2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用3.4第1课时变化率问题、导数的概念课件新人教A版选修1_1
2017-2018学期高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1-1
29
3
t
32
,
0
t
3,
(路程单位:m,时间单位:s).
3t2 2, t 3,
求:(1)物体在t=3s到t=5s这段时间内的平均速度.
(2)物体在t=1s时的瞬时速度.
【解题指南】(1)先求增量,再求平均速度.(2)先求增 量,再求平均速度,再求极限,进而得出瞬时速度. 【解析】(1)Δs=s(5)-s(3)=3×52+2-(3×32+2)=48.
s
［(3
t)2
3］
32 3
t
t
6t (t)2
6 t.
t
3.设函数f(x)在x0处可导,则 lim f (x0 x) f x0 (
)
x0
x
A.f′(x0)
B.f′(-x0)
C.-f′(x0)
D.-f′(-x0)
【解析】选C.
lim
提示:可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运
动状态.如求t=2时的瞬时速度,可考察在t=2附近的一
个间隔Δt,当Δt趋近于0时,看平均速度 v 的变化趋势,
用式子 lim h(2 t) h 2 表示,这就是物体在t=2时的瞬
t0
t
时速度.
3.导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用? 提示:函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变 化率,导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.
【巩固训练】一质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位 移单位:m,时间单位:s),若该质点在t=2s时的瞬时速度 为8m/s,求常数a的值. 【解析】因为Δ s=s(2+Δ t)-s(2) =a(2+Δ t)2+1-a·22-1 =4aΔ t+a(Δ t)2,
高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021
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3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数课件新人
,
1 x
1 x x
x
1 x
所以 lim y = lim (3+ 2 )=5,
x x 0
x 0
1 x
所以 f′(1)=5.
方法技巧 根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率 y = f (x0 x) f (x0) ;
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
3.1.3 导数的几何意义
课标要求
1.理解函数的平均变化率与瞬时 变化率. 2.理解函数在x0处的导数的定义 和导数的几何意义. 3.会求函数在x0处的导数与切线 方程.
素养达成
通过对导数概念与几何意义的学 习,提高学生观察、归纳、抽象概 括的能力,培养学生的应用意识.
新知探求 课堂探究
新知探求 素养养成
知识点一 平均变化率
问题1:我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空 气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现 象呢?
答案:可以从气球的平均膨胀率去考虑,当 V 从 0 增加到 1 L 时,气球半径增加了 r(1)-r(0)≈0.62(dm). 气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) ≈0.62(dm/L);当 V 从 1 L 增加到 2 L 时,气球半径增
均变化率的值.
解:当自变量从 x0 到 x0+Δx 时,函数值的改变量为 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=[2(x0+Δx)2+1]-(2 x02 +1)=4x0Δx+2(Δx)2,
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念新人教A版选修
探究2：根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定 义，回答下列问题：
(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的 物理意义分别是什么？
提示 瞬时变化率是平均变化率在Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy无限趋近的值；瞬时变化率的物理意义是指物体运 动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平 均速度．
(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？ 提示 函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点 处的导数．
课堂探究案·核心素养提升
题型一 求函数的平均变化率
例1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的
平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的 值．
【自主解答】 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0
【答案】
1 (1)2
(2)见自主解答
●规律总结
1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
2．瞬时变化率的几种变形形式
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
2×12＝5.
题型二 求函数在某点处的导数
例2 (1)函数 y＝ x在 x＝1 处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点 A 开始运动，在时间 t 的位 移函数为 y＝f(t)＝t3＋3，
①当 t1＝4，Δt＝0.01 时，求Δy 和比值ΔΔyt； ②求 t1＝4 时的导数．
【自主解答】 (1)Δy＝ 1＋Δx－1， ΔΔxy＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋Δ1 x＋1，
＋
Δ
x]
上
的
平
均
变
化
率
为
f（x0＋Δx）－f（x0） （x0＋Δx）－x0
＝
[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2） Δx
高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课件3 新人教A版选修11
=(2+Δt)2+3(2+Δt)-(22+3×2)
=(Δt)2+7Δt
所以 s (t)2 7t t 7.
t
t
所以当Δt趋近于0时, 趋s 近于7.故该物体在2s时的
t
瞬时速度是7m/s.
4.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率
是
.
【解析】 y f 3 f 1 1 3 1.
x
数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个 固定值.
特别提醒:“Δx无限趋近于0”的含义: Δx趋于0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给 定的任意小的正数,且始终Δx≠0.
类型一 求函数的平均变化率
【典例】1.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]
这段时间内的平均速度是 ( )
x 3 1 3 1
答案:-1
5.函数y=f(x)= 1 在x=1处的瞬时变化率为
.
x
【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1 1 x ，
1 x 1 1 x
所以 y 所1 以，当Δx趋近于0时, 趋近于y -1.
x 1 x
x
故函数f(x)在x=1处的瞬时变化率为-1.
答案:-1
【知识探究】 探究点1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的改变量Δx 是否可以为任意实数,Δy呢? 提示:在平均变化率的定义中,改变量Δx可正、可负, 但不能等于0;而Δy可以为任意实数.
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
【自主预习】
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
2017-2018学年高一数学选修1-1全册同步导学案含答案【人教B版】
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
3.3.2利用导数研究函数的极值
3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用
1.1命题与量词
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨(1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
判断下列命题的真假：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形
(2)0是最小的自然数
(3)0既不是奇数，也不是偶数
(4)空集是任何非空集合的真子集
答案：(1)假(2)真(3)假(4)真
类题演练3
(2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.
(3)是假命题，数0既不是正数也不是负数.
(4)是假命题，没有考虑到“在两个三角形中，其他两边对应相等”的情况.
高考数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的运算教案 理
第1讲 变化率与导数、导数的运算【2013年高考会这样考】1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.基础梳理1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li mΔx →0 Δy Δx＝ li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 Δy Δx . (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式 若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0；若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αxα－1；若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； 若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ；若f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝a xln_a ； 若f (x )＝e x，则f ′(x )＝e x；若f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1x ln a ；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x.5．导数四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x gx′＝f ′x g x －f x g ′x[g x ]2(g (x )≠0)． 6．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 一个区别曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 两种法则(1)导数的四则运算法则． (2)复合函数的求导法则． 三个防范1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别． 3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．双基自测1．下列求导过程中①⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2；②(x )′＝12x；③(log a x )′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ln a ′＝ 1x ln a；④(a x )′＝(eln a x )′＝(e x ln a )′＝e x ln a ln a ＝a xln a其中正确的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D2．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )．A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2) D ．3(x 2＋a 2)解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．答案 C3．(2011·湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )．A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析 本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力．y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin xsin x ＋cos x2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12.答案 B4．(2011·江西)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )．A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0) 解析 令f ′(x )＝2x －2－4x＝2x －2x ＋1x＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x ＜0或x ＞2，又x ＞0，所以x ＞2.故选C. 答案 C5．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝______；li mΔx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝________(用数字作答)．答案 2 －2考向一 导数的定义【例1】►利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处切线与曲线f (x )＝x 3的交点． [审题视点] 正确理解导数的定义是求解的关键．解 f ′(x 0)＝lim x →x 0 f x －f x 0x －x 0＝lim x →x 0 x 3－x 30x －x 0 ＝lim x →x 0 (x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20.曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0. 若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)； 若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量Δy ；(2)求平均变化率Δy Δx ；(3)求极限li mΔx →0 ΔyΔx. 【训练1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．证明 法一 设y ＝f (x )是奇函数，即对定义域内的任意x 都有f (－x )＝－f (x )f ′(x )＝li mΔx →0 f x ＋Δx －f x Δx则f ′(－x )＝li mΔx →0 f －x ＋Δx －f －x Δx＝li m Δx →0 f x －Δx －f x －Δx＝f ′(x )因此f ′(x )为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数． 法二 设y ＝f (x )是奇函数，即对定义域内的任意x 都有f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－f (－x )因此f ′(x )＝[－f (－x )]′＝－ [f (－x )]′＝f ′(－x ) 则f ′(x )为偶函数同理可证偶函数的导数是奇函数．考向二 导数的运算【例2】►求下列各函数的导数：(1)y ＝x ＋x 5＋sin xx2； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝11－x ＋11＋x；[审题视点] 先把式子化为最简式再进行求导． 解 (1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x －32＋x 3＋sin xx2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －32′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x －52＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)法一 y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)· (x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－12sin x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(4)y ＝11－x ＋11＋x＝1＋x ＋1－x1－r(x 1＋x)＝21－x， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－21－x ′1－x 2＝21－x2.(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础．(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导． 【训练2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x； (2)y ＝cos xsin x ；(3)y ＝e xln x ；(4)y ＝(x ＋1)2(x －1)． 解 (1)y ′＝nxn －1e x ＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x.(3)y ′＝e xln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋ln x .(4)∵y ＝(x ＋1)2(x －1)＝(x ＋1)(x 2－1)＝x 3＋x 2－x －1， ∴y ′＝3x 2＋2x －1.考向三 求复合函数的导数【例3】►求下列复合函数的导数． (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)．[审题视点] 正确分解函数的复合层次，逐层求导． 解 (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5， 由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′＝5u 4·2 ＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x . 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′＝12u －12(－1)＝－12u －12＝－123－x ＝3－x2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.(4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y x ′＝y u ′·u x ′y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程． 【训练3】 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋1； (2)y ＝sin 22x ； (3)y ＝e －xsin 2x; (4)y ＝ln 1＋x 2.解 (1)y ′＝12 x 2＋1·2x ＝x x 2＋1， (2)y ′＝(2sin 2x )(cos 2x )×2＝2sin 4x (3)y ′＝(－e －x)sin 2x ＋e －x(cos 2x )×2 ＝e －x(2cos 2x －sin 2x )．(4)y ′＝11＋x 2·121＋x2·2x ＝x1＋x 2.规范解答6——如何求曲线上某一点的切线方程【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题.这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致错误., 【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程.【示例】►(本题满分12分)(2010·山东)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．(1)求出在点(2，f (2))处的斜率及f (2)，由点斜式写出切线方程；(2)求f ′(x )，再对a 分类讨论．[解答示范] (1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)．所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，(1分)因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(3分)(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)．(4分)令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；(6分)②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1. a ．当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(7分)b ．当0＜a ＜12时，1a－1＞1＞0. x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a －1时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；(9分)c ．当a ＜0时，由于1a－1＜0，x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．(11分)综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减， 函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增， 函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞上单调递减．(12分)求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在．。
2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第一节变化率与导数导数的计算课件理
导数 f '(x)=⑥ 0 f '(x)=⑦ αxα-1 f '(x)=⑧ cos x f '(x)=⑨ -sin x f '(x)=⑩ axln a f '(x)= ex
1 x ln a f '(x)=
1 f '(x)= x
3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x) ; (2)[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x) ;
(4)因为(ln x)'= 1
x
,所以
1 x
'=ln x.
(×)
(5)y=cos 3x由函数y=cos u,u=3x复合而成. (√)
1.下列求导运算正确的是 ( )
A. x '=1x1+
1 x2
B.(log2x)'=
1 x ln 2
C.(3x)'=3xlog3e D.(x2cos x)'=-2sin x
x 0 x
②
lim
x 0
f (x0 x)f (x0)
. x
lim y x 0 x
(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f '(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处 的③ 切线的斜率 .相应地,切线方程为④ y-y0=f '(x0)(x-x0) . (3)函数f(x)的导函数
2
4.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)
2018年秋高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示] Δx ≠0，Δy ∈P .2．函数y ＝f (x )在x(1)定义式：lim Δx →0Δy Δx ＝x 0＋x －f x 0Δx实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 记作f ′(x 0)x 0＋－f x 0Δx.基础自测( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )【导学号：97792121】A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 D [Δ＝Δs Δt ＝3＋2.12－＋222.1－2＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难](2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图311，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________．图311__________． 2(1＋Δx )2－1－(2×12－1) ，v 3＝k BC . ＝3π－3π＝3π.∴Δv Δr ＝283π. [答案] (1)C (2)v 1<v 2<v 3 (3)283πfx 0＋－f x 0Δx.的值可正，可负，但Δx ≠0，Δ1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx )2＋3Δx ， ∴Δy Δx＝－Δx 2＋3ΔxΔx＝－Δx ＋3.]若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋t －，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] (1)先求Δs ，再根据v ＝ΔsΔt 求解．(2)先求Δs Δt ，再求lim Δx →0ΔsΔt .[解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)，2＋－sΔt＝lim Δx →0＋Δt 2－2×22Δt ＝lim Δx →0 (2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s －s 3－1＝2×32＋3－2＋2＝8(cm/s)．求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？ 提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．(1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值ΔyΔt ；②求t 1＝4时的导数． [思路探究] (1)求Δy →求Δy Δx →求lim Δx →0ΔyΔx (2)①Δy ＝f －f→ΔyΔt②求Δy →求Δy Δt →求lim Δt →0ΔyΔt [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12.[答案] 12(2)①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1.②lim Δx →0 Δy Δt ＝lim Δx →0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48，故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48.简称：一差、二比、三极限．取极限时，一定要把ΔyΔx 变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形3．求函数y ＝x －x在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1当Δx →0时，ΔyΔx →2，∴ 2.达 标·固 双 基](1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则B ．4x D ．4＋2(Δx )2[Δx＝Δx＝＋Δx 2－2Δx＝4＋2Δx .]2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt －4 C ．4 D ．－2Δt 2－4ΔtB [v ＝4－＋Δt2－－2×12Δt＝－4Δt －Δt2Δt＝－2Δt －4.]3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，则在t ＝2时的瞬时速度为__________.【导学号：97792123】8[s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s＋Δt－sΔt＝limΔt→0Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.]4．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.2[f′(1)＝limΔt→0f＋Δx－fΔx＝limΔt→0a＋Δx＋4－a＋Δx＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.]5．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[解] Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔt→0ΔyΔx＝limΔt→0(2Δx＋16)＝16.。
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1-3.1.2导数的概念优化练习新人教A版选修
2017-2018学年高中数学第三章导数及其应用 3.1 变化率与导数3.1.1-3.1.2 导数的概念优化练习新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.1.1-3.1.2 导数的概念优化练习新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1.1-3.1.2 导数的概念[课时作业][A组基础巩固]1．一物体的运动方程是s＝t＋错误!，则在t＝2时刻的瞬时速度是( ) A.错误! B.错误! C．1 D．2解析：Δs＝2＋Δt＋12＋Δt－2－错误!＝Δt－错误!错误!＝1－错误!t＝2时的瞬时速度为错误!错误!＝错误!错误!＝错误!。
答案：B2．若函数y＝f（x）在x＝1处的导数为1，则错误!错误!＝（）A．2 B．1 C。
错误! D.错误!解析：错误!错误!＝f′（1)＝1.答案：B3．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0）＝0，则点P的坐标为（) A．（1，10) B．(－1，－2）C．（1，－2）D．(－1,10）解析：错误!＝错误!＝错误!＝3Δx＋6x0＋6，∴f′(x0）＝错误!错误!＝错误!（3Δx＋6x0＋6)＝6x0＋6＝0，∴x0＝－1。
把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，得y＝－2。
∴P点坐标为（－1，－2）．答案:B4．物体自由落体的运动方程为：s（t）＝错误!gt2,g＝9.8 m/s2，若v＝错误!错误!＝9。
第3章 导数及其应用 第1节 导数的概念及运算、定积分
索引
考试要求
1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根 据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数； 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能 求简单复合函数(仅限于形如 y＝f(ax＋b)的形式)的导数；5.了解定积分的概念及 简单应用．
索引
感悟提升
1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导 数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直 于x轴，切线方程为x＝x0. 2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点 坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐 标是解题的关键.
索引
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一 导数的运算
1.下列求导运算不正确的是( A )
A.(sin a)′＝cos a(a 为常数)
C.(
x)′＝2
1 x
B.(sin 2x)′＝2cos 2x D.(ex－ln x＋2x2)′＝ex－1x＋4x
解析 ∵a为常数，∴sin a为常数，∴(sin a)′＝0，故A错误. 由导数公式及运算法则知B、C、D正确.
索引
角度2 求曲线的切点坐标
例2 (2019·江苏卷改编)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲 线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 __(_e，__1_)__，此时切线方程为____x_－__e_y_＝__0___.
2017年新课标版高考数学大第三章 导数及应用 3.1 变化率与导数课件 文
授人以渔
题型一 导数的概念
例1 利用导数定义求函数f(x)＝ x在x＝1处的导数．
【解析】
f′(1)＝
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝
1＋Δx－1 Δx
（ ＝
1＋Δx－1）（ 1＋Δx＋1） Δx（ 1＋Δx＋1）
＝ 1＋1Δx＋1＝12.
【答案】
1 2
探究1 (1)判断一个函数在某点是否可导就是判断该函数的
3．(2016·福建八县联考)函数f(x)＝excosx的图像在点(0，f(0))
处的切线的倾斜角为( )
π A. 4
B．0
3π C. 4 答案 A
D．1
解析 f′(x)＝excosx－exsinx，所以 f′(0)＝e0cos0－e0sin0＝1，
π 所以倾斜角 α＝ 4 .故选 A.
4．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第四象限，则函 数f′(x)的图像是( )
2．(2016·陕西检测)已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx
的一条切线，则m的值为( )
A．0
B．2
C．1 答案 B
D．3解析 因为直线y＝－x＋m是曲线＝x2－3lnx的切线，所以令
y′＝2x－ 3x ＝－1，得x＝1或x＝－ 32 (舍去)，即切点为(1，1)，又切
点(1，1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B.
题型二 导数运算
例2 求下列函数的导数： (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sinx； (3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝x2ln＋x1.
【解析】 (1)方法一：y＝(3x3－4x)(2x＋1) ＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4. 方法二：y′＝(3x3－4x)′·(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′ ＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2 ＝24x3＋9x2－16x－4. (2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
2018版高中数学第三章导数及其应用3.1.2瞬时变化率__导数一学案苏教版
x3．1.2 瞬时变化率——导数(一)学习目标1.理解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度．知识点一 曲线上一点处的切线思考 如图，当点 P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线 f (x )趋近于点 P (x 0，f (x 0))时，割线 PP n 的变化趋势是什么？梳理 可以用逼近的方法来计算切线的斜率，设 P (x ，f (x ))，Q (x ＋Δ x ，f (x ＋Δ x ))，则割线 PQ 的斜率为 k PQ ＝f x ＋Δ Δ x －f x.当 Δ x 无限趋近于 0 时，____________无限趋近于点 P (x ，f (x ))处的切线的________．知识点二 瞬时速度与瞬时加速度思考 瞬时速度和瞬时加速度和函数的变化率有什么关系？Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t时的(2)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率v t＋Δt－v t1⎛8⎫例1如图，已知曲线y＝x3上一点P 2，⎪，求：梳理(1)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移s(t)的平均变化率s t＋Δt－s t________________，即位移对于时间的________________．Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t时的________________，即速度对于时间的________________．知识点三函数的导数思考1函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？思考2导数f′(x)有什么几何意义？Δy 梳理设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值Δx＝________________无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x处________，并称常数A为函数f(x)在x＝x处的导数，记作________．类型一求曲线在某点处的切线斜率3⎝3⎭(1)点P处的切线的斜率；(1)当 t ＝2，Δ t ＝0.01 时，求 ；Δ t(2)点 P 处的切线方程．反思与感悟 解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想．即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当 Δ x 无限趋近于 0 时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率．跟踪训练 1 若曲线 f (x )＝x 2－1 在点 P 处的切线的斜率为 k ，且 k ＝2，则点 P 的坐标为__________．类型二 求瞬时速度、瞬时加速度例 2 已知质点 M 的运动速度与运动时间的关系为 v ＝3t 2＋2(速度单位：cm/s ，时间单位：s)，Δ vΔ t(2)求质点 M 在 t ＝2 s 时的瞬时加速度．反思与感悟 (1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”， 瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．Δ v(2)求瞬时加速度：①求平均加速度 ；②令 Δ t →0，求出瞬时加速度．跟踪训练 2 质点 M 按规律 s (t )＝at 2＋1 做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)．若质点M 在 t ＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s ，求常数 a 的值．Δy f x＋Δx－f xΔxΔx→f′(x)．ΔxΔx跟踪训练3利用定义求函数y＝x＋在x＝1处的导数．5．已知函数y＝f(x)在x＝x处的导数为11，则当Δx趋近于零时，类型三求函数在某点处的导数例3求函数y＝x在x＝1处的导数．反思与感悟根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)求平均变化率＝；Δy(3)得导数，当Δx→0时，Δy关键是在求时，要注意分式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用．1x1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为________．2．任一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．3．已知物体运动的速度与时间之间的关系：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间段[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则点P坐标为____________．f x－Δx－f xΔx无限趋近于常数________．1．曲线的切线斜率是割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率．2．瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度．提醒：完成作业第3章§3.1 3.1.2(一)梳理 f x ＋Δ x －f xΔ y f x 0＋Δ x －f x 0f x 0＋Δ x －f x 0Δ x梳理 f x 0＋Δ x －f x 0例 1解 (1)由 y ＝ x 3，得Δ y 3x ＋Δ x 3－ x 3Δ x Δ x3 Δ x＋ Δ x ＝ ×[3x 2＋3x Δ x ＋(Δ x )2]，Δ x答案精析问题导学知识点一思考 当点 P n 趋近于点 P 时，割线 PP n 趋近于确定的位置．这个确定的位置的直线 PT 称为过 点 P 的切线．Δ x斜率知识点二思考 瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率，瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率．梳理 (1)瞬时速度 瞬时变化率(2)瞬时加速度 瞬时变化率知识点三思考 1函数 f (x )在点 x 0 附近的平均变化率为Δ x ＝ Δ x，当 Δ x →0 时， →A ，A 就是 f (x )在点 x ＝x 0 处的导数，记作 f ′(x 0)．思考 2 f ′(x 0)的几何意义是曲线 y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．Δ xf ′(x 0)题型探究131 13 ＝ 可导1 3x 2Δ x ＋3x Δ x ＝ ×2 313Δ y当 Δ x 无限趋近于 0 时， 趋近于 x 2，即 y ′＝x 2.y ′|x ＝2＝22＝4.(2)在点 P 处的切线方程为 y － ＝4(x －2)，Δ t Δ tt ＋Δ t ＋2－Δ t ∴ Δ s＝4a ＋a Δ t .Δ tΔ x Δ xΔ x 当 Δ x →0 时， ＝ 无限趋近于 ，1＋Δ x ＋1∴y ＝ x 在 x ＝1 处的导数为 .跟踪训练 3解 ∵Δ y ＝(x ＋Δ x )＋ 1 － x ＋x ⎪即点 P 处的切线的斜率为 4.83即 12x －3y －16＝0.跟踪训练 1 (1,0)例 2解 Δ v v t ＋Δ t －v t ＝＝2 Δ tt 2＋＝6t ＋3Δ t .Δ v(1)当 t ＝2，Δ t ＝0.01 时， ＝6×2＋3×0.01＝12.03 (cm/s 2)．(2)当 Δ t 无限趋近于 0 时，6t ＋3Δ t 无限趋近于 6t ，则质点 M 在 t ＝2 s 时的瞬时加速度为12 cm/s 2.跟踪训练 2 解 ∵Δ s ＝s (2＋Δ t )－s (2) ＝a (2＋Δ t )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δ t ＋a (Δ t )2，Δ tΔ s当 Δ t →0 时， →4a .∵在 t ＝2 s 时，瞬时速度为 8 m/s ，∴4a ＝8，∴a ＝2.例 3 解 Δ y ＝ 1＋Δ x －1，Δ y 1＋Δ x －1 ＝＝1＋Δ x －Δ x 1＋Δ x ＋1＋Δ x ＋1＝.1＋Δ x ＋1Δ y1 1 212⎛ 1⎫x ＋Δ x ⎝ ⎭x x ＋Δ xΔ x x x ＋Δ x →1－ 2， x x ＋Δ xx＝Δ x －Δ x，∴ Δ y 1＝1－，从而，当 Δ x →0 时，1 1 1－∴函数 f (x )在 x ＝1 处的导数为 0.当堂训练1．8 2.3 3.4＋Δ t 4 4.(3,30)5．－11。
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2 400 (2)f′(x)＝6－ 2， （3x＋5） 2 400 令 f′(x)＝0，即 2＝6， （3x＋5） 25 解得 x＝5，x＝－ (舍去)． 3 当 0≤x<5 时，f′(x)<0， 当 5<x≤10 时，f′(x)>0， 故 x＝5 是 f(x)的最小值点， 800 对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70. 15＋5 所以，当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元．
提示：
根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在
该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应
最大值
．
[课前反思] 通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题？ ； (2)解决优化问题的基本思路是什么？ ；
讲一讲 1．某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广 场．如图，圆形广场的圆心为 O，半径为 100 m，并 与北京路一边所在直线 l 相切于点 M.点 A 为上半圆 弧上一点，过点 A 作 l 的垂线，垂足为点 B.市园林 局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为 S(单位：m2)， ∠AON＝θ(单位：弧度)．
(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边 形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用 变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值． (2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、 体积，在此基础上解决与实际相关的问题．解决此类问题必 须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由 简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆 分或组合，以便简化求值过程．
(2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝6 2x(20－x)． 由 V′＝0 得 x＝0(舍)或 x＝20. 当 x∈(0，20)时，V′＞0；当 x∈(20，30)时，V′＜0. 所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值． 1 h 1 此时 ＝ ，即包装盒的高与底面边长的比值为 . a 2 2
实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时 间等都需要利用导数求解相应函数的最小值， 此时根据 f′(x) ＝0 求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后， 函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就பைடு நூலகம்所 求函数的最小值．
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时， 总费用 f(x)达到最小， 并求最小值．
[尝试解答] (1)由题设，隔热层厚度为 x cm，每年能源消 k 耗费用为 C(x)＝ ，再由 C(0)＝8，得 k＝40， 3x＋5 40 因此 C(x)＝ . 3x＋5 而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 40 800 f(x) ＝ 20C(x) ＋ C1(x) ＝ 20× ＋ 6x ＝ ＋ 3x＋5 3x＋5 6x(0≤x≤10)．
第 1 课时 变化率问题、导数的概念
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲， 预习教材 P101～P104 的内容， 回答下列问题． 某厂家计划用一种材料生产一种盛 500 ml 溶液的圆柱形易 拉罐．
(1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？ 提示： 计算出圆柱的表面积即可 ．
(2)如何制作使用材料才能最省？ 提示： 要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆 1 000 2 柱的底面半径为 x，列出圆柱表面积 S＝2πx ＋ (x x
练一练
1．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角 形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图中的点 P， 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F 在 AB 上，是被切去 的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设 AE＝FB＝x(cm)．
讲一讲 2． 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗， 房屋的屋顶和 外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热 层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能 源消耗费用 C(单位： 万元)与隔热层厚度 x(单位： cm)满足关系： k C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 3x＋5 8 万元， 设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．
＞0)，求 S 最小时，圆柱的半径、高即可． .
2．归纳总结，核心必记 (1)优化问题 生活中经常遇到求 利润最大 、 用料最省 、效率最高 等 问题，这些问题通常称为优化问题． (2)解决优化问题的基本思路
函数
导数
[问题思考] 在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函 数在该点处取最值吗？
(1)将 S 表示为 θ 的函数； (2)当绿化面积 S 最大时， 试确定点 A 的位置， 并求最大 面积．
[尝试解答] (1)BM＝AOsin θ＝100sin θ， AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)． 1 1 则 S＝ MB· AB＝ × 100sin θ× (100＋100cos θ) 2 2 ＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．
(2)S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令 S′＝0， 1 得 cos θ＝ 或 cos θ＝－1(舍去)， 2 π 此时 θ＝ . 3 当 θ 变化时，S′，S 的变化情况如下表：
π 所以，当 θ＝ 时，S 取得最大值 Smax＝3 750 3 m2，此时 AB 3 ＝150 m，即点 A 到北京路一边 l 的距离为 150 m.
(1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应 取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大， 试问 x 应取何 值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：设包装盒的高为 h(cm)，底面边长为 a(cm)． 60－2x 由已知得 a＝ 2x，h＝ ＝ 2(30－x)，0＜x＜30. 2 (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当 x＝15 时，S 取得最大值．