几何体外接球表面积及体积的求法有答案

几何体外接球表面积及体积的求法
答案
1.D
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．
【分析】根据三视图得出该几何体是圆柱，求出圆柱体的表面积和它外接球的表面积即可得出结论．【解答】解：根据三视图得，该几何体是底面半径为3，高为4的圆柱体，
所以该圆柱体的表面积为
S1=2π×32+2π×3×8=66π；
根据球与圆柱的对称性，得它外接球的半径R满足
（2R）2=62+82=100，
所以外接球的表面积为S2=4πR2=100π；
所以剩余几何体的表面积是S=S1+S2=66π+100π=166π．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的应用问题，也考查了利用三视图研究直观图的性质，球与圆柱的接切关系，球的表面积计算问题，是基础题目．
2.D
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．
【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，
∴正四棱柱体对角线的长为=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1
根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．
故选：D．
【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．
3.C
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理列方程，解出球的半径即可．
【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为E，过点A，B，C，D，S的球的球心为O，半径为R，则
在直角三角形AEO中，AO=R，AE=BD=4，OE=SE﹣AO=8﹣R
由AO2=AE2+OE2得R2=42+（8﹣R）2，解得R=5
球半径R=5，
故选C．
【点评】本题主要考查球，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．
4.D
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题．
分析：由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．
解答：解：因为AB=BC=CA=2，
所以△ABC的外接圆半径为r=．
设球半径为R，则R2﹣（R）2=，
所以R2=
S=4πR2=．
故选D
点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．
5.C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．
【解答】解：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO1==，
∴OO1==，
∴高SD=2OO1=，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC=，
∴V三棱锥S﹣ABC==．
故选：C．
【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．
6.C
【考点】球的体积和表面积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，
则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，
所以球的表面积为S=4πR2=50π．
故选：C．
【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．
7.B
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．
【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，
它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，
它的外接球半径是
外接球的表面积是4π（）2=14π
故选：B．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．
8.B
【考点】球内接多面体．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．
【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，
它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，
它的外接球半径是，
外接球的表面积是4π（）2=14π
故选：B．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．
9.D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．
【解答】解：设该球的半径为R，
则AB=2R，2AC=AB=，
∴AC=R，
由于AB是球的直径，
所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
BC2=AB2﹣AC2=R2，
所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，
又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，
∴V P﹣ABC==，
即R3=9，R3=3，
所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．
故选D．
【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．
10.B
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．
【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图
则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．
∵长方体的对角线长为2，
∴球直径为2，半径R=，
因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=4π
故选：B．
【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．
11.D
12.考点：球的体积和表面积；球内接多面体．
专题：空间位置关系与距离．
分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．
解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，
∴BC==，
∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，
∵SA⊥平面ABC，SA=2，
由于三角形OSA为等腰三角形，
则有该三棱锥的外接球的半径R═=，
∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．
故选：D．
点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．
12.A
考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：压轴题．
分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．
解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴△ABC的外接圆的半径
∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径
∴点S到面ABC的距离为
∴棱锥的体积为
故选A．
点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．
13.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．
【解答】解：由题意画出几何体的图形如图
由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．
∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．
在RT△SHO中，OH=OC=OS
∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，
∴体积V=Sh=××22×1=．
故答案是．
【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．
14.12π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．
【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，
所以球的半径为： =．
所以球O的表面积为4π×3=12π．
故答案为：12π．
【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．
15.
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出两个球的面积之比．
【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，
设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，
正方体的内切球与外接球的面积之比：==．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的面积之比，求出外接球的半径，是解决本题的关键．
16.16π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；方程思想；数形结合法；立体几何．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．
【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，
记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3﹣R，
在Rt△AO1O中，AO1=AC=，由勾股定理R2=3+（3﹣R）2得R=2，
∴球的表面积S=16π
故答案为：16π．
【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．需具有良好空间形象能力、计算能力．
17.36π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．
【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，
又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，
故答案为：36π．
【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．
18.；。

【考点】球内接多面体．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】几何体是一个底面是顶角为120°且底边长是2，在等腰三角形的顶点处有一条垂直于底面的侧棱，侧棱长是2，建立适当的坐标系，写出各个点的坐标和设出球心的坐标，根据各个点到球心的距离相等，点的球心的坐标，可得球的半径，做出体积．
【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为2，
三棱锥的底面为等腰三角形，且三角形的底边长为2，底边上的高为1，
∴几何体的体积V=××2×1×2=．
以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（﹣1，，0）
∵（x﹣2）2+y2+z2=x2+y2+z2，①
x2+y2+（z﹣2）2=x2+y2+z2，②
（x+1）2+（y﹣）2+z2=x2+y2+z2，③
∴x=1，y=，z=1，
∴球心的坐标是（1，，1），
∴球的半径是，
故答案为：，．
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体，考查三棱锥与外接球之间的关系，考查利用空间向量解决立体几何问题．
19.3【考点】球的体积和表面积．
【专题】数形结合；分析法；立体几何．
【分析】根据几何性质得出2r==，求解r，利用r2+d2=R2求解即可．
【解答】解；∵矩形ABCD顶点都在半径为R的球O的表面上
∴2r==，r=
∵棱锥O﹣ABCD的体积为，设其高为d，
∴3=3×d，
d=，
∴R2=6+3=9，
∴R=3，
故答案为：3．
【点评】本题考察了球的几何性质，三棱锥的体积公式，属于简单的计算题，难度很小．
20.C【考点】球内接多面体；点、线、面间的距离计算．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．
【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，
因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，
所以球的半径为：．
故选C．
【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．。