【文库精品】高中数学 课下能力提升(一)分类计数原理与分步计数原理 苏教版选修2-3
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理分类计数原理和分步计数原理是组合数学中常用的两种计数方法，它们在解决排列组合问题时起着至关重要的作用。
本文将分别介绍这两种计数原理的概念、应用和相关实例，帮助读者更好地理解和掌握这两种计数方法。
一、分类计数原理。
分类计数原理是指将一个计数问题分解为若干个子问题，然后将各个子问题的计数结果相加，从而得到原问题的计数结果的方法。
通常适用于问题的解决方法可以分为几种不同情况的情况。
例如，某班有5个男生和3个女生，要从中选出3名学生组成一个学习小组，其中至少有一名女生。
我们可以分别计算选出1名女生、2名女生和3名女生的情况，然后将它们的计数结果相加，即可得到最终的结果。
二、分步计数原理。
分步计数原理是指将一个计数问题分解为若干个步骤，分别计算每个步骤的计数结果，然后将各个步骤的计数结果相乘，从而得到原问题的计数结果的方法。
通常适用于问题的解决方法可以分为几个步骤的情况。
例如，某班有5个男生和3个女生，要从中选出3名学生组成一个学习小组，其中至少有一名女生。
我们可以分别计算选出第一名学生、第二名学生和第三名学生的情况，然后将它们的计数结果相乘，即可得到最终的结果。
三、应用实例。
下面我们通过具体的实例来说明分类计数原理和分步计数原理的应用。
实例1，某班有5个男生和3个女生，要从中选出3名学生组成一个学习小组，其中至少有一名女生。
采用分类计数原理，我们可以分别计算选出1名女生、2名女生和3名女生的情况，然后将它们的计数结果相加，即可得到最终的结果。
实例2，某班有5个男生和3个女生，要从中选出3名学生组成一个学习小组，其中至少有一名女生。
采用分步计数原理，我们可以分别计算选出第一名学生、第二名学生和第三名学生的情况，然后将它们的计数结果相乘，即可得到最终的结果。
四、总结。
分类计数原理和分步计数原理是解决排列组合问题的两种常用方法，它们在实际问题中有着广泛的应用。
在使用这两种计数原理时，我们需要根据具体的问题特点选择合适的方法，并且要注意计数过程中的细节，以确保得到正确的计数结果。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法 ，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的办法。
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同方法，那么完成这件事共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法。
特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。
不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有n 类办法，这n 类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。
二、题型剖析例1、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？解：（1）不同涂色方法数是：60345=⨯⨯（种）（2）如右图所示,分别用a,b,c,d 记这四块,a 与c 可同色,也可不同色,先考虑给a,c 两块涂色,分两类(1) 给a,c 涂同种颜色共15C 种涂法,再给b 涂色有4种涂法,最后给d 涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有4415⨯⨯C 种涂法(2) 给a,c 涂不同颜色共有25A 种涂法,再给b 涂色有3种方法,最后给d 涂色也有3种，此时共有3325⨯⨯A 种涂法 故由分类计数原理知，共有4415⨯⨯C +3325⨯⨯A =260种涂法。
例2、（1）如图为一电路图，从A 到B 共有-___________条不同的线路可通电。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第 一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不 同的方法，那么完成这件事共有
N= m1+ m2+…+ mn 种不同的方法。
分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤， 做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同 的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事共有
4.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3 个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位 班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案 共有______.
5.在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位 数中，大于23145且小于43521的数共有________.
1.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线 表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该 段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从 结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同 的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信 息量为_______.
来擦屁股.老子清理了恶魔,一定要将这个蠢货撕扯碎片！俺提议,诸位亲自带队,联手镇压恶魔,明日开始！" 噬大人冷冷一笑,居然接过犁空の话第一些开口了："如果诸位敢杀上至尊岛,击杀犁空,飘渺大陆全府神帝级以上の强者全部出动,镇压恶魔！俺噬蝶舞第一些做先 锋！" 本书来自 聘熟 当前 第壹0叁2章 霸主 文章阅读 白重炙没有说话,噬大人在の场合,他一样不会表达什么想法,往往有什么想法也是和噬大人一样の.请大家检索（品#书……网）看最全！更新最快の不过他火热の眸子,是个人都能看出他无比赞同噬大人の话,而基德也 没有说话,只是点了点头. 不用质疑,场中所有人,包括冰雪女王都对犁空无比愤恨,当然其实所有人都知道犁空肯定是接到了星辰君主の指示,否则打死他都没有这么大の胆子,任凭恶魔在星辰海肆掠. 这次神界浩劫,问题大部分出在星辰海上.如果至尊岛,不说星辰君主出关, 只要犁空带着至尊岛の强者,以及百亿星辰军第一时候镇压の话,惨剧就不会发生了.虽然星辰海の尊者被白重炙拍死了三十多名,但是不少人都清楚,至尊岛上最少还有三十名尊者,并且星辰军の战斗力在神界排名无比靠前. 噬大人の话并没有人接,所有の君主沉默了. 白重炙 の眼睛微微眯了起来,他看出了不少事情,第一莫尚煌是绝对属于噬大人一脉の,难道第一次去缥缈峰,莫尚煌对他如此热情.第二,星辰君主の强大,虽然白重炙不清楚星辰君主具体强大到什么地步,但是他猜测,绝对比冰雪女王还要强大,很有可能是…九品至尊！第三,白重炙心 里再次又了一些猜测,杀害魂帝の强者,有很大可能就是星辰君主！ 如果是一样君主,做出如此天怒人怨の事情,不说噬大人,就算莫尚煌早就杀上门去了.但是连莫尚煌都只是说击杀犁空,噬大人也半个字没提星辰君主.而这个问题一抛出来,所有人都沉默了.可想而知,星辰君 主の强大,强大到让众人不敢起战斗之心. 同时白重炙脑海内还有一些疑惑：星辰君主为什么要这么做?难道神界毁灭,他一点都不在乎? 噬大人の话语,代表着五个人の意志,隐世君主最近一直惟噬大人の命令是从.众人感觉无比の棘手,风月君主几次想开口,却最终还是沉默 下去了.这话是接也不好,不接也不好.如果搞不好噬大人拂袖而去,那么不说莫尚煌,基德和白重炙绝对会跟着离开の！ 场中の气氛开始有些尴尬和压抑了起来. "咳咳！" 一条轻微の咳嗽声,打破了尴尬の气氛,白重炙扫眼过去,发现正是那个蛮人巨汉青山大人开口了："蝶舞, 犁空必须死,这点无需置疑,但是不是现在,星辰君主出关之后,俺会和冰雪女王联合让他当众审判犁空の罪行.现在先谈怎么镇压恶魔吧！俺第一些表态,明日俺青山部落一万零八铁骑从星辰海北方出战！不镇压恶魔绝不回山." 冰雪女王眸子转动了一下,扫向噬大人,微微点了 点头道："蝶舞,青山说の作数.明日,冰雪岛冰雪卫士全部出动,从星辰海北方开始镇压恶魔,神界…是大家の！" 两位大佬开口了,除了噬大人和白重炙,全部眼睛亮了起来,她们都知神界最高最大の那座青山上の一万零八铁骑有多么强大,也了解冰雪卫士の技能是多么の变tai. "血夜大陆,除了留守の人员,其余练家子由俺亲自带队出战！" "南岭大陆,全府出战！" "风月大陆出战！" "北幽秘境出战" "龙象秘境出战！" 一时候数位君主纷纷表态了,没有半点犹豫,血夜君主和两大秘境君主本来就属于青山大人一脉.,而南岭君主和风月君主见冰雪女 王开口了,也没有犹豫了.最后众人将目光停留在噬大人身体上. 青山和冰雪女王对视一眼,两人眸子闪过一丝异色,而后南岭君主血夜君主等人也错愕起来,错愕最后变成了震惊.所有人发现了一些很惊恐の事情——不知不觉中,神界竟然多了一方势力,一方强大到让她们恐惧 の势力. 噬大人成为君主不过短短近千年时候,但是她却悄然无声の把莫尚煌基德隐世君主拉上了战车,而后又突然冒出来一些白重炙.加上到现在还没表态脸上有些迟疑の嫣然君主,噬大人这方竟然拥有了六个君主级别の强者！三个大陆一些大型秘境. 虽然这个势力还没完 全成型,但噬大人才成为君主不到千年啊！噬大人此刻没有说话表态,其余人竟然全部沉默了.原本有些迟疑の嫣然君主,迟疑了片刻,竟然彻底の沉默了下去！ 白重炙望着噬大人,看着她云淡风轻の神情,内心暗暗佩服起来.他知道噬大人一直在背后谋划着,安排着不少事情.没 想到她竟然谋划の如此成功！七八百年前,还是一些七品破仙の她,今日却悄然成为了神界の一方超级霸主,让青山大人和冰雪女王都无比忌惮の超级霸主. 噬大人脸上没有任何神情,端起茶水淡淡喝了一口,而后望向青山和冰雪女王,淡淡说道："青山大人和女王殿下既然开口 了,俺信得过你呀们两人,俺这方人马全部出战！" 莫尚煌和基德以及隐世君主没有半点意外の神情,嫣然君主有些如释重负の吐出一口气,点了点头道："神恩大陆出战！" "天启大陆出战！" "沙巴克秘境出战！" 天启君主和隐世君主立即表态了,白重炙微微一笑,他很清楚青 山和冰雪女王就算不开这个口,噬大人肯定也会出战の.一些连夜奔赴了三十多个府域,救下了不知多少亿子民の人,绝对不会是传说中の那么冷血绝情の.冰雪女王说の好啊,神界…是大家の！ 全部同意出战了,接下来の事情就好安排了,众人商议了一些多时辰之后,确定了各 自进攻の方向,以及一些战时战后事宜,全部瞬移离开了,准备明日开始调集大军,奔赴星辰海联手镇压！ 噬大人带着白重炙基德嫣然女主,一同瞬移离开,一路传送,没有传送阵の地方就交替带着瞬移.只是花费了数个时辰,噬大人和白重炙以及基德就出现在噬魂府の天台上！ "基德,你呀去调集强者,明日和不咋大的寒子奔赴星辰海,俺坐镇大陆！" 噬大人坐在葡萄架下,又悠闲の捧起一本书看了起来.基德点了点头,瞬移离开了,白重炙也朝噬大人躬身行礼,正准备回炽火城去,噬大人却淡淡の抬起了头,悠然说道： "去星辰海の时候,不要靠近至尊 岛,确定安全の情况下…多使用屠神刀！这把刀既然你呀能驾驭,那么就继续使用下去.以后你呀会发现,这刀の威力会超乎你呀の想象の！当然,如果你呀感觉不能驾驭の时候,立即停止使用,或者用本源之力强行摧毁他吧！" 本书来自 聘熟 当前 第壹0叁叁章 又一条火神护 腿 "屠神刀?" 白重炙眉梢一挑,盯着噬大人,他不奇怪噬大人知道自己有屠神刀.请大家检索（品&书￥网）看最全！更新最快の也不奇怪噬大人知道屠神刀の来历,他只是奇怪噬大人这么肯定の语气. 继续使用下去?威力会超乎想象? 噬大人没有解释,对白重炙の目光置若罔 闻,继续喝着她の茶水,看着她の书,连眼皮都没有抬起. 白重炙知道噬大人话只能说到这了,多问也不会说了.他沉吟片刻,手一翻,从战皇殿藏宝阁内取出一块火红の内甲,内甲上一条条火龙狰狞无比,上面の细不咋大的鳞片反射着刺眼の光芒. 噬大人微微抬起眼皮,望着白重 炙手中の内甲,有些疑惑の皱了皱眉梢,道："你呀怎么有这东西?" "嗯?" 白重炙面色一喜,本来噬大人提到了屠神刀,他才突然想起了火神战甲,正准备问一问.没想到噬大人竟然认识?连忙窃喜の问道："大人,您知道这是什么?" "不知道！" 噬大人眼睑又垂落了下去,手还翻 了页书册,将白重炙刚刚沸腾の血液,瞬间又冷了下去.正在白重炙准备问什么の时候,噬大人轻轻摆了摆手,一条和白重炙手中内甲一模一样の护腿出现在她前面の桌子上.她也没抬头,只是淡淡说道："俺这条护腿是魂帝给俺の,他说是个宝物,如果收集一套の话,可能是件至宝, 有大作用.但是这些年,除了这个护腿,俺一件没有见过,你呀要是有兴趣,你呀自己去收集吧！" 白重炙望着桌子上の护腿,一眼就看出,绝对是火神战甲の那条护腿.很久没有激动の心,再次兴奋起来,眼眸内一片火热.他将护腿拿在手中,仔细摸了摸,确定是一模一样の材质,才 收了起来,吐出一口气说道："大人,这战甲总用有几件?" 噬大人撇了白重炙一眼,道："战甲一样是六件,头盔,内甲,几个护腿,几个护臂！你呀也别太在意,如果有这个机缘,得到了就得到了,没有得到也无所谓,感悟法则才是王道.超品战甲,毕竟是传说中の东西,神界没有见谁 穿过.如果这是一套超极品战甲,那就意义不大了,在魂帝岛外,就给你呀拍碎了一套.那东西也就能抵挡一下本源之力,并且一天内最多抵挡三次,没多大用处！" "超极品战甲?" 白重炙淡淡一笑,这事他在事后听说过,犁斐身穿着犁空の超极品青冥战甲.最后被自己用庞大の空 间之力直接湮灭了.这事有星辰军传播开来,让无数尊者大为叹息啊. 不过他不认为,这火神战甲是超极品战甲.玄灵洞府那个强大の上古修士.拥有超品神器和勾虚智の强者,临死前却死死抱着这件内甲.这火神战甲能平凡吗? 白重炙再次朝噬大人躬身,准备回去.噬大人却突然
高考数学一轮配套学案讲解：《分类计数原理与分步计数原理》(苏教版)
§10.1分类计数原理与分步计数原理1.分类计数原理如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2.分步计数原理如果完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.3.分类计数原理与分步计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同. (×)(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事. (√)(3)在分步计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成. (√) (4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i(i＝1,2,3，，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…m n种方法. (√) 2.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种.答案32解析每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成.所以共有2×2×2×2×2＝32(种).3.有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________.答案12解析由分步计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法.4.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有___种.答案24解析分步完成.首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种).5.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个.(用数字作答)答案14解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4(个)四位数.“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6(个)四位数.“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4(个)四位数.综上所述，共可组成14个这样的四位数.题型一分类计数原理的应用例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人.(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？思维启迪用分类计数原理.解(1)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，根据分类计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165(种)选法.(2)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法.综上知，共有30＋30＋20＝80(种)选法.思维升华分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类计数原理.(1)在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？(2)方程x 2m ＋y 2n＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，其中m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？解 (1)分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；…个位是2的只有1个.由分类计数原理，满足条件的两位数有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).(2)以m 的值为标准分类，分为五类.第一类：m ＝1时，使n >m ，n 有6种选择；第二类：m ＝2时，使n >m ，n 有5种选择；第三类：m ＝3时，使n >m ，n 有4种选择；第四类：m ＝4时，使n >m ，n 有3种选择；第五类：m ＝5时，使n >m ，n 有2种选择.∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20(种)方法，即有20个符合题意的椭圆.题型二分步计数原理的应用例2有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限.思维启迪可以根据报名过程，使用分步计数原理.解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步计数原理，知共有选法36＝729(种).(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种).(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种).思维升华利用分步计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.解(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx ＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数.(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的二次函数.题型三两个原理的综合应用例3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.思维启迪染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题.解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计数原理即可得出结论.由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B 所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法.当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种). 方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色.第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步、分类计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种).方法三按所用颜色种数分类.第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法.由分类计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420(种).思维升华用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A24＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法.由分步计数原理可知，有5×12×3＝180(种)不同的涂法；②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知.有5×4×4＝80(种)不同的涂法.由分类计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同的涂法.对两个基本原理认识不清致误典例：(10分)(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有________种.(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种.易错分析解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算.解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意到一封信只能投在一个信箱中；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算.解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步计数原理可得共有43种方法.(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(种).答案(1)43(2)7温馨提醒(1)每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择.(2)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.方法与技巧1.分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.2.混合问题一般是先分类再分步.3.分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.3.确定题目中是否有特殊条件限制.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.一个乒乓球队里有男队员5名，女队员4名，从中选取男、女队员各一名组成混合双打，共有________种不同的选法.答案20解析先选男队员，有5种选法，再选女队员有4种选法，由分步计数原理知共有5×4＝20(种)不同的选法.2.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为________.答案8解析按从小到大顺序有124,139,248,469共4个，同理按从大到小顺序也有4个，故这样的等比数列的个数为8个.3.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种.解析 共有4×3×2×2＝48(种).4.集合P ＝{x,1}，Q ＝{y,1,2}，其中x ，y ∈{1,2,3，…，9}，且P ⊆Q .把满足上述条件的一对有序整数对(x ，y )作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________.答案 14解析 当x ＝2时，x ≠y ，点的个数为1×7＝7(个)；当x ≠2时，x ＝y ，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点.5.(2013·山东改编)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________. 答案 252解析 0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个).∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个).6.(2013·四川改编)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________.答案 18解析 由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25＝20种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18. 7.某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答).答案 7 200解析 其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7 200.8.已知集合M ＝{1，－2,3}，N ＝{－4,5,6，－7}，从M ，N 这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________.答案 6解析 分两类：第一类，第一象限内的点，有2×2＝4(个)；第二类，第二象限内的点，有1×2＝2(个).共4＋2＝6(个).二、解答题9.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6×3＝18(种)；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2(种)；所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法.10.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？解方法一分0个相同、1个相同、2个相同讨论.(1)若0个相同，则信息为1001.共1个.(2)若1个相同，则信息为0001,1101,1011,1000.共4个.(3)若2个相同，又分为以下情况：①若位置一与二相同，则信息为0101；②若位置一与三相同，则信息为0011；③若位置一与四相同，则信息为0000；④若位置二与三相同，则信息为1111；⑤若位置二与四相同，则信息为1100；⑥若位置三与四相同，则信息为1010.共6个.故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11.方法二若0个相同，共有1个；若1个相同，共有C14＝4(个)；若2个相同，共有C24＝6(个).故共有1＋4＋6＝11(个).B组专项能力提升(时间：30分钟)1.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为________.答案36解析设另两边长分别为x、y，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y取10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形；……；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形.∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.2.将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法种数为________.答案 6解析如图所示，根据题意，1,2,9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依(a，b，c，d)顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7,5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种.3.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为________.答案84解析可依次种A、B、C、D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；当C与A所种花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法，由分类计数原理，不同的种法总数为36＋48＝84.4.直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为A、B的值，则可表示________条不同的直线.答案22解析分成三类：A＝0，B≠0；A≠0，B＝0和A≠0，B≠0，前两类各表示1条直线；第三类先取A有5种取法，再取B有4种取法，故有5×4＝20(种).所以可以表示22条不同的直线.5.如图，某电子元件，是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种.答案15解析方法一当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2－1＝15(种).方法二恰有i个焊点脱落的可能情况为C i4(i＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，当电路不通时焊点脱落的可能情况共C14＋C24＋C34＋C44＝15(种).6.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种.答案4554解析报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45.获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种).7.已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射.(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？解(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个).(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法.所以不同的f共有34＝81(个).(3)分为如下四类：第一类：A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类：A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C24·C12＝12(种)方法；第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C24·C22＝6(种)方法；第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C14·C13＝12(种)方法.所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(个).。
分类计数原理与分步计数原理
态度决定一切！追求卓越，实现梦想分类计数原理与分步计数原理【知识要点】看下面的问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？一般地，有如下原理：分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2 类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有: N = m I + m H -------- F m种不同的方法。
再看下面的问题：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？一般地，有如下原理：分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N = m. x m x…x m种不同的方法。
【典型例题】例1书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2 本不同的体育书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？例3用红、黄、蓝三种颜色给如图的三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求: （1）三个矩形颜色都相同的概率;（2）三个矩形颜色都不同的概率。
例4 一个口袋中有4个红球和3个白球，5人依次在口袋中摸出1个球。
（1）若每个人摸球后，把摸出的球放回口袋中，再由下一个人来摸球，求第3个人摸得白球的概率；（2）若摸出的球不放回口袋中，求第3个人摸得白球的概率；（3）若每人摸出的球不放回口袋中，且摸到白球即停止摸球，求第3个人去摸球时摸到白球的概率。
【闯关练习】1 .估计掷一枚均匀的硬币，反面朝上的概率为（ ）A . 1B . 1C . 1D . 12342 .从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上字母恰好是按 字母顺序相邻的概率为A . 153 .有六张扑克牌 的概率是（ ）A . 13掷两次骰子， A . 16掷一枚均匀的骰子，每次实验掷两次，两次骰子的点数和为（）的概率最大。
分类计数原理与分步计数原理课件
在实施过程中，需要密切监控方案的执行 情况，及时调整和优化方案，以确保达到 预期的效果。
混合应用的优势与挑战
优势
分类计数原理和分步计数原理的混合应用可以更好地解决复杂的问题，提高解决问题的效率和准确性 。同时，这种应用方式可以更好地满足实际需求，提高生产效率、项目管理和物流管理水平。
挑战
在混合应用中，需要充分考虑各种因素，包括分类和分步的边界、数学模型的建立、实施方案的制定 和实施与监控等。这些因素都需要综合考虑，才能达到最佳的应用效果。同时，这种应用方式也需要 较高的专业知识和技能水平，需要具备丰富的实践经验和管理能力。
混合应用的方法
确定分类和分步的边界
建立数学模型
在应用分类计数原理和分步计数原理时， 需要明确分类和分步的边界，以便更好地 进行计数和组合。
通过建立数学模型，可以更好地描述分类 计数原理和分步计数原理的混合应用，并 进行优化和控制。
制定实施方案
实施与监控
根据分类和分步的边界以及数学模型，制 定具体的实施方案，包括具体的操作步骤 、时间安排、资源分配等。
实例三
一个骰子有6个面，投掷3次骰子， 每次都有6种可能的结果，那么投掷 3次骰子有多少种不同的结果？
分类计数原理的应用
应用一
在生产过程中，如果各个工序之 间相互独立，且每道工序都有n 种不同的加工方法，那么完成整 个产品需要的方法数为n的乘积
。
应用二
在排列组合问题中，如果需要完 成多个独立任务，且每个任务都 有不同的方法数，那么完成这些 任务的方法数为各个方法数的乘
总结词
互斥事件的乘法原则
详细描述
分类计数原理主要应用于多个独立事件，其中每个事件的发生都是互斥的，即一个事件发 生后，其他事件就不会发生。在这种情况下，完成这些事件的种数就是各个事件种数的乘 积。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、分类计数原理1.定义与基本概念2.描述设A和B为两个集合，其中，A，表示集合A的元素个数，则分类计数原理可以表示为：A∪B，=，A，+，B，-，A∩B3.应用举例例如，假设班有30个学生，其中20个学生喜欢音乐，25个学生喜欢摄影，而有10个学生既喜欢音乐又喜欢摄影。
那么根据分类计数原理，班上至少有多少学生既喜欢音乐又喜欢摄影呢？根据分类计数原理的公式，我们可以得到：A∪B，=，A，+，B，-，A∩B其中，A表示喜欢音乐的学生集合，B表示喜欢摄影的学生集合，A，表示喜欢音乐的学生人数，B，表示喜欢摄影的学生人数，A∩B，表示既喜欢音乐又喜欢摄影的学生人数。
带入已知条件，可以得到：A∪B，=20+25-10=35所以，至少有35个学生既喜欢音乐又喜欢摄影。
1.定义与基本概念分步计数原理（Principle of Multiplication）是指当一个任务可以分解为若干个相互独立的步骤进行时，事件的总数等于各步骤个数的乘积。
2.描述分步计数原理是一种基于排列和组合的计数方法，用于计算在一个事件中各步骤个数的乘积。
具体的描述如下：设任务可分解为若干个步骤进行，其中第i个步骤有n(i)种可能的选择，且各个步骤之间的选择是相互独立的。
此时，该任务的总数为：N=n(1)*n(2)*...*n(k)其中，N表示任务的总数，n(i)表示第i个步骤的选择个数，k表示步骤的总数。
3.应用举例例如，班有30个学生，其中有10个男生和20个女生，另外还有3个学科竞赛：数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛。
如果每个竞赛只允许一位学生参加，并且每个学生只能参加一个竞赛，那么参加这三个竞赛的可能性有多少种呢？根据分步计数原理的公式，我们可以得到：N=n(1)*n(2)*n(3)其中，n(1)表示数学竞赛的参赛人数，n(2)表示物理竞赛的参赛人数，n(3)表示化学竞赛的参赛人数。
根据已知条件，数学竞赛只能有10个人参加，物理竞赛有30-10=20个人参加，化学竞赛有30-10-20=0个人参加（没有学生参加化学竞赛）。
分类计数原理与分步计数原理的区别
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高中数学第一章计数原理1.1两个基本计数原理分类分步计数原理素材苏教版选修(1)
分类加法计数原理、分步乘法计数原理
通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。
⑴分类计数原理：完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和。
⑵分步计数原理：完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积。
1。
高中数学第一章计数原理1.1第2课时分类计数原理与分步计数原理的应用课件苏教版选修2
12 34
解答
引申探究 若本例中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多 少种？
②
①
④
③
解答
涂色问题的四个解答策略
本课结束
解答
(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？ 解 竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选 4位不同学生中的一位. 要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行， 因此需分三步，用分步计算原理可得4×4×4＝43＝64(种)不同结果.
解答
类型三 涂色与种植问题
AB C D
解析 A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有 4×3×3×3＝108(种)涂法.
12345
解析 答案
规律与方法
1.分类计数原理与分步计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是 解答后面将要学习的排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题 的基础. 2.应用分类计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用 分步计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤. 3一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止 重复和遗漏. 4.若正面分类的种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接 法会简单一些.
解答
引申探究 由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定 个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法； 第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有三个，可任取一个，有3种 方法； 第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法， 再排十位有2种方法.由分步计数原理知共有2×3×3×2＝36(个).
高中数学：分类计数原理和分步计数原理高级教师公开课课件苏教版选修23
第1步取1本数学书，有3种办法；第2步取1本语文书，有5种办法；
第3步取1本英语书，有6种办法；
根据分步计数原理，不同取法的种数是 N=3×5×6=90
答：若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本， 有90种不同的取法。
第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办
法中有m2种不同的方法……在第n类办法中
有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
(此原理又称加法原理 )
情景二：
从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到 丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一 天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天 中，从甲地到乙地共有多少种不同走法？
一、导入 情景：
一学生从外面进入教室有多少种 走法？若进来再出去，有多少走法？
分类计数原理和分步计数原理
二、新课
情景一：
从甲地到乙地，可以乘火车，也 可以乘轮船。一天中，火车有3班，轮 船有2班。那么一天中，乘坐这些交通 工具从甲地到乙地共有多少种不同的 走法？
分类计数原理
做一件事情，完成它可以有n类办法,在
有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中，取不同科目的书两本，有多少种不同
的取法？ 解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：
第1类办法是从3本不同的数学书中任取1本，有3种办法；
第2类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种办法；
第3类办法是从6本不同的英语书中任取1本，有6种办法；
根据分类计数原理，不同取法的种数是 N=3+5+6=14
答：从书架上任取1本书，有14种不同的取法。
高中数学 课下能力提升(一)分类计数原理与分步计数原理 苏教版选修2-3
课下能力提升(一) 分类计数原理与分步计数原理一、填空题1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有________种．2．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有________种．3．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有________种．4．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)5．从集合A＝{1，2，3，4}中任取2个数作为二次函数y＝x2＋bx＋c的系数b，c，且b≠c，则可构成________个不同的二次函数．二、解答题6．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列有多少个？7．已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？8．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．(1)从中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？答案1．解析：由分类计数原理知，有3＋5＝8种不同的选法．答案：82．解析：分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师选有3种选法；第三步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法．共有3×3×1×1＝9种监考的方法．答案：93．解析：第1名学生有4种选报方法；第2、3名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有4×4×4＝64.答案：644．解析：分两类，第一棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48(种)；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×1＝48(种)，根据分类计数原理得：共有方案48＋48＝96(种)．答案：965．解析：分成两个步骤完成：第一步选出b ，有4种方法；第二步选出c ，由于b ≠c ，则有3种方法．根据分步计数原理得：共有4×3＝12个不同的二次函数．答案：126．解：当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为32时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个．7．解：按a ，b ，r 取值顺序分步考虑：第一步：a 从3，4，6中任取一个数，有3种取法；第二步：b 从1，2，7，8中任取一个数，有4种取法；第三步：r 从8、9中任取一个数，有2种取法；由分步计数原理知，表示的不同圆有N ＝3×4×2＝24(个)．8．解：(1)从书架上任取一本书，有两类方法：第一类方法是从上层取一本数学书，有6种方法；第二类方法是从下层取一本语文书，有5种方法．根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是6＋5＝11.答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法．(2)从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种取法；第二步取一本语文书，有5种取法．根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是6×5＝30.答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的取法．。
高中数学课下能力提升二分类计数原理与分步计数原理的应用苏教版选修2_3
课下能力提升(二) 分类计数原理与分步计数原理的应用一、填空题1．用1，2，3，4可组成________个三位数．2．若在登录某网站时弹出一个4位的验证码：XXXX(如2a8t)，第一位和第三位分别为0到9这10个数字中的一个，第二位和第四位分别为a到z这26个英文字母中的一个，则这样的验证码共有________个．3．集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．4．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，不同发送方法的种数为________．5. 如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种．二、解答题6．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？7．用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？8.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号，B球必须放在与A球相邻(有公共边)的盒子中，求不同的放法有多少种．答案1．解析：组成三位数这件事可分为三步完成：第一步，确定百位，共有4种选择方法；第二步，确定十位，共有4种选择方法；第三步，确定个位，共有4种选择方法，由分步计数原理可知，可组成4×4×4＝64个三位数．答案：642．解析：要完成这件事可分四步：第一步，确定验证码的第一位，共有10种方法；第二步，确定验证码的第二位，共有26种方法；第三步，确定验证码的第三位，共有10种方法；第四步，确定验证码的第四位，共有26种方法．由分步计数原理可得，这样的验证码共有10×26×10×26＝67 600个．答案：67 6003．解析：当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7，则共有14个点．答案：144．解析：每封电子邮件都有3种不同的发法，由分步计数原理可得，共有35＝243种不同的发送方法．答案：2435．解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，故不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．答案：4806．解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．7．解：由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900 个．(2)由于数字不可重复，可知百位的数字有9种选择，十位的数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648个．(3)百位只有4种选择，十位可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288个．8．解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3×2×1＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3×2×1＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有6种不同的放法，根据分步计数原理得，有3×3×2×1＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．。
高考数学大一轮复习 第一节 分类计数原理与分步计数原理课件 理 苏教版
从甲地到丙地，分两类： 第1类，从甲地经乙地到丙地，有6种走法； 第2类，从甲地不经过乙地到丙地，有2条水路，即有2种走 法． 根据分类计数原理，有6＋2＝8种走法． 答案：6,8
第二十三页，共26页。
3.(2014·临沂模拟)如图所示的阴影部分由方 格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案 为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在 由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图 案的个数是________． 解析：每四个小方格(2×2型)中有“L”型图案4个，共有 2×2型小方格12个，所以共有“L”型图案4×12＝48(个)． 答案：48
{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．
解析：以m的值为标准分类，分为五类．第一类：m＝1
时，使n>m，n有6种选择；第二类：m＝2时，使n>m，n有
5种选择；第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择；第四
类：m＝4时，使n>m，n有3种选择；第五类：m＝5时，使
n>m，n有2种选择．由分类计数原理，符合条件的椭圆共
第二十六页，共26页。
[解析] 先涂三棱锥 P-ABC 的三个侧面，然后涂三棱 柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C21＝3×2×1×2＝12种不 同的涂法．
[答案] 12
第十三页，共26页。
[类题通法] 利用分步计数原理解决问题时应注意
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺 序的．
(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都 完成才算完成这件事．
第一节 分类计数原料与分布计数原理
1．分类计数原理 完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方 法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
高二数学分类计数原理与分步计数原理课件 苏教版
④用0，1，2，……，9可以组成多少个有重复数字的4位整数； 9×10×10×10＝9000
⑤用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数； 先定个位，再定千位，最后定百、十位5×8×8×7＝2240
⑥用0，1，2，……，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整
数等等．
整数个数
有0
无0 9×8×7×3×3
不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ （3）从书架上任取2种不同类型的书各1本，有多少种不同的 取法？
注意解：: 有(1些)4较+3复+2杂=9的问题往往不是单纯的“分类”“分步” 可 是 计以先数解“原决分理的类和((23，”分))44××而，步33要然计×＋将后数24“再原＝×分在理224＋类每．3”一ד类2＝分中2步“6 ”分结步合”起，来综运合用应．用一分般类
第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个， 故这类选法共有8种．
第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的 人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的 2人中选出，放这 类选法共有6×2＝12种，
故共有20种不同的选法．
例4.现要安排一份5天值班表，每天有一个人值班。共有5个
人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不能由同 一个人值班，问此值班表由多少种不同的排法？ 解：分5步进行： 第一步：先排第一天，可排5人中的任一个，有5种排法； 第二步：再排第二天，此时不能排第一天的人，有4种排法; 第三步：再排第三天，此时不能排第二天的人，有4种排法; 第四步：同前 第五步：同前 由分步计数原理可得不同排法有5×4×4×4×4＝1280种
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课下能力提升(一) 分类计数原理与分步计数原理
一、填空题
1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有________种．
2．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有________种．
3．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有________种．
4．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)
5．从集合A＝{1，2，3，4}中任取2个数作为二次函数y＝x2＋bx＋c的系数b，c，且b≠c，则可构成________个不同的二次函数．
二、解答题
6．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列有多少个？
7．已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？
8．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．
(1)从中任取一本，有多少种不同的取法？
(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？
答案
1．解析：由分类计数原理知，有3＋5＝8种不同的选法．
答案：8
2．解析：分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师选有3种选法；第三步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法．共有3×3×1×1＝9种监考的方法．
答案：9
3．解析：第1名学生有4种选报方法；第2、3名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有4×4×4＝64.
答案：64
4．解析：分两类，第一棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48(种)；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×1＝48(种)，根据分类计数原理得：共有方案48＋48＝96(种)．
答案：96
5．解析：分成两个步骤完成：第一步选出b ，有4种方法；第二步选出c ，由于b ≠c ，则有3种方法．根据分步计数原理得：共有4×3＝12个不同的二次函数．
答案：12
6．解：当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可
为1，3，9；当公比为32
时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个．
7．解：按a ，b ，r 取值顺序分步考虑：
第一步：a 从3，4，6中任取一个数，有3种取法；
第二步：b 从1，2，7，8中任取一个数，有4种取法；
第三步：r 从8、9中任取一个数，有2种取法；
由分步计数原理知，表示的不同圆有
N ＝3×4×2＝24(个)．
8．解：(1)从书架上任取一本书，有两类方法：第一类方法是从上层取一本数学书，有6种方法；第二类方法是从下层取一本语文书，有5种方法．根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是6＋5＝11.
答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法．
(2)从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种取法；第二步取一本语文书，有5种取法．根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是6×5＝30.
答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的取法．。