2018高中数学初高中衔接读本专题2.2根与系数的关系韦达定理高效演练学案_1103
4.根与系数的关系—初高中衔接课程
根的判别式、根与系数的关系一、教学目标1、掌握一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式。
2、掌握一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根与系数的关系，即韦达定理。
二、重难点1、重点：根与系数的关系。
2、难点：根的判别式、根与系数的关系的综合应用，即解决带有字母参数的一元二次方程。
三、导入导学一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 一定有实数根吗？如何判断？如果有实数根，它的根与系数c b a ,,有怎样的关系？填空：1、根的情况：(1)0>∆，则_________________________________________.(2)0=∆, 则__________________________________________.(3)0<∆， 则_________________________________________.2、有实数根（0≥∆），=1x ________________,=2x ____________________3、韦达定理：=+21x x __________________,=21x x ___________________.4、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的变形：)0(02≠=++a c bx ax 0)(0212122=++-⇔=++⇔x x x x x x x x a c a b0))((21=--⇔x x x x三、议一议类型1 利用韦达定理求代数式的值例1 若21,x x 是方程01722=-+x x 两根，试求：(1) 2221x x + (2) 3231x x + (3) 21x x -例2 已知m,n 是方程0522=-+x x 的两根，求：代数式n m mn m ++-32的值类型2 韦达定理的逆应用例3 已知实数21,x x 满足821=+x x ，1221=x x ，以21,x x 为根的一个一元二次方程可以是_____________________________________.类型3 根的判别式、根与系数的关系的综合应用，即解决带有字母参数的一元二次方程。
初高中数学衔接课程讲义-新高一数学讲义 韦达定理专题
新高一数学讲义 韦达定理专题【知识点睛】1、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =，则有 122222b b b b x x a a a a ---+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．注意：韦达定理应用的前提是0≥∆补充定理：||||21a x x ∆=-【例题精讲】【例题1】已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．【例题2】关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．【例题3】已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．【例题4】一元二次方程042=+-a x x 有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围.【巩固练习】1、下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ）（A ）1个 ; （B ）2个 ; （C ）3个 ; （D ）4个.2、已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．3、若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．4、若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．【学习巩固】【练习1】（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ；（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ;（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ；（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．【练习2】 一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且【练习3】 若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为 ( )A ．2B ．2-C ．12D ．92【练习4】 若方程22(1)30x k xk -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．【练习5】 设12,x x 是方程20x p x q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x q x p ++=的两实根，则p = ____ ，q = _____ ．【练习6】求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数.【练习7】 已知关于x 的一元二次方程2(41)210x mx m +++-=．(1) 求证：不论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．【练习8】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求：x 13＋x 23．【练习9】已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．【练习10】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由; (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．【家庭作业】【练习1】（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于；（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是.【练习2】已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A（B）3 ；（C）6；（D）9.【练习3】已知关于x的方程22(2)04mx m x---=．（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．。
初升高数学衔接班教案(教师版)韦达定理的运用
方程与方程组以及不等式韦达定理一、 【归纳初中知识】1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。
2、对于任意的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，通过判别式ac b 42-=∆能够判断其方程解的个数。
二、 【衔接高中知识】我们已经知道)0(02≠=++a c bx ax 如果有两个解，则其分别为； a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= 则我们可以得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 上面揭示了二次方程的根与系数c b a ,,之间关系的等式我们叫做韦达定理，韦达定理在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。
反之，若21,x x 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a cx x a b x x 2121，则我们可以说21,x x 一定是)0(02≠=++a c bx ax 的两个解，这叫做韦达定理的逆定理。
三、 【例题精讲】例1：若21,x x 是0122=-+x x 的两个根，求：（1）2221x x +；（2）222111x x +；（3）21x x -；（4）3231x x +,. 解析：略，注意ax x x x x x ∆=-+=-21221214)(例2：任意写出一个二次方程，使得它的两个根分别为5-和32. 解析：0)32)(5(=-+x x 或03103132=-+x x例3：已知关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x ，根据下列条件，分别求出满足条件的k 值.（1）方程两实根之积为5；（2）方程两实根满足21x x =.解析：（1）451410)141(4])1([22122=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=≥+-+-=∆k k x x k k （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎩⎪⎨⎧>⇒>∆-=⇒=+=⇒=∆⇒=⇒=无解23010230212121k k x x k x x x x 综上，若21x x =，则23=k例4：若21,x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个根，当m 为何值时，2221x x +取得最小值？请你求出这个最小值 解析：23222322)2(2)(222212212221+-=-+⋅-=-+=+m m m m m x x x x x x 当43=m 时，有最小值87 例5：已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且两根平方和比两根之积大21，求m 的值.解析：1017163)(221221212221-=⇒⎩⎨⎧≥∆--=-+=-+m m m x x x x x x x x例6：若关于x 的方程02=++a x x 有两个根：（1）当其中一个大于1，另一个小于1时，求a 的取值范围；（2）当两个根都小于1时，求a 的取值范围.解析：（1）由已知设0)1)(1(1,12121<--⇒<>x x x x 且0>∆所以2041021)()1)(1(212121-<⇒⎩⎨⎧>-<+=++-=--a a a x x x x x x （2）法一：41204102)1)(1(21≤<-⇒⎩⎨⎧⇒≥-=∆>+=--a a a x x 法二：借鉴二次函数图形，根据两根均小于1可知当1=x 时，函数值011>++a ，同时也需满足0≥∆例7：若21,x x 是方程01)12(22=+++-k x k x 的两实数根，且均大于1.（1）求实数k 的取值范围；（2）若2121=x x ，求k 的值 解析：（1）143430)1(4)12(101)12(1)1)(1(22221≠≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥⇒≥+-+=∆≠⇒>++-+=--k k k k k k k k x x 且 （2）)(171)12(29219)12(3122221221212121舍去或==⇒++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+⇒=+=+k k k k x k x x x k x k x x***例8：已知b a ,是一元二次方程012=--x x 的两个实数根，求)2(22-+b a a 的值. 解析：120101222-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=--b b b b a a 01)1()2(2222=+=+-=-+=-+∴ab ab a a b a a b a a课后习题1、关于x 的一元二次方程0522=++-a a x ax 其中一个根是0，则a =10-或2、关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ：（1）若有一个根为0，则7=m ，此时方程另一个根为：1（2）若两根之和为53-，则9-=m ，此时方程两个根分别为：1,58- 3、方程01222=-+x x 的两根为21,x x ，则321=-x x4、设21,x x 为方程02=++q px x 的两根，且1,121++x x 为方程02=++p qx x 的两根，则________________,==q p 解析：由题意有⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=++--=+-⇒⎩⎨⎧=++-=++⎩⎨⎧=-=+3112)1)(1(221212121q p p q p q p p x x q x x q x x p x x 和 *5、已知实数c b a ,,满足b a -=6，92-=ab c ，则____________,______,===c b a 解析：由题意有的两根是方程096,96222=++-⇒⎩⎨⎧+==+c x x b a c ab b a 300)9(4362==⇒=⇒≥+-=∆∴b a c c***6、若1≠ab ，且09201952=++a a ，05201992=++b b ，则95=a b 解析：的两根为方程09201951,091201915092019509120191505201992222=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=++=+⋅+⋅⇒=++x x b a b ba ab b b b故59=b a 7、已知关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 两根之比为5:3，求证：21564b ac = 证明：设222222121211564156415641585,3b ac ac b a c a b a ck x x a b k x x k x k x =⇒=⇒=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==+⇒==8、已知方程05)2(222=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 解析：由题意⎪⎩⎪⎨⎧==⇒-=-⇒+=≤⇒≥---⇒≥∆)(31)2(45)(2490)5(4)2(402212122舍去或a a a a x x x x a a a 综上，1=a9、若一元二次方程04)1(2=++-x m x 的两个根均满足30≤≤x ，求m 的取值范围 法一：借助函数图像可知：①当3,0==x x 时函数值均0≥31004)1(39≤⇒≥++-⇒m m ②350≥-≤⇒≥∆m m 或 ③对称轴513210≤≤-⇒≤+≤m m 综上，3103≤≤m法二：设两根为21,x x ，则有31033503100)3)(3(51602121≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤⇒≥∆≤⇒≥--≤≤-⇒≤+≤m m m m x x m x x 或。
2018初高中衔接数学：第7讲 韦达定理
例6 例7
韦达定理
例8
韦达定理
例 10 设 a 是大于零的实数， 已知存在唯一的 实数 k ，使得关于
x 的方程
x 2 (k 2 ak ) x 1999 k 2 ak 0
的两根为质数.求 a 的值.
韦达定理
例 11 求满足如下条件的所有实数 k , 使得关于
x 的方程 kx (k 1) x k 1 0 的两根都是大于
2பைடு நூலகம்
零的整数.
(2) 当 0 时，有两个相等实根：
x1,2 b , 2a b c x1 x2 , x1 x2 . a a
(3) 当 0 时，没有实根．
韦达定理
韦达定理
例2
说明：务必要注意方程有两实根的条件， 即所求的字母应满足 0．
韦达定理
例3
例4
韦达定理
例5
一元二次方程的根与系数的关系 实系数 一元二次方程 ax 2 bx c 0 (a 0) ，
b 2 b 2 4ac 变形为： ( x ) 2a 4a 2 (1) 当 0 时，有两个不等实根：
根的判别式
b2 4ac
x1,2
b b 2 4ac x x b , x x c . 2 1 2 , 1 a a 2a
例 7 解方程
(3) (4)
(5)
例9
例 10
第 7讲 韦达定理
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次 方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的 判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函 数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节 将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进 行阐述．
(完整版)初高中数学衔接知识点总结
初高中数学衔接读本数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
目录1.1 数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3二次根式1.1.４分式1.2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 一元二次不等式解法1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3.两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．b a -a b4.两个重要绝对值不等式：ax a x a a x a x ＞或＜）＞（＞，＜＜）＞（＜-⇔-⇔0a x 0a a 问题导入：问题1：化简：（1）：（2) :12-x 31-+-x x 问题2：解含有绝对值的方程(1); （2）642=-x 5223=--x 问题3：至少用两种方法解不等式41＞-x 知识讲解例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：; （2）.xy =32+-=x y 例2：解不等式：431＞-+-x x 练 习1、若等式 , 则成立的条件是----------aa -=2、数轴上表示实数 x1,x2 的两点A,B 之间的距离为--------3、已知数轴上的三点A,B,C 分别表示有理数a ，1，-1，那么表示（ ）1+a A 、 A,B 两点间的距离 B 、 A,C 两点间的距离C 、 A,B 两点到原点的距离之和D 、 A,C 两点到原点的距离之和4、如果有理数x ，y 满足，则______ ()01212=+-+-y x x =+22y x 5、若，则x=_________；若，则x=_________．5=x 4-=x 6、如果，且，则b ＝________；若，则c ＝________．5=+b a 1-=a 21=-c 7、下列叙述正确的是（）（A ）若，则（B ）若，则 a b=a b =a b >a b >（C ）若，则（D ）若，则a b <a b<a b=a b=±8．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1、2 二次根式与分式知识清单二次根式二次根式的定义：形如(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一a个非负数时，的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不a0)a≥能够开得尽方的式子称为无理式.例如等是无理式，而32a b，等是有理式．21x++22x y++二次根式的性质：1 ；())0(2≥=aaa2 =2a(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩3 （a≥0，b≥0）baab∙=4 ()0,0＞bababa≥=分母有理化：一般常见的互为有理化因式有如下几类:1 ；aa与2 ；bba-+a与3 ；bba-+a与4 ba nmbnam-+与分式：分式的意义：形如的式子，若B中含有字母，且B ≠0，则称为分式BABA分式的通分与约分：当M≠0时，MBMABAMBMABA÷÷=⨯⨯=,综合练习：例1 将下列式子化为最简二次根式：（1（2；（3．0)a≥0)x<（4）（5）()12122＜＜xxx-+3131+-例2．(3÷-1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；22()()a b a b a b+-=-（2）完全平方公式．222()2a b a ab b±=±+我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；2233()()a b a ab b a b+-+=+（2）立方差公式；2233()()a b a ab b a b-++=-（3）三数和平方公式；2222()2()a b c a b c ab bc ac++=+++++（4）两数和立方公式；33223()33a b a a b ab b+=+++（5）两数差立方公式 ．33223()33a b a a b ab b -=-+-应用：平方差公式下列各式：①；②；③；④)1)(1(+--a a )1)(1(a a +-)1)(1(+--a a 能利用平方差公式计算的是)1)(1(+---a a 完全平方公式若，求的值31=+a a 21(a a -问题3：立方和（差）公式练 习1．填空：（1）（ ）；221111()9423a b b a -=+ （2）；(4m +22)164(m m =++) (3 ) ．2222(2)4(a b c a b c +-=+++)2．选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于 （）k mx x ++212k （A ）（B ）（C ）（D ）2m 214m 213m 2116m（2）不论，为何实数，的值 （ ）a b 22248a b a b +--+（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数1.1.2 分解因式因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）2x 2-x+6（4）2x 2-（a+2）x+a （5）（6）232+-x x 2762+-x x 2．提取公因式法 例2 分解因式：（1）x 2-5x ；（2）（2）2242abb a -)5()5(2b a b a -+-3. 公式法分解因式（1）（2）x 2-4412+-x x2.1 一元二次方程知识清单1、一元二次方程式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax2+bx+c=0(a ≠0），其中，ax 2是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 、b 是常数。
2.5一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)教案
4.协作能力：通过小组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力，激发学生的学习兴趣和主动性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a≠0），以及根与系数之间的关系。
举例：
（1）在讲解韦达定理的推导过程时，教师可通过图形、数值等多种方式引导学生观察、分析，从而发现根与系数之间的关系，并解释其背后的原因。
（2）在解决实际问题时，教师可引导学生将问题转化为数学模型，然后运用韦达定理求解。同时，通过举例说明如何根据系数的符号判断根的符号、大小及个数，帮助学生突破这一难点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了韦达定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程根与系数关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如：两个物品的价格和数量关系）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数关系的奥秘。
2.教学难点
（1）理解韦达定理的推导过程：学生需要通过观察、分析、归纳等逻辑推理方法，发现并证明根与系数之间的关系。
初高中衔接教材教案2韦达定理、一元二次方程、判别式
一元二次方程【学习目标】：1．熟练掌握一元二次方程的解法及其根的判断；2．理解韦达定理并能运用其来处理相关问题。
【复习引入】：一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法及韦达定理的运用．1．概念:方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 称为一元二次方程．2．基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．3．对于方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)，△=b 2-4ac 称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个 的实数根，即当△=0时，方程有两个 的实数根，即当△＜0时，方程 实数根．4． (1)若一元二交方程ax 2+bx +c =0 （a ≠ 0）的两个根为x 1,x 2，则x 1+x 2=_____，x 1x 2=_______. （韦达定理）(2)若x 1,x 2是方程x 2+px +q =0的二根，则p =______, q =_______，以实数x 1,x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________.【典例欣赏】：例1. 试用多种方法解方程：x 2－3x +2=0例2. 已知m,n 为整数，关于x 的三个方程：x 2+(7－m )x +3+n =0有两个不相等的实数根；x 2+(4+m )x +n +6=0有两个相等实数根；x 2－(m －4)x+n+1=0没有实数根. 求m,n 的值 。
变题：已知实数x 、y 满足01222=+-+-+y x xy y x ，试求x 、y 的值。
例3．若21,x x 是方程0201022=-+x x 的两个根，试求下列各式的值：（1）21x x +，21x x ⋅；（2）2111x x +；（3）2221x x +，21x x -；（4）)1()1(21+⋅+x x例4．已知21,x x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。
初高衔接3：韦达定理
初高衔接[3]根与系数的关系——韦达定理一元二次方程02=++c bx ax 如果有两根1x ，2x ，则有根与系数的关系a b x x -=+21，acx x =21我们称此为一元二次方程的韦达定理，在初中是通过求根公式证明的，现在给出另外更通用的证明方式．因为1x ，2x 是方程的两根，所以21212212)())((x ax x x x a ax x x x x a c bx ax ++-=--=++对比两边的系数即得韦达定理．韦达定理给出了在不解出两根的情况下，两根和与两根积的表达，在高中数学中占有非常重要的地位．例1. 已知a ，b 是方程0142=++x x 的两根，求下列各式的值： (1)22b a +，33b a +； (2)b a 11+，ba ab +； (3)b a - ．分析与解 一元二次方程的判别式为正，由韦达定理知4=+b a ，1=ab .于是(1)中：142)(222=-+=+ab b a b a ， 52))((2233-=+-+=+b ab a b a b a .(2)中：411=+=+abb a b a ， 1422=+=+abb a b a a b . (3)因为ab b a b a b a 4)()(22-+=-=-，所以32=-b a ．注 事实上，所有关于a ，b 的对称式（即交换a ，b 的顺序后，式子不变）都可以用b a +，ab 表示出来．例2 .已知α，β是方程012=--x x 的两根，写出一个以α1，β1为两根的一元二次方程，并求βα86+的值．分析与解 由韦达定理知1=+βα，1-=⋅βα，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+=+111111βααββαβα，从而以α1，β1为两根的一元二次方程为01)1(2=---x x ,即012=-+x x ．由韦达定理知αβ-=1，代入知ααβα88866-+=+.下面来写6α：因为α是方程的解，所以有αα+=12，从而24)1(αα+=)1(21αα+++= α32+=所以有426ααα⋅=)32)(1(αα++= )1(352αα+++=58+=α从而有1386=+βα． 注 事实上，令xt 1=，整理得到的关于t 的一元二次方程就是以α1，β1为两根的一元二次方程．一元二次方程的韦达定理可以推广到一元n 次方程中去，我们处理较多的是一元三次方程，如果)0(023≠=+++a d cx bx ax 有三个实数根1x ，2x ，3x ，那么有d cx bx ax +++23))()((321x x x x x x a ---=32132312123213)()(x x ax x x x x x x x a x x x x a ax -+++++-= 从而得到一元三次方程的韦达定理⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++a d x x x a c x x x x x x ab x x x 321323121321例3. 设α，β，γ是三次方程0133=+-x x 的三个根．(1)以α1，β1，γ1为根的三次方程是______________； (2)以βα11+，γβ11+，αγ11+为根的三次方程是______________．分析与解 由三次方程的韦达定理知⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++=++.1,3,0αβγγαβγαβγβα (1)因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⋅⋅=++=⋅+⋅+⋅=++=++.11110111111,3111γβααβγγβααγγββααβγαβαγβγγβα，所以以α1，β1，γ1为根的三次方程是 0)1(0323=--⋅+-x x x即01323=+-x x ． (2)先计算三根和有)11()11()11(αγγββα+++++)111(2γβα++=6=因为211γγγαββαβα=--=+=+,所以我们知道这三根就是2α，2β，2γ，从而三根积为1)(2=αβγ．最后计算222222αγγββα++的值．先介绍一个三项的完全平方式ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++.从而有222222αγγββα++)222()(2222βγααβγγαβγαβγαβ++-++= αβγγβα)(29++-=9=综上知所求的三次方程为019623=-+-x x x ．最后给出两道练习：练习一 已知1x ，2x 是方程0132=+-x x 的两根，求2221x x +，3231x x +，)1)(1(21++x x ，2111x x +，21x x -的值．答案 7，18，5，3，5．练习二 已知a ，b ，c 是方程0164223=---x x x 的三个根，求cb a 111++，222c b a ++的值．答案 −6，10．提示 ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．。
《2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系》作业设计方案-高中数学人教B版19必修第一册
《2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过一元二次方程的解集及其根与系数的关系的学习，使学生能够：1. 掌握一元二次方程的标准形式和根的判别方法。
2. 理解根与系数的关系，并能运用韦达定理进行相关计算。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 复习一元二次方程的标准形式，包括ax^2+bx+c=0的形式，并强调a≠0的条件。
2. 掌握一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac的计算方法，并理解其与方程解的关系。
3. 掌握韦达定理，即一元二次方程的根与系数的关系，并能够运用此定理进行相关计算。
4. 通过实例分析，加深对一元二次方程解集及其根与系数关系的理解。
5. 练习题部分，包括选择题、填空题和解答题，旨在巩固所学知识。
三、作业要求1. 学生需认真复习课堂所学内容，并独立完成作业。
2. 对于每个知识点，学生需理解其含义并能够熟练运用。
3. 在完成练习题时，学生需注意审题，明确题目要求，按照步骤进行计算。
4. 作业书写要求规范，答案需清晰明了，过程需有详细的步骤和解释。
5. 遇到问题时，学生应积极思考，尝试自己解决问题，如无法解决，可向老师或同学请教。
四、作业评价1. 教师将根据学生的作业完成情况，对学生的学习情况进行评估。
2. 评价标准包括知识点的掌握程度、解题思路的正确性、计算过程的规范性以及答案的准确性。
3. 对于表现优秀的学生，教师将给予表扬和鼓励；对于存在问题的学生，教师将给予指导和帮助。
4. 教师将根据评价结果，调整教学计划，以更好地满足学生的学习需求。
五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行批改，并及时反馈给学生。
2. 反馈内容包括知识点掌握情况、解题思路及计算过程的问题等。
3. 学生根据教师的反馈，及时改正错误，巩固所学知识。
4. 教师将根据学生的反馈情况，调整教学方法和策略，以提高教学效果。
《2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系》作业设计方案-高中数学人教B版19必修第一册
《2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生对一元二次方程解集的理解，掌握根与系数之间的关系，并能够运用这些知识解决实际问题。
通过作业练习，提高学生的数学思维能力和解题技巧。
二、作业内容1. 基础知识巩固：- 复习一元二次方程的标准形式，并强调解集的概念。
- 回顾一元二次方程的求解方法，如因式分解法、公式法等。
2. 根与系数的关系：- 练习题需涵盖如何通过系数确定方程的根的情况（实根或虚根）。
- 练习利用韦达定理（Vieta's Formulas）推导根与系数之间的关系。
3. 实际应用：- 设计实际问题，如物理中的抛物运动、经济学中的投资问题等，让学生运用一元二次方程的知识进行建模和求解。
4. 拓展提高：- 提供一些具有挑战性的题目，如带有复杂系数的方程求解或需要多步推导的题目。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不依赖外部资源。
2. 对于每道题目，应写出详细的解题步骤和思路。
3. 对于拓展提高部分，学生可根据自身能力选择是否尝试，鼓励有能力的同学进行探索和挑战。
4. 答案书写应清晰、规范，用数学语言准确表达。
四、作业评价1. 评价标准：以正确性、完整性和规范性为主要评价指标。
2. 评价方式：教师批改作业时，需对每道题目进行评分，并给出总体评价。
3. 反馈方式：对于学生的错误，教师需在作业本上标注并给出正确解答；对于优秀作业，可在课堂上展示并表扬。
五、作业反馈1. 教师需对每位学生的作业进行反馈，指出错误并给出改正建议。
2. 对于普遍存在的问题，可在课堂上进行集中讲解和演示。
3. 鼓励学生之间互相交流学习，可组织小组讨论或进行课堂答疑。
4. 对于学生提出的疑问和建议，教师需及时给予回应和处理。
通过这样的作业设计方案，旨在让学生在一元二次方程的学习中不仅掌握知识，更能提升其解决问题的能力及数学思维能力。
通过不断地练习和反馈，学生能够更好地理解和掌握一元二次方程的解集及其根与系数的关系，为后续的数学学习打下坚实的基础。
高中数学 第一章 初中与高中衔接中的二次问题学案 新人教B版必修
高中数学第一章初中与高中衔接中的二次问题学案新人教B版必修一、学习要点：一元二次方程中的根与系数的关系、二次函数、一元二次不等式解法。
二、新课学习：一、一元二次方程（一）韦达定理韦达定理：设为方程的两个实根，则说明：（1）（2）例1 已知是方程的两根，不解方程，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）例2 已知是方程的两个实根，且求证：例3 解方程，例4 已知，求证：方程的两个实根且两根异号同步练习题1、已知是方程的两根，不解方程，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）2、已知实数满足等式，且求的值3、解方程组（二）一元二次方程的解法。
例5 解下列方程：（1），（2）解：（三）二次三项式因式分解公式从逆向思维的角度，只要能分解的二次三项式可先求相应的一元二次方程的两根，从而得到：。
例6 因式分解：同步练习题1、因式分解:2、如果是方程的两个正根，则的符号是二、二次函数（一）二次函数不同结构的解析式一般式：顶点式：两根式例7 已知二次函数图象的最高点的坐标为，且点是图象与坐标轴的交点之一，求此函数的解析式。
（二）二次函数的最值问题要求二次函数的最值，首先将函数解析式化成顶点式：若若例8 已知函数，对下列各种条件，求这个函数的最小值。
（1）取任何实数；（2）；（3）；（4）同步练习题1、对二次函数，不论实数取何值，顶点的横坐标和纵坐标中有一个坐标是常数，则这个常数是2、已知函数，对下列各种条件，求这个函数的最大值。
（1）取任何实数；（2）；（3）；（4）三、一元二次不等式及其解法画出函数的图像并经过图象研究不等式和的解。
[总结归纳]上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式或的解集：可分三种情况来讨论、1、当时，方程的两个实根为则2、当时，则3、当时，则说明：1、2、例9求下列不等式的解集：（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）、（7）例10 已知关于x的一元二次不等式的解集为R，求a的取值范围、同步练习:一选择题1、不等式的解集是（）A、B、C、D、2、不等式的解集是（）A、B、C、D、3、若0<a<1,则不等式(x－a)(x－)<0的解是( )A、a<x<B、 <x<aC、x>或x<aD、x<或x>a二填空题4、不等式的解集是5、不等式4+3x－2x2≥0的解集是6、已知不等式x2＋mx+n＞0的解集是{ x｜x＜－1或x＞2}，则m=______,n=______、7、如果方程ax2＋bx＋b＝0中，a＜0，它的两根x1，x2满足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx＋b＜0的解集是______ 、三解答题8、解关于的不等式：作业：见作业（4）、（5）。
韦达定理教案范文
韦达定理教案范文一、教案概述本教案针对高中数学课程中的韦达定理进行讲解和练习。
韦达定理是高中数学的重要内容之一，它是用来求解二次方程根的一种方法。
本教案以理论讲解和例题演练相结合的方式，旨在帮助学生深入理解韦达定理的原理和应用。
二、教学目标1.理解韦达定理的定义和原理；2.掌握使用韦达定理解二次方程的方法；3.能够灵活运用韦达定理求解实际问题。
三、教学内容1.韦达定理的定义和原理；2.韦达定理的应用；3.实际问题的解决方法。
四、教学步骤及教学方法1.引入新课(5分钟)通过引入类比，向学生介绍韦达定理，让学生从直观的例子中理解韦达定理的定义和原理。
2.理论讲解(25分钟)通过讲解例题和解题思路，详细阐述韦达定理的应用方法和步骤，包括如何列方程、如何计算韦达定理的公式、如何求解根等。
3.例题演练(15分钟)以课本上的习题为例，分组演练韦达定理的应用，教师抽取几道题目，引导学生进行讨论和解答，同时解答学生在解题过程中出现的疑惑和问题。
4.进一步拓展(10分钟)通过提供一道拓展习题，引导学生思考如何将韦达定理应用于实际问题的解决。
5.小结与作业布置(5分钟)对本节课的重点内容进行小结，鼓励学生进行课后练习，并布置相应的作业。
五、教学手段及教具教学手段：讲解、演练、互动探究。
教具：教师课件、习题、实物类比。
六、教学评估1.在课堂上观察学生的主动参与情况；2.检查学生在例题演练中的解题思路和结果；3.对学生的课堂表现进行口头评估。
七、教学资源教师课件、学生课本、习题集。
八、教学反思通过对学生课后作业的批改和教学评估，进一步了解学生对韦达定理的掌握情况。
在下节课中，可以根据学生的学习情况，进一步引导学生应用韦达定理解决更加复杂的实际问题。
同时，在讲解过程中，要注意与学生的互动，鼓励学生积极思考和提问，培养学生的解决问题的能力。
济南市长清中学2018级高一数学导学案(解一元二次方程及根与系数的关系)
济南市长清中学2018级高一数学导学案（解一元二次方程及根与系数的关系）高一数学（2019级）导学案课型：复习课编制人：年级主任：班级：姓名：编号：002初高中衔接知识二（解一元二次方程与根与系数的关系）一、一元二次方程及解法1、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是2的方程叫做一元二次方程.通常可化程如下一般形式：20(0)axbx c a ++=≠其中,,a b c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。
2、一元二次方程的解法有：①直接开平方法，②因式分解法，③配方法，④求根公式法3、一元二次方程根的判别式:对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，有24bac∆=-(1)当0∆>时，方程有两个不相等的实数根 21,242b b ac x a-±-=；（2）0∆=时，方程有两个相等的实数根 122b x x a==-；（3）当0∆<时，方程没有实数根．例1 、判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0；例5、若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求| x1－x2|的值；（2）求221211x x+的值；（3）x13＋x23．例6、若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．[巩固练习]1、方程222330x kx k-+=的根的情况是（）（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根2、若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）（A）m＜14（B）m＞－14（C）m＜14，且m≠0 （D）m＞－14，且m≠03、若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则1211x x+＝．4、方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是．5、以－3和1为根的一元二次方程是．6、已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．【当堂检测】1、07x6x2=—— 2、01x12x42=——，【课堂小结】。
初高中数学衔接知识点总结
初高中数学衔接读本数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“ 1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
目录1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2乘法公式1.1.3 二次根式1.1. ４分式1.2分解因式2.1一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2．2二次函数2.2.1二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像和性质2.2.2二次函数的三种表示方式2.2.3二次函数的简单应用2.3方程与不等式2.3.1一元二次不等式解法1.1 数与式的运算1.１ .1．绝对值1.绝对值的代数意义 ：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a0,| a | 0,a0,a, a0.2.绝对值的几何意义 ：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3.： a b表示在数轴上，数a和数 b 之间的距离．两个数的差的绝对值的几何意义4.两个重要绝对值不等式：x ＜ a （ a ＞0） a ＜x ＜a ，x ＞ a （ a ＞0） x ＜ a 或 x ＞a问题导入：问题 1：化简：（ 1）：2x 1（2) :x 1 x 3问题 2：解含有绝对值的方程(1)2x 4 6;（2） 3 2x 2 5问题 3：至少用两种方法解不等式知识讲解x 1＞4例 1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：y x ;（2）y2x 3 .x 1 x 3＞4例 2：解不等式：练习1、若等式aa,则成立的条件是 ----------2、数轴上表示实数x1,x2的两点 A,B 之间的距离为 --------3、已知数轴上的三点A,B,C分别表示有理数 a， 1， -1，那么a1表示（）A 、 A,B 两点间的距离B、 A,C 两点间的距离C、 A,B 两点到原点的距离之和D、 A,C 两点到原点的距离之和4、如果有理数x， y 满足x1 2x2 y 1，则 x2y 2______5、若x5，则 x=_________ ；若x4，则 x=_________ ．6、如果ab5，且 a1，则 b＝ ________；若1 c2，则 c＝ ________．7、下列叙述正确的是（）（A ）若a b，则 a b（ B）若a b，则 a b（C）若ab ，则a b（ D ）若a b，则 a b8．化简： |x－ 5|－ |2x－ 13|（x＞ 5）．1、2二次根式与分式知识清单二次根式二次根式的定义：形如a(a≥0）的式子叫二次根式，其中 a 叫被开方数，只有当 a 是一个非负数时，a才有意义， a (a 0) 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式 . 例如3a a2b2b ， a2b2等是无理式，而2x22 x1，x22xy y2， a2等是有理式．2二次根式的性质：20) ；①a a(aa(a0)②a2a0(a0)a(a0)③ab a b（a≥0，b≥0）a a④b ba 0, b＞0分母有理化：一般常见的互为有理化因式有如下几类:①a与 a ；②a b与 a b ；③a b与 a b ；④m a n b与m a n b分式：A A分式的意义：形如B的式子，若 B 中含有字母，且 B ≠ 0，则称B为分式分式的通分与约分：当M≠0 时，综合练习：例 1 将下列式子化为最简二次根式：A A M A A M,B B M B B M（1）12b ；（2）a2b(a 0) ；（3）4x6 y ( x0) ．x21 2 0＜x＜1（5）13（4）x213例2计算： 3 (33)．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（ 1）平方差公式( a b)( a b)a2b2；（ 2）完全平方公式( a b) 2a22ab b2．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（ 1）立方和公式( a b)(a2ab b2 )a3b3；（ 2）立方差公式( a b)(a2ab b2 )a3b3；（ 3）三数和平方公式( a b c)2a2b2c22(ab bc ac) ；（ 4）两数和立方公式( a b) 3a33a2b3ab2b3；（ 5）两数差立方公式( a b)3a33a2b3ab2b3．应用：平方差公式下列各式：① ( a1)(a1) ；② ( a 1)(1a) ；③ ( a 1)(a1) ；④ ( a 1)( a 1)能利用平方差公式计算的是完全平方公式a13(a1)2若a，求a的值问题 3：立方和（差）公式练习1．填空：（ 1）1a2 1 b2(1b1a) （）；9423（ 2）(4m) 216m24m() ；(3 )(a2b c)2 a 24b2c2() ．2．选择题：（1）若x21mx k 是一个完全平方式，则k 等于（）2（ B ）1m2（ C）1m2（ D）1m2（ A ）m24316（2）不论a，b为何实数，a2b22a4b8 的值（）（ A ）总是正数（B ）总是负数（ C）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数1.1.2分解因式因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法1．十字相乘法例 1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）2x2-x+6（4）2x2-（a+2）x+a（5）x23x 2（6）6x27 x2 2．提取公因式法例 2 分解因式：（1） x2-5x；（ 2）2a2b 4ab2（2）a 2 (b 5) a(5b)3.公式法分解因式（1）x2x1（）2-442x2.1一元二次方程知识清单1、一元二次方程式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax2+bx+c=0(a ≠0），其中，ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a、b 是常数。
河北省石家庄市高中数学 初高中衔接 第3讲 一元二次方程根与系数的关系
《第3讲 一元二次方程根与系数的关系》学案学习目标：使学生掌握一元二次方程根的判别式∆、根与系数的关系（韦达定理）。
学法指导：带着学生复习初中一元二次方程根的判别式的知识，并补充学习韦达定理。
讲练结合。
学习重点、难点：根与系数的关系（韦达定理）。
【知识梳理】1、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：=_______________∆0:0:0:________________∆>⎧⎪∆=⎨⎪∆<⎩方程_________________根方程_________________根方程根2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与系数的关系：韦达定理：假设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实根为1x 、2x ，那么有：12_________x x +=， 12_________x x ⋅=。
【例题解析】例1、不解方程，判断以下方程实根的个数：（1）22310x x -+= （2）24912y y +=例2、关于x 的方程2320x x k -+=，据以下条件，求k 的取值范围：（1）方程有2个相等实根； （2）方程无实根。
例3、假设1x 、2x 是方程2240x x +-=的两根，求以下式子的值：（1）2212x x + （2）1211x x + （3）12(5)(5)x x -- （4）12x x -【当堂练习】1、不解方程，判断方程25(3)60x x +-=的实根的个数。
2、关于x 的方程2320x x k -+=，据以下条件，求k 的取值范围：（1）方程有2个不等实根； （2）方程有实根。
3、假设1x 、2x 是方程22630x x -+=的两根，那么1211x x +=（ ） (A) 2 (B) -2 (C)12 (D) 92【归纳小结】本节课都复习、学习了哪些知识？【课后作业】 1、方程2(1)210k x x ---=有两个不等实根，那么k 的取值范围是（ ）(A) 2k > (B) 21k k <≠且(C) 2k < (D) 21k k >≠且2、方程221(1)104x k x k -+++=的两根之积为5，求k 的值。
初高中数学衔接教材---韦达定理公开课教学设计
《韦达定理及其应用》教学设计设计者：海口二中庞桔云一.教材分析《韦达定理及其应用》是初高中数学衔接教材的一节重要内容.本节内容是在初中学过的二次项系数为1时根与系数的关系的基础上进行的，教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数x1、x2为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。
通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。
二.学情分析本课的教学对象是刚从初中升高一的学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征；在教学中应多类比初中学过的知识，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
根据教学内容的地位和作用结合学生的具体学习情况，我制定了如下的教学目标和教学重难点：三.教学目标知识与技能：理解一元二次方程根与系数的关系，并会用根与系数的关系解决各类数学问题。
过程与方法：经历观察——转化——类比的思维过程得出韦达定理，逐步掌握从特殊到一般的转化思想。
情感态度与价值观：激发求知欲，提高探索数学知识的积极性，通过合作学习，培养学生的动手探究、交流合作的能力和探索精神.四.教学重、难点教学重点：一元二次方程的根与系数的关系的应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的理解。
五.教学策略与手段教学策略与方法：观察发现、类比引导、相互探究讨论，自我展示讲解的教学方法.教学手段：将多媒体技术和传统的教学手段相结合.其目的是充分发挥各种媒体的特长，在优化组合的基础上，提高教学效率，改善教学效果.六.教学过程。
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第2讲 根与系数的关系（韦达定理）现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用,而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系,在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用、本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。
【知识梳理】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为:x x ==所以:1222b b b x x a a a-+--+=+=-,221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅=== 定理:如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ,那么:1212,b cx x x x a a+=-=说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为”韦达定理”、上述定理成立的前提是0∆≥、 【高效演练】1.若12x x ， 是一元二次方程2230x x -=- 的两个根,则12·x x 的值是( ) A 、2 B 、－2 C 、4 D 、－3【解析】:方程的两根为1x ,2x ,根据题意得123cx x a==-、故选D 、 【答案】D 、2、若α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2的值为（）A. 5B. 7C. 9D.10【解析】∵α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,∴α+β=2,αβ=﹣3,∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10、故选D、【答案】D3、关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数,则( )A. p＞0且q＞0B. p＞0且q＜0C. p＜0且q＞0D. p＜0且q＜0【解析】试题解析:设x1,x2是该方程的两个负数根,则有x1+x2＜0,x1x2＞0,∵x1+x2=-p,x1x2=q∴-p＜0,q＞0∴p＞0,q＞0、故选A、【答案】A4.方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根,且满足x1＋x2＝x1x2,则m的值是( )A. －2或3B. 3C. －2D. －3或25.规定:如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个实数根,且其中一个根是另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”、现有下列结论: ①方程2280x x +-=是倍根方程；②若关于x 的方程220x ax ++=是倍根方程,则a =±3；③若关于x 的方程260ax ax c -+=（a ≠0）是倍根方程,则抛物线26y ax ax c =-+与x 轴的公共点的坐标是（2,0）和（4,0）；④若点（m ,n ）在反比例函数4y x=的图象上,则关于x 的方程250mx x n ++=是倍根方程、上述结论中正确的有（ ）A 、①②B 、③④C 、②③D 、②④ 【解析】③关于x 的方程260ax ax c -+=（a ≠0）是倍根方程,∴x 2=2x 1,∵抛物线26y ax ax c =-+的对称轴是直线x =3,∴抛物线26y ax ax c =-+与x 轴的交点的坐标是（2,0）和（4,0）,故③正确；④∵点（m ,n ）在反比例函数4y x =的图象上,∴mn =4,解250mx x n ++=得x 1=﹣2m,x 2=﹣8m,∴x 2=4x 1,∴关于x 的方程250mx x n ++=不是倍根方程；故选C 、 【答案】C 、6.已知关于x 的一元二次方程230x x --=的两个实数根分别为,αβ,则()()11αβ--=__________.【解析】∵关于x 的方程: 230x x --=的两个实数根分别为αβ、, ∴13αβαβ+==-，,∴()()()1113113αβαβαβ--=-++=--+=-. 【答案】-37.若方程210x x --=的两实根为a 、b ,则11ab+的值为_______。
【解析】∵方程x 2–x –1=0的两实根为a 、b , ∴a +b =1,ab =–1, ∴11111a b abab++===--、 【答案】-18、设,m n 是方程220180x x +-=的两个实数根,则22m m n ++的值为_______。
【解析】由,m n 是方程220180x x +-=的两个实数根, 则1,m n +=-且220180m m +-=,又222201812017m m n m m m n ++=+++=-= 【答案】20179.关于x 的一元二次方程22210x x m +-+=的两实数根之积为负,则实数m 的取值范围是 、2,a 的取值范围3<a【答案】3<a11、若关于x 的一元二次方程x 2–4x +k –3=0的两个实数根为x 1、x 2,且满足x 1=3x 2,试求出方程的两个实数根及k 的值、 【解析】由根与系数的关系,得x 1+x 2=4①,x 1x 2=k –3②又∵x 1=3x 2③,联立①、③,解方程组得1231x x =⎧⎨=⎩,∴k =x 1x 2+3=3×1+3=6则方程两根为x 1=3,x 2=1；k =6、 【答案】x 1=3,x 2=1；k =6、12.已知关于x 的方程()2223410.x k x k k --+--= （1）若这个方程有实数根,求实数k 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2,且满足2212127x x x x +=+,求实数k 的值. 【解析】分析:（1）根据方程有实根可得△≥0,进而可得[-2（k-3）]2-4×1×（k 2-4k-1）≥0,再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2（k-3）,x 1•x 2=k 2-4k-1,再由完全平方公式可得x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2,代入x 1+x 2=2（k-3）,x 1•x 2= k 2-4k-1可计算出m 的值、 解析:（1）∵x 2-2（k-3）x+k 2-4k-1=0有实数根,∴△=4（k-3）2-4（k 2-4k-1）=4k 2-24k+36-4k 2+16k+4=40-8k≥0, 解得:k≤5；13.已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=,根据下列条件,分别求出k 的值、 (1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =、 【解析】(1) ∵方程两实根的积为5∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩ 所以,当4k =时,方程两实根的积为5、 (2) 由12||x x =得知:①当10x ≥时,12x x =,所以方程有两相等实数根,故302k ∆=⇒=； ②当10x <时,12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-,由于302k ∆>⇒>,故1k =-不合题意,舍去、 综上可得,32k =时,方程的两实根12,x x 满足12||x x =、【答案】（1）4k =；（2）32k =.14.已知关于x 的一元二次方程2(5)10x k x k +-+-= ,其中k 为常数、 （1）求证:无论k 为何值,方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数2(5)1y x k x k =+-+-的图象不经过第三象限,求k 的取值范围； （3）若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k 的最大整数值、解析:（1）证明:∵△=（k ﹣5）2﹣4（1﹣k ）=k 2﹣6k +21=（k ﹣3）2+12＞0,∴无论k 为何值,方程总有两个不相等实数根；（2）解:∵二次函数2(5)1y x k x k =+-+-的图象不经过第三象限,∵二次项系数a =1,∴抛物线开口方向向上,∵△=（k ﹣3）2+12＞0,∴抛物线与x 轴有两个交点,设抛物线与x 轴的交点的横坐标分别为x 1,x 2,∴x 1+x 2=5﹣k ＞0,x 1x 2=1﹣k ≥0,解得k ≤1,即k 的取值范围是k ≤1；（3）解:设方程的两个根分别是x 1,x 2,根据题意,得（x 1﹣3）（x 2﹣3）＜0,即x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+9＜0,又x 1+x 2=5﹣k ,x 1x 2=1﹣k ,代入得,1﹣k ﹣3（5﹣k ）+9＜0,解得k ＜52、则k 的最大整数值为2、【答案】（1）证明见解析；（2）k ≤1；（3）2、【解题反思】:本题考查了抛物线与x 轴的交点,二次函数的图象和性质,二次函数与一元二次方程的关系,根的判别式,根与系数的关系,综合性较强。
15.已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根、(1) 是否存在实数k ,使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在,求出k 的值；若不存在,请说明理由、 (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值、 【解析】(1) 假设存在实数k ,使12123(2)(2)2x x x x --=-成立、∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根,∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩,又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根,∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=,但0k <、 ∴不存在实数k ,使12123(2)(2)2x x x x --=-成立、。