初三数学中考专项练习弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习(基础)

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华东师大初中数学九年级下册《圆》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；3．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；4．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；6．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.两圆的五种位置关系可以概括为三类：要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为．【解析】由已知得BC ∥x 轴，则BC 中垂线为2412x -+== 那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为P(1,0) 则 22(11)(03)13r PA ==++-=【总结升华】三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°，求CD 的长．【思路点拨】作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △OFD ，求CD 的长．【答案与解析】作OF ⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ 32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．在Rt △OEF 中，∵ ∠DEB ＝60°，∴ ∠EOF ＝30°，∴ 112EF OE ==，∴ 223OF OE EF =-=．在Rt △DFO 中，OF ＝3，OD ＝OA ＝3，∴ 22223(3)6DF OD OF =-=-=(cm)． ∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝26cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．（2017•曲靖一模）如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 和∠BOC 互补，则弦BC 的长度为.【思路点拨】首先过点O 作OD ⊥BC 于D ，由垂径定理可得BC=2BD ，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【答案】4.【解析】解：过点O 作OD ⊥BC 于D ，则BC=2BD ，∵△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 与∠BOC 互补， ∴∠BOC=2∠A ，∠BOC+∠A=180°， ∴∠BOC=120°， ∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=（180°﹣∠BOC ）=30°， ∵⊙O 的半径为4， ∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2，∴BC=4．故答案为：4．【总结升华】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（）N MO C BAA．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题6】4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线CE与⊙O相切理由：连接OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线CE与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，(，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或(，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ， ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴∠ODB=∠ACB ， ∴OD ∥AC ，∵DF 是⊙O 的切线， ∴DF ⊥OD ， ∴DF ⊥AC ．（2）解：连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°， ∴∠ABC=∠ACB=67.5°， ∴∠BAC=45°， ∵OA=OE ，∴∠AOE=90°， ∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE =4π，S △AOE=8 ， ∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB 所在圆的圆心为O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【思路点拨】求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB 的长．【答案与解析】连接OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交AB 于点F ，如图(2)．由垂径定理，可知E 是AB 中点，F 是AB 的中点，∴ 12AE AB ==EF ＝2．设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222(2)R R =-+．解得R ＝4．∴ OE ＝2，12OE AO =，∴ ∠AOE ＝60°，∴ ∠AOB ＝120°．∴AB的长为120481803ππ⨯=(m)．∴帆布的面积为8601603ππ⨯=(m2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。

36初中数学九年级全册弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习(提高)

五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧 »AE 是劣弧 D»E 的 2 倍；⑤AE＝BC。其中正
确的有( )个
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
第 1 题图
第 2 题图
第 3 题图
3．如图，设⊙O 的半径为 r，弦的长为 a，弦与圆心的距离为 d，弦的中点到所对劣弧中点的距离为 h，下
.
13．已知⊙O 的半径 OA=2，弦 AB、AC 分别为一元二次方程 x2-（2 2 +2 3 ）x+4 6 =0 的两个根，
则∠BAC 的度数为_______．
三、解答题
14.如图，在⊙O 中， »AB B»C C»D ，OB，OC 分别交 AC，BD 于Ｅ、Ｆ，求证 OE OF
15.（2015•宁波模拟）如图，等腰△ABC 中，AC=BC，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为上一点，CE⊥AD 于 E，求证：AE=BD+DE．
则∠AOC=90°，又 OA=OC=1，
则 AC= ．
13.【答案】15°或 75°.
【解析】方程 x2-（2 2 +2 3 ）x+4 6 =0 的解为 x1=2 2 ，x2=2 3 ，不妨设：AB=2 2 ，AC=2 3 ．
（1）如图，OM⊥AB 于 M，ON⊥AC 于 N．
∵AB=2 2 ，AC=2 3 ，来自CE2 OC2 OE2 (
3)2
3 2
2
9 4
(cm)．
∴ CE 3 cm，∴ CD＝3cm． 2
二、填空题
7．【答案】3； 8．【答案】40°；
【解析】∵∠A=55°，∠E=30°，
∴∠EBF=∠A+∠E=85°，

2021年中考数学复习：圆周角定理专项练习题1(含答案)

2021年中考数学复习：圆周角定理专项练习题11．如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，且，若∠ABC＝∠CAD，则弦AC＝．2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝6，那么CD的长为．3．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB＝10，BC＝4，则DP＝．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°，则∠BOD＝°．5．如图，⊙O上有两定点A、B，点P是⊙O上一动点（不与A、B两点重合），若∠OAB ＝35°，则∠APB的度数是．6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝2∠AOB，如果∠BAC＝40°，那么∠ACB的度数是．7．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝65°．则∠CDB的大小等于．8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧沿弦AB折叠交OC于D且CD ＝OD，若AB＝2，则⊙O的直径为．9．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC交⊙O于点D．若CD＝5，BC＝8，则AB的长为．10．如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），M，N分别是BP，AB的中点．若AB＝4，∠APB＝30°，则MN长的最大值为．11．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝70°，则∠EAC的度数为．12．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于．13．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC＝50°，则∠D等于．14．如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC＝度．15．如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝10cm，AB＝6cm，则⊙O的半径长为cm．。

人教版数学九年级上学期课时练习-弧、弦、圆心角(基础篇)(人教版)

专题24.8 弧、弦、圆心角（基础篇）（专项练习）一、单选题类型一、圆心角概念1．如图，MN为⊙O的弦，⊙MON＝76°，则⊙OMN的度数为（）A．38°B．52°C．76°D．104°2．如图，在O中，点B是AC上一点，若100∠的度数是（）∠=︒，则ABCAOCA．80°B．100°C．120°D．130°3．如图，A、B、C是O上的三个点，50∠=︒，则AB∠=︒，55AOB∠的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．55°类型二、圆心角与它所对弧的度数4．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是⊙AOB、⊙COD，若⊙AOB 与⊙COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．5．如图，已知50ABC∠平分线BM上一点，当点P是ABC的外心∠=︒，点P是ABC∠=（）时，APCA．95°B．100°C．110°D．115°6．如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O 的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则⊙APB等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°类型三、用弧、弦、圆心角关系求解7．如图，点A，B，C，D在O上，144∠=︒，点D是AC的中点，则B的度AOC数是（）A．36︒B．40︒C．46︒D．72︒8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，⊙AOC=140°，点B是AC的中点，则⊙D的度数是（）A ．70°B ．60°C ．40°D ．35°9．如图，BD 是O 的直径，弦AC 交BD 于点G ．连接OC ，若126COD ∠=︒，AB AD =，则AGB ∠的度数为（）A ．98°B ．103°C ．108°D ．113°类型四、用弧、弦、圆心角关系证明10．已知1O ，2O ，3O 是等圆，ABP ∆内接于1O ，点C ，E 分别在2O ，3O 上．如图，⊙以C 为圆心，AP 长为半径作弧交2O 于点D ，连接CD ； ⊙以E 为圆心，BP 长为半径作弧交3O 于点F ，连接EF ；下面有四个结论： ⊙CD EF AB += ⊙222CD EF AB += ⊙231CO D EO F AO B ∠+∠=∠ ⊙23CDO EFO P ∠+∠=∠所有正确结论的序号是（）A．⊙⊙B．⊙⊙⊙C．⊙⊙D．⊙⊙⊙11．如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是()A．AD=DF=FB B．AD DF>C．DF FB<D．AD FB DF=≠12．在锐角ABC中，60∠=︒，⊙BAC、⊙ABC的角平分线AD、BE交于点M，则ACB下列结论中错误的是（）A．120=AMB∠=︒B．ME MDC．AE BD AB+=D．点M关于AC的对称点一定在ABC的外接圆上二、填空题类型一、圆心角概念13．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，⊙A＝18°，AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则⊙EOD＝______14．点A，B，S在圆上，若弦AB ASB∠的度数是____________．15．如图，A，B，C是⊙O上三点，⊙AOC=⊙B，则⊙B=_______度．类型二、圆心角与它所对弧的度数16．如图，在两个同心圆中，AB 为60°，则CD 的度数为__________．17．如图，在⊙O 中，点B 是AC 的中点，点D 在BAC 上，连接OA 、OB 、BD 、CD ．若⊙AOB=50°，则⊙BDC 的大小为___________．18．如图，在ABC 中，70,55A B ∠=︒∠=︒，以BC 为直径作O ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，则CF 弧的度数为________°．类型三、用弧、弦、圆心角关系求解19．为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P 处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器________台．20．如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将弧BC 沿BC 翻折交AB 于点D ，再将弧BD 沿AB 翻折交BC 于点E ，若BE DE =，设ABC α∠=，则α为_______°．21．如图，在O 中，弦AB 、CD 所对的圆心角分别是AOB ∠、COD ∠，若AOB ∠和COD∠互补，且2AB =，4CD =，则O 的半径是______．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明22．如图，⊙O 的半径为四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊙BD ，垂足为E ，且BC =2AD ，则AD +BC 的值为_______．23．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，⊙BAC =42°，OD ⊙BC 于点E ，则⊙BDE 为_____°．24．在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦__________, 所对弦的弦心距____________．三、解答题25．如图，AB是圆O的直径，C是BA延长线上一点，点D在圆O上，且CD OA=，CD 的延长线交圆O于点E，若20∠=，求∠BOE的度数.C=，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于26．如图，在ABC中，AC BCDF BC，交⊙O于点F，求证：点E，过点D作//（1）四边形DBCF是平行四边形（2）AF EF=27．如图，四边形ABCD内接于120，，，求证：ABC是等边三O AB AC ADC=∠=︒角形．参考答案1．B【分析】根据圆的基本性质，可得OM ON = ，从而得到OMN ONM ∠=∠ ，再由三角形的内角和定理，即可求解．解：⊙MN 为⊙O 的弦，⊙OM ON = ， ⊙OMN ONM ∠=∠ ， ⊙⊙MON ＝76°， ⊙()1180522OMN MON ∠=︒-∠=︒ ．故选：B【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握同圆（或等圆）的半径是解题的关键．2．D 【分析】在优弧AC 上取点D ，连接AD 、CD ，由⊙AOC= 100° 求出⊙ADC=12⊙AOC ，根据四边形ABCD 是圆内接四边形，得到⊙ADC+⊙ABC= 180° ，即可求出⊙ABC 的度数．解：在优弧AC 上取点D ，连接AD 、CD ，⊙⊙AOC= 100° ， ⊙⊙ADC=12⊙AOC=50° ， ⊙四边形ABCD 是圆内接四边形， ⊙⊙ADC+⊙ABC= 180° ， ⊙⊙ABC= 180° -50° =130° ，故选：D ．【点拨】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．3．B【分析】首先根据⊙B的度数求得⊙BOC的度数，然后求得⊙AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可．解：⊙OB=OC，⊙B=55°，⊙⊙B=⊙OCB，⊙⊙BOC=180°-2⊙B=70°，⊙⊙AOB=50°，⊙⊙AOC=⊙AOB+⊙BOC=70°+50°=120°，⊙OA=OC，⊙⊙A=⊙OCA=1801202︒-︒=30°，故选：B．【点拨】考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，解题的关键是求得⊙AOC的度数，难度不大．4．C【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，⊙ABT=90°，再利用勾股定理求解即可．解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．⊙⊙AOB+⊙BOT=180°，⊙AOB+⊙COD=180°，⊙⊙COD=⊙BOT，⊙CD BT=，⊙CD=BT=4，⊙AT 是直径，AT=6，⊙⊙ABT=90°，=故选：C ．【点拨】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5．B【分析】根据圆周角，圆心角的性质解答即可．解：如图示，⊙点P 是ABC 的外心，⊙A ，B ，C 三点共圆，⊙2250100APC ABC ，故选：B ．【点拨】本题考查了圆周角，圆心角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．6．B【分析】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解．解：12APB AOB ∠=∠ 90190452AOB APB ︒︒︒∠=∴∠=⨯= 故选：B【点拨】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识．根据正方形的性质得到圆心角的度数是解题的关键．7．A【分析】连接OD，根据点D是中点求出⊙COD72=︒，再利用圆周角定理得出结果．解：连接OD，⊙D是AC的中点，⊙⊙COD=111447222AOC∠=⨯︒=︒，⊙⊙B=1362COD∠=︒，故选择A．【点拨】本题考查圆周角定理以及弧和圆心角关系，注意通过弧进行角的转化是解决问题的关键．8．D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到⊙AOB=12⊙AOC，再根据圆周角定理解答即可．解：连接OB，如图所示，⊙点B是AC的中点，⊙AOC=140°，⊙⊙AOB=12⊙AOC=70°，由圆周角定理得，⊙D =12⊙AOB =35°，故选：D ．【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．9．C【分析】先求出⊙COB 的度数，由圆周角定理求出⊙BAC 的度数，再根据弧、弦之间的关系求出⊙ABD =45°，即可得到答案．解：⊙⊙COD =126°，⊙⊙COB =54°， ⊙1=272BAC COB =︒∠∠， ⊙BD 是圆O 的直径，⊙⊙BAD =90°，⊙AB AD =，⊙AB =AD ，⊙⊙ABD =⊙ADB =45°，⊙⊙AGB =180°-⊙BAG -⊙ABG =108°，故选C ．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键．10．A【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论．解：由题意得，AP ＝CD ，BP ＝EF ，⊙AP +BP ＞AB ，⊙CD +EF ＞AB ；⊙⊙APB ≠90°，⊙222AP PB AB +≠即222CD EF AB +≠⊙⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3是等圆，⊙AP BP AB+=，⊙CD EF AB+=；⊙⊙CO2D＝⊙AO1P，⊙EO3F＝⊙BO1P，⊙⊙AO1P+⊙BO1P＝⊙AO1P，⊙⊙CO2D+⊙EO3F＝⊙AO1B；⊙⊙CDO2＝⊙APO1，⊙BPO1＝⊙EFO3，⊙⊙P＝⊙APO1+⊙BPO1，⊙⊙CDO2+⊙EFO3＝⊙P，⊙正确结论的序号是⊙⊙，故选：A．【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键．11．A【分析】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，根据垂直平分线的性质易证DF=DF=BF，再根据“在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧”即可判断.解：如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，⊙CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线,⊙DF=CE=12AB，AD=OD，OF=BF，⊙DF=DF=BF，则AD=DF=FB.故选A.【点拨】本题主要考查垂直平分线的性质，等弧的判定，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.12．D【分析】利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出⊙MAB+⊙MBA=60°，推出⊙AMB=120°，可判断A，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理可判断B；在AB上取一点T，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断M与⊙ABC互补，可判断D．解：如图，⊙⊙ACB=60°，⊙⊙CAB+⊙CBA=120°，⊙AD，BE分别是⊙CAB，⊙CBA的角平分线，⊙⊙MAB+⊙MBA=12（⊙CAB+⊙CBA）=60°，⊙⊙AMB=180°-（⊙MAB+⊙MBA）=120°，故A符合题意，⊙⊙EMD=⊙AMB=120°，⊙⊙EMD+⊙ECD=180°，⊙C，E，M，D四点共圆，⊙⊙MCE=⊙MCD，⊙ EM DM，⊙EM=DM，故B符合题意，四边形CEMD是O的内接四边形，60,AME ACB BMD在AB上取一点T，使得AT=AE，在⊙AME和⊙AMT中，AE ATMAE MAT AM AM，⊙⊙AME⊙⊙AMT（SAS），⊙⊙AME=⊙AMT=60°，EM=MT，⊙⊙BMD=⊙BMT=60°，MT=MD，在⊙BMD和⊙BMT中，MD MTBMD BMT BM BM，⊙⊙BMD⊙⊙BMT，⊙BD=BT，⊙AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，⊙M，M'关于AC对称，⊙M=⊙AMC，⊙11802AMC CAB ACB11801802ABC=90°+12⊙ABC，⊙M与⊙ABC不一定互补，⊙点M'不一定在⊙ABC的外接圆上，故D不符合题意，故选D．【点拨】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．13．54°【分析】根据圆的基本性质，可得⊙OEB=⊙OBE，⊙AOB=18°，从而得到⊙OEB=⊙OBE=⊙A+⊙AOB=36°，继而得到⊙BOE=108°，即可求解．解：⊙CD是⊙O的直径，⊙OD=OE=OB，⊙⊙OEB=⊙OBE，⊙AB=OD，⊙AB=OB，⊙⊙AOB=⊙A，⊙⊙A＝18°，⊙⊙AOB=18°，⊙⊙OEB =⊙OBE =⊙A +⊙AOB =36°，⊙⊙BOE =108°，⊙⊙EOD =180°-⊙BOE -⊙AOB =54°．故答案为：54°【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．14．45︒【分析】连接OA ，OB ，则OA =OB ，又有弦AB 倍，可得222AB OA =，又在AOB 中，2222OA OB OA += ，从而得到AOB 是直角三角形，且90AOB ∠=︒ ，再由圆周角定理即可求解．解：如图，连接OA ，OB ，则OA =OB ，⊙弦AB⊙AB == ，⊙)2222AB OA == ，在AOB 中，2222OA OB OA += ，⊙222OA OB AB += ，⊙AOB 是直角三角形，且90AOB ∠=︒ ，⊙S 在圆上， ⊙1452ASB AOB ∠︒=∠= ．故答案为：45︒ ．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理得到90AOB ∠=︒是解题的关键．15．120【分析】连结OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，⊙ABC=⊙A+⊙C=⊙AOC，四边形内角和360゜，可求⊙B．解：如图，连结OB，⊙OA=OB=OC，⊙△OAB和△OBC都是等腰三角形，⊙⊙A=⊙OBA，⊙C=⊙OBC，⊙⊙ABC=⊙OBA+⊙OBC=⊙A+⊙C，⊙⊙A+⊙C=⊙ABC=⊙AOC⊙⊙A+ ⊙ABC+⊙C+⊙AOC=360゜⊙3⊙ABC=360゜⊙⊙ABC=120゜即⊙B=120゜．故答案为：120．【点拨】本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为解⊙B的方程是关键．16．60°【分析】根据圆心角定理可得⊙AOB=60°，即⊙COD=60°，则CD的度数为60°.解：⊙AB为60°，⊙⊙AOB=60°，⊙⊙COD=60°，则CD的度数为60°.故答案为60°.【点拨】本题主要考查圆心角定理：圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．17．25°【分析】连接OC，利用AB BC=得到⊙AOB＝⊙BOC＝50°，然后根据圆周角定理得到⊙BDC的度数．解：如图，连接OC．⊙点B是AC的中点，⊙AB BC=．⊙⊙AOB＝⊙BOC＝50°，⊙BOC＝25°．⊙⊙BDC＝12故答案为：25°．【点拨】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角、圆心角的性质是解答此题的关键．18．70【分析】连接OF，求出⊙C和⊙CFO度数，求出⊙COF，即可求出弧CF度数．解：如图，连接OF，⊙⊙A＝70°，⊙B＝55°，⊙⊙C＝180°−⊙A−⊙B＝55°，⊙OC＝OF，⊙⊙CFO＝⊙C＝55°，⊙⊙COF＝180°−⊙C−⊙CFO ＝70°，⊙弧CF 的度数是70°．故答案为：70．【点拨】本题考查了弧与圆心角的关系，掌握弧的度数等于它所对的圆心角的度数是解题的关键．19．4【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：50°×2=100°，⊙360÷100=3.6，⊙至少需要4台．故答案为：4．【点拨】本题主要考查圆的圆周角和圆心角的性质，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键．20．22.5【分析】根据同圆中等弧对的圆周角相等，可得AC CD DE ==，进而根据题意可得13AC CB =，13ABC CAB ∠=∠，根据直径所对的圆周角等于90度，即可求解．解：连接AC ，如图，ABC DBC DBE ∠=∠=∠AC CD DE ∴==BE DE =13AC CB ∴= 13ABC CAB ∴∠=∠ AB 是O 的直径，19022.54ABC ∴∠=⨯︒=︒ 故答案为：22.5．【点拨】本题考查了同圆中等弧对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，理解等弧的意义是解题的关键．21【分析】延长CO ，交O 于E ，连接DE ，根据圆周角定理求出90CDE ∠=︒，求出DOE AOB ∠=∠，根据圆心角、弧、弦之间的关系求出2DE AB ==，根据勾股定理求出CE 即可．解：延长CO ，交O 于E ，连接DE ，CE 是O 的直径，90CDE ，AOB ∠和COD ∠互补，180COD DOE ∠+∠=︒，DOE AOB ∴∠=∠，2AB =，2DE AB ∴==，由勾股定理得：CE ===O ∴【点拨】本题考查了圆周角定理．圆心角、弧、弦之间的关系，余角和补角，勾股定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．22．12【分析】作直径BF ，连接DF ，FC ．证明AD =FC ，设FC =2k ，BC =3k ，利用勾股定理构建方程求解即可．解：如图，作直径BF ，连接DF ，FC ．⊙BF是直径，⊙⊙BDF=⊙BCF=90°，⊙BD⊙DF，⊙AC⊙BD，⊙DF⊙AC⊙DF2=AC，AB AC⊙⊙CDF=⊙ACD，⊙AD CF=，⊙AD=FC，⊙BC=2AD，⊙BC=2FC，⊙可以假设FC=k，BC=2k，⊙k2+（2k）2=（2，⊙k=4或-4（舍弃），⊙BC=8，FC=4，⊙AD=FC=4，⊙AD+BC=4+8=12，故答案为：12．【点拨】本题考查圆周角定理，弧、弦的关系，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23．69【分析】连接CD，由圆内接四边形的性质得⊙BDC+⊙BAC=180°，可得⊙BDC =180°-42°=138°，再由垂径定理得出BD CD=，则BD=CD，然后根据等腰三角形的性质即可求出⊙BDE的度数．解：如图，连接CD，⊙A，B，C，D是⊙O上的四个点，⊙⊙BDC+⊙BAC=180°，⊙⊙BAC=42°，⊙⊙BDC =180°-42°=138°，⊙OD⊙BC，⊙BD CD=，⊙BD=CD，⊙⊙BDE=12⊙BDC=8113629︒=︒⨯，故答案为：69．【点拨】本题考查的是圆内接四边形的性质及垂径定理等知识，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．24．越长越长越短【分析】根据圆心角定理解答即可.解：在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧越长，所对的弦越长，所对弦的弦心距越短．故答案为越长；越长；越短.【点拨】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.25．60【分析】连接OD ，利用半径相等和等腰三角形的性质求得⊙EDO ，从而利用三角形的外角的性质求解．解：连接OD ，⊙CD=OA=OD, 20C ∠=，⊙⊙ODE=240C ∠=，⊙OD=OE ，⊙⊙E=⊙EDO=40，⊙⊙EOB=⊙C+⊙E=40+20=60.【点拨】此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 26．（1）证明见分析；（2）证明见分析【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明BAC B =∠∠，利用平行线证明ADF B ∠=∠，利用圆的性质证明BAC CFD ∠=∠，再证明//,BD CF 即可得到结论；（2）如图，连接AE ，利用平行线的性质及圆的基本性质AEF B ∠=∠，再利用圆内接四边形的性质证明EAF B ∠=∠，从而可得结论．解：证明：（1）AC BC =，BAC B ∴∠=∠，//DF BC ，ADF B ∴∠=∠，又BAC CFD ∠=∠,,ADF CFD ∴∠=∠//,BD CF ∴四边形DBCF 是平行四边形．（2）如图，连接AEADF B ∠=∠，ADF AEF ∠=∠AEF B ∠∠∴=四边形AECF 是O 的内接四边形180ECF EAF ︒∴∠+∠=//BD CF180ECF B ︒∴∠+∠=EAF B ∴∠=∠AEF EAF ∴∠=∠AF EF ∴=【点拨】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．27．见分析【分析】由圆内接四边形的性质得到60ABC ∠=︒，再由AB AC =，得到AB AC =，根据等边三角形的判定可得到结论．解：⊙四边形ABCD 内接于O ，⊙180ADC ABC ∠+∠=︒，又⊙120ADC =∠︒，⊙180********ABC ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙AB AC =，⊙AB AC =，⊙ABC 是等边三角形．【点拨】本题主要考查圆内接四边形的性质，弧与弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质，等边三角形的判定是解决问题的关键．。

九年级中考数学考点复习-【圆】解答题专项巩固训练【有答案】

2021中考数学复习专题【圆】解答题专项巩固训练1．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O 交射线AP于E、F两点．（1）求圆心O到AP的距离；（2）求弦EF的长．2．如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA＝BC，∠C＝24°，求∠A的度数．3．在⊙O中，半径OD⊥AB，垂足为点P，点C为圆上任意一点，若∠O＝60°，DP＝2，求∠C 的度数和半径OB的长．4．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°．求OD的长和∠OCB度数．5．如图，某地新建的一座圆弧形的拱桥，正常水位时，水面宽40米，拱高10米，今年夏季汛期受上游涨水影响，水位持续上涨5米达到警戒水位，求此时水面的宽度．6．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．7．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，过D作DE⊥CA，垂足为E，且DE与⊙O相切，DO的延长线与BC交于点F．（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）若AC＝OA＝2，求弦长BC与所围成的图形（阴影部分）的面积．8．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．9．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．（1）求证：AD＝AE；（2）若AB＝8，AD＝6，求EB的长．参考答案1．解：（1）过O点作OH⊥EF于H，如图，∵DB＝10，∴OD＝5，∴OA＝AD+OD＝3+5＝8，在Rt△OAH中，∵∠OAH＝30°，。

人教版九年级上册数学 24.1.3弧、弦、圆心角同步练习(含解析)

24.1.3弧、弦、圆心角同步练习一．选择题1．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（）A．1B．C．D．2．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°3．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O 的半径为（）A．B．C．D．4．如图：AB为半圆的直径，AB＝4，C为OA中点，D为半圆上一点，连CD，E为的中点，且CD∥BE，则CD的长为（）A．B．C．D．5．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（）A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y6．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM＝ON；③P A＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OM⊥CD，ON⊥AB，如果AB＝CD，则下列结论不正确的是（）A．∠AON＝∠DOM B．AN＝DM C．OM＝DM D．OM＝ON8．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD二．填空题9．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝．10．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是．11．如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O 的半径长为．12．如图，在⊙O中，，∠1＝30°，的度数为．13．如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数．14．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD＝40°，则∠AOE＝．15．如图，AB为⊙O的直径，△P AB的边P A，PB与⊙O的交点分别为C、D．若＝＝，则∠P的大小为度．三．解答题16．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．17．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．参考答案1．解：∵弦AC＝BD，∴，∴，∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE；连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD＝R，∵AD＝，∴R＝1，故选：A．2．解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC＝×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．3．解：作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，∵∠DOC＝90°，∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠AOC，∴DE＝AC＝2，∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，∴∠BDF＝45°，∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，在Rt△BEF，BE＝＝2，∵△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝×2＝．故选：D．4．解：如图，连接EO并延长与DC的延长线相交于点K，连接BD交OE于点H，∵E为弧AD中点，∴OE⊥AD，BH＝DH，∵BE∥CD，∴∠EBH＝∠KDH，∠E＝∠K，∴△BHE≌△DHK（AAS），∴BE＝KD＝2x，EH＝KH，∵BE∥CD，∴△KCO∽△EBO，∴，∵AB是半圆⊙O的直径，AB＝4，C为OA的中点，∴，∴KO＝1，KC＝x，∴KE＝KO+OE＝1+2＝3，∴EH＝KH＝1.5，OH＝0.5，∵BE2﹣EH2＝BH2＝BO2﹣OH2，∴4x2﹣1.52＝22﹣0.52，解得：x＝，∴CD＝KD﹣KC＝2x﹣x＝x＝，故选：B．5．解：连接BC，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣x°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝x°，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA＝x°，∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，∴x+y＝90，故选：A．6．解：如图连接OB、OD；∵AB＝CD，∴＝，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM＝MB，CN＝ND，∴BM＝DN，∵OB＝OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM＝ON，故②正确，∵OP＝OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM＝PN，∠OPB＝∠OPD，故④正确，∵AM＝CN，∴P A＝PC，故③正确，故选：D．7．解：∵AB＝CD，OA＝OD，OB＝OC，∴△OAB≌△ODC（SSS），∠AOB＝∠DOC，∵OM⊥CD，ON⊥AB，∴OM＝ON，DM＝CM，AN＝NB，∴AN＝DM，∵OA＝OD，ON＝OM，∴Rt△AON≌Rt△DOM（HL），∴∠AON＝∠DOM，∴A，B，D正确，故选：C．8．解：∵，∴，∴，∴AC＝BD，故选：C．9．解：连接OC，∵AC∥DE，∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO，∵∠A＝∠ACO，∴∠1＝∠2．∴CE＝BE＝3．10．解：连接OD、OE，∵的度数为40°，∴∠AOD＝40°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝40°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝40°，∴∠DOE＝100°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∴的度数是120°．故答案为120°．11．解：延长CO交⊙O于R，连AR，DR，过D作DM⊥AR于M，∵∠DOC＝90°，∴∠DOR＝90°，∴∠DAR＝180°﹣×90°＝135°，∴∠DAM＝45°，∵DM⊥AM，DA＝2，∴DM＝AM＝，∴MR＝2，DR＝，∵2OD2＝DR2，∴OD＝故答案为12．解：∵在⊙O中，，∴∠AOC＝∠BOD，∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，∴∠1＝∠2＝30°，∴的度数为30°，故答案为：30°13．解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，∴2OM＝OC，2ON＝OD，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴∠MCO＝∠NDO＝30°，∴∠MOC＝∠NOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴的度数是60°，故答案为：60°14．解：∵，∠COD＝40°，∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．故答案为60°．15．解：连接OC、OD，∵＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，OB＝OD，∴△AOC和△BOD都是等边三角形，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠P＝60°，故答案为：60．16．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝，∴AC＝BD；（2）∵＝，∴∠ADC＝∠DAB，∴EA＝ED，∵AB＝CD，即AE+BE＝CE+DE，∴CE＝BE．17．（1）证明：连接AD，∵点D是的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝BD，在△CAD和△BAD中，，∴△CAD≌△BAD（SAS），∴∠ACD＝∠ABD，∴∠DCE＝∠DBF，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DF＝DE；（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∵CD＝BD＝6，CE＝8，∴DE＝＝10，∴EB＝10+6＝16，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，∴AB＝12，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，∴AD＝＝6，∴⊙O的半径为3．。

中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--巩固练习(基础)

中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切2．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BOD=110°，AC∥OD，则∠AOC 的度数（）A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立的是( )A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DEC ．OE ＝BED ．»»BDBC第2题第3题第5题第6题4．（2015•黑龙江）如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（）A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°5．如图所示，△ABC 内接于圆O ，∠A ＝50°；∠ABC ＝60°，BD 是圆O 的直径，BD 交AC 于点E ，连接DC ，则∠AEB 等于( )A ．70°B ．110°C ．90°D ．120°6．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配成与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块二、填空题7．（2015•雁江区模拟）如图，MN 是半径为2的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为 .8．如图所示，⊙O的直径AC＝8 cm，C为⊙O上一点，∠BAC＝30°，则BC＝________cm．第8题第9题9．两圆有多种位置关系，图中(如图所示)不存在的位置关系是__________．10．如图所示，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C＝______．11．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为　．第10题第11题第12题12．如图所示．B是线段AC上的一点，且AB:AC＝2:5．分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为________．三、解答题13．已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB．OA、OB与⊙O分别交于点D、E.(1) 如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长(结果保留根号)；(2)如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形．求ODOA的值．14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心、OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．(1)求证：△AOC≌△AOD；(2)若BE＝1，BD＝3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．15．（2015•上城区二模）如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．l16. 如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、Cl的动点，直线BF与相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使CD，请说明你的理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；O O=7，根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切.【解析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距122.【答案】D；【解析】由AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，知OA＝OC，根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，得∠AOC＝180°－2∠OAC.由AC∥OD，根据两直线平行，内错角相等的性质，得∠OAC＝∠AOD.由AB是⊙O的直径，∠BOD=110°，根据平角的定义，得∠AOD＝180°－∠BOD=70°.∴∠AOC＝180°－2×70°＝40°.故选D.3.【答案】C；【解析】由垂径定理知A、B、D都正确．4.【答案】C；【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．5.【答案】B；【解析】∵∠A=50°，∴∠D=50°，又∵BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DBC=90°-50°=40°，∠ABD=60°-40°=20°，∴∠BEC=50°+20°=70°，∴∠AEB=180°-70°=110°.6.【答案】B；【解析】因为第②块含有圆周的一部分，可以找到圆心，量出半径.其他块都不行.二、填空题7．【答案】2；【解析】如图，作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，由轴对称确定最短路线问题可知，AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵B为弧AN的中点，∴∠NOB′=×60°=30°，∴∠AOB′=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∵⊙O的半径为2，∴AB′=2，即PA+PB的最小值为为2．8．【答案】4；【解析】因为AC为直径，根据直径所对的圆周角为直角，得∠ABC＝90°，则BC＝AC·sin∠BAC＝4(am)．9．【答案】相交；【解析】认真观察、判断可发现每两圆间不存在的位置关系是：相交．10．【答案】27°；【解析】如图，连结OB，由AB与⊙O相切于点B，得∠ABO＝90°，因为∠A＝36°，所以∠AOB＝54°，所以∠C＝27°.11．【答案】4；【解析】连接OC，则由直线PC是圆的切线，得OC⊥PC.设圆的半径为x，则在Rt△OPC中，PC=3，OC= x，OP=1＋x，根据地勾股定理，得OP2=OC2＋PC2，即（1＋x）2= x2＋32，解得x=4.即该半圆的半径为4.12．【答案】4:25；三、解答题13.【答案与解析】(1) 如图①，连接OC ，则OC=4.∵AB 与⊙O 相切于点C ，∴OC⊥AB. ∴在△OAB 中，由OA=OB ，AB=10得1AC AB 52==.∴ 在△RtOAB 中，OA ===.(2)如图②，连接OC ，则OC=OD.∵四边形ODCE 为菱形，∴OD=DC.∴△ODC 为等边三角形.∴∠AOC=60°.∴∠A=30°.∴1OC 1OD 1OC OA 2OA 2OA 2===，，即.14.【答案与解析】解：（1）∵ AB 切⊙O 于D ，∴OD ⊥AB ．在Rt △AOC 和Rt △AOD 中，,.OC OD AO AO =⎧⎨=⎩ ∴Rt △AOC ≌Rt △AOD(HL)．(2)设半径为r ，在Rt △ODB 中，，解得r ＝4．2223(1)r r +=+ 由(1)有AC ＝AD ，∴，2229(3)AC AC +=+ 解得AC ＝12，∴．22111112945482222S AC BC r πππ=-=⨯⨯-⨯=-g 15.【答案与解析】解：（1）∵∠ADB=∠ACB ，∠BAD=∠BFC ，∴∠ABD=∠FBC ，又∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ，∴∠CBF=∠BCF ，∵∠BFC=2∠DFC=80°，∴∠CBF==50°；（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°﹣2α，又∵AB=AD ，∴∠ACD=∠ACB ，∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α，∴∠CFD+∠FCD=α+（90°﹣α）=90°，∴∠CDF=90°，即CD ⊥DF ．16.【答案与解析】解：（1）∵直线与以BC 为直径的圆O 相切于点C ，l ∴∠BCE=90°，又∵BC 为直径，∴∠BFC=∠CFE=90°.∴∠CFE=∠BCE.∵∠FEC=∠CEB，∴△CEF∽△BEC.∴CE EF BE EC =.∵BE=15，CE=9，即：9EF 159=，解得：EF=275.（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠ABF=∠FCD.同理：∠AFB=∠CFD.∴△CDF∽△BAF.②∵△CDF∽△BAF，∴CF CD BF BA =.又∵△CEF∽△BCF，∴CF CE BF BC =.∴CD CE BA BC=.又∵AB=BC，∴CE=CD.（3）当F 在⊙O 的下半圆上，且»»2BF BC 3=时，相应的点D 位于线段BC 的延长线上，且使CD.理由如下：CE.在Rt△BCE 中，tan∠CBE=CEBC =，∴∠CBE=30°，∴»CF所对圆心角为60°.∴F 在⊙O 的下半圆上，且»»2BF BC 3=.。

人教版九年级上册数学24.1.3 弧、弦、圆心角同步练习(含解析)

人教版九年级上册数学24.1.3 弧、弦、圆心角同步练习一．选择题1．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，则这个扇形圆心角的度数为（）A．30°，60°，90° B．50°，100°，150°C．60°，120°，180° D．80°，120°，160°2．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（）A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm3．下列语句，错误的是（）A．弦的垂直平分线一定经过圆心 B．相等的圆心角所对的弧相等C．直径是弦 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦4．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（）A．20°B．25°C．50°D．30°5．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠OFE的度数是（）A．30°B．40°C．20°D．35°6．已知，如图，∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是（）A．＝ B．AB＝CD C．△AOB≌△COD D．△AOB、△COD都是等边三角形7．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC＝30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．A．45 B．30 C．50 D．608．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为的中点，DM⊥AC于M，则DM的长为（）A．B．C．1 D．9．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（）A．1 B．C．D．10．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒B点P位于点C的位置，……，则第2017秒点P所在位置的坐标为（）A．（，）B．（）C．（0，﹣1）D．（）二．填空题11．圆上有四个点，若它们两两连结后得到的所有线段只有两个不同的长度，则这四个点依次分圆弧的比为．12．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝．13．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是．14．如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD交于点E，BE＝DE，AB＝BE，且AC ＝8，则四边形ABCD的面积为．15．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，，∠AOE＝32°，那么∠COE的度数为度．三．解答题16．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，M是的中点，N是的中点，弦MN分别交AB、AC于点P、D．（1）求证：AP＝AD；（2）连接PO，当AP＝3，OP＝，⊙O的半径为5，求MP的长．17．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AB＝CD，求证：AD＝BC．18．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．参考答案1．解：设圆心角的度数分别为2x、3x、4x，由题意得，2x+3x+4x＝360°，解得，x＝40°，则这个扇形圆心角的度数为80°、120°、160°，故选：D．2．解：如图，连接OD、OC．∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4cm，∴⊙O的周长＝2×4π＝8π（cm）．故选：D．3．解：直径是弦，A正确，不符合题意；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；故选：B．4．解：∵的度数为50°，∴∠BOC＝50°，∵半径OC⊥AB，∴＝，∴∠ADC＝∠BOC＝25°．故选：B．5．解：如图，连接BF，OE．∵EF＝EB，OE＝OE，OF＝OB，∴△OEF≌△OEB（SSS），∴∠OFE＝∠OBE，∵OE＝OB＝0F，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，∵∠ABF＝∠AOF＝20°，∴∠OFB＝∠OBE＝20°，∵∠OFB+∠OBF+∠OFE+∠OBE+∠BEF＝180°，∴4∠EFO+40°＝180°，∴∠OFE＝35°，故选：D．6．解：∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，＝，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB≌△COD，∴ABC成立，则D不成立，故选：D．7．解：∵OD⊥BC，∠ABC＝30°，∴在直角三角形OBE中，∠BOE＝60°（直角三角形的两个锐角互余），即∠DOB＝60°．又∵∠DCB＝∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DCB＝30°；故选：A．8．解：如图，连接OD交AC于H，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝6，∵＝，∴OD⊥AB，∵∠OAH＝∠CAB，∠AOH＝∠ACB＝90°，∴△AOH∽△ACB，∴＝＝∴＝＝∴OH＝，AH＝，∵DH＝OD﹣OH＝5﹣＝，∵DM⊥AC，∵∠DMH＝∠AOH＝90°，∠DHM＝∠AHO，∴△DMH∽△AOH，∴＝，∴＝，∴DM＝1，故选：C．9．解：∵弦AC＝BD，∴，∴，∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE；连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD＝R，∵AD＝，∴R＝1，故选：A．10．解：2017÷8＝252…1，即第2017秒点P所在位置如图：过P作PM⊥x轴于M，则∠PMO＝90°，∵OP＝1，∠POM＝45°，∴PM＝OM＝1×sin45°＝，即此时P点的坐标是（，），故选：A．11．解：∵四个点两两连结后得到的所有线段只有两个不同的长度，∴圆上的四个点构成了圆的内接正方形，∵正方形的边长相等，即四条弦长相等，∴这四个点依次分圆弧的比为1：1：1：1．故答案为1：1：1：1．12．解：∵在⊙O中，，∴AC＝AB＝3，故答案为：313．解：连接OD、OE，∵的度数为35°，∴∠AOD＝35°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝35°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝35°，∴∠DOE＝110°，∴∠AOE＝75°，∴∠BOE＝105°，∴的度数是105°．故答案为105°．14．解：∵BE＝DE，AB＝BE，∴AB2＝2BE2＝BE•BD，∴AB：BE＝BD：AB，又∠EBA＝∠ABD，∴∠ADB＝∠BAE，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CAB，∴AB＝BC．连接BO，交AC于H，连接OA，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴CH＝AH，∴CH＝AH＝AC＝4∵AO＝5，∴OH＝＝3，BH＝OB﹣OH＝5﹣3＝2．∴S△ABC＝AC•BH＝×8×2＝8，∵E是BD的中点，∴S△ABE＝S△ADE，S△BCE＝S△DCE，∴S△ABC＝S△ADC，∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝16，故答案为16．15．解：∵，（已知）∴∠AOE＝∠COA（等弧所对的圆心角相等）；又∠AOE＝32°，∴∠COA＝32°，∴∠COE＝∠AOE+∠COA＝64°．故答案是：64°．16．（1）证明：连AM，AN，∵＝，＝，∴∠BAM＝∠ANM，∠AMN＝∠CAN，∵∠APD＝∠AMN+∠BAM，∠ADP＝∠CAN+∠ANM，∴AP＝AD．（2 ）解：连AO，OM交AB于E，设PE＝x，∵＝，∴OM⊥AB，∴∠AEO＝90°，∵OE2＝OA2﹣AE2＝OP2﹣PE2∴52﹣（x+3）2＝（）2﹣x2，∴x＝1，∴AE＝4，OE＝3，ME＝2，∴MP＝＝＝．17．证明：∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝，∴AD＝BC．18．（1）证明：连接AD，∵点D是的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝BD，在△CAD和△BAD中，，∴△CAD≌△BAD（SAS），∴∠ACD＝∠ABD，∴∠DCE＝∠DBF，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DF＝DE；（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∵CD＝BD＝6，CE＝8，∴DE＝＝10，∴EB＝10+6＝16，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，∴AB ＝12，在Rt△ABD 中，AB2+BD2＝AD2，∴AD＝＝6，∴⊙O的半径为3．。

九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角同步训练习题(含答案)

24.1.3 弧、弦、圆心角5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的. 答案：B2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图24-1-3-1A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4 思路解析：作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.答案：C3.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( ) A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 思路解析：∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0. 答案：D10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 思路解析：41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 答案：90°2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________. 思路解析：如图，OD ⊥AB ，OD=DB=AD. 设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB,∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 答案：2∶2 90°3.如图24-1-3-2，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图24-1-3-2(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.思路分析：求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来. （1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］=π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）. 4.(经典回放)如图24-1-3-3所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图24-1-3-3思路分析：根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△B OD.∴OC=OD.(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD.5.如图24-1-3-4，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图24-1-3-4思路分析：如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决. 解：过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）.在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD ， ∴DF=CF.∴CD=2CF=215（ cm ）.6.如图24-1-3-5，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E ，BF ⊥CD ，垂足为F ，我们知道EC 和DF 相等.若直线EF 平移到与直径AB 相交于P(P 不与A 、B 重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF ∥AB 时,情况又怎样?图24-1-3-5思路分析：考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线. 解：当EF 交AB 于P 时,过O 作OM ⊥CD 于M,则CM=DM.通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF. 当EF ∥AB 时,同理作OM ⊥CD 于M,可证四边形AEFB 为矩形. 所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF. 快乐时光数到100再说某冬日,上课了,伊万老师靠教室壁炉站着,对学生们说:“说话前要多考虑,至少要数到50下才说,重要的话要数到100下.”学生们争先恐后地数起来,最后不约而同地爆发出:“99、100,老师的衣服着火了!” 30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.如图24-1-3-6所示，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦BE=BD ，则弧AC 与弧BE 是否相等？为什么？图24-1-3-6思路分析：欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC 与弧BE 所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC 以及弧BE 相等.解：弧A C=弧BE. 原因如下：法一：连结AC ，∵AB 、CD 是直径， ∴∠AOC ＝∠BOD.∴AC ＝BD.又∵BE ＝BD ，∴AC ＝BE.∴弧AC=弧BE. 法二：∵AB 、CD 是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O 于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图24-1-3-7思路分析：欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.证明：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图24-1-3-8思路分析：应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.解：在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).思路解析：设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.答案：根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)图24-1-3-9思路解析：因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.答案：（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC；（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.6.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.图24-1-3-10思路分析：圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.解：过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OC A和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，∴CP=AB－PA－BC=1，AC=5.∴OA2－52=52－1.∴OA=7，即⊙O的半径为7 cm.7.⊙O的直径为50 cm，弦AB∥CD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.思路分析：（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)解：（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD. ∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离 ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ）， DE=21CD=21×48=24（cm ）.在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）. 在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 c m ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）.综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.。

垂径定理---圆心角---圆周角练习(专题经典).

垂径定理圆心角圆周角练习1.如图．⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25o，则∠AOB的度数为_______．2.如图．AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50o．则∠ADC=_______．第1题第2题第3题3.如图，点A、B、C都在⊙O上，连结AB、BC、AC、OA、OB，且∠BAO=25°，则∠ACB的大小为___________.第4题第5题4.已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=140°，则∠DCE=.5、如图，AB是⊙O的直径，C,D,E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=.6、⊙O中，若弦AB长22cm，弦心距为2cm，则此弦所对的圆周角等于．7、已知AB是⊙O的直径，AC,AD是弦，且AB=2,AC=2，AD=1，则圆周角∠CAD的度数是()A.45°或60°B.60°C.105°D.15°或105°8、如图，AB是⊙的直径，弦CD垂直平分OB，则∠BDC=（）A.20°B.30°C.40°D.50°9、如图，点A、B、C为圆O上的三个点，∠AOB=的度数．13∠BOC,∠BAC=45°，求∠ACB 10、如图，AD是∆ABC的高，AE是∆ABC的外接圆的直径．试说明狐B E CF。

DF11、如图，AB,AC是⊙O的两条弦，且AB=AC．延长CA到点D．使AD=AC，连结DB并延长,交⊙O于点E．求证：CE是⊙O的直径．12、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，B C交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．△13．如图所示，ABC为圆内接三角形，A B＞AC，∠A的平分线AD交圆于D，作D E⊥AB于E，D F⊥AC于F，求证：BE=CFAEB CFD△14．如图所示，在ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°（1）求证△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想。

北京四中九年级下册数学圆周角和圆心角的关系—巩固练习(基础)

圆周角和圆心角的关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．A．70°B．90°C．110°D．120°（第1题图）（第2题图）2.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）．A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠13．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．A．64°B．48°C．32°D．76°4．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°（第3题图）（第4题图）（第5题图）5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°6．在半径等于5cm的圆内有长为53cm的弦，则此弦所对的圆周角为（）．A.120oB.30o或120oC.60oD.60o或120o二、填空题7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．8.在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么___________________．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，BD∥OC，则∠B的度数是 .ODA BC（第10题图）10．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，∠BAC ＝30°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝2 3 ，则BD ＝ .11．如图，已知⊙O 的直径MN ＝10，正方形ABCD 四个顶点分别在半径OM 、OP 和⊙O 上，且∠POM ＝45°，则AB ＝ .（第11题图）（第12题图）12．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．三、解答题13. 如图所示，AB ，AC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC 于D ，交⊙O 于F ，AE 为⊙O 的直径，试问两弦BE 与CF 的大小有何关系，说明理由．14．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半径OA 、OB 的中点且OA ⊥CE 、OB ⊥DF ，求证：⌒AE =⌒EF =⌒FB .15．如图，⊙O 中，直径AB =15cm ，有一条长为9cm 的动弦CD 在上滑动(点C 与A ，点D 与B 不重合)，CF ⊥CD 交AB 于F ，DE ⊥CD 交AB 于E ．(1)求证：AE =BF ；(2)在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】因为∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，所以∠D=∠A=50°，∠DBC=40°，∠ABD=60°-40°=20°，∠ACD=∠ABD=20°，∠AED=∠ACD+∠D=20°+50°=70°，∠AEB=180°-70°=110°.2.【答案】D；【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.3.【答案】A；【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.4.【答案】B；【解析】∠ACD=64°-27°=37°，∠AOD=2∠ACD=74°.5.【答案】A；【解析】∠BAD=12∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.6.【答案】D；【解析】一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互补.二、填空题7．【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；8．【答案】相等，这两条弦也相等；9．【答案】60°；10．【答案】3；11．【答案】；【解析】如图，设AB＝x，在Rt⊿AOD 中:x²+（2x）²＝5²， x＝, 即 AB的长＝.第11题第12题12．【答案】90°；【解析】如图，连结AB、BC，则∠CAD + ∠EBD +•∠ACE=∠CBD +∠EBD +•∠ABE=∠ABC=90°.三、解答题13.【答案与解析】BE=CF．理由：∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC，∴∠ABE=90°=∠ADC，又∠AEB=∠ACB，∴∠BAE=∠CAF，∴»»BE CF．∴BE=CF．14.【答案与解析】如图，连接OE、OF，∵D是半径OB的中点OB⊥DF，∴OD=12OF,∴∠OFD=30°,即∠FOD=60°，同理∠EOA=60°，∴∠FOD=∠EOA=∠EOF,∴⌒AE=⌒EF=⌒FB.15.【答案与解析】(1)如图，作OH⊥CD于H，利用梯形中位线易证OF=OE，OA=OB，所以AF=BE，AF+EF=BE+EF，即AE=BF．(2)四边形CDEF 的面积是定值. 连结OC ，则22215OC -CH =-=6229（）（）2， 11()2O 6922S CF DE CD H CD =+⋅=⋅⋅⋅=⨯＝54(cm 2)．。

九年级数学上册精品同步练习题弧、弦、圆心角

24.1.3 弧、弦、圆心角一、课内练习：1．下列命题中，正确的有（）A．圆只有一条对称轴B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴2．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等3．下列命题中，不正确的是（）A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对4．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等; B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D．以上说法都不对5．如图1，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为（）A．23B．3C．5D．256．已知：如图2，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O 的半径为（）A．4cm B．5cm C．42cm D．23cm7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A．3：2 B．5：2 C．5：2D．5：48．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A．42B．82C．24 D．169．如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对10．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．11．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm．12．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．13．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．14．如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．O。

人教版九年级上册数学《弧、弦、圆心角》导学案及典型题型训练(含答案)

弧、弦、圆心角学习目标：认识圆心角的观点：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距中有一个量的两个相等就能够推出其他两个量的相对应的两个值就相等，及其他们在解题中的应用．一、导学过程：（阅读教材 P82 — 83 ,达成课前预习）1、知识准备（ 1）圆是轴图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．（ 2）垂径定理推论．2、预习导航。

（ 1）圆心角：极点在的角叫做圆心角。

（ 2）等圆：能够的圆叫做等圆，同圆或等圆的半径。

（ 3）弧、弦、弦心距、圆心角的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．相同，还能够获得：在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的相等， ?所对的弦也，所对的弦心距也。

在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的、、相等．注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其他各组量也。

二、讲堂练习。

1．假如两个圆心角相等，那么（）A ．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠ AOB=2∠ COD，则两条弧 AB与 CD的关系是（）A.AB=2CD B．AB>2CDC．AB<2CDD．不可以确立3.一条弦长恰巧为半径长，则此弦所对的弧是半圆的 _________．4．如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB=60°，求证 : ∠ AOB=∠ BOC=∠ AOCAOB C三、讲堂小结在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的、、相等．四、反应检测。

1．如图，⊙ O中，假如AB=2CD，那么（）．A．AB=AC B ． AB=AC C ． AB<2AC D ．AB>2ACACOB2．如图，以平行四边形 ABCD的极点 A 为圆心， AB为半径作圆，分别交BC、AD于 E、F，若∠ D=50°，求BE的度数和BF的度数．3.如图，在⊙ O中， C、D 是直径 AB上两点，且 AC=BD，MC⊥ AB，ND⊥ AB，M、N?在⊙ O上．（ 1）求证：AM=（2）若C、D分别为OA、OB中点，则建立吗？BN AM=MN=NB4．如图，∠AOB=90°，C、D 是AB三平分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证： AE=BF=CD．C5. 如图， AB 和 DE是⊙ O的直径，弦 AC∥DE，若弦 BE=3，E 求弦 CE长度。

初三数学中考专项练习 弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习(基础)