柯西不等式的应用技巧修订稿

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柯西不等式的应用技巧及练习

柯西不等式的一般形式是：设12

12,,,R n n a a a b b b ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 当且仅当1212n n a a a b b b ===或120n b b b ====时等号成立．

其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中

作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代

换等，方法灵活，技巧性强．

一、巧配数组

观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中

每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因

此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b 和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧．

例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值．

例２ 设

,,R x y z ∈

，求证：22

-≤≤． 二、巧拆常数

运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到

时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧．

例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等，

求证：c

b a a

c c b b a ++>+++++9222 .

有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子

的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的．

例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,

求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++

例７ 设,121+>>>>n n a a a a 求证：

011111

113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n

练习题

1. (2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设

.2222z y x t ++=

(1) 求t 的最小值；

(2) 当2

1=t 时，求z 的取值范围

2 (2010年浙江省第二次五校联考)已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。

(1) 求()222149a b c +++的最小值；

(2)

2≥

3 (2010年杭二中高三年级第三次月考)已知正数,,a b c 满足：1=++ca bc ab ，

求的最大值．

4 (浙江省镇海中学高考模拟试题) 已知,,x y z 是正数，且121,x y += 求22122x x y y

+++的最小值；

5 (金华十校2009年高考模拟考试)若+∈R c b a ,, ， 求证：1222≥+++++b

a c a c

b

c b a

6 (2010年宁波市高三模拟测试卷)已知,,a b c 为正实数，且3a b c ++=． 证明：2222()()()4()3

a c

b a

c b a c a b c ---++≥-，并求等号成立时,,a b c 的值．

7 (浙江省镇海中学高考模拟试题)

若0,,1,x y z <<且1xy yz zx ++=

+≥。

8(2010年金华十校高考模拟考试) 设正数x ，y ，z 满足1543=++z y x 求

x z z y y x +++++111值．

9 (2008年陕西高考理科数学压轴题)已知数列{}n a 的首项135

a =

， 13,1,2,.21n n n a a n a +==⋅⋅⋅+(1) 求{}n a 的通项公式； (2) 证明：对任意的()21120,,1,2,;131n n x a x n x x ⎛⎫>≥--=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭

+