《电动力学》公式推导荟萃

1. 电磁场能量守恒定律的推导

应用麦克斯韦方程组

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨

⎧∂∂+

=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t D

J H B t

B

E D 0

ρ

和洛仑兹力公式B v E f ⨯+=ρρ及v J

ρ=，结合公式

E H H E H E ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(

可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为

E v v B v E v f ⋅=⋅⨯+=⋅ρρρ)(

E

t D H E J

⋅∂∂-⨯∇=⋅=)( E

t D E H

⋅∂∂-⋅⨯∇=)( []

E

t D H E H E

⋅∂∂-⋅⨯∇+⨯⋅∇-=)()( E

t D H t B H E

⋅∂∂-⋅∂∂-⨯⋅-∇=)(

令

H E S

⨯=

H t B E t D t w

⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂

对应的积分形式为

注释:

对于各向同性线性介质，H B E D με==,，由H t B E t D t w

⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂给出

能量密度为

)

(21B H D E w ⋅+⋅=

而H E S

⨯=为能流密度矢量，或称为坡印亭（Poynting ）矢量。

************************************************

练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试由两个高斯

定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。

2. 静电势ϕ满足泊松方程的推导

对于各向同性线性介质，将

E D ε=，ϕ-∇=E

代入f D ρ=⋅∇ 得

f E E E ρϕεϕεεεε=∇-∇⋅-∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇2)(

即

ρϕεε

ϕf -=∇⋅∇+

∇1

2

对于均匀介质, 有0=∇ε

此即为静电势ϕ满足的泊松（poisson ）方程，其中f

ρ为自由电荷体密度。

注释:

当0=∇ε，或E

⊥∇ε时，均有0=∇⋅∇ϕε，ϕ仍满足泊松方程。

3. 静电场能量公式的推导

在线性介质中，电场总能量为

⎰∞

⋅=dV

D E W 21 对于静电场，利用

ρϕ=⋅∇-∇=D E

,给出

ρϕϕϕϕϕ+⋅-∇=⋅∇-⋅∇-=⋅-∇=⋅)(])([D D D D D E

所以

⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞+⋅-=+⋅∇-=⋅dV s d D dV dV D dV D E ρϕϕρϕϕ

)( 又

=⋅⎰

∞

s d D ϕ，故

注释:

（1）电场能量分布于空间电场中。在静电情形下，电场决定于电荷分布，场内没有独立的运动，因而静电场的总能量可以由电荷分布决定。

（2）ρϕ

21

不能视为静电场能量密度，上式只对静电场的总能量才有意义

（因为静电能不是分布在电荷上）。

（3）静电相互作用能为⎰∞

=dV

W e i ρϕ，其中e ϕ为外电场的电势。

4. 静磁场矢势A

满足微分方程的推导

因为0=⋅∇B ，有A B

⨯∇=。对于各向同性线性介质，将B H =及

A B ⨯∇=代入静磁场方程J H

=⨯∇，得

)

(1

)(111)1(A A B B B ⨯∇⋅∇+⨯∇⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇μ

μμμμ

J

A A A =∇-⋅∇∇+⨯∇⋅∇

=])([1)(1

2

μ

μ

运用库仑条件0=⋅∇A

，经整理给出

J

A A μμ

μ-=⨯∇⋅∇-∇)(12

对于均匀介质, 有

1

=∇

μ

,上式给出

J A μ-=∇2

)0(=⋅∇A

此即为静磁场矢势A

满足的微分方程，其中J 为传导电流体密度。

注释:

当

1

=∇

μ

，或

B

⊥∇

μ

1

时，均有0)(1

=⨯∇⋅∇A μ，此时A 仍满足上述方程。

5. 静磁场能量公式的推导

在线性介质中，磁场总能量为

⎰∞

⋅=dV

H B W 21 对于静磁场，结合公式A H H A H A

⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(,应用磁场方程

J H A B

=⨯∇⨯∇=,可给出

J A H A H A H A H A H B

⋅+⨯⋅∇=⨯∇⋅+⨯⋅∇=⋅⨯∇=⋅)()()()(

所以

⎰⎰∞

∞⋅+⨯⋅∇=dV

J A dV H A W

21)(21

⎰⎰∞∞⋅+⋅⨯=dV J A s d H A

21)(21 又0

)(=⋅⨯⎰∞

s d H A

，故

注释:

（1）磁场能量分布于空间磁场中。在静磁场情形下，磁场决定于稳恒电流的分布，因而静磁场的总能量可由电流分布决定。

（2）J

A ⋅21不能看作为静磁场的能量密度，上式只对静磁场的总能量才有

意义（因为磁能不是分布在电流上）。

（3）J 在外磁场e A 中的相互作用能为⎰⋅=dV A J W e i 。

6. 磁标势m ϕ满足的微分方程的推导

在0=J 的区域内（且⎰=⋅L l d H 0

），静磁场方程为

⎩⎨⎧=⋅∇=⨯∇00B H

对介质方程)(0M H B

+=μ的两边取散度，得