控制工程 第二章
控制工程基础第二章参考答案
第二章 参考答案2-1 （1） 不是 （2） 是 （3） 不是 （4） 不是 2-2 (a))()()(3)(2222t u t u dtt du RC dt t u d C R i o o o =++ (b) )()()()()()()()(2211222121222111222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (c ) )()()()()()(33221312221t u R dtt du C R R t u R R dt t du C R R R R R i i o o +=++++(d))()()()()()()()(1211222121211211222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (e))()()()()()()()(221222121211222222121t u dtt du R C C dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (f) )()()()()()()(22121221t u R dtt du L t u R R dt t du L C R R dt t u d CL R i i oo o +=++++ 2-3 (a) )]()([)()()(23213121t u R dtt du C R R t u R dt t du C R R R R i i o o +=++－(b) )()()()(4141232022213210t u R R t u R R dt t du C R R R dt t u d C C R R R R i o o o －=++ (c))]()()([)(32321t u R R dtt du C R R t u R i i o ++=－(d) )()()()()(221122212121t u dt t du C R C R dt t u d C C R R dt t du C R i i i o +++=－ (e) )()()()(2412222142t u dtt du C R C R dt t u d C C R R o o o +++ )}()(])([)({21213224223221432132t u dtt du R R C C R R C R dt t u d R R C C R R R R R R i i i +++++++=－ 2-4 (a) dt t dx f dt t dx f f dt t x d m i o o )()()()(12122=++ (b) dt t dx f k t x k k dt t dx f k k i o o )()()()(12121=++ (c) )()()()()(121t x k dt t dx f t x k k dt t dx f i i o o +=++ (d) )()()()()()(112121t x k dtt dx f t x k k dt t dx f f i i o o +=+++2-5 (a))(1)()()()(1)()()(2112212221211*********t u C C dt t du C R C R dt t u d R R t u C C dt t du C R C R C R dt t u d R R i i i o o o +++=++++ (b))()()()()()()()(2112212221211211212221t x k k dtt dx k f k f dt t x d f f t x k k dt t dx k f k f k f dt t x d f f i i i o o o +++=++++ 由(a)(b)两式可以看出两系统具有相同形式的微分方程，所以(a)和(b)是相似系统。
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1、机械平移系统（即m、c、k系统）
第二章 传递函数
原则：根据牛二定律列写相应的动力学方程
y(t)
质量m
m
Fm m(t ) y
y2
弹簧k
y1
k
压弹簧：Fk=k(y1-y2) 拉弹簧： Fk=k(y2-y1)
压：说明y1要大于y2，这才有压的效果 其中y1与y2之差为弹簧的净形变量
阻尼c
y1 c y2
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
X0(t)——系统输出
bm X i( m) (t ) + bm1 X i( m1) + … + b0 X i (t )
Xi(t)——系统输入
3．根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t)的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
第二章 传递函数
一、定义
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t )
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
at
sa
2
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 L 若[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF ( s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 (3) 积分性质 则 若 L[ f (t )] F ( s )
该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质 量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。
-
机械旋转系统
• [例2]：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械 旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移 θ(t)为输出信号的数学模型。
M
J
θ
f
解：
1）确定输入量、输出量
M J θ f
F(t) m f
K x(t)
图 2 2 机 械 系 统
d 2x 3）由牛顿第二定律写原始方程： F F (t ) Fk (t ) F f (t ) m 2 dt dx Fk (t ) kx F f (t ) f 4）写中间变量与输出变量的关系式： dt 2 d x dx 5）将上式代入原始方程消中间变量得： m 2 kx f F (t ) dt dt m d 2 x f dx 1 x F (t ) 6）整理成标准型： 令 T2 m T f 2 k dt k dt k m f 2 k k dx 1 2 d x 则方程化为： Tm dt 2 T f dt x k F (t )
第二章 控制系统的数学模型
导 为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模 型。 读
控制工程基础第2章答案
第2章系统的数学模型（习题答案）2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、 特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间 模型等。
2.2什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是 它满足叠加原理。
2.3图（题2.3）中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程 ,图中X i 表示输入位移,X o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。
V.)题图2.3解：①图（a ）:由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得于是传递函数为CJAlX® 二q越JK+C J+Q②图(b):其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为X,方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x,可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c):以.的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程:移项整理得系统微分方程屮(K+陥鴛+辭对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为I.(s)2.4试建立下图(题图2.4)所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点， 其中电压U r (t)和位移X r (t)为输入量；电压U c (t)和位移X c (t)为输出量；k ,k i 和k 2为弹簧弹 性系数；f 为阻尼系数。
题图2.4【解】：(a)Ur= C Jdt + u cUc = R i消去中间变量， 整理得：RC dU c +u c dt"du r =RC rdt方法二：U c (s )RRCs“du c 丄 “du r 二RC + u c = RCdt cdtU r (S )R +1RCs + 1方法设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组:CsX r (t) X c (t)U c (t)CR i(b)k ik 2X r (t)X c (t) (d)R 2 U r (t)C(c)(b)由于无质量，各受力点任何时刻均满足 a F =0,则有:题图2.5【解】:可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。
控制工程基础第2章
yky1不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。 又例如：元件的数学模型为：
y(t ) y(t ) x(t ) 线性元件
元件的数学模型为：
y(t ) y(t ) x(t ) b 不是线性元件
• 2.重要特点：对线性系统可以应用迭加性和 齐次性，对研究带来了极大的方便。 迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和 干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几 个外作用单独求响应，加起来就是总响应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时， 其响应的数值也增加若干倍。就可以采用单 位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位 斜坡等）对系统进行分析——简化了问题。
duC (t ) i (t ) C dt 由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)
duC (t ) d uC (t ) ur (t ) RC LC uC (t ) 2 dt dt
2
整理成规范形式
(t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t ) 即LCuC
0
lim
0
2 2 1 1 s s s (1 e ) lim (1 1 ) 1 s 1! 2! 0 s
例2-6.求指数函数
0 at st
f (t ) e
0 ( a s ) t
at
的拉氏变换
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换 L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
《控制工程基础》第二章
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-6 下图所示为一电网络系统，其输入为电压u(t)， 输出为电容器的电量q(t)，列写该系统微分方程。
L
R
解：根据克希荷夫电压定律，得
u
i
C
u(t)Ldd(ti)tR(ti)C 1i(t)dt
∵
i(t) dq(t) dt
消去中间变量i(t)，并整理得，
轴平移了时间T。 例 求f(t)＝ 1 － 1 1(t-T)的拉氏变换
TT
4. 微分定理
若L[f(t)]＝F(s)，则有L[ df ( t ) ]＝s F(s) - f(0)
初始状态为0时，L[
d
n
d
f
n
( t
t
)
dt
]＝
s
n
F(s)
第二章 系统的数学模型 2.3 拉氏变换与拉氏反变换
5. 积分定理
解： 1)明确系统的输入与输出，
f( t) k
输入—f(t) ， 输出—x(t)
m
2)进行受力分析，列写微分方程，
cx ( t) f(t) kx(t) 利用 Fma，得
图2-1
பைடு நூலகம்
m f( t ) k ( t ) x c x ( t ) m x ( t )
c· x(t)
3)整理微分方程，得
m x ( t ) c x ( t ) k ( t ) x f ( t )
本章教学大纲
1. 掌握机械、电气系统微分方程的建立方法； 2. 了解非线性方程的线性化； 3. 熟悉拉氏变换及反变换、线性定常微分方程的解法； 4. 掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数； 5. 掌握系统传递函数方框图的化简。 教学重点：微分方程建立、传递函数概念与求法、典
控制工程基础第2章
xo (t ) cos t xi (t )
2 3 x ( t ) x ( t ) x ( t ) 2 x ( t ) 5 x （4） o o o o i (t )
非线性
本课程涉及的数学模型形式
时间域：微分方程（一阶微分方程组）、
差分方程、状态方程
复数域：传递函数、结构图
其中f(0)是函数f(t)在自变量t=0的值，即初始值。 可推广到n阶
d n f (t ) n n 1 n2 L s F ( s ) s f (0) s f (0) n dt f ( n1) (0)
当初始条件为0时，即 则有 L f (t ) sF (s)
小 结
物理本质不同的系统，可以有相同的数学 模型，从而可以抛开系统的物理属性，用 同一方法进行具有普遍意义的分析研究。
通常情况下，元件或系统微分方程的阶次 等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅取 决于系统的结构及其参数。
三、拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是控制工程中的一 个基本数学方法，其优点是能将时间 函数的导数经拉氏变换后，变成复变 量s的乘积，将时间表示的微分方程， 变成以s表示的代数方程。
拉氏变换的性质
3、复数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s)，对于任 一常数a（实数或复数），有
L[e f (t )] F(s a)
at
4、微分定理
设f(t)的拉氏变换为F(s)，则
df (t ) L[ ] L[ f ' (t )] sF ( s ) f (0) dt
频率域：频率特性
二、系统微分方程的建立
建立微分方程的步骤：
控制工程基础第二章-3
Uo ( s ) R2 G( s ) K Ui ( s ) R1
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
惯性环节
凡运动方程为一阶微分方程：
d T xo ( t ) xo ( t ) Kxi ( t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
Xo( s ) K G( s ) X i ( s ) Ts 1
运动方程为：
式中，T—微分环节的时间常数
在物理系统中微分环节不独立存在，而是和 其它环节一起出现。
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
无源微分网络
1 ui ( t ) i ( t )dt i ( t )R C uo ( t ) i ( t )R
RCs Ts G( s ) , T RC RCs 1 Ts 1
G( s ) K 1 C , T Cs K Ts 1 K
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
微分环节 输出量正比于输入量的微分。
dx i (t ) x o (t ) T dt X o ( s) 传递函数为： G ( s) Ts X i ( s)
t
0
xi ( t )dt
传递函数为： G( s )
Xo( s ) 1 X i ( s ) Ts
式中，T—积分环节的时间常数。
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
积分环节特点：
.输出累加特性； .输出的滞后作用； .记忆功能。
如当输入量为常值 A 时，由于：
1 t 1 xo (t ) 0 Adt At T T
控制工程基础第二章 数学基础
主要用于解微分方程和求传递函数
例
ay(t ) by(t ) cy (t ) f (t )
若初始条件为零，则：
F ( s ) as Y ( s ) bsY ( s ) cY ( s )
2
5）积分定理
设 f t F s ，则
t F s 1 1 L f t dt f 0 0 s s
例 已知 f (t ) sin ktdt
k 为实数，求 f (t ) 的拉氏变换。
解：根据拉氏变换的积分性质得
L f (t ) L sin ktdt
1 k L sin kt 2 2 s s(s k )
6）终值定理：若函数f(t)的拉氏变换为F(s)
lim f t lim sF s
1. 拉氏变换的定义
函数f(t)，t为自变量，如果线性积分 记为F(S)或L[f(t)]，即为：
L f t F S f t e st dt
0
0
f t e st dt
存在，则称其为函数 f(t)的拉普拉斯变换。
式中： S为复数，s j f(t)为原函数，F(S)为象函数
第二章 数学基础-拉普拉斯变换
拉氏变换与反变换
本节的重点： Ø 常见函数的拉氏变换 Ø 拉氏变换的运算规则 Ø 基于分部积分法的拉氏反变换
• 本节的难点： Ø 拉氏变换严格的数学推导与变换
问题的引入
d 2x dx m 2 f k x y t dt dt
如此时将y(t)改变为一时变作用力，那么运动状态时又如何分析呢？
由于 s ja 是 sF ( s) 的奇点，位于虚轴上，不能 应用终值定理，既 f ( ) 不存在。 注意：当 f (t ) 是周期函数，如正弦函数sinω t 时，由于它 没有终值，故终值定理不适用。
控制工程第二章线性系统的数学描述1
3. 控制系统中常见的三类数学模型 ➢ 输入输出描述，或外部描述 • 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的 关系表达出来。 微分方程、传递函数、频率特性和差分方程 。
➢ 状态空间描述或内部描述 不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且 还可以描述系统的内部特性。 它特别适用于多输入、多输出系统， 也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统
解 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为 di(t) 1
L dt C i(t)dt Ri(t) ui (t)
1
C i(t)dt uo (t)
消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关 系的微分方程
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t )
ui
(t )
也可以写为
T1T2
d 2uo (t) dt 2
T2
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
其中：T1 L R ， T2 RC 。 这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的
系统称为二阶线性定常系统。
➢ 例: 下图表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机 械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量，位移 y(t) 是 系统的输出量。试确定系统的微分方程。
转动惯量J 粘滞摩擦系数f
扭转系数k
角位移
角速度
RLC串联网络 电压u 电感L 电阻R
电容的倒数1/C 电荷q 电流i
*非线性微分方程的线性化
➢ 为什么要研究非线性方程的线性化问题？ 系统、元件非线性特性的普遍存在性； 精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方 程； 高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般 形式的解，这给研究系统带来理论上的困难； 线性微分方程理论比较成熟。
控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
《控制工程基础》课件-第二章
4/21/2023
27
第二章 数学模型
非线性数学模型的线性化
➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
4/21/2023
1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(
x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
4/21/2023
20
第二章 数学模型
➢ 线性系统与非线性系统
线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
线性是指系统满足叠加原理，即：
✓ 可加性： f ( x1 x2 ) f ( x1) f ( x2 )
K
J TC(t)
柔性轴 齿轮
粘性液体 C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
4/21/2023
12
第二章 数学模型
TK (t) Ki (t) o (t)
TC
(t)
C
d dt
o
(t
)
J
d2 dt 2
o (t)
TK
(t) TC (t)
J
d2 dt 2
o (t)
C
d dt
y
f (x10,
x20
)
f x1
f
x1 x10 x2 x20
( x1
x10 )
x2
( x2
控制工程第二章_控制系统的数学基础和数学模型
第二章控制系统的数学基础和数学模型基本要求1.掌握拉氏变换、拉氏反变换的定义、定理。
2.了解数学模型的基本概念。
能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电网络系统的微分方程。
3.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零、极点。
4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。
5.掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。
掌握干扰作用下，系统传递函数的求法和特点。
6.了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。
7.了解相似原理的概念。
本章重点1.拉氏变换定理。
2.列写系统的微分方程。
3.传递函数的概念、特点及求法。
4.典型环节的传递函数。
5.系统的方框图及其化简。
本章难点1.列写系统微分方程。
2.系统的方框图及其化简。
∞ 2.1 拉普拉斯(L a p l a c e )变换2.1.1 拉氏变换概述1.拉氏变换的定义F (s ) = L [ f (t )] = ⎰0f (t )e -std tf (t )：原函数（实域、时间域） F (s )：象函数（s 域、复数域） s ：复变量，s=σ+j ωe - st: 拉氏算子j ω[s]σδ ( t )e -atsin ωtcos ωt2.基本函数的拉氏变换1tkttttu ( t ) r ( t )x i ( t ) k 序号原函数 f (t ) 象函数F (s )1 单位脉冲函数 δ (t ) 12单位阶跃函数 1(t ) 1 s 3 K常数k s4t 单位斜坡函数1 s2 5 tnn ! s n +16 e- at1 s + a7sin ωtω s 2 + ω 28cos ωts s 2 + ω 22.1.2 拉氏变换的主要性质1.线性性质设L [f 1(t )]=F 1(s )，L [f 2(t )]=F 2(s )，k 1，k 2为常数 ，则L [k 1 f 1 (t ) + k 2 f 2 (t )] = k 1L [ f 1 (t )] + k 2 L [ f 2 (t )]= k 1F 1 (s ) + k 2 F 2 (s )2.微分性质若L [f (t )]=F (s )，且f (0)=0，（初始条件为零）则L [ df (t )] =sF (s ) dt3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则L[⎰ f (t )dt ]= 1 F (s)s4.平移定理若L[[f(t)]=F(s)，]则L ⎰e-a t f (t)dt =F (s +a)5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f (0+) = limt →0 f (t) = lim s ⋅F (s)s→∞∞6.终值定理若L [f (t )]=F (s )，则有f (∞) = lim t →∞f (t ) = lim s ⋅ F (s )s →07.延迟定理若L [f (t )]=F (s )，对任一正实数a ，则有L [ f (t - a )]= ⎰0f (t - a )e -st d t = e -as F (s )2.1.2 拉氏变换的主要性质1.线性性质设L [f 1(t )]=F 1(s )，L [f 2(t )]=F 2(s )，k 1，k 2为常数 ，则L [k 1 f 1 (t ) + k 2 f 2 (t )] = k 1L [ f 1 (t )] + k 2 L [ f 2 (t )]= k 1F 1 (s ) + k 2 F 2 (s )2.微分性质若L [f (t )]=F (s )，且f (0)=0，（初始条件为零）则L [ df (t )] =sF (s ) dt3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则L[⎰ f (t )dt ]= 1 F (s)s4.平移定理若L[[f(t)]=F(s)，]则L ⎰e-a t f (t)dt =F (s +a)5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f (0+) = limt →0 f (t) = lim s ⋅F (s)s→∞∞6.终值定理若L [f (t )]=F (s )，则有f (∞) = lim t →∞f (t ) = lim s ⋅ F (s )s →07.延迟定理若L [f (t )]=F (s )，对任一正实数a ，则有L [ f (t - a )]= ⎰0f (t - a )e -st d t = e -as F (s )2.1.3拉氏反变换定义:f(t)=L-1[F(s)],将象函数变换成原函数s：复变量F(s)：象函数（s 域、复数域）f(t)：原函数（实域、时间域）2.2系统的数学模型数学模型就是描述系统的输出、输入与系统本身结构与参数之间的数学表达式。
现代控制工程二
u
i 0
1
x1 x2
11
措施2：
选用
x1
ec
1 c
idt
x2 i
为状态变量x1Fra bibliotek1 c
i
1 c
x2
x2
di dt
1 L
x1
R L
x2
1 L
u
i=x2
即
x1 x2
0
1 L
1 C R L
x1 x2
0 1 L
u
i 0
1
x1 x2
12
措选施用3：x1 Li R idt x2 idt
不失一般性，假定电容器初始电压值均为0，有
8
x2
c3 c2 c3
x1
x3
c2 c2 c3
x1
所以，只有一种变量是独立旳，状态变量只能选其中一种，即用其中旳任意一种变 量作为状态变量便能够拟定该电路旳行为。实际上，三个串并联旳电容能够等效为一 种电容。
对图（b） x1 = x2，所以两者有关，电路只有两个变量是独立旳，即（x1和x3）或 (x2和x3)，能够任用其中一组变量如（x2，x3）作为状态变量。
3、动态方程对于系统旳描述是充分旳和完整旳，即系统中旳任 何一种变量均可用状态方程和输出方程来描述。 例1－1 试拟定图8-5中（a）、（b）所示电路旳独立状态变量。图中u、i分别是是输入
电压和输入电流，y为输出电压，xi为电容器电压或电感器电流。
x3
解 并非全部电路中旳电容器电压和电感器电流都是独立变量。对图8-5（a），
18
2.4 状态方程旳建立
2-4-1 由系统旳高阶微分方程导出 2-4-2 由传递函数导出 2-4-3 状态变量图法 2-4-4 离散系统旳状态空间描述 2-4-5 由状态空间体现式求取传递函数（矩
控制工程基础2章-1
例题
i2
Ui(t) 为输入电压，Uo(t) 为输 出电压，试列写其关于输入输出的 微分方程模型。
Ui
R2
i1
R1 A
i3 － K0 ＋ C Uo
解：对理想放大器，K0值很大 又 Uo(t) = -K0UA(t) ∴ UA(t) = -Uo(t) / K0 ≈ 0 对点建立节点电流方程
i1 t i2 t i3 t i1 t ui (t ) R1 uo (t ) i2 t R2 i3 t C uo (t )
yo(t) yo(t) Fi(t)
K
M c
d 2 yo (t ) dyo (t ) Fi (t ) M c kyo (t ) 0 2 dt dt d 2 yo (t ) dyo (t ) M c kyo (t ) Fi (t ) 2 dt dt
2、机械旋转系统
如图所示旋转系统，回转体通过柔性轴（用扭转弹簧K表 示）与齿轮连接，回转体的粘性摩擦系数为B。设齿轮扭转转 角为系统输入量，回转体扭转角为系统旋转体转角输出量。
1 h h0 h 忽略二阶以上项，且令 h - h0 = Δh，则 2 h0 d (h h0 ) 1 将 h = h0 +Δh代入原方程 A ( h0 h) qi 0 qi dt 2 h0
∵平衡时
qi 0 qc 0 h0 ，整理即可得
这就是液位系统的线性增量微分方程
二、数学模型的种类 常用的动态数学模型有：微分方程、差分方程、传递函数 、脉冲响应函数、状态空间模型和动态结构图等。
三、数学模型的建立方法
解析法——根据实际系统各环节所遵循的物理化学规律列出 描述这些变化规律的数学表达式，经整理得到相 应的数学模型。 实验法——指对系统加入激励信号，测出其响应信号，然后 分析、拟合、辨识系统的数学模型。 本章注重讨论解析法建立物理系统的数学模型。
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实际系统具有非线性 非线性理论不完善 非线性系统不适合于叠加原理 系统简化：非线性因素影响很小时可以忽略 切线法：系统变量发生微小偏移时
线性化的可能性（如何线性化）
应用举例
系统简化
(t ) Ti (t ) mglsin o (t ) ml o
2
sin o o
(t ) mgl ml o (t ) Ti (t ) o
单位阶跃函数 指数函数 正弦函数与余弦函数 幂函数
例2.3求单位阶跃函数 解：
f (t ) 1(t )
的象函数。
st st L[1(t )] 1(t )e dt e dt 0 0
1 st 1 e 0 s sபைடு நூலகம்
列写微分方程的步骤
划分环节，确定系统的输入量和输出量 根据系统所遵循的基本定律，依次列写
出各环节的方程 消中间变量，得到只含输入、输出量的 标准形式
3 微分方程的线性化
线性系统：系统的数学模型表达式为线性。 非线性系统：用非线性方程描述的系统。 线性化的必要性（为什么线性化）
n
i1 i2
i3 i4
8
基尔霍夫电压定律
（Kirchhoff's voltage law ）
在集总参数电路中，任一时刻，对任意回 路，按一定方向绕行一周，回路中各支路 电压的代数和为零。即：
u t 0
k 1 k
9
m
例2.1 如图RLC电路，试列写以ur(t)为输 入量，uc(t)为输出量的网络微分方程。
st 解： L[ (t )] 0 (t )e dt 0 st (t )e dt 0
(t )e 0 0
s 0
dt 1
常用信号的拉氏变换（P410）
（单位）脉冲函数 （单位）阶跃函数 指数函数
(t )
1 ( t)
1
1 S
时间域：微分方程、差分方程和状态方程 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性
2 控制系统的微分方程
研究对象
机械系统
直线运动 旋转运动
电气系统 流体系统
实例
–质量-弹簧-阻尼系统 –无源电路网络 –有源电路网络 –电枢控制直流电动机
质量-弹簧-阻尼系统（牛顿第二定律）
重复应用导数性质,可以推论二阶,直至 n 阶导数的象函数为：
L[ f ' ' (t )] s 2 F (s) sf (0 ) f ' (0 )
L[ f (t )] s F (s) s
n n
n1
f (0 ) s
n2
f (0 )
f n1 (0 )
例2.6
有理分式的拉氏反变换
N (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm F ( s) n (n m) n 1 D(s) s a1s an1s an
化成典型函数的象函数叠加的形式，根据拉氏变换表， 即可写出相应的原函数。 两个概念
x(t ) * y(t ) x(t ) y( )d ,
0
L[ x(t ) * y(t )] X (s)Y (s)
4 拉氏变换的反变换
Inverse Transforms
1 a j st f (t ) F ( s)e ds 2j a j f (t ) L1[ F ( s)]
其他函数
dX ( s) L[tx(t )] ds
x(t ) L X ( s)ds t s
n d X ( s) n n L[t x(t )] (1) dsn
x(t T ) x(t ),
t
1 L[ x(t )] 1 e sT
T
0
x(t )e sT dt
基尔霍夫电流定律
（Kirchhoff’s current law）
在集总参数电路中，任一时刻，流入任意 节点的电流之和等于流出该节点的电流之 和。数学表示为：
i t i t
入 出
若流出节点的电流规定为正，流入节点的电 流为负，则可以表示为：
i t 0
k 1 k
0
x(t )e dt
st
S是一个具有正实部的复变数，ReS>0
拉氏变换存在的条件
t>0时，x(t)对于任何t都有固定单值，且分段连续； t<0时，x(t)=0 定义式中积分有界：
即
0
x(t )e dt
t
，其中为正实数，且 Re S
原函数和象函数
2 简单函数的拉氏变换
微分定理(Time Differential)
d L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0 ) dt dn L[ n f (t )] s n L[ f (t )] dt s n 1 f (0 ) s n 2 f ' (0 ) sf ( n 2) (0 ) f ( n 1) (0 ) dn n L[ n f (t )] s L[ f (t )] dt
e
t
1 sa
幂函数
正弦函数 余弦函数
t
n
sin(t) cos(t)
s2 2 s s2 2
n! s n 1
3 拉氏变换的性质
•叠加原理
•微分定理
•积分定理
•衰减定理
•延时定理
•终值定理
•时间比例尺度的改变
叠加原理（线性性质 Linear Properties）
L[af1 (t ) bf2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
例2.4求指数函数
t
f (t ) e
t
的象函数。
t st 解： L(e ) e 0 e dt ( s ) t ( s )t e e dt ( s ) 0 0
1 s
例2.5 求单位脉冲函数
f (t ) (t ) 的象函数。
(t )
D(s) s 2 5s 6 0 的根为 p1 2, p2 3,
4s 5 F ( s) (s 2)(s 3)
1 2 s2 s3
(1 2 ) s 31 2 2 2 s 5s 6
1 2 4 31 2 2 5
解得
1 3 2 7
3 7 这样 F ( s ) s2 s3
f (t ) (3e
2t
7e
3t
) 1(t )
留数法
m m 1 b s b s bm 1s bm N ( s) 0 1 F ( s) n n 1 D( s ) s a1s an 1s an
m m 1
1
s p1
1
2
s p2
n1
s pn 1
p2 t
n
s pn
pn t
f (t ) L [ F (s)] 1e
p1t
2e
n e
例
解：
4s 5 求 F ( s) 2 的原函数 f s 5s 6
（零初始条件）
证明
d d st L[ f (t )] f (t )e dt e st df (t ) 0 dt 0 dt
e
st
f (t ) f (t ) d (e st )
0 0 0
f (0 ) s f (t ) e st dt sL[ f (t )] f (0 )
§2.1 系统的数学模型
系统的模型
实物模型：实际系统的比例缩放 物理模型：对实物模型的简化或抽象 数学模型：物理模型的数学描述
三者之间的关系：物理模型来源于实 物模型，其简化程度影响着数学模型 的建立。
1 数学模型概述
概念：描述系统输入、输出量以及内部各变量 之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及 参数与性能之间的内在联系。 分类：数学模型包括稳态模型和动态模型 表示方法：
as
终值定理(Final-value Theorem)
lim
t
f (t ) lim sF ( s)
s 0
当f(t)为周期函数时，终值定理失 效
初值定理(Initial-value Theorem)
lim
t 0
f (t ) lim sF ( s)
s
时间比例尺度的改变
t L[ f ( )] aF (as ) a
f 2 (t ) (t ) 的象函数。
(b)
d 由于 (t ) 1(t ), 所以 dt
1 L[ ( t )] s 0 1 s
积分定理
L[ f (t )] f 1 (0 ) L[ f (t )dt] s s
例2.7
利用积分性质求单位斜坡函数
控制工程基础
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
Mathematical Models of Control Systems
§2.1 系统的数学模型 §2.2 拉氏变换及其反变换 §2.3 传递函数 §2.4 典型环节的传递函数 §2.5 系统的方块图及其联接 §2.6 绘制实际物理系统的函数方框图 §2.7 应用MATLAB确定系统模型