22.2.2解一元二次方程--因式分解法

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22.2.2因式分解法解一元二次方程ppt

分解法解一元二次方程的步骤：
（1）移项，将方程化成右边为0的形式；（2）利用因式分解，将方程左边化成两个一次式的乘积的形式；（3）令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）分别解这两个一元一次方程,得出原方程的解.
练一练 1.用因式分解法解下列方程:
(1) x 5 x 0;
小
结
通过今天的学习，你有哪些收获？
1.用因式分解法解下列方程：
作
业
(1)(2 x) 25 0;
2
(2)(3x 2) ( x 1) 0;
2 2
(3)4 x ( x 1) 0;
2 2
(4)16( x 2) 9( x 3) 0;
2 2
(5)2 x 4 x 2.
2
2.用直接开平方法解下列方程：
(1)3x 6 x 0;
2
(2)7 x 14x;
2
(3)3( x 5) 2( x 5) 0;
2
(4)2( x 3) x( x 3);
2
(5)(3x 1) 9 x 3;
2
(6)3x( x 2) 2(2 x).
2
(2)4 x 12x; (3) x(3x 2) 6(3x 2) 0;
2
(4)(x 1) 2 x( x 1).
2
2.用因式分解法解下列方程：
(1)25x 16 0;
2
(2)(x 1) 25 0;
2
(3) x 4( x 1) 0;
2 2
(4)4( x 3) 25( x 2) ;
2 2
(5) x 4 x 4 0.

解一元二次方程的方法

解一元二次方程的方法
一元二次方程是高中数学中的重要内容，解一元二次方程是我
们学习数学时需要掌握的基本技能。

本文将介绍两种解一元二次方
程的方法，因式分解法和求根公式法。

首先，我们来看因式分解法。

对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以先利用因式分解的方法将其分解为两个一次因式相乘的形式，即(ax+m)(x+n)=0，然后令ax+m=0和x+n=0，分别求出x的值，即可得到方程的解。

举个例子，对于方程x^2+5x+6=0，我们可以将其分解为
(x+2)(x+3)=0，然后令x+2=0和x+3=0，解得x=-2和x=-3，即方程
的解为x=-2和x=-3。

其次，我们来看求根公式法。

一元二次方程ax^2+bx+c=0的根
可以通过求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解。

其中，b^2-
4ac被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，
方程没有实根，但有两个共轭复根。

举个例子，对于方程x^2-4x+4=0，我们可以利用求根公式x=(-(-4)±√((-4)^2-414))/(21)，化简后得到x=2，即方程的解为x=2。

综上所述，解一元二次方程的方法包括因式分解法和求根公式法。

通过掌握这两种方法，我们可以轻松解决一元二次方程的问题，提高数学解题的效率和准确性。

希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。

22.2.2公式法-解一元二次方程

2
b 2a
.
(3)当 b 4 ac＜ 0 时，方程无实数根
当 b 4 a c≥ 0 时，方程方程方程 ax + b x + c 0 （ a ≠ 0）
2 2
的实数根可写为x
b
2
b 4ac
2
的形式，
2a 这个式子叫做方程 ax + b x + c 0 （ a ≠ 0）的求根公式。
练习 4 ：若方程 2 x -8 x + m = 0 有解，则 m 的取值范围是（）
练习 5：设 m 是实数，求证：方程 ( x - 1 ) ( x - 2 ) = m 有两个不相等的实数根。
2
体验中考
【解析】
奋斗就是生活，人生只有前进. ——巴金
式子 b 4 a c叫做 ax + b x + c= 0 （ a ≠ 0 ）跟的判别式，
2 2
通常用希腊字母表示它，即 b 4 a c.
2
例题 1:用公式法求方程 2x +7 x=4 的解解：原方程可化为 2 x + 7 x -4 = 0 , a= 2 ,b = 7 ,c= -4 = b 4 a c 7 4 x 2 -4 = 8 1＞ 0
2
（ 3） 3 x -2 3 x + 1 = 0
2
(4 )4 x x + 1 0
2
例题 2：不解方程，判断下列方程的根的情况。 (1) x (5 x 2 1) 2 0 (2) x 9 6 x

22.2一元二次方程的解法(因式分解法)第二课时(精选习题)

(4)(2a 3) (a 2)(3a 4)
2
解：去括号，整理，得 a 2a 1 0
2
(a 1) 0
2
a1 a2 1.
3、解方程：x3-2x2-3x=0
4、已知m是关于x的方程 mx2-2x+m=0的一个根，试确定m的值。
5、已知（2x+y）2+3（2x+y）=4，求代数式2x+y的值。
独立作业
（） 1 . 4x 1 (5x 7) 0;
（2） .3x x 1 2 2x;
2
解下列方程
（3） .(2x 3) 4(2x 3);
（4） .2( x 3) x 9;
2 2
（ 5） .5( x x) 3( x x);
2 2
(2)(4 x 3) ( x 3)
2
2
解：移项，得 (4 x 3) ( x 3) 0,
2 2
(4 x 3 x 3)(4 x 3 x 3) 0 5 x(3x 6) 0, 5x 0或3x 6 0,
x1 0, x2 2.
x2 2ax a 2 0
( x a) 0 x1 x2 a 或 x1 x2 a
(2)4 x 12 x 9 0
2
解：原方程可化为（2x） 2 2 x 3 3 0
2 2
(2 x 3) 0
2
3 x1 x2 2
x 7 x 12 0
2
解： ( x 3)( x 4) 0, x 3 0或x 4 0,
x1 3, x2 4.

22_2_2 一元二次方程的解法2-2

稿 3x +4
(1)解：(2x+3)(3x+4)=0
x1
3 2
,
x2
4 3
.
作业
解方程 1.m2-2m-63=0; 3.p2-9p+8=0; 5.3x2+7x+4=0;
2.n2+4n-5=0; 4.q2+7q+12=0; 6.2x2+7x-15=0.
22.2.2 一元二次方程的解法2-2
解：[(x2+y2)+1][(x2+y2)-4]=0
∵x2+y2≥0, ∴x2+y2+1>0,
∴ x2+y2-4=0
∴ x2+y2=4 22.2.2 一元二次方程的解法2-2
例3：试对下列各式分解因式
(1)3x2+45
X +1
2X
-3
3x +1 解：原式 =(x+1)(3x+1)
2x
-5
解：原式
=(2x-3)(2x-5)
这类十字相乘法的方法是：竖向乘积拆分，交叉相乘再相加得一次项，最后因式横向写。努力尝试，持续总结。
例4：解方程： (1)6x2+17x+12=0; (3)3x2-x-10=0;
(2)8x2-10x+3=0; (4)10x2-4x-14=0.
2x +3
草
22.2.2 一元二次方程的解法 ——因式分解法2
一、复习回顾
1.计算： (1)(x＋2)(x＋3)=__X_2+_5_x_+_6_____; (2)(x－3)(x－4)=_X_2_-_7_x_+_1_2____; (3)(x＋5)(x－2)=_X_2_+_3_x_-_1_0____; (4)(x＋3)(x－7)=_X_2_-_4_x_-2_1_____;

22.2.2一元二次方程的解法(因式分解法)

（1）、 (4x－3)2=(x+3)2
(2)(2a 3)2 (a 2)(3a 4)
(1)(4x 3)2 (x 3)2
解：移项，得 (4x 3)2 (x 3)2 0, (4x 3 x 3)(4x 3 x 3) 0 5x(3x 6) 0,
5x 0或3x 6 0, x1 0, x2 2.
什么？直接开平方法
2、用直接开平方法来解的方程有什么特征?
A2 a a 0
1.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或（χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
2.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
———提公因式和平方差
太乙中学
教 1、熟练掌握用因式分解法解一学元二次方程目 2、通过因式分解法解一元二次标方程的学习，树立转化的思想
重重点：用因式分解法解一元二次点方程难难点：正确理解AB=0A=0或点 B=0（ A、B表示两个因式）
复习引入: 1、已学过的一元二次方程解法有
3x+1+ 5 =0或3x+1－ 5 =0
∴ x1=
１
3
5 １
, x2= 3
5
(3) 2y2 3y
解：2 y2 3y 0 y( 2 y 3) 0 y 0或 2 y 3 0
32 y1 0, y2 2 .
(4)x2 x
解：方程的两边同时除以x，得
x 1.
原方程的解为x 1.
(3x+5)(3x－5)=0
3X+5=0 或 3x－5=0
x1
5 3
,

22.2.2 一元二次方程的解法--配方法说课稿-华东师大版九年级数学上册

教法学法
教法:启发式、引导式、讲授式融合教学
学法：学生经历动手计算、总结归纳、合作交流、应用练习等活动进行学习
问题与作业设计
流程及活动设计
情境导入，提出问题 →引导探究，认知属性→归纳法则，尝试表述→应用练习，反馈矫正→课堂小结，总结得失→达标测评，及时反馈
评价设计
1、重过程评价：学习态度、积极性Байду номын сангаас学习习惯、纪律等过程性指标评价；
已有的方法经验：①学生已经经历了用直接开平方法解一元二次方程的活动；②学生已经有了将一元二次方程转化为一元一次方程的初步经验。
课程标准与学习目标设置
【课标要求】
理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
【教学目标】
1.能准确找到配方所需的常数；会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
基本思想：转化思想
基本活动经验：经历用完全平方公式将方程配方的过程，积累配方法的经验。
重点：用配方法解一元二次方程
难点：找出配方的方法
易错点：配方的常数找错
重难点处理方法
重难点的处理方法：通过学生复习完全平方公式，找出完全平方式的特点，从具体实例中找到常数项与一次项系数的关系，得到配方方法，进而将一般式化为平方式进行求解。
2.让学生经历配方法的探究过程，培养学生的应用意识，转化思想，提高学生的运算能力；
3.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心
【学习目标】
1.能准确找到配方所需的常数；
2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
四基三点
基础知识：掌握“配方法”
基本技能：会用配方法解一元二次方程
年级

因式分解法解一元二次方程

22.2.3一元二次方程的解法——因式分解法（1课时）白泉中学郑卫东一、导学与检测引入新课：直接开平方解方程比较简单，配方法、公式法非常麻烦，运算量较大，有没有简单解一元二次方程的解法呢？（一）阅读P38，回答下列问题（1）因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解，都是一元二次方程的解，这样也就把原方程进行了，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了。

（2）因式分解法解一元二次方程的步骤：①，使方程的右边为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的；③令每个因式分别为，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的。

（二）合作探究：用因式分解法解方程（1）4x2=11x （2）= 2x-4（3）（4）二、巩固训练题：1.用因式分解法解方程，可把它化为两个一元一次方程，，求解。

2.如果方程x2-3x+c = 0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一个根是，该方程可化为(x-1)(x )=0.3.方程(x-3)(x-1)= 3的根是（）.A、x1=3 , x2=1 B、x1=1 , x2=2C、x1=0 , x2=4 D、x1= , x2=4.用适当的方法解下列方程：（1）（2）5.用因式分解法解下列方程（1）（2）2x2+8x+8= 0（3）（4）x2-4x-3596=0三、课堂检测：1.用因式分解法解方程：（1）x-2=x(x-2) （2）(y+2)(2y+3)= 6（3）(1+x)(x-7) = -16 (4)参考答案：巩固训练： 1、x+3=0 5-2x=0 2、C=2 1 x-2 3、C 4、（1）101,219-（2）1,235.(1) x 1=0 , x 2=2 (2) x 1=x 2=-2 (3) x 1=1 , x 2=7 (4) x 1=-58 , x 2=62 课堂检测：（1）、x 1=1 , x 2=2 （2）、x 1=0 , x 2= 27-（3）、x 1=x 2=3 （4）x 1=7 , x 2= 319-。

22.2.2公式法解一元二次方程(二)

b 2 b 2 4ac (x ) 2a 4a 2 当 0 时，对于 ax2 bx c 0(a 0)
b b 4ac x , 2a
2
一元二次方程的求根公式
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法
由求根公式可知，一元二次方程的根不可能
多于两个。
例题讲解
b b 2 4ac (4) 44 x 2 11, 2a 2 1
即
x1 2 11, x2 2 11
(2)2x 2 2 x 1 0
2
（2） a 2, b 2
2, c 1
2 ) 4 2 1 0
2
∴ b2 4ac (2
∴方程有两个相等的实根
b 2 2 2 x1 x2 2a 2 2 2
(3)5x 3x x 1
2
（3）原方程可化为 ∴
5x 2 4 x 1 0
a 5, b 4, c 1
∴ b2 4ac (4) 2 4 5 (1) 36 ＞0 ∴方程有两个不等的实根
b b 4ac (4) 36 4 6 x , 2a 25 10
2
1 即 x1 1, x2 5
(4) x 17 8x
2
（4）原方程可化为
x 8x 17 0
2
∴ a 1, b 8, c 17
∴ b
2
4ac (8) 4 117 4 ＜0
2
有两个不等的实数根．（2）当 0 时，方程 ax2 （3）当
bx c 0(a 0)
有两个相等的实数根．
0 时，方程 ax2 bx c 0(a 0)

解一元二次方程—因式分解法导学案

22.2.3解一元二次方程—因式分解法教学目标:1.了解因式分解法的概念和解题步骤.2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程.教学重点:会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程教学难点:让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学过程一、自主预习1、如何利用由ab=0得 a=0或b=0 使二次方程降为一次的？2、什么叫因式分解法解一元二次方程？3、因式分解法解一元二次方程的解题步骤是什么？二、复习引入1、什么叫因式分解？因式分解的方法都是有哪几种？（口答）2、在实数范围内因式分解。

（1）4x2-12x (2)4x2-9(3)x2-7 (4)(2x-1)2-(x-3)23、判断正误。

（1）若ab=0；则 a=0或b=0 ( )（2）若a=0或b=0；则ab=0 ( )（3）若(x+2)(x-5)=0；则x-2=0或x-5=0 ( )（4）若x-2=0或x-5=0；则(x+2)(x-5)=0 ( )三、探究新知方程x2 －5x=0左边可以因式分解得，右边为0，于是得x=0或 =0，∴x1= ，x2= 。

归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法．例(教材P 39例3)解下列方程：（用因式分解法）（1）02)2(=-+-x x x (2)221352244x x x x --=-+归纳：因式分解法解一元二次方程的步骤：①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为。

②将方程左边式子，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。

③对两个一元一次方程分别求解。

(3) 02)2(=-+-x x x (用配方法) （4）221352244x x x x --=-+（用公式法）归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.所以，在解一元二次方程时要根据方程特点选择合适的方法解方程四、巩固练习（1）必做题1.用因式分解法解方程：（教材Ｐ40练习1）（1）02=+x x （2）0322=-x x （3）3632-=-x x（4）012142=-x （5）24)12(3+=+x x x （6）22)25()4(x x -=-2.选用合适方法解方程（1）x 2+x+41=0；（2）x 2+x-2=0；（3）(x-2)2 =2-x ；（4）2x 2-3=0.3.下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7B ．（2-5x ）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=25，x 2=35 C ．（x+2）2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=1（2）选做题1、（中考题）方程3)3(+=+x x x 的解是（）A 、1=xB 、01=x 32-=xC 、11=x 32=xD 、11=x 32-=x3、一元二次方程02=++q px x 的两根分别是1和-2，那么将q px x ++2因式分解的结果为。

22.2 降次-解一元二次方程-配方法,公式法,因式分解法

2
2 3 2 3 y1 1 , y2 1 . 3 3
(1)3 x 2 x 5 0；
2
(2)2 y y 6 0；
2
(3)3 x 6 x 1.
2
1.熟悉配方法解方程的步骤 2.体会转化的数学思想.
解下列方程：
(1)t 2t 48；
2
(2)2 x 4 x 5 0.
x 3 5, x1 3 5 , x2 3 5.
解： x 2 5 x 6,
(2)
5 5 x 5x 6 , 2 2
2
2
2
x 5x 6 0.
2
5 25 x 6 , 2 4 5 49 x , 2 4 5 7 5 7 x1 , x2 , 2 2 2 2 x1 1, x2 6.
课时总结
(1)、可直接开方解形如 x p ( p 0) 的方程，那么 x p 达到降次的目的；
2
(2)、可直接开方解形如 ( mx n) p ( p 0) 的方程，那么 mx n p 达到降次的目的；
2
一元二次方程配方的一般步骤：化简：把方程化简为一般形式，把二次项系数化为1 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方开方：根据平方根意义,方程两边开平方求解：解一元二次方程定解：写出原方程的解
2
(2) 可直接开方解形如 (mx n) p ( p 0) 的方程，那么 mx n p 达到降次的目的；
2
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m , 并且面积为16 m2 ，场地的长和宽应各是多少？
解：设场地的宽为 x m ，长为( x 6) m .根据 2 矩形面积为16 m ，列方程

人教版数学九年级上册22.2.3《解一元二次方程—因式分解法》教学设计

人教版数学九年级上册22.2.3《解一元二次方程—因式分解法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.3《解一元二次方程—因式分解法》的内容，是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义等知识的基础上进行讲解的。

本节内容主要让学生掌握因式分解法解一元二次方程的方法，通过具体例题让学生理解并掌握因式分解法解题的步骤和技巧。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，但是对于一元二次方程的解法可能还存在着一些困惑。

因此，在教学过程中，教师需要耐心引导，让学生逐步理解和掌握因式分解法解一元二次方程的方法。

三. 教学目标1.让学生掌握因式分解法解一元二次方程的方法。

2.培养学生运用因式分解法解决问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：因式分解法解一元二次方程的方法。

2.难点：因式分解法解题的步骤和技巧。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握因式分解法解一元二次方程的方法。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.相关例题及练习题。

3.教学黑板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示因式分解法解一元二次方程的方法，并结合具体例题进行讲解。

3.操练（10分钟）教师给出几个典型例题，让学生独立运用因式分解法进行解答，教师巡回指导。

4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用因式分解法进行解答，以此巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：还有没有其他方法可以解一元二次方程？让学生进行拓展思考。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结因式分解法解一元二次方程的步骤和技巧。

7.家庭作业（5分钟）教师布置一些课后练习题，让学生巩固所学知识。

8.板书（5分钟）教师在黑板上列出因式分解法解一元二次方程的步骤和技巧。

22.2.2 一元二次方程求根公式法

方程有两个相等的实数根
③、△＜0 ④、△≥0
方程没有实数根方程有实数根
例题讲解
不解方程，判别方程的根的情况.
解：4 y 2 4 y 1 0 a 4, b 4, c 1 (4) 2 4 4 1 0
4 y 1 4 y
2
所以，方程有两个相等的实数根。
3 x 2
2x
解： a 2，b 1，c 1. 1
b 4ac 1 4 2 1 9 0,
2 2
x
确定a、b 、c的值时要注意符号．
1 9 2 ２
1 3 , 4
1 x1 1, x2 . 2
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例题讲解
解下列方程：
2x 1 2 x 1 0; x 2 1.5 3x; 2 1 0; 2 3 x 2 0. 4 4x 2
小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：
１.先写出a，b，c ２.再求出
b 4ac
2
３.最后代入公式
当当
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
时，有两个实数根时，方程无实数解
4 2 6 x 0 4x
解：
a 4, b 6, c 0.
b 4ac 6 4 4 0 36.
2 2
x
6 36 2 4
66 , 8
3 x1 0, x2 . 2
5 x
解：化为一般式
2
4 x 8 4 x 11 x2 3 0 .

【精品课件三】22.2降次——解一元二次方程(因式分解法)

3x 3 2 6 x 3, 2 121 0 4 4x
解：化为一般式为 x2－2x+1 = 0. 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
因式分解，得
( x－1 )( x－1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1.
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
动脑筋
1.x 2x - 4 0, 2.4 x2 x 1 32 x 1. 解 :1x 2 0,或x - 4 0 . .
2
1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
学习是件很愉快的事
你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
你能根据如果a b 0, 那么 a 0或 b 0 说出下列方程的解吗？ x1=2,x2=5 (1)(x-2)(x-5)=0___________________
(2)(x+1)(x-4)=0___________________ x1=-1,x2=4
y1=-2,y2=0.5 (3)(y+2)(2y-1)=0__________________ x1=a,x2=b (4)(x-a)(x-b)=0___________________

人教版九年级数学上册《22.2.2 利用函数的图象解一元二次方程》教学课件

知2－练
1 抛物线y＝ax2＋bx＋ c(a<0)如图，则关于x的不等式ax2＋bx ＋c>0的解集是( C ) A．x<2 B．x>－3 C．－3<x<1 D．x<－3或x>1
知2－练
2 如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋ bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( C ) A．b2＞4ac B．ax2＋bx＋c≥－6 C．若点(－2，m)，(－5，n) 在抛物线上，则m＞n D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根为－5和－1
人教版九年级数学上册
第二十二章二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
第2课时用函数的图象解一元二次方程（不等式）
1 课堂讲解用图象法求一元二次方程的近似解
用图象法求一元二次不等式的解集
2 课时流程
逐点导讲练
二次方程有着紧密联系，我们是否可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根呢？
知2－讲
解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x)＋5 ＝－(x2－4x＋4)＋9＝－(x－2)2＋9.
∴抛物线的顶点坐标为(2，9)，对称轴为直线x＝2. 令－x2＋4x＋5＝0，即x2－4x－5＝0， ∴x1＝5，x2＝－1，
∴抛物线与x轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)．令x＝0，则y＝5，即抛物线与y轴的交点为(0，5). 由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为(4，5)．
如何利用函数图象解一元二次不等式呢？
归纳
知2－讲
画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式 ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：

一元二次方程的解法(4)--因式分解法课堂实录

22.2 一元二次方程的解法（4）——因式分解法课堂实录师：前面我们学习了几种一元二次方程的解法？直接开平方法配方法公式法。

那么我们掌握得怎样，还有其他方法解一元二次方程吗？今天，我们就一起来学习一元二次方程的解法（4）——因式分解法。

首先我们来复习配方法公式法解一元二次方程师：看下面的问题：（投影）【活动1】解下列方程：（配方法） (1) X 2－8x+15＝0(2)3X 2-5x+2＝0学生解方程，教师巡视，适当辅导。

一位学生上台书写详细过程，有示范作用，注意学生解题准确率。

【活动2】解下列方程：（公式法法） (1) 2X 2－x-3＝0(2) X 2+6x-7＝0老师：1. 复习求根公式2.学生解方程，教师巡视，适当辅导。

学生：一位学生上台板演,其他学生学出详细过程。

【活动3】问题：要使两个数的乘积为零要满足什么条件？--------------师：问题中选择以提问作为本课的开端，有益于培养学生的思维。

通过猜想，发现问题，可以激发如果 a b=0,那么1=1例:解方程 x(x-5)=0，x 2=x =1例2:方程( x+3)(2x-8)=0的解是x 2=x充分调动学生的思维，鼓励学生大胆猜想，引入因式分解法解一元二次方程。

例3 解下列方程：师：例3（1）题老师板书，然后投影。

（2）叫一位学生上台书写详细过程。

老师巡视辅导个别学生，注意及时发现问题。

生：一位学生上台书写详细过程，其他学生学出详细过程进一步熟练因式分解【活动4】归纳因式分解法的含义：象这样通过因式分解把一元二次方程化为（ a x +b) (cx+d) =0,(即一边为两个一次因式相乘，另一边为0),再分别使各一次因式等于0，从而达到降次的目的来解一元二次方程的方法，叫做因式分解法.师生共同总结：归纳因式分解法的含义例4 用因式分解法解方程：师：例4（1）题老师先分析与例3的不同之处，然后投影。

生：进一步体会因式分解时整体思想的应用。

22.2_一元二次方程的解法(直接开平方法配方法公式法因式分解)--

9.x 12x 27 0;
2
8.x1 0; x2 1. 9.x1 3, x2 9.
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项整理得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。 x2+px+( )2 = -q+( ) 2= )2 -q
1 2
例2：用配方法解下列方程
x 6 x 16 0
2
x 8x 1 0
2
二次项系数为1
2 x 1 3x
2 2
二次项系数不为1
3x 6 x 4 0 可以先将系数化为1
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 系数化为1：将二次项系数化为1；配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用公式法解一元二次方程的一般
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
步骤：
1、把方程化成一般形式。并写出a，
b，c的值。
例1.用公式法解方程2x2+5x3=0
①
2、求出b2-4ac的值。
解: a=2, b=5,
∴ 3)=49 ∴x =
= =
c= -3,
②
3、代入求根公式 : X=
b2-4ac=52-4×2×(③
对于方程（2） χ2－1=0 ，你可以怎样解它？
还有其它的解法吗？