3.2导数运算与导数公式
32导数的基本公式及四则运算法则
3.2.1 常值函数的导数 3.2.2 幂函数的导数 3.2.3 正弦函数的导数 3.2.4 对数函数的导数 3.2.5 函数的和、积、商的导数 3.2.6 反函数的导数 3.2.7 复合函数的导数 3.2.8 隐函数的导数 3.2.9 取对数求导法 3.2.10 基本初等函数的导数公式志求导法则
特别地，当其中有一个函数为常数 c时， 则有
(cu )cu．
上面的公式对于有限多个可导函数成立， 例如：
( u) v u v w u w v w u w ． v
例2 设 y (1 2 x )5 ( x 2 3 x 1 )， 求 y ． 解 y ( 1 2 x )(5 x 2 3 x 1 )
定理2.2的结论可以推广到多层次复合的
情况． 例如设yf(u) ，u(v) v，(x) ，
则复合函 yf{[(x)]数}的导数为
dydydudv dx du dv dx
(2.2.9)
例8 求下列函数的导数：
(1)
y
tan 1
2x
；
(2) ysi2n (23x)；
(3) ylo3cgoxs21．
解 (1)设 y 2u ，utav，nv 1 由定理
2.2得
x
yxyu uv vx 1 2uln2co12vs(x12)2xt2acxnol2n1sx2；
(2) y 2 s2 i 3 x n ) c2 ( o 3 x ) ( s 3 )( 3 s2 i(2 n 3 x )；
推论
(u)uvuv .
v
v2
(2.2.5)
c v
cv v2
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
导数的运算法则
(sinx ) cosx
'
(cosx) sinx
'
问题情景
利用导数定义求 y x 2 x 的导数.
f ( x) x
2
( x x) 2 x 1
2
2
g ( x) x
f ( x) g ( x) x x
猜想：
( x x) ( x ) ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母 的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母 的平方,即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] g ( x) g 2 ( x)
其中g ( x) 0
例4：求下列函数的的导数。 1 (1) f ( x ) 2 ; x sin x (3) f ( x ) ; 2 x x ( 2) f ( x ) ; 2x 3 x ( 4) f ( x ) x e
变式2 : 若直线l是曲线y f ( x)在x 4处的切线, 求 f (4), f ' (4).
y
5 3
x
0
4
例8:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应 的切点,并证明曲线关于此点对称. 2 2 解:由于 y 3 x 12x 1 3( x 2) 13,故当x=2时, y 有最小值. 而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点 为A(2,-12). 记曲线为S,设P(x,y)∈S,则有y=x3-6x2-x+6. 又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证Q∈S. 将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x +12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y. 即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是Q∈S. 这就证明了曲线S关于点A中心对称.
3.2 导数的基本公式及四则运算法则
所以
∆y 1 ∆x ∆x = lim[ log a (1 + ) ] lim ∆x →0 ∆x ∆x − 0 x x
x
1 ∆x ∆x = log a lim (1 + ) ∆x →0 x x 1 1 ， = log a e = x x ln a
x
即
1 ． (log a x)′ = x ln a
y′ = 5( x 2 )′ + 3( x −3 )′ − (2 x )′ + 4(cos x)′
= 5 × 2 x + 3 × (−3) x −4 − 2 x ln 2 + 4(− sin x) 9 = 10 x − 4 − 2 x ln 2 − 4 sin x ． x
2.乘积函数的导数 2.乘积函数的导数
= 30 x 2 − 2 x − 1 ．
例3
设 y = x sin x ln x ，求 y′
解 y′ = ( x)′ sin x ln x + x(sin x)′ ln x + x sin x(ln x)′ 1 = 1 ⋅ sin x ln x + x cos x ln x + x sin x ⋅ x = sin x ln x + x cos x ln x + sin x ．
(uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′ ．
例2 解
2 设 y = (1 + 2 x)(5 x − 3 x + 1) ， 求 y′． y′ = (1 + 2 x)′(5 x 2 − 3 x + 1) + (1 + 2 x)(5 x 2 − 3 x + 1)′ = 2(5 x 2 − 3 x + 1) + (1 + 2 x)(10 x − 3)
3.2 导数的计算 第3课时
9． 曲线 y＝xex＋2x＋1 在点(0,1)处的切线方程为________．
解析：y′＝ex＋xex＋2，斜率k＝e0＋0＋2＝3，所以切线 方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1. 答案：y＝3x＋1
三、解答题(本大题共 4 小题，共 45 分，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤) 10．(15 分)求下列函数的导数： (1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)； lnx＋2x (2)f(x)＝ . x2
11． (15 分)设 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1 的导数 f′(x)满足 f′(1) ＝2a，f′(2)＝－b，其中常数 a，b∈R，求曲线 y＝f(x)在点(1， f(1))处的切线方程．
解：因为 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1， 所以 f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 令 x＝1，得 f′(1)＝3＋2a＋b. 又 f′(1)＝2a，因此 3＋2a＋b＝2a，解得 b＝－3.
x (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ e
.
.
1 (a 0, 且a 1) (7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝ x ln a . 1 (8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝ x .
求导法则
1.(u v) ' u ' v ',
( f1 f2 fn )' f1 ' f2 ' fn '.
)
5．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切 线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率 为( ) A．4 C．2 1 B．－4 1 D．－2
6．若曲线 y＝x 在点(a，a 的三角形的面积为 18，则 a＝( A．64 C．16 B．32 D．8
3.2(求导法则 复合函数求导)1
f
x
2 x
x2 1
, 0 x1 , 1 x2
f
1
lim
h0
1
h
2
h
1
2
2h h2 lim
h h0
2
f
1
lim
h0
21
h
h
2
2h lim 2
h h0
f 1
f
1
2
2 , 0 x1
f
x
2
,
x1
2x , 1 x 2
f
x
2, 2x,
0 1
x1 x2
求y=loga｜x｜的导数.
x)
5. f ( x ) 3 x2 , 5x 5
3
f ( 0 ) ______2_5___.
6.曲线 y sin x 在 x 0 处的切线 与 x 轴 2
正向的夹角为____4_____.
三、复合函数的求导法则 derivation rule of compoun
function
定理3 若函数 u=g(x) 在点x处可导，而 y=f(u) 在
3u2 1 2v cos x 3 x sin2 x 2 1 2sin xcos x
例6 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
2
2
a
(a 0)
解 y ( x a 2 x 2 ) (a 2 arcsin x)
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
3. 复合函数求导法则
设u=(x)在x点可导, y=f(u)在相应u点可导,则
dy dy du dx du dx
4. 反函数求导法则
3.2.2 导数公式及导数的运算法则 2
f ( x0 ) f ( x) x x0
3、求曲线 解：
9 y x
在点M(3,3)处的
切线的斜率及倾斜角．
9 y 2 x
代入x=3,得
y 1
斜率为-1,倾斜角为135°
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
例4:求曲线y=x3+3x－8在x=2 处的切线的方程.
解 : f ( x) ( x 3 x 8) 3 x 3
3 2
f (2) 3 2 3 15
2
又过点(2,6), 切线方程为: y 6 15( x 2),即 15x y 24 0
1 90% ;
298% .
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数
1 5284 c( x) ( ) 5284 ( ) 100 x x 100
1 ( x 100) 1 ( x 100) 5284 ( x 100) 2
常用函数的导数计算
导函数
f′(x)＝ 0 f′(x)＝ 1 f′(x)＝ 2x f′(x)＝ －x12
1
f′(x)＝ 2 x
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x
计算.
跟踪训练 3 点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到直线 y ＝x 的最小距离. 解 根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 y＝ ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的 点，如图.则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1， 即 y xx0 ＝1.∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得 x0＝0，代入 y＝ex，得 y0＝1，即 P(0,1).
求 y＝cos x 在 x＝π3处的导数，过程如下：
y′|
x
π 3
＝cosπ3
′＝－sin
π3＝－
3 2.
解 错误.应为 y′＝－sin x，
∴y′| x π ＝－sin 3
π3＝－
3 2.
小结 函数 f(x)在点 x0 处的导数等于 f′(x)在点 x＝x0 处的函数 值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函 数，再将 x0 代入导函数求解，不能先代入后求导.
3．2.1 几个常用函数的导数
3．2.2 基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则(一)
学习目标
1.能根据定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y ＝1x的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求 简单函数的导数.
§3.2 求导数的方法——法则与公式
y x y 即得 (x)=x1 x x
五、指数函数y=ax (a>0,且a1)的导数
两边取对数,得: lny=xlna y ln a y=ylna 两端对x求导,得: y 即得 (ax)=axlna 特别, (ex)=ex
sec2 y 0. (tan y )
1 1 1 1 从而 (arc tan x ) 2 2 2 (tan y ) sec y 1 tan y 1 x
1 类似 (arccotx ) 2 1 x
x a 2 x 2 a arcsin x 例18. 求函数 y 2 2 a 的导数 2 ( x a 2 x 2 ) ( a arcsin x ) 解: y 2 2 a 2 2 ( x ) ( a x ) a 2 2 2 a 1 a x x 2 2 2 a2 x2 2 x )2 1 ( a 2 2 2 2 a x x a 2 2 2 2 2 2 a x 2 a x 2 2 a x
u ) uv uv (v( x ) 0) (3) ( 2 v v 1 ) v 特别, ( 2 v v
推论:
(1) [ f i ( x )] f i( x )
i 1 i 1
n
n
(2) [Cf(x)]=Cf (x)
(3) [ f i ( x )] f1( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
二、复合函数的求导法则
如果函数u=(x)在点x处可导, y=f(u) 在对应点u=(x)处也可导,则有复合函数 y=f[(x)]在点x可导,其导数为: dy dy du dx du dx
导数的运算法则和与基本公式
§3.2.2导数的运算法则与基本公式一、导数的和、差、积、商运算法则如果函数()u x 、()v x 在x 处都可导，则它们的和、差、积、商在x 处也可导；(1) [()()]()()u x v x u x v x '''±=±；(2) [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''⋅=+；(3) 2()()()()()()[()]u x u x v x u x v x v x v x '''⎛⎫-= ⎪⎝⎭(()0)v x ≠；推广到多个函数情形：设有n 个函数1()u x 、2()u x 、…、()n u x 都可导，则：(1)1212[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ''''±±±=±±±(2)12121212[()()()]()()()()()()()()()n n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++(3)[()]()ku x ku x ''=（k 为常数）定理2.3 设函数1()x f y -=在某个开区间内单调可导，且1[()]0f y -'≠，则反函数()y f x =在对应区间内可导，且11()[()]f x f y -'='.证明：0001011()lim lim lim 11[()]lim x x x y y f x x xx y yx f y y∆→∆→∆→-∆→∆'===∆∆∆∆∆==∆'∆二、基本初等函数的求导公式1.常数的导数：()0c '= （c 为常数）证明：()f x c =00()()()limlim 0x x f x x f x f x xc c x∆→∆→+∆-'=∆-==∆2.幂函数的导数：1()n n x nx -'= （n 为常数）证明：()nf x x =，0()()lim nnx x x xf x x∆→+∆-'=∆110()lim nn n n nnn nx C x C x x C x xx-∆→+∆++∆-=∆ 112210lim[()]n n n n nnnx C xC xx C x ---∆→=+∆++∆ 1n nx -=例1 求4sin y x x =+的导数.解：4(sin )y x x ''=+4()(sin )x x ''=+.34cos x x =+.例2 求5cos y x x =的导数.解：5(cos )y x x ''=55()cos (cos )x x x x ''=+.455cos sin x x x x =-.例3 求2sin xy x =的导数.解：2sin ()xy x''=2222(sin )sin ()()x x x x x ''-=. 24cos 2sin x x x x x-=. 3cos 2sin x x x x-=.例4 求23313y x x=--的导数.解：2333y xx -=--233(3)y x x -''=--.233()()(3)x x -'''=--.134233x x --=--.例5 求232x y x -=的导数.解：312223232x y x x x--==- 3122(32)y x x -''=-.3122(3)(2)x x -''=-.31223()2()x x -''=-.312292x x -=+.例6 求21xy x=+的导数. 解：2()1xy x''=+2222()(1)(1)(1)x x x x x ''+-+=+. 22212(1)x x x x +-⋅=+. 2221(1)x x -=+.3.指数函数x y a =(0,1a a >≠)的导数：()ln x x a a a '=()x xe e '= 001lim lim x x x x y a y a x x∆∆→∆→∆-'==∆∆. 证明：(1)x x x x x y a a a a +∆∆∆=-=-令1xt a ∆=-，有log (1)a x t ∆=+ 当0x ∆→时，有0t →1001lim lim log (1)log (1)x x t t a a t t y a a t t →→'==++. 1011lim ln log log (1)t x x x t a a a a a a e t →===+.4.对数函数log a y x =(0,1a a >≠)的导数：1(log )ln a x x a '= 1(ln )x x'= 证明：log a y x =的反函数为y x a =(0,1a a >≠)，由定理2.3可得111()ln ln y y y a a a x a'==='.例7 求33x xy x e =-+的导数. 解：3(3)x xy x e ''=-+3()(3)()x x x e '''=-+. 233ln3x xx e =-+.例8 求2x y x e =的导数. 解：2()x y xe ''= 22()()x x x e x e ''=+.22x x xe x e=+. (2)x xe x =+.例9 求ln x y x=的导数. 解：2ln (ln )ln ()x x x x x y x x''-⋅''== 122ln 1ln xx x x x x ⋅--==.例10 求22log y x x =的导数. 解：22(log )y x x ''= 2222()log (log )x x x x ''=+. 2212log ln 2x x x x =+. 22log ln 2x x x =+.5.三角函数的导数： 1.(sin )cos x x '=2.(cos )sin x x '=-3.221(tan )sec cos x x x '== 4.221(cot )csc sin x x x '=-=-5.(sec )sec tan x x x '=⋅6.(csc )csc cot x x x '=-⋅证明：1.(sin)cosx x'=2.(cos)sinx x'=-参考前面例题.3.sin(tan)()cosxxx''=2(sin)cos sin(cos)cosx x x xx''-=22222cos sin1seccos cosx xxx x+===.同理可证(请同学自己证明) 4.21(cot )csc sin x x x'=-=- 5.(sec )sec tan x x x '=⋅ 6.(csc )csc cot x x x '=-⋅例11 求sin cos y x x x =+的导数. 解：(sin cos )y x x x ''=+(sin )(cos )x x x ''=+. sin (sin )sin x x x x x ''=+-. sin cos sin x x x x =+-. cos x x =.6.反三角函数的导数： 1.21(sin )1arc x x '=-(11x -<<)2.21(cos )1arc x x '=--( 11x -<<) 3.21(tan )1arc x x'=+ 4.21(cot )1arc x x '=-+证明：sin y arc x =的反函数是sin x y =由定理2.3 1(sin )(sin )y arc x y ''==' (sin )cos ()22y y y ππ'=-<<. 而22cos 1sin 1y y x =-=- 所以21(sin )1arc x x '=-.其余反三角函数求导公式同理可证(请同学自己证明).例12 求2arctan 1x y x =+的导数. 解：22221(1)arctan 21(1)x x x x y x +-⋅+'=+ 2212arctan (1)x x x -=+.。
3.2求导法则与导数公式
第二节求导法则与导数公式导数的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数的导数 反函数求导法则导数的四则运算（1）设 u ( x) v( x) 在x可导，则[u ( x) ± v( x)]′ = u ′( x) ± v′( x) 设 y = g ( x) = u ( x) + v( x)Δy = g ( x + Δx) − g ( x) = [u ( x + Δx) + v( x + Δx)] − [u ( x) + v( x)]= [u ( x + Δx) − u ( x)] + [v( x + Δx) − v( x)]= Δu + Δv Δy Δu Δv lim Δy = lim [ Δu + Δv ] = u ′( x) + v′( x) + = Δx Δx Δx Δx →0 Δx Δx →0 Δx Δx推广[u1 ( x) ± u2 ( x) ±′ ( x) ± u2 ′ ( x) ± u n ( x)]′ = u1′ ( x). ± un[u ( x) ± v( x)]′ = u ′( x) ± v′( x)[u1 ( x) ± u2 ( x) ±例 解′ ( x) ± u2 ′ ( x) ± u n ( x)]′ = u1′ ( x). ± unf ( x) = x + sin x − cos x + 9 求其导数 f ′( x) = ( x + sin x − cos x + 9)′ = ( x )′ + (sin x)′ − (cos x)′ + (9)′= 1 / 2 x + cos x + sin x(2)设u ( x) , v( x)在x可导,则[u ( x)v( x)]′ = u ( x)v′( x) + u ′( x)v ( x ) 设 y = g ( x ) = u ( x )v ( x )Δy = g ( x + Δx ) − g ( x ) = u ( x + Δ x ) v ( x + Δx ) − u ( x ) v ( x ) = u ( x + Δ x ) v ( x + Δ x ) − u ( x ) v ( x + Δx ) + u ( x ) v ( x + Δ x ) − u ( x ) v ( x )= Δu ⋅ v( x + Δx) + u ( x)Δv. Δv Δy Δu = v ( x + Δx ) + u ( x ) . Δx Δx Δx Δy Δu Δv lim = lim ⋅ lim v( x + Δx) + u ( x) ⋅ lim Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx → 0 Δx= u ( x)v′( x) + u ′( x)v( x).[u ( x)v( x)]′ = u ( x)v′( x) + u ′( x)v ( x )[cu ( x)]′ = cu ′( x) （常数因子可以提出来） 特别：例、求 f (x) = 7 x cosx 的导数 解 f ′( x) = (7 x cos x)′ = 7[( x ) cos x +′′ x (cos x ) ]cos x = 7[ − x sin x] 2 x推广 (u ( x)v( x) w( x))′轮流求导= u ′( x)v( x) w( x) + u ( x)v′( x) w( x) + u ( x)v( x) w′( x)[u1 ( x)u2 ( x)′ ( x)u2 ( x) un ( x)]′ = u1 ′ ( x) + u1 ( x)u 2 un ( x) +un ( x) + u1 ( x)u2 ( x) ′ ( x). un例、求 f ( x ) = 4 x 2 ⋅ ln x ⋅ cos x 的导数 解 f ′(x) = (4x2 ⋅ ln x ⋅ cosx)′ = 4(x2 ⋅ ln x ⋅ cosx)′1 = 4(2x ⋅ ln x ⋅ cosx + x2 ⋅ ⋅ cosx − x2 ⋅ ln x ⋅ sin x) x = 4(2x ⋅ ln x ⋅ cosx + x cosx − x2 ⋅ ln x ⋅ sin x)（3）设′ u ( x) ⎡ u ( x) ⎤ u ′( x)v( x) − u ( x)v′( x) 设 y = g ( x) = . ⎢ v( x) ⎥ = v( x) 2 [v( x)] ⎣ ⎦ Δy = g ( x + Δx ) − g ( x ) u ( x + Δx) u ( x) u ( x + Δx)v( x) − u ( x)v( x + Δx) = − = v( x + Δx) v( x) v( x + Δx)v( x) u ( x + Δx)v( x) − u ( x)v( x) + u ( x)v( x) − u ( x)v( x + Δx) = v( x + Δx)v( x) Δuv( x) − u ( x)Δv = v( x + Δx)v( x) Δu Δv ⋅ v( x) − u ( x) ⋅ Δy Δx Δx = 因为u,v可导，所以也连续 Δx v( x + Δx)v( x)u ( x) , v( x) 在x可导 v( x ) ≠ 0u ′( x) ⋅ v( x) − u ( x) ⋅ v′( x) Δy lim = Δx →0 Δx [v( x)]2例、求y=tanx的导数 sin x ∵ y = tan( x) = cos x ′ sin x ⎞ (sin x)′ cos x − sin x(cos x)′ cos 2 x + sin 2 x ⎛ ∴ y′ = ⎜ ⎟= = 2 2 x cos cos x cos x ⎠ ⎝(tan x)′ = sec 2 x(cot x)′ = − csc 2 x= sec 2 x′ 1 ⎞ − v′( x) 特别地 ⎛ ⎜ ⎜ v( x) ⎟ ⎟ = [v( x)]2 ⎝ ⎠ ′ sin x 1 ⎞ ⎛ = tan x ⋅ sec x (sec x)′ = ⎜ ⎟ = 2 ⎝ cos x ⎠ cos x (csc x)′ = − cot x ⋅ csc x例x2 y= x 2(u ± v )′ = u ′ ± v′ (uv )′ = u ′v + uv′′ u ⎛ ⎞ u ′v − uv′ ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠解： y′ = ( x 2 ⋅ 2− x )′= 2 x 2− x + x 2 (−2− x ln 2) 2 x − x 2 ln 2 = . x 2基本的初等函数的求导公式c′ = 0(c为常数 ).( x a )' = ax a −1 (a为实数 ) .y′ y == 2x 例： ，求 y′ 1 x x x − 1 2 y′ = x 2 ⎛ ⎞′ 7 ′ − 1 ⎛ ⎞ 1 −2 ⎜ ⎟ 8 y′ = − x = − 解： x = ⎜ ⎟ 2⎟ ⎜ x ⎠ ⎝ x 3x x ⎠ ⎝ 1 −2 1 y′ = − x 15 =− 2 7 − 8 2 x3 =− x . 81y=x ,2y= x =x 1 y = = x −1 x 1 − 1 y= =x 2 x1 2基本的初等函数的求导公式c′ = 0(c为常数 ).(a x )' = a x ⋅ ln a (a > 0, a ≠ 1). 1 1 (log a x)' = ⋅ (a > 0, a ≠ 1). x ln a ( x )′ = 3 x3 2( x a )' = ax a −1 (a为实数 ) . (e x )' = e x . 1 (lnx)' = . x(3x )' = 3x ln 3 (π x )′ = π x ln π ((tan α ) x )′ = (tan α ) x ⋅ ln tan α( xπ )′ = π xπ −1 ( x tan α )′ = tan α ⋅ x tan α −1识别函数关键常数、变量所在位置幂函数 例如 指数函数ax＝aa＝xx＝xa识别对数函数log a x＝ log x a ＝log x x基本的初等函数的求导公式c′ = 0(c为常数 ).( x a )' = ax a −1 (a为实数 ) .(e x )' = e x . 1 1 1 (log a x)' = ⋅ (a > 0, a ≠ 1). (lnx)' = . x ln a x (sin x)' = cos x. 比较两边 (cos x)' = − sin x. (tan x)' = sec 2 x. (sec x)' = sec x ⋅ tan x. 1 (arcsin x)' = . 2 1− x 1 (arctan x)' = . 2 1+ x (cot x)' = − csc 2 x. (csc x)' = − csc x ⋅ cot x. 1 (arccos x)' = − . 1 − x2 1 . (arc cot x)' = − 2 1+ x(a x )' = a x ⋅ ln a (a > 0, a ≠ 1).例．设，求f ′ (1) , f ′( ) 8 4 π 解： f ′( x ) = ( x sin x)′ + (tan )′ π π 8 f ′( )＝{ f ( )}′ ′ 4 4 ′ = x sin x + x (sin x ) f ′(1)＝{ f (1)}′ 1 sin x + x cos x = 2 x 1 f ′(1) = sin 1 + cos1 2 π 1 π π π 3π f ′( ) = sin + cos = 4 4 2 4 4 π π 注： tan 是常数，其导数等于零； 8f ( x ) = x sin x + tanππ( )x +2 x− π , 求y'. 例 设y = x解1 1 x − πx + 2 − y' = ( )' = ( x 2 − π + 2 x 2 )' x=1 ( x 2 )'− 1 2− ( π )' + 2( x1 + 2 ⋅ (− ) x 2 − 1 x x .−3 2−1 2 )'求导前先化简 可减少计算量1 = x 2 =1 2 x1 例. 求 y = 的导数 1+ x1 ′(1 + x ) − (1 + x )′ ( 1 ) 解： y′ = ( )′ = 1+ x (1 + x ) 21 2 x =− = 2 2 x (1 + x ) 2 (1 + x )1 − f ′( x) )′ = 2 一般 ( , 其中f (x)可导, f (x) ≠ 0 f ( x) f ( x)−1复合函数的导数若函数 u = g ( x ) 在x可导, 函数 y = f (u ) 在u可导 则复合函数 y= f [ g ( x )] 在x 可导 且{ f [ g ( x)]}′ = f ′(u ) g ′( x)Δy = f ( g ( x + Δx)) − f ( g ( x)) Δu = g ( x + Δx ) − g ( x ) ,= f (u + Δu ) − f (u )Δy Δy Δu = ⋅ Δx Δu Δxlim Δu = 0 所以 Δ x →0( Δu ≠ 0)Δy Δu Δy lim = lim ⋅ lim Δx →0 Δx Δx →0 Δu Δx →0 Δx因为u在 x 可导，所以必连续Δy Δu = lim ⋅ lim Δu → 0 Δu Δx → 0 Δx分析{ f [ g ( x)]}′ = f ′(u ) g ′( x){(6 x + 7) 2 }′ = 2(6 x + 7) ⋅ (6 x + 7)′y = u2 y′ = (u 2 )′ ⋅ (6 x + 7)′ = 12uu=6x+7= 12(6 x + 7)设 y = f (u ), u = ϕ ( x) , 则复合函数 y = f [ϕ ( x)] 的导数为dy dy du = dx du dx或{ f [ϕ ( x )]}′ = f ′(u )ϕ ′( x )例.求y = sin2x的导数 解：y = sin2x是由y = sinu，u = 2x复合而成dy du y′ = ⋅ = cos u ⋅ 2 = 2cos 2 x du dx例 设 y=sin3 x，求 y'. 解 令y = u 3，u = sin x，则dy dy du = ⋅ dx du dx = 3u 2 cos x = 3 sin 2 x ⋅ cos x.例. 求y = (3x2+1)100的导数 解： y = u100，而 u = 3x2+1 由公式dy du y′ = ⋅ du dx= 100 u ⋅ 6 x99= 600x(3x 2 + 1)99)2ctg ( )4(′=′xy )2ctg (2ctg21′⋅=x x)2()2csc (2ctg 212′⋅−⋅=x x x )21(2ctg22csc 2⋅−=x x 2csc 2412x x tg ⋅−=})]([{′x f ϕ)()]([u f x f ′=′ϕ表示复合函数对自变量x 求导；而对中间变量求导。
高中数学选修1-1精品课件1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1 ，可以转化为y=
x3
x
2 3
，y=x-3
后再求导.
（4）对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求
导，化简时注意化简的等价性.
【典例训练】
1.若y=10x，则y′|x=1=_________.
2.求下列函数的导数：
（1）y=x7；（2）y=
1 x2
；（3）y=
3 x；
（4）y=2sin
题目类型三、导数的综合应用 【技法点拨】
导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很 多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即 切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决 问题的关键所在.
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、 不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积 相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义 分析.
【解析】1.依题意，y′|x=x1=
，1
2 x1
∵n与m垂直，
（6）若f(x)=ex，则f′(x)=_ex_；
（7）若f(x)=logax，则f′(x)=
1 (a>0且a≠1)；
xlna
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
x
1.利用导数的定义求导与导数公式求导的区别 导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极 限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很 麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与 基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导 了，简洁迅速.
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则（一）
人教新课标版数学高二课件 3.2 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
x＝
1x＝x
1 2
，
∴y′＝
1
x
3 2
.
2
解答
(2)y＝2cos22x－1. 解 ∵y＝2cos22x－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
解答
类型二 导数公式的应用 命题角度1 求切线方程 例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由.
解答
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用 (1)切点处的导数是切线的斜率. (2)切点在切线上. (3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一 个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为 k1＝ y' |xx0 ＝cos x0，k2＝ y' |xx0 ＝－sin x0. 要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的. 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
f′(x)＝_α_x_α－__1
f(x)＝sin x
f′(x)＝_c_o_s _x_
f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝－__s_i_n_x_
f′(x)＝ axln a(a>0)
f′(x)＝_ex_ 1 f′(x)＝_x_ln__a_(a>0，且a≠1)
解答
3.2导数运算与导数公式
f (x)g(x) f (x)g(x)
[ g ( x)]2
.
例: 求下列函数的导函数 (1) y sec x;(2) y cscx;(3) y tan x;(4) y cot x.
解 : (1)sec x
1 c os x
(sin x) [cosx]2
tan
x sec x.
解 : (2) cscx 1 sin x
ex , (loga x )1 x lna, (lnx)
1; x
(4) : (sin x) cosx, (cosx) sin x, (tan x) (secx)2, (cotx) (cscx)2, (secx) sec x tan x, (cscx) cscx cot x;
(5) : (arcsin x) 1 , (arccos x) 1 ,
解 : (1)由于y log a x是x a y的反函数.
故(log a
x)
1 (a y )
1 a y ln
a
1 x ln
a
.
特别地(ln x) 1 . x
解 : (2)由于y arcsin x是x sin y的反函数.
且当x (1,1)时, y ( , ),此时cos y 0.
22
解:
y
f
1
(x)
f (x) [ f (x)]2 .
例: 求y sec x tan x 2x arcsin x x ln x的导数.
解: y (sec x tan x 2x arcsin x x ln x) (sec x tan x) (2x arcsin x) (x ln x)
x0
x
x0
x
证 : (3)[ f (x)g(x)] lim f (x x)g(x x) f (x)g(x)
导数的运算公式和法则_OK
(1) y sin 2x
解 10 逐层分解） 令y sinu, u 2x, 则
20 链式求导） dy dy du cos u 2 dx du dx
30 回代）
dy 2cos 2x dx
完了吗？
20
(2) y (2x 1)3 解 令y u3, u 2x＋1, 则 dy dy du 3u2 2 6（2x 1)2
层次（包括四则,复合）, 再按照相应法则求解
23
练习
求下列函数的导数
sin 1
1) y e x 2) y arcsin
x 3) y arctan 1 4) y e2x tan 3 x
x
5) y x2 a2 arccos a（其中x 0,a 0） x
答案：
1) y
sin 1
ex
(sin 1 )
例2 求函数y x sin x sin 的导数
2
解
y
x
sin
x
sin
2
1 sin x x cos x 2x
6
例3 求函数y sin 2x的导数 cos 2x ? 解 y' (2sin xcos x)'
2[(sin x)'cos x sin x(cos x)']
2(cos2 x sin2 x) 2cos 2x
sin 1
ex
cos 1 ( 1 )
sin 1
ex
cos 1
(
1
)
x
xx
x x2
2) y
1 ( 1 ( x)2
x)
1
sin 1
ex
cos
1
x2
x
1 1
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)
§3.2.2根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么课前预习学案一． 预习目标1．熟练掌握根本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数二． 预习内容1．根本初等函数的导数公式表 2.(2 )推论：[]'()cf x =(常数与函数的积的导数 ,等于： )三． 提出疑惑同学们 ,通过你的自主学习 ,你还有哪些疑惑 ,请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一． 学习目标1．熟练掌握根本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数二． 学习过程(一 ) .【复习回忆】复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y x = (二 ) .【提出问题 ,展示目标】我们知道,函数*()()ny f x x n Q ==∈的导数为'1n y nx-= ,以后看见这种函数就可以直接按公式去做 ,而不必用导数的定义了 .那么其它根本初等函数的导数怎么呢 ?又如何解决两个函数加 .减 .乘 .除的导数呢 ?这一节我们就来解决这个问题 . (三 )、【合作探究】 1． (1 )分四组比照记忆根本初等函数的导数公式表函数导数 y c = y x =2y x =1y x=y x =*()()n y f x x n Q ==∈函数导数y c ='0y = *()()n y f x x n Q ==∈'1n y nx -=sin y x = 'cos y x = cos y x ='sin y x =-()x y f x a =='ln (0)x y a a a =⋅>(2 )根 据根本初等函数的导数公式 ,求以下函数的导数．(1 )2y x =与2xy =(2 )3xy =与3log y x =2. (1 )记忆导数的运算法那么 ,比拟积法那么与商法那么的相同点与不同点导数运算法那么1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 推论：[]''()()cf x cf x =(常数与函数的积的导数 ,等于： )提示：积法那么,商法那么, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法那么中间是加号, 商法那么中间是减号.(2 )根据根本初等函数的导数公式和导数运算法那么 ,求以下函数的导数． (1 )323y x x =-+ (2 )sin y x x =⋅；(3 )2(251)xy x x e =-+⋅； (4 )4x x y =； 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数 ,必须细心、耐心． (四 )．典例精讲例1：假设某国|家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价p (单位：元 )与时间t(单位：年 )有如下函数关系0()(15%)tp t p =+ ,其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品()xy f x e == 'xy e =()log a f x x ='1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x ='1()f x x=的01p = ,那么在第10个年头 ,这种商品的价格上涨的速度大约是多少 (精确到0.01 ) ?分析：商品的价格上涨的速度就是： 解：变式训练1：如果上式中某种商品的05p = ,那么在第10个年头 ,这种商品的价格上涨的速度大约是多少 (精确到0.01 ) ?例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯洁度的提高 ,所需净化费用不断增加．将1吨水净化到纯洁度为%x 时所需费用 (单位：元 )为求净化到以下纯洁度时 ,所需净化费用的瞬时变化率： (1 )90% (2 )98%分析：净化费用的瞬时变化率就是： 解：比拟上述运算结果 ,你有什么发现 ? 三．反思总结：(1 )分四组写出根本初等函数的导数公式表： (2 )导数的运算法那么：四．当堂检测1求以下函数的导数(1 )2log y x = (2 )2xy e =(3 )32234y x x =-- (4 )3cos 4sin y x x =- 2.求以下函数的导数(1 )ln y x x = (2 )ln xy x=课后练习与提高1．函数()f x 在1x =处的导数为3 ,那么()f x 的解析式可能为： A ()2(1)f x x =- B 2()2(1)f x x =- C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =-2．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切 ,那么a =A18 B 14 C 12D 1 3.设函数1()n y x n N +*=∈在点 (1,1 )处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ,那么12n x x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1n n + D 14.曲线21xy xe x =++在点 (0,1 )处的切线方程为 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5.在平面直角坐标系中 ,点P 在曲线3103y x x =-+上 ,且在第二象限内 ,曲线在点P 处的切线的斜率为2 ,那么P 点的坐标为 - - - - - - - - - - - -6.函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P (0,2 ) ,且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+= ,求函数的解析式 .课后练习与提高答案：1.C 2.B 3.B 4.310x y -+= 5. ( -2,15 )6.由函数32()f x x bx cx d =+++的图像过点P (0,2 ) ,知2d = ,所以32()2f x x bx cx =+++ ,由在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=知：/(1)1(1)6f f -=⎧⎨-=⎩所以321126b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩解得：3b c ==- 故所求函数的解析式是32()332f x x x x =--+3.2.2根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么 (教案 )教学目标：1．熟练掌握根本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数 . 教学重难点： ：根本初等函数的导数公式、导数的四那么运算法那么 教学过程：检查预习情况：见学案 目标展示： 见学案 合作探究：(1 )根本初等函数的导数公式表(2 )根据根本初等函数的导数公式 ,求以下函数的导数．(1 )2y x =与2xy = (2 )3x y =与3log y x = 2. (1 )导数的运算法那么导数运算法那么函数 导数y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -=sin y x = 'cos y x = cos y x ='sin y x =-()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅>()x y f x e == 'x y e =()log a f x x ='1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x ='1()f x x=1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 推论：[]''()()cf x cf x =(常数与函数的积的导数 ,等于常数乘函数的导数 )提示：积法那么,商法那么, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法那么中间是加号, 商法那么中间是减号.(2 )根据根本初等函数的导数公式和导数运算法那么 ,求以下函数的导数． (1 )323y x x =-+ (2 )sin y x x =⋅；(3 )2(251)xy x x e =-+⋅； (4 )4x x y =； 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数 ,必须细心、耐心．典型例题例1 假设某国|家在20年期间的年均通贷膨胀率为5% ,物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+ ,其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p = ,那么在第10个年头 ,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解：根据根本初等函数导数公式表 ,有'() 1.05ln1.05tp t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈ (元/年 )因此 ,在第10个年头 ,这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯洁度的提高 ,所需净化费用不断增加. 将1吨水净化到纯洁度为%x 时所需费用 (单位：元 )为5284()(80100)100c x x x=<<-. 求净化到以下纯洁度时 ,所需净化费用的瞬时变化率：(1 )90%； (2 )98%.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==- ,所以 ,纯洁度为90%时 ,费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==- ,所以 ,纯洁度为98%时 ,费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知 ,''(98)25(90)c c =．它表示纯洁度为98%左右时净化费用的瞬时变化率 ,大约是纯洁度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明 ,水的纯洁度越高 ,需要的净化费用就越多 ,而且净化费用增加的速度也越快． 反思总结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法那么与导数公式求导 ,而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数. 2．对于函数求导 ,一般要遵循先化简 ,再求导的根本原那么.求导时 ,不但要重视求导法那么的应用 ,而且要特别注意求导法那么对求导的制约作用.在实施化简时 ,首|先要注意化简的等价性 ,防止不必要的运算失误.当堂检测1. 函数1y x x=+的导数是 ( ) A ．211x - B ．11x - C ．211x+ D ．11x +2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是 ( ) A ．cos2cos x x - B ．cos2sin x x + C ．cos2cos x x + D ．2cos cos x x +3. cos xy x =的导数是 ( )A ．2sin xx- B ．sin x -4. 函数2()1382f x x x =-+ ,且0()4f x '= , 那么0x =5.曲线sin xy x=在点(,0)M π处的切线方程为 板书设计 略。
高一数学导数运算法则
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2 x 1 y x 1 (1 4 cos 1 sin 1) ( 3 4 sin 1) 2 7 7 sin 1 2 cos 1 2 2
1
( x 3 4 cos x sin 1) x ( 3 x 2 4 sin x )
3 2 求 y x 2 x x sin x 的导数 . 例2 1 2 cos x. 解 y 3x 4x 2 x
例5 求函数 y e 解
u
sin
x
的导数.
1 dy dy du dv u e cos v ( 2 ) dx du dv dx x
1 1 sin x 2 cos e x x
1
1 y e , u sin v, v . x
1 例6 求函数 y x sin 的导数 . x
二、反函数的导数
定理 如果函数 x ( y ) 在某区间 I y 内单调、可
导且 ( y ) 0 , 那末它的反函数 y f ( x ) 在对应 区间I x 内也可导 , 且有
f ( x )
1 . ( y )
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例7 求下列函数的导数:
三、复合函数求导法则
定理3. 在点 x 可导, 在点
可导 复合函数 在点 x 可导, 且 dy dy du dy f (u ) g ( x) 或 dx du dx dx 即因变量对自变量的导数等于因变量对中间变量的导 数乘以中间变量对自变量的导数
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例如,
[u( x )]
v( x)
v ( x ) u( x ) v ( x ) ln u( x ) u( x )
例13 设 y (1 x )
解
y [e
1 ln( 1 x 2 ) x
1 2 x
, 求y .
]
e
1 ln( 1 x 2 ) x
cos x f (0) 1 , f ( x ) x e x0 x0 .
注意:
1. [u( x ) v ( x )] u( x )v( x ) ; u( x ) u( x ) . v ( x ) v ( x )
2. 分段函数求导时, 分段点处导数用定义先 求左右导数.
(4) y arctan x 是 x tan y 的反函数 ,
π π x ( , ), y , 2 2 1 1 1 1 (arctan x ) . 2 2 2 (tan y ) sec y 1 tan y 1 x
(5) y arccotx 是 x cot y 的反函数,
解
例5. 求证
sin x (sin x) cos x sin x (cos x) 证: (tan x) cos 2 x cos x
2 2 cos x sin x sec 2 x cos 2 x cos x 1 (sin x) (csc x) 2 2 sin x sin x sin x
y
u
d y d y d u dv d x d u dv d x
v x
例4 求函数 y ln sin x 的导数. 解
y ln u, u sin x .
cos x d y dy d u 1 cot x cos x dx du dx 1 u sin x
sin x 2
cos x 2 2 x) arctan x 2 1 1 sin x 2 1 2 x e ( 2 ) x 2 x2 1
1 x x 1
2
2 sin x 2arctan x 2 1 2 x cos x e
e
sin x 2
半抽象半具体的函数求导
例12 dy y f (e ) f (sin x) , f (u )可导 , 求 . dx
例 8. 设
解:
1 x x2 1 1 x 1
2
1
1 2 x 1
2
Hale Waihona Puke 2x例9. y
x 1 x 1 求 , y . x 1 x 1
2
2x 2 x 1 2 x x 1 解: y 2 1 x y 1 (2 x) 1 2 x2 1 x2 1
1 （log a x ) y (a )
1 1 y a ln a x ln a
( 2) 由 y arcsin x 是 x sin y 的反函数, π π 且 x ( 1,1), y , , 这时 cos y 0, 则 2 2 1 1 1 1 . （arcsin x ) 2 2 (sin y ) cos y 1 sin y 1 x ( 3) 由 y arccos x 是 x cos y 的反函数 , 且 x ( 1,1), y (0, π), 这时 sin y 0, 则 1 1 (arccos x ) (cos y ) sin y 1 1 . 2 2 1 cos y 1 x
3) ( u v w ) uvw uvw uvw
4)
C C v 2 ( C为常数 ) v v
例1. y x ( x 4 cos x sin 1) ,
3 ( x 4 cos x sin 1) 解: y ( x )
3
x ( x 4 cos x sin 1)
x ( , ), y (0, π) 1 1 (arc cot x ) (cot y ) csc2 y
1 1 2. 2 1 x 1 cot y
导数基本公式
(1) (C ) 0;
x
1 (2) ( x ) x ;
x x x (3) (a ) a ln a, (e ) e , 1 1 (log a x ) , (ln x ) ; x ln a x (4) (sin x ) cos x , (cos x ) sin x , 2 2 (tan x ) sec x, (cot x ) csc x; 1 1 (5) (arcsin x ) , (arccos x ) , 2 2 1 x 1 x 1 1 (arctan x ) (arc cot x ) 2, 2. 1 x 1 x
f ( x ) (e x 1) e x ,
当x 0时, f (0) 0
f ( x ) f ( 0) sin x 0 1, f (0) lim lim x 0 x 0 x x x e 1 0 f ( x ) f ( 0) lim 1, f (0) lim x 0 x 0 x x
' '
1 1 ' 1 1 1 ' 解 y x sin x(sin ) sin x cos ( ) x x x x x 1 1 1 sin cos x x x
例7. 设 解:
求
1 x x x ( sin( e )) e cos( e )
e x tan(e x )
x
解
y [ f (e x )] [ f (sin x )] f (e x ) (e x ) f (sin x ) (sin x ) e x f (e x ) cos x f (sin x )
注意
f [ ( x )] 与f [ ( x )]不同 ,
( f [ ( x )] ) f [ ( x )] ( x )
指数求导法
设 u( x ) , v( x ) 可导 , ( u( x ) 0) ,
则 y [u( x)]v ( x ) ev ( x )ln u ( x )
v ( x ) ln u( x ) v ( x ) ln u( x ) y [e ] e [v( x ) ln u( x )]
(1) y log a x ( a 0, a 1 是常数 );
( 2) y arcsin x; (4) y arctan x; ( 3) y arccos x; (5) y arc cot x .
解 (1) 由于 y log a x 是 x a y 的反函数 , 因此
§3.2 导数运算与导数公式
一、导数的四则运算 二、反函数的导数 三、导数基本公式
一、四则运算求导法则
定理1. 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
(v( x) 0)
推论: 1) 此法则可推广到任意有限项的情形.
2) ( C u ) C u ( C为常数 )
例3 求 y
解 例4
x cos x 的导数 .
cos x y ( x ) cos x x (cos x ) x sin x 2 x
求 y e x sin x 的导数 .
y (e x ) sin x e x (sin x ) e x sin x e x cos x
1 [ ln(1 x 2 )] x
1 2 2 (1 x ) [ 2 ln(1 x ) ]. 2 x 1 x
1 2 x
csc x cot x
类似可证: (cot x) csc 2 x , (sec x) sec x tan x .
sin x x 0 例6 设 f ( x ) x , 求 f ( x ) . e 1 x 0
解 当x 0时,
当x 0时, f ( x ) (sin x ) cos x ,
例10. 设 y x