2012高教杯数学建模B题答案

S1 S2 S3
模型建立及求解
（一） 问题一模型的建立与求解 1、准备工作： 按照题目的要求，将需要用到的数据，利用 EXCEL 求解，以表格的形式给出（见表 一、表二、表三）
表一： 全年光强之和 T（单位：W/mm ） ： 东向光强之和 西向光强之和 南向光强之和 北向光强之和 594213.54 881238.3 1590988.38 261478.82 2 表二：总面积 S i （去掉通风口的面积） （单位： mm ） ： 东墙 24230000 A1 1276640 B1 1932450 B7 1668000 C6 110050 西墙 26980000 A2 1938396 B2 1938396 C1 1430000 C7 110700 南墙 28896600
太阳能小屋的优化设计
摘要
当今世界不可再生能源日益短缺，能源成为可持续发展的一大关键问题，如何充分 利用可再生能源成为一项迫在眉睫的研究课题。太阳能作为一种新兴的绿色能源，越来 越受到人们的重视，光伏电池是太阳能光伏发电系统中的核心部分，用光伏电池铺设建 筑物成为当务之急。 本文就山西省大同县所建立的太阳能小屋的光伏电池的铺设问题进行探讨，希冀太 阳能小屋全年发电总量尽可能大而单位发电量的费用尽可能的小。为此，首先给出两种 情形下的电池板的最优铺设方案，第一种情形：考虑大同县的气候因素与贴附方式下安 装光伏电池，给出电池板的最优铺设方案并得到净利润为115044.80元，成本回收年限 为17.1年，总发电量为520996.8kwh。第二种情形：考虑电池板的朝向与倾角以及架空 的方式下，得到最佳倾角为30.5度，给出电池板的最优铺设方案并获得净利润为 121023.56元。然后选择太阳能小屋的最佳方位，合理设计太阳能小屋的外表面，给出 光伏电池板的最优铺设方案，并获得净利润为：127716.55元。 问题一，对于仅考虑贴附安装方式，每一面墙上只考虑选用一种类型的电池板，根 据每一面墙面积的大小计算出所需要的电池板的个数。考虑光伏电池组件折旧的情况 下，计算出每一面墙用一种型号的电池在单位面积上 35 年的总收益，根据附件 2 所给 的太阳能小屋的规格算出每面墙的面积，即可得到每一门面墙因光伏电池发电多得的总 收益。根据附件 3 所给的光伏电池附件的价格，计算出每面墙所投入的成本。在不考虑 贴附电池板手工费用的情况下， 根据每面墙所能铺设的电池的型号以及个数计算出总投 入，从而得到净收益。 问题二，考虑架空方式，对光伏电池的倾角进行修正，借助问题一的研究思想，再 结合山西省大同县地理位置（主要考虑每天每时的法向辐射光照辐射强度） ，利用积分 法得到每天的光照总强度，求和得倾斜光伏电板一年的受光强度。进而利用数学软件 Matlab 编程，经过筛选得到最佳倾角和净利润。 问题三，依据附件 7 的条件设计发电量大投入少的太阳能小屋，写出规划条件，利 用 LINGO 软件处理数据，寻找目标函数，最后找到小屋最佳尺寸。设计太阳能小屋的屋 顶的倾角为 30.5 度，电池板将光能转换电能转换率最大，以获得最大收益。
问题分析
(一)问题一的分析 假定不考虑光伏电池发电效率受光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度影响的 情况下，只考虑大同市的气象与气候条件因素，对附件 2 中给的小屋模型外表面进行光 伏电池的贴附式铺设，选取合适的电池组件和逆变器，使得所给的铺设方案能盈利尽可 能多，也即就是，在全年发电总量尽可能大且成本费用尽可能小。 为了实现这一目标，必须寻求一个最优化的铺设方案。由于每一面墙的光照强度各 不相同，且不同墙面及屋顶铺设光伏电池组件时不能进行串联或者并联（无论是同一型 号的光伏电池还是不同型号的光伏电池） ，导致各面墙的光伏电池之间没有连接关系， 由此将单独考虑各个墙面，给出每个墙面的铺设方案，将所有的铺设方案图结合一起就 完成了最优铺设方案。 首先，为了问题简化其间，每一面墙上只考虑选用一种类型的电池板，根据每一面 墙面积的大小计算出所需要的电池板的个数。 其次，考虑光伏电池组件折旧的情况下，计算出每一面墙用一种型号的电池在单位 面积上 35 年的总收益，根据附件 2 所给的太阳能小屋的规格算出每面墙的面积，即可 得到每一门面墙因光伏电池发电多得的总收益。 然后，考虑总成本。在不考虑贴附电池板手工费用的情况下，根据在上一步的计算
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过程中得到每面墙所能铺设的电池的型号以及个数，根据附件 3 所给的光伏电池附件的 价格，计算出每面墙所投入的成本。 接下来，不考虑逆变器时的净收益。用总收益减去总投入得到净收益。通过观察， 直接刷选掉净收益为负值的这些贴附方式。这一步，所有能用的铺设方案在不考虑逆变 器的成本情况下，北面墙的收益总为负值，故北面墙不铺设光伏电池。 最后，考虑逆变器时的净收益。若采用两个或两个以上的小功率容量逆变器，价格 仍然高于一个较大功率容量的逆变器，因此我们每面墙就选用一个逆变器。因为每面墙 所选用的光伏电池型号只有一种， 光伏电池的总输出功率等于每个电池的功率与电池个 数之积。将电池总输出功率和逆变器的额定输入功率进行比较，再对照逆变器的价格， 从而基本上可以选定逆变器。由于逆变器有逆变效率，因此总的收益会有一定的降低， 同时成本又有所增加，在这种情况下，计算出东墙和北面的屋顶无论贴哪一种都是负盈 利，因此对东面墙和北面屋顶墙都不需要铺设光伏电池。 除北面墙、东面墙和北面屋顶墙外，其余的每一墙面中，根据目标函数（净收益） 能取得最大，给出约束条件，利用 Matlab 优化工具箱解线性规划，最后给出解决方案。 (二)问题二的分析 该问题是在不仅考虑到大同地区气候与气象条件而且还考虑电池板的朝向与倾角 因素影响下采用架空式的方式安装光伏电池，给出盈利尽可能多的铺设方案。 电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，问题一只考虑到电池板的贴 附方式，太阳辐射强度在地球大气层外界是基本不变的,但是到达地球表面的辐射变化 很大. 即使是在同一地点,不同倾角接收面上所获得的太阳辐射能也有很大差异. 通常 情况下,固定式太阳能光伏板都是与水平面成一定角度放置,以求获得最大的太阳辐射 量. 不同的倾角,光伏板上接收到的太阳辐射量差别很大. 计算地球表面任一点的太阳 辐射量,和一些基本的天文参数密切相关, 主要包括地球表层大气外界上空的垂直太阳 辐射强度、赤纬、太阳高度角、太阳方位角和日出日落时刻等。考虑到外观，我们只架 空屋顶，利用 matlab 编程，以电池板倾斜角为自变量，主要采用积分法对每天电池板 所接收的光能总强度（直接辐射和散射辐射，不考虑反射）进行计算，继而求出一年内 电池板接收太阳能总量。通过比较各倾斜角所对应能量的高低，筛选出最高能量值对应 的倾斜角，即为所求。 (三)问题三的分析 问题三的提出能够充分发挥我们的想象力在一定条件下建立一个太阳能小屋使空 间充分利用，使光能最大化转换成电能为居民使用，从而使能源最优化,太阳以辐射的 形式向地球持续不断地输送能量 ,是地球生物和各种物理过程获取能量的主要源泉之一. 太阳辐射强度在地球大气层外界是基本不变的,但是到达地球表面的辐射变化很大. 即 使是在同一地点,不同倾角接收面上所获得的太阳辐射能也有很大差异. 通常情况下, 固定式太阳能光伏板都是与水平面成一定角度放置,以求获得最大的太阳辐射量. 不同 的倾角,光伏板上接收到的太阳辐射量差别很大。问题二已经证明太阳能电板以一定的 角度倾斜在相同的情况下转化率变大，再根据季节调整倾角光伏电板可以使转化率更 大，根据可靠研究：根据季节调整倾角的光伏板接收的年辐射能,与水平和年最佳倾角 放置的光伏板相比，分别提高了11.5 %和4.1 %。 问题三属于线性规划数学问题，根据附录七的太阳能小屋的要求，建筑采光要求至 少满足窗地比大于等于 0.2， 由于在问题一中已经证明墙的北面无论怎样组合均不盈利， 故墙的北面不伏电池板，其他的三面均有盈利，故分析窗户尽可能按在北面，建筑节能 要求应满足窗墙之比南墙小于等于 0.5，东墙西墙小于等于 0.35，北墙小于等于 0.3， 这些数据告诉我们窗户尽量安排在东墙和北面墙，根据这些数据写出约束条件，再根据
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问题二的结论结合收益的最大化，写出目标函数，再编写程序解决。
模型假设
假设题目所给的数据真实可靠； 不考虑人工及运输费用； 问题一的假设： 门窗不可覆盖； 问题二的假设： 1、山西省全年均为晴天； 2、忽略太阳的辐射和反射； 3、忽略太阳辐射透明度系数； 问题三的假设： 1、不考虑电板的铺设影响美观； 2、设在问题一不考虑电池板的角度对光的利用率； 3、不考虑自然因素对电板的安全考虑。
符号说明
符号
si Si
含义说明 光伏电池面积 墙体面积 各个墙面单位面积 35 年总收益 各个墙面的净收益 面板的个数 单个组件功率 组件总功率 各个方位光强之和 光伏电池的转换效率 逆变器逆变效率 逆变器价格 光伏组件总投入 单位光伏组件费用 光伏电池板倾角 天数 太阳赤纬 纬度 倾斜面上日出日落时间 倾斜面上日出时刻 倾斜面上日落时刻 任意时刻法向直射强度
2 2
南顶光强之和 1590988.38 南顶 64362453 A5 1635150 B5 1940352 C4 1540000 C10 290390
北顶光强之和 868544.3 北顶 14031342 A6 1938396 B6 1940352 C5 1540000 C11 1171240
北墙 27239000 A4 1637792 B4 1626880 C3 1575196 C9 326600
关键词 ：太阳能小屋，优化铺设，贴附方式，架空方式，线性规划，Matlab 工具箱
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问题重述
在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池 组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成 220V 交流电才能供家庭使用，并将剩余电 量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或 发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理 纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小 屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。 参考所给出的附件对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使 小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小 屋光伏电池 35 年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按 0.5 元/kWh 计算） 及投资的回收年限。 要求：在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组 阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配 逆变器规格列表。 在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串 联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行 串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。 问题 1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组 件，对小屋（见附件 2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选 配相应的逆变器的容量和数量。 问题 2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安 装光伏电池，重新考虑问题 1。 问题 3：根据附件 7 给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画 出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方 式，选配逆变器，计算相应结果。