高二精选题库数学 课堂训练_2-1北师大版

第2章 第1节
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分)
1. [2012·浙江嘉兴一中模拟]设集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )
答案：B
解析：利用函数的定义，要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中(0,2]没有函数值，C 中函数值不唯一，D 中的值域不是N ，所以选B.
2. 已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，1
2}的一个映射，则集合A 中的
元素个数最多有( )
A. 4个
B. 5个
C. 6个
D. 7个
答案：B
解析：A ⊆[0,2π]，由－sin x ＝0得x ＝0，π，2π；由－sin x ＝12得x ＝7π6，11π
6，∴A 中最
多有5个元素.
3. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2(4－x )， x ≤0
f (x －1)－f (x －2)， x >0
，则f (3)的值为( )
A. －1
B. －2
C. 1
D. 2
答案：B
解析：f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1) ＝f (2－1)－f (2－2)－f (1)
＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 24＝－2.
4. [2012·天津模拟]若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些
函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有 ( )
A. 7个
B. 8个
C. 9个
D. 10个
答案：C
解析：先确定定义域的构成元素，再分类计数得到满足条件的定义域. 由已知x 2＝1，得x ＝±1； x 2＝4，得x ＝±2.
∴“同族函数”的定义域必须是由±1，±2两组数中至少各取一个构成的集合. 当定义域中有两个元素时有
{－1，－2}，{－1,2}，{1，－2}，{1,2}共4个. 有三个元素时有
{－1，－2,2}，{－1，－2,1}，{－1,2,1}，{－2,2,1}共4个. 有四个元素时有{－2，－1,1,2}1个. 综上共有：4＋4＋1＝9个.
5. [2012·福建省宁德市模拟]若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范
围是( )
A. (0，3
4]
B. (0，34)
C. [0，34]
D. [0，3
4)
答案：D
解析：∵y ＝mx －1
mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，
当m ＝0，∴mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意. 当m >0时，Δ＝16m 2－12m <0， 解得0<m <3
4
，
当m <0时，Δ＝16m 2－12m <0，无解. 综上，0≤m <34，即m ∈[0，3
4
).
6. [2012·宁波市“十校联考”]设集合A ＝[0，12)，B ＝[1
2
，1]，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋12，x ∈A 2(1－x )，x ∈B ，
若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )
A. (0，1
4
]
B. (14，12)
C. (14，12]
D. [0，3
8
]
答案：B
解析：因为f [f (x 0)]＝f (x 0＋12)＝2(1－x 0－1
2)＝1－2x 0，
所以0≤1－2x 0<12，故14<x 0≤1
2，
又x 0∈A ，所以14<x 0<1
2
.
二、填空题(每小题7分，共21分)
7. 如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1
f (3)
]的值等于__________.
答案：2
解析：f [1
f (3)
]＝f (1)＝2.
8. (1)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，则f (x )＝__________；
(2)若函数f (x )＝x
ax ＋b ，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.
答案：(1)x 3＋1 (2)2x
x ＋2
解析：(1)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，
即有⎩
⎪⎨⎪⎧
2f (x )－f (－x )＝x ＋1
2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，
解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x
3＋1.
(2)由f (2)＝1得2
2a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；
由f (x )＝x 得
x ax ＋b ＝x ，变形得x (1
ax ＋b
－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，又∵方
程有唯一解，∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2x
x ＋2
.
9. [2012·南通六校联考(一)]定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，
a ⊕
b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为__________.
答案：[－4,6]
解析：由题意知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2，x ∈[－2，1]
x 3－2，x ∈(1，2]，当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]，当x
∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6].
三、解答题(10、11题12分、12题13分)
10. (1)已知f (x )的定义域为[0,1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域； (2)已知f (x 2
－3)＝lg x 2
x 2－6
，求f (x )的定义域.
解：(1)依题意，0≤x ＋1<1，∴－1≤x <0， ∴f (x ＋1)的定义域为[－1,0).
由0≤x 2<1得－1<x <1，∴f (x 2)的定义域为(－1，1). (2)令u ＝x 2－3，则f (x )的定义域就是u 的值域. 要使lg x 2
x 2－6有意义，只需x 2>6，
即x 2－3>3，∴u >3， 即f (x )的定义域是(3，＋∞).
11.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动.设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图像
.
解：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝12x ，∴S ＝12x ·12x ＝1
4
x 2；
当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ，∴S ＝12×3×1－12(3－x )·(3－x )＝－1
2x 2＋3x －3；
当x >3时，S ＝3
2
.
所以S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4
(0≤x ≤2)－1
2x 2
＋3x －3(2<x ≤3).
32(x >3)
函数图像如图所示.
12. 定义在正整数集上的函数f (x )对任意m ，n ∈N *，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )＋4(m ＋n )－2，且f (1)＝1.
(1)求函数f (x )的表达式；
(2)若m 2－tm －1≤f (x )对于任意的m ∈[－1,1]，x ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)取m ＝1，则有f (n ＋1)－f (n )＝f (1)＋4(1＋n )－2＝4n ＋3，
当n ≥2时，f (n )＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋…＋[f (n )－f (n －1)]＝2n 2＋n －2， 又f (1)＝1，∴f (x )＝2x 2＋x －2(x ∈N *). (2)f (x )＝2(x ＋14)2－17
8，
∴x ＝1时f (x )min ＝1，
由条件得m 2－tm －1≤1在m ∈[－1,1]上恒成立，即m 2－tm －2≤0， 若m ＝0，则t ∈R ，
若0<m ≤1，则t ≥m －2
m ，即t ≥－1，
若－1≤m <0，则t ≤m －2
m ，即t ≤1，
综上－1≤t ≤1.。