河北省唐山市2015届高三上学期期末考试(数学文)

河北省唐山市2014－2015学年度高三年级期末考试数学（文）试题说明：一、本试卷分为第I 卷和第II 卷．第I 卷为选择题；第II 卷为非选择题，分为必考和选考两部 分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用 橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回，第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．(1)函数y =的定义域为(A)[一5，2] (B)（一∞，—5]U[2，+oo ）(C)[一5,+ ∞)(D)[2,+ ∞)(2)函数2()12sin 2xf x =-的最小正周期为 (A) 2π (B)π （C ）2π(D)4π(3)"k<9’’是“方程221259x y k k +=--表示双曲线”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(4)设变量x 、y 满足10,30,230,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数z=2x+3y 的最小值为(A)7 (B) 8(C) 22(D) 23(5)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 7=8,则a 4= (A)1(B) 4(C)2(D)(6)己知1()1,()2,f x x f a x=+-=则()f a -= (A)－4(B －2(C)－1(D)－3(7)抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是 (A)19 (B)16(C)118(D)112（8）己知(12)3,1,()1,1.a x a x f x nx x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是 (A)(一∞，一1] (B)(一l ，12) (C)[－1，12) (D)（0，12） (9)执行如图所示的算法，则输出的结果是 (A)1(B)43(C)54(D)2(10)右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于 (A)13 (B) 23(C)1 (D)43(11)椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 30x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为(A)1231- 33l (12)设函数3()1()f x ax x x R =-+∈，若对于任意x ∈[一1，1]都有()f x ≥0，则实数a 的取值范围为(A)(-∞, 2] (B)[0+∞)(C)[0,2] (D)[1,2]第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． (13)若复数z 满足z=i(2+z)（i 为虚数单位），则z= 。

(14)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ， S 3 =6，S 4=12，则S 6= ． (15) 过点A(3,1)的直线l 与圆C:22410x y y +--=相切于点B ，则.CA CB = ．(16) 在三棱锥P-ABC 中，PB=6，AC=3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为 ．三、解答题：本大题共70分，其中(17) - (21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且csinB=bcos C=3. (I)求b ；( II)若△ABC 的面积为212，求c ．(18)（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA⊥底面ABCD ，∠PCD＝90°， PA =AB=AC ． (I)求证：AC⊥CD;( II)点E 在棱PC 的中点，求点B 到平面EAD 的距离．(19)（本小题满分12分）为了调查某校学生体质健康达标情况，现采 用随机抽样的方法从该校抽取了m 名学生进行体 育测试．根据体育测试得到了这m 名学生各项平 均成绩（满分100分），按照以下区间分为七组：[30,40), [40, 50), [50, 60), [60, 70),[70, 80)，[80，90)，[90，100)，并得到频率分布直方图（如图），己知测试平均成绩在区间[30，60)有20人．(I)求m 的值及中位数n ；(II)若该校学生测试平均成绩小于n ，则 学校应适当增加体育活动时间．根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？(20)（本小题满分12分）已知抛物线y 2= 2px(p>0)，过点C （一2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，.12OAOB=． (I)求抛物线的方程；( II)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．(21)（本小题满分12分）己知函数2(),()sin xf x ae xg x x bx =+=+，直线l 与曲线1:()C y f x =切于点(0,(0))f 且与曲线2:C y=g （x ）切于点(,())22g ππ．(I)求a ，b 的值和直线l 的方程．( II)证明：除切点外，曲线C 1,C 2位于直线l 的两侧。

请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． (22)（本小题满分1 0分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形么BDC 内接于圆，BD= CD ，过C 点的圆的切线与AB 的延长线交于E 点．(I)求证：∠EAC＝2∠DCE；( II)若BD⊥AB，BC ＝BE ，AE ＝2，求AB 的长．(23)(本小题满分10)选修4—4；坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+，斜率为3的直线l 交y 轴于点E(0,1).(I)求C 的直角坐标方程，l 的参数方程；( II)直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|EA|+|EB |。

(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数1()|1|||()2f x x x x R =++∈的最小值为a ． (I)求a ；( II)已知两个正数m ，n 满足m 2+n 2=a ，求11m n+的最小值．参考答案一、 选择题：A 卷：DABAC ABCAB DC B 卷：DAADC BBCDA CC二、填空题：（13）－1＋i （14）30 （15）5（16）8三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由正弦定理得sin C sin B ＝sin B cos C ， 又sin B ≠0，所以sin C ＝cos C ，C ＝45°．因为b cos C ＝3，所以b ＝32．…6分（Ⅱ）因为S ＝12ac sin B ＝212，c sin B ＝3，所以a ＝7．据余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝25，所以c ＝5． …12分（18）解：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ， 因为∠PCD ＝90，所以PC ⊥CD ， 所以CD ⊥平面PAC ，所以CD ⊥AC ． …4分（Ⅱ）因为PA ＝AB ＝AC ＝2，E 为PC 的中点，所以AE ⊥PC ，AE ＝2．由（Ⅰ）知AE ⊥CD ，所以AE ⊥平面PCD ．PACDB作CF ⊥DE ，交DE 于点F ，则CF ⊥AE ，则CF ⊥平面EAD ． 因为BC ∥AD ，所以点B 与点C 到平面EAD 的距离相等， CF 即为点C 到平面EAD 的距离． …8分在Rt△ECD 中，CF ＝CE ×CD DE ＝2×26＝233． 所以，点B 到平面EAD 的距离为233．…12分（19）解：（Ⅰ）由频率分布直方图知第1组，第2组和第3组的频率分别是0.02，0.02和0.06，则m ×(0.02＋0.02＋0.06)＝20，解得m ＝200． 由直方图可知，中位数n 位于[70，80)，则0.02＋0.02＋0.06＋0.22＋0.04(n －70)＝0.5，解得n ＝74.5． …4分 （Ⅱ）设第i 组的频率和频数分别为p i 和x i ，由图知，p 1＝0.02，p 2＝0.02，p 3＝0.06，p 4＝0.22，p 5＝0.40，p 6＝0.18，p 7＝0.10， 则由x i ＝200×p i ，可得x 1＝4，x 2＝4，x 3＝12，x 4＝44，x 5＝80，x 6＝36，x 7＝20， …8分 故该校学生测试平均成绩是—x ＝35x 1＋45x 2＋55x 3＋65x 4＋75x 5＋85x 6＋95x 7200＝74＜74.5，…11分所以学校应该适当增加体育活动时间．…12分（20）解： （Ⅰ）设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0．（）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4．因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）（）化为y 2－4my ＋8＝0．y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8． …6分设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x m ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4， ① 又|AB |＝1＋m 2| y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32) ＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝±3．所以，直线l 的方程为x ＋3y+2＝0，或x －3y+2＝0． …12分（21）解： （Ⅰ）f(x )＝a e x＋2x ，g(x )＝cos x ＋b ，f (0)＝a ，f(0)＝a ，g ( 2)＝1＋2b ，g(2)＝b ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线为y ＝ax ＋a ， 曲线y ＝g (x )在点(2，g (2))处的切线为y ＝b (x －2)＋1＋ 2b ，即y ＝bx ＋1． 依题意，有a ＝b ＝1，直线l 方程为y ＝x ＋1． …4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )＝e x ＋x 2，g (x )＝sin x ＋x ． …5分设F (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x ＋x 2－x －1，则F (x )＝e x＋2x －1， 当x ∈(－∞，0)时，F (x )＜F (0)＝0； 当x ∈(0，＋∞)时，F (x )＞F (0)＝0．F (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增，故F (x )≥F (0)＝0． …8分设G (x )＝x ＋1－g (x )＝1－sin x ，则G (x )≥0，当且仅当x ＝2k ＋2（k ∈Z）时等号成立．…10分综上可知，f (x )≥x ＋1≥g (x )，且两个等号不同时成立，因此f (x )＞g (x )． 所以：除切点外，曲线C 1，C 2位于直线l 的两侧． …12分 （22）解：（Ⅰ）证明：因为BD ＝CD ，所以∠BCD ＝∠CBD ． 因为CE 是圆的切线，所以∠ECD ＝∠CBD ． 所以∠ECD ＝∠BCD ，所以∠BCE ＝2∠ECD ．因为∠EAC ＝∠BCE ，所以∠EAC ＝2∠ECD ． …5分 （Ⅱ）解：因为BD ⊥AB ，所以AC ⊥CD ，AC ＝AB ．因为BC ＝BE ，所以∠BEC ＝∠BCE ＝∠EAC ，所以AC ＝EC ．由切割线定理得EC 2＝AE •BE ，即AB 2＝AE •( AE －AB )，即AB 2＋2 AB －4＝0，解得AB ＝5－1．…10分（23）解：（Ⅰ）由ρ＝2(cos θ＋sin θ)，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，即x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1) 2＋(y －1) 2＝2．l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t ．（t 为参数, t ∈R ） …5分（Ⅱ）将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ 1 2t ，y ＝1＋32t ．代入(x －1) 2＋(y －1) 2＝2得t 2－t －1＝0，解得，t 1＝1＋52，t 2＝1－52，则|EA |＋|EB |＝| t 1|＋| t 2|＝|t 1－t 2|＝5．…10分（24）解：（Ⅰ）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －1 ，x ＜－2，－ 12x ＋1，－2≤x ≤0， 32x ＋1，x ＞0．当x ∈(－∞，0]时，f (x )单调递减，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增， 所以当x ＝0时，f (x )的最小值a ＝1．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知m 2＋n 2＝1，由m 2＋n 2≥2mn ，得mn ≤ 1 2，则 1 m ＋ 1 n ≥21mn≥22，当且仅当m ＝n ＝22时取等号． 所以 1 m ＋ 1n的最小值为22．…10分注：各题如有其他解法，请参考评分标准给分．。