第四讲谓词逻辑的推理演算
谓词 基本推理公式
谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它使用谓词来表达命题的性质和关系。
基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则，用于推导命题的真假。
以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式：
1. 交换律：A→B ↔ B→A
2. 结合律：(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律：A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律：(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律：A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律：¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律：¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律：A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律：A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律：∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律：∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础，可以用于推导其他命题的真假。
在具体使用时，需要根据命题的具体情况进行选择和应用。
谓词逻辑的推理规则和证明方法
谓词逻辑的推理规则和证明方法谓词逻辑是一种用于描述命题关系以及推理过程的数学逻辑系统。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来表示性质或关系，通过逻辑连接词进行命题的组合和推理。
本文将介绍谓词逻辑中常用的推理规则和证明方法。
一、谓词逻辑的基本符号与概念在谓词逻辑中，我们使用以下基本符号：1. 命题变量：用大写字母（如P，Q，R）表示命题变量，表示一个命题。
2. 常量：用小写字母（如a，b，c）表示常量，表示一个具体的个体。
3. 谓词：用小写字母或小写字母加括号（如P(x)，Q(y)）表示谓词，表示一个性质或关系。
4. 量词：∀表示全称量词（对于所有的），∃表示存在量词（存在一个），用于描述一组对象。
在谓词逻辑中，我们还会用到以下概念：1. 公式：一个命题是谓词逻辑中的公式。
2. 全称量化：∀xP(x)表示谓词P(x)对于所有的x成立。
3. 存在量化：∃xP(x)表示谓词P(x)存在一个x使得成立。
二、推理规则在谓词逻辑中，我们常用以下推理规则进行逻辑推理：1. 求取命题的否定：将命题的否定写为¬P(x)，表示该命题不成立。
2. 逻辑与的消除：若已知P(x)∧Q(x)，则可以得到P(x)和Q(x)。
3. 逻辑或的消除：若已知P(x)∨Q(x)，则可以得到P(x)或Q(x)。
4. 蕴含的引入：若已知P(x)成立，则P(x)→Q(x)也成立。
5. 蕴含的消除：若已知P(x)→Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
6. 等价的引入：若已知P(x)↔Q(x)成立，则P(x)和Q(x)等价。
7. 等价的消除：若已知P(x)↔Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
三、证明方法在谓词逻辑中，我们可以使用以下证明方法进行推理证明：1. 直接证明：假设命题P(x)为真，通过推理规则逐步推导出Q(x)为真，从而得到P(x)→Q(x)。
2. 反证法：假设命题P(x)为假，通过推理规则逐步推导出Q(x)为假，从而得到¬P(x)→¬Q(x)。
谓词逻辑的等值和推理演算
(x)(Man(x)→Mortal(x)) Man(Confucius) → Mortal(Confucius)
• 例3:若有一种又高又胖旳人,则有一种高个子而 且有一种胖子.
(x)(Tall(x)Fat(x)) → (x)Tall(x) (x)Fat(x)
(x)P(x, f(x)) = P(1, f(1)) P(2, f(2)) • 两者明显不等值.但在(不)可满足旳意义下两者
是一致旳.
Lu Chaojun, SJTU
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谓词逻辑旳推理
• 命题逻辑中有关推理形式、重言蕴涵以 及基本旳推理公式旳讨论和所用旳术语 都可引入到谓词逻辑中,并可把命题逻辑 旳推理作为谓词逻辑旳推理旳一种部分 来看待.
• 前束范式定理:任一公式都有与之等值旳 PNF.
Lu Chaojun, SJTU
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怎样转化成PNF
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(假如必要旳话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
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例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))
离散数学--第四章 谓词逻辑推理
Dr Chen Guangxi
例4.1.1
注：在对 ∀x ( F ( x ) → G ( x )) 使用UI规则时， 可以得 F(y) → G(y)，也可得F(c) → G(c)， 其中y是任意的个体常项，c可为任意个体 常项，由结论的需要取c为a。
。
Dr Chen Guangxi
例4.1.3
构造下面推理的证明 前提： ¬∃ x ( F ( x ) ∧ H ( x )), ∀ x ( G ( x ) → H ( x ))
Dr Chen Guangxi
四条重要的推理规则
2.全称量词引入规则，简记为 UG
A( y) ∴ ∀xA( x)
成立的条件是： （1）y在A(y)中自由出现，且为任意的个体变 项； （2）取代y的x不能在A(x)中约束出现过。
Dr Chen Guangxi
四条重要的推理规则
3.存在量词消去规则，简记为EI
∀x( H ( x ) → ¬F ( x))
G ( y) → ¬F ( y)
∀ x ( G ( x ) → H ( x )) G( y) → H ( y)
∀x (G ( x ) → ¬F ( x )) 本例要注意UI规则的用法!!
Dr Chen Guangxi
例题
构造推理
学术委员会的每个成员都是博士并且是教授。有些成 员是青年人。因而，有的成员是青年教授。
∃xA( x) ∴ A(c)
成立的条件为： （1）c是使A(c)为真的特定的个体常项； （2）c不在A(x)中出现过； （3）若A(x)中除x外还有其它自由出现的 个体变项时，此规则不能使用。
Dr Chen 为EG
A(c ) ∴ ∃ xA ( x )
Dr Chen Guangxi
第四讲谓词演算的推理理论
谓词推理
例6 (x)P(x) (x)(P(x)∨Q(x) R(x)), (x)P(x),(x)Q(x) (x)(y)(R(x) ∧R(y)) (1)(x)P(x) P (2)(x)P(x) (x)(P(x)∨Q(x) R(x)) P (3)(x)(P(x)∨Q(x) R(x)) T(1)(2)I (4)P(a) ES(1) (5)P(a)∨Q(a) R(a) US(3) (6)P(a)∨Q(a) T(4)I (7)R(a) T(5)(6)I (8)(x)Q(x) P (9)Q(b) ES(8) (10) P(b)∨Q(b) R(b) US(3) (11) P(b)∨Q(b) T(9)I (12) R(b) T(10)(11)I (13) R(a) ∧R(b) T(7)(12)I (14) (y)(R(a) ∧R(y)) EG(13) (15) (x)(y)(R(x) ∧R(y)) EG(14)
例2 ： (1) 在座的成员都是大学生，并且正值青春年华。 (2) 有些成员是女性。 (3) 所以，有些成员是青年女大学生。 解：设M(x)：x是在座的成员 Y(x)：x正值青春年华 U(x)：x是大学生 W(x)：x是女性
( x)(M(x) (U(x)∧ Y(x))) , ( x)(M(x) ∧W(x)) ( x)(M(x) ∧ Y(x) ∧ W(x)∧U(x) )
T(6)(9)I T(10)E T(11)I T(7)(12)I P US(14) T(6)(15)I T(6)(15)I T(17)E T(18)I T(19)E T(13)(20)I T(6)(21)I EG(22)
思考题： ( x)( y)A(x, y) P
全称指定： ( y)A(a, y) P 等价式： P (y) A(a, y) 全称推广： P ( x) ( y) A(x, y) 作业: P79 逆否式： P ( x) ( y) A(x, y) (1)b, c (2)b, (3)c 注意：使用指定或推广规则时，量词的作用域必 须是整个谓词公式，而不是其中的一部分
四章节谓词演算推理理论-PPT精选文档
xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2)约束变元改名：
xP(x)z(A(z)y(B(y)W(z，y))) (3)化为前束范式
xzy(P(x)(A(z)(B(y)W(z，y)))) (4)消去存在量词(按Skolem标准形)
来表达，其中ti/vi表示变量vi处处以项ti来代替。
例 已知表达式 P(x，g(y)，b)，考察置换:
P(x，g(a)，b)
{a/y}
P(a，g(b)，b)
{a/x，b/y }
P(f(y)，g(a)，b)
{f(y)/x，a/y }
4.3.2 归结反演系统
一、谓词演算公式子句的形成 二、一般归结 三、归结反演系统
A(x1)B(f(x1))，A(x2)W(x2，f(x2))
求子句: 有些作家没写过小说
(2) x(A(x)y(N(y)W(x，y))) = x(A(x)y(N(y) W(x，y))) = x y (A(x) (N(y) W(x，y))) y (A(a) (N(y) W(a，y))) A(a) (N(y) W(a，y))
(7)消去合取词得子句集 P(a), A(z)B(f(z)), A(z)W(z，f(z))
(8)改变变量的名称： P(a), A(z1)B(f(z1)), A(z2)W(z2，f(z2))
关于改变变量名的说明: x(A(x) B(x))= xA(x) yB(y)
互补文字对的归结
H(x): x是海豚； I(x): x有智慧
引例 (p45，提取子句)
前提： x(R(x) L(x)) x(H(x)L(x)) x(H(x)I(x))
结论的否定 x(I(x)R(x)) =x(I(x)R(x))
谓词演算的推理理论
南京信息工程大学数理学院
4
NUIST
2. ES规则(存在指定规则)
xA(x)A(c) ——如果个体域D中存在具有性质A的个体，
则D中必有某一个个体c（个体常元）具有该性质A。
该式成立的条件是： ⑴ x是A(x)中自由出现的个体变元。 ⑵ c是使A(c)为真的特定的个体常元，且此c在该推导前
结论： D(a)
推理的形式结构：x( M(x)→D(x) )∧M(a)→D(a)
证明: (1) x( M(x)→D(x) ) 规则P
(2) M(a)→D(a)
(1)US规则，规则T
(3) M(a)
规则P
(4) D(a)
(2)(3)假言推理，规则T
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NUIST
例1-8-2 同事之间总是有工作矛盾的。
A(y) xA(x) ——如果个体域D中每一个个体都具有性质A，
则D中所有的个体都具有该性质A。
该式成立的条件是： ⑴ y是A(y)中自由个体变元，且y取个体域D中的任何值时，
A(y)均为真。 ⑵ 取代y的x不能是A(y)中的约束变元，否则也会产生错误。
注：使用本规则时，事先必须已经验证了对个体域中的每一个
（二）谓词逻辑中特有的推理规则
1. 谓词演算中与量词有关的基本的永真蕴含式和逻辑等价式。
2. 量词的消去或添加规则
在谓词演算的推理中，某些前提或结论会受到量词的限制， 为了使用命题演算中的等价式和蕴含式，必须有消去或添加
量词的规则。
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2
消去规则(指定规则)
NUIST
1. US规则(全称指定规则)
谓词公式的推理
谓词公式的推理
谓词公式推理是逻辑推理的一种形式，它基于谓词逻辑进行推理。
谓词逻辑是一种用于描述和推理事物状态的逻辑系统。
谓词公式由一个或多个谓词符号（或称为函数符号）和变量符号组成，用于描述个体（或对象）的属性或关系。
谓词公式推理主要基于规则，这些规则告诉我们在什么条件下可以接受一个特定的结论。
在谓词逻辑中，常用的推理规则包括：
1. 替换规则：允许在公式中替换变量符号，而不改变公式的真值。
2. 附加规则：允许将一个公式附加到另一个公式上，从而形成更复杂的公式。
3. 分离规则：允许从两个公式中分离出一个子公式，前提是这两个公式在某些条件下都为真。
4. 普遍附加规则：允许在公式中添加一个普遍量词，前提是该公式在某些条件下为真。
5. 普遍分离规则：允许从公式中分离出一个普遍量词，前提是该公式在某些条件下为真。
这些规则可以组合使用，以进行复杂的推理。
例如，可以使用附加规则和分离规则来推导出一个结论，然后使用替换规则来将结论中的变量符号替换为具体的值。
总的来说，谓词公式推理是一种强大的逻辑工具，可用于描述和推理事物的属性和关系。
它广泛应用于数学、哲学、计算机科学等领
域。
第四章 谓词演算的推理理论永真推理系统(共28张PPT)
证明： (1) △(x) (2) △((x)((PP)(x))) (3) △((PP)(x)) (4) △((PP)x (x))
(5) △(PP)
(6) △x(x)
引用定理
(2)(1)分离
全称规则(3)
公理(1)
(4)(5)分离
则有全0规则△(x)├△x(x)
第十四页，共28页。
全n规则、存n规则
(x(P(x))(x P(x))) 分离(2)(7)
(9) x(P(x))(x P(x))
分离(6)(8)
第十九页，共28页。
例( ) 练习4.1(2)
x(P(x))(x P(x))
先证明 x(P(x)) (x P(x))
证明:
(1) x(P(x)) (P(x))
公理20
(2) x(P(x)) (x P(x))
存1规则
1(P(x))├ 1(xP(x)))
第二十页，共28页。
例(续) x(P(x))(x P(x))
再证明 (x P(x)) x(P(x))
证明:
(3) P(x) xP(x)
公理21
(4) (P(x)xP(x)) ((xP(x))(P(x)))
公理3
(5) (xP(x))(P(x))
分(3)(4)
与有关
第七页，共28页。
（二） 公理
公理20 △(xP(x) P(x)) 公理21 △(P(x)x P(x))
与量词有关
如果只有一个自由变元，公理20与公理21可以分别
理解如下：
x(yP(y) P(x))
x(P(x)y P(y))
第八页，共28页。
（三） 规则
(1)分离规则：
如果△(AB)且△A，则△B。 (2)全称规则：
谓词逻辑的推理演算
谓词逻辑的推理演算
谓词逻辑是一门重要的数学学科，它是用来研究可以用谓词符号表示的各种数学语言中的定理，其中包括如何推理和证明其定理。
谓词逻辑最初是由古希腊哲学家克里特拉提出的，他提出了一组谓词符号，用来表示语句的真假性。
他也创造了一种推理机制，用来从已知事实推断出新的结论。
谓词逻辑的推理演算是由一系列规则构成的，这些规则用来说明在谓词逻辑中可以从已有的结论推出新的结论的过程。
该过程可以分成三个步骤：推断，证明和验证。
首先，我们需要从已知的事实和结论中推断出新的结论。
然后，我们需要用谓词逻辑规则来证明这个结论是正确的。
最后，我们需要验证这个结论是正确的，以确保我们的推理是正确的。
谓词逻辑的推理演算是一种非常强大的工具，可以用来推断出各种复杂的数学定理。
它可以让我们更加深入地理解一些概念，并证明它们的正确性。
它也可以帮助我们解决许多复杂的数学问题。
谓词逻辑的推理演算是用来研究可以用谓词符号表示的各种数学语言中的定理，它是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们更好地理解数学概念，从而推断出新的结论。
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
在谓词逻辑中，基本的推理公式包括：
1.求反与证明反例：
如果要证明一个命题为假（否定），可以通过求反的方式来证明。
即，将该命题的否定作为前提，通过推理得出矛盾结论。
反之，要证
明一个命题为真，可以通过证明反例的方式。
即，找到一个具体的例
子使得该命题成立。
2.假设推理（反证法）：
假设待证明的命题为假，通过推理得出矛盾结论，以此推断待证
明的命题为真。
这种推理方法也被称为反证法。
3.归谬法：
如果通过假设推理后，无法得出矛盾结论，但也无法确定该命题
为真，则可以得出一个归谬（无解）结论，即无法证明该命题的真假。
4.极值法则：
对于一些带有最大值或最小值的问题，可以通过极值法则来解决。
即，假设待证明的结论不成立，通过比较得出矛盾结论，从而证明待
证明的结论成立。
这些基本的推理公式在谓词逻辑中起着重要的作用，可以帮助我
们进行逻辑思考和推理，解决各种问题。
在实际应用中，还可以结合
其他推理方法和技巧，进行更深入的推理和分析。
因此，在学习和应
用谓词逻辑时，需要多加练习和思考，提高逻辑推理能力。
谓词逻辑的推理演算
谓词逻辑的推理演算话说，这人世间之事，总不免那些自然的冲动，就连写作，也会受到情绪的支配，心中一旦涌上某种感触，立刻就要付诸于笔端。
我最爱玩《三国杀》了。
有时候，无意看见有卖的，便去买一包，和朋友对战；有时候，凑巧在书店中买了本卡牌的书，便在咖啡馆中看；还有时候，只想放松自己，因而来到麻将馆，兴起时，叫上几个朋友对战。
但玩多了，也不免感觉乏味，便开始找寻其他的玩法，最近发现了一种新的游戏——谓词逻辑推理演算。
可能大家没听过这个名称，但实际上，这个游戏与它的名称一样，简单易懂。
它要求你在5分钟内，利用手上所有的卡牌，以“猜拳”的方式做出判断，只需要简单的4张牌，来推理出你认为正确的答案。
我猜着，每个人都应该有这样的体验：当你拿着一把伞，而天却在刮风下雨的时候， [gPARAGRAPH3]之道是赶紧收起你的伞。
虽然只有短短的两句话，却让人体验到了“防患于未然”的重要性。
其实，这种游戏有很多的延伸用途，如在工作或学习中，遇到问题或困难，人们常常会想“怎么办呢？”这时候，不妨试试这个游戏。
如果真的要采取什么措施，必定是几句话或几张纸，根本无法反映出一个人的能力，或者体现出一个人的性格特征。
所以，让你在工作中，既可以完成工作，又不会伤害同事的关系，何乐而不为呢？这，就是谓词逻辑推理演算！“好”这个字是在下文中出现的，当读者有这种感受时，并非代表这篇作品是被选进了校刊中，而是在文中出现了“好”字。
这篇作品的编辑大人应该是很满意吧！“好”是指“美好”，但在生活中，却是指美好的事物；在考试中，则指成绩优秀的意思；在其他场合，是一种十分谦虚的说法。
就是这种短短的几个字，蕴含着丰富的意思，真的是“语不惊人死不休”呀！作者以独特的构思，设置了悬念，引人入胜，给读者留下了充足的想象空间。
再加上完美的结局，深深吸引了读者，使读者沉浸其中，感受了“别具一格”的魅力，甚至陶醉在里面。
只可惜，篇幅有限，只能将故事的高潮部分讲述给大家，还请大家多多见谅。
与谓词演算公式
与谓词演算公式
谓词演算是数理逻辑中的一种推理方法，用于描述和操作命题。
在谓词演算中，我们使用量词、谓词和变量来构造公式。
一个谓词演算公式包括以下部分：
1. 量词：谓词演算中有两种量词，即全称量词和存在量词。
全
称量词使用符号∀表示，表示公式对于所有的变量都成立。
存在量
词使用符号∃表示，表示存在至少一个使公式成立的变量。
2. 谓词：谓词是描述一个特定属性的函数，用于判断命题的真假。
谓词通常带有变量，用于在特定情况下对命题进行判断。
3. 变量：变量是谓词中的未知数，代表具体对象。
变量可以有
不同的取值范围，用于对命题中的不确定部分进行具体化。
4. 逻辑连接词：谓词演算中常用的逻辑连接词有与（∧）、或（∨）、非（¬）等。
逻辑连接词用于组合多个子公式形成复合公式。
一个简单的谓词演算公式示例是：
∀x (P(x) → Q(x))
其中，P(x) 和 Q(x) 是谓词，x 是变量，∀是全称量词，→
是逻辑连接词。
这个公式表示对于任意一个 x，如果 P(x) 成立，则
Q(x) 也成立。
谓词演算公式用于数理逻辑的推理和证明过程，有助于分析问题、描述特定状况并得出结论。
在谓词演算中，公式之间的转换和推理常
常使用规则和定理进行，以验证命题的真假。
谓词逻辑的等值和推理演算-PPT精选文档
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(如果必要的话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
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例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))
Lu Chaojun, SJTU
5
量词分配等值式
• 量词对及的分配律
(x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) – 其中 不含自由x ! – 这个条件很容易满足:对约束变元改名即可.
Lu Chaojun, SJTU
6
量词分配等值式(续)
• 量词对的分配律
(x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) – 其中 不含自由x !
谓词逻辑推理定律
谓词逻辑推理定律首先，让我们了解什么是谓词逻辑。
谓词逻辑是一种逻辑分析方法，用于分析一些断言或句子的真假性。
谓词逻辑推理是指根据给定的谓词逻辑语句推理出另一个谓词逻辑语句的过程。
通常情况下，谓词逻辑推理被用于解决语义相关问题，如逻辑谬误，语言理解等。
谓词逻辑推理定律是用于谓词逻辑推理过程中所应注意的一些基本原则，它们能够帮助我们合理地进行推理，确保推理的合法性和准确性。
下面我们将详细介绍几个常见的谓词逻辑推理定律。
1. 否定演算规律：一个命题与它的否定命题不能同时成立。
例如，如果说“所有动物都能呼吸”，那么这么说就是错误的：“所有动物不能呼吸”。
因此，被推理的命题不能同时成立为“真”和“假”。
2. 否定引入规律：在一个推理中，当我们不能证明一个命题时，我们可以推出它的否定命题是真的。
例如，如果一个人说“我已经搜索了整个屋子，但是没有找到我的钥匙”，那么我们可以推断出：“我的钥匙不在我的房子里”。
因为如果钥匙在房子里，就一定会被找到。
3. 等价规律：如果两个命题具有相同的真值，那么它们具有等价关系。
例如，命题“猫是哺乳动物”和“所有哺乳动物都是猫”就是等价的。
4. 分配律：如果一个逻辑命题包含多个逻辑操作符，将它们分成两个组合不影响其含义。
例如，命题“(p∧q)∨r”和“(p∨r)∧(q∨r)”就是等价的。
5. 归纳法则：当推理一组命题时，我们通常可以通过研究一组具有相似特征的实例来了解整个集合的性质。
例如，如果我们希望证明所有偶数之和是偶数，我们可以归纳地首先证明2和4之和为6，接着证明6和6之和为12，以此类推。
通过这种归纳方法，我们可以得出结论：所有偶数之和是偶数。
6. 相反法则：只有证明命题的逆否命题为真，才能真正证明该命题为真。
例如，如果我们想证明“如果人类能够站立，那么他们就能够行走”，我们可以相反地批判性地假设人类不能行走，然后我们就可以推断出，他们也不能站立。
以上谓词逻辑推理定律是推理过程中注意的基本原则。
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4.3 推理方法
示例4 示例4 每个科学工作者都是勤奋的， 每个科学工作者都是勤奋的，每个既勤奋又聪明的人在 他的事业中都将获得成功， 他的事业中都将获得成功，王大志是科学工作者并且是聪明 所以王大志在他的事业中将获得成功。 的，所以王大志在他的事业中将获得成功。 设个体域为全总个体域。令 M(x)：x 是人；K(x)：x 是科 设个体域为全总个体域。 M(x)： 是人； K(x)： 学工作者；Q(x)： 勤奋；T(x)： 聪明；S(x)： 学工作者 ； Q(x) ： x 勤奋 ； T(x) ： x 聪明 ； S(x) ： x 将获得成 王大志， 功；a：王大志，则：
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4.3 推理方法
示例2 ∨∃xQ(x) 示例2 ∀x(P(x)∨Q(x))⇒∀xP(x)∨∃ ∨ ⇒ ∨∃ 证明 用反证法 (1) ¬(∀xP(x)∨∃ ∨∃xQ(x)) P(附加 附加) ∀ ∨∃ 附加 (2) ∃x¬P(x)∧∀ ¬Q(x) ∧∀x¬ R,E,(1) ¬ ∧∀ (3) ∃x¬P(x) ¬ T,I,(2) (4) ¬P(a) ES,(3) (5) ∀x¬Q(x) T,I,(2) ¬ (6) ¬Q(a) US,(5) (7) ∀x(P(x)∨Q(x)) P ∨ (8) P(a)∨Q(a) ∨ US,(7) (9) Q(a) T,I,(4),(8) (10) Q(a)∧¬ ∧¬Q(a) T,I,(6),(9),矛盾 ∧¬ 矛盾 因此，假设不成立，原推理形式正确。 因此，假设不成立，原推理形式正确。
前提： 前提： ∀x((P(x)∧Q(x))→R(x)), ∃x(P(x)∧Q(x)) 结论： 结论： ∃x(P(x)∧R(x)) 推理形式： 推理形式： ∀x((P(x)∧Q(x))→R(x)), ∃x(P(x)∧Q(x)) ⇒ ∃x(P(x)∧R(x))
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4.3 推理方法
证明 (1) ∃x(P(x)∧Q(x)) (2) P(a)∧Q(a) (3) P(a) (4) ∀x((P(x)∧Q(x))→R(x)) (5) (P(a)∧Q(a))→R(a) (6) R(a) (7) P(a)∧R(a) (8) ∃x(P(x)∧R(x)) P ES,(1 ES,(1) T,I,(2 T,I,(2) P US,(4 US,(4) T,I,(2),(5 T,I,(2),(5) T,I,(3),(6 T,I,(3),(6) EG,(7 EG,(7)
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4.3 推理方法
直接证法
前提+推理规则+ 前提+推理规则+推理定律 ⇒ 结论
间接证法（ CP规则 间接证法（反证法 、CP规则 ）
反证法
结论的否定+前提+推理规则+推理定律 ⇒ 矛盾 结论的否定+前提+推理规则+
CP规则（条件：结论为蕴含式） CP规则 条件：结论为蕴含式）
第4讲 谓词逻辑的推理演算
主讲人 吴杰 中国地质大学计算机学院
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主要内容 1 推理定律 2 推理规则 3 推理方法
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4.1 推理定律
1. 由命题逻辑推理定律推广而来的谓词逻辑推理 定律 利用代入定理将命题逻辑中的推理定律推广 而得到谓词逻辑中的推理定律。 而得到谓词逻辑中的推理定律。 如在命题逻辑中有公式： 如在命题逻辑中有公式： α∧β⇒α，α⇒α∨β， 可推广而得： 可推广而得： xA(x)∧∀yB(y)⇒ xA(x)， ∧∀yB(y) ∀xA(x)∧∀yB(y)⇒∀xA(x)， xA(x)⇒ xA(x)∨∃ ∨∃yB(y) 等等。 ∀xA(x)⇒∀xA(x)∨∃yB(y) 等等。
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4.3 推理方法
证明 1）∀x((M(x)∧K(x))→Q(x)) x((M(x)∧K(x))→ 2）(M(a)∧K(a))→Q(a) (M(a)∧K(a))→ 3）M(a)∧K(a)∧T(a) M(a)∧K(a)∧ 4）M(a)∧K(a) M(a)∧ 5）Q(a) 6）M(a)∧T(a) M(a)∧ 7）M(a)∧Q(a)∧T(a) M(a)∧Q(a)∧ 8）∀x((M(x)∧Q(x)∧T(x))→S(x)) x((M(x)∧Q(x)∧T(x))→ 9）(M(a)∧Q(a)∧T(a))→S(a) (M(a)∧Q(a)∧T(a))→ 10） 10）S(a) P US,(1 US,(1) P T,I,(3 T,I,(3) T,I,(2),(4) T,I,(2),(4 T,I,(3 T,I,(3) T,I,(5),(6 T,I,(5),(6) P US,(8 US,(8) T,I,(7),(9 T,I,(7),(9)
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4.1 推理定律
2. 由基本等值式生成的推理定律 前面给出的等值式中的每个等值式可生成两 个推理定律。例如， 个推理定律。例如， xA(x)⇒¬¬∀xA(x) ¬¬∀xA(x) xA(x)， xA(x)⇒ ∀xA(x)⇒¬¬∀xA(x)，¬¬∀xA(x)⇒∀xA(x) ¬∀xA(x) xA(x)⇒ A(x)⇒¬∀xA(x) 和¬∀xA(x)⇒∃x¬A(x), ∃x¬A(x)⇒¬∀xA(x) 等等。 等等。
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4.1 推理定律
3. 一些特有的重要推理定律 （1）∀xA(x)∨∀xB(x)⇒∀x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨∀xB(x)⇒ x(A(x)∨ ∨∀xB(x) （2）∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x) x(A(x)∧B(x))⇒ xA(x)∧∃xB(x) ∧∃ （3）∀x(A(x)→B(x))⇒∀xA(x)→∀xB(x) x(A(x)→B(x))⇒ xA(x)→∀xB(x) →∀ （4）∃x(A(x)→B(x))⇒∃xA(x)→∃xB(x) x(A(x)→B(x))⇒ xA(x)→∃xB(x) →∃ 等等。 等等。
蕴含的前件+前提+推理规则+ 蕴含的前件+前提+推理规则+推理定律 ⇒ 蕴含的后件
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4.3 推理方法
示例1 示例1 任何人如果违反交通规则，就要被处罚； 任何人如果违反交通规则，就要被处罚；总有些人违反 了交通规则。因此有些人被处罚。（使用全总个体域） 。（使用全总个体域 了交通规则。因此有些人被处罚。（使用全总个体域） P(x)： 令 P(x) ： x是人 罚 则： Q(x)： Q(x) ：x 违反交通规则 R(x)： R(x) ： x 被处
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4.3 推理方法
示例3 示例3 ∀x(P(x)→Q(x))⇒∀xP(x)→∀xQ(x) → ⇒ → 证明 用CP规则 (1) ∀xP(x) (2) P(a) (3) ∀x(P(x)→Q(x)) → (4) P(a)→Q(a) → (5) Q(a) (6) ∀xQ(x) (7) ∀xP(x)→∀xQ(x) → P(附加 附加) 附加 US,(1) P US,(3) T,I,(2),(4) UG,(5) CP
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前 提 ： ∀ x((M(x)∧K(x))→Q(x)), ∀x((M(x)∧Q(x)∧T(x))→S(x)), x((M(x)∧K(x))→ x((M(x)∧Q(x)∧T(x))→ M(a)∧K(a)∧ M(a)∧K(a)∧T(a) 结论： 结论： S(a) 推理形式： x((M(x)∧K(x))→ 推理形式： ∀x((M(x)∧K(x))→Q(x)), ∀x((M(x)∧Q(x)∧T(x))→S(x)), x((M(x)∧Q(x)∧T(x))→ M(a)∧K(a)∧T(a)⇒ M(a)∧K(a)∧T(a)⇒S(a)
离散 推理规则
全称量词消去规则（US） 1. 全称量词消去规则（US） xA(x)⇒ （1）∀xA(x)⇒A(y) 或 xA(x)⇒ （2）∀xA(x)⇒A(c) 全称量词引入规则（UG） 2. 全称量词引入规则（UG） A(y)⇒ A(y)⇒∀xA(x) 存在量词消去规则（ES） 3. 存在量词消去规则（ES） ∃xA(x)⇒A(c) xA(x)⇒ 存在量词引入规则（EG） 4. 存在量词引入规则（EG） A(c)⇒ A(c)⇒∃xA(x)