高中数学知识点完整结构图-掌门1对1
知识拓展:丢番图的墓志铭-掌门1对1
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-掌门1对1 丢番图的墓志铭(希腊)-掌门1对1
数学家丢番图的生平事迹现已无据可考,仅在其墓志铭上可略知一二.其墓碑十分特殊,铭文是一首诗谜:
过路的人!
这儿埋藏着丢番图.
请计算一下下面的数目,
便可知道他多少岁时寿终正寝.
他的一生的六分之一是幸福的童年,
十二分之一是无忧无虑的少年,
再过去七分之一的年程,
他建立了幸福的家庭.
五年后儿子出生,
不料儿子只活到父亲一半的年龄,
竟先其父四年而终.
晚年丧子老人真可怜,
悲痛之中度过了风烛残年!
请你算一算,
丢番图活了多大年龄?
这首墓志铭被数学家麦特劳德尔收入数学问题中.他收集了希腊数学家的许多名题,并以诗歌的形式写成,其手抄本当时曾广为流传,影响颇大.
设丢番图活了x 岁,据题意得
x x x x x =+++++42
57126 解得
84=x ,故知丢番图活了84岁.。
掌门人一对一全套资料高一数学1-5指数与指数函数
已知函数 f(x)=2x,等差数列{an}的公差为 2,若 f(a2 +a4+a6+a8+a10)=4,则 log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)] =________.
2019/12/24
解析:∵f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,f(x)=2x, ∴a2+a4+a6+a8+a10=2, ∵{an}为公差 d=2 的等差数列, ∴a1+a2+…+a10=2(a2+a4+a6+a8+a10)-5d=- 6. ∴log2[f(a1)·f(a2)·…·f(a10)] =log2[2a1·2 a2·…·2 a10]=log22a1+a2+…+a10=-6.
2019/12/24
解析:令 t=ax,则 y=t2+2t-1,对称轴方程为 t= -1,
若 a>1,∵x∈[-1,1],t=ax∈1a,a, y 最大值=a2+2a-1=14,∵a>0,∴a=3.
若 0<a<1,∵x∈[-1,1],∴t=ax∈a,1a, y 最大值=1a2+21a-1=14, ∵0<a<1,∴a=13,∴a=3 或13.
∴bb··aa= 3=624 ②
①
②÷①得 a2=4,
又 a>0,且 a≠1,∴a=2,b=3,
∴f(x)=3·2x.
2019/12/24
(2)由(1)知 a=2,b=3,∴(1a)x+(1b)x-m≥0 在(-∞, 1]上恒成立,即 m≤(12)x+(13)x 在(-∞,1]上恒成立.
2019/12/24
答案:D
2019/12/24
指数函数的单调性
[例 3] 已知 log1 b<log1 a<log1 c,则( )
高中数学必修1知识结构图解
高中数学必修1知识结构图解第一章 集合与函数概念第二章 基本初等函数(Ⅰ)集合含义与表示基本关系基本运算列举法 {a,b,c,…}描述法 {x|p(x)} 图象法 包含关系相等关系交集:A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}并集:A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}补集:{|}U C A x x U x A =∈∉且 韦恩图; 数轴 子集; 真子集函数概念定义域对应关系 值域 表示解析法图象法 列表法性质单调性定义图象特征最值 奇偶性定义图象特征:对称性映射映射的概念上升或下降基本初等函数(Ⅰ) 指数与指数函数指数根式n a分数指数幂(0,,*,1)mn mna a a m n N n=>∈>无理数指数幂运算性质指数函数定义(0,1)xy a a a=>≠图象: “一撇或一捺”,过点(0,1).见教材P56性质: 位于x轴上方,以x轴为渐近线对数与对数函数对数定义:x a N x a N=若则叫以为底的对数运算性质对数函数定义:log(0,1)ay x a a=>≠图象:位于y轴右侧,以y轴为渐近线.见教材P71性质:过点(1,0)幂函数定义:y xα=具体的五个幂函数特征:过点(1,1),当0α>时在(0,)+∞上递增;当0α<时,在(0,)+∞上递减。
换底公式:loglog(0,1,0,1,0)logcacbb a ac c ba=>≠>≠>图象见P77图2.3-1第三章函数的应用数学二第一章 空间几何体的知识结构框架第二章 点、直线、平面之间的位置关系的知识结构框架 第三章 直线与方程的知识结构框架 第四章 圆与方程的知识结构框架 数学三 数学四本章知识结构如下: 本章知识结构如下: 本章知识结构如下:函 数 的 应 用函数与方程函数模型及其应用方程的根与 函数零点的关用二分法求方程的近似解几种不同增长的函数模型用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型函数零点的存在性直线上升 指数爆炸 对数增长指数函数,对数函数,幂函数增长速度的比较。
清华掌门人一对一全套资料高一数学1-2 函数及其表示
2019/4/17
③反函数法 ——利用函数和它的反函数的定义域与 值域的关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值 cx+ d 域. 形如 y= (a≠ 0)的函数的值域, 均可使用反函数 ax+ b 法. 此外, 这种类型的函数值域也可使用“分离常数法” 求解.
2019/4/17
④判别式法 —— 把函数转化成关于 x 的二次方程 F(x, y)=0,通过方程有实根,判别式 Δ≥0,从而求得 a1x2+ b1x+ c1 原函数的值域. 形如 y= 2 ( a1 , a2 不同时为零 ) a2x + b2x+ c2 的函数的值域常用此法求解. 前提条件:函数的定义域应为 R;分子、分母没有 公因式.
2019/4/17
(3)求函数值域的方法 求函数的值域是高中数学的难点,它没有固定的方 法和模式.常用的方法有: ①直接法 ——从自变量 x 的范围出发,通过观察和 代数运算推出 y= f(x)的取值范围; ②配方法 ——配方法是求“二次型函数”值域的基 本方法, 形如 F(x)= af 2(x)+ bf(x)+ c 的函数的值域问题, 均可使用配方法.
2019/4/17
(2)基本初等函数的值域 ① y= kx+ b(k≠ 0)的值域为 R. ② y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)的值域是:当 a>0 时,值域
4ac- b2 为 ,+∞ ;当 4a
a<0
2 4 ac - b 时,值域为 . -∞, 4a
2019/A 到 B 的映射, 且 a∈A, b∈ B,如果元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素 b 叫 做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象.
2019/4/17
2.函数 (1)定义 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关 系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有 唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f:A→ B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y= f(x),x∈ A.其中,x 叫做 自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,与 x 的值
高中数学知识网络结构图
集合与简易逻辑
三角函数
平面向量
不等式
不
实 数 的 性 质
等 式 的 性
质
均 值 不 等 式
不 等 式 的 解 法
比较法
综合法
不
分析法
等 式 的反Βιβλιοθήκη 法 换元法证放缩法
明
判别式法
一元一次不等式(组) 一元二次不等式 分式、高次不等式 绝对值不等式
不 等
函数的定义域
式
函数的值域
的
函数的单调性
应
方程根的分布
用
最值问题
应用题
取值范围问题
直线与圆
直线的倾斜角和斜率
直线
直线的方程 两直线的位置关系
五种形式 两直线垂直 两直线平行 两直线相交
应用
夹角及公式 交点
点到直线的距离公式
两平行直线的距离公式
圆的方程
圆的标准方程
圆与圆的位置关系
圆
圆的一般方程
圆与直线的位置关系
相交弦
圆的切线
圆锥曲线
直线和方程
曲线上的点 对应 方程的实数解
曲线的交点
椭圆定义
标准方程
几何性质
作图
第二定义
由
圆
锥
曲
统
线
双曲线定义
标准方程
几何性质
作图
一
求
定
方
义
程
第二定义
抛物线定义
标准方程
几何性质
直线与圆锥曲线的位置关系
作图
立体几何
直 线 平 面 简 单 几 何 体
平面 空间两 条直线
空间直线 与平面
三个公理三个推论 平行直线 相交直线 异面直线
(完整版)高中数学知识结构框图
必修一:第一章集合
第三章基本初等函数(Ⅰ)
指数函数
对数数函数
定义域
值域
图象
性质
过定点
过定点
减函数
增函数
减函数
增函数
幂函数
奇函数
偶函数
第一象限性质
减函数
增函数
过定点
必修二:第一章立体几何初步
第二章 平面解析几何初步
必修三:第一章 算法初步
第二章 统计
第三章 概率
必修四:第一章 基本初等函数(II)
函
数
性Байду номын сангаас
质
图象
定义域
值域
最值
当 时, ;当
时, .
当 时,
;当
时, .
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数;在
上是减函数.
在
上是增函数;在
上是减函数.
在
上是增函数.
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
第二章平面向量
第三章三角恒等变换
必修五:第一章解三角形
第二章 数列
高中数学知识点完整结构图-掌门1对1
唐诗三百首王维写的诗摘要:一、王维简介及创作背景二、王维诗歌的特色1.山水田园诗2.诗中有画,画中有诗3.寓意深刻,富有哲理三、王维《唐诗三百首》中的代表作品解析1.《山居秋暝》2.《鹿柴》3.《渭城曲》四、王维诗歌对后世的影响五、如何欣赏王维的诗歌正文:一、王维简介及创作背景王维,字摩诘,唐代著名诗人、画家,祖籍山东清河郡,后居于河南洛阳。
他生活在唐朝盛世(贞观之治、开元之治)到中衰之际,这个时期社会政治、经济、文化等方面都发生了巨大的变化。
这种变化在王维的诗歌创作中得到了充分的体现,他的诗歌作品既有盛唐时期的豪放、奔放,又有中唐时期的内敛、沉郁。
二、王维诗歌的特色1.山水田园诗:王维的诗歌以山水田园为主题,描绘了当时社会繁荣、人民安居乐业的景象。
这些诗歌展示了王维对自然的热爱,以及对美好生活的向往。
2.诗中有画,画中有诗:王维的诗歌具有极高的艺术价值,他的作品将诗与画完美地融合在一起。
在他的诗歌中,我们可以感受到丰富的画面感,如同欣赏一幅美丽的画卷。
3.寓意深刻,富有哲理:王维的诗歌往往寓意深刻,富有哲理。
他的作品通过对自然景物的描绘,抒发了自己的情感,寓言生活哲理,启发读者思考。
三、王维《唐诗三百首》中的代表作品解析1.《山居秋暝》:这首诗歌描绘了山居生活的宁静与美好。
诗中通过秋雨、明月、松柏等意象,展现了山居生活的闲适与恬淡。
同时,诗人表达了自己对官场名利的不屑,以及对隐居生活的向往。
2.《鹿柴》:这首诗歌以鹿柴这个小地方为背景,描绘了当地的自然风光和民俗风情。
诗中通过生动的描绘,展现了乡村生活的宁静与和谐。
此外,诗人还表达了自己对逝去时光的感慨和对美好生活的留恋。
3.《渭城曲》:这是一首描绘离别场景的诗歌。
诗中通过渭城的晨曦、柳树、离别的人群等意象,表达了诗人对离别之情的不舍和对友人的祝福。
四、王维诗歌对后世的影响王维的诗歌对后世产生了深远的影响。
他的作品被誉为“诗中有画,画中有诗”的典范,对后世文人墨客产生了极大的启发。
高中数学知识点完整结构图-掌门1对1精编版
高中数学知识点完整结构图-掌门1对1 高中数学知识点1集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆()元素与集合的关系:属于()和不属于()()集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性集合与元素()集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集()集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法子集:若 ,则,即是的子集。
、若集合中有个元素,则集合的子集有个, 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/nA A ABC A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集,即 、对于集合如果,且那么、空集是任何集合的(真)子集。
真子集:若且(即至少存在但),则是的真子集。
集合相等:且 定义:且交集性质:,,,运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃,定义:或并集性质:,,,,, 定义:且补集性质:,,,, ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义:设,是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个元素, 在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应:为从集合到集合的一个映射传统定义:如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值,定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。
重点高中数学知识点完整结构图-掌门1对1
高中数学知识点完整结构图-掌门1对 1高中数学知识点1 集合函数附:一、函数的定义域的常用求法:1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈;余切函数cot y x =中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法:1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法三、函数的值域的常用求法:1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法四、函数的最值的常用求法:1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法五、函数单调性的常用结论: 1、若(),()f xg x 均为某区间上的增(减)函数,则()()f x g x +在这个区间上也为增(减)函数 2、若()f x 为增(减)函数,则()f x -为减(增)函数3、若()f x 与()g x 的单调性相同,则[()]y f g x =是增函数;若()f x 与()g x 的单调性不同,则[()]y f g x =是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论:1、如果一个奇函数在0x =处有定义,则(0)0f =,如果一个函数()y f x =既是奇函数又是偶函数,则()0f x =(反之不成立)2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。
4、两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。
人教版高中数学知识网络板块图(脉络清晰详细)
共分七部分(脉络调理清晰)第一部分 集合、映射、函数、导数及微积分集合映射概念元素、集合之间的关系 运算:交、并、补 数轴、Venn 图、函数图象性质确定性、互异性、无序性 定义表示 解析法 列表法三要素图象法定义域对应关系值域 性质奇偶性周期性 对称性 单调性 定义域关于原点对称,在x =0处有定义的奇函数→f (0)=01、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同;2、证明单调性:作差(商)、导数法;3、复合函数的单调性 最值二次函数、基本不等式、双钩(耐克)函数、三角函数有界性、数形结合、导数.幂函数 对数函数 三角函数基本初等函数抽象函数 复合函数 赋值法、典型的函数函数与方程 二分法、图象法、二次及三次方程根的分布 零点函数的应用 建立函数模型使解析式有意义 导数函数基本初等函数的导数导数的概念导数的运算法则导数的应用表示方法 换元法求解析式分段函数 几何意义(切线问题)、物理意义单调性导数的正负与单调性的关系生活中的优化问题定积分与微积分定积分与图形的计算注意应用函数的单调性求值域周期为T 的奇函数→f (T )=f (T2)=f (0)=0 复合函数的单调性:同增异减三次函数的性质、图象与应用一次、二次函数、反比例函数指数函数图象、性质 和应用平移变换对称变换 翻折变换 伸缩变换图象及其变换最值极值第二部分 三角函数与平面向量角的概念 任意角的三角函数的定义 三角函数 弧度制 弧长公式、扇形面积公式三角函数线同角三角函数的关系 诱导公式 和角、差角公式 二倍角公式公式的变形、逆用、“1”的替换 化简、求值、证明(恒等变形)三角函数 的 图 象定义域奇偶性 单调性 周期性 最值对称轴(正切函数除外)经过函数图象的最高(或低)点且垂直x 轴的直线,对称中心是正余弦函数图象的零点,正切函数的对称中心为(k π2,0)(k ∈Z ).正弦函数y =sin x= 余弦函数y =cos x 正切函数y =tan x y =A sin(ωx +ϕ)+b①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到,但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同;②图象也可以用五点作图法;③用整体代换求单调区间(注意ω的符号); ④最小正周期T =2π| ω |;⑤对称轴x =(2k +1)π-2ϕ2ω,对称中心为(k π-ϕω,b )(k ∈Z ). 平面向量 概念线性运算 基本定理 加、减、数乘几何意义坐标表示数量积几何意义模共线与垂直共线(平行)垂直 值域图象a →∥b →⇔b →=λa → ⇔ x 1y 2-x 2y 1=0 a →⊥b →⇔b →·a →=0 ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0解三角形余弦定理 面积 正弦定理 解的个数的讨论实际应用 S △=12ah =12ab sin C =p (p -a )(p -b )(p -c )(其中p =a +b +c 2)投影b →在a →方向上的投影为|b →|cos θ=a →·b→——|a →|设a →与b →夹角θ,则cos θ=a →·b →——|a →|·|b →|对称性 |a →|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2夹角公式第三部分 数列与不等式概念 数列表示等差数列与等比数列的类比 解析法:a n =f (n )通项公式 图象法 列表法递推公式等差数列 通项公式 求和公式 性质 判断a n =a 1+(n -1)d a n =a 1q n -1a n +a m =a p +a r a n a m =a p a r 前n 项和S n =n (a 1+a n )2前n 项积(a n >0) T n =(a 1a n )n 常见递推类型及方法逐差累加法 逐商累积法构造等比数列{a n +qp -1} 构造等差数列①a n +1-a n =f (n ) ②a n + 1a n=f (n ) ③a n +1=pa n +q ④pa n +1a n =a n -a n +1 化为a n +1q n =p q ·a nq n -1+1转为③ ⑤a n + 1=pa n +q n等比数列 a n ≠0,q ≠0 S n =⎩⎨⎧na 1,q =1a 1(1-q n)1-q ,q ≠1公式法:应用等差、等比数列的前n 项和公式 分组求和法 倒序相加法裂项求和法 错位相加法 常见求和方法不等式不等式的性质 一元二次不等式简单的线性规划 基本不等式:ab ≤a +b 2数列是特殊的函数借助二次函数的图象三个二次的关系可行域 目标函数一次函数:z =ax +by z =y -bx -a:构造斜率 z =(x -a )2+(y -b )2:构造距离 应用题几何意义: z 是直线ax +by -z =0在x 轴截距的a 倍,y 轴上截距的b 倍.最值问题 变形 和定值,积最大;积定值,和最小应用时注意:一正二定三相等 2aba +b≤ab ≤a +b 2≤a 2+b 22倾斜角和斜率直线的方程位置关系直线方程的形式倾斜角的变化与斜率的变化重合平行相交垂直A1B2-A2B1=0A1B2-A2B1≠0A1A2+B1B2=0点斜式:y-y0=k(x-x0)斜截式:y=kx+b两点式:y-y1y2-y1=x-x1x2-x1截距式:xa+yb=1一般式:Ax+By+C=0注意各种形式的转化和运用范围.两直线的交点距离点到线的距离:d=| Ax0+By0+C |A2+B2,平行线间距离:d=| C1-C2 |A2+B2圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系两圆的位置关系相离相切相交∆<0,或d>r∆=0,或d=r∆>0,或d<r曲线与方程轨迹方程的求法:直接法、定义法、相关点法圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义及标准方程性质范围、对称性、顶点、焦点、长轴(实轴)、短轴(虚轴)、渐近线(双曲线)、准线(只要求抛物线)离心率对称性问题中心对称轴对称点(x1,y1) ───────→关于点(a,b)对称点(2a-x1,2b-y1)曲线f (x,y) ───────→关于点(a,b)对称曲线f (2a-x,2b-y)⎩⎪⎨⎪⎧A·x1+x22+B·y1+y22+C=0y2-y1x2-x1·(-AB)=-1特殊对称轴x±y+C=0 直接代入法截距注意:截距可正、可负,也可为0.点(x1,y1)与点(x2,y2)关于直线Ax+By+C=0对称点与线空间点、 线、面的 位置关系点在直线上 点在直线外 点与面 点在面内 点在面外线与线共面直线异面直线相交平行没有公共点 只有一个公共点线与面平行相交有公共点没有公共点 直线在平面外直线在平面内面与面平行 相交平行关系的相互转化垂直关系的相互转化线线 平行线面 平行面面 平行线线 垂直线面 垂直面面 垂直空间的角异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角 范围:(0︒,90︒] 范围:[0︒,90︒] 范围:[0︒,180︒]点到面的距离 直线与平面的距离 平行平面之间的距离相互之间的转化 cos θ=|a →·b →|——|a →|·|b →|sin θ=|a →·n →|——|a →|·|n →|cos θ=n 1→·n2→——|n 1→|·|n 2→|d =|a →·n →|——|n →|空间向量空间直角坐标系空间的距离 空间几何体柱体棱柱 圆柱 正棱柱、长方体、正方体台体 棱台 圆台 锥体 棱锥 圆锥球 三棱锥、四面体、正四面体直观图 侧面积、表面积 三视图体积长对正 高平齐 宽相等第六部分统计与概率统计随机抽样抽签法随机数表法简单随机抽样系统抽样分层抽样共同特点:抽样过程中每个个体被抽到的可能性(概率)相等用样本估计总体样本频率分布估计总体总体密度曲线频率分布表和频率分布直方图茎叶图样本数字特征估计总体众数、中位数、平均数方差、标准差变量间的相关关系两个变量的线性相关散点图回归直线正态分布列联表(2×2)独立性分析概率概率的基本性质互斥事件对立事件古典概型几何概型条件概率事件的独立性用随机模拟法求概率常用的分布及期望、方差随机变量两点分布X~B(1,p)E(X)=p,D(X)=p(1-p)二项分布X~B(n,p)E(X)=np,D(X)=np(1-p)X~H(N,M,n)E(X)=nMND(X)=nMN()1-MNN-nN-1n次独立重复试验恰好发生k次的概率为P n(k)=C knp k(1-p)n-k超几何分布若Y=aX+b,则E(Y)=aE(X)+bD(Y)=a2D(X)P(A+B)=P(A)+P(B)P( A)=1-P(A)P(A B)=P(A)·P(B)P(B | A)=P(A B)P(A)第七部分 其他部分内容合情推理演绎推理归纳类比 三段论 大前提、小前提、结论 两个原理分类加法计算原理和分步乘法计算原理 排列与组合 排列数:A m n =n !(n -m )!组合数:C m n =n !m !(n -m )! 性质C m n =C n -mn C mn +1=C mn +Cm -1n计算原理二项式定理通项公式T r +1=C rn a n -r b r首末两端“等距离”两项的二项式系数相等 C 0n +C 2n +C 4n …=C 1n +C 3n +C 5n …=2n -1C 0n +C 1n +…+C nn =2n二项式系数性质 直接证明综合法分析法由因导果执果索因间接证明 反证法数学归纳法推理证明推理与证明充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件关系条件复合命题 或:p ∨ q 且:p ∧ q 非:⌝ p猜想原命题:若p 则q逆命题:若q 则p否命题:若⌝p 则⌝q逆命题:若⌝q 则⌝p互逆 互逆互否互否互为逆否 等价关系一真便真 一假则假全称量词与存在量词 简易逻辑概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性 顺序结构条件结构 循环结构命题算法语言算法的特征程序框图 基本算法语言算法案例 辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制 复 数概念虚数、纯虚数、实部、虚部、实轴、虚轴、模、共轭复数 运算 加、减、乘、除、乘方几何意义复数与复平面内点(向量)的对应关系、复数模的几何意义。
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高中数学知识点完整结构图-掌门1对1 高中数学知识点1集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆()元素与集合的关系:属于()和不属于()()集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性集合与元素()集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集()集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法子集:若 ,则,即是的子集。
、若集合中有个元素,则集合的子集有个, 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/nA A ABC A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集,即 、对于集合如果,且那么、空集是任何集合的(真)子集。
真子集:若且(即至少存在但),则是的真子集。
集合相等:且 定义:且交集性质:,,,运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃,定义:或并集性质:,,,,, 定义:且补集性质:,,,, ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义:设,是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个元素, 在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应:为从集合到集合的一个映射传统定义:如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值,定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。
那么就是的函数。
记作函数及其表示函数{[][][][][]().,,()()(),,1212()()(),,12f x a b a x x b f x f x f x a b a b f x f x f x a b a b a =≤<≤<>⎧⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。
定义域函数的三要素值域对应法则解析法函数的表示方法列表法图象法单调性函数的基本性质传统定义:在区间上,若如,则在上递增,是 递增区间;如,则在上递减,是的递减区间。
导数定义:在区间[][][][][]()1()2()()00,()0(),,()0(),,y f x I M x I f x M x I f x M M y f x b f x f x a b a b f x f x a b a b =∈≤∈==⎧⎪⎪⎨><⎪⎪⎩最大值:设函数的定义域为,如果存在实数满足:()对于任意的,都有; ()存在,使得。
则称是函数的最大值最值最上,若,则在上递增,是递增区间;如 则在上递减,是的递减区间。
()1()2()()00(1)()(),()(2)()(),()y f x I N x I f x N x I f x N N y f x f x f x x D f x f x f x x D f x =∈≥∈==-=-∈-=∈⎧⎪⎨⎪⎩小值:设函数的定义域为,如果存在实数满足:()对于任意的,都有; ()存在,使得。
则称是函数的最小值定义域,则叫做奇函数,其图象关于原点对称。
奇偶性定义域,则叫做偶函数,其图()()()(0)()()1,()112y f x f x T f x T f x T T f x y y x a x y f x a a α+=≠=-=⇒=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩象关于轴对称。
奇偶函数的定义域关于原点对称周期性:在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数,为周期;的最小正值叫做的最小正周期,简称周期()描点连线法:列表、描点、连线向左平移个单位:向右平移个平移变换函数图象的画法()变换法,()11,()11,()1110111/()11)01)1y y x a x y f x a b x x y b y y b f x b x x y b y y b f x x w w w x wx y f wx y A A =+=⇒=-=+=⇒-==-=⇒+=><<=⇒=><<⎧⎪⎨⎪⎩单位:向上平移个单位:向下平移个单位:横坐标变换:把各点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍(纵坐标不变),即伸缩变换纵坐标变换:把各点的纵坐标伸长(或缩短(到{{{{{{/()1221010(,)2(2)0000221010221010(2)0011112(00221010A y y A y f x x x x x x x x y y y f x x y y y y y yx x x x x x x x y f x x y y y y x x x x y y y y f y y y y y y =⇒=+==-⇒⇒-=-+==-+==-=⇒⇒=-=====⇒⇒-=+==-⎧⎪⎨⎪⎩原来的倍 (横坐标不变), 即关于点对称:关于直线对称:对称变换关于直线对称:{)11()1x x x y x y f x y y =-=⇒==⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩关于直线对称:附:一、函数的定义域的常用求法:1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈;余切函数cot y x =中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法:1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法:1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法:1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论:1、若(),()f x g x 均为某区间上的增(减)函数,则()()f x g x +在这个区间上也为增(减)函数2、若()f x 为增(减)函数,则()f x -为减(增)函数3、若()f x 与()g x 的单调性相同,则[()]y f g x =是增函数;若()f x 与()g x 的单调性不同,则[()]y f g x =是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论:1、如果一个奇函数在0x =处有定义,则(0)0f =,如果一个函数()y f x =既是奇函数又是偶函数,则()0f x =(反之不成立)2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。
4、两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。
5、若函数()f x 的定义域关于原点对称,则()f x 可以表示为11()[()()][()()]22f x f x f x f x f x =+-+--,该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的和。
,()0()()[,]()()0,()[,](,),()0,()0()0y f x f x x y f x y f x a b f a f b y f x a b c a b f c c f x f x ====⋅<=∈===零点:对于函数()我们把使的实数叫做函数的零点。
定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有零点与根的关系 那么,函数在区间内有零点。
即存在使得这个也是方 程的根。
(反之不成立)关系:方程函数与方程函数的应用()()(1)[,],()()0,(2)(,);(3)()()0,()()0,(,)0()()0,0y f x y f x x a b f a f b a b c f c f c c f a f c b c x a b f c f b a c x ε⇔=⇔=⋅<=⋅<=∈⋅<=⎧⎪⎨⎪⎩有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点确定区间验证给定精确度;求区间的中点计算;二分法求方程的近似解 ①若则就是函数的零点;②若则令(此时零点); ③若则令(此时零点(,)(4)-,();24c b a b a b εε∈<~⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩);判断是否达到精确度:即若则得到零点的近似值或否则重复。
几类不同的增长函数模型函数模型及其应用用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型(0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lo m n a n a r s r s a a a a r s Q r s rs a a a r s Q r r s ab a b a b r Q x y a a a x =+=>∈=>∈=>>∈=>≠=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩为根指数,为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义:一般地把函数且叫做指数函数。
指数函数性质:见表对数:基本初等函数对数的运算对数函数g ,log ()log log ;log log log ;.log log ;(0,1,0,0)log log (01)1log (,0,1,0)log c a c N a N a M N M N a a a M M N a a a N n M n M a a M N a a y x a a a b b a c a c b a ⋅=+=-=>≠>>=>≠⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=>≠>⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩⎩为底数,为真数性质换底公式:定义:一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质:见表且y x x αα⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧=⎪⎨⎪⎩⎩幂函数定义:一般地,函数叫做幂函数,是自变量,是常数。