第12讲 列方程解应用题
六年级奥数应用专题《列方程解应用题》全国通用版(有答案)
列方程解应用题知识框架方程，是一种顺向的“程序”，即设出未知数之后，完全可以根据题目叙述，把各个量翻译出来，找出等量关系划等号即可.一、列方程解应用题的要点（1）设出用哪个未知量表示题目中提到的其他量比较方便，就选择哪个未知量作为未知数.如果只设一个不能进行有效的表达，就再设一两个.（2）翻译用设出的未知数，逐个对应地翻译题目中提到的其他各个量.（3）等量按照题目所述，找出并构建等量关系.等量中很容易忽视的是“不变量”和“相同量”，一定要敏感.【提示】有时虽然设出未知数之后等式列出来了，但方程不好解. 此时，可考虑重设未知数、重列方程或采取其他方法，甚至可以考虑先把问题的目标表达式找出来，“设而不求”——不占而屈人之兵.二、列方程解应用题的优势和局限性关系比较复杂的问题，使用方程，通常可以达到事半功倍的效果.但需要注意的是，方程“单飞”有时无力，需要结合线段图、列表法等，能够发挥更加明显的作用.重难点（1）重点：未知数的选设，其他量的表达，等量关系的寻找（2）难点：未知数的选设，等量关系的寻找，不定方程和不定方程组解的讨论例题精讲一、列一般方程解应用题【例 1】已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元.篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元.问：每个篮球多少元？【考点】列方程解应用题【难度】1星【题型】解答【解析】设每个排球x元，则每个篮球为x+10元，每个足球x+8元，由已知列方程：x+x+8+x+10=35×3，15解得x=29.所以每个篮球x+10=29+10=39元.【答案】29【巩固】 有一些糖，每人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，那么每人4块就少2块.问这些糖共有多少块?【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设开始共有x 人，5x+10=4×1.5x-2， 解得x=12，所以这些糖共有12×5+10=70块．【答案】70【例 2】 一个分数 ，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数约简后是 ．那么原来的分数是多少?【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：设这个分数为122aa -，则分子、分母都减去19为19191==(122)191035a a a a -----,即5-95=103-a a ,解得33a =,则122-33=89．所以原来的分数是3389方法二：设这个分数为变化后为5a a ，那么原来这个分数为19519a a ++，并且有(19)(519)a a +++=122, ，解得.=14．所以原来的分数是3389． 【答案】3389【巩固】 如下左图中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a ．如下右图中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的一个商是a 的2倍．求这个自然数．【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 由题意知()()878181172174,a a +⨯+⨯+=+++⎡⎤⎣⎦整理得512a+457=578a+259，即66a=198，a=3．于是，[(80+1)×8+1]× 8+1=1993．【答案】1993【例 3】 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶.已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1.某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时.问：甲、乙两港相距多少千米？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设甲、乙两港相距x 千米，原来水流速度为a 千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为2∶1，即（8-a ）∶（8＋a ）＝1∶2，于是有8+a=2(8-a),解得a=38再根据暴雨天水流速度变为2a 千米/时，则有92828=-++axa x把a=38代入，得938283828=⨯-+⨯+x x解得x=20.【答案】20【巩固】 如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A 出发，每分钟走65米，乙从B 出发，每分钟走72米.当乙第一次追上甲时在 正方形的哪一条边上？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设追上甲时乙走了x 分.依题意，甲在乙前方3×90=270（米），故有72x ＝65x+270.解得7270=x .在这段时间内乙走了712777727072=⨯（米）.由于正方形边长为90米，共四条边，故由，可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA 边上. 【答案】DA 边上二、 列一般方程组解应用题【例 4】用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底.⎩⎨⎧=⨯=+yxyx43216150解得xy==⎧⎨⎩8664所以86张铁皮制盒身，64张铁皮制盒底.【答案】86；64【巩固】运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个?【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设乙车运x箱，每箱装y个苹果，列表如下：（x+4）（y-3）-xy=3xy-（x-4）（y+5）=5化简为：4y-3x=15, ①5x-4y=15, ②①+②，得：2x=30，于是x=15．将x=15代人①或②，可得：y=15．所以甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个．三车苹果的总数是：12×19＋15×15＋20×11=673(个)．【答案】673【例 5】有甲、乙、丙、丁4人，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，2l和17．这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少?⎧⎨⎩【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设这些人中的年龄从大到小依次为x 、y 、z 、w ，①+②+③十④得：2(x +y+z+w )=90， 则3x y z w+++=15…………………………………………⑤①-⑤得：2143x = , x =21； ④-⑤得：223z =， z=3； 所以最大年龄与最小年龄的差为x w - =21—3=18(岁) 【答案】18三、 列不定方程或不定方程组解应用题【例 6】 新发行的一套邮票共3枚，面值分别为20分、40分和50分，小明花5.00元买了15张.问：其中三种面值的邮票各多少张？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 根据题意，设面值20分的x 张，面值40分的y 张，面值50分的z 张，可列方程得152********x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩解得672x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以20分的6张，40分的7张，50分的2张【答案】6；7；2【巩固】 某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支.后来又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支.问：获一、二、三等奖的学生各几人？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设一等奖x 人，二等奖y 人，三等奖z 人，可列方程得632229422x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩解得125x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，一等奖1人，二等奖2人，三等奖5人.【答案】1；2；5【例 7】 工程队要铺设78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子.问：可以有多少种不同取法？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设3米管子x 根，5米管子y 根，可列方程得3578x y +=解得260x y =⎧⎨=⎩或213x y =⎧⎨=⎩或166x y =⎧⎨=⎩或119x y =⎧⎨=⎩或612x y =⎧⎨=⎩或115x y =⎧⎨=⎩所以共有6种取法.【答案】6【巩固】 用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？ 【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设5分有x 个，2分有y 个，1分有z 个，可列方程得52100x y z ++=5分取20个，有1种.5分取19个，2分有3种取法（2个、1个、0个），共3种. 5分取18个，共6种.（同上） 5分取17个，共8种. 5分取16个，共11种. ......根据规律不难求出共有1+3+6+8+11+13+16+18+21+23+26+28+31+33+36+38+41+43+46+48+51 =18+58+98+138+178+51 =490+51 =541【答案】541【例 8】 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设男职工x 人，孩子y 人，则女职工3y -x 人(注意，为何设孩子数为y 人，而不是设女工为y 人)，那么有()131036x y x y +-+=216，化简为336x y +=216，即12x y +=72． 有122436486054321x x x x x y y y y y ⎧=⎧====⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎪⎩⎩. 但是，女职工人数为3y x -必须是自然数，所以只有125x y =⎧⎨=⎩时，33y x -=满足．那么男职工数只能为12名.【答案】12【巩固】 一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设0.7米，0.8米两种木条分别x ，y 根，则0.7x +0.8y =3.4，3.6……，即7x +8y =34，36，37，38，39. 将系数，常数对7取模，有y ≡6，l ，2，3，4(mod 7)，于是y 最小分别取6,1,2，3，4．但是当y 取6时，8×6=48超过34，x 无法取值．所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．【答案】3.4【例 9】 某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人.如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设汽车站每隔x 分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得由①、②，得将③代入①，得x ＝4.8所以汽车站每隔4.8分钟发一班车 【答案】4.8【巩固】 某地收取电费的标准是：若每月用电不超过50千瓦时，则每千瓦时收5角；若超过50千瓦时，则超出部分按每千瓦时8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少千瓦时电？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意可知，因为3元3角既不是5角的整数倍，也不是8角的整数倍.所以甲用的电超过50千瓦时，乙用的电没有超过50千瓦时，设甲用的电超过50千瓦时的部分为x 千瓦时电，乙用的电与50千瓦时相差y 千瓦时电，可列方程得8533x y +=解得15x y =⎧⎨=⎩所以甲用了50+1=51（千瓦时）的电，乙用了50-5=45（千万时）的电.【答案】51；45【例 10】 某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设每班有a(30＜a≤45)名学生，每人平均捐款x 元(x 是整数)，依题意有：x(14a+35)=1995．于是14a+35|1995．又3l ＜a≤45，所以469＜14a+35≤665，而1995=3×5×7×19，在469与665之间它的约数仅有665，故14a+35=665，x=3，平均每人捐款3元．【答案】3【巩固】 一次数学竞赛中共有A 、B 、C 三道题，25名参赛者每人至少答对了一题．在所有没有答对A 的学生中，答对B 的人数是答对C 的人数的两倍，只答对问题A 的人数比既答对A 又至少答对其他一题的人数多1．又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A ．请问有多少学生只答对B?【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设不只答对A 的为x 人，仅答对B 的为y 人，没有答对A 但答对B 与C 的为z 人．解得：253233x y z x-⎧=⎪⎨⎪=-⎩，,6,y z x ≥≥x =7时，y 、z 都是正整数，所以7,6,2x y z ===. 故只答对B 的有6人． 【答案】6课堂检测【随练1】 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒.问：队伍有多长？【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设通讯员从末尾赶到排头用了x 秒，依题意得2.6x-1.4x=2.6（650-x ）+1.4（650-x ）解得x ＝500所以队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）【答案】600【随练2】 六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）.男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分.如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设该班有x 个男生和y 个女生，于是有4x+3.25y=3.6（x+y ），化简后得8x=7y.从而全班共有学生在大于30小于50的自然数中，只有45可被15整除，所以推知x ＝21，y=24. 【答案】21；24【随练3】 (1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大质数是多少?(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，则这个最大的质数是多少?【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50． 所以，其中一定可以有某几个质数相等． 欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过50—2×9=32，而不超过32的最大质数为31． 又有82502222331=++++++个，所以满足条件的最大质数为31．(2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50． 所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7．60÷7=8……4，8760=7+7+7++7+4个，而4=2+2，恰好有8760=7+7+7++7+2+2个．即8个7与2个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7．【答案】31；7【随练4】 在同一路线上有4个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的12时追上乘助力车的，14时遇到骑自行车的，而开摩托车的相遇是16时．开摩托车的遇到乘助力车的是17时，并在18时追上了骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助车的?【考点】经济问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为a ，b ，c ，d ，设在12时骑自行车的与坐汽车的距离为x ，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为y ．有(①+③)×2一(②+④)，得 310()x c d =+，即10()3x c d =+ 设骑自行车的在t 时遇见骑助力车的，则 (12)(),x t c d =-⨯+即10123t -=，所以1153t =． 所以骑自行车的在15时20分遇见骑助力车的． 【答案】15时20分家庭作业【作业1】 甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁.问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设x 年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.16+12-2x=2×(11+9-2x), 解得x=6.所以，6年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.【答案】6【作业2】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设这列火车的速度是x 米/秒，依题意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26.解得x=14.所以火车的车身长为（14-1）×22=286（米）.【答案】286【作业3】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分.小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分.问：小明至多套中小鸡几次？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，则套中小狗（10-x-y ）次.根据得61分可列方程9x+5y+2（10-x-y ）=61，化简后得7x=41－3y.显然y 越小，x 越大.将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5.【答案】5【作业4】 袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是43.问：小明最多摸出几个标有数字2的球？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意，设摸出标有数字2的x 个，摸出标有数字3的y 个，摸出标有数字5的z 个，可列方程得23543x y z ++=，x 最大为所求.解得2010x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，摸出标有数字2的最多为20个.【答案】20【作业5】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候.若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声.细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声.问：波斯猫至少叫了多少声？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意，设白天见面的次数为x ，晚上见面的次数为y ，可列方程得3561x y +=白天见面最多时，波斯猫叫声最少.即x 最大为所求.解得125x y =⎧⎨=⎩所以，波斯猫至少叫125327+⨯=（声）.【答案】27【作业6】小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】如下表先枚举出所有可能的单价如表1．再依次考虑：首先，不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7，5，1的组合不可能．然后，也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18元，一共花35元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13元．【答案】13。
奥数第12讲 列方程解应用题 知识点总结
第12讲列方程解应用题知识点总结列方程解应用题1.设未知数两个原则：1.最小的 2.中间2.列方程（找等量关系列方程）根据题目关系的条件（什么是关系的条件：关系只有几个量之间才能发生关系）一般：找有“是”或者“等于”的句子(等于就翻译成“=”)……是（等于）,,,,左边= 右边3.解方程（1）括号前的数乘进去：若扩号前有数，把括号前的数乘到括号内去，要乘以每一个；若括号前没有数，此步跳过！[这里孩子经常少乘后面的数]理论依据：乘法分配律：c×（a+b）=（c×a+c×b）（2）去括号：括号前是“+”,直接去括号；括号前是减号，括号内的符号需要变化，+变—，—变+；理论依据：去括号的性质括号前面是正号，去添括号不变号。
括号前面是负号，去添括号都变号。
（3）移项：目的是含有未知数的在等号的一边，不含未知数的在等号的另一边；注意每个数前面的符号才是这个数的符号，从左换到右一定要变号，不换就不变号；【这里是错误高发地带】初学的需要把含有未知数的给框起来！等式的基本性质1（4）合并同类项说白了，就是几个数通过计算变成1个数，左右两边都需要通过合并（5）系数化成1几个未知数等于多少，那一个未知数也就知道是多少了经过过程的改进，发现孩子的正确率提高了很多！很高兴！4.答问题，检验！备注：这里解方程不是最简单的办法，但它是万能，万能的往往不是最简单。
上帝永远是公平的。
例1：按照图中意思列出方程，并解出来。
原来有X 本书，借出56 本，还剩60 本。
例2：根据题意列表达式。
（1）某校有教师和学生共350 人，有教师x 人，则有学生（）人；（2）某班的男生是女生的2 倍少5 人，若女生是x 人，则男生是（）人；（3）一本笔记本x 元，一支圆珠笔y 元，买3 本笔记本，4 支圆珠笔共需要（）元；（4）产量由x 千克增长了2 倍，就达到（）千克。
【分析】（1）按照题意，教师和学生共有350 人，所以学生有（350-x）人（2）按照题意，女生的两倍为2x 人，所以男生有（2x-5）人（3）按照题意，3 本笔记本要花3x 元，4 支圆珠笔要花4y元，所以共需要（3x+4y）元（4）按照题意，产量增长2x 千克，所以现在的产量为x+2x=3x（千克）例3：列方程解下列问题：（1）x 与13 的差是43，求x 是多少？（2）某数的5 倍减去5 等于这个数的4 倍，求某数是多少？（1）x-13=43(为什么不写成13-x=43，自己想想吧！)x=56(2)设某数为x5x-5=4xx=5例4：把161 分成两个数，使两个数的和是两数之差的7 倍，求这两个数各是多少？【分析】这道题一定要理解“把161 分成两个数”！分成两个数，是指这两个数的和是161 和：161 差：161除以7=23法1：和差问题(161+23)除以2=92 另一个数：161-92=69法2：设小数为x，那么大数为x+23x+(x+23)=161x=69例5：有62 人去划船，大船每只坐6 人，小船每只坐4 人。
列方程解应用题
列方程解应用题一、设未知数：（直接设和间接设未知数）1、利用和、差设未知数：甲比乙大2，则甲=乙+2。
甲比乙少41元，则甲=乙—412、利用倍、分设未知数：（1）甲是乙的2倍（31、40%等），则甲=乙×2。
（2）甲比乙的2倍（31、40%等）少1元，则甲=乙×2—1。
（3）甲比乙多（少、增加、提高等）80%，则甲=乙×（1+80%）3、利用比例设未知数：如甲乙丙的比是2：3：4，则设甲、乙、丙分别是2x 、3x 、4x二、列方程解应用题的步骤：设、列、解、验、答1、设（带单位）2、利用等量列方程3、解方程4、检验：（1）一般应检验是否符合实际意义，进行取舍（2）分式方程：先检验是否是原方程的根进行取舍，再检验是否符合实际意义进行取舍5、写出答语（带单位）三、应用题的类型：（一）、工程问题：1、工作量=效率×时间 时间=工作量÷效率 效率=工作量÷时间2、若涉及到人数，则：工作量=效率×时间×人数时间=工作量÷（效率×人数）效率=工作量÷（时间×人数）人数=工作量÷（效率×时间）3、等量关系：部分工作量之和=总工作量（常常为单位1）（二）、行程问题1、路程＝速度×时间； 速度 = 路程÷时间； 时间 = 路程÷速度2、等量关系：（1） 同时出发时，相遇的时间相等。
（2）同时出发：同向： 速度和×相遇时间 ＝相遇路程相向： 速度差×追击时间 = 路程差（3）流水问题：顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速（4）钟表问题：时针速度0.5°/分，分钟的速度是6°/分钟表问题是追击问题。
等量关系是：分针速度×追击时间 —时针速度×追击时间= 路程差（三）、利润问题：1、利润 = 售价—进价 = 利润率×进价 利润率=进价利润售价=原价×折扣2、利息＝本金×存期×利率 本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率（四）、浓度问题1、溶质＋溶剂＝溶液 浓度=溶质÷溶液 溶液×浓度＝溶质 溶质÷浓度＝溶液2、等量关系：配制前后溶质或溶剂相等（五）、增长率问题1、变化率：变化后的量=基数×（1±变化率）。
2014 暑假 四年级 精英班 第12讲 列方程解应用题(一) 教师版
第十二讲 列方程解应用题（一）知识要点：从三年级开始，我们学习了各种类型的应用题，如和倍差倍、植树、盈亏、鸡兔同笼、年龄、还原、行程等，总体说来，往往用的是逆向思维的方法，有利于我们训练逻辑思维能力。
而列方程解应用题，用的是顺向思维来思考问题，思路比较简单直接。
列方程解应用题的基本思路是：首先用字母代替待求的未知数，然后沿着题目的条件找出等量关系，并将字母当作已知数建立方程，进而算出未知数的值。
列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。
解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程。
针对方程是代数思想的重要体现，我们在小学阶段四、五年级各设一讲，系统地讲解方程及其应用。
列方程解应用题的主要步骤是：(1)仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系；(2)设这个量为x ，用含x 的代数式来表示题目中的其它量；(3)找到题目中的等量关系，建立方程；(4)运用加减法、乘法的互逆关系解方程；(5)通过求到的关键量求得题目答案；(6)检验答案。
一、基础应用【例1】 大林请三名同学去看电影，买完票之后还剩下一张10元钱、一张5元钱和两张1元钱。
这时又来了两名同学，大林也想请他们一起看，可是他发现还差3元钱。
请问：大林一共有多少钱？【解析】 设一张电影票的价格是x 元；由题意，得()()31105123123x x ++++⨯=++-；解得10x =；所以大林一共有()1041051257⨯+++⨯=或()1042357⨯+-=元钱。
【例2】 有两款数码相机，一款是高档专业相机，一款是普通家用相机。
家用相机价格较低，比专业相机便宜了4600元。
买1台专业相机的钱足够买4台家用相机，而且还能剩下100元。
请问：专业相机的价格是多少？【解析】 设家用相机的价格是x 元，则专业相机的价格是()4100x +元；由题意，得()41004600x x +-=；解得1500x =元。
用方程解决问题
北师大版小学数学专题讲解——列方程解应用题在小学数学教学中，列方程解应用题是难点。
这一部分内容融入了等式的性质，利用四则运算各部分的关系，有助于对所学的算术知识进行巩固和加深理解，初步渗透代数的思想，然而在这一部分教学中存在一定的难点。
一、审清题意：审题，理解题意。
即全面分析题目中的已知量、未知量及二者之间的关系。
特别要把牵涉到的一些概念术语弄清，如同向，相向，增加到，增加了等。
二、确立未知数：即用x表示所求的数量或有关的未知量。
若题中含有两个或两个以上的未知量，则找出他们之间数量关系，用含有x的式子分别将它们表示出来；三、寻找等量关系：“含有未知数的等式称为方程”因而是“等式”是列方程比不可少的条件。
所以寻找等量关系是解题的关键。
常见的等量关系有以下几种：1、总量相等；2、成倍数相等；3、按公式相等；小学常用数量关系总结：【行程问题】速度×时间=路程①合作行程：速度和×时间=路程和甲的路程+乙的路程=总路程甲的速度×甲的时间+乙的速度×乙的时间=总路程（注意：总路程是指已经行走的路程，未走的路程要扣除）②追及行程：速度差×时间=路程差甲的路程—乙的路程=路程差甲的速度×甲的时间—乙的速度×乙的时间=路程差（注意：路程差是指二者相差的路程，分为先天形成和后天形成两种）③流水行船：顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度-水流速度（静水速度是指船在不受外力影响的作用下，由船本身决定的速度，一般不会改变）【工程问题】工作效率×工作时间=工作总量①合作工程：工作效率和×工作时间=工作总量和甲的工作总量+乙的工作总量=总的工作总量甲的工作效率×甲的工作时间+乙的工作效率×乙的工作时间=总的工作总量（注意：总的工作总量是指已经完成的工作，未完成的工作要扣除）②追及工程：工作效率差×工作时间=工作总量差甲的工作总量—乙的工作总量=工作总量差甲的工作效率×甲的工作时间—乙的工作效率×乙的工作时间=工作总量差（注意：工作总量差是指二者相差的工作量，分为先天形成和后天形成两种）【商品问题】单价×数量=总价售价—成本=利润利润÷成本-利润率【植树问题】（一）在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。
列方程解应用题
个性化辅导教案提纲教师：学生：学科：数学时间：课题（课型）列方程解应用题学生目前情况（知识遗漏点）：教学目标或考点分析：（1）根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解。
（2）区分不同的题型，采用不同的方法解应用题。
教学重难点：会用一元一次方程解决不同类型的问题。
教学方法：知识梳理，例题讲解，知识巩固，巩固训练，拓展延伸列方程解应用题知识梳理列方程解应用题原理：正确列出方程，能准确表达题目中各种量之间的关系。
列一元一次方程解应用题的步骤：（1）审-审题：弄清题意，找等量关系。
可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。
（2）设-设出未知数：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子（3）列—列出方程：利用已找出的等量关系列出方程。
（4）解-解方程：解所列的方程，方程的变形应根据等式性质和运算法则。
（5）答-检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案（注意单位）。
经典题型【题型一数字问题】数字问题是常见的数学问题。
一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：任何数=∑（数位上的数字×位权），如两位数=10a+b；三位数=100a+10b+c。
在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。
例1、有一个两位数，十位数字比个位数字的2倍多1，将两个数字对调后，所得的数比原数小36，求原数。
举一反三：一个三位数，各位数字是百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位对调，所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
【题型二行程问题】行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。
关系式为：路程=速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间。
可寻找的相等关系有：路程关系、时间关系、速度关系。
在不同的问题中，相等关系是灵活多变的。
【小升初】小学数学《列方程解应用题专题课程》含答案
21.列方程解应用题知识要点梳理一、列方程解应用题的意义列方程解应用题就是用字母表示实际问题里的某个未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，即方程。
二、列方程解应用题的一般步骤1.审题：了解题中的已知条件和未知量，明确各个数量之间的关系，找出等量关系。
2.设：用字母表示题中的一个未知量，并用含该字母的代数式表示其他的未知量。
3.列：找出能够表示应用题全部含义的一个数量关系，列出方程4.解：解列出的方程5.答：检验所求的解是否符合题意，写出答案。
列方程解应用题，关键是寻找题中的等量关系。
方法：（1）直接设未知数；（2）间接设未知数。
途径：（1）根据关键句设未知数；（2）根据单位“1”设未知数；（3）根据公式设未知数。
考点精讲分析典例精讲考点1 直接列方程解应用题【例1】甲和乙一共有100元钱，甲用去，乙用去后，两人一共还剩下60元，甲原来有多少钱？【精析】设甲原有x元，则乙原有（100－x）。
甲剩下的钱可以用 －元表示，乙剩下的钱可以用－－元表示，然后根据两人一共剩下60元列出方程。
【答案】设甲原有x元，则乙原有(100－x）。
－－－答：甲原来有72元钱。
【归纳总结】此题比较简单，直接设未知数即可，利用两个等量关系设未知数和列方程。
考点2 间接列方程解应用题【例2】东方小学体育室的足球个数是篮球的3倍，体育课上，每班借6个足球，5个篮球，篮球借完时，还有72个足球。
体育室里原有足球和篮球各多少个？【精析】设班级数共为x个，那么借出的足球为6x个，借出的篮球为5x个。
【答案】设借球的班级数为x个。
篮球：58=40个足球：403=120个答：体育室里原有足球120个，篮球40个。
【归纳总结】隐含的等量关系是借的班数相同，间接设未知数，设班数为x。
考点3 列方程解含比例的应用题【例3】李叔叔与王叔叔8月份收入的钱数之比是8：5，8月份支出的钱数之比是8：3，月底李叔叔结余800元，王叔叔结余980元，8月份两人各收入多少元？【精析】由题意可知：收入比是8：5，设李叔叔的收入为8x元，王叔叔的收入为5x 元，收入减去结余等于支出，由此可列方程。
2、列方程解应用题
知识点梳理
三、列方程解应用题
（一）、列方程解应用题 是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值．这个
含有未知数的等式就是方程．列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运 算．解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程．
知识点梳理
三、列方程解应用题
【例 6】小军原有故事书的本数是小力的3倍，小军又买来7本书 ，小力买来6本书后，小军所有的书是小力的2倍，两人原来各有 多少，则小军原有故事书3x本
3x 7 （2 x 6） 3x 2x 2 6 7
x5
35 15（本） 答：小力原有故事书5本，小军原有故事书15本．
难点：隐藏的因数或错看的未知数容易成为此类问题的难点和易错点。
④、 其它方程（方程两边都出现未知数的情况）
要解决两边都出现未知数的方程，就必须通过“等式的基本性质”，消去一边的未知数，成为我们熟悉的一般 形式。因此，常常要将若干个未知数看成整体，共同加上或者减去。
难点：方程两边都有未知数，且未知数是除数（即非0），则可以同时乘以未知数（这时方程的两边都 各看作一个整体，里面的每一项都要乘以未知数），再消去一边的未知数。
所以西瓜和白兰瓜共 480 480 2 1440（个）．
法一：(涉及到分数，慎重选讲)
注意到两种瓜卖的天数相等这一等量关系，设白兰瓜进了x个，则西瓜进了2x个，
列方程得： x 2x 360 ，解得 x 480 ， 2x 960 ，
所以西瓜和白兰40瓜共
50 480 960 1440
个．
法二：
方程：
(x 2) x (x 2) 75
x 25
把 x 25 代入后可得 ： x 2 25 2 23 ， x 2 25 2 27
代数方程-列方程解应用题习题练习
代数方程-列方程解应用题知识结构增长（降低）率工作效率利润行程几何图形其他知识精讲类型一、增长（降低）率增长率问题公式：2(1)a x b ±=其中a 为初始值即变化前的值，b 为变化后值，x 为增长率或者降低率．例题1、一种药品经过两次降价后，每盒的价格从原来的60元降到现在的48.6元，设平均每次的降低率是x 元，则可以列方程：_____________，降低率是________．例题2、某公司去年各项经营收入中，经营电脑配件收入为500万元，占全部经营总收入的13，该公司预计明年经营总收入达到2160万元，求从去年到明年每年经营总收入的平均年增长率．例题3、一辆汽车，新车的购买价是20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后的价值是11.56万元，求这辆车第二、三年的折旧率．例题4、某工厂甲、乙两个车间在6月份共生产231台仪器，每个车间都比上月增产，且增产的百分率相同，已知甲车间上个月月产量不少于100台，6月份比上个月增产5台，乙车间上月生产120台．问：甲车间上月生产多少台？6月份每个车间增产的百分率是多少？例题5、某农户种植花生，原来种植的亩产量为200千克，出油率为50%，现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的12，求新产品花生亩产量的增长率?例题6、某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产16件，以后每月比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件．又知2月份的甲、乙两种产品的产量之比为2:3，且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和乙种产品1月份的产量．类型二、工作效率工作总量=工作效率 工作时间；假设工作总量是1，则工作效率是1工作时间．例题1、（1）一项工程甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，则甲乙合作需要_____天完成；（2）甲、乙两个工程队合作修筑一条通道，已知甲工程队比乙工程队每天多修5米，甲工程队修筑80米所用的时间与乙工程队修筑70米所用的时间相同，那么甲工程队每天修________米，如果设甲工程队每天修x米，则可列出方程__________．例题2、某服装厂准备加工300套演出服，在加工了60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了9天完成任务，求该厂原来每天加工多少套演出服．例题3、汛期到来之前，某施工队承接了一段长300米的河提加固任务，加固80米后，接到防汛指挥部的指示，要求加快施工速度，为此施工队在保证质量的前提下，每天多加工15米，这样一共用了6天完成了任务，问接到指示后，施工队每天加固河堤多少米．例题4、有一项工程，甲单独做比甲、乙合作的天数多5天，如果甲、乙先合作4天，再由乙单独做3天，才能完成全部工作的一半，问甲、乙单独完成此项工程各需要多少天．例题5、某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了20%，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天?例题6、已知甲、乙、丙三人做某项工作，甲独做所需要的时间是乙、丙两人合做这件工作的a倍，乙独做需要的时间是甲、丙两人合做这件工作的b倍，求丙独做所用的时间是甲、乙两人合做此工作的几倍．例题7、一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时，如果单独开放甲管10个小时后，加入乙管，需要6个小时把水池注满，那么单独开放一个水管，需要多少小时才可以把水池注满?类型三、利润单件利润=售价-成本；总利润=单件利润 销售件数．例题1、某各个体户以2元/kg的价格购进一种食品，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg，为促销，该个体户决定降价销售，经调查，这种食品每降价0.1元/kg，每天可多售出40kg，另外每天房租等固定成本24元，此人想每天盈利200元，应将售价降低为多少元/kg?例题2、甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料?例题3、某水果店在水果批发市场用100元购进一批甲种水果，再用100元购进一批乙种水果，已知购进的乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低0.5元/千克．（1）求甲乙两种水果各购进了多少千克?（2）购进水货当天，甲乙两种水果都按照2.8元/千克出售，乙种水果很快售完，而甲种水果先售出35，剩余的按售价打5折出售，这一天的水果买卖是否赚钱?如果赚钱了，赚多少?如果不赚钱，那么赔了多少?例题4、某中学库存960套旧课桌椅，准备修理后捐助给贫困山区学校，现在有甲乙两个木工小组都希望承揽这项业务，经协商研究得知：甲小组单独修理这批桌椅比乙小组单独修理要多用20天；乙小组每天比甲小组多修理8套；学校每天需要付甲乙小组修理费分别是80元和120元；（1）求甲乙两个小组每天各修理课桌椅多少套?（2）在修理桌椅的过程中，学校委派一名维修工进行质量监控，由学校每天发出10元钱作为生活补贴；现在有三种修理方案：方案一由甲单独修理；方案二由乙单独修理；方案三由甲乙共同修理；选择哪种方案，更省钱?类型四、行程行程问题中三个变量：路程、速度和时间，关系如下：路程=速度 时间可以通过等式的先关计算推导出速度、和时间的相关计算公式．例题1、小王从甲地到乙地需要m分钟，若小李同时从乙地到甲地，则两人经过n分钟相遇，则小李从乙地到甲地需要_________分钟（用含m、n的代数式表示）．例题2、甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，二人每小时各走多少米?例题3、已知A、B两地相距125km，甲乙两人同时A、B两地出发，相向而行，每走10km 甲比乙快36分钟，经5小时两人相遇，求甲乙两人的速度．例题4、甲、乙两人分别从相距27千米的A 、B 两地同时出发，相向而行，3小时相遇，随后两人按照原来的速度继续前进，甲到达B 地比乙到达A 地少用1小时21分钟，求两人的速度．类型五、几何图形关于线段长度类问题，主要列无理方程求解；与面积相关的问题；图形中的动点问题．例题1、函数y =2x 图像上一点P 到点A （5，0）的距离是5，求点P 的坐标．例题2、已知直角三角形的两条直角边的差是2cm ，它的面积是12cm 2，求这两条直角边的长．例题3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度围成一个正方形，两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗?若能，求出两段铁丝的长度，若不能，请说明理由．例题4、如图，笔直公路上A 、B 两点相距10千米，C 、D 为两居民区，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA =6千米，CB =8千米，现要在公路AB 段上建一超市E ，使C 、D 两居民区到E 的距离相等，则超市E 应建在离A 处多远处． A B C DE例题5、有一块长x 米，宽120米（x >120）的长方形，投资方计划将它分成甲乙丙三部分，其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若已知丙地的面积为3200米，求x 的值．例题6、有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边AD 与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口AB 、CD 、EF 、KI 、GH 、IJ 的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度例题7、等腰Rt △ABC 中，8 cm AB BC ==，动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 移动.通过点P 引平行于BC 、AC 的直线与AC 、BC 分别交于点R 、Q ，问：AP 等于多少厘米时，平行四边形PQCR 的面积等于162cm ．甲 乙丙AB CD EF G H KI J AB CP QR例题8、m、n为两条互相垂直的笔直公路，工厂A在公路n上，距公路m为1千米，B与工厂A在公路m的同侧，且距公路m为2千米，距公路n为3千米．现要在公路m上建造一个车站P，使它与A、B的距离之和为25千米，求P 的位置．mn例题9、已知A（0，-1），B（0，4），点P在坐标轴上，且PA+PB=35，求点P的坐标．例题10、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q同时出发，当某个点先到达终点时，运动终止．问：几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）如果P、Q同时出发，且点Q到达点C后立即返回，速度保持不变，直到点P到达点C后同时停止运动，那么在整个移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于1平方厘米？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．类型六、其他例题1、有一个非零数，它与4的和的正平方根再加上2后恰好等于它本身，求这个数．例题2、有一个两位数，如果个位上的数与十位上的数的和是5，并且个位上的数的平方比十位上的数大1，求这个两位数．例题3、某剧场有座位800个，每排的座位数一样多，在每排增加5个座位，并增加2排后就有座位1020个，问原来座位多少排?原每排多少个座位．例题4、植树节前，园林局把植数1600棵的任务交给了一个小队，小队被分成若干个组，计划每个组植树的棵树相同，但后来又4个组另有任务不能参加，所以其他组就要比原计划多植树20棵，每个小分队共分成了多少个组．例题5、学校甲、乙、丙三个摄影兴趣小组进行了一次摄影作品交流活动，活动时，每位同学向不同组的每个组员送一张摄影作品，这样互相交流的摄影作品共310张，已知甲组人数是丙组人数的2倍，乙组比甲组少3人，这三个摄影小组各有多少人?例题6、小强放学回家后，向爸爸、妈妈询问火箭队与雄鹿队的当天的篮球比赛的结果，妈妈说：“本场比赛火箭队的姚明比雄鹿的易建联多得了12分”．爸爸说：“如果把姚明的分数乘以易建联的得分再加上36分，恰好等于他们两人的得分之和的15倍，并且，如果姚明的得分不超过30分，则雄鹿队胜，否则，火箭队胜”，请你帮小强算一下，这场比赛，究竟是哪个队胜了?姚明和易建联各得了多少分?练习题1、某公司1996年出口创收135万元，1997年、1998年每年都比上一年增加a%，那么1998年这个公司出口创收_________元．2、甲、乙两个工程队合修一条路要6天完成，如果各队单独修路，则甲队比乙队少用5天，设甲、乙两队单独修路所需天数分别为x天和y天，则可列方程组为（）A．65x yx y+=⎧⎨=-⎩B．65x yx y+=⎧⎨=+⎩C．11165x yx y⎧+=⎪⎨⎪=-⎩D．11165x yx y⎧+=⎪⎨⎪=+⎩3、已知点A（12，2），B（3，-1），在x轴上找一点P，使PA=2PB．4、甲、乙两组工人合做某项工作，10天以后，因甲组另有任务，乙组再单独做2天才完成，如果单独完成这项工作，甲组比乙组可以快4天，求各组单独完成这项工作所需要的天数．5、有一面积为150平方米的长方形饲养场，饲养场一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米，求饲养场的长和宽．6、修建360米长的一段高速公路,甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米.甲工程队每天修建的费用为2万元,乙工程队每天修建的费用为3.2万元.（1）求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；（2）为在35天内完成修建任务应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少?并说明理由7、要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛．8、初二（1）班班委会主动为班级上一位生病住院的同学筹集部分医药费，计划筹集600元，由全体班委同学分担，后来又6位同学知道消息后也自愿参加了捐助和班委同学一起分担，因此每个班委的同学比原来少分担了50元，问：该班委有几个人?按照原计划每个班委平均分摊多少元．9、制造一种产品，原来每件的成本是500元，销售价是625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月将比第一个月提高6%，为了使两个月后的原销售利润不变，该产品的成本价平均每月应降低多少?10、一汽艇用一定速度驶完一段路程，若汽艇每小时少走8千米，则走完全程要多用4小时，若汽艇每小时多走8千米，则走完全程可少用2小时，试求这段路的长度以及汽艇原来的速度．11、有两块正方形的木板，其中大块的面积比小块的面积大45平方分米，已知小木块的边长比大木块的边长短3分米，求这两块木板的面积分别是多少．12、坐标轴上有B、C两动点．B从P(4，0)点以1v=的速度沿x轴负方向运动，同时CB点从y轴某处以2v=的速度直线运动．问两点能否在OP的中点A处相遇，若能，求CC点的起始坐标；若不能，说明原因．巩固1、已知有两个数，甲数与乙数的和为9，甲数的倒数减去乙数的倒数等于120，求这两个数．2、甲乙两个工程队合作一项工程，6天可以完后，如果单独工作，甲队比乙队少用5天完成，两队单独完成各需要多少天完成?3、已知P在第二四象限的角平分线上，且它到点A（4，0），B（1，3）的距离相等，求点P的坐标．4、学校电脑小组活动中，学生小丽为使输入200个汉字所用的时间减少10秒必须把每秒钟输入汉字的字数增加10%，问小丽原来输入200个汉字的时间是多少秒?5、某车间承包了装配及其240台的任务，要求按时按量完成，由于进行了技术革新，每天可多装配1台，结果该车间不但比规定提前了11天完成任务，还多装配了5台，合同规定的时间是多少天．6、小明同学到文具店买了两种品牌的笔共16支，其中买甲品牌的笔用了12元，买乙品牌的用了9元，甲品牌的笔每支比乙品牌的笔便宜0.3元，问甲乙两种品牌的单价是多少?7、某种汽水有大、小瓶装两种规格，现用48元购大瓶装汽水，80元购小瓶装汽水，总共26瓶，如用80元购大瓶装汽水，48元购小瓶装汽水，总共22瓶，求大小瓶装汽水各多少元?8、某经济开发区今年1月份工业产值达50亿元，第一季度的总产值为165.5亿元，问：2月份、3月份每月的增长率是多少?9、甲、乙两人加工一批零件，甲独做比两人合做多用18天，乙独做比两人合做多用32天．求甲、乙独做各需要多少天?10、如图，现有一长方形的地，长是15米，宽是10米，要在它的中央划一块长方形的花坛，花坛四周铺上草地，草地的宽都相等，花坛占原长方形面积的13，求草地的宽是多少米．11、了缓解甲、乙两地的旱情，某水库计划向甲乙两地送水，甲地需要水量180万立方米，乙地需要水量120万立方米．现已经两次送水，第一次往甲地送水3天，第二次往乙地送水2天，共送水84万立方米，第2次往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81万立方米，如果每天的送水量相同，那么完成往甲地、乙地送水任务还需要多少天?测试卷一、填空题1、一次同学聚会时，大家一见面就互相握手，一共握了45次，则参加聚会的同学共 _________人.2、某款轿车原价a 万元，现在平均每次降价%x ，经过连续两次降价后的车价是_______.3、学校组织为贫困地区儿童捐资助学活动.其中八年级(1)班和八年级(2)班捐款总额分别为1 000元和900元.已知八年级(1)班比八年级(2)班少5名学生，而八年级(1) 班的人均捐款额比八年级(2)班的人均捐款额多5元.设八年级(1)班有学生x 名，则可列方程 __________.4、某城市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路.为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%,则原计划完成这项工程用_____个月.5、一个数和它的正的平方根的和是6，则这个数是________.6、点P 在x 轴上，且点P 到点()3,4Q -的距离是它到点()6,2R 距离的2倍，则点P 的坐标为________.7、点P 在第一、三象限两坐标夹角的角平分线上，且与点()4,4A 的距离等于2，则点P 的坐标为________.8、甲、乙两人分别从A ，B 两地同时出发，匀速相向而行,在距离B 地6千米处相遇，相遇后两人又继续前进，当他们分别到达B 地、A 地后立刻返回，又在距A 地4千米处 相遇,若甲回到原处比乙早20分,则甲的速度为______,乙的速度为______.二、选择题9、某学校用420元钱到商场购买某消毒液，经过还价，每瓶便宜0.50元,结果比用原价多买了20瓶，设原价每瓶x 元，则可列出方程为( ).A .420420200.5x x -=- B .420420200.5x x-=- C .4204200.520x x -=- D .4204200.520x x -=- 10、有一位同学生病住院，需缴纳医药费1 440元,班委发动了一部分同学捐款(每人捐款数相同)，捐款活动后，又有8位同学也要加入捐款，这样使原来参加的每位同学的捐款比预计少20元之外，还可以买一包16元的奶粉，则原来参加捐款的人数为( ).A .20B .28C .50D . 7211、甲、乙两人骑自行车从相距60千米的A , B 两地相向而行，甲从A 地出发至2千米时，想起有东西忘在A 地，即返回去取，又立即从A 地向B 地行进，甲、乙两人恰好在 AB 中点相遇,已知甲的速度比乙的速度快2.5千米/时，求甲、乙两人的速度.设乙的速度是x千米/时，所列方程正确的是（）.A.32302.5x x=+B.32302.5x x=-C.34302.5x x=-D.34302.5x x=+三、列方程（组）解应用题12、某商场在“五一”节期间实行让利销售，全部商品一律按9折销售，这样每天所获得的利润恰是销售收入的20%，第一天的销售收入是4万元,并且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.25万元，求（1）第三天的销售收入是多少万元；（2）第二天和第三天销售收入平均每天的增长率.13、甲、乙两城间的铁路路程为2 400千米.经过技术改造，列车实施提速，提速后比提速前速度增加40千米/时,列车从甲城到乙城的行驶时间减少2时.这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过250千米/时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路的现有条件下列车还可以再次提速吗？14、某工程若由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付甲、乙两队共8 700元;若由乙、丙两队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队共9 500元;若由甲、丙两队合作,5天完成全部工程的23,厂家需付甲、丙两队共5 500元.（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程,问可由哪队单独完成此项工程花钱最少? 请说明理由.15、某工程队承担了铺设一段长3千米的地铁轨道的光荣任务，铺设600米后，该工程队改进技术，每天比原来多铺设10米，结果共用了 80天完成任务,试问:该工程队改进技术后每天铺设轨道多少米？16、有一种书包的批发价格是每个40元，当每个标价50元进行销售时，估计能卖出500个，但是售价每提高1元，销售量就会减少10个，另外，商店经营应按销售利润的10%缴纳销售税.商店希望通过销售这种书包能净赚纳税后利润7 200元，又能让顾客得益，求每个书包应该定价为多少元？17、两名滑冰运动员甲和乙分别在平坦的冰面上的点A和点B, AB之间的距离是100 米，甲离开点A以8米/秒的速度沿着与AB成60°角的直线滑行，在甲离开点A的同时，乙以7米/秒的速度也沿着一条直线滑行离开点B，这条直线能使两名滑冰者在给定的速度下最早相遇,求最早相遇的时间.18、有一特殊材料制成的质量为30克的泥块，现把它切开为大小两块，将较大泥块放在一架不等臂天平的左盘，称得质量为27克,又将较小泥块放在该天平的右盘中，称得质量为8克，若只考虑天平的臂长不等，其他因素忽略，试求出两个泥块的质量.2122。
最新3学而思-小升初第12讲-方程解应用题
小升初名校真题专项测试-----方程解应用题测试时间：15分钟 姓名_________ 测试成绩_________ 1、10名同学参加数学竞赛，前4名同学平均得分150分，后6名同学平均得分比10人的平均分少20分，这10名同学的平均分是________分. （06年清华附中入学测试题）【解】：设10人的平均分为a 分，这样后6名同学的平均分为a-20分，所以列方程：[ 10a-6×（a-20）]÷4=150解得：a=120。
2、某商店想进饼干和巧克力共444千克，后又调整了进货量，使饼干增加了20千克，巧克力减少5%，结果总数增加了7千克。
那么实际进饼干多少千克？ （02年人大附中入学测试题）【解】：设饼干为a ，则巧克力为444-a ，列方程：a+20+（444-a ）×（1+5%）-444=7解得：a=184。
3、某文具店用16000元购进4种练习本共6400本。
每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1．4元。
如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了_________本。
（06年试验中学入学测试题）【解】：设甲、丙数目各为a ，那么乙、丁数目为226400a -，所以列方程 4a+3×226400a -+2a+1．4×226400a -=16000 解得：a=1200。
4、六年级某班学生中有161的学生年龄为13岁，有43的学生年龄为12岁，其余学生年龄为11岁，这个班学生的平均年龄是_________岁。
（03年圆明杯试题）【解】：因为是填空题，所以我们直接设这个班有16人，计算比较快。
所以题目变成了：1个学生年龄为13岁，有12个学生年龄为12岁，3个学生学生年龄为11岁，求平均年龄？(13×1+12×12+11×3)÷16＝11.875，即平均年龄为11.875岁。
第12讲 二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用(一)解析版
第12讲 二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用（一）【学习目标】本节涉及的二次三项式的因式分解，是不能直接运用十字相乘法进行因式分解，针对此类的二次三项式要借助一元二次方程的知识进行解答．同时，通过本节的学习，充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系．其次，会运用方程思想解决实际问题，重点问题找到题目中的等量关系，其中列方程思想是本节的重点内容．【基础知识】一、二次三项式的因式分解（1）形如的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++． 二、一元二次方程应用：利率问题 1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去． 2、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）； 本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【考点剖析】考点一：二次三项式的因式分解例1．若方程24210y y --=的两个根是1154y +=，2154y -=，则在实数范围内分解因式2421y y --=____________．【难度】★ 【答案】．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例2．将2441x x --在实数范围内分解因式___________．【难度】★ 【答案】4．【解析】因为方程24410x x --=的两个根为：1122x +=，2122x -=，所以2441x x --=4． 【总结】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．例3．将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）A ．2(1)()3x x ++B ．2(1)()3x x --C ．23(1)()3x x -+D ．【难度】★ 【答案】D【解析】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式 的分解公式为：2ax bx c ++．【总结】本题可以利用公式进行分解，也可以根据选项，将每一个选项乘开之后进行判定．例4．若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________． 【难度】★ 【答案】2211+=x ，2122-=x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分 解公式为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．例5．在实数范围内分解因式： （1）28x -；（2）35x x -； （3）2328x x +-；（4）21130x x -+．【难度】★【答案】（1）(282222x x x -=-+； （2）(3555x x x x x -=；（3）()()232874x x x x +-=+-；（4）()()2113056x x x x -+=--．【解析】 （1）（2）中不能够用十字相乘法；（3）（4）可以用十字相乘法． 【总结】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解．例6．在实数范围内分解因式： （1）426x x --； （2）42341x x -+．【难度】★【答案】（1）()()()4226233x x x x x --=++-；（2）()()423334131133x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+--+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】将表达式中的2x 看成一个整体，则可以进行十字相乘法或者求根公式法分解． 【总结】本题主要考查在实数范围内进行因式分解，注意分解要彻底．例7．在实数范围内分解因式： （1）241x x ++；（2）242x x --．【难度】★★【答案】（1）()()2412323x x x x ++=+++-；（2）()()2422626x x x x --=---+．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例8．在实数范围内分解因式： （1）2231x x +-； （2）2423x x +-； （3）2361x x -+；（4）2633x x +-．【难度】★★【答案】（1）23173172312x x x x ⎛+-+-=+ ⎝⎭⎝⎭；（2）21131134234x x x x ⎛+-+-= ⎝⎭⎝⎭； （3）236363613x x x x ⎛+--+= ⎝⎭⎝⎭；（4）233633623x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例9．在实数范围内分解因式： （1）2621x x --+；（2）24411x x -++．【难度】★★【答案】（1）21717621666x x x x ⎛⎫⎛⎫+---+=-++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）21231234411422x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++=--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例10．在实数范围内分解因式：（1）222x ax a --； （2）2231211x xy y ++； （3）2241x y xy +-；（4）22285x xy y -+．【难度】★★【答案】（1）()()22222x ax a x a a x a a --=--；（2）226363312113x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫+-++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （3）22117117414x y xy xy xy ⎛+-+-=+ ⎝⎭⎝⎭；（4）2246462852x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫+--+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例11．二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时， （1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？ 【难度】★★ 【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为．【解析】（1）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解，则方程23420x x k -+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅--=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k -+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅--=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k -+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅--=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解． 考点二：一元二次方程应用：利率问题例1．某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？ 【难度】★【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％； ∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．例2．某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税，）． 【难度】★ 【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x ，由题意可列方程：， 则()07744.19512=+x ％，解：038.1951±=+x ％（负值舍去），04.0=x ．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x ％9511000+，而不是()x +11000．例3．王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税） 【难度】★★【答案】设第一次存款时的年利率为x ，则可列方程为：．【解析】注意年利率的变化．例4．李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率． 【难度】★★ 【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x ， 则可列方程为，化简可得：0818555002=-+x x ，分解可得：，解：591-=x （负值舍去），09.02=x ．答：这种债券的年利率为9％．【总结】本题中需要注意对题意得理解以及解方程的方法．【过关检测】一、选择题1（2019浦东一署10月考4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ） A.2615x x +-； B. 2373y y ++； C.2224x x --； D.2245y y -+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为244424360b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为2416425240b ac -=-⨯⨯=-<,故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.2.（浦东南片2019期中4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ） A.1562-+x x B.3732++y y C.422--x x D.22542y xy x +- 【答案】D ；【解析】 解：A 、因为24146153610b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac -=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y -=-⨯⨯=-,又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴-<，故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.3.（2019曹杨10月考4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ） A.2411x x +-； B. 2373y y ++; C. 224x x --; D. 22245x xy y -+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24144111770b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac -=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y -=-⨯⨯=-,又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴-<，故此二次三项式在实数范围内不以因式分解.故答案选D.4.（青浦实验2019期中2）二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（ ）A. B.C. 2(x+)(x-)22D. 2(x-)(x-22【答案】D ；【解析】解：令2x 2-8x +5=0，解得：x 1x 22x 2-8x +5=2(x x ．故选D ．二、填空题5.（浦东四署2020期末9）在实数范围内分解因式：232x x --＝ .【答案】3322x x ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【解析】解：因为方程2320x x --=的两根为x =，故232x x --=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 6.（青浦实验2019期中15）在实数范围内因式分解：222x x --=__________________.【答案】2(x x ；【解析】解：2220x x --=的解是114x +=，214x -=，所以222x x --=2(x x ．7.（嘉定区2019期中12）在实数范围内分解因式：243x x --= ____________________．【答案】(22x x --；【解析】解：解方程x 2-x-3=0，得x=2±则：x 2-4x-3=(22x x --+.8.（西延安2019期中11）在实数范围内因式分解：2221x x --=______.【答案】2⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ； 【解析】解：22122122x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫-⋅+-- ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==11222x x ⎛-- ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 9（徐教院附2019期中13）在实数范围内分解因式:241x x --=______________【答案】(22x x --；【解析】解：原式=2445x x -+-=()222x --=(22x x -+-.10（浦东新区2020期末10）在实数范围内分解因式：2225x x --=____．【答案】112(22x x ---+；【解析】解：2225x x --=21112()42x x -+-=21112()22x --=21112()24x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦11=2(22x x --，故答案为：112()()2222x x ---+． 11.（浦东南片2020期末9）如果关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值） 【答案】5；【解析】解：当241640b ac m -=-<即4m >时，关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，如m 取5等等. 三、解答题12．（2019·上海八年级课时练习）在实数范围内分解因式：（1）224x x --；（2）223x xy y --.【答案】（1）(11x x -- （2）【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案； （2）先解方程2230x xy y --=，然后分解因式即可．【详解】（1）原式=（x 2﹣2x +1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1x ﹣1（2）∵2230x xy y --=的解是x y =，∴原式=． 【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键． 13.（浦东南片2019期中21）在实数范围内将关于x 的二次三项式因式分解： （1）231x x +- （2）2232y xy x --.【答案】（1）(x x ；（2）2()()x y x y ；【解析】 解：（1）令2310x x +-=，则9413∆=+=，所以1,232x -±=，故231(x x x x +-=；（2）令22230x xy y --=，则2229817y y y ∆=+=，所以1,234x y -±=，故22232()()x xy y x y x y +-=. 14.（2019曹杨10月考22）分解因式：2235a ab b --.【答案】;【解析】解：因为222=2543()370b b b ∆-⨯⨯-=≥，故方程22350a ab b --=的两根为a =，故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.15.（2019上外10月考22）如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围． 【答案】p ≥﹣1且p ≠0；【解析】解：∵二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，∴px 2+2x ﹣1＝0有实数解，∴△＝4+4p ≥0，且p ≠0，解得：p ≥﹣1且p ≠0．16．（2019·上海八年级课时练习）阅读题：分解因式：223x x --. 解：原式22113x x =++--()214x =+- .此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +-.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可．【详解】()(224412122121a a a a a +-=+-=++【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键. 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．。
名师讲解小学列方程解应用题
【重点难点提要】重点：1．理解并掌握列方程解应用题的一般步骤，学会按步骤设未知数列方程求解；2．初步学会分析应用题中数量间相等关系的方法，知道常见的数量关系式(如路程=速度⨯时间等)和计算公式(如：三角形的面积=底⨯高÷2等)都可以作等量关系式列方程求解。
难点：1．学会寻找应用题中数量间相等关系的方法，能正确地找出应用题中的等量关系列方程求解；2．初步学会恰当地设未知数列方程；3．初步学会根据应用题中数量关系的具体情况，灵活选用算术解法或方程解法解答应用题。
【知识方法归纳】1.列方程解比较容易的两步应用题(1)列方程解应用题的步骤①弄清题意，找出未知数并用x表示；②找出应用题中数量间的相等关系，列方程；③解方程；④检查，写出答案。
(2)列方程解应用题的关键弄清题意后，找出应用题中数量间的相等关系，恰当地设未知数，列出方程。
(3)运用一般的数量关系列方程解应用题①列方程解加、减法应用题。
如：甲乙两人年龄的和为29岁，已知甲比乙小3岁，甲、乙两人各多少岁？数量间的等量关系：甲的年龄 + 乙的年龄 = 甲乙二人的年龄和解：设甲的年龄是x岁，则乙的年龄为：(x+3)岁。
x+(x+3)=29x+x+3=292x=29-3x=26÷2x=13……甲的年龄13+3=16(岁)……乙的年龄答：甲的年龄是13岁，乙的年龄是16岁。
②列方程解乘、除法应用题。
如：学校图书馆买来故事书240本，相当于科技书的3倍，买来科技书多少本？科技书的本数⨯ 3 = 故事书的本数解：设买来科技书x本3x=240x=80答：买来科技书80本。
(4)用计算公式、性质、数位及计数单位等做数量间的等量关系，列方程解应用题①一长方形的周长是240米，长是宽的1.4倍，求长方形的面积。
( 长 + 宽 )⨯2=周长解：设宽是x米，则长是(1.4x)米。
(1.4x+x)⨯2=2402.4x=240÷2x=120÷2.4x=50……长方形的宽50⨯1.4=70(米) ……长方形的长70⨯50=3500(平方米)答：长方形的面积是3500平方米。
(完整版)北师大版小学数学专题讲解——列方程解应用题
3、甲筐苹果的重量是乙筐的3倍。
如果从甲筐取出20千克放入乙筐，那么两筐苹果的重量就相等。
两筐原来各有苹果多少千克？4、师徒二人共加工208个零件，师傅加工的零件数比徒弟的2倍还多4个。
师傅加工了多少个零件？5、新江县新开通的公共汽车实行两种票制，普通车票每张2元，通票每张5元。
有一天售票员统计车票收入时，发现这天共有乘客880人，通票收入比普通车票收入多1740元。
问这天购买通票的有多少人？6、苹果、梨、桔子三种水果共100千克，其中苹果的重量是梨的3倍，桔子的重量比梨的一半少8千克，其中有桔子多少千克？7、张师傅加工一批零件，原打算每天做50个，为了提早10天完成，他把效率提高，每天做75个。
这批零件一共有多少个？8、运送29.5吨煤，先用一辆载重4吨的汽车运3次，剩下的用一辆载重为2.5吨的货车运。
还要运几次才能运完？常见的列方程解应用题问题【行程问题】1、甲乙两车从相距272千米的两地同时相向而行，3小时后两车还相隔17千米。
甲每小时行45千米，乙每小时行多少千米？2、甲乙两人同时从同一地点向相反方向行走，3.5小时后两人相距38.5千米。
甲每小时行走5千米，乙每小时行走多少千米？3、两地相距660千米，甲车每小时行32千米，乙车每小时行34千米，两车分别从两地同时出发相向而行，经过几小时相遇？4、小东、小英同时从某地相背而行，小东每分钟走50米，小英每分钟走45米，经过多少分钟两人相距285米？5、两列火车同时从甲、乙两城相对开出，慢车每小时行60千米，快车每小时行80千米，两城相距770千米，两车开出几小时后还相距210千米？6、甲、乙两地相距480千米，客车、货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，客车每小时行70千米，货车每小时行50千米，相遇时，两车各行了多少千米？7、一辆轿车和一辆摩托车分别从甲、乙两地相向而行，两地相距500千米，摩托车上午8点出发，每小时行40千米，轿车上午10点出发，每小时行60千米，问几点两车可以相遇？8、两地相距400米，两人从两地同时出发向相反的方向而行，5分钟后两人相距960米，甲每分钟走50米，乙每分钟走多少米？9、一列快车和一列慢车同时分别从相距630千米的两地同向开出，4.5小时快车追上慢车，快车每小时行78千米，慢车每小时行多少千米？10、甲乙两辆汽车同时从相距300千米的两地同向行驶，4小时后甲车追上乙车，已知甲车每小时行40千米，乙车每小时行多少千米？11、甲、乙两车同时从两地相向开出，甲车每小时行50千米，经过3小时已驶过中点30千米，此时甲车与乙车还相距6千米，求乙车每小时行多少千米？12、甲乙两列火车同时从某地相对开出，经过8小时相遇，已知甲火车每小时行85千米，相遇时，甲比乙多行了240千米，求乙火车的速度是多少千米？13、一只小船要行216千米的路程，逆水航行需要12小时，顺水航行需要9小时，求船速和水速各是多少千米？14、一只货船顺水行800千米的航程用20小时，已知水速为每小时4千米，如果逆水返回需要多少小时？15、顺水行船，2小时行36千米，已知船在静水中的速度是每小时7千米，求逆水行船返回出发地点要多少小时？16、两码头相距540千米，一货船顺水行全程需8小时，逆水行全程需要4小时，这货船顺水比逆水每小时快多少千米？17、逆水行船9小时行44千米，已知水速是每小时3千米，问这只船顺水行330千米的路程用多少小时？18、有甲、乙两只船航行于720千米的江河中，甲船逆水行全程需要36小时，乙船逆水行全程用30小时，甲船顺水行全程用20小时，乙船顺水行全程几小时走完？19、一只船从甲地到乙地，逆水每小时行48千米，顺水返回，比逆水提前5小时到达。
列方程解应用题(优秀6篇)
列方程解应用题（优秀6篇）列方程解应用题篇一教学目标1.初步学会列方程解比较容易的两步应用题。
2.知道列方程解应用题的关键是找应用题中相等的数量关系。
教学重点列方程解应用题的方法步骤。
教学难点根据题意分析数量间的相等关系。
教学过程一、复习准备（一）口算（二）练习（课件演示：列方程解应用题）商店原有一些饺子粉，卖出35千克以后，还剩40千克。
这个商店原来有饺子粉多少千克？1.读题，现解题意。
2.学生独立解答。
3.集体订正。
解法一：35＋40＝75（千克）解法二：设原来有千克饺子粉。
答：原来有75千克饺子粉。
（三）教师说明：这种方法（解法二）就是我们今天要学习的列方程解应用题。
板书课题：列方程解应用题二、新授教学（一）教学例1（继续演示课件：列方程解应用题）例1.商店原来有一些饺子粉，每袋5千克，卖出7袋后，还剩40千克。
这个商店原来有多少千克饺子粉？1.读题，理解题意。
2.教师提问：通过读题你都知道了什么？教师板书：原有的重量－卖出的重量＝剩下的重量3.教师提问：等号左边表示什么？等号右边表示什么？卖出的饺子粉重量直接给了吗？应该怎样表示？教师板书：原有的重量－每袋的重量×卖出的袋数＝剩下的重量4.根据等量关系式列出方程并解答。
教师板书：解：设原来有千克饺子粉。
答：原来有75千克饺子粉。
5.小结：列方程解应用题的关键是什么？（二）教学例2 （继续演示课件：列方程解应用题）例2.小青买4节五号电池，付出8.5元，找回0.1元。
每节五号电池的价钱是多少元？1.读题，理解题意。
2.提问：要解答这道题关键是什么？3.学生独立解答。
4.学生汇报解答过程。
（三）总结列方程解应用题的一般步骤（继续演示课件：列方程解应用题）（四）练习商店原来有15袋饺子粉，卖出35千克以后，还剩40千克，每袋饺子粉重多少千克？三、课堂小结今天你学习了哪些知识？列方程解应用题的关键是什么？步骤呢？四、课堂练习（一）把每个方程补充完整。
部编版数学六年级上册第12讲.应用题综合_二_
1.5 10 11.5 （吨） 用水11.5 吨．
【想想练练】自来水公司为鼓励居民节约用水，规定每人每月用水不超过 2 立方米时，按每立方米 0.5 元收费；超过2 立方米的部分按每立方米 2 元收费．王红家 3 口人，上月共交水费13 元，请你算一 算王红家上月用水多少立方米？ 【分析】 2 (13 2 0.5) 2 8 （立方米）
【巩固】某市收取水费按以下规定：若每月每户用水不超过 20 立方米，则每立方米按 2.2 元收费， 若超过 20 立方米，则超过的部分按每立方米 3 元收费.如果某用户这个月所交的平均水价是 2.5 元， 那么该用户这个月用了多少立方米的水 ？
【分析】十字交叉法：
2.2 3
2.5
，所以这个月用水 20 5(5 3) 32 (立方米)
教学目标
1. 掌握分百应用题相关的相关解题技巧 2. 灵活运用方程思想解决实际问题
知识点回顾
1.
牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃
10 天．可供 25 头牛吃几天？
【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，10 头牛吃 20 天共吃了10 20 200 份；15 头牛吃 10 天共吃
售
价
成本
利
润，利润率
利润 成本
100%
售价成本成本
100%
；
售价=标价×折扣 三、 浓度问题
浓度问题相关公式：
溶液=溶质+溶剂，浓度=
溶质 溶液
100%
溶质 = 溶质溶 剂 100%
.
常用方法：
1. 十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)
专题12《代数初步知识—式与方程(二)》(解析板)2021年小升初数学总复习专题汇编精讲精练
2021年小升初数学总复习专题汇编精讲精练（通用版）专题12 代数初步知识—式与方程（二）一、简易方程1、等式：表示相等关系的式子叫等式。
2、方程：含有未知数的等式叫做方程。
判断一个式子是不是方程应具备两个条件：一是含有未知数；二是等式。
所以，方程一定是等式，但等式不一定是方程。
方程和算术式不同。
算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。
方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。
3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
5、解方程的方法⑴直接运用四则运算中各部分之间的关系去解。
如x-8=12加数+加数=和一个加数=和－另一个加数被减数－减数=差减数=被减数－差被减数=差＋减数被乘数×乘数=积一个因数=积÷另一个因数被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=除数×商⑵先把含有未知数x的项看作一个数，然后再解。
如3x+20=41，先把3x看作一个数，然后再解。
⑶按四则运算顺序先计算，使方程变形，然后再解。
如2.5×4-x=4.2，要先求出2.5×4的积，使方程变形为10-x=4.2，然后再解。
⑷利用运算定律或性质，使方程变形，然后再解。
如：2.2x＋7.8x＝20，先利用运算定律或性质使方程变形为（2.2＋7.8）x＝20，然后计算括号里面使方程变形为10x＝20，最后再解。
四、列方程解应用题在列方程解文字题时，如果题中要求的未知数已经用字母表示，解答时就不需要写设，否则首先应将所求的未知数设为x。
1、列方程解应用题的意义* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
2、列方程解答应用题的步骤①弄清题意，确定未知数并用x表示；②找出题中的数量之间的相等关系；③列方程，解方程；④检查或验算，写出答案。
3、列方程解应用题的方法①综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。
第12讲 --列方程解应用题(四年级)
例5、已知篮球、足球、排球平均每个36元，篮球比排球每个多10元， 足球比排球每个多8元，每个足球多少元？
【分析】采用直接设元的方法，根据所求问题，假设为每个足球的价格为x元。由题中篮球、排球、足 球的价格比较，可以知道排球的价格为（x-8）元，篮球的价格为（x-8+10）元。显然，篮球的价格通 过排球的价格才能传递出来。 根据篮球与排球、足球与排球的价格比较，假设排球的价格为x元，则篮球的价格为（x+10）元，足球 的价格为（x+8）元。显然，都能够直接得到。
720x=（720+80）（x-3）
解方程，得：x=30 所以，这条路的全长为：720×30=21600米=21.6千米
通过比较，这个题目采用间接设未知数比直接设，在计算 时要方便很多。（认真体会间接设元，让学生讨论）
随堂练习 2 （1)一个畜牧场，每天生产牛奶和羊奶共2346千克，生产的 牛奶是羊奶的5倍，问：每天生产羊奶和牛奶各多少千克?
列方程解应用题，一般按下面的步骤进行：
(1)弄清题意，找未知数并用x表示； (2)找出应用题中数量间的相等关系后列方程； (3)解方程； (4)检验，写出答案。
例1、班上有37名同学，分成人数相等的两队进行拔河比赛，恰好余3人 当裁判，每个队有多少人？
【分析】这是一个非常简单的题目，用算术方法，也很容易理解。那么，我们采用列方程的方法来试 试。 列方程的方法，我们可以先把未知数用一个字母来表示，并把它看作是已知数。这样就避免了算术方 式逆向解题的过程。 我们先假设每队有x人。根据拔河的两队人加裁判与班上所有同学构成等量关系，列方程如下：
小学数学6年级培优奥数讲义 第12讲-浓度应用题(教师版)
第12讲 浓度应用题①明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系；②浓度三角的应用；③会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解；④利用方程解复杂浓度问题。
一、浓度问题中的基本量溶质：通常为盐水中的“盐”,糖水中的“糖”,酒精溶液中的“酒精”等；溶剂：一般为水,部分题目中也会出现煤油等；溶液：溶质和溶液的混合液体；浓度：溶质质量与溶液质量的比值。
二、几个基本量之间的运算关系1、溶液=溶质+溶剂；2、=100%=100%+⨯⨯溶质溶质浓度溶液溶质溶液。
三、解浓度问题的一般方法1、寻找溶液配比前后的不变量,依靠不变量建立等量关系列方程2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)形象表达：A B =甲溶液质量乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角,浓度三角与十字交叉法实质上是相同的．浓度三角的表示方法如下：教学目标知识梳理::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-z z-y x-z乙溶液浓度y %甲溶液浓度x %混合浓度z%3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法．考点一：简单的溶液浓度问题例1、某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到,那么这种溶液的食盐浓度为多少？【解析】两种配置溶液共含食盐40×15%+60×10%=12克,而溶液质量为40+60-50=50克,所以这种溶液的浓度为12÷50=24%.例2、买来蘑菇10千克,含水量为99％,晾晒一会儿后,含水量为98％,问蒸发掉多少水份？【解析】方法一：做蒸发的题目,要改变思考角度,本题就应该考虑成“98％的干蘑菇加水后得到99％的湿蘑菇”,这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份,就又转变成“混合配比”的问题了。
但要注意,10千克的标注应该是含水量为99％的重量。
将10千克按1∶1分配,10÷2=5,蒸发掉5千克水份。
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苹果的重量 + 梨的重量 = 总重量
解：设苹果有 x 箱，则梨有（45－x）箱。
24x + 20（45－x）= 1004 24x + 20 × 45－20x= 1004 4x = 104 x = 26 45－x= 45－26 = 19
答：苹果有26箱，梨有19箱。
上海福山外国语小学 Shanghai Fushan Foreign Language Primary School
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例1：甲乙两辆汽车从相距360千 米的两地,同时相向开出，4小时 相遇，已知甲车比乙车每小时快6 千米，求甲乙两车的速度。
甲行的路程+乙行的路程=相距的路程
甲?千米/时
4小时相遇
乙?千米/时
360千米
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甲行的路程+乙行的路程=相距的路程
解：设乙车的速度是x千米/时，则 甲车的速度是（x+6）千米/时。 4（x+6）+4x=360 4x+24+4x=360 8x+24=360 8x=336 x=42
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列方程解应用题步骤：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、找出等量关系式； 2、写设句,列方程； 3、解方程； 4、检验,并写答句。
x+6 = 42+6 = 48
答：乙车的速度是42千米/时， 甲车的速度是48千米/时。
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例2：一箱苹果24千克，一箱梨20千克，
已知苹果和梨共有45箱，共重1004千克。 苹果和梨各有多少箱？