2019年人教A版选修1-1高中数学3.2函数的极值与导数优质课教案

合集下载

高二数学3.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修1-1

高中数学 3.3.2 函数的极值与导数学案
?基础梳理
1．极值的概念．
如果函数 y ＝ f ( x) 在点 x＝ a 的函数值 f ( a) 比它在点 x＝ a 附近其他点的函数值都小，f ′ ( a)
＝0，而且在点 x＝ a 附近的左侧 f ′（x ) ＜ 0，右侧 f ′（x) ＞ 0，则把点 a 叫做 y ＝ f ( x) 的极小值
a 的取值范围是 ________ ．
解析： f ′（x) ＝ x2＋ 2x＋ a，∵ f ( x ) 在 R 上没有极值点，∴Δ＝ 4－ 4a≤0，∴ a≥ 1.
答案： a≥１ 4．求函数 f ( x) ＝－ x( x －2) 2 的极值．
解析：函数 f ( x ) 的定义域为 R. f ( x) ＝－ x( x2－ 4x ＋ 4) ＝－ x3＋ 4x2－ 4x， ∴ f ′ ( x) ＝－ 3x2＋ 8x － 4＝－ ( x － 2)(3 x－ 2) ，
1
a＝－，
解得
2
b＝－ 2. 即 f ′（x ) ＝ 3x2－ x－ 2＝ (3 x ＋ 2)( x － 1) ．函数 f ′ ( x) ，f ( x) 的变化情况见下表：
2
2
所以函数 f ( x ) 的递增区间是－∞，－ 3 与 (1 ，＋∞ ) ，递减区间是－ 3， 1 .
1． f ′（x 0) ＝ 0 是函数 y ＝f ( x) 在 x ＝ x0 处有极值点的 ( C) A．充分不必要条件 B ．充要条件
点， f ( a) 叫做函数 y ＝ f ( x) 的极小值；如果函数 y＝ f ( x ) 在点 x＝ b 的函数值 f ( b) 比它在点 x ＝ b
附近其他点的函数值都大， f ′( b) ＝ 0，而且在点 x＝ b 附近的左侧 f ′（x) ＞ 0，右侧 f ′（x ) ＜ 0，

2019-2020学年人教A版选修1-1 3.3.2函数的极值与导数教案

§3.3.2函数的极值与导数一、教学目标知识与技能：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤；过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点难点教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.三、教学过程：函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．四、学情分析我们的学生属于平行分班，学生已有的知识和实验水平有差距。

需要教师指导并借助动画给予直观的认识。

五、教学方法发现式、启发式新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

提问（二）情景导入、展示目标。

设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。

1、有关概念(1).极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点(2).极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点(3).极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小；并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

高中数学 3.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修1-1 学案

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.3.2函数的极值与导数学案新人教A 版选修1-1【学习目标】1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤. 【重点难点】求可导函数的极值的步骤【学习内容】学习过程一、课前准备复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令解不等式，得x 的范围，就是递减区间 .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x '0. 新知：我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的，刻画的是函数的 .试试：（1）函数的极值（填“是”，“不是”）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点（能，不能）成为极值点.反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.比如：函数3()f x x =在x=0处的导数为，但它（是或不是）极值点.即：导数为0是点为极值点的条件.※ 典型例题例1 求函数31443y x x =-+的极值.变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) 0x 的值(2)a ，b ，c 的值.o12 y小结：求可导函数f(x)的极值的步骤:变式2：已知函数32()3911f x x x x=--+.（1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.※动手试试练1. 求下列函数的极值：（1）2()62f x x x=--；（2）3()27f x x x=-；（3）3()612f x x x=+-；（4）3()3f x x x=-. 练2. 下图是导函数()y f x'=的图象，试找出函数()y f x=的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.三、总结提升※学习小结1. 求可导函数f(x)的极值的步骤；2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.※知识拓展函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.由些可见：“有极值但不一定可导”课后作业1. 函数232y x x=--的极值情况是（）A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也极小值2. 三次函数当1x=时，有极大值4；当3x=时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（）A．3269y x x x=++ B．3269y x x x=-+C．3269y x x x=-- D．3269y x x x=+-3. 函数322()f x x ax bx a=--+在1x=时有极值10，则a、b的值为（）A．3,3a b==-或4,11a b=-=B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=C ．1,5a b =-=D ．以上都不正确4. 函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a 的值为5. 函数32()3(0)f x x ax a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为6.如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()y f x '=有极大值？（2）导函数()y f x '=有极小值？（3）函数()y f x =有极大值？（4）导函数()y f x =有极小值？7. 求下列函数的极值：（1）2()62f x x x =++；（2）3()48f x x x =-.8.已知函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，求c 的值.。

人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24

1.1.2导数的概念（一）教材分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.（二）教学目标（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求函数在某点的导数及简单应用.（三）教学重点与难点重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.（四）教学过程1. 复习引入（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.2. 合作探究在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.探究一：瞬时速度的求解从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t26.5t 10.探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.L t导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是啊卡=|m f(xo：-f (xo)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm of(x x)—f(x o )注意：(1) 函数应在点X 。

高二数学,人教A版选修1-1, 3.3.2,函数的极值与导数 ,课件

思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)导数为0的点一定是极值点. ( ) (2)函数的极大值一定大于极小值. ( ) (3)在定义域上的单调函数一定没有极值. ( ) (4)对于任意函数,极值点处的导数值一定等于0. ( ) (5)三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c最多有两个极值. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
(3,+∞) + 单调递增↗
所以函数在 x=-1 处取得极大值 f(3)=-6.
14 f(-1)= ,在 3
x=3 处取得极小值
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)函数定义域为 R,f'(x)=
5�� 2 +1
'=
-5(��+1)(��-1) (��2 +1)
2
,
令 f'(x)=0 得 x=-1 或 x=1. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 f'(x) 0 + 0 单调单调 f(x) 极小值极大值递减↘ 递增↗
5 2 5 2
(1,+∞) 单调递减↘
所以函数在 x=-1 处取得极小值 f(-1)=- ,在 x=1 处取得极大值 f(1)= .
π 所以函数在 x= 处取得极大值 6 5π √3 5π 小值 f =- + . 6 2 12
1 2
π 6
5π 6
+ 单调
5�� ,�� 6
递增↗

高中数学 3.2 函数的极值与导数教案新人教版选修1-1

第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

【数学】3.3.2《函数的极值、最值与导数》教案(新人教A版选修1-1)

§3.3.2-3函数的极值与最大（小）值与导数【成功细节】叶枝谈导数的计算的方法本节主要研究函数的极值、最值与函数导数之间的关系，导数作为研究函数的一种重要工具，在学习时应引起充分重视，这部分知识点不多，但涉及的题型比较多，在学习过程中我认为应该注意以下几个方面的问题：（1）理解函数极值的概念，函数极值刻画的是函数的局部性质，而函数的最值刻画的是函数的整体性质；（2）注意比较极值与最值的概念以及它们之间的联系，可导函数在极值点两侧导函数的符号相反，极大值不一定是最大值，极大值可能小于极小值，连续可导函数闭区间上的最值就是端点值与极值中的最大值、最小值等结论要熟练准确记忆；（3）可导函数有极值是该点处的导数值等于零的充分不必要条件，如函数3y x =，为R 上的增函数，不存在极值点，但0|0x y ='=；（4）若函数不可导，也可能存在极值，如()||f x x =在0x =处不可导，但0x =是函数的一个极小值；（5）要熟练掌握求解函数极值与最值的方法．如本题主要考查函数在闭区间上的最值的概念以及求解方法，解题时，我先利用导数求解函数()f x 在这个区间内的极值，因为22()3123(4)f x x x '=-=-，由()0f x '=求得2x =，或2x =-，而(2)82488f =-+=-，(2)824824f -=-++=，再求出函数在闭区间上的端点值，(3)273690f -=-+=，(3)2736817f =-+=，所以函数在闭区间上的最大值等于(2)24M f =-=，最小值(2)8m f ==-，所以24(8)32M m -=--=.【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。

——叶圣陶【精读·细化】1.用10分钟的时间详细阅读教材93～96页,理解函数极小值与极大值的概念，可导函数的导数在极值点两侧的符号同号还是异号？在函数图象上是如何体现的？函数在某点有极值与该点处的导数【领会·感悟】1.函数在某点处的导数值等于零，该点不一定是函数的极值点，必须检验函数在该点两侧的符号是否相异.如函数3()f x x =，虽（2007年江苏13题）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿．2007年江苏省文科状元叶枝【学习细节】（核心栏目）A ．基础知识导数的计算知识点1 函数极值与导数【情景引入】如图为表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？【探究】如图，放大t a =附近函数()h t 的图像，可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．【关注·思考】2.阅读教材第96—98页,理解最小值和最大值的概念?这些概念与极大值或极小值有什么关系？细节提示:最值刻画的是函数在某个闭区间上的一个整体性质，而极值缺某点【提升·解决】2.最值的求解可以把所有的极值点和端点处的函数值求解出来，然后相互比较即可.【思考】对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？【想一想】如图，函数()y f x =在,a b 处的函数值与这两个点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这两个点处的导数值是多少？在这两个点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？【探究】由函数图象可知，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近左侧，()0f x '<，在点x a =附近右侧，()0f x '>.函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近左侧，()0f x '>，在点x b =附近右侧，()0f x '<.我们把图中的点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.【总结】设函数()y f x =在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数()y f x =的一个极大值，记作y 极大值＝0()f x ；如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数()y f x =的一个极小值，记作y 极小值=0()f x ．极大值与极小值统称为极值（extreme value ）．【想一想】如图为函数()y f x =的图象，,,,,x c d e f g =是否为函数的极值点？如果是，请分析原因，如果不是，是说明理由.【探究】由函数图象可知，函数()y f x =在点,,x c e g =的函数值(),(),()f c f e f g 比它在点,,x c e g =附近其他点的函数值都小，()()()0f c f e f g '''===；而且在这些点附近左侧，()0f x '<，在这些点附近右侧，()0f x '>，由极值的定义可知这些点为函数()y f x =的极小值点，对应的函数值(),(),()f c f e f g 为函数()y f x =的极小值；函数()y f x =在点,,x d f h =的函数值(),(),()f d f f f h 比它在点,,x g f h =附近其他点的函数值都大，()()()0f d f f f h '''====；而且在这些点附近左侧，()0f x '>，在这些点附近右侧，()0f x '<.由极值的定义可知这些点为函数()y f x =的极大值点，对应的函数值(),(),()f d f f f h 为函数()y f x =的极大值.【提示】对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号。

人教新课标A版高二数学《选修1-1》3.3.2 函数的极值与导数

令f′(x)=0,即4x3-3x2=0,得x2(4x-3)=0. ∴x=0或x=
3 4
.
当x变化时，f(x),f′(x)的变化情况如下表：
x
(-∞,0)
0 0 不是极值
3;∞) 4
f′(x)
f (x )
↘
↘

0
27 256
+ ↗
3 ) 4
由上表可知,函数f(x)在区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0,
第三章导数及其应用
§3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.2 函数的极值与导数
1.了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2.结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件.
3.会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数
的极大值、极小值.
题目类型一、求已知函数的极值【技法点拨】求函数极值的步骤求定义域确定函数f(x)的定义域求导函数f′(x)
求导数
求方程的根列表
求f′(x)在定义域内的所有根用f′(x)=0的根将定义域分成若干区间，列表由各个区间内f′(x)的符号，判断极值情况
求极值
【典例训练】(建议教师以第2题为例题重点讲解)
极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小
值点是交替出现的.
2.极值点与导数为零的点的辨析
(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数
为零的点不一定是极值点，即“点x0是可导函数
f(x)的极值点”是“f′(x0)=0”的充分不必要条件； (2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同. (3)如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是f(x) 的极值点.

人教课标版高中数学选修1-1《函数的极值与导数》教学设计

3.3.2 函数的极值与导数一、教学目标1．核心素养通过学习函数的极值与导数，形成基本的数学抽象、逻辑推理和数学运算能力，并依据运算法则解决数学问题．2．学习目标（1）理解函数极值的概念．（2）理解函数极值与导数的关系．（3）掌握求函数极值的方法，并能应用极值解决求参数值、参数取值范围、判断函数零点的个数等问题．3．学习重点极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤．4．学习难点函数在某一点取得极值的必要条件与充分条件．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山之中的最高处，但它却是其附近点的最高点.同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近点的最低点.假设如图是群山中各个山峰的一部分图像，观察如图中P 点附近图像从左到右的变化趋势，P 点的函数值以及点P 位置各有什么特点.想一想：图中P 点，Q 点的函数值与其附近的函数值有何关系？任务2预习教材P93—P96，完成P96相应练习题，并找出疑惑之处.2．预习自测1.已知0)(0='x f ，则下列结论中正确的是( )A.0x 一定是极值点B.如果在0x 附近的左侧0)(0>'x f ，右侧0)(0<'x f ，那么)(0x f 是极大值C.如果在0x 附近的左侧0)(0>'x f ，右侧0)(0<'x f ，那么)(0x f 是极小值D.如果在0x 附近的左侧0)(0<'x f ，右侧0)(0>'x f ，那么)(0x f 是极大值解：B 直接根据极值概念判断,也可画出图象进行分析 .2.函数23bx ax y +=取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和31，则( ) A.02=-b a B.02=-b a C.02=+b a D.02=+b a解：D bx ax y 232+='，据题意，0和31是方程0232=+bx ax 的两根,∴3132=-a b ，∴02=+b a . 3.若函数m x x y ++-=236的极大值为13，则实数=m .解：19- x x y 1232+-='，由0='y ，得0=x 或4=x ，容易得出当4=x 时函数取得极大值,所以1342643=+⨯+-m ，解得19-=m .4.若kx x y +=3在R 上无极值，则k 的取值范围为 .解：),0[+∞ k x y +='23，∵kx x y +=3在R 上无极值，∴0≥'y 恒成立，∴),0[+∞∈k .（二）课堂设计1．知识回顾⑴常见函数的导数公式及导数的四则运算法则.⑵函数的导数与函数的单调性的关系.⑶用导数求函数单调区间的步骤.2．问题探究问题探究一函数极值的概念 ★●活动一探求新知如图观察，函数)(x f y =在d 、e 、f 、g 、h 、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？如：以d 、e 两点为例，函数)(x f y =在点d x =处的函数值)(d f 比它在点d x =附近其他点的函数值都小；函数)(x f y =在点e x =处的函数值)(e f 比它在e x =附近其他点的函数值都大.探究：)(x f y =在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f(x)的导数的符号有什么规律？0)(='d f ，在d x =的附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ；0)(='e f ，在e x =附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f .得出新知1．极值点与极值(1)极小值点与极小值如图，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)极大值点与极大值如图，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．(3)极值点与极值极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值（extreme value ）．说明：（1）极值反映了函数值在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．（2）极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷” ．2．理解极值概念的注意点（1）函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．（2）极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．（3）若函数)(x f 在],[b a 内有极值，那么函数)(x f 在],[b a 内绝不是单调函数，即在定义区间上单调的函数没有极值．（4）极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极大值与极小值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．即极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大．（5）若函数)(x f 在],[b a 上有极值且函数图像连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． ●活动二想一想：怎样根据函数图像确定极值？由图像确定极大值或极小值时，需要关注图像在某点处从左侧到右侧的变化情况，极值点一般是指单调性的转折点.若图像由“上升”变为“下降”，则函数值由增加变为减少，这时，在该点附近，该点的位置最高，即该点的函数值比它附近的点的函数值都大，因此是极大值；若图像由“下降” 变为“上升” ，则在该点附近，该点的位置最底，即该点的函数值比它附近的点的函数值都小，因此是极小值.问题探究二函数极值与导数的关系 ●活动一阅读教材P95，结合函数2)(x x f =与函数3)(x x f =的图像思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？可导函数的极值点一定是其导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的极值点，举例如下：（1）导数值为0的点是极值点：2)(x x f =，0)0(='f ，0=x 是极小值点；（2）导数值为0的点不是极值点：3)(x x f =，0)0(='f ，0=x 不是极值点；（3）不可导点是极值点：||)(x x f =，当0=x 时，不可导，是极小值点；（4）不可导点不是极值点：31)(x x f =，当0=x 时，不可导，不是极值点.●活动二结合函数2)(x x f =与函数3)(x x f =的图像思考：导数为零是该点为极值点的什么条件？导数值为0的点只是该点为极值点的必要条件，其充分条件是该点两侧的导数值异号. 即可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件是：（1）必要条件：可导函数)(x f y =在0x x =处取得极值的必要条件是0)(0='x f .（2）充分条件：可导函数)(x f y =在0x x =处取得极值的充分条件是)(x f '在0x x =两侧异号．因此导数等于零的点不一定是极值点，极值点的导数一定为零，导数为零是某点为极值点的必要不充分条件.●活动三结合函数2)(x x f =与函数3)(x x f =的图像思考：单调函数有极值吗？有极值的函数单调吗？单调函数没有极值，有极值的函数不单调.问题探究三函数极值的求解步骤 ●活动一阅读教材P94的例4，根据例4及函数极值的概念归纳出求函数)(x f y =的极值的步骤．1．求函数)(x f y =的极值的方法解方程0)(='x f ，当0)(0='x f 时：(1)如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值．(2)如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是极小值．2．求可导函数)(x f y =的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数)(x f '；(2)求方程0)(='x f 的根（可能不止一个）；(3)用方程0)(='x f 的根，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，可将x ，)(x f '，)(x f 在每个区间内的变化情况列在同一表格中．检测)(x f '在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值．(4)求出极值．●活动二初步运用，运用导数求函数的极值例1 已知函数119)(23+--=x ax x x f 且12)1(-='f ．⑴求函数)(x f 的解析式；⑵求函数)(x f 的极值．【知识点：函数极值的求法；数学思想：数形结合】详解：⑴∵923)(2--='ax x x f ，又12923)1(-=--='a f ，∴3=a ．⑵由⑴得：)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，当31>-<x x 或时，0)(>'x f ，当31<<-x 时，0)(<'x f ，∴)(x f 在)1,(--∞，),3(+∞上为增函数，在)3,1(-上为减函数，∴函数)(x f 的极大值为16)1(=-f ，极小值为16)3(-=f ．点拨：求可导函数)(x f y =的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数)(x f '；⑵解不等式0)(>'x f 得增区间，解不等式0)(<'x f 得减区间，再判断0)(='x f 的解左右)(x f '的正负得极值点；⑶求出极值．●活动三对比提升，根据极值求参数例2 若函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处取得极值10，试求a ，b 的值．【知识点：根据极值求参数】详解：∵b ax x x f ++='23)(2，∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+++==++='114101)1(023)1(2b a a b a f b a f 或⎩⎨⎧=-=33b a ，但当⎩⎨⎧=-=33b a 时，0363)(2≥+-='x x x f 恒成立，故)(x f 在R 上单调递增，不可能在1=x 处取得极值，∴不合题意，舍去；而当⎩⎨⎧-==114b a 时，经检验知符合题意，故4=a ，11-=b ．点拨：已知函数的极值，求参数问题的解题步骤：求函数的导数)(x f '；⑵由极值点的导数为0，列出方程（组），求解参数．⑶当求出参数多于一组解时，一定要验证是否满足题目的条件．●活动四综合应用，函数的极值与零点问题例3 设函数)()(2R a e ax x f x ∈+=有且仅有两个极值点)(,2121x x x x <，求实数a 的值范围．【知识点：根据极值求参数的范围；数学思想：转化与化归、数形结合】详解：'()2x f x ax e =+，由题意20x ax e +=有两解，显然0x =不是此方程的解，方程可变形为2x e a x =-，问题转化为直线y a =与函数()2xe g x x=-的图象有两个交点．2(1)'()2x e x g x x-=-，当0x <时，'()0g x >，()g x 递增，且()0g x >，当01x <<时，'()0g x >，()g x 递增，且()0g x <，当1x >时，'()0g x <，()g x 递减，且()0g x <，所以1x =时，()g x 取极大值(1)2e g =-，又当x →+∞时，()g x →-∞，又当0x →+时，()g x →-∞，因此当(1)2e a g <=-时，直线y a =与函数()2x e g x x =-的图象有两个交点．另解：'()2x f x ax e =+，由题意20x ax e +=有两解，即2x e ax =-，问题转化为直线2y ax =-与函数x y e =的图象有两个交点，作函数x y e =图象，设直线y kx =与函数x y e =的图象相切，切点为00(,)x y ，x y e =的导函数为'x y e =，则0x e k =，00000x x y e k e x x ===，解得01x =，即切点为(1,)e ，此时k e =，作直线2y ax =-，由图象知直线与2y ax =-函数x y e =图象有两个交点时有2a e ->，即2e a <-．点拨：利用求函数极值的方法确定方程解的个数时，要根据所求极值，画出函数的大致图像，运用数形结合的思想求解.3．课堂总结【知识梳理】数学知识：(1)函数极值的概念以及极值的判定方法．(2)求解函数)(x f y =极值的步骤:①)确定函数的定义域，求导数f ′(x ) （养成研究函数的性质从定义域出发的习惯）；②求方程)(x f '=0的根； ③检查)(x f '在方程)(x f '＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点。

高二数学人教A版选修1-1第三章3.3.2函数的极值与导数导学案(含答案)

内容标准学科素养 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用． 2.掌握函数极值的判定及求法． 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.利用直观想象提升逻辑推理及数学运算[基础认识]知识点一极值点与极值的概念预习教材P 93－95，思考并完成以下问题 (1)观察函数f (x )＝13x 3－2x 的图象．f ′(－2)的值是多少？在x ＝－2左、右两侧的f ′(x )有什么变化？ f ′(2)的值是多少，在x ＝2左、右两侧的f ′(x )又有什么变化？提示：f ′(－2)＝0，在x ＝－2的左侧f ′(x )>0，在x ＝－2的右侧f ′(x )<0；f ′(2)＝0，在x ＝2的左侧f ′(x )<0，在x ＝2的右侧f ′(x )>0.(2)如图，函数f (x )在a ，b 点的函数值与它附近的函数值有什么关系？y ＝f (x )在a ，b 点的导数值是多少？在a ，b 附近，y ＝f (x )的导数的符号是什么？提示：可以发现，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0.类似地，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0.知识梳理极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．知识点二求函数y ＝f (x )的极值的方法知识梳理解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是________． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是________．提示：(1)极大值 (2)极小值[自我检测]1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点答案：C2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，则f (x )( )A ．有极大值2，极小值－2B ．有极大值－2，极小值2C ．无极大值，但有极小值－2D ．有极大值2，无极小值答案：B探究一极值与极值点的判断与求解[教材P98习题3.3A组4题]如图是导函数y＝f′(x)的图象，在标记的点中，在哪一点处：(1)导函数y＝f′(x)有极大值？(2)导函数y＝f′(x)有极小值？(3)函数y＝f(x)有极大值？(4)函数y＝f(x)有极小值？解析：(1)点x2处f′(x)有极大值．(2)点x1、x4处f′(x)有极小值．(3)点x3处f(x)有极大值．(4)点x5处f(x)有极小值．[例1](1)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值[解析]由导函数的图象可知：当x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x＝0处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，故选C.[答案] C(2)求下列函数的极值：①f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；②f(x)＝x2－2ln x.[解析]①函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )极大值21极小值－6所以当x 当x ＝1时，f (x )取极小值－6.②函数f (x )＝x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x ，解方程2(x ＋1)(x －1)x ＝0，得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f (x )极小值1因此当x ＝1时，f (方法技巧 1.通过导函数值的正负确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x 轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点．2．求可导函数f (x )的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )． (2)求f (x )的拐点，即求方程f ′(x )＝0的根．(3)利用f ′(x )与f (x )随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．特别提醒：在判断f ′(x )的符号时，借助图象也可判断f ′(x )各因式的符号，还可用特殊值法判断．跟踪探究 1．如图为y ＝f (x )的导函数的图象，则下列判断正确的是( )①f (x )在(－3，－1)上为增函数；②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x ＝2是f (x )的极小值点．A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①③④解析：由f ′(x )的图象知，－3<x <－1时，f ′(x )<0；f ′(－1)＝0；－1<x <2时，f ′(x )>0；f ′(2)＝0；2<x <4时，f ′(x )<0故f (x )在(－3，－1)和(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数，f (－1)是极小值，f (2)是极大值，所以②③正确，故选B.答案：B2．判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由． (1)y ＝13x 3＋4；(2)y ＝e xx (x >0)．解析：(1)f ′(x )＝x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝0.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 ＋ f (x )单调递增无极值单调递增(2)y ′＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，令y ′＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减极小值单调递增探究二利用函数极值确定参数的值[教材P 110复习参考题A 组7题]已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，求c 的值．解析：∵f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ， ∴f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2.∴f ′(2)＝0，即3×4－8c ＋c 2＝0，得c ＝2，或c ＝6. 但c ＝2时，f (2)是极小值，不合题意，舍去，所以c ＝6.[例2] (1)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＝________，b ＝________. (2)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则a 的取值范围为________．[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数．故f (x )在x ＝－1处取得极小值， ∴a ＝2，b ＝9.(2)∵f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根， ∴Δ＝4－4a >0，解得a <1. [答案] (1)2 9 (2)(－∞，1)方法技巧已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪探究 3.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．解析：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，∴x ＝±1是方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a＝0， ①c3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1. 探究三函数极值的综合应用[例3] 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．[解析] 因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ，所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调减区间为(－1,1)， f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. 作出f (x )的大致图象如图所示．因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象可知，m 的取值范围是(－3,1)．方法技巧利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．延伸探究若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”，结果如何？改为“一个交点”呢？解析：由本例解析可知当m ＝－3或m ＝1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点；当m <－3或m >1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象只有一个交点．跟踪探究 4.已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解析：由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，∴13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点．∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8 ＝(3x －2)(x －4)，∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：则函数g (x )的极大值为g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m . ∵由y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0，解得－16<m <6827.即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－16，6827.[课后小结](1)在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值． (2)函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．(3)利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．[素养培优]1．误把导函数的零点当作函数的极值点求函数f (x )＝x 4－x 3的极值，并说明是极小值还是极大值．易错分析本题易错将导数为零的点都认为是极值点，其实不然，导数为零仅是零点是极值点的必要不充分条件，错解中还有一个误区就是认为极大值一定大于极小值．事实上，极值仅描述函数在该点附近的局部特征，极大值未必一定大于极小值．考查逻辑推理及数学运算．自我纠正 f ′(x )＝4x 3－3x 2，令f ′(x )＝0, 即4x 3－3x 2＝0时，得x 1＝0，x 2＝34.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：由上表可知函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，在区间⎝⎛⎭⎫0，34上还是减函数，所以x ＝0不是函数的极值点，而函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，34上是减函数，在区间⎝⎛⎭⎫34，＋∞上是增函数，所以函数f (x )在x ＝34处取得极小值，极小值为－27256.2．误把切点当作函数的极值点已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x －2，求f (x )的解析式．易错分析本题错在将切点当做极值点，得到f ′(1)＝0的错误结论．其实，虽然切点和极值点都与导数有关，但它们却是两个完全不同的概念，不能混为一谈．考查逻辑推理及数学运算的学科素养．自我纠正 f ′(1)表示函数f (x )的图象在点(1，－1)处的切线斜率，应有f ′(1)＝1，再联立f (0)＝1，f (1)＝－1便可得到正确答案：a ＝52，b ＝－92，c ＝1，因此f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。

人教版高中数学优质教案：3.3.2 函数的极值和导数教学设计

3.3.2 函数的极值与导数教学目标重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.知识点：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤. 教具准备：多媒体课件课堂模式：设计学案，借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。

一. 引入新课师：通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？生：在某个区间),(b a 内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减．如果0)(/=x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内是常函数．【设计意图】回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系. 二．探究新知师：观察表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象，回答以下问题（1）当a t =时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数)(t h 在a t =处的导数是多少呢？（2）在点a t =附近的图象有什么特点？（3）点a t =附近的导数符号有什么变化规律？师生共同归纳: 函数)(t h 在a t =点处0)(/=a h ,在a t =的附近,当a t <时,函数()h t 单调aoht递增, 0)(/>t h ;当a t>时,函数()h t 单调递减, 0)(/<t h ,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, )(/t h 先正后负,且)(/t h 连续变化,于是0)(/=a h .【设计意图】用高台跳水的例子发展学生的数学应用意识，发挥学生的主体作用.用信息技术辅助教学，突破难点.【设计说明】对学生解决不了的问题，重点讲解思路与方法，引导学生最终去解决问题，以生成新目标、新知识、新能力.师：对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？观察下图所表示的)(x f y =的图象，回答以下问题：（1）函数)(x f y =在b a ,点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2）函数)(x f y =在b a ,点的导数值是多少?（3）在b a ,点附近,)(x f y =的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?如图，函数)(x f y =在h g f e d c b a ,,,,,,,等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？)(x f y =在这些点的导数值是________,在这些点附近，)(x f y =的导数的符号有什么规律？【设计意图】用两个例子使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，引导学生创新与实践.培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神. 理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法.【设计说明】两种情况分析一种，另一种鼓励学生用类比的方法自己归纳.帮助学生进一步了解极值点和极值的含义，增强学习的信心，让学生体验成功的喜悦.通过思考与讨论，进一步了解极值点和极值的含义，知道极值刻画函数的局部性质,培养学生合作交流的精神. 三. 理解新知师生共归纳：极值的定义：在a x =附近，)(x f 先减后增，)('x f 先___后___，)('x f 连续变化，于是有0)('=a f ．)(a f 比在点a x =附近其它点的函数值都小.我们把点a 叫做函数)(x f y =的__________,)(a f 叫做函数的___________.在b x =附近，)(x f 先增后减，)('x f 先___后___，)('x f 连续变化，于是有0)('=b f ．)(b f 比在点b x =附近其它点的函数值都大.我们把点b 叫做函数)(x f y =的__________,)(b f 叫做函数的___________.极小值点和极大值点统称为_____________，极大值和极小值统称为_____________. 负、正、极小值点、正、负、极大值点、极大值、极值点、极值【设计意图】根据探究，总结极小值点、极小值、极大值点、极大值、极值点、极值的定义,培养学生的归纳能力.练习1：师：判断正误：点0=x 是函数3x y =的极值点. 画函数图像，观察得出结论：函数3x y =在0=x 处导数为0，但在该点两侧都单调递增，无极值，故导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.【设计意图】通过一道判断题，分解难点.培养学生的观察、概括及表达能力，帮助学生进一步了解极值点和极值的含义.师：通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点0x 取得极值的充要条件吗？充要条件：0)('0=x f 且点0x 的左右附近的导数值符号要相反练习2：下图是导函数)('x f y =的图象，试找出函数)(x f y =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点，极大值一定大于极小值吗？不一定，极值是函数的局部性概念练习3:如图是函数)(x f y =的图象,试找出函数)(x f y =的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数)(/x f y =的图象呢?【设计意图】通过练习，进一步突出重点，使学生从感性认识升华到理性认识.通过练习1突出判断极值点的条件，从而突破难点.练习2帮助学生理解极值是函数的局部性质.练习3给的图像是原函数和导函数的图像，进一步让学生区分如何用原函数和导函数的图像判断函数的极大值与极小值.从而突出重点、突破难点. 四．运用新知例1、求函数4431)(3+-=x x x f 的极值教师分析:①求)(/x f ,解出0)(/=x f ,找函数极值点②由函数单调性确定在极值点0x 附近)(/x f 的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.学生动手做,教师引导.解:∵4431)(3+-=x x x f ∴4)(2/-=x x f 令0)(/=x f ,解得2,2-==x x 或. 下面分两种情况讨论:(1) 当0)(/>x f 时,即2,2-<>x x 或; (2) 当0)(/<x f 时,即22<<-x .当x 变化时, )(/x f ,)(x f 的变化情况如下表:因此,当2-=x 时, )(x f 有极大值,且极大值为 ;当2=x 时, )(x f 有极小值,且极小值为思考：根据上表，你能画出该函数的大致图象吗？函数4431)(3+-=x x x f 的图像如图所示归纳：求函数)(x f y =极值的方法是: 求)(/x f ,解方程0)(/=x f ,解得0x x =(1) 如果在附近的左边0)(/>x f ,右边0)(/<x f ,那么)(0x f 是极大值. (2) 如果在附近的左边0)(/<x f ,右边0)(/>x f 那么)(0x f 是极小值讨论：求极值的步骤(1)求导 (2)求极值点 (3)讨论单调性 (4)列表 (5)写出极值.328)2(=-f 34)2(-=f 0xx【设计说明】例题由老师板书，体现示范功能,为解此类问题提供经验.表格的使用，可使极值点两侧的增减性一目了然.图象是函数性质的直观载体，根据极值自己作图可为我们的结论提供直观验证，进一步培养学生数形结合的能力.【设计意图】通过典型例题巩固学生对新知识的理解,通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方法，突出本节课的重点.培养学生规范的表达能力，形成严谨的科学态度.作图时先作出两个极值点，再根据单调性作图.通过作图，使学生掌握数形结合思想及作图的一般步骤.练习．求下列函数的极值.(1)x x y 273-= (2) 求()1132+-=x y 解：(1) ()()()333273'27'23-+=-=-=x x x x x y令0'=y ，解得31-=x ，32=x . 当x 变化时，'y ，y 的变化情况如下表.∴当-3x =时，y 有极大值，且54y =极大值. 当3x =时，y 有极小值，且-54y =极小值 (2)解：()2222)1()1(616'-+=-=x x x x x y , 令0'=y 解得11-=x ，02=x ，3=x当x 变化时，'y ，y 的变化情况如下表∴当0=x 时，y 有极小值且0y =极小值【设计意图】练习源于例题，让学生板演，关注学生的数学表达，学生提供的反馈素材，应及时校正.照顾学有余力的学生，灵活运用所学知识，培养其逆向思维和化归转化的数学思想和方法.【设计说明】通过练习、巩固提高.例2. 设()cx bx ax x f ++=23，在1x =和1x -=处有极值，且()11-=f ,求c b a ,,的值，并求出相应的极值.解：c bx ax x f ++=23)(2/，∵1x ±=是函数的极值点，则1,1-是方程0)(/=x f 的根，即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-a c a b 313211⇒⎩⎨⎧-==a c b 30，又1)1(-=f ，则有1-=++c b a ，由上述三个方程可知23,0,21-===c b a ，函数的表达式为x x x f 2321)(3-=，∴2323)(2/-=x x f ，令0)(/=x f ，得1x ±=，当x 变化时，)(/x f ,)(x f 的变化情况表：由上表可知因此,当1-=x 时, )(x f 有极大值,且极大值为 ;当1=x 时, )(x f 有极小值,且极小值为练习.已知()()0223≠++=a bx ax x f 在1=x 处取得极值2-，求b a ,的值.五.课堂小结 1.函数极值的定义2.求函数()x f y =极值的方法是:求)(/x f ,解方程0)(/=x f ,解得0x x =(1)如果在附近的左边0)(/>x f ,右边()0f x '<,那么)(0x f 是极大值. (2)如果在附近的左边0)(/<x f ,右边0)(/>x f 那么)(0x f 是极小值. 3.一个点为函数的极值点的充要条件.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是1)1(=-f 1)1(-=f 0x 0x极值点，要看这点两侧的导数是否异号.【设计意图】通过师生共同反思，优化学生的认知结构.六. 布置作业（配套作业）。

高中数学人教A版选修1-1第三章3.3.2函数的极值与导数教学设计

高中数学人教A版选修1-1第三章3.3.2函数的极值与导数
教学设计
【名师授课教案】
1教学目标
1.了解极大(小)值的概念;结合图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;
2.能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值,极小值.
2学情分析
班级学生为年级平行班,基础一般处于中等水平,理解能力和计算能力有待加强,在讲解过程中需适度减慢语速,做好重点强调,方法的理解与应用需循序渐进式的讲透,做好巩固训练。

3重点难点
1.导数的意义;
2.最值极值的求解;
3.函数单调性的渗透与认识;
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】函数的极大值和极小值
自学导引 :
1.如果不等式对一切x∈(u,v)成立,就说函数在x=c处取得极大(小)值,称c为f(x)的一个极大(小)值点, 为f(x)的一个极大(小)值.极大值,极小值统称
,极大值点和极小值点统称
为 .
2.
如果函数f(x)在某个区间内有导数,求极值的一般方法为:
(1)求导数f′(x);
(2)求f(x)的驻点,即求的根;
(3)检查f′(x)在驻点左右的符号,如果在驻点左侧附近为。

人教A版选修1-1教案：3.2函数的极值与导数(含答案)

§1．3．2函数的极值与导数（1课时）【学情分析】：在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。

在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。

【教学目标】：（1）理解极大值、极小值的概念.（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.（3）掌握求可导函数的极值的步骤【教学重点】：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.【教学难点】：极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤课后练习1、函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 必要非充分条件答案 D 对于3'2'(),()3,(0)0,f x x f x x f ===不能推出()f x 在0x =取极值，反之成立2、函数()323922y x x x x =---<<有（） A 极大值5，极小值27- B 极大值5，极小值11-C 极大值5，无极小值D 极小值27-，无极大值答案C '23690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'0y < 当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值3、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（）A 1个B 2个C 3个D 4个答案 A 极小值点应有先减后增的特点，即'''()0()0()0f x f x f x <→=→>4、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a=( ) A, 2 B. 3C. 4D. 5答案：5、若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；答案6 '22'2()34,(2)8120,2,6f x x c xc f c c c =-+=-+==或，2c =时取极小值6、函数1()cos sin 22f x m x x =+在4x π=处取得极值，则m=__________答案7、已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3；（１）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值解：（1）'232,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，即320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩（2）32'269,1818y x x y x x =-+=-+，令'0y =，得0,1x x ==或0|0x y y =∴==极小值。

高中数学新课标人教A版选修1-1《3.3.2 函数的极值与导数》课件

x
(－∞，－1) －1 (－1，1) 1
f′(x)
－
0
＋
0
f(x)
－3
－1
(1，＋∞) －
课前探究学习
课堂讲练互动第十二页，编辑于星活期页一：规点十范二训分。练
由上表可以看出：当 x＝－1 时，函数有极小值，且极小值为 f(－1)＝－3；当 x＝1 时，函数有极大值，且极大值为 f(1)＝－1. 规律方法求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表．解题时注意导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，则不是极值．
课前探究学习
课堂讲练互动第二十五页，编辑于活星页期一规：点范十训二分练。
当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2；当 x＝ 2时，f(x)有极小值 5－4 2.
(2)由(1)的分析知 y＝f(x)的大致走向如图所示，当 5－4 2＜a＜5＋4 2时，直线 y＝a 与 y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根．
课前探究学习
课堂讲练互动第二十三页，编辑于活星页期一规：点范十训二分练。
【题后反思】用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定函数的图象与 x 轴的交点个数．
课前探究学习
课堂讲练互动第二十四页，编辑于活星页期一规：点范十训二分练。
【变式 3】设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取值范围．解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0，解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0；当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0，所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)；单调递减区间为(－ 2， 2)．

人教A版高中数学选修1-1 3.3.2 函数的极值与导数教案

函数的极值与导数一、教学目标1、知识技能目标：掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；了解可导函数极值点0x 与)(0x f '=0的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.2、过程与方法目标：培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

3、情感与态度目标：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；体会数学中的局部与整体的辨证关系. 二、教学重点.难点教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤；教学难点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤．三、学情分析在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。

四、教学方法师生互动探究式教学五、教学过程新课引入观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a=附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号六、自主学习探究问题：图 1.3-8（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图1.3-8（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？（1）通过观察图像，我们可以发现：运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．分析归纳，抽象概括我们把点a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;点b 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极小值.极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统称极值. 注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点知识应用，深化理解例1．（课本例4）求()31443f x x x =-+的极值解：因为()31443f x x x =-+，所以()'24(2)(2)f x x x x =-=-+。