2020年全国初中数学竞赛山东赛区预赛初中数学

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2020年全国高中联赛山东赛区预赛试卷

∴ D 0,1 是一系列Δ ABC 的外接圆所经过的定点．
9．设 OABC 是边长为 1 的正四面体，E、F 分别为 AB 与 OC 的中点，
则异面直线
OE
与
BF
的距离是
．
__________________________________________________________________
2．已知 a 0 ，函数 f x ax2 bx c, g x ax b 满足：
当 x 1时， f
x
1，且 g x 有最大值 2，则 f
x
．
__________________________________________________________________
【解析】将盒子任意翻动时，小球达不到的空间有两类：一是正方体 8 个角处的空间，二是正方体 12 条棱处的空间．
其中 8 个角处的空间可以合并为棱长为 2 的正方体挖掉半径为 1 的小球，其体积为 8 4 ； 3
12 条棱处的空间合并为 3 个空心正四棱柱(底边长 2 高 4 的正四棱柱挖去一底半径 1 高 4 的圆柱)，
又a
b ,c q
bq 代入上式得： bx
xd
bq①,
b q
b②,bqxd
b③， q
②×③再代入①得： b2 b2xq2d bq 2 q2d =b2q2d 2 ，∴ q2d3 1，
q
又 q 1，∴ 2d 3 0 ，∴ d 3 ． 2
法二：记 lg a x, lg c y ，则 lg b x y ，且 x y ， 2
∴ da cos A ，同理可得： db cos B , dc cos C ，
db cos B

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xx 学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:方程||x-3|+3x|=1的解是 .试题2:某建筑公司承包了两项工程，分别由两个工程队施工，根据工程进度情况，建筑公司可随时调整两队的人数，如果从甲队调70人到乙队，则乙队人数为甲队人数的2倍，如果从乙队调若干人去甲队，则甲队人数为乙队人数的3倍，问甲队至少有多少人？试题3:△ABC中，AB=1,AC=2,D是BC中点,AE平分∠BAC交BC于E,且DF∥AE.求CF的长.试题4:AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若BC=a,CA=b,AB=c,则AD2+BE2+CF2= .试题5:如图，在△ABC中，AB=AC, AD⊥BC, CG∥AB, BG分别交AD,AC于E,F.若，那么等于 .评卷人得分试题6:三角形的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是钝角三角形C. 一定是直角三角形D. 与原三角形相似试题7:有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3∶5，则桶的容积为（）A.30升B.40升C.50升D.60升试题8:全班有70%的学生参加生物小组，75%的学生参加化学小组，85%的学生参加物理小组，90%的学生参加数学小组，则四个小组去参加的学生至少占全班的百分比是（）A.10%B.15%C.20%D.25%试题9:如图，△ABC中，∠B=400，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E,且∠EAB∶∠CAE=3∶1，则∠C等于（）A. 280B. 250C.22.50D.200试题10:由一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p、q，则p、q等于（）A.0B.1C.1或-2D.0或1试题11:两个相似三角形，他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（）A.52B.54C.56D.58试题12:满足不等式组的所有整数的个数为 ( )A.1B.2C.21D.22试题13:化简得（）试题14:有两个二位数，它们的差是58，它们的平方数的末两位数相同，则这个二位数是 .试题1答案:-2或-1试题2答案:解：设甲队有x人，则乙队有[2(x-70)-70]人，即乙队有(2x-210)人设从乙队调y人去甲队，甲队人数为乙队人数的3倍，则3(2x-210-y)=x+y,即 x=126+y由y>0知y至少为5，即x=126+4=130.所以甲队至少有130人. 试题3答案:解：分别过E作EH⊥AB于H，EG⊥AC于G,因AE平分∠BAC,所以有EH=EG从而有又由DF∥AE,得所以CF=CA==试题4答案:试题5答案:试题6答案:A试题7答案:B试题8答案: C试题9答案: A试题10答案: C试题11答案: B试题12答案: C试题13答案: D试题14答案: 79和21。

2020年全国高中联赛山东赛区预赛试卷

密封线上请不要答题 2020年全国高中数学联赛山东赛区预赛试卷一.填空题(本题共12道小题,每题5分,共60分) 1.数列{a n }是集合{2x +2y +2z |0≤x<y<z,x,y,z ∈Z}中的数从小到大排成的数列, 则a 2020=_________________(用2a +2b +2c 的形式表示);2.设二次函数f (x)=a x 2+b x+c (a >0)和一次函数y=a x+b 满足:当|x|≤1时,|f (x)| ≤1且y=a x+b 有最大值2.则二次函数f (x)=__________________.3.经过曲线xy 1=与y=x 2+3x -7交点的圆的方程是_______________________; 4.设ΔABC 中∠A=450,∠B=600,则其外心O 到三边距离之比为___________;5.正实数a,b,c 成等比数列(q ≠1),log a b,log b c,log c a 成等差数列.则公差d =______;6.设A,B,C 为ΔABC 的三个内角,则使得CB A cos 23sin 1sin 1+≥+λ恒成立的实数λ的最大值是——————;7.随机选取{1,2,…,n}中r(1≤r ≤n)个元构成子集的最小数的期望值是________.8.与坐标轴交于三个不同点A,B,C 的所有抛物线y=x 2+ax +b ,ΔABC 的外接圆恒过同一定点___________;9.设OABC 是边长为1的正四面体，E 、F 分别为AB 与OC 的中点.则异面直线OE 与BF 的距离是________________;10.一棱长为6的正方体封闭空盒子中放有一半径为1的小球,若将盒子任意翻动,则小球达不到的空间的体积是_____________ .得分姓名____________________ 学校____________________________坐号____11.数列{a n }共1001项,a 1=0,a 1001=2020,且a k+1-a k =1或3,k=1,2,…,1000.则满足这种条件的不同数列的个数为______________(用组合数作答);12.用6种不同颜色,给图中n(n≥2)个彼此相连的区域A 1,A 2,…,A n 染色,任何相邻的两个区域染不同色,则所有不同的染色方案种数a n =_________________;二.解答题(本题共4道小题,每题20分,共80分)13.设a 为常数,0<a ≠1.求所有函数f :R +→R,对任意x,y ∈R +,f (xy)=f (x)+f (y) 且f (a )=1.得分 A 2A 3 A 4 A n A n －1 A 1 … A n-2 P姓名____________________ 学校____________________________坐号____14.设AB 为椭圆161622=+y x 的长轴,该椭圆的动弦PQ 过C(2,0),但不过原点, 直线AP 与QB 相交于点M,PB 与AQ 相交于点N.求直线MN 的方程.得分姓名____________________ 学校____________________________坐号___________15.已知a ,b 均为正整数,且a >b,)20(2sin 22πθθ<<+=ba ab .证明:对一切正整数 n,存在锐角ϕ,使得)sin()(222ϕθ++n b a n 均为整数,得分姓名____________________学校____________________________坐号___________ 16.求最小的正整数k,使得在任意k个整数中,总可以选出其中的偶数个数,其和为2020的倍数.得分。

2020-2021学年全国初中数学竞赛试题(含答案)

2020年全国初中数学竞赛试题（含答案）考试时间 2020年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里。

不填、多填或错填均得0分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）902．已知21 m ，21 n ，且)763)(147(22 n n a m m =8，则a 的值等于（）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）93．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y 上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2（D ）h >24．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A ）2020 （B ）2020 （C ）2020 （D ）20205．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QA QC的值为（）（A ）132 （B ）32（C ）23 （D ）23 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2020，c －a =2020．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为．7．如图，面积为c b a 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则b ca 的值等于．8．正五边形广场ABCDE 的周长为2020米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A !’B !’C !’D !’E !’A !’…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．9．已知0<a <1，且满足183029302301 a a a ，则 a 10的值等于．( x 表示不超过x 的最大整数)10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知a bx，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312 x ．试写出一个满足条件的x ；（1）（第7题图）ABCDGFE求所有满足条件的x ．（2）12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222 a a c b ①542 a a bc ②求a 的取值范围．13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE·AC=CE·KB ．A14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．2020年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

山东省初中数学竞赛试题2-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷

山东省初中数学竞赛试题2-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载山东省初中数学竞赛一. 选择题(每小题6分,共48分)1、已知命题“有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形”，则（）A、这个命题和它的否命题都是真命题B、这个命题和它的否命题都是假命题C、这个命题是真命题，而它的否命题是假命题D、这个命题是假命题，而它的否命题是真命题2、一项工程，甲建筑队单独承包需要a天完成，乙建筑队单独承包需要b天完成。

现两队联合承包，那么，完成这项工程需要（）A、天B、天C、天D、天3、如图1，∠CGE=α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A、360°-αB、270°-αC、180°+αD、2α4、如果x + x-1 = 1，那么（）A、(x+1)(x-1)>0B、(x+1)(x-1)<0C、(x+1)(x-1)≥0D、(x+1)(x-1)≤05、与最接近的整数是（）A、5B、6C、7D、86、已知a、b、c、d都是正实数，且。

则A=与0的大小关系是（）A、A>0B、A≥0C、A<0D、A≤07、若方程有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是（）A、p≤0B、p<C、0≤p<D、p≥8、如图2，S∠AFG=5a，S∠ACG=4a , S∠BFG=7a。

则S∠AEG=（）A、B、C、D、二、填空题（每小题8分，共32分）1、已知。

则yx=__________2、已知a、b、c为不等于零的实数，且a+b+c=0。

则的值为_________3、如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠C= 90°，AB=AD。

若这个四边形的面积为12，则BC+CD=________。

4、如图4，在矩形ABCD的边AB上有一点E，且，DA边上有一点F，且EF=18，将矩形沿EF对折后，点A落在边BC上的点G，则AB=______。

2020年初三学科竞赛考试数学试题(含答案)

（1）求证:△AEF≌△BEC；
（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，如图2，求sin∠ACH的值．
24．（本题满分13分）在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D， DE⊥DB交AB于点E．
（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案。
第 Ⅰ 卷（选择题共36分）
1、选择题（本题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题3分,满分36分）
1．计算下列各式，结果为负数的是
试卷类型：A
2020年初三学科竞赛考试
数学试题
温馨提示：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1－2页为选择题，共36分；第Ⅱ卷3－8页为非选择题，共114分。满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目、试卷类型涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并上交。
（1）本次抽样调查的养殖户的总户数是；把图2条形统计图补充完整．
（2）若该地区建档的养殖户有1500户，求非常严重与严重的养殖户一共有多少户？
（3）某调研单位想从5户建档养殖户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，进一步跟踪监测病毒传播情况，请用列表或画树状图的方法求出选中养殖户e的概率．
23.（本题满分12分）如图1，△ABC中，∠ACB=90°,∠CAB=30°，△ABD是等边角形，过点C作CF//BD,交AB于点E，交AD于点F。
A．3 B．4 C．5 D．6
10．阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集：同样，如果引进“虚数”实数集就扩展到“复数集”现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：il＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，则i2020＝（）

(2020年整理)全国初中数学竞赛试题及答案.doc

中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a，b，c22||()||a abc a b c-++-+可以化简为（）．（A）2c a-（B）22a b-（C）a-（D）a1（乙）．如果22a=-11123a+++的值为（）．（A）2-（B2（C）2 （D）22（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果a b，为给定的实数，且1a b<<，那么1121a ab a b++++，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1 （B）214a-（C）12（D）143（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．30ADC∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（）．（A）23（B）4（C）52（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．OAB CED（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100L ，　，，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A ）XXXX （B ）101 （C ）100 （D ）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是。

2020届山东省泰安市岱岳区初中毕业生竞赛数学试题及答案解析

2020届初中毕业生竞赛数学试题（考试时间120分钟，满分120分）说明：请将答案写在答题纸的相应位置，考试结束后只交答题纸。

一、选择题（每小题3分，满分60分。

每小题给出的代号为ABCD 的四个选项中，只有一个是正确的）1. 如果m 是大于1的偶数，那么m 一定小于它的（） (A) 相反数 (B) 倒数 (C) 绝对值(D) 平方2. 有理数a ,b ,c 的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（）(A)c b a ++＞0(B)c b a <+(C)| a – c | = |a | + c (D)| b – c | > | c – a | 3. 设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为α, 则(A) οο900<<α或οο18090<<α (B) οο1800<<α (C) οο900<<α (D) οο900≤<α4. 如图，在44⨯的正方形网格中，321∠∠∠，，的大小关系是（）．（A ）321∠>∠>∠ （B ）321∠>∠=∠ （C ）321∠=∠<∠ （D ）321∠=∠=∠5. 2，3，5，6这四个数中最小的数是（）(A) 2 (B) 3 (C) 5(D) 66. 在下列6个图形中, 每个小四边形都是全等的正方形, 那么沿其正方形相邻边折叠, 能够围成正方体的编号是5544332255443322(A) ① ② ③ ⑥ (B) ① ② ⑥ (C) ① ③ ④ (D) ① ③ ⑥7. 下面的条形图是从某中学800名学生中帮助失学儿童捐款金额的部分抽样调查数据, 扇形图是该校各年级人数比例分布图. 那么该校七年级同学捐款的总数大约为(A) 870元 (B) 4200元 (C) 5010元 (D) 250560元 8. 如图, Q P ,是ABC ∆的边BC 上的两点, 且有AQ AP QC PQ BP ====, 则BAC ∠的大小为(A) ο90 (B) ο100 (C) ο120 (D) ο1509．若20 10a b b c ==，，则a bb c++的值为（）．（A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）2101110. 若关于的不等式组的整数解共有4个，则关于x 的一元二次方程8x 2-8x+m=0的根的情况是x ⎩⎨⎧≤-<-1270x m xA ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有一个实数根11. 将一张大小为10cm ⨯10cm 的正方形纸片，依下图所示方式折叠并剪裁后再展开，其中折线(虚线)正好过三角形两边的中点，则展开后内部的正方形(无阴影部份)面积等于(A) 25cm 2 (B) 50cm 2 (C) 75cm 2 (D) 40cm 212.请你估计一下,22222222222(21)(31)(41)(20151)(20161)123420152016-----⋅⋅⋅⋅L L 的值应该最接近于(A) 1 (B)21 (C)12016(D)1201513.如图（1），B 是线段AD 上一点，分别以AB 、BD 为边在AD 同侧作等边△ABC 和等边△BDE ，得到（1）△ABE ≌△CBD ；（2）AE 与CD 相交所得的锐角为600。

全国初中数学联赛山东赛区预赛暨初中数学竞赛试题

A D CB E M B B ’ A ’ A D A B C全国初中数学联赛山东赛区预赛暨山东省初中数学竞赛试题一、选择题(本题共8小题，每小题6分，满分48分)：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内。

1．已知n 是奇数，m 是偶数，方程组⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x o ，y o ,则( ) A 、x o ，y o 均为偶数 B 、x o ，y o 均为奇数C 、x o 是偶数，y o 是奇数D 、x o 是奇数，y o 是偶数2.若ab ≠0，则aba b a 135-=--成立的条件是( ) A 、a>0,b>0 B 、a<0,b>0 C 、a>0,b<0 D 、a<0,b<03.设a,b,c,d 都是非零实数，则四个数：-ab,ac,bd,cd ( )A 、都是正数B 、都是负数C 、是两正两负D 、是一正三负或一负三正4.如图，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 为垂足，则DE=( )A 、2242b a ab+ B 、224b a ab + C 、2242b a ab+ D 、224b a ab + 5.某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润率为20%（利润率＝售价-进价进价）。

若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润率为( )A 、25%B 、20%C 、16%D 、12.5%6.在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=20°。

如图，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转角α到△A ′B ′C 的位置，其中A ′，B ′分别是A ，B 的对应点，B 在A ′B ′上，CA ′交AB 于D ，则∠BDC 的度数为( ) A 、40° B 、45° C 、50° D 、60°7.若x 0 是一元二次方程 ax 2+bx+c==0(a ≠0)的两个根，则判别式△=b 2-4ac 与平方式M=(2ax 0+b)2的大小关系是( )A 、△>MB 、△=MC 、△<MD 、不能确定 8.在△ABC 中，a,b,c 分别为角A ，B ，C 的对边，若∠B=60°，则c a a b c b +++的值为( )M E D AN B C A B E C D B C E D H G F A A 、21 B 、22 C 、1 D 、2 二、填空题(本题共4小题，每小题8分，满分32分)：将答案直接写在对应题目中的横线上 9.若x 1,x 2都满足条件|2x-1|+|2x+3|=4,且x 1<x 2,则x 1-x 2的取值范围为___________10.已知a,b 是方程x 2-4x+m=0的两个根，b,c 是方程x 2-8x+5m=0的两个根，则m=_______11.在△ABC 中，D ，E 分别在边AB 和AC上，且DE ∥BC 。

2020年七年级数学竞赛初赛试卷及答案解析

第 1 页共 8 页2020年七年级数学竞赛初赛试卷一．填空题（共11小题）1．我们知道：1+2+3=3×(3+1)2=6，1+2+3+4=4×(4+1)2=10，那么1+2+3+…+100＝． 2．计算：(−2007)5×(−3.25)5×(−23)5×(−1446)5×(−413)5= ．3．设四位数abcd 满足a 3+b 3+c 3+d 3+1＝10c +d ，则这样的四位数的个数为．4．一商店在某一时间以每件a 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，若卖出这两件衣服商店共亏损8元，则a 的值为．5．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有个．6．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x ﹣a ﹣1＝0的根都是一整数，那么符合条件的整数a 有个．7．如图，在一个4×4的方格棋盘的A 格里放一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、下或左、右走一格，那么这枚棋子走28步后到达B 处．（填“一定能”或“一定不能”或“可能”）8．观察下列各等式：第一个等式：22−12−12=1，第二个等式：32−22−12=2，第三个等式：42−32−12=3…根据上述等式反映出的规律直接写出第四个等式为；猜想第n 个等式（用含n 的代数式表示）为．9．观察下列一组数，按规律在横线上填写适当的数，−12，36，−512，720，……，第7个数是．10．满足25{x }+[x ]＝25的所有实数x 的和是（其中[x ]表示不大于x 的最大整数，{x }＝x ﹣[x ]表示x 的小数部分）．11．两个多位正整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为调和数”例如：49与76，因为4+9＝7+6＝13，所以49与76互为“调和数”；又如：225与18，因。

2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第1试

2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第1试第一试一、选择题：〔此题总分值42分，每题7分〕1. 假设,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，那么||||||a b b c c a -+-+-= 〔 B 〕A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．假设实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，那么c 可能取的最大值为〔 C 〕A ．0.B ．1.C ．2.D ．3. 3．假设b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 那么〔 C 〕 A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．假设方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bxc +++=的根，那么2a b c +-的值为〔 A 〕A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，︒=∠60CAB ，D ，E 分不是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,那么=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．关于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，那么12320092010a a a a a +++++= 〔 D 〕A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：〔此题总分值28分，每题7分〕1．实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩那么22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．AC AB 3=，︒=∠30CAO ，那么c = 19．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，那么PB ＝．4．将假设干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要显现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多能够摆放____15___个球.第二试〔A 〕一．〔此题总分值20分〕设整数,,a b c 〔a b c ≥≥〕为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解由等式可得 222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，那么a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.因此，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判定易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ 〔1〕当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，因此b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，因此c 能够取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. 〔2〕当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，因此b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，因此c 能够取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．〔此题总分值25分〕等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线. 证明过点P 作⊙I 的切线PQ 〔切点为Q 〕并延长，交BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，因此∠ACP ＝∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，因此∠APC ＝∠NPC. 又CP 公共，因此△ACP ≌△NCP ，因此∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，因此△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，因此MQ//AC.又因为MD//AC ，因此MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，因此点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．〔此题总分值25分〕二次函数2y x bx c =+-的图象通过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .〔1〕假如,,a b c 差不多上整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.〔2〕设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.假如关于x 的方程20x bx c +-=的两个根差不多上整数，求△ABC 的面积.解点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.〔1〕由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<. 又a 为整数，因此2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.NC A由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=.因此981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩ 解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，因此后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.易求得点A 、B 的坐标为〔1,0〕和〔2,0〕，点C 的坐标为〔0,2〕，因此△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试〔B 〕一．〔此题总分值20分〕设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数〔全等的三角形只运算1次〕.解不妨设a b c ≥≥，由等式可得 222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，那么a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.因此，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判定易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ 〔1〕当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，因此b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，因此c 能够取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. 〔2〕当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，因此b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，因此c 能够取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第二题相同.三．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第三题相同.第二试〔C 〕一．〔此题总分值20分〕题目和解答与〔B 〕卷第一题相同.二．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第二题相同.三．〔此题总分值25分〕设p 是大于2的质数，k 为正整数．假设函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①〔1〕假设1k =，那么方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．〔2〕假设1k >，那么01>-k .因为12x x p +=-为整数，假如21,x x 中至少有一个为整数，那么21,x x 差不多上整数.又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，那么可设12x mp +=〔其中m 为非零整数〕，那么由①式可得212k x m -+=，故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+．又12x x p +=-，因此14k p mp m--+=+，即 41)1(=-++mk p m ② 假如m 为正整数，那么(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 假如m 为负整数，那么(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．。

2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案讲明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题〔此题总分值42分，每题7分〕此题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个〔不论是否写在括号内〕，一律得0分.1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，那么代数式2211a b +的值为〔〕 )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，因此,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 应选B . 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，假设6AB =，5BC =，3EF =，那么线段BE 的长为〔〕 )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 【答】D . 解因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知,,,B C E F 四点共圆，因此△AEF ∽△ABC ，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，因此4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 应选D . 3．从分不写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，那么所组成的数是3的倍数的概率是〔〕)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C . 解能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个. 因此所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 应选C .4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分不是这两个角的外角平分线，且点,M N 分不在直线AC 和直线AB 上，那么〔〕)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒，∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.应选B .5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分不降价10％或20％，假设干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，那么r 的最小值为〔〕)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 【答】 B .解容易明白，4天之后就能够显现5种商品的价格互不相同的情形.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定能够表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤. 要使r 的值最小，五种商品的价格应该分不为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅， 2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数. 因此r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 应选B . 6．实数,x y满足(2008x y =，那么223233x y x y -+-2007-的值为〔〕 )(A 2008-. )(B 2018. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解 ∵22(2008)(2008)2008x x y y ----=， ∴2222008200820082008x x y y y y --==+---， 2222008200820082008y y x x x x --==+---，由以上两式可得x y =. 因此22(2008)2008x x --=，解得22008x =，因此22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.应选D .二、填空题〔此题总分值28分，每题7分〕1．设512a -=，那么5432322a a a a a a a+---+=-2-. 解 ∵225135()122a a --===-，∴21a a +=， ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----. 2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且5AM =，135MAN ∠=︒，那么四边形AMCN 的面积为52解设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，那么AO BD ⊥，22AO OB ==, 2222232(5)()22MO AM AO =-=-=, ∴2MB MO OB =-=. 又135ABM NDA ∠=∠=︒， 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠，因此△ADN ∽△MBA ，故AD DNMB BA =，从而12AD DN BA MB =⋅==. 依照对称性可知，四边形AMCN 的面积115222(22222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=△. 3．二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分不为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分不为p ，q ，那么p q +=12解依照题意，,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，因此m n a +=-，mn b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判不式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得； 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得. 因此14p =，14q =-，因此12p q +=. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2018个位置的数字是 1 .解 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位； 24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；现在还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.因此，排在第2018个位置的数字恰好应该是2的个位数字，即为1.第二试〔A 〕一．〔此题总分值20分〕 221a b +=，关于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ 〔1〕恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解整理不等式〔1〕并将221a b +=代入，得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ 〔2〕在不等式〔2〕中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥.易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象〔抛物线〕的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式〔2〕关于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，因此它的判不式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 〔3〕消去b ，得42161610a a -+=，因此2a =2a =又因为0a ≥，因此a =a =，因此方程组〔3〕的解为a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此ab 的最小值为14，现在,a b 的值有两组，分不为a b ==a b ==二．〔此题总分值25分〕如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.〔1〕证明：点O 在圆D 的圆周上.〔2〕设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解〔1〕连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，因此△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，因此9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.〔2〕设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，那么222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，因此△BDO ∽△ABC ，因此BD BO AB AC=，即2r a l y =，故2al r y =. 因此22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥，即22S r ≥，其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.因此圆D 的的半径r 的最小值为22S . 三．〔此题总分值25分〕设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ 〔1〕求a ，b 的值.解〔1〕式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，那么 509650943511m a n a b --== 〔2〕故351160n m a -+=，又2n m =，因此2351160m m a -+= 〔3〕由〔1〕式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，因此2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程〔3〕有整数根，因此它的判不式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=〔t 为自然数〕，那么2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，因此只可能有以下几种情形：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解. ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去. 综合可知251a =.现在方程〔3〕的解为3m =或5023m =〔舍去〕. 把251a =，3m =代入〔2〕式，得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试〔B 〕一．〔此题总分值20分〕221a b +=，关于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式 220ay xy bx -+≥ 〔1〕恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在〔1〕式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥.将1y x =-代入〔1〕式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ 〔2〕易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象〔抛物线〕的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式〔2〕关于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，因此它的判不式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 〔3〕消去b ，得42161610a a -+=，因此224a -=或224a +=，又因为0a ≥，因此4a =或4a =. 因此方程组〔3〕的解为4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,44a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此满足条件的,a b 的值有两组，分不为a b ==a b == 二．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第二题相同.三．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第三题相同.第二试〔C 〕一．〔此题总分值20分〕题目和解答与〔B 〕卷第一题相同.二．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第二题相同.三．〔此题总分值25分〕设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2) 求()a b c +的值.解〔1〕式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=，设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，那么 5096509423511m a n a b c ---== 〔3〕故351160n m a -+=，又2n m =，因此 2351160m m a -+= 〔4〕由〔1〕式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，因此22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程〔4〕有整数根，因此它的判不式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=〔t 为自然数〕，那么2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，因此只可能有以下几种情形：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，现在方程〔4〕的解为3m =或5023m =〔舍去〕. 把251a =，3m =代入〔3〕式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-. 代入〔2〕式得(27)2b b --=，因此5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。

山东省初中数学竞赛试题-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下

山东省初中数学竞赛试题-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－山东省初中数学竞赛一、选择题（每小题6分，共48分）1、已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，点D在CB的延长线上，且BD=AB，则∠ADB的余切值是----------------------------------------------------------（）A、+1B、-1C、D、2、已知三个关于x的方程x2-x+m=0,(m-1)x2+2x+1=0和(m-2)x2+2x-1=0. 若其中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围为--------------------（）A、m≤2B、m≤或1≤m≤2C、m≥1D、≤m≤13、夏季T恤衫的售价比春季的售价上浮a%，年终又比夏季下降a%，若年终售价是春季售价的x倍，则x等于------------------------------------------（）A、1B、C、D、4、方程的实根的个数为------------------------------------------（）A、1B、2C、3D、45、已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为---------------------------------------------（）A、8B、7C、6D、46、如果，那么，a+b+c的值是----（）A、6B、9C、20D、247、已知a4+3a2=b2-3b=1，且a2b≠1。

则的值是---------------------（）A、35B、36C、-3D、-368、如图1，分别延长∠ABC的三边AB、BC、CA至A'、B'、C'，使得AA'=3AB，BB'=3BC,CC'=3AC。

山东初三初中数学竞赛测试带答案解析

山东初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A．等边三角形B．等腰三角形C．平行四边形D．线段2.如图，A、B是数轴上的两点，在线段AB上任取一点C，则点C到表示－1的点的距离小于或等于2的概率是A． B． C． D．3.如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是A．AB2="BC·BD"B．AB2="AC·BD"C．AB·AD=BD·BC D．AB·AD="AD" ·CD4.如图⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为A．B．8C．D．5.对于代数式的值的情况，小明作了如下探究的结论，其中错误的是A．只有当时，的值为2B．取大于2的实数时，的值随的增大而增大，没有最大值C．的值随的变化而变化，但是有最小值D．可以找到一个实数，使的值为06.方程＝0有两个相等的实数根，且满足＝，则的值是A．－2或3B．3C．－2D．－3或27.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则∠E 为A．25° B．30° C．35° D．45°8.在函数（为常数）的图象上有三点，，，则函数值的大小关系是A．B．C．D．9.冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光，一年四季就均能受到阳光照射．此时竖一根米长的竹杆，其影长为米，某单位计划想建米高的南北两幢宿舍楼（如图所示）．当两幢楼相距多少米时，后楼的采光一年四季不受影响？A．米B．米C．米D．米10.如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么围成的圆锥的高度是A．3㎝B．4㎝C．5 ㎝D．6㎝11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是A．B．C．D．12.已知二次函数的图象开口向上，与 x轴的交点坐标是（1,0），对称轴x=-1．下列结论中，错误的是A．abc＜0B．b=2a C．a+b+c=0D．2二、填空题1.已知三角形的两边长是方程x 2－5x＋6=0的两个根，则该三角形的周长的取值范围是．2.已知二次函数y＝（k－3）x 2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．3.已知A是反比例函数的图象上的一点，AB⊥x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是．4.如果圆锥的底面周长是20πcm，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是．5.小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为．6.已知正六边形的边心距为，则它的周长是．7.如图，PA、PB切⊙O于A、B，，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则＝．8.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在轴上，OC在轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是．三、解答题1.（本小题满分7分）近年来随着全国楼市的降温，商品房的价格开始呈现下降趋势，2012年某楼盘平均售价为5000元/平方米，2014年该楼盘平均售价为4050元/平方米．（1）如果该楼盘2013年和2014年楼价平均下降率相同，求该楼价的平均下降率；（2）按照（1）中楼价的下降速度，请你预测该楼盘2015年楼价平均是多少元/平方米？2.（本小题满分8分）如图，在平行四边形中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于点F．已知，，求△CDF的面积．3.（本小题满分7分）甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的数值分别为－7、－1、3，乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为－2、1、6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用表示取出的卡片上标的数值，把、分别作为点的横坐标、纵坐标．（1）用适当的方法写出点的所有情况；（2）求点落在第三象限的概率．4.（本小题满分10分）如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，，求AD的长．5.（本小题满分8分）已知：如图，反比例函数的图象与一次函数y＝x＋b的图象交于点A（1，4）、点B （－4，n）．（1）求△OAB的面积；（2）根据图象，直接写出不等式的解集．6.（本小题满分10分）某商店经营一种成本为每千克40美元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？7.（本小题满分10分）如图，抛物线与轴交、两点，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；（2）若P点是线段AC上的一个动点，过P点作轴的平行线交抛物线于F点，求线段PF长度的最大值．山东初三初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A．等边三角形B．等腰三角形C．平行四边形D．线段【答案】D【解析】根据轴对称图形的概念与中心对称图形的概念可作答A、是轴对称图形而不是中心对称图形B、是轴对称图形而不是中心对称图形C、是中心对称图形而不是轴对称图形D、既是轴对称图形，也是中心对称图形．故选D【考点】中心对称图形；轴对称图形点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合2.如图，A、B是数轴上的两点，在线段AB上任取一点C，则点C到表示－1的点的距离小于或等于2的概率是A． B． C． D．【答案】D【解析】将数轴上A到表示﹣1的点之间的距离不大于2、表1的点到表示﹣1 的点间的距离不大于2，而AB间的距离分为5段，根据概率公式可知故选D【考点】概率公式；数轴点评：此题结合几何概率考查了概率公式，将AB间的距离分段，利用符合题意的长度比上AB的长度即可3.如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是A．AB2="BC·BD"B．AB2="AC·BD"C．AB·AD=BD·BC D．AB·AD="AD" ·CD【答案】A【解析】∵△ABC∽△DBA，∴；∴故选A【考点】相似三角形的性质点评：此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键4.如图⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为A．B．8C．D．【答案】D【解析】连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，根据勾股定理得到，解得R=5，则OC=3，由于OC为△ABE的中位线，则BE=2OC=6，再根据圆周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出故选D【考点】垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理5.对于代数式的值的情况，小明作了如下探究的结论，其中错误的是A．只有当时，的值为2B．取大于2的实数时，的值随的增大而增大，没有最大值C．的值随的变化而变化，但是有最小值D．可以找到一个实数，使的值为0【答案】D【解析】根据二次函数的最值及图象上点的坐标特点解答A、因为该抛物线的顶点是（2，2），所以正确；B、根据图象可知对称轴的右侧，即x＞2时，y随x的增大而增大，正确．C、因为二次项系数为1＞0，开口向上，有最小值，正确；D、根据二次函数的顶点坐标知它的最小值是2，且开口向上，故错误；故选D【考点】二次函数的性质点评：本题考查的是二次函数的最值及二次函数图象上点的坐标特点，比较简单6.方程＝0有两个相等的实数根，且满足＝，则的值是A．－2或3B．3C．－2D．－3或2【答案】C【解析】根据根与系数的关系有：∴，解得m=3或m=﹣2，∵方程有两个相等的实数根，∴解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故选：C【考点】根与系数的关系点评：本题考查了一元二次方程根的判别式当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，则7.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则∠E 为A．25° B．30° C．35° D．45°【答案】B【解析】连接OC∵EC切⊙O于C，∴∠OCE=90°，∵∠CDB=30°，∴∠A=∠CDB=30°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠COE=30°+30°=60°，∴∠E=180°﹣90°﹣60°=30°，故答案为：B【考点】切线的性质点评：本题考查了切线性质，三角形的外角性质，圆周角定理，等腰三角形的性质的应用，此题比较好，综合性比较强8.在函数（为常数）的图象上有三点，，，则函数值的大小关系是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据反比例函数的性质推出函数图象在第一、三象限，y随x的增大而减小，求出，根据在第三象限，求出因此故选D．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质点评：本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能熟练地根据性质进行说理是解此题的关键9.冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光，一年四季就均能受到阳光照射．此时竖一根米长的竹杆，其影长为米，某单位计划想建米高的南北两幢宿舍楼（如图所示）．当两幢楼相距多少米时，后楼的采光一年四季不受影响？A．米B．米C．米D．米【答案】A【解析】∵光线是平行的，影长都在地面上，∴光线和影长组成的角相等；楼高和竹竿与影长构成的角均为直角，∴竹竿与影长构成的三角形和旗杆和影长构成的三角形相似，设楼的影长的长度为x，解得米故选A【考点】相似三角形的应用点评：考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例10.如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么围成的圆锥的高度是A．3㎝B．4㎝C．5 ㎝D．6㎝【答案】B【解析】设底面圆的半径是r则，∴r=3cm，∴圆锥的高=故选B【考点】圆锥的计算点评：由题意得圆锥的底面周长为cm，母线长5cm，从而底面半径为3cm，利用勾股定理求得圆锥高为4cm11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是A．B．C．D．【答案】C【解析】连接CD，交MN于E，∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，∴MN⊥CD，且CE=DE，∴CD=2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴=CM•CN=×6×=，∴=4=4×=，∴S四边形MABN=﹣=﹣=．故选C【考点】翻折变换（折叠问题）点评：此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用12.已知二次函数的图象开口向上，与 x轴的交点坐标是（1,0），对称轴x=-1．下列结论中，错误的是A．abc＜0B．b=2a C．a+b+c=0D．2【答案】D【解析】根据二次函数的图象与性质对各选项逐一判断由已知可得，抛物线开口向上，则；对称轴是x=-1<0，则；又与x轴的交点坐标是（1,0），则与x轴的另一个交点是（-3,0），因此与y轴交于负半轴，所以。

2020年全国初中数学竞赛预选赛试题初中数学

(C)不一定有实根 (D)有两个不相等的负根2020年全国初中数学竞赛预选赛试题初中数学、填空题(每题4分，共32分)1. : |x|=3 , |y|=2，且 xy v 0，那么 x+y 的值等于2. 设 a-b=2+、3 , b-c=2-、3，那么 a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac X 22 2 —3. 实数 X 1, X 2满足 X1 -6x 1+2=0和 X2 -6x 2+2=0,求 X i3n x y ---------4.假如一次函数y=mx+r 与反比例函数X 的图象相交于点(2 ,2),那么该直线与双曲线的另一个交点为5.如图1,要把边长为6的正三角纸板剪去三个三角形，得到正六边形，那么它的边长为6.如图2，直角梯形ABC 啲中位线EF 的长为a ,垂直于底的腰AB 的长为b ,那么图中阴影部分的面积为7.如图3,在厶ABC 中, AD 是BC 边上的中线，M 是AD 勺中点，CM 勺延长线交AB 于N,那么AN:AB 的值为8.如图4, BC 是O O 的直径，AC 切O （于点 C, AB 交O C 于点 D,假设 AD:DB=2:3, AC=1Q sinB的值为二、单项选择题(每题5分，共30分)1. |a+b|+|a-b|-2b=0 ，在数轴上给出关于a , b 的四种位置关系如下图，那么可能成立的有 ()I 即M IIIMIIINI ||||HH || WI 1111 III 161口丨闕卄II IM |引打“(A)1 种(B)2 种(C)3 种(D)4 种2 2 22. a 、b 、c 均为正数，方程ax +bx+c=0有实根，那么方程 acx +b x+ac=0()的值为X2的值为AADA(A)有两个不相等的正根(B)有一个正根，一个负根(C)不一定有实根(D)有两个不相等的负根43. 当k取任何实数时，抛物线y=5(x-k) 2+k2的顶点所在曲线是()4. 如图5, AB丄CD △ ABD △ BCE差不多上等腰直角三角形，假如CD=8 BE=3,那么AC等于()(A)8 (B)5 (C)3 (D) 345. 如图6，ABC是正方形，E是CD勺中点，P是BC上的一点，以下条件中，不能推出△ABP与△ ECP相似的有()①/ APB玄EPC ②/ APE=90 ③P是BC的中点④BP:BC=2:3(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个6. 如图7,0 0与O C2相交于A、B,两圆的半径r i=10,「2=17,圆心距OC2=21，那么公共弦等于()(A)2 65(B)16 (C)6 J(D)17三、解答题1. (12分)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.甲由于看错了二次项系数，误求得2b 3c两根为2和4;乙由于看错了某项系数的符号，误求得两根为-1和4,求a 的值.2. (12分)如图8,正方形表示一张纸片，依照要求需多次分割，把它分割成假设干个直角三角形.操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上进行下去.(1) 请你设计出两种符合题意的分割方案图；(2) 设正方形的边长为a,请你就其中一种方案通过操作和观看将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积(S)填入下表:次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法(3)在条件⑵ 下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来•3. (17分)某中学估量用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元又假设甲商品每个只涨价1元，同时购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5 元.(1) 求x、y的关系式；(2)假设估量购买甲商品的个数的2倍与估量购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值.4. (17分)如图9,在厶AB(中, Z ABC=90 , O是A吐一点，以O为圆心，O助半径的圆与AB 交于点E,与AC切于点D, AD=2 AE=1.(1) 求厶AOD^A BC啲面积；(2) 假设F是线段BE h任一点，FG丄AG G是垂足，设线段C奥OF勺长分不是x和y,试写出y 与x之间的关系式.(不要求写出x的取值范畴).I I I I I C。