福建省厦门市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
2020-2021学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级(上)第二次月考数学试卷(12月份) 解析版
2020-2021学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为（﹣2，3），则点B的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）2．如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，△ABD旋转后与△BCD重合，则可以作为旋转中心的点有（）A．一个B．两个C．三个D．四个3．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．2cm、3cm、4cm、5cmB．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmC．0.5cm、2.5cm、3cm、5cmD．1cm、2cm、2cm、4cm4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．100°B．105°C．110°D．120°5．在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A．B．C．D．6．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（）A．8B．7C．6D．57．已知点A（4，4）和点O（0，0），将点A绕点O逆时针旋转90°后，得到点A'，则点A'的坐标是（）A．（4，﹣4）B．（﹣4，4）C．（﹣2，2）D．（﹣4，﹣4）8．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾．②因此假设不成立．∴∠B＜90°．③假设在△ABC中，∠B≥90°．④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②9．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题（每小题4分，共24分）11．如果x：y＝1：2，那么＝．12．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．13．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝32°，则∠B+∠E＝°．14．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，将ABC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为．15．如图，在半径为的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD ＝4，则OP的长为．16．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．三、解答题（9小题，共86分）17．（10分）解方程：（1）3（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法解）18．（8分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），则点A的坐标为；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1．19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．20．（8分）在一个不透明的盒子中装有4个小球，4个小球上分别标有数字1，2，3，4，这些小球除数字外都相同，将小球搅匀．（1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率是；（2）先从盒子中随机摸出一个小球，再从余下的3个小球中随机摸出一个小球，请用列表法或树状图法求两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率．21．（10分）如图△ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）得到△AEF，点B、C的对应点分别是E、F．连结BE、CF相交于点D．（1）当CF恰好垂直AE时，求∠CFE的大小；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．22．（10分）已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度数；（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．23．（10分）小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一．由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录．（1）请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案）（2）按此市场调节的观律，①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼（只卖活鱼），且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由．表一所抽查的鱼的总重量m（公斤）100150200250350450500存活的鱼的重量与m的比值0.8850.8760.8740.8780.8710.8800.880表二该品种活鱼的售价（元/公斤）5051525354该品种活鱼的日销售量（公斤）40036032028024024．（10分）如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD＝OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．2020-2021学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为（﹣2，3），则点B的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）【解答】解：∵点A与点B关于原点对称，点A的坐标为（﹣2，3），∴点B的坐标是（2，﹣3）．故选：D．2．如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，△ABD旋转后与△BCD重合，则可以作为旋转中心的点有（）A．一个B．两个C．三个D．四个【分析】根据等边三角形的性质得AD＝AB＝BD＝BC＝CD，∠ABD＝∠ADB＝∠CBD ＝∠CDB＝60°，则可利用旋转的定义，要把△ABD旋转后与△BCD重合，可选择B点或D点或BD的中点为旋转中心．【解答】解：∵△ABD和△BCD都是等边三角形，∴AD＝AB＝BD＝BC＝CD，∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB＝60°，∴将△ABD绕点B顺时针旋转60°可得到△DBC或将△ABD绕点D逆时针旋转60°可得到△BCD或将△ABD绕BD的中点旋转180°可得到△CDB．故选：C．3．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．2cm、3cm、4cm、5cmB．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmC．0.5cm、2.5cm、3cm、5cmD．1cm、2cm、2cm、4cm【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、2×5≠3×4，故四条线段不成比例；B、4.4×1.1≠3.3×2.2，故四条线段不成比例；C、0.5×5≠2.5×3，故四条线段不成比例；D、2×2＝4×1，故四条线段成比例．故选：D．4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．100°B．105°C．110°D．120°【分析】利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余计算出∠BAC＝60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD＝45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．故选：B．5．在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．【解答】解：根据题意可得：袋子中有3个白球，4个红球，共7个，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率．故选：D．6．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（）A．8B．7C．6D．5【分析】根据正多边形的中心角＝，求出n即可．【解答】解：由题意，＝72°，∴n＝5，故选：D．7．已知点A（4，4）和点O（0，0），将点A绕点O逆时针旋转90°后，得到点A'，则点A'的坐标是（）A．（4，﹣4）B．（﹣4，4）C．（﹣2，2）D．（﹣4，﹣4）【分析】如图作A′H⊥x轴于H，AE⊥x轴于E．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：如图作A′H⊥x轴于H，AE⊥x轴于E．∵A（4，4），∴OE＝4，AE＝4，∵∠A′HO＝∠AEO＝∠A′OA＝90°，∴∠A′OH+∠AOE＝90°，∠AOE+∠A＝90°，∴∠A′OH＝∠A，∵OA′＝OA，∴△A′OH≌△OAH（AAS），∴OH＝AE＝4，A′H＝OE＝4，∴A′（﹣4，4），故选：B．8．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾．②因此假设不成立．∴∠B＜90°．③假设在△ABC中，∠B≥90°．④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②【分析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过程即可．【解答】解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；所以题目中“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°”．用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：假设∠B≥90°；那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，；因此假设不成立．∴∠B＜90°；原题正确顺序为：③④①②．故选：A．9．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】直接利用切线的性质得出∠OBM＝90°，求出∠AOB的度数，进而利用圆周角定理可得出答案．【解答】解：如图，连接OA，OB，∵BM为⊙O的切线，∴∠OBM＝90°，∵∠MBA＝130°，∴∠ABO＝40°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝40°，∴∠AOB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝50°，故选：B．10．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD 为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．如果x：y＝1：2，那么＝．【分析】根据合比性质，可得答案．【解答】解：+1＝+1，即＝．故答案为：．12．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为（﹣1，0）或者（1，0）时，使得△BOC∽△AOB．【分析】根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】解：∵点A为（4，0），∴AO＝4；∵点B为（0，2），∴OB＝2．若△BOC∽△AOB．则：＝．即：＝，∴OC＝1．故点C为（﹣1，0）或者（1，0）．故答案为：（﹣1，0）或者（1，0）．13．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝32°，则∠B+∠E＝212°．【分析】连接CE，先根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC＝180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED＝∠CAD＝32°，然后求解即可．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝32°，∴∠B+∠E＝180°+32°＝212°．故答案为：212．14．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，将ABC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为42．【分析】由旋转的性质可得出BD＝BC，结合∠CBD＝60°可得出△BCD为等边三角形，进而可得出CD的长度，再根据三角形的周长公式即可求出△ACF与△BDF的周长之和．【解答】解：∵△BDE由△BCA旋转得出，∴BD＝BC＝12．∵∠CBD＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴CD＝BC＝12．∴C△ACF+C△BDF＝AC+CF+AF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42．故答案为：42．15．如图，在半径为的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD ＝4，则OP的长为．【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，根据勾股定理计算出OE＝1，同理可得OF＝1，证明四边形OEPF为正方形，于是得到OP＝OE＝．【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，在Rt△OBE中，OB＝，BE＝2，∴OE＝＝1，同理可得OF＝1，∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，∵OE＝OF＝1，∴四边形OEPF为正方形，∴OP＝OE＝，故答案为：．16．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动1或（11+6）秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．【分析】分两种情形：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，如图2中，当点C，D落在⊙O上时，分别求解即可解决问题．【解答】解：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，由题意，△AOB是等边三角形，⊙O 与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝（2﹣）÷（2﹣）＝1（秒）如图2中，当点C，D落在⊙O上时，由题意，△OCD是等边三角形，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝[4+2﹣（2﹣）]÷（2﹣）＝（11+6）（秒），综上所述，满足条件的t的值为1秒或（11+6）秒．故答案为1或（11+6）．三、解答题（9小题，共86分）17．（10分）解方程：（1）3（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法解）【分析】（1）把x﹣3看成整体，提公因式分解因式求解；（2）用配方法解，移项使方程的右边是常数，在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可使方程左边是完全平方式，右边是常数，再开平方即可求解．【解答】解：（1）（x﹣3）（3x﹣9+x）＝0；（2）配方得x2﹣2x+1＝4即（x﹣1）2＝4x﹣1＝±2x1＝3，x2＝﹣1．18．（8分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），则点A的坐标为（﹣2，﹣3）；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1．【分析】（1）利用B点坐标作出直角坐标系，从而得到A点坐标；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，点A的坐标为（﹣2，3）；故答案为（﹣2，3）；（2）如图，△OA1B1为所作．19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DF A；（2）∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2，∵AB＝6，∴AE＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DF A，∴，∴．20．（8分）在一个不透明的盒子中装有4个小球，4个小球上分别标有数字1，2，3，4，这些小球除数字外都相同，将小球搅匀．（1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率是；（2）先从盒子中随机摸出一个小球，再从余下的3个小球中随机摸出一个小球，请用列表法或树状图法求两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出两次摸出的小球标注数字之和大于4的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率＝＝；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的小球标注数字之和大于4的结果数为8，所以两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率＝＝．21．（10分）如图△ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）得到△AEF，点B、C的对应点分别是E、F．连结BE、CF相交于点D．（1）当CF恰好垂直AE时，求∠CFE的大小；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．【分析】（1）由旋转的性质可得AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝30°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解；（2）由菱形的性质可得DF＝AF＝2，DF∥AB，由等腰三角形的性质和锐角三角函数可求解．【解答】解：（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝30°，∴∠AEF＝∠AFE＝75°，又∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°﹣∠EAF＝60°，∴∠CFE＝∠AFE﹣∠AFC＝75°﹣60°＝15°；（2）∵四边形ABDF为菱形，∴DF＝AF＝2，DF∥AB，∴∠ACF＝∠BAC＝30°，∴△ACF为等腰三角形，且∠CAF＝120°，∴∠ACF＝30°，∴CF＝2cos∠ACF•AC＝，∴CD＝CF﹣DF＝．22．（10分）已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度数；（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求出∠A、∠B的度数；（2）连接AC，根据勾股定理求出AC，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到AD＝CD，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：（1）设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，解得，x＝30°，∴∠A、∠B分别为60°、90°；（2）连接AC，∵∠B＝90°，∴AC为圆的直径，AC＝＝5，△ABC的面积＝×3×4＝6，∠D＝90°，∵点D为的中点，∴AD＝CD＝AC＝，∴△ADC的面积＝××＝，∴四边形ABCD的面积＝6+＝．23．（10分）小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一．由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录．（1）请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案）（2）按此市场调节的观律，①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼（只卖活鱼），且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由．表一所抽查的鱼的总重量m（公斤）100150200250350450500存活的鱼的重量与m的比值0.8850.8760.8740.8780.8710.8800.880表二该品种活鱼的售价（元/公斤）5051525354该品种活鱼的日销售量（公斤）400360320280240【分析】（1）用总质量乘以0.880可得；（2）①由表知，售价每增加1元，日销售量就减少40公斤，据此求解可得；②由售价每增加x元/公斤，可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x公斤，设批发店每日卖鱼的利润为w，根据总利润＝每公斤的利润×销售量列出函数解析式，在根据题意求出增加的单价的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量为2000×0.880＝1760公斤；（2）①由表知，售价每增加1元，日销售量就减少40公斤，所以估计日销售量400﹣40×（52.5﹣50）＝300（公斤）．②若活鱼的售价再50元/公斤的基础上，售价每增加x元/公斤，可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x公斤，设批发店每日卖鱼的利润为w，则w＝（50+x﹣）（400﹣40x）＝﹣40x2+400x＝﹣40（x﹣5）2+1000，由“8天内卖完这批活鱼”可得8（400﹣40x）≥1760，解得x≤4.5，根据实际意义有400﹣40x≥0，解得x≤10，∴x≤4.5，∵﹣40＜0，∴当x＜5时，w随x的增大而增大，∴当售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元．24．（10分）如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．【分析】（1）连接OE，根据角平分线的定义求出∠DFE＝∠OFE，根据等腰三角形的性质得出∠OEF＝∠OFE，求出∠DFE＝∠OEF，求出OE⊥AD，根据切线的判定得出即可；（2）连接BE，证△DEF∽△ABE，根据相似三角形的性质得出比例式，代入即可求出DE．【解答】（1）证明：连接OE，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵FE平分∠BFD，∴∠DFE＝∠OFE，∴∠DFE＝∠OEF，∴OE∥CD，∴∠OED+∠D＝180°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥AD，∵OE过O，∴AD是⊙O的切线；（2）解：连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，AB∥CD，AD＝AB，∵OE⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵OB＝OF，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，∵BF为⊙O直径，∴∠BEF＝90°，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝180°﹣90°＝90°，∠DEF+∠AEB＝180°﹣∠BEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF，∴＝，∴＝，即得：x＝2，即DE＝2．25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD＝OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．【分析】（1）根据弧长计算公式l＝进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO＝EO；（3）方法1、连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．方法2、先计算判断出PD＝BF，进而判断出四边形PDBF是矩形即可得出结论；方法3、利用三个内角是90度的四边形是矩形判断出四边形PDBF是矩形即可得出结论．【解答】（1）解：∵AC＝12，∴CO＝6，∴＝＝2π；答：劣弧PC的长为：2π．（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA＝90°，∠ADO＝90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD＝EO；（3）证明：法一：如图，连接AP，PC，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OP A，由（2）得OD＝EO，∴∠ODE＝∠OED，又∵∠AOP＝∠EOD，∴∠OP A＝∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直径，∴∠APC＝90°，∴∠PQE＝90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE＝∠EFC，∵∠OED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠EFC，∴CE＝CF，∴PC为EF的中垂线，∴∠EPQ＝∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ＝∠EAP，∴∠QPF＝∠EAP，∴∠QPF＝∠OP A，∵∠OP A+∠OPC＝90°，∴∠QPF+∠OPC＝90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．法二：设⊙O的半径为r．∵OD⊥AB，∠ABC＝90°，∴OD∥BF，∴△ODE∽△CFE又∵OD＝OE，∴FC＝EC＝r﹣OE＝r﹣OD＝r﹣BC ∴BF＝BC+FC＝r+BC∵PD＝r+OD＝r+BC∴PD＝BF又∵PD∥BF，且∠DBF＝90°，∴四边形DBFP是矩形∴∠OPF＝90°∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．方法3、∵AC为直径，∴∠ABC＝90°又∵∠ADO＝90°，∴PD∥BF∴∠PCF＝∠OPC∵OP＝OC，∴∠OCP＝∠OPC∴∠OCP＝∠PCF，即∠ECP＝∠FCP∵PD∥BF，∴∠ODE＝∠EFC∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED又∵∠OED＝∠FEC，∴∠FEC＝∠EFC∴EC＝FC在△PEC与△PFC中∴△PEC≌△PFC（SAS）∴∠PFC＝∠PEC＝90°∴四边形PDBF为矩形∠DPF＝90°，即PF为圆的切线．。
专练08 方程与函数类应用题(20题)2020~2021学年九年级数学上期末考点必杀题(试题解析)
专练08 方程与函数类应用题（20题）1．（2019·山东九年级期末）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为16元，每月销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系如下表格所示：（1）求每月的利润W (万元)与销售单价x (元)之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的总利润为480万元？（3）如果厂商每月的制造成本不超过480万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？【答案】（1）221321600W x x =-+-；（2）26元或40元；（3）当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元．（1）由表格可知，y 与x 之间的函数关系是一次函数， 设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+， 将(30,40)和(40,20)代入得：30404020k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2100k b =-⎧⎨=⎩，则y 与x 之间的函数关系式为2100y x =-+， 因此，(16)(16)(2100)W x y x x =-=--+， 即221321600W x x =-+-；（2）由题意得：221321600480x x -+-=， 整理得：26610400x x -+=， 解得26x =或40x =，答：当销售单价为26元或40元时，厂商每月获得的总利润为480万元； （3）由题意得：48003016y ≤≤=， 则0210030x ≤-+≤， 解得3550x ≤≤，将二次函数221321600W x x =-+-化成顶点式为22(33)578W x =--+， 由二次函数的性质可知，在3550x ≤≤范围内，W 随x 的增大而减小， 则当35x =时，W 取得最大值，最大值为22(3533)578570-⨯-+=（万元）， 答：当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识点，较难的是题（3），熟练掌握二次函数的性质是解题关键．2．（2020·迁安市迁安镇第一初级中学九年级期末）某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套；应市场变化调整第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．（1）若设第二个月的销售定价每套增加x 元，填写下表．（2）若商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月销售定价每套多少； （3）求当4≤x≤6时第二个月销售利润的最大值．【答案】（1）52；52+x ；180；180-10x ；（2）60元；（3）2240元 解：（1）若设第二个月的销售定价每套增加x 元，填写下表：故答案为：52；52+x ；180；180-10x（2）若设第二个月的销售定价每套增加x 元，根据题意得： （52-40）×180+（52+x-40）（180-10x ）=4160， 解得：x 1=-2（舍去），x 2=8， 当x=-2时，52+x=50（舍去），当x=8时，52+x=60．答：第二个月销售定价每套应为60元． （3）设第二个月利润为y 元． 由题意得到：y=（52+x-40）（180-10x ） =-10x 2+60x+2160 =-10（x-3）2+2250 ∵-10＜0∴当4≤x≤6时，y 随x 的增大而减小， ∴当x=4时，y 取最大值，此时y=2240， ∴52+x=52+4=56，即要使第二个月利润达到最大，应定价为56元，此时第二个月的最大利润是2240元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 3．（2019·山东九年级期末）如图，一个圆形水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA ，顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．建立如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y (m )与水平距离x (m )之间的关系式可以用2y x bx c =-++表示，且抛物线经过点B 15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 72,4⎛⎫ ⎪⎝⎭；（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA 的高度； （2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【答案】（1）2724y x x =-++，74米；（2）114米；（3）至少要1⎛+ ⎝⎭米．（1）由题意，将点157,,2,224B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入得：1154227424b c b c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，解得274b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，则抛物线的函数关系式为2724y x x =-++， 当0x =时，74y =， 故喷水装置OA 的高度74米； （2）将2724y x x =-++化成顶点式为211(1)4y x =--+，则当1x =时，y 取得最大值，最大值为114，故喷出的水流距水面的最大高度是114米；（3）当0y =时，211(1)04x --+=，解得12x =+或102x =-<（不符题意，舍去），故水池的半径至少要12⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭米，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．4．（2020·保定市第二十一中学九年级期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x （元）()40x >，请你分别用含x 的代数式来表示销售量y （件）和销售该品牌玩具获得利润w （元），并把结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元． （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？【答案】（1）1000-10x ，-10x 2+1300x-30000；（2）玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 解：（1）∵根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具， ∵销售量y （件）为：600-10（x-40）=1000-10x ；销售玩具获得利润w （元）为： [600-10(x-40）]（x-30） =-10x 2+1300x-30000 故答案为：1000-10x ，-10x 2+1300x-30000；（2）令-10x 2+1300x-30000=10000，解得：x=50 或x=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润； （3）根据题意得：10001054044x x -≥⎧⎨≥⎩解得：44≤x≤46由w=-10x 2+1300x-30000=-10（x-65）2+12250 ∵-10<0，对称轴是直线x=65. ∵当44≤x≤46时，w 随增大而增大 ∵当x=46时，W 最大值=8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、不等式组的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质以及二次函数求最大值是解答本题的关键．5．（2020·河北九年级期末）某种蔬菜的售价1y （元）与销售月份x 之间的关系如图所示，成本2y （元）与销售月份x 之间的关系如图所示．（图的图象是线段，图的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的利润是多少元？（利润=售价-成本） （2）设每千克该蔬菜销售利润为P ，请列出P 与x 之间的函数关系式，并求出哪个月出售这种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总利润为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克．4、5两个月的销售量分别是多少万千克？【答案】（1）6月份出售这种蔬菜每千克的利润是2元；（2）P=2110633x x -+-，5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大为73元；（3）4月份的销售量为40000千克，5月份的销售量为60000千克． （1）当x=6时，y 1=3，y 2=1， ∵y 1-y 2=3-1=2，∵6月份出售这种蔬菜每千克的利润是2元； （2）设y 1=mx+n ，y 2=a(x-6)2+1，将（3，5）、（6，3）分别代入y 1=mx+n ，得3563m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得：237m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴1273=-+y x ； 将（3，4）代入y 2=a(x-6)2+1，得， 4=a （3-6）2+1， 解得：a=13， ∵()222116141333y x x x =-+=-+，∵P=12y y -=()2222111017741365333333x x x x x x ⎛⎫-+--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭， ∵103-<， ∵当x=5时，P 取最大值，最大值为73， 即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，最大值为73元； （3）当x=4时，P=2110633x x -+-=2， 设4月份的销售量为t 千克，则5月份的销售量为（t+20000）千克， 根据题意得：()72200002200003t t ++=， 解得：t=40000， ∴t+20000=60000，答：4月份的销售量为40000千克，5月份的销售量为60000千克． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质等知识，综合性较强，弄清题意，读懂图象，灵活运用相关知识是解题的关键．6．（2020·福建九年级期末）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗.公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元. （1）若该学校购买50棵树苗，求这所学校需向园林公司支付的树苗款； （2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗.【答案】（1）这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元；（2）这所中学购买了80棵树苗. 解：（1）∵50<60， ∵120506000⨯=（元），∵答：这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元.（2）∵购买60棵树苗时所需支付的树苗款为120607200⨯=元8800<元， ∵该中学购买的树苗超过60棵. 又∵120100601000.5-+=，∵购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好降至100元.∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价仍为100元， 此时所需支付的树苗款超过10000元，而100008800>， ∵该中学购买的树苗不超过100棵. 设购买了()60100x x <≤棵树苗， 依题意，得()1200.5608800x x --=⎡⎤⎣⎦， 化简，得2300176000x x -+=， 解得1220100x =>（舍去），280x =. 答：这所中学购买了80棵树苗. 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意弄清题目中的等量关系是本题的解题关键.7．（2020·四川九年级期末）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m 的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计)．()1每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；()2每个生态园的面积_ (填“能”或“不能”）达到108平方米．(直接填答案）【答案】（1）每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米；理由见详解（2）不能，理由见详解．（1）解：设每个生态园垂直于墙的边长为x 米， 根据题意得：()33+1.523482x x ⨯-=⨯整理，得：212320x x +=﹣， 解得：1=4x 、2=8x （不合题意，舍去），∴ 当=4x 时，33+1.523363424x ⨯-=-⨯=，∴242=12÷．答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米． （2）由（1）及题意可知：()33+1.5231082x x ⨯-=⨯整理得：212720x x +=﹣()22=41241721440b ac ∆-=--⨯⨯=-＜∴原方程无实数根∴每个生态园的面积不能达到108平方米．故答案为：不能． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是通过题意设出未知数得到平行于墙的边长，要注意每个生态园开有1.5m 的门，然后根据题意列出一元二次方程即可；在解第二问时要注意利用一元二次方程根的判别式来分析．8．（2018·河北新河中学九年级期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点 P 以 2cm /s 的速度从点 A 出发，沿AC 向点 C 移动，同时动点 Q 以 1cm /s 的速度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 移动，设 P 、Q 两点移动 ts （0＜t ＜5）后，△CQP 的面积为 Scm 2．在 P 、Q 两点移动的过程中，△CQP 的面积能否等于 3.6cm 2？若能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由．【答案】2 或 3 解：在矩形 ABCD 中， ∵AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，∴AC ＝10cm ，AP ＝2tcm ，PC ＝（10﹣2t ）cm ， CQ ＝tcm ，过点 P 作 PH ⊥BC 于点 H ，易知：PH PC AB AC ==10210t-，∴PH ＝35（10﹣2t ）cm ， 根据题意，得12t •35（10﹣2t ）＝3.6， 解得：t 1＝2，t 2＝3．答：△CQP 的面积等于 3.6cm 2 时，t 的值为 2 或 3．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用.9．（2021·安徽九年级月考）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10C ︒，待加热到100C ︒，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温()C y ︒和通电时间()min x 成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20C ︒，接通电源后，水温()C y ︒和通电时间()min x 之间的关系如图所示，回答下列问题：（1）分别求出当08x ≤≤和8x a <≤时，y 和x 之间的函数关系式； （2）求出图中a 的值；（3）李老师这天早上7:30将饮水机电源打开，若他想在8:10上课前喝到不低于40C ︒的开水，则他需要在什么时间段内接水？【答案】（1）08x ≤≤时，1020y x =+；8x a <≤时，800y x=；（2）40；（3）7:38到7:50之间 解：（1）当08x ≤≤时，设1y k x b =+，将(0,20)，(8,100)的坐标分别代入1y k x b =+得1208100b k b =⎧⎨+=⎩， 解得110k =，20b =．∴当08x ≤≤时，1020y x =+． 当8x a <≤时，设2k y x=， 将(8,100)的坐标代入2k y x =， 得2800k =．∴当8x a <≤时，800y x=． 综上，当08x ≤≤时，1020y x =+；当8x a <≤时，800y x =； （2）将20y =代入800y x=，解得40x =， 即40a =； （3）当40y =时，8002040x ==． ∴要想喝到不低于40C ︒的开水，x 需满足820x ≤≤， 即李老师要在7:38到7:50之间接水．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．10．（2020·内蒙古和林格尔县第三中学九年级月考）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y （千米/小时）与时间x （小时）成反比例函数关系缓慢减弱．（1）这场沙尘暴的最高风速是__________千米/小时，最高风速维持了__________小时；（2）当20x ≥时，求出风速y （千米/小时）与时间x （小时）的函数关系式；（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，求“危险时刻”共有几小时．【答案】（1）32，10；（2）640y x=；（3）共有59.5小时 解：（1）0～4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4=32千米/时，10～20时，风速不变，最高风速维持时间为20-10=10小时；故答案为：32，10．（2）设k y x=，将()20,32代入，得：3220k =， 解得：640k =． 所以当20x ≥时，风速y （千米/小时）与时间x （小时）之间的函数关系为：640y x =． （3）∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，∴4.5时风速为10千米/时．将10y =代入640y x =， 得64010x=，解得64x =， 64 4.559.5-=（小时）故在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有59.5小时．【点睛】 本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键．11．（2020·浙江九年级一模）2020年4月，学校复学后，为确保学生的安全，某校对各教室进行“84”消毒液消毒，如下左图描述了防疫人员消毒阶段室内每立方米空气中含药量()mg y 与时间()min x 的关系：表格记录了消毒结束后室内每立方米空气中含药量()mg y 与时间()min x 的部分数据．（1）求前3分钟消毒阶段y 关于x 的函数表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，根据表中数据画出消毒后y 关于x 的函数图象，并求出该函数表达式；（3）研究表明，当每立方米空气中含药量低于1.2mg 时，对人体无毒害作用，那么在哪个时段学生不能停留在教室里？【答案】（1）y=83x （0≤x≤3）；（2）图像见详解，y=24x （x ＞3）；（3）在920分钟到20分钟内不能停留在教室解：（1）设前3分钟消毒阶段的解析式为y=kx ，将（3，8）代入得8=3k ，解得k=83， ∴解析式为：y=83x （0≤x≤3）；（2）图像如下：设函数表达式为y=k x， 将（6，4）代入得k=24，∴解析式为：y=24x（x ＞3）； （3）当y=1.2时，在前三分钟内：得1.2=83x （0≤x≤3）， 解得x=920， 在后期1.2=24x （x ＞3）， 解得x=20， ∴920＜x ＜20 ∴在920＜x ＜20这段时间内不能回教室． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，求出解析式是解题关键．12．（2020·河南九年级其他模拟）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片湿地，为了人员和设备能够安全迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块大小不同的木板，构筑成一条临时通道．根据学习函数的经验，该小组对木板对地面的压强与木板的面积之间的关系进行探究．已知当压力不变时，木板对地面的压强()P Pa 与木板面积()2S m的对应值如下表：（1）求P 与S 之间满足的函数关系式；（2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合图形，如果要求压强不超过4000Pa ，木板的面积至少要多大?【答案】（1）600Sp =；（2）见解析；（3）当压强不超过4000Pa 时，木板面积至少20.15m 解：（1）1600154002300600⨯=⨯=⨯=．，600Sp ∴=； （2）如图所示，（3）当4000p =时，20.15s m =．答：当压强不超过4000Pa 时，木板面积至少20.15m ．【点睛】本题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题，要认真观察图象得出正确的结果．13．（2020·广东深圳实验学校九年级期中）如图1，大桥桥型为低塔斜拉桥，图2是从图1抽象出的平面示意图，现测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索CD 与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离B C 为4米，两拉索底端距离AD 为20米，试求立柱BE 的长．（结果精确到0.1 1.732≈）【答案】立柱BE 的长约为15.3米如图2，设BE=x 米，由BC=4米得CE=(x-4)米，在Rt △ABE 中 ∵tan BE A AE=，∠A=30°∴tan tan 30BE x AE A ===︒米； 在Rt △DCE 中 ∵tan CDE CE DE∠=，∠CDE=60°∴4D 4)tan tan 60CE x E x CDE -===-∠︒米 由AE-DE=20米，得4)20x -=解之得215.3x =≈．答：立柱BE 的长为15.3米．【点睛】此题考查三角函数的实际应用．此题关键是要分别在两个直角形内运用三角函数列关系式，再据题意例方程求解．14．（2020·长春吉大附中力旺实验中学九年级月考）数学爱好小组要测量5G 信号基站高度，一名同学站在距离5G 信号基站30m 的点E 处，测得基站项部的仰角52ACD ∠=°，已知测角仪的高度15m CE =.．求这个5G 信号基站的高AB （精确到1m ）．（参考数据：sin520.79,cos520.62,tan52 1.28===）【答案】40解：如图，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ．则四边形CEBD 是矩形，15m BD CE ==.，在Rt ACD △中，30m,52CD EB ACD ==∠=︒ ∵tan AD ACE CD∠=， ∴tan 30 1.2838.4(m)AD CD ACD ∠=⋅≈⨯=．∴38.4 1.540(m)AB AD BD =+=+≈．答：这个5G 信号基站的高AB 约为40m ．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用．通过做辅助线，分割图形，构建直角三角形，并解直角三角形是解答本题的关键．15．（2020·潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）数学活动课上，小明和小红要测量小河对岸大树BC 的高度，小红在点A 测得大树顶端B 的仰角为45︒，小明从A 点出发沿斜坡走D ，在此处测得树顶端点B 的仰角为31︒，且斜坡AF 的坡比为1:2．（1）求小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度；（2）依据他们测量的数据能否求出大树BC 的高度？若能，请计算：若不能，请说明理由．（参考数据：sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.60︒≈）【答案】（1）4米 （2）能；22米解：（1）作DH AE ⊥于H ，如图所示：在Rt ADH ∆中， ∵12DH AH =， ∴2AH DH =，∵222AH DH AD +=，∴()(2222DH DH +=， ∴4DH =．答：小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度为4米．（2）如图所示：过点D 作DG BC ⊥于点G ，设BC xm =，在Rt ABC ∆中，45BAC ∠=︒，∴AC BC x ==，由（1）得28AH DH ==，在矩形DGCH 中，4DH CG ==，8DG CH AH AC x ==+=+，在Rt BDG ∆中，由4tan 0.68BG x BAG DG x ∠-==≈+， 解得：22x =答：大树的高度约为22米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．16．（2020·浙江九年级一模）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD E '的位置（如图2所示），已知90AD =厘米，30DE =厘米，40EC =厘米．（1）求点D 到BC 的距离；（2）求E 、E '两点的距离．【答案】（1）点D′到BC 的距离为（）厘米；（2）E∵E′两点的距离是 解：（1）过点D′作D′H ⊥BC ，垂足为点H ，交AD 于点F ，如图3所示．由题意，得：AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFD′=∠BHD′=90°．在Rt △AD′F 中，D′F=AD′•sin ∠DAD′=90×sin60°=453厘米．又∵CE=40厘米，DE=30厘米，∴FH=DC=DE+CE=70厘米，∴D′H=D′F+FH=（453+70）厘米．答：点D′到BC 的距离为（453+70）厘米．（2）连接AE ，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′=AE ，∠EAE′=60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′=AE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADE=90°．在Rt △ADE 中，AD=90厘米，DE=30厘米， ∴223010AE AD DE =+=厘米，∴EE′=3010厘米．答：E 、E′两点的距离是3010厘米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F 的长度；（2）利用勾股定理求出AE 的长度．17．（2019·甘州中学九年级月考）如图，从一个建筑物的A 处测得对面楼BC 的顶部B 的仰角为32º，底部C 的俯角为45º，观测点与楼的水平距离AD 为31m ，则楼BC 的高度大约为多少米？（结果取整数）．（参考数据：sin 320.5︒≈，cos320.8︒≈，tan 320.6︒≈）【答案】50．解：在Rt △ABD 中， ∵AD =31,∠BAD =32°， ∴BD =AD ⋅tan32°=31×0.6=18.6， 在Rt △ACD 中， ∵∠DAC =45°， ∴CD =AD =31，∴BC =BD +CD =18.6+31≈50m ． 答：楼BC 的高度大约为50米． 【点睛】本题考查了仰角与俯角的知识，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 18．（2020·浙江九年级一模）如图，小区内有一条南北方向的小路MN ，快递员从小路旁的A 处出发沿南偏东53°方向行走200m 将快递送至B 楼，又继续从B 楼沿南偏西30°方向行走120m 将快递送至C 楼，求此时快递员到小路MN 的距离．（计算结果精确到1m ．参考数据：sin530.80,cos530.60,tan53 1.33︒≈︒≈︒≈）【答案】120m如图，过B 作BD ⊥MN 于D ，过C 作CE ⊥MN 于E ，过B 作BF ⊥EC 于F ， 则四边形DEFB 是矩形， ∴BD =EF ，在Rt △ABD 中,ADB 90∠=︒ ,53DAB ∠=︒，AB =200m ， ∴sin532000.8160BD AB =︒=⨯=m ，在Rt △BCF 中,90BFC ∠=︒ ,3CBF 0∠=︒，BC =120m ， ∴1602CF BC ==m ， ∴16060100CE EF CF =-=-=m ， 答：快递员到小路MN 的距离是100m .【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确把握定义是解题关键.19．（2020·浙江省临海市回浦实验中学九年级期中）在我市开展的创建文明城市活动中，某居民小区要在一块一边靠墙(墙长18m )的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成(如图所示)．若设花园的BC 边长为()x m ，花园的面积为2()y m（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到2200m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由； （3）当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）2240(1120)y x x x =-+≤<；（2）不能，理由见解析；（3）当x 取11米时，花园的面积最大，最大面积是2198m ． 解：（1）由题意可得，()2402240y x x x x =⋅-=-+，0040218x x >⎧⎨<-≤⎩解不等式得11≤x ＜20即2240(1120)y x x x =-+≤<； （2）不能，理由：将200y =代入2240y x x =-+， 得2200240x x =-+， 解得，121011x x ==<，答：花园面积不能达到2200m ；（3）∵222402(10)200y x x x =-+=--+，∴函数图象的顶点为()10,200，开口向下，当10x <时，y 随x 的增大而增大，当10x >时，y 随x 的增大而减小，由题意可知，1120x ≤<，∴当11x =时，y 最大，此时198y =，答：当x 取11米时，花园的面积最大，最大面积是2198m ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，结合实际问题并从中抽象出函数模型，借助二次函数解决实际问题是解决本题的关键．20．（2020·浙江九年级其他模拟）如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔1.6秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径和爆炸时的高度均相同．皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h （米）随飞行时间t （秒）变化的规律如下表：（1）根据这些数据在图2的直角坐标系中画出相应的点，选择适当的函数表示h （米）与t （秒）之间的关系，并求出相应的函数表达式；（2）当第一发花弹发射2秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于18米．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求？【答案】（1）h=-2（t-3）2+19.8；（2）6.28米；（3）花弹的爆炸高度符合安全要求，理由见详解解：（1）描点如下图所示，其图象近似为抛物线，故可设其解析式为：h=a（t-3）2+19.8，把点（0，1.8）代入得：1.8=a（0-3）2+19.8，∴a=-2，∴h=-2（t-3）2+19.8，故相应的函数解析式为：h=-2（t-3）2+19.8，（2）∵花每隔1.6秒发射一发花弹∴当第一发花弹发射2秒后，第二发已经飞行了0.4秒，∴把t=0.4代入关系式h=-2（t-3）2+19.8即h=-2（0.4-3）2+19.8=6.28米，∴当第一发花弹发射2秒后，第二发花弹达到的高度为6.28米（3）∵这种烟花每隔1.6秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同，皮皮小朋友发射出的第一发花弹的函数解析式为：h=-2（t-3）2+19.8，∴第二发花弹的函数解析式为：h′=-2（t-4.6）2+19.8，皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，则令h=h′得-2（t-3）2+19.8=-2（t-4.6）2+19.8∴t=3.8秒，此时h=h′=18.52米＞18米，答：花弹的爆炸高度不符合安全要求．【点睛】本题是二次函数的应用题，需要先根据表格中数据描点，得出函数图象，再求出其解析式，分析变化趋势，可以代值验算，第三问需要从实际问题分析转变成数学模型，从而得解．。
2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷(有答案)
2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则m的值为（）A．﹣2B．﹣2或1C．1D．不存在2．如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，8），点C在y轴正半轴上，点D在x 轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为（）A．3.6B．4.8C．3D．33．一次数学测试后，随机抽取九年级三班6名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关于这组数据的错误说法是（）A．极差是15B．众数是88C．中位数是86D．平均数是87 4．近年来，我国石油对外依存度快速攀升，2017年和2019年石油对外依存度分别为64.2%和70.8%，设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为x，则下列关于x的方程正确的是（）A．64.2%（1+x）2＝70.8%B．64.2%（1+2x）＝70.8%C．（1+64.2%）（1+x）2＝1+70.8%D．（1+64.2%）（1+2x）＝1+70.8%5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝60°，则∠ABO的大小为（）A．30°B．40°C．45°D．50°6．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE＝∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为．其中，正确的结论是（）A．①②④B．①③⑤C．②③④D．①④⑤7．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝∠BAC，则cos∠BPC＝（）A．B．C．D．8．设max{m，n}表示m，n（m≠n）两个数中的最大值．例如max{﹣1，2}＝2，max{12，8}＝12，则max{2x，x2+2}的结果为（）A．2x﹣x2﹣2B．2x+x2+2C．2x D．x2+2二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．方程x2＝4的解为．10．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是．11．若，则的值为．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x0123y75713则代数式（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为．13．如图，某同学利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是cm2．14．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是．15．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．16．如图，小明为了测量楼房MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA 方向后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点．若AC＝1.6m，小明的眼睛B点离地面的高度BC为1.5m，则楼高MN＝m．17．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为．18．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为．三．解答题（共10小题，满分96分）19．（1）计算：（π﹣2019）0+2sin60°﹣+|1﹣|（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝020．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；（2）如果AC＝1，tan B＝，求∠CAD的正弦值．21．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O ″A″B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为．22．“共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章，在2019年获得“共和国勋章”的八位杰出人物中，有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士，如图是四位院士（依次记为A、B、C、D）为让同学们了解四位院士的贡献，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上A、B、C、D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学可以从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料制作小报，求小明和小华查找同一位院士资料的概率．23．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”24．如图所示，已知：∠AOB＝120°，PT切⊙O于T，A，B，P三点共线，∠APT的平分线依次交AT，BT于C，D．（1）求证：△CDT为等边三角形．（2）若AC＝4，BD＝1，求PC的长．25．已知函数y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，y2＝nx+k﹣2n（m，n，k为常数且n≠0）．（1）若函数y1的图象经过点A（2，5），B（﹣1，3）两个点中的其中一个点，求该函数的表达式．（2）若函数y1，y2的图象始终经过同一定点M．①求点M的坐标和k的值．②若m≤2，当﹣1≤x≤2时，总有y1≤y2，求m+n的取值范围．26．如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若∠ABC＝30°，求tan∠BCO的值．27．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；（2）若DE2＝EF•EA，求证：AE平分∠BAD；（3）在（2）的条件下，若AD＝4，DF＝2，求⊙O的半径．28．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M 的坐标和周长的最小值．（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则，解得：m＝﹣2．2．解：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，∵GM⊥EF，∴EF＝2FM＝2＝2，当GM的值最小时，EF的值最小，根据垂线段最短可知，当直线过O点时，EF的值最大，∵A（6，0），B（0，8），∴AB＝10，∵sin∠OAB＝＝，∴OM＝4.8，∵CD＝6，∴OG＝3，∴GM＝1.8，∴FM＝2.4，∴EF＝4.8；故选：B．3．解：A、极差是15，故A正确；B、众数是88，故B正确；C、中位数是87，故C错误；D、平均数是87，故D正确．故选：C．4．解：设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为x，由题意，得64.2%（1+x）2＝70.8%．5．解：∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AO＝BO，∴∠ABO＝（180°﹣120°）÷2＝30°，故选：A．6．解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，∴AB＝AC＝BC＝，CD＝DE＝CE；∠B＝∠ACB＝∠DEC＝∠DCE＝45°；①∵∠ACB＝∠DCE＝45°，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE；即∠ECB＝∠DCA；故①正确；②当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC；当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC 必为锐角；故②不完全正确；④∵，∴；由①知∠ECB＝∠DCA，∴△BEC∽△ADC；∴∠DAC＝∠B＝45°；∴∠DAC＝∠BCA＝45°，即AD∥BC，故④正确；③由④知：∠DAC＝45°，则∠EAD＝135°；∠BEC＝∠EAC+∠ECA＝90°+∠ECA；∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；因此△EAD与△BEC不相似，故③错误；⑤△A BC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC＝AC＝，AD＝1；故S＝（1+2）×1＝，故⑤正确；梯形ABCD因此本题正确的结论是①④⑤，故选D．7．解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：∵AB＝AC＝5，∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC，∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝＝＝3，∴cos∠BPC＝cos∠BAE＝＝．故选：C．8．解：∵x2+2﹣2x＝（x﹣1）2+1，（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴x2+2＞2x，∴max{2x，x2+2}的结果为：x2+2．故选：D．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．解：开方得，x＝±2，即x1＝2，x2＝﹣2．故答案为，x1＝2，x2＝﹣2．10．解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝6×＝3﹣3．故答案为：3﹣3．11．解：∵＝，∴b＝a，∴＝＝．故答案为：．12．解：观察表格可知：x＝0时，y＝7，x＝2时，y＝7，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，∵x＝3时，y＝13，∴x＝﹣1时，y＝13，∴4a+2b+c＝7，a﹣b+c＝13，∴（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为91，故答案为91．13．解：圆锥侧面积公式为：s侧面积＝πrR＝π×10×40＝400π．故答案为：400π．14．解：∵直角三角形中，两直角边分别是12和5，∴斜边为＝13，∴斜边上中线长为×13＝6.5．故答案为：6.5．15．解：如图，连接AB．∵OA＝AB＝，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝，故答案为：．16．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠N＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA．∴，即，∴MN＝（m），答：楼房MN的高度为m，故答案为：．17．解：由折叠得：∠CBO＝∠DBO，∵矩形ABCO，∴BC∥OA，∴∠CBO＝∠BOA，∴∠DBO＝∠BOA，∴BE＝OE，在△ODE和△BAE中，，∴△ODE≌△BAE（AAS），∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则有OE＝BE＝8﹣x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，即OE＝5，DE＝3，过D作DF⊥OA，∵S＝OD•DE＝OE•DF，△OED∴DF＝，OF＝＝，则D（，﹣）．故答案为：（，﹣）18．解：根据题意知，∠AFE＝∠BDG＝∠C＝90°，∴∠A＝BDG（同角的余角相等）．∴△AEF∽△DBG，∴＝．又∵EF＝DG，AF＝4，GB＝9，∴＝．∴EF＝6．即正方形铁皮的边长为6．故答案是：6．三．解答题（共10小题，满分96分）19．解：（1）原式＝1+2×﹣2+﹣1＝1+﹣2+﹣1＝0；（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，则x﹣3＝0或x+1＝0，解得x＝3或x＝﹣1．20．解：（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2∴∠DAB＝2∠CAD在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴∠DAB＝∠DBA∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°解得，∠CAD＝18°（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B＝＝，∴BC＝2由勾股定理得，AB＝＝＝∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴BE＝AE＝∵∠DAE＝∠DBE∴在Rt△ADE中tan∠B＝tan∠DAE＝＝∴DE＝∴由勾股定理得AD＝＝＝∴cos∠CAD＝＝＝∴sin∠CAD＝＝＝则∠CAD的正弦值为21．解：（1）如图，△O′A′B即为所求；（2）如图，△O″A″B即为所求；（3）如图，∵点M是OA的中点，∴M的对应点M′的坐标为（2，7）．故答案为：（2，7）．22．解：根据题意画树状图如下：共有16种等可能的结果数，其中小明和小华查找同一位院士资料的有4种结果，∴小明和小华查找同一位院士资料的概率为＝．23．解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，设ED＝x，则CD＝x，AD＝12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，x＝，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED＝x，S△ABC＝AC•BC＝AB•CP，12×5＝13CP，CP＝，同理得：△CDG∽△CAB，∴＝，∴＝，x＝＜，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步）．24．（1）证明：∵∠AOB＝120°，∴∠ATB＝＝60°，∵PT切⊙O于T，∴∠BTP＝∠TAP，∵PC平分∠APT，∴∠APC＝∠CPT，∵∠TCD＝∠TAP+∠APC，∠CDT＝∠BTP+∠CPT，∴∠TCD＝∠CDT＝＝60°，∴△CDT为等边三角形；（2）解：设CT＝DT＝x，∵∠TCD＝∠CDT＝∠BDP，∠BPD＝∠CPT，∴△PCT∽△PDB，∴，∵∠DTP＝∠PAC，∠APC＝∠DPT，∴△ACP∽△TDP，∴，∴，即，∴x2＝4，∴x＝±2，∵x＞0，∴x＝2，∴，PC＝4．25．解：（1）对于函数y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，当x＝2时，y＝3，∴点A不在抛物线上，把B（﹣1，3）代入y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，得到3＝1+3m+5，解得m＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1．（2）①∵函数y1经过定点（2，3），对于函数y2＝nx+k﹣2n，当x＝2时，y2＝k，∴当k＝3时，两个函数过定点M（2，3）．②∵m≤2，∴抛物线的对称轴x＝≤2，∴抛物线的对称轴在定点M（2，3）的左侧，由题意当1+（m+2）+2m+3≤﹣n+3﹣2n时，满足当﹣1≤x≤2时，总有y1≤y2，∴3m+3n≤﹣3，∴m+n≤﹣1．26．（1）证明：连接OD．∵O为AB中点，D为BC中点，∴OD∥AC．∵DF为⊙O的切线，∴DF⊥OD．∴DF⊥AC．（2）过O作OE⊥BD，则BE＝ED．在Rt△BEO中，∠B＝30°，∴OE＝OB，BE＝OB．∵BD＝DC，BE＝ED，∴EC＝3BE＝OB．在Rt△OEC中，tan∠BCO＝．27．证明：（1）∵AB是直径，∴∠BDA＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠CAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，∴∠CAD＝∠ABD，∴∠CAD+∠DAB＝90°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，且AO是半径，∴AC为⊙O的切线；（2）∵DE2＝EF•EA，∴，且∠DEF＝∠DEA，∴△DEF∽△AED，∴∠EDF＝∠DAE，∵∠EDF＝∠BAE，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（3）如图，过点F作FH⊥AB，垂足为H，∵AE平分∠BAD，FH⊥AB，∠BDA＝90°，∴DF＝FH＝2，＝AB×FH＝×BF×AD，∵S△ABF∴2AB＝4BF，∴AB＝2BF，在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，∴（2BF）2＝（2+BF）2+16，∴BF＝，BF＝﹣2（不合题意舍去）∴AB＝，∴⊙O的半径为．28．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，∴BC＝＝3，同理AC＝，∴此时△AMC的周长＝AC+AM+MC＝AC+BC＝+3；∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和B（3，0），∴AE＝BE＝1，对称轴为x＝2，由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，∴EB＝EM＝1，又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，∴M（2，﹣1）；（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形．∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），则FG2＝（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2，CF2＝（m2﹣4m）2+m2，GC2＝2m2，当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2＝m2+（m2﹣4m）2，解得m＝0（舍去）或4；当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或3；当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5或3（舍去），综上，m＝5或m＝4或或3．。
2020-2021学年福建省厦门市九年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年福建省厦门市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）有一组数据：1，2，3，3，4，这组数据的众数是（）A．1B．2C．3D．42．（4分）下列方程中有两个相等实数根的是（）A．（x﹣1）（x+1）＝0B．（x﹣1）（x﹣1）＝0C．（x﹣1）2＝4D．x（x﹣1）＝03．（4分）不等式组的解集是（）A．x＞﹣1B．x＞﹣C．x D．﹣14．（4分）在如图所示的正方形ABCD中，点E在边CD上，把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，∠FAB＝20°，旋转角的度数是（）A．110°B．90°C．70°D．20°5．（4分）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π6．（4分）为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明画出如图所示的树状图．已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球恰好是1个白球和1个黑球的结果共有（）A．1种B．2种C．3种D．4种7．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，BE，则关于△ABF外心的位置，下列说法正确的是（）A．在△ABF内B．在△BFE内C．在线段BF上D．在线段BE上8．（4分）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了m个人，则第二轮被传染上流感的人数是（）A．m+1B．（m+1）2C．m（m+1）D．m29．（4分）东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝（）向右水平拉直（保持M端不动），根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D10．（4分）为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O为中心，A，B，C，D是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉，喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l上与点O相距14m处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）投掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是1的概率是．12．（4分）若x＝3是方程x2﹣bx+3＝0的一个根，则b的值为．13．（4分）抛物线y＝3（x﹣1）2+2的对称轴是．14．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在上，点D在AB上，AC＝AD，OE⊥CD于E．若∠COD＝84°，则∠EOD的度数是．15．（4分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，B（2，0），OA＝AB，∠AOB＝30°，把△OAB绕点B顺时针旋转60°得到△MPB，点O，A的对应点分别为M（a，b），P（p，q），则b﹣q的值为．16．（4分）已知抛物线y＝﹣x2+6x﹣5的顶点为P，对称轴l与x轴交于点A，N是PA的中点．M（m，n）在抛物线上，M关于直线l的对称点为B，M关于点N的对称点为C．当1≤m≤3时，线段BC的长随m的增大而发生的变化是．（“变化”是指增减情况及相应m的取值范围）三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，过点O作OD∥BC交AC 于D，∠ODA＝45°．求证：AC是⊙O的切线．19．（8分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝．20．（8分）2018年某贫困村人均纯收入为3000元，对该村实施精准扶贫后，2020年该村人均纯收入达到5070元，顺利实现脱贫．这两年该村人均纯收入的年平均增长率是多少？21．（8分）某批发商从某节能灯厂购进了50盒额定功率为15W的节能灯，由于包装工人的疏忽，在包装时混进了30W的节能灯．每盒中混入30W的节能灯数见表：每盒中混入30W的01234节能灯数盒数1425911（1）平均每盒混入几个30W的节能灯？（2）从这50盒中任意抽取一盒，记事件A为：该盒中没有混入30W的节能灯，求事件A的概率．22．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中BD＞AC，把△AOD绕点O顺时针旋转得到△EOF（点A的对应点为E），旋转角为α（α为锐角）．连接DF，若EF⊥OD．（1）求证：∠EFD＝∠CDF；（2）当α＝60°时，判断点F与直线BC的位置关系，并说明理由．23．（10分）已知抛物线y＝（x﹣2）（x﹣b），其中b＞2，该抛物线与y轴交于点A．（1）若点（b，0）在该抛物线上，求b的值；（2）过点A作平行于x轴的直线l，记抛物线在直线l与x轴之间的部分（含端点）为图象L．点M，N在直线l上，点P，Q在图象L上，且P在抛物线对称轴的左侧．设点P的横坐标为m，是否存在以M，P，Q，N为顶点的四边形是边长为m+1的正方形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）某海湾有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为100m（如图所示）．由于潮汐变化，该海湾涨潮5h后达到最高潮位，此最高潮位维持1h，之后开始退潮．如：某日16时开始涨潮，21时达到最高潮位，22时开始退潮．该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度随涨潮时间t变化的情况大致如表一所示：（在涨潮的5h内，该变化关系近似于一次函数）表一涨潮时间t（单位：h）123456桥下水位上涨的高44度（单位：m）（1）求桥下水位上涨的高度（单位：m）关于涨潮时间t（0≤t≤6，单位h）的函数解析式；（2）某日涨潮期间，某船务公司对该桥下水面宽度进行了三次测量，数据如表二所示：表二涨潮时间t（单位：h）桥下水面宽（单位：m）202020现有一艘满载集装箱的货轮，水面以上部分高15m，宽20m，在涨潮期间能否安全从该桥下驶过？请说明理由．25．（14分）在△ABC中，∠B＝90°，D是△ABC外接圆上的一点，且点D是∠B所对的弧的中点．（1）尺规作图：在图1中作出点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）如图2，连接BD，CD，过点B的直线交边AC于点M，交该外接圆于点E，交CD 的延长线于点P，BA，DE的延长线交于点Q．①若＝，AB＝4，BC＝3，求BE的长；②若DP＝（AB+BC），DP＝DQ，求∠PDQ的度数．2020-2021学年福建省厦门市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．【分析】找出数据中出现次数最多的数即可．【解答】解：∵3出现了2次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为3；故选：C．【点评】此题考查了众数．众数是这组数据中出现次数最多的数．2．【分析】只需将一元二次方程转化为一般形式，然后运用根的判别式就可解决问题．【解答】解：A、原方程转化为一般式方程为：x²﹣1＝0，Δ＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，方程有两个不相等的两个实数根，故不符合题意；B、原方程转化为一般式方程为：x²﹣2x+1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的两个实数根，故符合题意；C、原方程转化为一般式方程为：x²﹣2x﹣3＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，方程有两个不相等的两个实数根，故不符合题意；D、原方程转化为一般式方程为：x²﹣x＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0，方程有两个不相等的两个实数根，故不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x≥﹣1，得：x≥﹣，又x＞﹣1，∴不等式组的解集为x≥﹣，故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．4．【分析】根据图形旋转前后对应点与旋转中心的连线的夹角即为旋转角确定把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF后旋转角即为∠DAB，然后根据正方形的性质求解．【解答】解：∵把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，∴旋转角为∠DAB，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，故选：B．【点评】本题考查旋转的性质，理解旋转角的概念是解题基础．5．【分析】直接根据扇形的面积公式求解．【解答】解：这个扇形的面积＝＝3π．故选：C．【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．6．【分析】由树状图知符合条件的结果为（白球、黑球）这一种结果．【解答】解：由树状图知，明从两个口袋中各随机取出一个球恰好是1个白球和1个黑球的结果共有1种，故选：A．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．7．【分析】正六边形ABCDEF的中心，是△ABF的外心，由此即可判断．【解答】解：在正六边形ABCDEF中，△ABF的外心是正六边形的中心，是线段BE的中点，故选：D．【点评】本题考查正多边形与圆，三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．【分析】由每轮传染中一人传染的人数，可得出经过一轮传染后有染上流感得人数，再利用第二轮被传染上流感的人数＝经过一轮传染后有染上流感得人数×每轮传染中一人传染的人数，即可得出结论．【解答】解：∵在每轮的传染中平均一个人传染了m 个人，∴经过一轮传染后有（m +1）人染上流感，∴第二轮被传染上流感的人数是m （m +1）人．故选：C ．【点评】本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，用含m 的代数式表示出第二轮被传染上流感的人数是解题的关键．9．【分析】求得的长度，结合数轴作出选择．【解答】解：根据题意知，的长度为：π×1≈×3＝1.5，则与拉直后铁丝N 端的位置最接近的是点A ．故选：A ．【点评】本题主要考查了圆的认识，需要掌握圆的周长公式，难度不大．10．【分析】如图，设点P 是喷泉中心位置，OP ＝14m ，连接PD ．求出PA ，PB ，PT ，PC 即可判断．【解答】解：如图，设点P 是喷泉中心位置，OP ＝14m ，连接PT ．由题意，OA ＝6m ，∴PA ＝8m ＜10m ，∵PT ＝＝m ＜10m ，PB ＝11m ＞10m ，PC ＞PB ＞10m ，∴为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是2个，故选：B ．【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．【分析】用掷到点数是1的结果数除以所有可能的结果数即可．【解答】解：投掷一枚质地均匀的正方体骰子共有6种等可能结果，其中向上一面的点数是1的只有1种结果，所以向上一面的点数是1的概率为，故答案为：．【点评】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．12．【分析】由一元二次方程的解的定义，将x＝3代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值即可．【解答】解：根据题意，得32﹣3×b+3＝0，即﹣3b+12＝0，解得，b＝4．故答案是：4．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．13．【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2，∴该抛物线对称轴是直线x＝1，故答案为：直线x＝1．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，由顶点式可以直接写出对称轴．14．【分析】首先利用圆周角定理得到：∠A＝42°；然后根据等腰△ACD的性质求得∠ADC 的度数；最后由直角三角形两个锐角互余的性质求得结果．【解答】解：如图，∵＝，∠COD＝84°，∴∠A＝∠COD＝42°．又∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD＝＝69°．∵OE⊥CD，∴∠OED＝90°．∴∠EOD＝90°﹣69°＝21°．故答案是：21°．【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，难度不大，掌握相关定理和性质即可解题．15．【分析】如图，连接OM，MA，延长A交OB于D．证明△OMB是等边三角形，推出MD⊥OB，BP⊥OB，求出DM，PB，可得结论．【解答】解：如图，连接OM，MA，延长A交OB于D．∵BO＝BM，∠OBM＝60°，∴△OBA是等边三角形，∴MO＝MB，∵AO＝AB，∴MD垂直平分线段OB，∴OD＝OB＝，∵∠AOB＝30°，∴AD＝OD•tan30°＝1，OA＝AB＝BP＝AM＝2，∵∠ABP＝60°，∠ABO＝∠AOB＝30°，∴∠OBP＝90°，∴M（，3），P（2，2），∴b＝3，q＝2，∴b﹣q＝1．故答案为：1．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．【分析】将二次函数的解析式写成顶点式，得到P的坐标和对称轴，由此写出N点坐标，接着分别利用对称性质，写出B点和C点坐标，通过画图或者数据，都可以发现B和C 的横坐标相同，由此得到BC∥y轴，接下来要表示出线段BC的长度，由于无法确定B点和C点谁在上方，故需要找到B与C重合的位置，即纵坐标为2时，求出此时对应的横坐标，然后展开分类讨论，用m表示出BC的长度，利用二次函数性质，即可得到结论．【解答】解：∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），对称轴l为直线x＝3，∴A（3，0），∵N是PA的中点，∴N（3，2），∵M关于直线l的对称点为B，∴B（6﹣m，n），∵M点关于N的对称点为C，∴N是MC的中点，∴C（6﹣m，4﹣n），∵B和C的横坐标相同，∴BC∥y轴，令y＝2，则﹣x2+6x﹣5＝2，∴，①当1≤m≤3﹣时，M在N点下方，如图1，∴B在C下方，∴BC＝4﹣2n，∵n＝﹣（m﹣3）2+4，∴BC＝2（m﹣3）2﹣4，∵a＝2＞0，∴当1≤m≤3﹣时，BC的大小随着m的增大而减小，②当3＜m≤3时，M在N点上方，如图2∴B在C上方，∴BC＝n﹣4+n＝2n﹣4，∴BC＝﹣2（m﹣3）2+4，∵a＝﹣3＜0，∴当3﹣＜m≤3时，BC的大小随着m增大而增大，即当1≤m≤3时，BC的长随m的增大而减小，当3＜m≤3时，BC的长随m 的增大而增大．【点评】此题考查了二次函数的性质以及图象上点的坐标特征，熟练化成顶点式，得到顶点坐标和对称轴，是解决此题的基本要求，同时，注意用函数思想讨论线段BC的变化趋势是解决本题的关键．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：∵x2﹣2x＝5，∴x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6，则x﹣1＝，∴x＝1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．【分析】由等腰三角形的性质得出∠C＝∠B，由平行线的性质得出∠ODA＝∠C＝45°，由三角形内角和定理得出∠CAB＝90°，则可得出结论．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝45°，∴∠B＝45°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴AC⊥AB，∵AB为⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题主要考查圆的切线的判定、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握切线的判定是解题的关键．19．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝×＝，当x＝+时，原式＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、二次根式的除法法则是解题的关键．20．【分析】设这两年该村人均纯收入的年平均增长率是x，根据该村2018年及2020年的人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这两年该村人均纯收入的年平均增长率是x，依题意得：3000（1+x）2＝5070，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．答：这两年该村人均纯收入的年平均增长率是30%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．【分析】（1）利用加权平均数的定义列式计算即可；（2）用没有混入30W节能灯的盒数除以总数量即可．【解答】解：（1）＝1（个），答：平均每盒混入1个30W的节能灯．（2）在这50盒中，没有混入30W节能灯的有14盒，所以事件A的概率为＝．【点评】本题考查了概率公式和加权平均数．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．【分析】（1）由菱形性质可知∠ODA＝∠ODC，由旋转性质可知，OD＝OF，∠ODA＝∠OFE，所以∠OFD＝∠ODF，∠OFE＝∠ODC，所以∠OFD﹣∠OFE＝∠ODF﹣∠ODC，立即得证；（2）连接CF，由已知条件可证AC∥EF，则∠OEF＝∠AOE＝60°，可求得∠EFO＝30°＝∠ODA＝∠ODC，∠ACD＝∠ACB＝60°．再证明△ODF为等边三角形，则得∠CDF ＝30°，然后利用“SAS”证明△ODC≌△FDC，得∠DCF＝∠DCO＝60°，从而证明∠BCF＝∠ACB+∠ACD+∠DCF＝3×60°＝180°即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，BD为对角线，∴∠ODA＝∠ODC，由旋转性质可知，OD＝OF，∠ODA＝∠OFE，∴∠OFD＝∠ODF，∠OFE＝∠ODC，∴∠OFD﹣∠OFE＝∠ODF﹣∠ODC，即∠EFD＝∠CDF．（2）解：点F在BC的延长线上，理由如下：连接CF，由于四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC．当α＝60°时，∵EF⊥OD，∴AC∥EF，∴∠OEF＝∠AOE＝60°，又由旋转性质知∠EOF＝∠AOD＝90°，∴∠EFO＝30°＝∠ODA＝∠ODC，∴∠ADC＝60°，由菱形性质可知∠ACD＝∠ACB＝60°．∵∠DOF＝60°，又OD＝OF，则△ODF为等边三角形，∴∠CDF＝∠ODF﹣∠ODC＝60°﹣30°＝30°，在△ODC和△FDC中，，∴△ODC≌△FDC（SAS）．∴∠DCF＝∠DCO＝60°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACD+∠DCF＝60°+60°+60°＝180°．故F在BC的延长线上．【点评】本题考查了图形旋转的性质，菱形的性质，全靠三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识点，综合性较强．解题中需特别注意图形旋转前后的相等对应关系以及菱形的性质应用、找到正确的图形全等关系．23．【分析】（1）将点（b，0）代入函数y＝（x﹣2）（x﹣b）中即可求b的值；（2）求出A（0，2b），对称轴为x＝1+b，设M（m，2b），由正方形的性质可知Q点与P点关于对称轴对称，则Q点横坐标为2+b﹣m，又由正方形边长为m+1，则Q点横坐标为m+m+1＝m+1，得到等式2+b﹣m＝m+1，求出b与m的关系：b＝m﹣1，所以P（m，m﹣3），将点P代入抛物线解析式可得解得m＝﹣1或m＝，由0≤m＜2，可求m＝，所以b＝m﹣1＝＜2，与已知矛盾，即可确定不存在满足条件的P、Q点．【解答】解：（1）∵点（b，0）在该抛物线上，∴0＝（b﹣2）（b﹣b），∴b+b2＝0，∵b＞2，∴b＝4；（2）不存在以M，P，Q，N为顶点的四边形是边长为m+1的正方形，理由如下：令x＝0，y＝（0﹣2）（0﹣b）＝2b，∴A（0，2b），抛物线y＝（x﹣2）（x﹣b）的对称轴为直线x＝1+b，∵点M，N在直线l上，设M（m，2b），∵P在对称轴左侧，以M，P，Q，N为顶点的四边形为正方形，∴Q点与P点关于对称轴对称，∴Q点横坐标为2+b﹣m，∵正方形边长为m+1，∴Q点横坐标为m+m+1＝m+1，∴2+b﹣m＝m+1，∴b＝m﹣1，∵P（m，2b﹣m﹣1），∴P（m，m﹣3），∵P点在抛物线上，∴m﹣3＝（m﹣2）（m﹣b）＝（m﹣2）（m﹣m+1），解得m＝﹣1或m＝，∵0≤m＜2，∴m＝，∴b＝m﹣1＝＜2，∴不存在以M，P，Q，N为顶点的四边形是边长为m+1的正方形．【点评】本题考查二次函数图象上点的特点，熟练掌握二次函数图象上点与函数的关系，结合正方形的性质，将正方形边的关系转化为点的坐标关系是解题的关键．24．【分析】（1）设桥下水位上涨的高度h关于涨潮时间t的函数解析式为h＝mt+n，利用待定系数法求解即可；（2）设抛物线解析式为y＝ax²+k，利用待定系数法，求出最高潮位，比较即可得出结论．【解答】解：（1）当0≤t≤5，由题意可设桥下水位上涨的高度h关于涨潮时间t的函数解析式为h＝mt+n，当t＝1时，h＝；当t＝2时，h＝，可得：，解得：，∴当0≤t≤5时，h＝t，当5＜t≤6时，h＝4；（2）以抛物线的对称轴为y轴，以正常水位时桥下的水面与抛物线的交线为x轴建立直角坐标系，设抛物线解析式为：y＝ax²+k（a＜0），由（1）可得：当t＝0时，h＝0，此时桥下水面宽100m，当t＝时，h＝1，此时桥下水面宽为20m，∴抛物线过点（50，0），（10，1），可得：，解得：，∴y＝﹣x²+25（﹣50≤x≤50），当x＝10时，y＝24，在最高潮时，4+15＝19＜24，答：该货轮在涨潮期间能安全从该桥下驶过．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是学会构建二次函数，利用函数的性质解决问题．25．【分析】（1）作∠ABC的角平分线，交圆于点D，则点D为∠B所对的弧的中点；（2）①连结AE，根据等弧或同弧所对的圆周角相等，得到∠ABE＝∠BAC，∠AEB＝∠ACB，根据AAS判定△ABE≌△BAC，得到∠EAB＝∠ABC＝90°，再根据勾股定理即可求解；②连结AD，过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥BC于点H，根据AAS证明△BDG≌△BDH，得到BG＝BH，DG＝DH，进而得出四边形DGBH是正方形，得到BG＝DG＝BH＝DH ＝BD，再根据AAS证明△AGD≌△CHD，得到AG＝CH，进而得到DP＝DQ＝BD，根据等腰三角形的性质得出∠EDB＝90°，即BE为圆的直径，进而得出M为圆心，得到MA＝MB，∠MAB＝∠ABM，根据同弧所对的圆周角相等，得到∠MAB＝∠BDC，据此列式求得∠P＝15°，∠BDC＝30°，最后根据平角的定义即可求解．【解答】解：（1）如图1，作∠ABC的角平分线，交圆于点D，则点D为∠B所对的弧的中点，（2）①连结AE，∵＝，∴∠ABE＝∠BAC，∵＝，∴∠AEB＝∠ACB，又∵AB为公共边，∴△ABE≌△BAC（AAS），∴∠EAB＝∠ABC＝90°，又∵＝，BC＝3，∴AE＝BC＝3，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，∴BE＝＝＝5，∴BE＝5；②方法一：连结AD，过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥BC于点H，∵点D是∠B所对的弧的中点，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠DGB＝∠DHC＝90°，BD＝BD，∴△BDG≌△BDH（AAS），∴BG＝BH，DG＝DH，∵∠DGB＝∠DHB＝∠GBH＝90°，∴四边形DGBH是正方形，∴BG＝DG＝BH＝DH＝BD，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠DAB+DCB＝180°，∵∠DCH+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCH，∵∠DGA＝∠DHC＝90°，DG＝DH，∴△AGD≌△CHD（AAS），∴AG＝CH，∴AB+BC＝AG+BG+BH﹣HC＝2BG＝BD，∵DP＝（AB+BC），∴DP＝DQ＝BD，∴∠DBQ＝∠DQB＝45°，∴∠EDB＝90°，∴BE为圆的直径，∵又∵AC为直径，∴点M为圆心，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠ABM，∵＝，∴∠MAB＝∠BDC，设∠P＝α，则∠ABM＝2α，∵∠ABM+∠PBD＝∠ABD＝45°，∴2α+α＝45°，∴α＝15°，∴∠BDC＝30°，∵BE为直径，∴∠EDB＝90°，∴∠PDQ＝180°﹣∠EDB﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．方法二：∵点D是∠B所对的弧的中点，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠DGB＝∠DHC＝90°，BD＝BD，∴△BDG≌△BDH（AAS），∴BG＝BH，DG＝DH，∵∠DGB＝∠DHB＝∠GBH＝90°，∴四边形DGBH是正方形，∴BG＝DG＝BH＝DH＝BD，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠DAB+DCB＝180°，∵∠DCH+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCH，∵∠DGA＝∠DHC＝90°，DG＝DH，∴△AGD≌△CHD（AAS），∴AG＝CH，∴AB+BC＝AG+BG+BH﹣HC＝2BG ＝BD，∵DP＝（AB+BC），∴DP＝DQ＝BD，∴P、Q、B三点在以点D为圆心，DP为半径的圆上，∴∠PDQ＝2∠PBQ＝2∠ADE，又∵∠PDQ+∠ADE＝90°，∴∠PDQ＝60°．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，得出AC是直径及∠BDC＝2∠P是解题的关键．第16页（共16页）。
二次函数-【期末试题汇编-人教版】厦门市5年(2019-2023)九年级数学上学期期末统考试题共八页
第22章-二次函数-【期末试题汇编-人教版】厦门市5年（2019-2023）九年级数学上学期期末统考试题一．二次函数选择题1.（2023秋•厦门期末）关于y= (x-2}2-1{x为任意实数)的函数值，下列说法正确的是A.最小值是-1B.最小值是2C.最大值是-1D.最大值是22.（2023秋•厦门期末）某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试.飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)关于滑行的时间1(单位:s)的函数解析式是t2+60t，则t的取值范围是A.0≤r≤600B.20≤t≤40C.0≤t≤40D.0≤t≤203．（2021秋•厦门期末）在平面直角坐标系中，点M的坐标为（m，m2﹣bm），b为常数且b＞3．若m2﹣bm＞2﹣b，m＜，则点M的横坐标m的取值范围是（）A．0＜m＜B．m＜C．＜m＜D．m＜4．（2021秋•厦门期末）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是（）A．x＝B．x＝﹣C．x＝D．x＝﹣5．（2021秋•厦门期末）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的示意图，则a的值可以是（）A．1 B．0C．﹣1 D．﹣26．（2019秋•厦门期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，该函数取最大值8．设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若x1＞4，则a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣1B．﹣2＜a＜0C．﹣1＜a＜1D．2＜a＜47.（2022秋•厦门期末）点A(0，5)，B(4，5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的顶点可能是A.(2，5) B. (2，4) C. (5，2) D.(4，2)8.（2023秋•厦门期末）抛物线y=3 (x-1)2 +4的对称轴是______9.（2023秋•厦门期末）已知x=1是方程x²+mx-3=0的根，则m的值为_____.10.（2022秋•厦门期末）已知b>0，抛物线y1=ax2-bx+c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，抛物线y2= ax2+bx+c与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，其中A,B,C,D的横坐标分别为x A,x B,x C,x D若当0<x<x B时，0<y1<y2,则当0<y2<y1时。
2023届福建省厦门市第一中学九年级数学第一学期期末复习检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分) 1．在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ） A ．△ABC 是等腰三角形 B ．△ABC 是等腰直角三角形 C ．△ABC 是直角三角形 D ．△ABC 是等边三角形 2．如图，A ,B ,C ,D 四点都在O 上，110BOD ∠=︒，则BCD ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．110︒C ．125︒D ．130︒3．已知二次函数y=mx 2+x+m （m-2）的图像经过原点，则m 的值为（ ） A ．0或2B ．0C ．2D ．无法确定4．如图，矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，若∠AOD=120°，AB=6，则AC 等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．185．如果一个正多边形的中心角为60°，那么这个正多边形的边数是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．76．如图，点O 是△ABC 内一点、分别连接OA 、OB 、OC 并延长到点D 、E 、F ，使AD ＝2OA ，BE ＝2OB ，CF ＝2OC ，连接DE ，EF ，FD ．若△ABC 的面积是3，则阴影部分的面积是（ ）A ．6B ．15C ．24D ．277．如图，正比例函数y x =与反比例函数4y x=的图象交于A 、B 两点，其中(2,2)A ，则不等式4x x >的解集为（ ）A ．2x >B ．2x <-C ．20x -<<或02x <<D ．20x -<<或2x >8．三角形的两边分别2和6，第三边是方程x 2-10x+21=0的解，则三角形周长为（ ） A ．11B ．15C ．11或15D ．不能确定9．为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭，并将这些家庭的月用水量进行统计，结果如下表： 月用水量（吨） 4 5 6 8 13 户数45731则关于这20户家庭的月用水量，下列说法正确的是（ ） A ．中位数是5B ．平均数是5C ．众数是6D ．方差是610．如图，四边形ABCD 与四边形GBEF 是位似图形，则位似中心是（ ）A ．点AB ．点BC ．点FD ．点D二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，点B 是反比例函数上一点，矩形OABC 的周长是20，正方形BCGH 和正方形OCDF 的面积之和为68，则反比例函数的解析式是_____．12．关于x 的方程kx 2-4x-=0有实数根，则k 的取值范围是 ．13．如图，矩形ABCD 中，2AB =，点E 在边CD 上，且BC CE =，AE 的延长线与BC 的延长线相交于点F ，若CF AB =，则tan DAE ∠=______.14．如图，C ，D 是抛物线y ＝56（x +1）2﹣5上两点，抛物线的顶点为E ，CD ∥x 轴，四边形ABCD 为正方形，AB 边经过点E ，则正方形ABCD 的边长为_____．15．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，点G 为四边形DEAF 对角线交点，则线段GF 的最小值为_______.16．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-； 23(1)(1)1x x x x -++=-； 324(1)(1)1x x x x x -+++=-； 4325(1)(1)1x x x x x x -++++=-则2019201820172222...221++++++=_______________________.17．如图，扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，OA ＝4，点C 为弧AB 的中点，D 为半径OA 上一点，点A 关于直线CD 的对称点为E ，若点E 落在半径OA 上，则OE ＝______．18．已知23a b =，则a ba b +=-_______． 三、解答题(共66分)19．（10分）如图，已知抛物线经过()2,0A -，()3,3B -及原点O ，顶点为C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以A 、O 、D ，E 为顶点，AO 为边的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．是否存在这样的点P ，使得以P ，M ，A 为顶点的三角形与BOC ∆相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（6分）某校为了弘扬中华传统文化，了解学生整体阅读能力，组织全校的1000名学生进行一次阅读理解大赛．从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制了频数分布表和频数分布直方图：分组/分 频数 频率 50≤x ＜60 60.12 60≤x ＜70 a0.28 70≤x ＜80 16 0.32 80≤x ＜90 10 0.20 90≤x ≤10040.08（1）频数分布表中的a = ； （2）将上面的频数分布直方图补充完整；（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加决赛，估计该校进入决赛的学生大约有 人． 21．（6分）已知关于x 的一元二次方程2310x x k -+-=有两个不相等的实数根．()1求k 的取值范围；()2若k 为负整数，求此时方程的根．22．（8分）如图，点,,A B C 都在O 上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图. （不写作法，保留作图痕迹）（1）在图1中，若45ABC ︒∠=，画一个O 的内接等腰直角三角形.（2）在图2中，若点D 在弦AC 上，且45ABD ︒∠=，画一个O 的内接等腰直角三角形.23．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°．在斜边AB 上取一点D ，使CD=CB ，圆心在AC 上的⊙O 过A 、D 两点，交AC 于点E ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若13BC AC =，且AE =2，求CE 的长．24．（8分）如图所示，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系． （1）求OE 的长．（2）求经过O ，D ，C 三点的抛物线的解析式．（3）一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，DP=DQ ． （4）若点N 在（2）中的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使得以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）如图，抛物线y =ax 2 +bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．26．（10分）如图，,C D 是半圆O 上的三等分点，直径4AB =，连接,,AD AC DE AB ⊥，垂足为,E DE 交AC 于点F ，求AFE ∠的度数和涂色部分的面积．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的值，再根据三角形内角和定理求出∠C即可判断三角形的形状。
2020—2021学年第一学期福建省厦门市九年级语文期末试卷(word版,含答案)
2020-2021学年上学期厦门市九年级质量检测试卷语文（试卷满分：150分考试时间：120分钟）考生注意：1.全卷分三个部分，共23题；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分。
一、积累与运用（20分）1.补写出下列句子中的空缺部分。
（10分）（1）关关雎鸠，___________________。
（《诗经·关雎》）（1分）（2）___________________，忽复乘舟梦日边。
（李白《行路难》）（1分）（3）俄顷风定云墨色，___________________。
（杜甫《茅屋为秋风所破歌》）（1分）（4）_______________，病树前头万木春。
（刘禹锡《酬乐天扬州初逢席上见赠》）（1分）（5）满面尘灰烟火色，___________________。
（白居易《卖炭翁》）（1分）（6）水击三千里，___________________，去以六月息者也。
（《庄子·北冥有鱼》）（1分）（7）芳草鲜美，___________________。
（陶渊明《桃花源记》）（1分）（8）浮光跃金，________________，渔歌互答，此乐何极！（范仲淹《岳阳楼记》）（1分）（9）苏轼的《水调歌头》中表达对离别之人美好祝愿的句子是：“______，______”。
（2分）2.下列句子没有语病的一项是（）（3分）A.能不能提高广大市民的文明素养，是厦门连续争创全国文明城市的关键。
B.自信自立，勤思苦学，勇于开拓，面对逆境不屈不挠都是自强不息的表现。
C.议论不仅要提出观点，还要有充足的论据，切忌不要无中生有，随意编造。
D.《水浒传》之所以精彩的原因是塑造了栩栩如生的人物和波澜起伏的情节。
3.根据要求完成下列小题。
（7分）榕树的每一片绿叶，都像风帆那样善于捕捉最弱的微风。
因此，当轻风吹拂的时候，它的叶子就会chàn①（）动起来，刹那间，树上好像千百万绿色的蝴蝶在一开一翕．②（A.x ī B.hé）地扇着翅膀，共同编织着生命的织锦。
福建省厦门市2021-2022学年九年级(上)期末考数学试卷及参考答案
准考证号：姓名：（在此卷上答题无效〉2021一2022学年第一学期初中毕业班期末考试本试卷共5页．试卷满分：150分．注意事项：数学1.答题前，考生务必在试题卷、答应卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致．2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案拓、号涂黑，如｜能改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3.全卷三大题，26小题，试卷共5页4.可以直接使用28铅笔作因一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有囚个选项，其中有且只有一个选项正确〉］.图l是抛物线Y=a｝＋似’＋c的示意图，则a fl甘值可以是A.lB.0C.-1D.-22.如图2,!::::.ABC内接于园，弦βρ交AC于点尸，连接Aρ．下列角中，是互B所对圆周角的是PEBD3.抛物线y= ai + b x+ c的对称轴是A.= .£.baaB.x =-.£.a4.方程（x-1)2= 0的根是CEc.x ＝土2aD.LD.xr•01 "..:国｜＂－－－－、／／℃当D BACI/ ./P, IB民二－－－；＇C图2A.x = -1B.x,=x2=l c.x, = ,r:产－1 D.Xi= 1, Xi : -15.在平丽直角坐标系中，点（1, 3）关于原点对称的点的坐标是A.( -1, -3)B. ( -1, 3)C.( 1, -3）ρ.(3, 1)6.如困3,E是正方形ABCD中CD边上的点，以点A为中心，把t:::.ADE'I页时针旋转，得到t:::.ABF.下列角中，是旋转角的是A.LDAE B‘L EAB C.LDAB D.LDAF,o:阁37.某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位.s）的函数解析式是h= 20 t -5 t＇，其中t的ll51.f.直范围是8.某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机拍测，结果如表一：根据抽测绘’泉，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是我－累计拍i侧的学生戴ntooI 200 I 300 I 400 I soosoo I 900 11000体质健股合格的学生数与n的比值I o. ss I o. 9 Io . 931 o. 9 I 。
2020-2021学年(上)厦门市初三年数学质量检测试卷及参考答案
2020—2021学年(上)厦门市初三年质量检测数学参考答案说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）11.16. 12.4. 13.x ＝1. 14.21. 15.1. 16.当1≤m ＜3－2时，BC 的长随m 的增大而减小；当3－2＜m ≤3时，BC 的长随m 的增大而 增大.三、解答题（本大题有9小题，共86分）17.（本题满分8分）解法一：a ＝1，b ＝－2，c ＝－5.因为△＝b 2－4ac ＝24＞0. ……………………………4分所以方程有两个不相等的实数根：x ＝－b ±b 2－4ac 2a＝2±242＝1±6. ……………………………6分即x 1＝1＋6，x 2＝1－6． ……………………………8分解法二：由原方程得x 2－2x ＋1＝6．……………………………3分(x －1) 2＝6．……………………………4分可得x －1＝±6.……………………………6分x 1＝1＋6，x 2＝1－6．……………………………8分18.（本题满分8分）证明：∵ OD ∥BC ，∴ ∠C ＝∠ODA ＝45°．………………………3分∵ AB ＝AC ，∴ ∠ABC ＝∠C ＝45°．………………………5分∴ ∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝90°．………………………7分∴ AB ⊥AC ． ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ AC 是⊙O 的切线．………………………8分19.（本题满分8分）解：2x ＋1x ÷(1－1＋x －4x 2x) ＝2x ＋1x ÷x －(1＋x －4x 2) x……………………………2分 ＝2x ＋1x ÷4x 2－1x……………………………3分＝2x ＋1x ·x （2x －1）（2x ＋1）……………………………5分 ＝12x －1……………………………6分 当x ＝2＋12时，原式＝12(2＋12)－1＝122＝24…………………………8分20.（本题满分8分）解：设这两年该村人纯均收入的年平均增长率为x ，依题意得：……………………1分 3000(1＋x )2＝5070. ……………………4分解方程，得：x 1＝－2.3(不合题意，舍去)，x 2＝0.3． ……………………7分答：这两年该村人纯均收入的年平均增长率为0.3．…………………………8分21.（本题满分8分）解：（1）（本小题满分5分）x ＝0×14＋1×25＋2×9＋3×1＋4×150………………………4分 ＝1………………………5分（2）（本小题满分3分）P (A )＝1450………………………7分 ＝725………………………8分 答：（1）平均每盒混入30W 的节能灯的个数为1；（2）事件A 的概率为725.22.（本题满分10分）（1）（本小题满分5分）解法一证明：∵ △AOD 绕点O 顺时针旋转得到△EOF ，∴ △AOD ≌△EOF ，FO ＝DO ．………………………1分∴ ∠ADO ＝∠EFO ，∠ODF ＝∠OFD ．………………………3分∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ DA ＝DC ，AC ⊥BD ．∴ ∠ADO ＝∠CDO ，………………………4分O A B C E D F∴ ∠EFO ＝∠CDO ，∴ ∠ODF －∠CDO ＝∠OFD －∠EFO ，∴ ∠CDF ＝∠EFD ．………………………5分解法二：证明：连接ED ，CF ．∵ △AOD 绕点O 顺时针旋转得到△EOF ，∴ △AOD ≌△EOF ，AO ＝EO ，FO ＝DO ，∠AOD ＝∠EOF . ………………………1分 ∴ EF ＝AD ．………………………2分∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ CD ＝AD ，AO ＝CO ，AC ⊥BD ．………………………3分∴ CD ＝EF ，EO ＝CO ，∠AOD ＝∠COD ．∴ ∠EOF ＝∠COD ．∴ ∠EOF －∠FOD ＝∠COD －∠FOD ．∴ ∠EOD ＝∠COF ．∴ △EOD ≌△COF ．∴ CF ＝ED ．………………………4分∵ FD ＝DF ，∴ △CFD ≌△EDF ．∴ ∠CDF ＝∠EFD ．………………………5分（2）（本小题满分5分）解法一解：当α＝60°时，点F 在直线BC 上，理由如下：连接CF ．由（1）得，FO ＝DO ，又 ∵ ∠FOD ＝α＝60°，∴ △FOD 是等边三角形. ………………………6分∴ ∠OFD ＝∠ODF ＝60°，OD ＝FD .∵ △FOD 是等边三角形，EF ⊥OD ，∴ ∠EFD ＝12∠OFD ＝30°. ∴ ∠CDF ＝∠EFD ＝30°.∴ ∠ODC ＝∠ODF －∠CDF ＝30°.∴ ∠ODC ＝∠CDF .∵ CD ＝CD ，∴ △ODC ≌△FDC .………………………8分∴ ∠OCD ＝∠FCD .∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，BC ＝DC .∴ ∠COD ＝90°，∠BCO ＝∠DCO .∴ ∠OCD ＝90°－30°＝60°. ………………………9分∴ ∠FCD ＝60°，∠BCO ＝60°.∴ ∠BCF ＝∠OCB ＋∠OCD ＋∠FCD ＝180°.∴ 点F 在直线BC 上．………………………10分解法二：当α＝60°时，点F 在直线BC 上，理由如下：由（1）得，FO ＝DO .又∵ ∠FOD ＝α＝60°，∴ △FOD 是等边三角形. ………………………6分∴ ∠ODF ＝60°，OD ＝FD ．∵ △FOD 是等边三角形，EF ⊥OD ，∴ EF 平分OD .∴ EF 垂直平分OD .∴ EO ＝ED ．由（1）得，△EOD ≌△COF .∴ EO ＝CO ，ED ＝CF .∴ CO ＝CF .∴ △ODC ≌△FDC . ………………………8分∴ ∠OCD ＝∠FDC ，∠DOC ＝∠DFC ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，BC ＝DC .∴ ∠DOC ＝90°, ∠OCB ＝∠OCD .∴ ∠DFC ＝90°.∴ 在四边形OCFD 中，∠OCF ＝360°－2×90°－60°＝120°. ∴ ∠OCD ＝∠FCD ＝60°. ………………………9分∴ ∠OCB ＝60°.∴ ∠BCF ＝∠OCB ＋∠OCD ＋∠FDC ＝180°.∴ 点F 在直线BC 上．………………………10分23.（本题满分10分）（1）（本小题满分4分）解：把点(12b ，0)代入y ＝(x －2) (x －b )，得 (12b －2) (12b －b ) ＝0， ……………………2分解得b 1＝0，b 2＝4.……………………3分 因为 b ＞2，所以b ＝4. ……………………4分（2）（本小题满分6分）解法一：解：当x ＝0时，y ＝(0－2) (0－b )＝2b .所以点A 坐标为(0,2b ) .……………………5分在正方形PQNM 中，PQ ∥MN ∥x 轴，PM ∥QN ∥y 轴.可设点M 坐标为(m ，2b ).又因为正方形PQNM 边长为12m ＋1，即MP ＝PQ ＝12m ＋1， 所以点P 的坐标为(m ，2b －12m －1)，且0≤m ≤2， x Q ＝m ＋12m ＋1. 因为抛物线的对称轴为x ＝b +22， 所以x Q ＝b ＋2－m .所以b ＋2－m ＝m ＋12m ＋1 . 所以b ＝52m －1. ……………………7分 所以点P 的坐标为(m ，92m －3). 因为点P 在抛物线上，把(m ，92m －3)代入y ＝(x －2) (x －b )，得 (m －2)( m －52m ＋1) ＝92m －3. ……………………8分 解得m 1＝23，m 2＝－1. 因为0≤m ≤2，所以m 1＝23. 当m ＝23时，b ＝52m －1＝52×23－1＝23＜2. 所以不存在边长为12m ＋1的正方形PQNM . ……………………10分解法二：解：当x ＝0时，y ＝(0－2) (0－b )＝2b ，所以点A 坐标为(0,2b ) .……………………5分在正方形PQNM 中，PQ ∥MN ∥x 轴，PM ∥QN ∥y 轴. 可设点M 坐标为(m ，2b ).又因为正方形PQNM 边长为12m ＋1，即MP ＝PQ ＝12m ＋1， 所以点P 的坐标为(m ，2b －12m －1)，且0≤m ≤2， x Q ＝m ＋12m ＋1. 因为抛物线的对称轴为x ＝b +22， 所以x Q ＝b ＋2－m .所以b ＋2－m ＝m ＋12m ＋1 .所以m ＝25b ＋25. ……………………7分所以点P 的坐标为(25b ＋25，95b －65).因为点P 在抛物线上，把点P 的坐标代入y ＝(x －2) (x －b )，得 (25b ＋25－2)( 25b ＋25－b ) ＝95b －65. ……………………8分解得b 1＝ 23＜2，b 2＝－72＜2.所以不存在边长为12m ＋1的正方形PQNM .……………………10分24.（本题满分12分） （1）（本小题满分5分） 解：当0≤t ≤5时，由题可设桥下水位上涨的高度h 关于涨潮时间t 的函数解析式为h ＝mt ＋n .……………2分 当t ＝1时，h ＝45；当t ＝2， h ＝85.可得：⎩⎨⎧m +n ＝452m+n ＝85，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45n ＝0，所以，当0≤t ≤5时，h ＝45t ；……………4分当5＜t ≤6时，h ＝4.……………5分（2）（本小题满分7分） 解法一：解：以抛物线的对称轴为y 轴，以正常水位时桥下的水面与抛物线的交线为x 轴建立直角坐标系. 设抛物线的解析式为：y ＝ax 2＋k (a ＜0). ……………6分由（1）可得：当t ＝0时，h ＝0，此时桥下水面宽为100；当t ＝54时，h ＝1，此时桥下水面宽为2024.所以抛物线过点(50，0) ，( 1024，1).……………8分可得：⎩⎨⎧2500a ＋k ＝02400a ＋k ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1100k ＝25，所以y ＝－1100x 2＋25(－50≤x ≤50).……………10分当x ＝10时，y ＝24.……………11分在最高潮位时，4＋15＝19＜24.答：该货轮在涨潮期间能安全从该桥下驶过.……………12分解法二：解：以抛物线的对称轴为y 轴，以正常水位时桥下的水面与抛物线的交线为x 轴建立直角坐标系. 设抛物线的解析式为：y ＝ax 2＋k (a ＜0). ……………6分由（1）可得：当t ＝0时，h ＝0，此时桥下水面宽为100；当t ＝54时，h ＝1，此时桥下水面宽为2024.所以抛物线过点(50，0) ，( 1024，1).……………8分可得：⎩⎨⎧2500a ＋k ＝02400a ＋k ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1100k ＝25，所以y ＝－1100x 2＋25(－50≤x ≤50).……………10分在最高潮位时，当y ＝4＋15＝19时,x ＝106.……………11分 而206＞20.答：该货轮在涨潮期间能安全从该桥下驶过.……………12分 （本题还可以有其他的建立平面直角坐标系的方法）25.（本题满分14分） （1）（本小题满分3分）解：如图点D 即为所求.…………………3分 解法一：作∠B 的平分线.解法二：作弦AC 的垂直平分线.（2）①（本小题满分4分）解法一:解：连接AE.∵︵AE＝︵BC,∴∠ABE＝∠BAC.∵︵EC＝︵EC,∴∠EAC＝∠EBC ……………………………5分∴∠EAC＋∠BAC＝∠EBC＋∠ABE即∠EAB＝∠ABC＝90°∴BE，AC都为直径……………………………6分在Rt△ABC中，∴AC＝AB2＋BC2＝5．∴BE＝5．……………………………7分解法二:解：∵︵AE＝︵BC,∴︵AE＋︵AB＝︵BC＋︵AB即︵BAE＝︵ABC……………………………5分∴BE＝AC. ……………………………6分∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝5．∴BE＝5．……………………………7分解法三:解：连接AE.∵︵AE＝︵BC,∴∠ABE＝∠BAC.∵︵AB＝︵AB,∴∠AEB＝∠ACB，…………………………5分又∵AB为公共边,∴△ABE≌△BAC．∴∠EAB＝∠ABC＝90°．又∵︵AE＝︵BC,∴AE＝BC＝3. ……………………………6分∵在Rt△ABE中，∴BE＝AB2＋AE2＝5．∴BE＝5．……………………………7分MBCDPEAQ②（本小题满分7分）解法一：解：连接AD.∵︵AD＝︵DC，∴AD＝DC，∠ABD＝∠DBC＝45°．………………8分分别过点A，C作AH⊥BD于H，CR⊥BD于R，∵在Rt△ABE中，∠AHB＝90°,∴∠ABH＝∠BAH＝45°, BH2＋AH2＝BD2．∴BH＝AH＝22AB．同理可得BR＝22BC．∵∠ABC＝90°，∴AC为直径．∴∠ADC＝90°．∴∠ADH＋∠DCR＝90°．又∵在Rt△ADH中，∠ADH＋∠HAD＝90°,∴∠HAD＝∠RDC．∴△ADH≌△DCR．∴AH＝DR．∴22(AB＋BC)＝AH＋BR＝DR＋BR＝BD．………………11分∵PD＝22(AB＋BC)，且DP＝DQ，∴DP＝BD．∴∠P＝∠PBD．∴∠BDC＝2∠P．由（1）得，BD为直径．又∵AC为直径，∴点M为圆心. ………………12分∴MA＝MB．∴∠MAB＝∠ABM．∵︵BC＝︵BC,∴∠MAB＝∠BDC．设∠P＝α，则∠ABM＝2α．∵∠ABM＋∠PBD＝∠ABD＝45°．∴2α＋α＝45°．……………………………13分∴解得α＝15°．∴∠BDC＝30°．∵DP＝DQ．∴DB＝DQ．∴∠Q＝∠QBD＝45°．∴∠BDQ＝90°．∴∠PDQ＝180°－∠BDQ－∠BDC＝180°－90°－30°＝60°.…………………14分解法二：解：连接AD.∵∠ABC＝90°，∴AC为直径．∴∠ADC＝90°．∵D是︵AC的中点，∴︵AD＝︵DC．∴AD＝DC，∠ABD＝∠DBC＝45°．∴∠ACD＝∠CAD＝45°．…………………………8分把△ADB绕点D逆时针旋转90°，则点A与点C重合，B对应点为点F，则有∠BAD＝∠DCF，∠BDF＝90°,FC＝AB．∵四边形ABCD为△ABC外接圆的内接四边形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°．∴∠DCF＋∠BCD＝180°．∴B，C，F三点共线．∴BF＝BC＋FC＝BC＋AB．∵∠BDF＝90°且∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠F＝45°,DB2＋DF2＝BF2．∴DB＝DF＝22BF．∴BD＝22BF＝22(AB＋BC)．……………………………11分∵PD＝22(AB＋BC)，且DP＝DQ，∴DP＝DQ＝BD．∴∠P＝∠PBD，∠Q＝∠QBD＝45°．∴∠BDC＝2∠P，∠QBD＝90°．∴BE为直径．∴∠BAE＝90°．连接AD，EC,则有∠AEC＝90°．∴四边形ABCE为矩形，∴AC＝BE，AC＝2MC，BE＝2MB．∴MA＝MB．……………………………12分∴∠MAB＝∠ABM．∵︵BC＝︵BC,∴∠MAB＝∠BDC．设∠P＝α，则∠ABM＝2α．∵∠ABM＋∠PBD＝∠ABD＝45°．F∴2α＋α＝45°．……………………………13分∴解得α＝15°．∴∠BDC＝30°．∵DP＝DQ，∴DB＝DQ．∴∠Q＝∠QBD＝45°．∴∠BDQ＝90°．∴∠PDQ＝180°－∠BDQ－∠BDC＝180°－90°－30°＝60°.…………………14分。
2022-2023学年福建省厦门市九年级上学期期末数学试卷及参考答案
2022-2023学年福建省厦门市初三数学第一学期期末试卷一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1．O 的半径为4，点A 在O 内，则OA 的长可以是( ) A ．3B ．4C ．5D ．62．抛物线2(1)3y x =−+的对称轴是( ) A ．1x =B ．1x =−C ．3x =D ．3x =−3．如图，圆上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AC ，BD 交于点P ，连接AB ，CD ，则图中与C ∠相等的角是( )A ．A ∠B ．B ∠C ．D ∠D ．APD ∠4．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点M 在AOD ∆内，将点M 绕点O 逆时针旋转90︒，则M 的对应点M '在( )A ．AOB ∆内B ．BOC ∆内C ．COD ∆内D ．DOA ∆内5．某园林公司购进某种树苗，为了解该种树苗的移植成活率，现对购进的第一批树苗进行随机抽样并统计，结果如图所示．若该公司第二批还需移植成活1800棵该种树苗，根据统计结果，则第二批树苗购买量较为合理的是( )A ．1620棵B ．1800棵C ．2000棵D ．2093棵6．点(0,5)A ，(4,5)B 是抛物线2y ax bx c =++上的两点，则该抛物线的顶点可能是( ) A ．(2,5)B ．(2,4)C ．(5,2)D ．(4,2)7．将一个关于x 的一元二次方程配方为2()x m p +=，若23±是该方程的两个根，则p 的值是( ) A ．2B ．4C ．3D ．38．在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆是以BC 为底边的等腰三角形，(1,)A a ，(,3)B b ，(,3)C b t +，其中24t <<．关于点B 的位置，下列描述正确的是( ) A ．在y 轴上 B ．在第一象限 C ．在第二象限D ．随a 的变化而不同二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）9．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷此骰子，朝上一面的点数为奇数的概率是 ．10．已知1x =是方程230x mx −+=的解，则m 的值为 ．11．在O 中有两个三角形：AOB ∆和COD ∆，点A ，B ，C ，D 依次在O 上，如图4所示．若这两个三角形关于过点O 的直线l 成轴对称，则点B 关于直线l 的对称点是 ．12．如图，在ACB ∆中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，D 是AC 的中点，点B ，E 关于点D 成中心对称，则AE 的长为 ．13．某小区有1300个住户，为了解小区居民的生活垃圾量（单位：)kg ，物业公司某日在该小区内随机抽取4栋楼的住户进行调查，结果如表所示．所抽取的居民楼A 栋B 栋C 栋D 栋住户数30 30 40 30 该栋所有住户当日产生的生活垃圾总量()kg 40457035根据如表，估计该小区居民当日生活垃圾总量为 ．14．小桐竖直向上抛出一个小球，小球只在重力作用下的高度h （单位：)m 随时间t （单位：)s 变化的图象是抛物线的一部分，如图所示．小球出手时的高度是 ．15．我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图1所示）的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法．我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图2所示，在平面内固定两个钉子A ，B ，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点C 的运动路线将会是一个圆．依此描述，请用你学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理： ．16．已知0b >，抛物线21y ax bx c =−+与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧），抛物线22y ax bx c =++与x 轴交于C ，D 两点(C 在D 的左侧），其中A ，B ，C ，D 的横坐标分别为A x ，B x ，C x ，D x ，若当0B x x <<时，120y y <<，则当210y y <<时，x 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．解方程：2250x x +−=．18．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 、F 在对角线BD 上，AE ，CF 分别平分BAD ∠和DCB ∠，证明：BE DF =．19．先化简，再求值；224(1)244a a a a a −−÷+++，其中52a ． 20．某市为减少汽车尾气污染，改善空气质量，鼓励市民选择新能源汽车作为出行的交通工具，并大力推进新能源汽车充电基础设施建设．据统计，该市2020年新建100座充电站，2022年新建169座．求该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率．21．小梧是某校一名七年级新生，新学期开始，他打算每天早上和同小区里的几位新同学一起上学．小梧和同学计划每天早上7:00出发搭乘公共交通工具前往该学校，并在7:50前入校．几位同学通过查询出行软件，发现有三条路线可供选择，他们约定开学后的两周内分三组体验不同的路线并进行记录，结果如表所示． 路线 上学路上所用的时间（单位：)min 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 一 43 44 43 44 52 45 43 45 46 45 二 42 41 44 54 41 41 51 42 52 42 三47534446474847464745（1）根据如表，求体验路线一的同学这10天平均每天上学路上所用的时间； （2）请你为小梧和他的同学选择一条较为合理的上学路线，并说明理由．22．在ABC ∆中，90C ∠=︒，(045)CAB αα∠=<<︒，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转，旋转角(180)βαβ<<︒，记点B ，C 的对应点分别为D ，E ．（1）若ABC ∆和线段AD 如图所示，请在图中作出ADE ∆（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）M 是AB 的中点，N 是点M 旋转后的对应点，连接MN ，CD ，BD ，则是否存在β与α的某种数量关系，使得无论α取何值时，都有MN CD =？若存在，请说明理由，并直接写出此时BC 与BD 的数量关系；若不存在，也请说明理由．23．如果一个矩形有两个顶点在某抛物线上，那么称该矩形是该抛物线的“半接矩形”．矩形ABCD 在第一象限，点(,)B m n 在抛物线2y x bx c =++（记为抛物线)T 上．（1）矩形ABCD 是正方形，(1,3)A ，1m =，3b =−，4c =，直接写出点C ，D 的坐标，并证明；矩形ABCD 是抛物线T 的“半接矩形”；（2）(,1)A m n +，点C 在AB 边的右侧，3BC =，矩形ABCD 是抛物线T 的“半接矩形”，若矩形ABCD 的一条对称轴是2bx =−，将该矩形平移，使得平移后的矩形1111A B C D 仍是抛物线T 的“半接矩形”，请探究矩形ABCD 如何平移．24．ABC ∆内接于O ，AB AC =，67.5ABC ∠=︒，BC 的长为22π，点P 是射线BC 上的动点(2)BP m m =．射线OP 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OD ，如图所示．点Q 是射线OD 上的点，点Q 与点O 不重合，连接PQ ，PQ n =．（1）求O 的半径；（2）当2222n m m =−+时，在点P 运动的过程中，点Q 的位置会随之变化，记1Q ，2Q 是其中任意两个位置，探究直线12Q Q 与O 的位置关系．25．（14分）某景区正在修建一条到主景点的步行道及步行道两侧的游客休息区、沿途小观景点等附属设施．把步行道的入口记为A ，步行道上某点P 到入口A 的道路长度记为l （单位：)m ，把从入口A 处到P 处的步行道面积与此段步行道两侧的所有附属设施的占地面积之和记为S （单位：2)m ．设P 处的步行道宽度为x （单位：)m ，根据景区对主景点的规划，步行道出口的宽度为2m ．用矩形面积估计不规则图形的面积是一种比较有效的方法．因此，景区管委会近似地用一边长为l ，另一边长为()(x n n +为常量，0n >，n 的单位为)m 的矩形的面积表示S ．景区管委会在目前已修建的720m 的步行道上选取了部分有代表性的地点进行测算，数据如表所示． l （单位：)m 30 60 180 360 540 720 S （单位：2)m 177.5 350 990 1800 2430 2880 Sl（单位：)m 5.925.835.554.54根据以上信息，在合理估计的基础上，解决下列问题： （1）写出当450l =时Sl的值，并说明理由； （2）当2n =时，求l 与x 的函数解析式（不需要写出x 的取值范围）；（3）若景区可按此方式继续修建步行道及附属设施，请你通过计算说明常量n 至少为多少．答案与解析一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1．解：O 的半径为4，点A 在O 内，4OA ∴<，即只有选项A 符合题意，选项B 、选项C 、选项D 都不符合题意； 故选：A ．2．解：抛物线2(1)3y x =−+是抛物线的顶点式，根据抛物线的顶点式可知抛物线2(1)3y x =−+的对称轴是直线1x =， 故选：A ．3．解：B ∠和C ∠对的弧是同一弧AD ，∴与C ∠相等的角是B ∠， 故选：B ．4．解：如图，连接OM ，在OM 左侧作OM OM '⊥，且OM OM ='，四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，即90AOD AOB ∠=∠=︒，由旋转的性质得，90MOM ∠'=︒，90MOA AOM ∠+∠'=︒，90AOM DOM ∠+∠=︒， AOM DOM ∴∠'=∠，点M 在AOD ∆内， 90AOM DOM ∴∠'=∠<︒，∴则M 的对应点M '在AOB ∆内． 故选：A ．5．解：由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定． 当移植总数为550时，成活率为0.9，于是可以估计树苗移植成活率为0.9， 则该市需要购买的树苗数量约为：18000.92000÷=（棵)． 故选：C ．6．解：点(0,5)A ，(4,5)B 的纵坐标相等，∴点(0,5)A ，(4,5)B 关于对称轴对称， ∴对称轴为直线0422x +==， 即直线2x =，抛物线的顶点在对称轴上，∴顶点的纵坐标不等于5． 故选：B ．7．解：2()x m p +=，开方得：x m +=解得：1x m =−+2x m =−2±是该方程的两个根，3p ∴=， 故选：D ．8．解：ABC ∆是以BC 为底边的等腰三角形，∴点A 在BC 的垂直平分线上， ∴12b b t++=， 整理得：12t b =−， 24t <<，∴122t <<，则1102t−<−<， 10b ∴−<<，∴点B 在第二象限． 故选：C ．二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9．解：骰子六个面中奇数为1，3，5， P ∴（向上一面为奇数）3162==． 故答案为：12． 10．解：把1x =代入230x mx −+=得，130m −+=，解得4m =． 故答案为：4．11．解：如图所示：AOB ∆和COD ∆关于过点O 的直线l 成轴对称，因为BC ⊥直线l ，且OB OC =， 所以点B 关于直线l 的对称点是C ． 故答案为：C ．12．解：在ACB ∆中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，则由勾股定理知：22221086BC AB AC =−=−=． D 是AC 的中点，点B ，E 关于点D 成中心对称， ADE ∴∆与CDB ∆关于点O 成中心对称，6AE BC ∴==．故答案为：6．13．解：抽取的住户每户产生的生活垃圾每日平均为：40457035193030403013+++=+++，则该小区有1300个住户当日生活垃圾总量约为：1913001900()13kg ⨯=， 故答案为：1900kg ．14．解：由函数图象可得，抛物线的顶点坐标为(1,6.05)， 设抛物线的解析式为2(1) 6.05y a x =−+， 抛物线经过(2.1,0)，2(2.11) 6.050a ∴−+=，5a ∴=−，∴抛物线的解析式为25(1) 6.05y x =−−+， 当0x =时， 1.05y =，∴小球出手时的高度1.05m ．故答案为：1.05m ．15．解：连接AB ，取AB 中点O ，连接OC ， 90ACB ∠=︒， 12OC AB ∴=， ∴动点C 到O 的距离是定值，∴ “矩”的顶点C 的运动路线将会是一个圆．∴应用数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合． 故答案为：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合．16．解：由题意得：抛物线21y ax bx c =−+与抛物线22y ax bx c =++关于y 轴对称，都经过y 轴上的点(0,)c ． A 在B 的左侧，C 在D 的左侧，∴点A 与点D 关于y 轴对称，点B 与点C 关于y 轴对称， 当0a >时， 0b >，∴抛物线21y ax bx c =−+的对称轴在y 轴的右侧，抛物线22y ax bx c =++的对称轴在y 轴的左侧，如图，当A B x x x <<时，10y <， 当0B x x <<时，120y y <<，∴此种情形不合题意舍去； 当0a <时， 0b >，∴抛物线21y ax bx c =−+的对称轴在y 轴的左侧，抛物线22y ax bx c =++的对称轴在y 轴的右侧，如图，当0B x x <<时，120y y <<，符合题意，∴当210y y <<时，x 的取值范围是0C x x <<．故答案为：0C x x <<．三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17．解：2250x x +−=225x x +=， 2216x x ++=，2(1)6x +=，1x +=11x =−+21x =−−18．证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =，BAD BCD ∠=∠．ABE CDF ∴∠=∠． AE ，CF 分别平分BAD ∠和DCB ∠， ∴12BAE BAD ∠=∠，12DCF BCD ∠=∠． BAD BCD ∠=∠，BAE DCF ∴∠=∠．在BAE ∆与DCF ∆中，BAE DCF AB CDABE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()BAE DCF ASA ∴∆≅∆．BE DF ∴=．19．解：原式22(2)4244a a a a a a +−−=÷+++ 22(2)(2)2(2)a a a a a a +−+−=÷++ 2222a a a +=⋅+− 22a =−，当2a =时，原式5==． 20．解：设新建充电站的数量的年平均增长率为x ，根据题意得：2100(1)169x +=．解得：10.3x =，2 2.3x =−（舍去）．答：该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为0.3．21．解：（1）根据表格，体验路线一的同学这10天平均每天上学路上所用的时间为：4344434452454345464545()10min +++++++++=．（2）由（1）可知，体验路线一的同学这10天平均每天上学路上所用的时间为45min ．由题可得，体验路线二、三的同学这10天平均每天上学路上所用的时间分别为： 4241445441415142524245()10min +++++++++=， 4753444647484746474547()10min +++++++++=． 由表格数据，可知这10天体验路线一、二、三的同学迟到的概率分别为110，310，110． 根据上述数据，可以估计： 由路线一、二、三上学所用的平均时间分别为45min ，45min ，47min ，而迟到的概率分别为110，310，110． 考虑到学校对入校时间的要求，小梧和他的同学选择平均用时较短且迟到概率较低的路线一较为合理．22．解：（1）如图：ADE ∆即为所求；（2）当2βα=时，MN CD =．理由：如图，2βα=，BAC AC ∴∠=∠，AB AD =，AC AC =，()ACB ACD SAS ∴∆≅∆，90ACB ACD ∴∠=∠=︒，BC CD =，B ∴，C ，D 共线，AM MB =，AN ND =，12MN BD CD ∴==，此时2BD BC =．23．解：（1）矩形ABCD 是正方形，(1,3)A ， ∴点C 的坐标为(2,2)，点D 的坐标为(2,3)． 由3b =−，4c =知：抛物线T 的表达式为234y x x =−+， 所以当2x =时，2y =．所以点C 在抛物线T 上．又因为点B 在抛物线T 上，所以矩形ABCD 是抛物线T 的“半接矩形”．（2）因为点(,)B m n ，(,1)A m n +，所以B A x x m ==，B A y y ≠，所以AB x ⊥轴，11A B AB y y n n =−=+−=．因为在矩形ABCD 中，点C 在AB 边的右侧， 所以BC y ⊥轴，AD y ⊥轴，CD x ⊥轴．所以1CD AB ==．因为3BC =，所以(3,)C m n +，(3,1)D m n ++．因为点B ，C 关于2b x =−对称， 所以(3)22b m m ++−=，即23b m =−−①． 所以抛物线的解析式为2y x bxc =++，因为点B 在抛物线T 上，把(,)B m n 代入2y x bx c =++，可得2m bm c n ++=，把①代入，得 2(23)m m m c n −++=②．因为平移后矩形1111A B C D 仍是抛物线T 的半接矩形，所以有以下情况：第一种情况：点1A ，1D 在抛物线T 上．则11A D 与BC 重合．因此将矩形ABCD 向下平移1个单位长度，则矩形1111A B C D 仍是抛物线T 的半接矩形． 第二种情况：点1B ，1D 在抛物线T 上．由图形平移前后关系，可知：矩形ABCD ≅矩形1111A B C D ． 所以113B C BC ==，111C D CD ==．设1B 的坐标为(,)p q ，则1D 的坐标为(3,1)p q ++．将点1B ，1D 坐标分别代入2y x bx c =++，可得2q p bp c =++④，21(3)(3)q p b p c +=++++⑤． 由⑤−④，得：1693p b =++⑥．将①代入⑥，得1693(23)p m =++−−，即16p m =+． 将①，②，16p m =+都代入④，可得1736q n =−． 所以将矩形ABCD 先向下平移1736个单位长度后，再向右平移16个单位长度，得到的矩形1111A B C D 仍是抛物线T 的“半接矩形”．第三种情况：点1A ，1C 在抛物线T 上．根据对称性，可知将矩形ABCD 先向下平移1736个单位长度后，再向左平移16个单位，得到的矩形1111A B C D 仍是抛物线T 的“半接矩形”．显然，不存在其他情况．综上，要使得平移后的矩形1111A B C D 仍是抛物线T 的“半接矩形”，矩形ABCD 有三种平移方式．分别是：向下平移1个单位长度；先向下平移1736个单位长度后，再向右平移16个单位长度；先向下平移1736个单位长度后，再向左平移16个单位长度． 24．解：（1）连接OB ，OC ，设O 的半径为r ，AB AC =，67.5ABC ∠=︒，67.5ABC ACB ∴∠=∠=︒．18045A ABC ACB ∴∠=︒−∠−∠=︒．A ∠与BOC ∠同对BC ，290BOC A ∴∠=∠=︒．BC 的长=，∴901802r π=．∴r =（2）结论直线12Q Q 与O 相切．理由：连接CQ ，过点O 作OE BC ⊥于E ，过点Q 作QF BC ⊥于F ．由（1）得，OB OC ==90BOC ∠=︒，∴2OB ==．OE BC ⊥于E ， ∴112BE EC BC ===，112OE BC BE EC ====． BP m =， 1EP BP BE m ∴=−=−．在Rt OEP ∆中，222OP OE EP =+，22221(1)22OP m m m ∴=+−=−+．PQ n =，2222n m m =−+，22PQ OP ∴=，即PQ OP =．45POQ PQO ∴∠=∠=︒．90OPQ ∴∠=︒．90QPF OPE ∴∠+∠=︒．又Rt POE ∆，90POE OPE ∠+∠=︒，QPF POE ∴∠=∠．在Rt POE ∆与Rt QPF ∆中，90OEP PFQ ∠=∠=︒，QPF POE ∠=∠，OP PQ =， Rt POE Rt QPF(AAS)∴∆≅∆，2BP m =，1QF PE m ∴==−，1PF OE ==．()211CF CP PF BP BC PF m m ∴=+=−+=−+=−． CF QF ∴=．∴在Rt QCF ∆中，45FCQ FQC ∠=∠=︒．即点Q 在过点C ，且与射线BP 夹角为45︒的射线上． 1Q ，2Q 是点Q 的任意两个位置，∴直线12Q Q 即为直线CQ ．在Rt OEC ∆中，OE EC =，45EOC ECO ∴∠=∠=︒．90OCQ ∴∠=︒，即OC CQ ⊥．点C 在O 上，∴直线CQ 与O 相切．∴直线12Q Q 与O 相切．25．解：（1）当450l =时，4.75S l =． 理由如下：由表三可知，表中的数值大致符合“l 每增加180，S l 减少0.5”的规律， 当360l =时，5S l=， ∴当450l =时，4.75S l =； （2）解：因为景区管委会近似地用一边长为l ，另一边长为()x n +的矩形的面积表示S ， ()S l x n ∴=+． 由表三数值可以估计，S l 是l 的一次函数． 设S kl m l=+，由表三可知，函数图象经过点(360,5)，(720,4)． 代入可得得36057204k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得13606k m ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， 即16360S l l =−+． 经验证，表三数值所对应的l 与S l 的值都满足或近似满足函数解析式． 又因为()S l x n =+， 所以S x n l =+． 即16360l x n −+=+． 当2n =时，可得3601440l x =−+， ∴当2n =时，求l 与x 的函数解析式为3601440l x =−+；（3）解：由（2）得16360S l l =−+，即216360S l l =−+． 因为10360−<， 抛物线开口向下，对称轴1080l =， 所以当1080l =时，S 最大． 由实际情境可知，占地面积S 最大时，道路长度l 最大． 所以满足此关系式的l 的最大值是1080，即1080l ． 由（2）得16360l x n −+=+． 当2x =即在出口处时，14360n l =−+，此时l 表示该景区可修建的步行道全长． 又因为1080l ，所以1n ．。
2020-2021学 年上 学期人教版九年级数学试题
2020-2021上学期人教版九年级数学期末试卷一．选择题（共12小题）1．如果一个数的绝对值小于另一个数，则这两个数的和是（）A．正数B．正数或零C．负数D．负数或零2．下列各数：1，，4.112134，0，，3.14，其中分数有（）A．6个B．3个C．4个D．5个3．x＝3是下列方程的解的有（）①﹣2x﹣6＝0；②|x+2|＝5；③（x﹣3）（x﹣1）＝0；④x＝x﹣2．A．1个B．2个C．3个D．4个4．等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（）A．如果a＝b，那么ac＝bc B．如果a＝b，那么＝（c≠0）C．如果a＝b，那么a+c＝b+c D．如果a＝b，那么a2＝b25．若M在第三象限，则M点的坐标可能是（）A．（1，2）B．（2，﹣3）C．（﹣5，﹣6）D．（﹣3，5）6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（，0），顶点D的坐标为（0，），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A₂，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的周长为（）A．（）2020B．（）2021C．4×（）2020D．4×（）2021 7．下列几何体，用一个平面去截，不能截得三角形截面的是（）A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．正方体8．已知正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积是（）A．27cm3B．27πcm3C．18cm3D．18πcm39．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋10．如图，在等边△ABC中，点D和点B关于直线AC对称，过点D做DE⊥BC，交BC 的延长线于点E，若CE＝5，则BE的长为（）A．5B．10C．5D．1511．某市有9个区，为了解该市初中生的体重情况，有人设计了四种调查方案，你认为比较合理的是（）A．测试该市某一所中学初中生的体重B．测试该市某个区所有初中生的体重C．测试全市所有初中生的体重D．每区随机抽取5所初中，测试所抽学校初中生的体重12．﹣2和2对应的点将数轴分成3段，如果数轴上任意n个不同的点中至少有3个在其中之一段，那么n的最小值是（）A．5B．6C．7D．8二．填空题（共6小题）13．若向前进10米记为+10，那么向后退10米记为．14．方程（b﹣3）b+2015＝1的解是b＝．15．点P到x轴和y轴的距离分别为2和3，且点P在第四象限，则P点的坐标为．16．一个直棱柱一共有21条棱，那么这个棱柱的底面的形状是．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与AB边的碰撞次数是．18．为统计了解某市4万名学生平均每天读书的时间，有以下步骤：①得出结论，提出建议；②分析数据；③从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；④利用统计图表将收集的数据整理和表示，请您对以上步骤进行合理排序．（只填序号）三．解答题（共9小题）19．为全力迎接全国第十四届运动会，西安市将继续加快交通高质量发展，不断增强市民获得感和幸福感．某检修小组从O地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下，（单位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次﹣4+7﹣9+8+6﹣5﹣1（1）求收工时距O地多远？（2）在第几次记录时距O地最远？（3）若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？20．把下列各数填在相应的集合中：22，，0.81，﹣3，，﹣3.1，0，3.14，π，1.6整数集合{…}；负分数集合{…}．21．阅读理解题：下面是小明将等式x﹣4＝3x﹣4进行变形的过程：x﹣4+4＝3x﹣4+4，①x＝3x，②1＝3．③（1）小明①的依据是．（2）小明出错的步骤是，错误的原因是．（3）给出正确的解法．22．已知方程3x+2a﹣1＝0的解与方程x﹣2a＝0的解互为相反数，求a的值．23．已知点P（2x﹣6，3x+1）在y轴上，求P的坐标．24．计算下面圆锥的体积．25．国庆期间，广场上对一片花圃做了美化造型（如图所示），整个造型构成花的形状．造型平面呈轴对称，其正中间“花蕊”部分（区域①）摆放红花，两边“花瓣”部分（区域②）摆放黄花．（1）两边“花瓣”部分（区域②）的面积是．（用含a的代数式表示）（2）已知a＝2米，红花价格为220元/平方米，黄花价格为180元/平方米，求整个造型的造价（π取3）．26．2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数463785表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数21331表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数65261310根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．27．若干个人相聚，其中有些人彼此认识，已知：（1）如果某两个人有相等数目的熟人，则他两没有公共的熟人；（2）有一个人至少有56个熟人．证明：可找出一个聚会者，他恰好有56个熟人．2020-2021上学期人教版九年级数学期末试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【分析】根据一个数的绝对值小于另一个数，可知另一个数是正数，并且另一个数的绝对值较大，根据有理数的加法法则即可确定答案．【解答】解：∵一个数的绝对值小于另一个数，∴另一个数是正数，并且另一个数的绝对值较大，∴这两个数的和一定是正数．故选：A．2．【分析】根据有理数的分类判断即可．【解答】解：在1，，4.112134，0，，3.14中，分数有4.112134，，3.14，共3个．故选：B．3．【分析】分别求出四个方程的解各是多少，判断出x＝3是所给方程的解的有多少个即可．【解答】解：①∵﹣2x﹣6＝0，∴x＝﹣3．②∵|x+2|＝5，∴x+2＝±5，解得x＝﹣7或3．③∵（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x＝3或1．④∵x＝x﹣2，∴x＝3，∴x＝3是所给方程的解的有3个：②、③、④．故选：C．4．【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．【解答】解：观察图形，是等式a＝b的两边都加c，得到a+c＝b+c，利用等式性质1，所以成立．故选：C．5．【分析】根据在第三象限的点的横坐标和纵坐标均为负数判断即可．【解答】解：A．点（1，2）在第一象限；B．（2，﹣3）在第四象限；C．（﹣5，﹣6）在第三象限，D．（﹣3，5）在第二象限，故选：C．6．【分析】根据相似三角形的判定定理，得出△AA1B∽△A1A2B1，继而得知∠BAA1＝∠B1A1A2；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的周长公式计算三个正方形的周长，从中找出规律，问题也就迎刃而解了．【解答】解：设正方形的周长分别为C1，C2 (2021)根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2x（两直线平行，同位角相等）．∵∠ABA1＝∠A1B1A2＝90°，∴△BAA1∽△B1A1A2，∵顶点A的坐标为（，0），顶点D的坐标为（0，），∴OA＝，OD＝，在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD＝＝1，∴AD＝AB＝1，∵cot∠DAO＝＝，∵tan∠BAA1＝＝cot∠DAO，∴BA1＝AB＝，∴CA1＝1+＝，同理，得：C1A2＝+＝＝（）2，由正方形的周长公式，得：C1＝4×（）0C2＝4×（）1，C3＝4×（）2，…由此，可得∁n＝4×（）n﹣1，∴C2021＝4×（）2020．故选：C．7．【分析】当截面的角度和方向不同时，圆柱，球的截面不相同，无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．【解答】解：用一个平面截一个几何体，不能截得三角形的截面的几何体有圆柱．故选：A．8．【分析】首先根据题意可得将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3cm，底面直径为6cm，再计算体积即可．【解答】解：直线AB为轴，将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3cm，底面直径为6cm，∴所得几何体的体积＝32•π•3＝27π（cm3），故选：B．9．【分析】利用轴对称画图可得答案．【解答】解：如图所示，，球最后落入的球袋是2号袋，故选：B．10．【分析】连接CD，构造含30°角的直角三角形DCE，根据BC＝DC进行计算即可．【解答】解：如图，连接CD，∵△ABC是等边三角形，点D和点B关于直线AC轴对称，∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠DCE＝60°，∵DE⊥CE，CE＝5，∴∠CDE＝30°，∴CD＝2CE＝10，∴BC＝10．∴BE＝BC+CE＝10+5＝15．故选：D．11．【分析】利用抽样调查的中样本的代表性即可作出判断．【解答】解：某市有9个区，为了解该市初中生的体重情况，设计了四种调查方案．比较合理的是：每区随机抽取5所初中，测试所抽学校初中生的体重，故选：D．12．【分析】将数轴上的3段看成3个抽屉，先考虑相反的情况，得到的结果再取反即为答案．令每个抽屉最多有2个点，则最多有6个点，由此可得出结论．【解答】解：∵令每个抽屉最多有2个点，则最多有6个点，∴n≥7．故选：C．二．填空题（共6小题）13．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：若向前进10米记为+10，那么向后退10米记为﹣10．故答案为：﹣10．14．【分析】根据零指数幂的性质得到b+2015＝0，右侧求得b的值．【解答】解：根据题意，得b+2015＝0，或b﹣3＝1．解得b＝﹣2015或b＝4故答案是：﹣2015或4．15．【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可．【解答】解：∵点P（x，y）在第四象限，P到x轴，y轴的距离分别等于2和3，∴点P的横坐标是3，纵坐标是﹣2，∴点P的坐标为（3，﹣2）．故答案为：（3，﹣2）．16．【分析】根据n棱柱有3n条棱可得答案．【解答】解：∵一个直n棱柱有3n条棱，∴21÷3＝7，故答案为：7．17．【分析】如图，以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解．【解答】解：如图以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，∵2020÷6＝336…4，当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（2，0），∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2+1＝673次，故答案为：673．18．【分析】根据调查的一般步骤，得出结论．【解答】解：调查的一般步骤：先随机抽样，再收集整理数据，然后分析数据，最后得出结论．故答案为：③④②①．三．解答题（共9小题）19．【分析】（1）首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定相距O多少千米；（2）分别写出各次记录时距离O地的距离，然后判断即可；（3）首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以0.2升，即可求解．【解答】解：（1）﹣4+7+（﹣9）+8+6+（﹣5）+（﹣1）＝2（千米）．答：收工时检修小组在O地东面2千米处；（2）第一次距O地|﹣4|＝4千米；第二次：|﹣4+7|＝3（千米）；第三次：|3﹣9|＝|﹣6|＝6（千米）；第四次：|﹣6+8|＝2（千米）；第五次：|2+6|＝8（千米）；第六次：|8﹣5|＝3（千米）；第七次：|3﹣1|＝2（千米）．所以距O地最远的是第5次；（3）从出发到收工汽车行驶的总路程：|﹣4|+|+7|+|﹣9|+|+8|+|+6|+|﹣5|+|﹣1|＝40；从出发到收工共耗油：40×0.2＝8（升）．答：从出发到收工共耗油8升．20．【分析】根据整数包括正整数、0和负整数，可得整数集合；根据小于0的分数为负分数，可得负分数集合．【解答】解：整数集合{22，﹣3，0…}；负分数集合{，﹣3.1…}．故答案为：22，﹣3，0；，﹣3.1．21．【分析】根据等式的性质解答即可．【解答】解：（1）小明①的依据是等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；（2）小明出错的步骤是③，错误的原因是等式两边都除以0；（3）x﹣4＝3x﹣4，x﹣4+4＝3x﹣4+4，x＝3x，x﹣3x＝0，﹣2x＝0，x＝0．故答案为：等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；③；等式两边都除以0．22．【分析】先求出每个方程的解，根据相反数得出关于a的方程，求出方程的解即可．【解答】解：解方程3x+2a﹣1＝0得：x＝，解方程x﹣2a＝0得：x＝2a，∵方程3x+2a﹣1＝0的解与方程x﹣2a＝0的解互为相反数，∴2a+（﹣）＝0，解得：a＝﹣．23．【分析】根据y轴上点的横坐标为0列方程求出x的值，再求解即可．【解答】解：∵点P（2x﹣6，3x+1）在y轴上，∴2x﹣6＝0，解得x＝3，所以，3x+1＝9+1＝10，故P（0，10）．24．【分析】根据圆锥的体积解答即可．【解答】解：圆锥的体积：＝（cm3）．25．【分析】（1）区域②的面积＝2个正方形的面积．（2）分别求出区域①，②的面积，再乘以单价即可．【解答】解：（1）区域②的面积＝2a2．故答案为：2a2．（2）整个造型的造价：220（2×22﹣×22）+180（2×22+•π•22）＝2960（元）．26．【分析】（1）根据抽取样本的原则，为使样本具有代表性、普遍性、可操作性的原则进行判断；（2）样本中“采取室内体育锻炼减缓压力”的占，因此估计总体600人的是采取室内体育锻炼减缓压力的人数．【解答】解：（1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差．（2）600×＝260（人），答：该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有260人．27．【分析】考虑聚会中熟人最多的人（如果不止一个，则任取其中之一），记为A，设A认识了n个人，设为B1，B2，…，B n，由条件（1）知B i，B j熟人的数目不相等，于是B1，B2，…，B n，各人的熟人数互不相等，且均不超过n（根据的最大性），因此，必然是1，2，…，n，再根据条件（2）知n≥56，从而求解．【解答】解：考虑聚会中熟人最多的人（如果不止一个，则任取其中之一），记为A，设A认识了n个人，设为B1，B2，…，B n，由于任意两人B i，B j都以A为共同熟人，由条件（1）知B i，B j熟人的数目不相等，于是B1，B2，…，B n，各人的熟人数互不相等，且均不超过n（根据的最大性），因此，必然是1，2，…，n，再根据条件（2）知n≥56，因此1，2，…，n中包含着56，即B1，B2，…，B n中必有人恰好认识56人．。
福建省厦门市 2020-2021 学年高一上学期期末考试数学试题(含答案解析)
集合 A 是由小于 3 的自然数组成，0 A ， 1 A，只有 C 正确，
故选：C．
2．D
【分析】
利用特称命题的否定可得出结论.
【详解】
命题 p 为特称命题，该命题的否定为： x 0， x ex .
故选：D.
3．A
【分析】
利用对数函数的单调性得出 c 0 ，利用指数函数单调性可得出 a 、b 、 0 的大小关系，综合
绝密★启用前
福建省厦门市 2020-2021 学年高一上学期期末考试数学试题
注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合 A x N x 3 ，则（ ）
A． 0 A
B． 1 A
C．0 A
D．1 A
2．设命题 p ： x 0 ， x ex ，则 p 的否定为（ ）
主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比
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商
9．ABD
【分析】
由诱导公式和商数关系可得．
【详解】
∵ tan 3sin ，∴ sin 3sin ，
cos 若 sin 0 ，则 cos 1或 1， 若 sin 0 ，则 cos 1 ．
p2
2 p1 p2 p1 p2
p1 p2 2 4 p1 p2 2 p1 p2
p1 p2 2 2 p1 p2
0 ，所以，
p1 2
p2
2 p1 p2 p1 p2
.
因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的