《二次根式和它的性质》公开课教学PPT课件
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二次根式的概念和性质ppt课件
A.3
B.-3
C.1
D.-1
精选ppt课件
20
练习
１.已知 y x 2 2 x 3，求x、y的值. x=2，y=3
２.已知 a≥4
a4|3a|a，求a的值.
a 4 a 3 a ， 即 a 4 3
a-4=9，精则选ppt课a件=13
21
12 n为一个整数,
求自然数n的值.
n≤12
n = 3，8，11，12
( 其 中 -1x3)
精选ppt课件
34
( a)2 a(a0)
a(a0)
a 2 a a(a0)
注意区a2别 与( a） 2
精选ppt课件
35
知识结构
最简二次根式
式二 次 根
三个概念 同类二次根式
有理化因式
--不要求，只 需了解
1、 a0Leabharlann Baidua0)
三个性质 2、 a2aa0
3、 a 2 aa0
算 一 算 ： (1 ) （ -9 ） 2 (2 )
(
1 3
)2
( 3 ) 6 4 精选ppt课件 ( 4 ) ( x 2 + 1 ) 2
26
试一试
1.计算下列各题:
2
(1) 15 (2)
1
2
5
2.若 (1x)2 1x,则x的取值范围为 ( )
人教版八年级数学下册 16.1 二次根式的概念及性质 一等奖优秀课件 (共26张PPT)
.
合作探究 获取新知
3, s, 65， 问题 1 上面问题的结果分别是 ，它们表示一 归纳总结 二次根式的定义 5 a (a 0) 的式子叫做二次根式. 一般地，我们把形如 些正数的算术平方根 .那么什么样的数有算术平方根呢？ h
“
”称为二次根号， a叫做被开方数 . 我们知道，负数没有平方根 .因此，在实数范围内开平 方时，被开方数只能是正数或0.
所以宽为4cm，长为6cm.
回顾与反思
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗?
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
问题发现 感受新知
问题1：你能将下列数字顺利通过下面两扇门吗？
4
0
1
-1
1 4 1 0、 1、 4
a≥0
a→ a→( a )2
a为任意实数
算术平方 根之门
问题2：两扇门交换位置，你还会走吗？ 全部都能通过
D. x ≥-1
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等 式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
合作探究 获取新知
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平 方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
八年级数学下册教学课件-二次根式的性质
A．a＝2
B．a＞2
C．a≥2
）
D．a≤2
【答案】D
【解析】
∵ （ − 2)2 =2-ɑ，∴a-2≤0，即a≤2，故选D.
2.（2019·海口市丰南中学初三期末）化简（﹣ 3）2的结果是（
A．±3
B．﹣3
C．3
）
D．9
3.（2019·广东育才三中初二期中）计算：
【答案】（1）4 2；（2）6.
1） 18 + 2 − 16 + ( 7 + 3)( 7 − 3)
探索与思考
计算：
1） 22
=
2） 0.12 =
3）
4）
2 2
−
5
02
=
2
0.1
2
=
5
0
二次根式的性质二
α2
= a =
a（a≥0）
-a（a<0）
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值 .
练一练
02
探索与提高（区别(√)^2 和√(^2 )）
2
2
从运算顺序看
先开方 , 后平方
先平方 , 后开方
=﹣|b|
=﹣b．
0
b
课后回顾
01
理解二次根式性质的探索过程
02
掌握二次根式的性质
03
B．a＞2
C．a≥2
）
D．a≤2
【答案】D
【解析】
∵ （ − 2)2 =2-ɑ，∴a-2≤0，即a≤2，故选D.
2.（2019·海口市丰南中学初三期末）化简（﹣ 3）2的结果是（
A．±3
B．﹣3
C．3
）
D．9
3.（2019·广东育才三中初二期中）计算：
【答案】（1）4 2；（2）6.
1） 18 + 2 − 16 + ( 7 + 3)( 7 − 3)
探索与思考
计算：
1） 22
=
2） 0.12 =
3）
4）
2 2
−
5
02
=
2
0.1
2
=
5
0
二次根式的性质二
α2
= a =
a（a≥0）
-a（a<0）
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值 .
练一练
02
探索与提高（区别(√)^2 和√(^2 )）
2
2
从运算顺序看
先开方 , 后平方
先平方 , 后开方
=﹣|b|
=﹣b．
0
b
课后回顾
01
理解二次根式性质的探索过程
02
掌握二次根式的性质
03
二次根式及其运算ppt课件
17
【解后感悟】(1)常见的非负数有三种形式： |a|，a ，a2.
(2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为 零．
10．观察分析下列数据，寻找规律：0，3 ，6 ，3， 2 3 ，……，那么第10个数据应是 3 3 ． 11．若y＝ 3x 6 6 3x＋x3，则10x＋2y的平方 根为 ±6 ； 12．已知x＝ 3 ＋1，y＝ 3 －1，求下列各式的值：
12
类型三 二次根式的运算与求值
例3 (1)(2013·包头)计算：8 3 1 2 ＝
；
2
(2)(2013·泰安)化简：3( 2 3) 24 6 3＝ .
【思路分析】(1)先进行二次根式的化简，然后合并
同类二次根式即可．(2)根据二次根式的乘法运算
法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简
二次根式 的乘法
a · b ＝_ ab _ (a≥0，b≥0)．
二次根式 的除法
a
a
b ＝_ b_(a≥0，b＞0)．
二次根式 与实数的运算顺序相同，先算乘方，再 的混合运 算 乘除 ，最后算加减，有括号的先
算 算括号里面的(或先去括号).
2
1.整式运算法则也适用于二次根式的运算．
2.估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼
15，17，19的整数部分，继而也可得出甲、乙、丙 的取值范围，进而可以比较其大小．
【解后感悟】(1)常见的非负数有三种形式： |a|，a ，a2.
(2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为 零．
10．观察分析下列数据，寻找规律：0，3 ，6 ，3， 2 3 ，……，那么第10个数据应是 3 3 ． 11．若y＝ 3x 6 6 3x＋x3，则10x＋2y的平方 根为 ±6 ； 12．已知x＝ 3 ＋1，y＝ 3 －1，求下列各式的值：
12
类型三 二次根式的运算与求值
例3 (1)(2013·包头)计算：8 3 1 2 ＝
；
2
(2)(2013·泰安)化简：3( 2 3) 24 6 3＝ .
【思路分析】(1)先进行二次根式的化简，然后合并
同类二次根式即可．(2)根据二次根式的乘法运算
法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简
二次根式 的乘法
a · b ＝_ ab _ (a≥0，b≥0)．
二次根式 的除法
a
a
b ＝_ b_(a≥0，b＞0)．
二次根式 与实数的运算顺序相同，先算乘方，再 的混合运 算 乘除 ，最后算加减，有括号的先
算 算括号里面的(或先去括号).
2
1.整式运算法则也适用于二次根式的运算．
2.估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼
15，17，19的整数部分，继而也可得出甲、乙、丙 的取值范围，进而可以比较其大小．
《二次根式和它的性质》PPT课件
1
（1 ） x 3
解：（1）要使 则x-3 解得x ∴当x
（2 ） 1 x
x 3 在实数范围内有意义
0
3 在实数范围内有意义
3时， x 3
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（ 2） 1 x
1
解：要使 1 x 在实数范围内有意义 则 1- x ≠0 x≥0 解得x≥0且x≠1
1
∴当x≥0且x≠1时， 1 x在实数范围内有意义
二次根式和它的性质
我国自主研制的第一艘载人航 天飞船“神舟5号”于2003年10月15 日发射成功．
（1）运用运载火箭发射航天飞船，火箭必须达到一定的 速度，才能克服地心的引力，将飞船送入环绕地球运行 的轨道．这个速度称为第一宇宙速度．第一宇宙速度的 计算公式是 V1 = gR ．其中g≈9.8米/秒2，R为地球的半 径.你能求出第一宇宙速度吗？
1 2 2 2 ( y 0 ) ， x + y 7， ， x y 2
√
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (m≤0), (5) xy (x,y 异号) (4) m ， (6) a +1 ,
2
(7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
思考：
若 x + 2 是二次根式，则字母x需要满足 什么条件呢？
二次根式的概念及性质 课件
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间
t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m)满
足关系式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t h
为 5.
合作探究 获取新知
问题归1纳上总面结问题的二结次果根分式别的是定义3,
s,
65， h 5
，它们表示一
些一正般数地的，算我术们平把方形根如.那a么(什a 么0) 样的的式数子有叫算做术二平次方根根式呢.？
二次根式的概念及性质
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围.（难点） 3.理解二次根式的两个性质.（重点） 4.运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
问题发现 感受新知 （1）如左图所示，礼盒的上面是正方形，其 面积为3，则它的边长是 3 . 如果其面积为S，则它的边长是 S . （2）如左图所示，一个长方形的围 栏，长是 宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为 65 m.
归纳总结
a2 (a 0) 的性质: 一般地， a2 ＝a (a≥0).
合作探究 获取新知 例3：化简
(1) 16
(2) (5)2
你还有其 他解法吗？
解：(1) 16 42 4； (2) (5)2 25 5.
(5)2 52 5.
｛ 归纳总结 a2=|a|=
a (a≥ 0)； -a (a＜0).
t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m)满
足关系式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t h
为 5.
合作探究 获取新知
问题归1纳上总面结问题的二结次果根分式别的是定义3,
s,
65， h 5
，它们表示一
些一正般数地的，算我术们平把方形根如.那a么(什a 么0) 样的的式数子有叫算做术二平次方根根式呢.？
二次根式的概念及性质
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围.（难点） 3.理解二次根式的两个性质.（重点） 4.运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
问题发现 感受新知 （1）如左图所示，礼盒的上面是正方形，其 面积为3，则它的边长是 3 . 如果其面积为S，则它的边长是 S . （2）如左图所示，一个长方形的围 栏，长是 宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为 65 m.
归纳总结
a2 (a 0) 的性质: 一般地， a2 ＝a (a≥0).
合作探究 获取新知 例3：化简
(1) 16
(2) (5)2
你还有其 他解法吗？
解：(1) 16 42 4； (2) (5)2 25 5.
(5)2 52 5.
｛ 归纳总结 a2=|a|=
a (a≥ 0)； -a (a＜0).
《二次根式的性质》PPT课件
表示一个实数 a
的平方的算术平方根
02
练一练
计算：
1） 16
2）
3）
=
(−5)2 =
3.14 −
42 =4
52 =5
2
= |3.14 − |=π-3.14
02
练一练
1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|| + ( − )2 的结果是（
A．−2 +
B．2 −
C．−
0.9
1
1
1
3
9
3
10
100
10
观察结果，你发现了什么？
01
探索与思考
a(a<0)
2
2
0
0
0
-0.1
0.01
0.1
-0.9
0.81
0.9
-1
1
1
-3
9
3
-10
100
10
观察结果，你发现了什么？
01
探索与思考
计算：
1） 22
=
2） 0.12 =
3）
4）
2 2
−
5
02
=
2
0.1
2
=
5
0
二次根式的性质二
=﹣|b|
=﹣b．
二次根式的概念和性质 PPT教学课件(数学人教版八年级下册)
如：在实数范围内分解因式 x2 3
x2 3 x2 3 2 x 3 x 3
数学初中 二次根式的性质
问题2 填空，你能说说这样做的依据吗？
22 = __2___； 0.12 = __0_._1_；
（
2 3
）2=
2 __3___；
02 = ___0__．
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
加减乘除运算
逆向运用 把一个非负数或非负的式子写成完全平方式的形式
如：在实数范围内分解因式 x2 3
数学初中 二次根式的性质
例1 计算下列各式：
（1）（1. 5）2；（2）（2 5）2． 解答：（1）1.5（2）20
拓展
正向运用 a ）2=a（a≥0） 去根号的方法 （
a （ a）2（a≥0）
逆向运用 把一个非负数或非负的式子写成完全平方式的形式
（1）当 x 1 时 ， (1x)2 .
（2）若 (x 2)2 x 2 ，则x的取值范围是
.
数学初中 二次根式的性质
例3 根据二次根式的性质填空.
（1）当 x 1 时 ， (1x)2 .
（2）若 (x 2)2 x 2 ，则x的取值范围是
.
解：（1）由 x 1 ，得 1-x<0
∴ (1x)2 1 x x 1
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的概念和性质》公开课课件
时的高度 h(单位：m)满足关系 h＝5t2.如果用含有 h 的式子表示 t，则 t＝
________．
【答案】(1) 17 (2) 65 (3) 65 (4) 3
h a (5) 5
活动 2：二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子 a表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子 a才有意义？ (2)当 a＞0 时， a________0；当 a＝0 时， a________0；二次根式是 一个________． 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数 a 必须是非负数 (2)＞ ＝ 非 负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性． 当 a＞0 时， a表示 a 的算术平方根，因此 a＞0； 当 a＝0 时， a表示 0 的算术平方根，因此 a＝0. 也就是说，当 a≥0 时， a≥0.
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/132021/10/132021/10/1310/13/2021 1:36:27 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/132021/10/132021/10/1310/13/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/132021/10/13October 13, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/132021/10/132021/10/132021/10/13
优质课二次根式的性质2ppt课件
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
注意：二次根式的化简结果必须是最简二次根式.
.
小结：
请同学们小结一下本节课的内容：
1、本节课学习了商的算术平方根的性质，我们要注意 被开方数的取值范围。同时应该明确被开方数是整式。
a b
a b
a0,b0
2、运用性质化简时应该注意结果要最简，如果被开 方数是带分数要先化成假分数。然后再运用性质。
跟踪练习：
(1) 2 3 16
(2 ) 1 15 49
.
辨析训练
判断下列各等式是否成立，若不成立请说
出正确的解法和答案。
（1）1 6943 （×）（2）
3 2
3 2
（√
）
wk.baidu.com1692 55
× × （3） 41 2 1（ ）（4）2 5 2 5（ ）
22
99
41 9
2
2
9 2 22
32 2.
2 52 52 5 9 93
y
如果两个非负数相加和为0。
则这两个非负数都为0。
x92和y25都是什么数
解 x ： 9 2 0 ， y 2 5 0且 x 9 2y 2 5 0
x90
y 25 0
解得：
当x 9, y 25时
X 9 9 3 Y 25 25 5
x9 y 25
注意：二次根式的化简结果必须是最简二次根式.
.
小结：
请同学们小结一下本节课的内容：
1、本节课学习了商的算术平方根的性质，我们要注意 被开方数的取值范围。同时应该明确被开方数是整式。
a b
a b
a0,b0
2、运用性质化简时应该注意结果要最简，如果被开 方数是带分数要先化成假分数。然后再运用性质。
跟踪练习：
(1) 2 3 16
(2 ) 1 15 49
.
辨析训练
判断下列各等式是否成立，若不成立请说
出正确的解法和答案。
（1）1 6943 （×）（2）
3 2
3 2
（√
）
wk.baidu.com1692 55
× × （3） 41 2 1（ ）（4）2 5 2 5（ ）
22
99
41 9
2
2
9 2 22
32 2.
2 52 52 5 9 93
y
如果两个非负数相加和为0。
则这两个非负数都为0。
x92和y25都是什么数
解 x ： 9 2 0 ， y 2 5 0且 x 9 2y 2 5 0
x90
y 25 0
解得：
当x 9, y 25时
X 9 9 3 Y 25 25 5
x9 y 25
人教新课标八年级数学下册16.1 二次根式概念和性质ppt课件
2
a a 0
性质2
2
a a a 0
2
a a ( a 0)
a a
a a 0 , 0 a 0 , a a 0 .
第二课时
复习
1、代数式 2、 3、当
叫做二次根式 . a a 0
有意义的条件是 a
a . 0
（1 ）
2x
； （2 ）
； （3 ）
2x 5
3 x
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(2) 3x x 0 1 2 (3) 4 x x为全体实数 (4) x0 x 1 3 x0 x 0 (6) x 2 (5) x
(1) x 1 x 1
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
4 ; 25 49 ; 36 4 25
25 1 36
49 4 ; 6 ; 9 36
4 9
问题1
下列等式一定成立吗？为什么？
ab
a
b
a b
a b
二次根式的性质： 性质3
性质4
ab a b a 0, b 0.
a b
问题2
a a 0, b 0. b
2
2
5 ; 2x
1 4 a . a
注意判断根号内字母的取 值范围，
a a 0
性质2
2
a a a 0
2
a a ( a 0)
a a
a a 0 , 0 a 0 , a a 0 .
第二课时
复习
1、代数式 2、 3、当
叫做二次根式 . a a 0
有意义的条件是 a
a . 0
（1 ）
2x
； （2 ）
； （3 ）
2x 5
3 x
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(2) 3x x 0 1 2 (3) 4 x x为全体实数 (4) x0 x 1 3 x0 x 0 (6) x 2 (5) x
(1) x 1 x 1
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
4 ; 25 49 ; 36 4 25
25 1 36
49 4 ; 6 ; 9 36
4 9
问题1
下列等式一定成立吗？为什么？
ab
a
b
a b
a b
二次根式的性质： 性质3
性质4
ab a b a 0, b 0.
a b
问题2
a a 0, b 0. b
2
2
5 ; 2x
1 4 a . a
注意判断根号内字母的取 值范围，
人教版数学八年级下册16.1 第2课时 二次根式的性质.ppt
x3
A.3
B.-3
C.1
D.-1
3.下列式子是代数式的有
( C)
①a2+b2 ; ② ab; ③13; ④x=2; ⑤3×（4 －5）;
⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧ a c.
b
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
4.化简：
（1） 9 ＝ 3 ; （2） (4)2 ＝ 4 ;
（3） 72 7
Quisque velit nisi, pretium ut lacinia in, elementum id enim. Cras ultricies ligula sed magna dictum porta
2012
Quisque velit nisi, pretium ut lacinia in, elementum id enim. Cras ultricies ligula sed magna dictum porta. Quisque velit nisi, pretium ut lacinia in, elementum id enim.
解：根据数轴可知b＜a＜0， ∴a+2b＜0，a-b＞0， 则 a2 4ab 4b2 a b =|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b． 注意 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要 要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
A.3
B.-3
C.1
D.-1
3.下列式子是代数式的有
( C)
①a2+b2 ; ② ab; ③13; ④x=2; ⑤3×（4 －5）;
⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧ a c.
b
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
4.化简：
（1） 9 ＝ 3 ; （2） (4)2 ＝ 4 ;
（3） 72 7
Quisque velit nisi, pretium ut lacinia in, elementum id enim. Cras ultricies ligula sed magna dictum porta
2012
Quisque velit nisi, pretium ut lacinia in, elementum id enim. Cras ultricies ligula sed magna dictum porta. Quisque velit nisi, pretium ut lacinia in, elementum id enim.
解：根据数轴可知b＜a＜0， ∴a+2b＜0，a-b＞0， 则 a2 4ab 4b2 a b =|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b． 注意 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要 要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
《二次根式和它的性质》
02
二次根式的化简
二次根式的性质
根式的定义
根式是表示一个数的平方根的数 学表达式。例如，$sqrt{a}$ 表示 $a$ 的平方根。
根式的性质
根式具有一些基本的性质，如根 式的乘法、除法、加法和减法等 。这些性质可以帮助我们简化根 式。
二次根式的化简方法
提取平方因子
如果一个二次根式可以表示为一个整数的平方，那么我们 可以将其提取出来。例如，$sqrt{4x^2} = 2x$。
二次根式的化简
总结词
掌握二次根式的化简方法，能够将复杂的二次根式化简为最简形式。
详细描述
二次根式的化简方法包括因式分解、配方法等。通过因式分解可以将二次根式化为最简形式，例如， $sqrt{a^2 + b^2}$ 可以化为 $|a| + |b|$。配方法则是将被开方数配成完全平方形式，例如， $sqrt{a + b}$ 可以化为 $sqrt{(a + frac{b}{2})^2 - (frac{b}{2})^2}$。
性质
平方根的性质包括非负性、对称性和传递性。非负性指的是一个数的平方根总是非负的；对称性指的是一个数的 平方根和它的倒数的平方根是相等的；传递性指的是如果a和b是两个正数，且a^2 = b^2，那么a = b或a = -b 。
二次根式的表示
01
符号
在数学中，我们通常使用"√"符号来表示平方根。例如，"√16"表示16
《二次根式的概念》课件
举例说明
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数 式，表示非负实数的平方根。
通过具体例子来解释二次根式的定义 和性质，如√4=2，√9=3等。
强调二次根式的非负性
根号下的数必须是非负的，因为负数 没有实数平方根。
回顾二次根式的简化与运算方法
简化二次根式的方法
回顾如何化简二次根式，如合并同类项、分子分母有理化等。
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《二次根式的概念》 ppt课件
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目 录
• 二次根式的定义 • 二次根式的简化 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 总结与回顾
PART 01
二次根式的定义
平方根的定义
总结词
理解平方根是二次根式的基础
详细描述
平方根的定义是，对于非负实数a，若某数的平方等于a，则这个数称为a的平方 根。例如，4的平方根是±2，因为2^2=4和(-2)^2=4。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否 可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果 无法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用 配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号 。接下来观察各项是否为同类项，如果是，则合并同类 项。最后化简各项的系数和根指数，使二次根式达到最 简形式。通过综合运用这些方法，可以逐步化简二次根 式，使其达到最简形式。
二次根式的概念及性质课件
非负数+正数 恒大于零
例2 (1)当x取何值时, x 2在实数范围内有意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
当x是怎样 的实数时，
（2）当x=0，9时，求二次根式 x 2 的值. 当x=0时，x-2=-2＜0，此时二次根式无意义；
在实数范 围内有义？
活动2 ：根据前面得出的结论填一填
22 =
2
；
0.12 =
0.1
；
2 3
2
=
2 3
； 02 =
0
.
如何用字母表示你 所得的公式呢？
归纳总结
a2 (a 0) 的性质: 一般地， a2 ＝a (a≥0).
例3：化简
(1) 16
(2) (5)2
Biblioteka Baidu
解：(1) 16 42 4； (2) (5)2 25 5.
足关系式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t h
为 5.
问题1 上面问题的结果分别是 3, s, 65， h ，它们表示一
5
些正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？ 我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平
方时，被开方数只能是正数或0.
问题2 上面问题的结果分别是 3, s, 65， h ，分别从形式上
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五、检测反馈
当a是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？
（1） 3a ； （2） a 1 ； （3） 6 2a2.
总结:
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于0； ②分母中有字母时，要保证分母不为0.
第二课时
议一议
计算
22
，32
，Байду номын сангаас
1 5
2
，02
猜一猜：当a≥0时，二次根式 a2的值是什
么？
复习 回顾 二次根式有哪些性质?
a 2 a a 0
a2 a(a 0)
例3 化简：
（1） 36；
解：（1） 36= 62 =6；
（2） 9 . 4
（2） 9 =
( 3)2
3 .
42 2
1 4 9 ，4 9
2 121 64 ，121 64
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时 间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单 位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t， 那么t为______h5___.
三、探索新知，解决问题
在上面的问题中，化简的结果分别
是
3，
S ， 65 ，
h 5
.
它们都表示一些正数的算术平方根.
谢谢大家
（3） a3
2a 3
2a a2 a 2a
.
8 16
16
4
1.二次根式的性质: a2 a(a 0)
ab a b(a 0, b 0)
2.运用性质化简:
a a (a 0, b 0) bb
(1)根号内不再含有分母．
(2)根号内不再含有开得尽方的因式.
被开方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式， 这样的二次根式叫最简二次根式.
3 2 3 ，2 3
一般地，二次根式有下面的性质: (a 0,b 0)
ab a b
积的算术平方根等于积中各因式 的算术平方根.
例4 化简： （1） 9 25；
解：
9 25 9 25 35 15；
（2） 300.
300= 100 3 = 100 3 =10 3.
如果一个二次根式的被开方数中有的因式 （或因数）能开得尽方，可以利用公式将 这些因式（或因数）开出来．
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
例2 计算: （1）（ 15）2；（2）（- 0.83）2；（3）（- 3 2）2 .
解：（1）（ 15）2 15； （2）（- 0.83）2 （ 0.83）2 0.83； （3）（- 3 2）2 （- 3）2 （ 2）2 9 2 18.
练习：
慧眼识真!
1 49 4 9 2 132 122 132 122 13 12
4 9 有意义吗？如果有
意义，应该等于多少？
做一做
1 4
9
，4 9
2 16
25
， 16 25
(3) 6 与 6 相等吗？为什么？
77
一般地，二次根式有下面的性质: (a 0,b＞0)
a a bb
二次根式和它的性质
第一课时
一、回顾与思考
1．4的平方根是____2_；0的平方根是__0____.
2．5的平方根是_____5__；5的算术平方根是___5_.
3. 什么叫平方根？ 什么叫算术平方根？
请同学们议一议：
（1）-1有算术平方根吗？ （没有） （2）0的算术平方根是多少？（0） （3）当a＜0时，a有平方根吗？（没有）
1. a 表示 a 的算术平方根.
2. a 可以是数，也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
.
4. a 0.
5. a 既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
四、例题讲解，应用新知
例1 a是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？
(1) a 1；
(2) 1-3a .
解：（1）如果 a 1 有意义，那么a+1≥0，解不
22
2
例6 化去下列各式根号内的分母：
（1） 2； 5
解：
2= 25= 25 5 5 5 52 = 10 ；
5
（2） 1； 7
1= 7 = 7 7 72 72 = 7. 7
练习 化简
(1) 121 225
(2) 42 7
（3） 18
4 5
9
5 2
7
(6) 0.3
化简结果要求:
(1)根号内不再含有分母．
等式 a+1≥0，得 a≥-1.
所以，当a≥-1时， a 1 在实数范围内有意义.
（2）如果 1 3a 有意义，那么1-3a≥0.
解不等式 1-3a≥0，得 a 1 . 3
所以，当 a 1 .时， 1 3a 在实数范围内有意义. 3
当x是怎样的实数时， x 2在实数范围内有
意义？
解：由x－2≥0，得 x≥2.
商的算术平方根等于被除式的算术 平方根除以除式的算术平方根
例5 化简：
（1） 3 ； 25
解：
3 = 3 = 3； 25 25 5
（2） 45 ； 169
45 = 45 169 169 = 95 = 3 5 .
132 13
议一议
如何化去
1 2
根号内的分母？
1 1 2 2 2 2
2
22
22
1.当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义?
（1） x 3
（2） 2 4x
3
（3） 5x
（4） 1
2 x
（5）
1 x x
（6） x 1
（7） x2
（8） x3
2.计算： （1）( 2.1)2； （2）(2 3 )2 .
（1）( 2.1)2 =2.1； （2）(2 3 )2 22 ( 3 )2 4 3 12.
复习小结:
一个正数有两个平方根； 0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根； 因此，开方时被开方数只能为正数或0.
二、创设情境，引入新知
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3的正方形的边长为 3 ，面积为S
的正方形的边长为 S . （2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为 130 m2，则它的宽为 65 m.
(2)根号内不再含有开得尽方的因式.
被开方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式，
这样的二次根式叫最简二次根式.
例7 把下列各式子化成最简二次根式：
（1） 32； （2） 125； 27
（3） a3 . 8
解：（1） 32 16 2 4 2.
（2） 125 125 5 5 5 5 3 5 15 . 27 27 3 3 3 3 3 9