刚性线圈在不均匀磁场中的运动

关于“刚性载流线圈在不均匀磁场中的运动”的讨论

摘要： 在非均匀磁场中线圈既有绕轴转动也有平动，本文通过对在不均匀磁场中不同代表状态下的线圈的受力分析讨论其运动情况，以加深对磁场对载流导线的作用的理解。 关键词： 载流线圈，不均匀磁场，运动

0. 引言

通过对载流线圈在均匀磁场中的运动的学习，对于磁场对载流导线的作用有了初步认识，在均匀磁场中线圈只有绕轴转动，而当磁场不均匀时，线圈除了绕轴的转动还有平动，运动情况稍有复杂，通过对载流线圈在非均匀磁场中的运动进一步加深对磁场对载流导线的作用的理解。

1. 对载流线圈在不均匀磁场中的各情况受力分析

为了分析讨论的方便，我们认为线圈为刚性线圈，即不会因为力的作用而发生形变。并且假定磁场为两部分均匀磁场的组合，左侧磁场强度为B 1 而右侧磁场强度为B 2，由于任意不均匀磁场中线圈的运动很复杂，难以分析，所以作此简化。然后假定线圈从磁通量最小时初速为0开始运动。

1.1 线圈在磁通量最小的位置。如图1所示：

（注：图中载流线圈所在的平面垂直于纸面，由于两条边所受的力是方向相反，大小相同的， B 1 B 2 图1

对载流线圈的作用抵消了，所以在此处只研究另外两条边，图中两个圆圈代表所研究的两条边的横截面，“”代表电流方向垂直于纸面向里，“”代表电流方向垂直于纸面向外,磁场方向水平向右，）

则，由两个力的力矩M 1=J*α 1 ，M 2=J*α2 (其中 J 为线圈的转动惯量），而两个力作用下角

速度是相同的，所以α也是相同的，即α1=α 2 ，

所以有M 1 = M 2 。又M 1 = r 1 * F 1，M 2=r 2*F 2，所以，可得r 1 * F 1=r 2*F 2 ，即r 与 F 大小成反比，所以可得到转动轴的位置，即图中的O 点，在这种情况下，线圈只有转动而没有平动，合力矩大小为M= r 1 * F 1 + r 2*F 2 ,方向垂直于纸面向外。此时力矩最大，而角加速度α= M / J = ( r 1 * F 1 + r 2*F 2 ) / J, 此时也有最大的角加速度，而速度为零，其中F 1=I B 1L 1 ，F=IB 2L 2（其中I 为载流线圈中的电流大小，L 1 L 2 分别为两导线的长度）

1.2 载流线圈平面与磁场夹角为θ（0<θ<π/2）时。如图2所示：

此时，线圈平面与磁场方向夹角为θ，则将F 1与F 2分别在与线圈平面平行和垂直的方向上分解，则同理可得合力矩M = r 1 * F 1 '+ r 2*F 2' = ( r 1 * F 1 + r 2*F 2 ) * cos θ, 所以随着θ角的增大，cos θ逐渐减小，和力矩逐渐减小，α= M / J = ( ( r 1 * F 1 + r 2*F 2 ) *cos θ ) / J 也逐渐减小，但角速度还是在增加的，只不过增加的幅度变慢了。同时，由于F 1" = F 1* sin θ， F 2" = F 2*sin θ，所以F 1" > F 2", 所以，在与线圈平面平行的方向上合力F = F 1" - F 2" = F 1* sin θ- F 2*sin θ=（F 1-F 2）*sin θ，方向与F 1"的方向相同，在合力F 的作用下，线圈有向右上方的加速度a = F/m =（F 1-F 2）*sin θ /m , 和速度v, 由于加速度方向与合力F 的方向相同而且大小方向在变化，加速度的大小随θ角的增加而增大，方向逐渐与磁场方向垂直，所以速度大小和方向均在变化，即线圈平面整体的平动是变加速曲线运动。再分析此过程中能量的变图 2

B 1

B 2 v 1

v 2 v

化，整体是电能转化为线圈的转动动能和平动动能，不管是转动动能还是平动动能，都是随角度θ的增加而增大的。由于平动是曲线运动，不好分析，所以只分析一下转动的动能变化，当θ角从0到90度时，则合力矩做的功W=⎰+2/0d cos * ) F2*r2 F1 * r1 (πθ

θ，所以可得

W 1=r 1IB 1L 1+r 2IB 2L 2,即转动动能E k =W=r 1IB 1L 1+r 2IB 2L 2（这一结论在后面的分析中会用到）

1.3 载流线圈到达中性面位置时。如图3

所示：

此时，有F 1=F 2 ，则线圈所受合外力为0，线圈既没有转动加速度，也无平动加速度，但由于惯性，线圈依然沿原来速度方向运动。

1.4 载流线圈与磁场方向夹角为θ（π/2<θ<π）时，如图4所示：

分析方法类同图2，同理可得，

合力矩 M = r 1 * F 1 '+ r 2*F 2' = ( r 1 * F 1 + r 2*F 2 ) * cos θ,方向垂直于纸面向里， 角加速度 α= M / J = ( ( r 1 * F 1 + r 2*F 2 ) *cos θ ) / J ，

在平行于线圈平面的方向上 B 1 B 2

图3

B 2 B 1

图4

合外力 F=（F 2-F 1）*sin θ，方向与F 2"相同，

加速度 a=F/m=（F 2-F 1）*sin θ / m ,方向与F 方向相同，

又 F 1=I B 1L 1 ，F=IB 2L 2 。

在这一阶段，如图所示，合力矩的方向与线圈转动惯量的方向相反，所以阻碍线圈的转动，线圈转动速度逐渐减小。另一方面，在平行于线圈平面的方向上，在合力F 的作用下，线圈做变加速曲线运动，速度方向大体是向右下方。再分析一下，θ角从π/2到π的过程中能量的变化，合力矩M 做功W=⎰+π

πθθ2/d cos * ) F2*r2 F1 * r1 (，

所以可得W 2= —r 1IB 1L 1+r 2IB 2L 2，所以，这与图2所示的过程合力矩所做的功恰好大小相等，符号相反，这在后一情况的分析中会用到。

1.5

载流线圈在θ=π时的情况，如图5所示：

则，由上面的分析可知，在图2和图4所示的两种情况中力矩各做功

W 1=r 1IB 1L 1+r 2IB 2L 2，W 2= —r 1IB 1L 1+r 2IB 2L 2， 所以从θ=0到θ=π的过程中，合力矩所做的总功W=W 1+W 2=0，所以，这一时刻，线圈转速为0，只有因惯性而向右下方的平动速度。

此后则线圈继续沿逆时针方向转动，过程和前面所示的相似，转回到图1所示的状态，此为一个周期。

2.结语

（1）刚性载流线圈在不均匀磁场中不仅有转动还有平动，而且平动是变加速曲线运动。

（2）本文只是分析了比较简单的模型，将不均匀磁场简化为两个匀强磁场的组合，还可以继续深入研究更一般的不均匀磁场的情况。

参考文献：

图5

B 1 B 2