +6y +12x -y=323x +6y +122x -y ≥(3+1)25(x +y )=85，当且仅当33x +6y =12x -y 时等式成立，由33x +6y =12x -y x +y =2解得：x =32y =12，即当x =32,y =12时，M =3x +2y +12x -y 的最小值为85.故答案为：85.24(2024高三·全国·专题练习)已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】由题意得，1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y=1，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3325(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ,y 满足4x +9y =1，则42x 2+x +9y 2+y的最小值为【答案】118【分析】运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当ax =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.故由42x 2+x +9y 2+y =4242x 2+x +929y 2+y =42x 28+4x +92y 29+9y ≥4x +9y24x +9y+17=118当且仅当4x8+4x =9y9+9y 时取等号.由4x +9y =14x 8+4x =9y 9+9y,解得：x =172y =17 ，即当x =172,y =17时，42x 2+x +9y 2+y的最小值为118.故答案为：118.。
柯西不等式的使用
柯西不等式的使用
柯西不等式用在二维形式、向量形式、三角形式、概率论形式、积分形式与一般形式中。
柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中十分广泛的应用，在高等数学提升中与研究中非常重要。
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用分式中的方法。
3、运用两个特别极限。
4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
6、等阶无穷小代换。
7、夹挤法。
这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。
8、特殊情况下，化为积分计算。
9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。
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柯西不等式的应用技巧 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
柯西不等式的应用技巧及练习
柯西不等式的一般形式是：设12
12,,,R n n a a a b b b ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 当且仅当1212n n a a a b b b ===或120n b b b ====时等号成立．
其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中
作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代
换等，方法灵活，技巧性强．
一、巧配数组
观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中
每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因
此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b 和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧．
例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值．
例２ 设
,,R x y z ∈
，求证：22
-≤≤． 二、巧拆常数
运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到
时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧．
例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等，
求证：c
b a a
c c b b a ++>+++++9222 .
有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子
的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的．
例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,
求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++
例７ 设,121+>>>>n n a a a a 求证：
011111
113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n
练习题
1. (2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设
.2222z y x t ++=
(1) 求t 的最小值；
(2) 当2
1=t 时，求z 的取值范围
2 (2010年浙江省第二次五校联考)已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。
(1) 求()222149a b c +++的最小值；
(2)
2≥
3 (2010年杭二中高三年级第三次月考)已知正数,,a b c 满足：1=++ca bc ab ，
求的最大值．
4 (浙江省镇海中学高考模拟试题) 已知,,x y z 是正数，且121,x y += 求22122x x y y
+++的最小值；
5 (金华十校2009年高考模拟考试)若+∈R c b a ,, ， 求证：1222≥+++++b
a c a c
b
c b a
6 (2010年宁波市高三模拟测试卷)已知,,a b c 为正实数，且3a b c ++=． 证明：2222()()()4()3
a c
b a
c b a c a b c ---++≥-，并求等号成立时,,a b c 的值．
7 (浙江省镇海中学高考模拟试题)
若0,,1,x y z <<且1xy yz zx ++=
+≥。
8(2010年金华十校高考模拟考试) 设正数x ，y ，z 满足1543=++z y x 求
x z z y y x +++++111值．
9 (2008年陕西高考理科数学压轴题)已知数列{}n a 的首项135
a =
， 13,1,2,.21n n n a a n a +==⋅⋅⋅+(1) 求{}n a 的通项公式； (2) 证明：对任意的()21120,,1,2,;131n n x a x n x x ⎛⎫>≥--=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭
+。