类比猜想,实验证明,变式探究——探讨与圆锥曲线有关的一类三角形面积的最值问题
高考数学复习：圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
b a
2
2＝－
1， 2
所以 a2 ＝2b2，
又 c＝1， a2＝ b2＋ c2，所以 a2＝ 2， b2＝ 1，
所以椭圆 E 的标准方程为 x2＋ y2＝ 1. 2
(2)设直线方程为 y＝ kx＋m， 交椭圆于点 P(x1， y1)， Q(x2 ，y2 ).
联立方程
y＝ kx＋m， x2＋ y2＝ 1， 2
＝ 1＋ k2
16k2m2 1＋ 2k2
设 MF 1 的方程为 x＝ my－ 3，
x＝my－ 3， 由 x42＋ y2＝ 1
得 (m2＋ 4) y2－ 2 3my－ 1＝0，
y1＋
y2＝
2 m
2＋3m4，
故 1
y1y2＝－ m2＋ 4.
设 F1 M 与 F 2N 的距离为 d，
四边形 F1F 2NM 的面积为 S，
则
S＝
1 2
(|F
1M
得 (1＋ 2k2)x2＋ 4kmx＋ 2m2 －2＝ 0，
Δ＝ 8(2k2＋ 1－m2)>0 ，得 2k2＋ 1>m2，
x1＋
x2＝－
1＋4km2k2，
x1
x2＝
2m2－ 2 1＋2k2 .
所以 |PQ|＝ 1＋ k2 x1＋ x2 2－ 4x1x2
＝ 1＋ k2
－ 4km 1＋ 2k2
2－
8m2－ 8 1 ＋ 2 k2
的一个动点，且 |PF 2|的最大值为 2＋ 3， E 的离心率与椭圆
Ω：
x2 2
＋
y2 8
＝
1
的离心率相等
.
(1)求 E 的方程； (2)直线 l 与 E 交于 M ，N 两点 (M ，N 在 x 轴的同侧 )，当 F 1M ∥ F 2N 时，求四边形 F1F2NM 面 积的最大值 .
圆锥曲线中一类三角形面积的最值问题
例 １ 在椭圆 ＋ ＝ 中， ｝ １ 作过椭圆右焦点 Ｆ 的斜 ２
咔
＝
率为 ｋ（ ＃Ｏ 的直线 Ａ 交椭 圆于 Ａ， 两点 ， ｋ ） Ｂ， 并连结 ＦＡ， ｌ ＦＢ 当 ｋ发生 变化 时， ｌ． 求△ＦＡ ｌＢ面积的最 大值
吾 ２， 一 时
学生对这类问题往往望而却步 ， 得不 到最终 的结果 ， 得 分率 比较低． 因为它 容易给人 的感觉 是 ： 运 算量 大 ” “ “ 、 求 解技巧性强 ” 但事实并非如此． ， 在文献 ［ ］ ， １ 中 罗增 儒 老师 就详 细地叙述 了 ２ ０ 陕西省数学高考理科试题 第 ２ 题 ０ ７年 １ （ 同文科第 ２ ） ２题 的解题 思路 ， 认识 、 从 反思到 拓展 的过 程 中， 深入探讨 了该题 的深层 结构 ， 过对 问题 的深层 认识 ， 通 突出了问题的本质 ， 促进 了解题思路 的改进． 在例 １中 ， 由于命题时将弦 Ａ Ｂ所 在的直 线存在 斜率 ｋ （ ＃Ｏ 作 为条件呈现 出来 ， ｋ ） 从而造成 了无解 的局 面． 进一步 思考 ， 产生 了这 样 的问题 ： 如果 将条 件 “ 率 ｋ（ ＃Ｏ ” 斜 ｋ ） 去 掉， 最大值一定存 在吗？若存在 ， 线 Ａ 直 Ｂ在 什 么位置？ 如
．△，＾ ＝ ｌ Ｓ ｌＢ １ ｌ
・ Ｊ
的面积 不存 在最大值 ， 只有在 焦点 弦 的 ２个端 点在 同一 支
１ｋ ２
双 曲线 上时 ， 焦点 弦三 角形 的面 积存在 最小 值
“
， 此时 焦
ｌ ｌ—
／
ｂ 一— ａ ２＋— ｍ２ ｂ ２ ’
利用 函数 Ｙ＝ 一 口＞０ 在 区间（ ， ） （ ） ０ ＋ 是减 函数
＾ ＿
圆锥曲线有关最值问题研究课件
研究热点和趋势
研究热点
当前圆锥曲线最值问题的研究热点主要集中在以下几个方面：一是利用几何和代数的工 具研究圆锥曲线的几何性质和最值问题；二是将圆锥曲线最值问题应用于实际问题中，
如物理学、工程学和经济学等；三是探索圆锥曲线最值问题的算法和计算复杂性。
研究趋势
随着数学和其他学科的发展，圆锥曲线最值问题的研究趋势将更加多元化和交叉化。研 究者将更加注重从不同角度和层面研究圆锥曲线的最值问题，并尝试将研究成果应用于
实际问题中，推动数学和其他学科的发展。
研究展望和挑战
研究展望
未来圆锥曲线最值问题的研究展望主要集中 在以下几个方面：一是深入研究圆锥曲线的 几何性质和最值问题，探索更多具有挑战性 的问题；二是将圆锥曲线最值问题的研究成 果应用于实际问题中，推动相关领域的发展 ；三是加强国际合作与交流，推动圆锥曲线 最值问题的研究向更高水平发展。
面积最值
01
在给定条件下，求圆锥曲线内或外的某区域的面积最大或最小
值。
距离最值
02
在圆锥曲线中，求某点或某线段到另一特定点或线段的距离最
大或最小值。
角度最值
03
在圆锥曲线中，求某两线段之间的夹角最大或最小值。
物理问题中的最值问题
速度最值
在给定物理条件下，求物体在圆锥曲线轨道上运动时的最大或最 小速度。
在经济发展过程中，如何合理配 置资源以达到经济产值的最大或 最小化。
THANKS
感谢观看
03
圆锥曲线最值问题的应用
在几何问题中的应用
几何图形中的最值
问题
圆锥曲线在几何问题中最值问题 中有着广泛的应用，例如求三角 形、四边形等平面几何图形中的 最短边、最大面积等。
圆锥曲线中三角形面积的最值求法探析
置关 系 ， 有较 大 的计 算 量 ， 须 具 备 足 够 的数 学 素 养 和
计 算 功底 才 能解答 完 整． 变 式练 习 已知 Ｆ 、 Ｆ ２ 分别 是 椭 圆 ｃ： ＋ 一１
合思 想 、 化 归与转 化 思想 ， 符 合考 试 大纲 中 “ 对数 学能
力 的 考 查 要 以数 学 基 础 知 识 、 数 学 思 想 和 方 法 为 基 础” 的要 求 ． 下 面 以椭 圆 为 载 体 例 析 圆 锥 曲线 中三 角 形 面积 的最 值求 法 ， 帮 助 同学们 归纳 总结 ．
（ １
） ［
一
］ 一
３ （ 忌 ＋１ ） （ ９ ｋ ＋ １ ） （ ３ ｋ２ ＋１ ） ０ ‘
当ｋ ： ／ ： ｏ时 ， 式① 等 价于 ３ ＋
则式 ① ≤３ ＋
，
②
过定点 Ｄ（ １ ２ ／ ５ ， ０ ） ， 从而选择 ｓ △ 仙 一÷ ｆ Ｄ Ｃ ｆ ｆ ｙ 一
ｆ 一 √ ２ 时， 等式成立 ， 故（ Ｓ △ Ｐ Ｆ Ｆ ２ ） 一√ ２ ． 此时 ， 椭ｚ ＋ 代 入椭 圆方 程 ， 整理 得
（ ３ ｋ 十 １ ） ｚ ＋６ ｋ ｍ ｘ＋ ３ ｍ 一３ —０ ．
由根 与 系数 的关 系得
１ ） 、
ｚ
） ． 联立 方程
消去 ｚ得
当 时 若 不 登 高 望 ， 谁 知 东 流 海 样 深
吖Ｉ ． ． 数 ２ ３
一
（ ３ ） 当 ｎ － － ２ 时 ， Ｓ △ Ｐ Ｆ Ｆ 。 一 １ ｌ Ｆ Ｆ １ ． 譬 ６ 一 譬 ｃ ｂ ，
走 ｚ 由 已 知
一 ， 得 ｍ 一导 ＋ １ ） ．
所 以 Ｓ Ａ Ｐ Ｆ １ Ｆ ２ ≤ 譬 × 一 ｎ ｚ 一 ， 当 且 仅 当 ６ 一
以问题为导向,实施有效探究——以椭圆内接三角形面积最大值的探究为例
6—
4，+3 丿 + 4，+3 丿=1，可得4,2+3=4—2.
所以
4
3
所以4"'4,+3~-2 4,2+3
=VWT4'3
P+ = 3 V T.
4I—I
I—I
设原点0到直线AB的距离为01,点C到直线AB的距
1—1 2 离为02,则02=301=
，故"ABC的面积为 IABI02=
VF+T
—2 ，为定值.
探究：设(("i,$J + B("2,$2),将$=&"+'代入才+才=
1，得(4&2+3 )"2+)&'"+4'2-12=0.
由！=()&')2-4(4&2+3)(4'2-12)>0,得 4&2+3-'2>0,
-3km
4m2-12
F"1+"2=
,"1"2=
.
设AB的中点为*，设罟Ci"%"，点，的坐标为("o,$o),
结论2 ：已知椭圆3：刍+占=1 （i>b>0）,作垂直于"轴 1b
的直线与椭圆3交于A,B两点，点C位于椭圆3上，则
"ABC面积的最大值为3" ob,此时"ABC的重心为
坐标原点。.
高中彳•了裂：•■? 37
解法探穷
问题4：已知椭圆！： — +— =1 +作直线 43
圆锥曲线中一类三角形面积的最值问题
圆锥曲线中一类三角形面积的最值问题圆锥曲线中一类三角形面积的最值问题是一个关于几何学的主题，它是关于在特定几何结构和条件下确定三角形面积最大值和最小值的问题。
问题的描述：
求解一类圆锥曲线上定义三角形的面积的最值。
问题的分析：
1.首先该问题的结构存在一个圆锥曲线，其上定义三角形，该三角形的面积是需要求解的最值。
2.其次，在求解最值的过程中，需要确定三角形的形状及尺寸，包括三边的长度及锥角的内切圆和外接圆的半径。
3.此外，在确定三角形面积的最值时，需要考虑到所在圆锥曲线的几何结构及其内接圆的大小，以确定最合适的三角形及其面积最优值。
求解方法：
1.采用穷举和搜索的方法，在一类圆锥曲线上逐步去确定目标三角形的形状及尺寸，其面积最小或最大符合条件；
2.在该类圆锥曲线上，启发式搜索也可以用于最值问题，进行穷举时可以根据当前搜索状态而进行学习及调整；
3.此外，还可以采用以下几种数学方法去求解：（1）利用微积分中极大值极小值的概念，结合拉格朗日乘子法；（2）利用数学规划方法，比如模拟退避法；（3）用贪婪算法去寻找最优解；（4）还可以用神经网络技术去求解。
结论：
以上求解最值问题的方法都可以有效地求出圆锥曲线上三角形面积的
最值，通过不同的搜索方法可以解决规模越大问题所对应的最值问题。
圆锥曲线中的最值与范围、证明与探索性问题
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1
2
3
4
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配套精练
1．(2024·漳州期初)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F1(－ 3，0)，且过
点
A
3，12.
(2) 不过原点 O 的直线 l 与 C 交于 P，Q 两点，且直线 OP，PQ，OQ 的斜率成等比
数列．
①求 l 的斜率； ②求△OPQ 的面积的取值范围．
圆锥曲线中的最值与范围、证明与探索性问题
研题型 能力养成
研题型 能力养成 举题说法
举题说法
目标 1 最值与范围问题
1 (2023·淮北一模节选)已知椭圆 Γ：ax22＋by22＝1(a ＞b＞0)，A，F 分别为 Γ 的左顶点和右焦点，O 为坐 标原点，以 OA 为直径的圆与 Γ 交于点 M(第二象限)， |OM|＝a2. (1) 求椭圆Γ的离心率e；
＋
y2)
＋
(2
－
m)2
＝
9(t2＋1) 3t2－1
－
12t2(2－m) 3t2－1
＋
(2
－
m)2
＝
(3m2－3)t23－t2－(m12－4m－5)，
→→
→→
若MP·MQ为定值，则有 3m2－3＝3(m2－4m－5)，解得 m＝－1，此时MP·MQ＝0.当直
线 l 与 x 轴重合时，则 P，Q 为双曲线的两顶点，不妨设点 P(－1，0)，Q(1，0).对于
2
(2023·泰安期末)已知椭圆
E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)过
A1，
26，B
3， 22两点．
(2) 已知 Q(4，0)，过 P(1，0)的直线 l 与 E 交于 M，N 两点，求证：||MNPP||＝||MNQQ||.
圆锥曲线面积最值秒杀解法_概述及解释说明
圆锥曲线面积最值秒杀解法概述及解释说明1. 引言1.1 概述在数学中，圆锥曲线是一类由一个平面和一个点来确定的曲线。
它包括了圆、椭圆、双曲线和抛物线等不同的类型。
这些曲线在科学、工程和经济等领域中广泛应用。
本文将重点讨论圆锥曲线面积最值问题的解法。
通过寻找圆锥曲线在特定条件下的最大或最小面积，我们可以得到很多有用的结论和应用。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分。
首先是引言部分，简要介绍了文章的背景和目标。
接下来，我们将概述并说明解决圆锥曲线面积最值问题的传统方法，包括定义和性质以及最值问题的背景和意义。
然后，我们将详细介绍一种名为“秒杀解法”的新方法，该方法可以快速有效地求解圆锥曲线面积最值问题。
我们将阐述其基本思路、原理，并提供完整演算步骤及示例证明。
在第四部分中，我们将通过实际应用案例研究来验证该秒杀解法的可行性和效果。
这些案例包括工程设计领域的成功实践、经济学模型中的应用和地理信息系统中的空间分析优化。
最后，在结论与展望部分，我们将对整篇文章进行总结，并提出未来研究的方向和展望。
1.3 目的本文的主要目的是介绍一种针对圆锥曲线面积最值问题的新方法——秒杀解法。
通过探讨传统方法和秒杀解法，我们可以深入了解圆锥曲线在不同领域中的应用和意义。
通过具体案例研究，我们将证明秒杀解法在实际问题中的可行性和有效性。
同时，本文也希望能够激发更多关于圆锥曲线面积最值问题求解方法的研究，为相关学科提供更多应用价值和理论支持。
2. 圆锥曲线面积最值秒杀解法概述和说明2.1 圆锥曲线的定义和性质圆锥曲线是指在三维空间中，由一个点（焦点）和一条直线（准线）决定的一类曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
每种圆锥曲线有其独特的性质，如焦点与准线之间的距离关系、离心率等。
2.2 最值问题的背景和意义在数学中，最值问题是指求解函数在某个区间内取得最大或最小值的问题。
对于圆锥曲线而言，我们希望找到使其面积达到最大或最小值的条件和方法。
由一道题谈求解圆锥曲线中三角形面积问题的思路
产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产探索探索与与研研究究圆锥曲线中三角形的面积问题通常较为复杂，且解题时的运算量较大.这类问题侧重于考查同学们的运算和逻辑思维能力.下面结合一道例题，谈一谈圆锥曲线中三角形的面积问题的解法.例题：已知斜率为的直线l 过点M (0,3)，交椭圆x 24+y 23=1于A ,B 两点，求三角形AOB 的面积.一、直接法直接法是指根据题意，利用相关的公式、定理、定义等直接求解.在运用直接法求解圆锥曲线中三角形的面积问题时，只需根据已知条件，以及三角形的位置、形状求得三角形的底边长、高线长、角的大小，利用三角形的面积公式S=12×底×高、S =12ab sin θ，就可以直接求得问题的答案.解法1.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题意知直线AB 的方程为x =+3，联立直线和椭圆的方程,得ìíîïïïïx =+3，x 24+y 23=1.消去x ，得116y 2-32y +5=0，由韦达定理得y 1+y 2=11y 1y 2=3011.根据弦长公式得AB =1+k 2||y 1-y 2=∙()y 1+y 22-4y 1y 2=65，由点到直线的距离公式得O 到AB 的距离为：d =3，可得三角形AOB 的面积为S =12×65×3.我们先将直线与椭圆的方程联立；然后根据韦达定理和弦长公式求得弦AB 的长；再根据点到直线的距离公式求得O 到AB 的距离，即可根据三角形的面积公式S =12×底×高，直接求得三角形AOB 的面积.二、割补法割补法是解答几何图形的面积问题的重要方法.运用割补法求解圆锥曲线中三角形的面积问题，通常要将不规则的图形分割、填补成规则的几何图形，如三角形、梯形、平行四边形等，以运用规则图形的性质、面积公式求圆锥曲线中三角形的面积.解法2.由解法1知y 1+y 2y 1y 2=3011.将x 轴作为分割线，把三角形OAB 分割成两个三角形OPA 和OPB ，可得直线与x 轴的交点P，即OP =，则S =S △OPA +S △OPB =12×OP ×|y 1-y 2|=.通过观察图形并分析，很容易求得OP 以及|y 1-y 2|，于是采用割补法，将三角形OAB 分割成两个三角形OPA 和OPB.再根据三角形的面积公式求两个三角形的面积之和，就能快速求得问题的答案.三、利用海伦公式海伦公式为：S =p (p -a )(p -b )(p -c )，其中p =a +b +c 2.该公式主要用于求三角形的面积.在解题时，常需利用两点间的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、勾股定理、正余弦定理分别求得三角形的边长，再将三边的边长代人公式中进行求解.解法3.由解法1知y 1+y 2y 1y 2=3011.由两点之间的距离公式可得OA =x 12+y 12,OB =x 22+y 22，AB =(x1-x 2)2+(y 1-y 2)2，代入即可算出S .海伦公式是一个拓展公式，同学们在使用前要对其作具体的说明.运用海伦公式求解圆锥曲线中三角形的面积问题，往往能简化运算.可见，圆锥曲线中三角形的面积问题的解法较多.但需注意根据题意和三角形的形状选用合适的面积公式和距离公式，这样才能规避繁琐的运算，提升解题的效率.（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）47Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
圆锥曲线面积问题解题技巧
圆锥曲线面积问题解题技巧
哇塞，朋友们！今天咱们就来好好唠唠圆锥曲线面积问题解题技巧这些事儿。
咱就说，对于圆锥曲线，是不是有时候感觉就像一团乱麻，理都理不清呀！
比如说椭圆吧，已知一个椭圆的方程，然后让你求某个图形的面积，这时候该咋办呢？嘿！先别慌！咱得冷静分析。
你看啊，就像解开一团纠结的毛线，得找到那个关键的线头。
拿双曲线来说，假如给你一个双曲线，还有一些条件，让你算一个和它相关的三角形面积。
这就相当于在迷宫里找出口，得有方法呀！比如咱可以通过巧妙运用一些公式和定理，像发现宝藏一样找到解题的关键。
再说说抛物线，那可真是像个调皮的小精灵，稍不注意就给你来个难题。
可咱不能怕呀！咱得勇敢面对呀！就像打游戏冲关一样，一步步找到技巧。
同学小张就曾经在这上面栽过跟头，他老是抓不住重点，急得直跺脚。
我就跟他说：“嘿，别急呀，咱慢慢分析，肯定能找到突破口。
”后来呀，他静下心来，按照一些方法去做，果然就把难题给解决了。
其实呀，解决圆锥曲线面积问题就像攀岩，得一步一个脚印，找好着力点。
有时候看似困难无比，但是只要你掌握了技巧，就会发现其实也没那么难嘛！遇到问题咱就得迎上去，和它正面交锋！绝对不能退缩。
我的观点就是，只要我们认真去学，多练习，多总结，圆锥曲线面积问题的解题技巧一定能被我们牢牢掌握！大家一起加油吧！。
圆锥曲线专题——面积最值问题
圆锥曲线专题——面积最值问题
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尊敬的读者朋友们：
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为圆锥曲线专题——面积最值问题的全部内容。
圆锥曲线专题-—面积最值问题
例题8、（11陕西理）已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）的离心率为短轴一个端
点到右焦点的距离为。
(Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B
两点,坐标原点O 到直线l 的距离为,求△AOB 面积的最大值。
练习1、（10浙江理）如图，直线与椭圆交于A 、B 两点,记的面积
为。
（Ⅰ）求在,的条件下，的最大值；
（Ⅱ）当时，求直线AB 的方程.
练习2、(山东09文)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为4。
（Ⅰ)求椭圆的方程；
12222=+b y a x ,36323y k x b =+2
214x y +=A B C ∆S 0k =01b <<S 12==，S AB
l
（Ⅱ）直线过点P（0,2）且与椭圆相交于A、B两点,当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。
圆锥曲线的热点问题—最值、范围、证明问题
23，
当且仅当4t ＝3t，即 t2＝34时等号成立，此时 k2＝73，所以△OAB 面积的最大值为
3 2.
索引
思维升华
求最值常用的方法有两种：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现图形 的几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决；②代数法，若题目的条 件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数 的最值.
索引
类型二 范围问题
例2 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x
上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； 证明 设 P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2. 因为 PA，PB 的中点在抛物线上，所以 y1，y2 为方程y＋2y02＝4·14y2＋2 x0， 即 y2－2y0y＋8x0－y20＝0 的两个不同的实根. 所以 y1＋y2＝2y0，即y1＋2 y2＝y0，因此 PM 垂直于 y 轴.
索引
(2)若 P 是半椭圆 x2＋y42＝1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围. 解 由(1)可知yy11＋ y2＝y2＝ 8x02－y0，y20， 所以 PM＝18(y21＋y22)－x0＝43y20－3x0，|y1－y2|＝2 2（y02－4x0）. 因此，△PAB 的面积 S△PAB＝21PM·|y1－y2|＝342(y20－4x0)32. 因为 x20＋y420＝1(－1≤x0<0)， 所以 y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4，5]， 因此，△PAB 面积的取值范围是6 2，15410.
索引
思维升华
求参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)法，根据题意结合图 形列出所讨论的参数满足的不等式(组)，通过不等式(组)得出参数的取值范围； ②函数值域法，用某变量的函数表示所讨论的参数，通过讨论函数的值域求 得参数的取值范围.
解三角形中的面积及最值问题的处理方法
解三角形中的面积及最值问题的处理方法发布时间：2022-03-07T07:08:32.222Z 来源：《素质教育》2021年10月总第395期作者：苗玲[导读] 正余弦定理在高中数学中是个重点，在高考中是大部分学生能得分的关键点,高考中多以基础题的形式呈现出来。
在日常教学中，是我们教师教学的重点。
云南省昆明市宜良县第一中学652100正余弦定理在高中数学中是个重点，在高考中是大部分学生能得分的关键点,高考中多以基础题的形式呈现出来。
在日常教学中，是我们教师教学的重点。
我们应该把正余弦定理的考题以考点形式归纳总结出来，便于学生形成体系。
而其中，正余弦定理的灵活运用是这部分的难点，本文从解三角形的面积及最值问题的处理方面，谈谈自己的处理方法。
一、必备知识正余弦定理，三角形常用面积公式，基本不等式二、研究方向用正余弦定理解决三角形中的最值问题，尤其是求三角形周长或者面积的最值，在多年高考中一直频繁出现，就近五年的全国高考来看：2017年：全国一卷、二卷、三卷都考察了面积或周长问题，其中二卷是给了面积求边长；2018年：全国一卷求边长；2019年：全国二卷、三卷大题出现；2020年：全国二卷；2021年：全国二卷；还有全国各省份的高考试卷及模拟试卷经常有类似问题出现.故本文通过举例说明，给各位读者提供参考借鉴，能够灵活掌握这类问题。
三、在高考中应用解三角形中，因为三角形涉及三边、三个内角一共六个元素，如果我们能确定其中的三个元素，那么这个三角形可能就被唯一确定下来。
常见的有：已知两边及夹角，三角形唯一确定下来；已知两边及其中一边所对的角，可能会出现多组解的问题；已知两角及夹边，三角形唯一确定；已知两角及其中一角所对的边，三角形唯一确定；已知三边，三角形唯一确定。
以上五种类型都能直接解出三角形的所有边和角，从而利用面积公式求出其面积的具体值。
但是，若六个元素中，我们只知道其中的两个或者一个，此时这个三角形就不能被唯一确定下来。
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时， Ｏ Ｂ的面积取得最大值言 Ａ Ａ ０；
１
（ 若０ ｎ ≤去 当Ｐ 段Ａ ２ ＜ｍ ＋ ｎ， 为线 Ｂ ）
的中点时， △０Ａ Ｂ的面积取得最大值
ｃ詈 一０ ＝５ ＜ ＜１ ｏ ＝ 百７ 一此丁 ＆ ， —， １ 时 ｃ ２ ０ ， ｏ １ ｕ ｓ ， ７ ＂
，
．
通过平移变换， 问题等 价于“ 原 已知 圆 Ｏ ：
Ｘ ＋ Ｙ 。＝ ２ ， ５
ｚ
ａ
过点Ｐ（ ３ ３作直线交 圆（于 、 一 ，） ＝ ）
ｓ ｉ ｎ／ＡＯＢ．下面
（） １当０＜Ｏ＜ 时， ∈［，） ｉ Ａ ｌ 丌，ｎ／ ＯＢ ｓ
二
１
Ｂ两点， △ＯＡ 求 Ｂ面积的最大值．
ｓ ／ ＯＢ的最大值． ｉ Ａ ｎ
设 ＯＰ交 圆 ０于 ， Ｐ为 弦 ＡＢ的 中点 时 ， 当
１ 问题的解答与推广 ．
１１问题 的解 答 ．
Ｏ 上 Ｂ， ０Ｂ最小． Ｐ 设 Ａ 的最小值为 ０
／ －？ ≤ ＬＡＯＢ ＜ 丌， Ｏ Ｌ： ￣ ｍ ｚ ４ ２ｚ Ｃ ＳＯ
－
—
—
递 减， 以 ｓ ＡＯＢ ≤ ｓ ， Ａ Ａ 所 ｉ ｎ／ ｉ Ｓ Ｏ Ｂ的最 大值 ｎ
为 ａｉ ＝２ 百。 ２ｎ 口ｉｚｓ Ｏ 罢 ｓ ｓ ｎｃ
＝
Ｂ
、ｍ０ ０ ／２ ｍ ２， ／ ＋礼 ｖａ 一（ ＋礼 ）
此 时 Ｊ为弦 ＡＢ的 中点． Ｆ ）
一
于是有 结论 １ 设 Ａ Ｂ是过 圆０ ： 。 ： ａ 内 Ｘ ＋Ｙ
。 ≤
．
，
： ＼ 口 ＿
＿
Ｐ（ ｎ 为弦 Ａ ｍ， ） Ｂ的 中点
ＡＢ绕点 Ｐ转动时， 我们以直线ＡＢ的斜率 为横
坐标， 角形 《ＡＢ 三 二 的面积为纵坐标作 出面积关 ） 于斜率 的函数图像， 可以看 出函数有最大值 ， 并 且 图形满足面积取得最大值时的条件缩变换变 为椭 圆， 而在压缩变换下， 共线点仍变为共 线点且点分线 段 的 比是不变的， 于是， 我们将 圆与椭 圆的两个 问题 的结论类 比如下：
数 学教 学
一』 ２
（ 。 ＋２ 丢 点为段 ２ ＜ ２ｎ≤， Ｐ线 ） ｍ 当 若
Ａ Ｂ的中点时， ＡＢ的面积取得最大值 ＡＯ
。 ｎ ６ ２ 厕
Ｂ
３ ．实验 证 明
对于猜想所得结论 中的两种不同情形， 我们 用 《 几何画板》 进行实验验证．如 图 ３ 当直线 ，
图 ２
按 照上述问题解答的思路我们探究如下．
如 图 １ ＳＸ Ａ ： ０ ｉ ， ／ Ｂ ｓ Ｏ ｎＬＡＯＢ， 面求 下
已知 圆Ｍ ：ｚ ）＋ ＝ ２， （ 一４。 ５过点Ｐ（，） １３
作直 线交 圆 Ｍ 于 Ａ、 Ｂ两 点 ， △ＡＢＣ面 积 的最 求 大值． 本 文对 这 一 问题 展 开进 一 步 的探 究．
ｃ ｓ 。
ｖ（ ＋ｎ） 一（ ＋？ ） ／ ｍ２ ２［ ｎ ｍ ２ ］ ２．
２ ．类 比 猜想
因为 ∈ ［，） 所以ｓ Ａ Ｂ ≤ ｓ ７， ｒ ｉＸ Ｏ ｎ ｉ７ ｎ １＝
１Ｓ Ｏ Ｂ的最大值为 － ， 时ＯＡ上ＯＢ． ，Ａ Ａ ～ 此 － ４ －
１２ 问题 的 一般 化 ．
由圆到椭 圆，类 比探 究椭 圆类似 的最值 问
题： 如图２ 设椭 圆的方程为 ＋ ，
＝ １ ｎ＞ （
ｂ＞ ０， ） 椭圆中心为 Ｏ， Ｂ是过椭 圆内的定点 Ａ
Ｐ（ ） ｍ， 的弦， △０Ａ 求 Ｂ面积的最大值．
将 问题一般化： Ｂ是过 圆０ ： ＝ 设Ａ Ｘ ＋Ｙ
２１年第 ６ ０２ 期
的定点 Ｐ（ ｎ 的弦， ｍ， ） 则
（） ｎ １若妄 ＜ｍ ＋ｎ ＜ｎ， Ａ上Ｏ 当Ｏ Ｂ
图 １
二
１
设 ＯＰ交圆（于 ， ＝ ） 当Ｐ为弦Ａ Ｂ的中点时， （Ｐ 上 ＝ ） ， （ 最 小． 二 ） 设 Ａ二 ＜ ） Ｂ的最小值为 Ｏ ａ≤ Ａ Ｂ ＜ ７ Ｌ ， Ｏ ｒ ，
瑚
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■ ■ ＝ 一
（当 ≥１ 。 ≤ ， ２ 吨ｃ罟 ） ７ ｓ ＂ ｃ罟＝ ＋ ２ ｏ ： ≤２ ｓ＝ ＝ Ｖ ＼ ｎ — —
Ｏ Ｌ 一 ｍ ｎ２
蚺 — 鼍 州 －＝７ ；
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∞ｓ ｃｏ
＝ ＝ ＝
：
解 ： 图 １ ＳＮ Ａ ＝ 如 ， ／Ｏ Ｂ
≤ｉ ｓ ：１ Ｍ Ａ 的 大 为去 此 Ｏ ｎ ， ＯＢ 最 值 ０ 时 Ａ Ｓ ，
＿ ｌ －ＤＢ ： ７
只要求 ｓ ０ ｉ ｎ Ｂ的最大值即可．
Ａ
（） Ｌ “时，ｉ Ａ ２当Ｏ≥－ ｓ Ｌ ＯＢ在【，） ６ ｎ Ｏ７ 上单调 Ｌｒ
二 二
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… … … … ～
ｓ ＤＢ 最 △ Ａ 的 大值去 ０
１
孪
｛ 一
Ｓ ＯＢ Ａ Ａ 的最大值 妄 ６ ０．
６２ —ｏ
数 学教 学
２ １年第 ６ ０２ 期
类 比猜想 ， 实验 证 明， 式探 究 变
一
探 讨 与 圆锥 曲 线 有 关 的 一 类 三 角形 面 积 的 最 值 问题
２ ６ 上海市松江二中 张忠旺 ００ １０
在解析几何的学 习中， 我们遇到有关圆的一 个最 值 问 题：
ａ 内的定点 Ｐ（ ｎ 的弦， ＡＯ Ｂ 的面积的 ｍ， ） 求 Ａ 最大值．