广东省惠州市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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广东省惠州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学含答案

惠州市2023-2024学年第二学期期末质量检测试题高一数学（答案在最后）全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.在复平面中，复数23i1i z -=+对应的点的坐标在（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列命题中正确的是（）A.零向量没有方向B.共线向量一定是相等向量C.若λ为实数，则向量a 与a λ方向相同D.单位向量的模都相等3.已知数据1238,,,,x x x x 的平均数为10，方差为10，则123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数和方差分别为（）A.32，90B.32，92C.30，90D.30，924.已知向量(a = ，()2,0b = ，则向量a 在b方向上的投影向量为（）A.()1,2 B.()2,0 C.()1,0 D.()2,15.某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是5:4:3，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为n 的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则n =（）A.100B.120C.200D.2406.设α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥B.若//m α，n ⊂α，则//m nC.若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD.若m α⊥，n ⊂α，则m n⊥7.掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，事件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D 表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（）A.A 与B 是对立事件B.A 与C D ⋂是互斥事件C.B 与D 是相互独立事件D.B 与C D ⋃是相互独立事件8.已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，二面角1C AB C --的大小为π4，且AC BC =，12CC =，则点1A 到平面1ABC 的距离为（）A.B.2C.23D.4二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为24πR B.圆锥的侧面积为2R C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小10.设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（）A.若(1i)i z +=-，则1z =B.对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z =⋅C.对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z ⋅=⋅D.在复平面内，若{|22}M z z =-≤，则集合M 所构成区域的面积为6π11.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列命题正确的是（）A.若60A =︒，2a =，则ABCB.若60A =︒，1a =，则ABCC.若a =，4b =，要使满足条件的三角形有且只有两个，则ππ,63A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D.若()cos cos a b c A B +=+，且1c =，则该三角形内切圆面积的最大值为3π4-三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是23、35，那么恰好只有1人解对题的概率是________.13.已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为a ，中位数为b ，则a 与b 的大小关系为________.14.如图，已知在直三棱柱111ABC A B C -中，F 为11A C 的中点，E 为棱1BB 上的动点，12AA =，2AB =，BC =，4AC =.当E 是棱1BB 的中点，则三棱锥E ABC -体积为________；当三棱锥1A AEF -的外接球的半径最小时，直线EF 与1AA 所成角的余弦值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC 中，已知3BC =，4AC =，点P 为线段BC 中点，23AQ AB = ，设CB a = ，CA b = .（1）用向量a ，b表示CQ ；（2）若90ACB ∠=︒，求AP CQ ⋅.16.已知有下面三个条件：①()32S AC AB =⋅⋅；②3sin a c C =2sin sin sin 1sin sin sin sin B C A C B B C +=+；请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，且________.（1）求角A 的大小；（2）若AD 是ABC 的角平分线，且2b =，3c =，求线段AD 的长.17.为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%.数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常总结整理不经常总结整理合计（1）根据图1、图2中的数据，补全表格；（2）求图1中m 的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；（3）抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率.18.如图，在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面QAD 是正三角形，面QAD ⊥面ABCD ，M 是QD 的中点.（1）求证：QB ∥平面AMC ；（2）求直线AC 与平面QCD 所成角的正弦值；（3）在棱QC 上是否存在点N 使平面BDN ⊥平面AMC 成立？如果存在，求出QNNC如果不存在，说明理由.19.将连续正整数1，2，L ，*(N )n n ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数(如当12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15)F =，现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率.（1）求(100).p （2）当2021n ≤时，求()F n 的表达式.（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{}*|()1,100,N S n h n n n ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.惠州市2023-2024学年第二学期期末质量检测试题高一数学全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.在复平面中，复数23i1i z -=+对应的点的坐标在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可求解对应的点为15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，进而得解.【详解】()()()()23i 1i 23i 15i 1i 1i 1i 2z -----===++-,故对应的点为15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故对应的点位于第三象限，故选：C2.下列命题中正确的是（）A.零向量没有方向B.共线向量一定是相等向量C.若λ为实数，则向量a 与a λ方向相同 D.单位向量的模都相等【答案】D 【解析】【分析】对于A ：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC ：举反例说明即可；对于D ：根据单位向量的定义分析判断.【详解】对于选项A ：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A 错误；对于选项B ：例如0a = ，b 是非零向量，可知,a b 是共线向量但不是相等向量，故B 错误；对于选项C ：例如a 是非零向量，且0λ<，可知向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于选项D ：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D 正确；故选：D.3.已知数据1238,,,,x x x x 的平均数为10，方差为10，则123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数和方差分别为（）A.32，90B.32，92C.30，90D.30，92【答案】A 【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.【详解】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选：A.4.已知向量(a = ，()2,0b = ，则向量a 在b方向上的投影向量为（）A.()1,2 B.()2,0 C.()1,0 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量公式可得.【详解】根据题意得cos 3a b a b a b ⋅⋅==⋅，所以向量a 在b方向上的投影向量为()()2,0cos 1,032b a a b b⋅== ，故选：C.5.某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是5:4:3，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为n 的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则n =（）A.100B.120C.200D.240【答案】B 【解析】【分析】根据分层抽样求样本中高中生和小学生的人数，列式求解即可.【详解】由题意可知：样本中高中生的人数为315434n n =++，小学生的人数为5554312n n =++，则1520412n n +=，解得120n =.故选：B.6.设α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥B.若//m α，n ⊂α，则//m nC.若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD.若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥【答案】D 【解析】【分析】对于ABC ：以正方体为载体，举反例说明即可；对于D ：根据线面垂直的性质分析判断.【详解】对于正方体1111ABCD A B C D -，且,M N 分别为,AB CD 的中点，对于选项A ：例如AB ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，11AB A D ⊥，但平面ABCD ∥平面1111D C B A ，故A 错误；对于选项B ：例如11A D ∥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，但11AB A D ⊥，故B 错误；对于选项C ：例如,AD MN ⊂平面ABCD ，且,AD MN 均与平面11BB C C 平行，但平面ABCD ⋂平面11BB C C BC =，故C 错误；对于选项D ：若m α⊥，n ⊂α，由线面垂直的性质可知m n ⊥，故D 正确；故选：D.7.掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，事件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D 表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（）A.A 与B 是对立事件B.A 与C D ⋂是互斥事件C.B 与D 是相互独立事件D.B 与C D ⋃是相互独立事件【答案】D 【解析】【分析】选项A 和B ，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A 和B 的正误；选项C 和D ，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果.【详解】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误，对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D ⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误，对于选项D ，因为()1P C D = ，91(())364P B C D == ，所以(())()()P B C D P B P C D = ，所以选项D 正确，故选：D.8.已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，二面角1C AB C --的大小为π4，且AC BC =，12CC =，则点1A 到平面1ABC 的距离为（）A.B.2C.23D.4【答案】A 【解析】【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得1OC ，再根据直三棱柱的体积求出AB ，再利用等体积法求点1A 到平面1ABC 的距离.【详解】取AB 的中点O ，连接1,OC OC ，AC BC = ，1,OC AB OC AB ∴⊥⊥，则二面角1C AB C --的平面角为1C OC ∠，二面角1C AB C --的大小为π4，则1π4C OC ∠=，所以12OC CC ==，1OC ===，又直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，111128ABC A B C ABC ABC V S CC S -\=×==，则4ABC S = ，1124422ABC S AB OC AB AB \=×=´=Þ=，又平面ABC⊥平面11A ABB ，平面ABC ⋂平面11A ABB AB =，且,OC AB OC ⊥⊂平面ABC ，OC ∴⊥平面11A ABB ，设点1A 到平面1ABC 的距离为h ，又1111A ABC C ABA V V --=，111111114422333232ABC ABA S h S OC h ∴⋅=⋅⇒⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ，解得h =，故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为24πR B.圆锥的侧面积为2R C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小【答案】ABC 【解析】【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；【详解】解：依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R ⨯⨯=，所以AC 选项正确．圆锥的侧面积为2πR R ⨯=，所以B 选项正确．圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R =+<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项不正确．故选：ABC10.设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（）A.若(1i)i z +=-，则1z =B.对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z =⋅C.对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z ⋅=⋅D.在复平面内，若{|22}M z z =-≤，则集合M 所构成区域的面积为6π【答案】BC 【解析】【分析】借助复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.【详解】对A ：由(1i)i z +=-，故()()()i 1i i 1i1i 1i 1i 2z -⨯----===++-，故2z ==，故A 错误；对B ：设1i z a b =+(),a b ∈R 、2i z c d =+(),c d ∈R ，则()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++==12z z ⋅===，故1212z z z z =⋅，故B 正确；对C ：设1i z a b =+(),a b ∈R 、2i z c d =+(),c d ∈R ，有()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，则()12i z z ac bd ad bc ⋅=--+，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，故1212z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对D ：设i z x y =+(),x y ∈R ，则有()2224x y -+≤，集合M 所构成区域为以()2,0为圆心，半径为2的圆，故2π4πS r ==，故D 错误.故选：BC .11.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列命题正确的是（）A.若60A =︒，2a =，则ABCB.若60A =︒，1a =，则ABCC.若a =，4b =，要使满足条件的三角形有且只有两个，则ππ,63A ⎛⎫∈⎪⎝⎭D.若()cos cos a b c A B +=+，且1c =，则该三角形内切圆面积的最大值为322π4-【答案】AD 【解析】【分析】对于AB ：利用余弦定理结合基本不等式求bc 的最大值，进而可得面积的最大值；对于C ：利用余弦定理分析可得：关于c 的方程28cos 40c c A -+=有2个不相等的正根，结合二次方程列式求解；对于D ：利用余弦定理可得π2C =，再利用基本不等式求内切圆半径的最大值，即可得结果.【详解】对于选项A ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-，可得2242bc b c bc +=+≥，解得4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为1422⨯⨯=A 正确；对于选项B ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即221b c bc =+-，可得2212bc b c bc +=+≥，解得1bc ≤，当且仅当1b c ==时，等号成立，所以ABC面积的最大值为11224⨯⨯=，故B 错误；对于选项C ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即212168cos c c A =+-，整理可得28cos 40c c A -+=，由题意可知：关于c 的方程28cos 40c c A -+=有2个不相等的正根，则2408cos 0Δ64cos 160A A >⎧⎪>⎨⎪=->⎩，解得1cos 2A >，且()0,πA ∈，可得π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 错误；对于选项D ，因为()cos cos a b c A B +=+，即cos cos a b c A c B +=+，则22222222b c a a c b a b b a+-+-+=+，整理可得()()2220a b a b c ++-=，注意到0a b +≠，则2220a b c +-=，即222+=a b c ，可知π2C =，且1c =，则该三角形内切圆半径(222ABC ab a b S ab a b c r a b c a b c ab+-+-=====++++ .又因为1a b c c c c +-==≤=，当且仅当2a b==时，等号成立，可得102r -<≤，所以该三角形的内切圆面积的最大值是221π2322π4⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭-，故D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点（1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；（2）结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式；（3）对于最值问题，常常利用基本不等式或三角函数分析求解.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是23、35，那么恰好只有1人解对题的概率是________.【答案】715【解析】【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解.【详解】设甲、乙解对题分别为事件A ，B ，则()()23,35P A P B ==，可得()()12,35P A P B ==所以恰好只有1人解对题的概率()()()()()()715P P AB P AB P A P B P A P B =+=+=.故答案为：715.13.已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为a ，中位数为b ，则a 与b 的大小关系为________.【答案】a b >【解析】【分析】根据频率分布直方图的“拖尾”情况分析平均数与中位数的大小.【详解】因为频率分布直方图在右侧“拖尾”，可知平均数大于中位数，即a b >.故答案为：a b >.14.如图，已知在直三棱柱111ABC A B C -中，F 为11A C 的中点，E 为棱1BB 上的动点，12AA =，2AB =，BC =，4AC =.当E 是棱1BB 的中点，则三棱锥E ABC -体积为________；当三棱锥1A AEF -的外接球的半径最小时，直线EF 与1AA 所成角的余弦值为________.【答案】①.72②.24【解析】【分析】在ABC 中，由余弦定理，可得cos BAC ∠，再求出sin ABC ∠，再用面积公式求ABC 的面积，体积公式求三棱锥E ABC -体积即可；作出辅助线，推导出当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点，进而求出各边长，得到112cos 4E FEB B EF =∠=【详解】因为2AB =，BC =，4AC =，所以在ABC 中，由余弦定理，得222416181cos 22248BA CA BC BAC BA CA +-+-∠===⋅⨯⨯，所以sin 8ABC ∠=，所以124282ABC S =⨯⨯⨯= ，所以11322E ABC V -=⨯⨯=；作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为1H ，易知棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，因为1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故374BH =，则1374EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ 中，222211QF R QQ ==+①，又因为22221111()4QE R QQ Q E ==-+②由①②，可得21113731216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点.因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角.因为1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理，得221111111112cos B F A B A F A B A F B A F =+-⋅∠14422278=+-⨯⨯⨯=，因为11EB =，所以11222,cos 4B E EF FEB EF =∠==.故答案为：72；24.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得当三棱锥1A AEF -的外接球的半径最小时，E 为棱1BB 的中点，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC 中，已知3BC =，4AC =，点P 为线段BC 中点，23AQ AB = ，设CB a = ，CA b =.（1）用向量a，b表示CQ；（2）若90ACB ∠=︒，求AP CQ ⋅.【答案】（1）2133CQ a b=+（2）73-【解析】【分析】（1）用三点共线的向量表达式结论可解；（2）将AP CQ ⋅用基底{,}CA CB 表示出来，再用数量积运算性质可解.【小问1详解】如图所示，23AQ AB =，所以()2122133333CQ CA AQ CA CB CA CA CB a b =+=+-=+=+，所以2133CQ a b =+ .【小问2详解】点P 为线段BC 中点，用三点共线的向量表达式结论得111111()222222AP AC AB CA CA CB CA B a b C =+=-+-+=-+=-，由（1）知2133CQ a b =+，则22121()113(21)||23|3|3AP CQ a a a b b b b a +⋅=⋅--⋅-= ，90ACB ∠=︒,则0a b ⋅= .则2211734333AP CQ ⨯-⨯=⋅-= .16.已知有下面三个条件：①()2S AC AB =⋅⋅；②a c =2sin sin sin 1sin sin sin sin B C A C B B C +=+；请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，且________.（1）求角A 的大小；（2）若AD 是ABC 的角平分线，且2b =，3c =，求线段AD 的长.【答案】（1）π3A =【解析】【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得sin A A =，得到tan A =cos 1A A =+，得到π1sin()62A -=，即可求解；选择③，化简得到222sin sin sin sin sin B C A B C +=+,即222b c a bc +-=，由余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）根据题意结合ABC ABD ACD S S S =+ ，列出方程，即可求解.【小问1详解】选择①：由()32S AC AB =⋅⋅ ，可得1sin cos 22bc A bc A =⨯，即sin A A =，即tan A =因为(0,π)A ∈，所以π3A =；选择②：因为②a c =，由正弦定理得sin si n A C =，sin sin cos sin A C C A C =+，因为(0,π)C ∈，可得sin 0C >，所以cos 1A A =+，cos 2sin()16πA A A -=-=，可得π1sin()62A -=，因为(0,π)A ∈，可得ππ66A -=，所以π3A =；选择③：由2sin sin sin 1sin sin sin sin B C AC B B C +=+，可得222sin sin sin sin sin B C A B C +=+,又由正弦定理得222b c a bc +-=，再由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】若AD 是ABC 的角平分线，则π6BAD CBD ∠=∠=，且ABC BAD CBD S S S =+△△△，即111112332222222AD AD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，17.为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%.数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常总结整理不经常总结整理合计（1）根据图1、图2中的数据，补全表格；（2）求图1中m 的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；（3）抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率.【答案】（1）表格见详解（2）0.015m =；120（3）310【解析】【分析】（1）根据题中数据补全表格；（2）根据频率和为1求得0.015m =，再结合百分位数的定义列式求解；（3）分别求相应的人数，利用列举法结合古典概型分析求解.【小问1详解】数学成绩优秀的有10050%50⨯=人，不优秀的人10050%50⨯=人，经常整理错题的有()10040%20%60⨯+=人，不经常整理错题的是1006040-=人，经常整理错题且成绩优秀的有5070%35⨯=人，所以表格为数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理352560不经常整理152540合计5050100【小问2详解】由题意可知每组频率依次为0.05,0.1,0.35,20,0.2m ，则0.050.10.35200.21m ++++=，解得0.015m =；因为0.050.10.350.50.65++=<，0.050.10.350.30.80.65+++=>，设第65百分位数为x ，可知[)110,130x ∈，则()0.50.0151100.65x +-=，解得120x =，所以学生期中考试数学成绩的第65百分位数为120.【小问3详解】由题意可知：样本中“经常总结整理错题”的人数为6053100⨯=，设为,,a b c ，“不经常总结整理错题”的人数为4052100⨯=，设为,A B ，从这5名学生中随机抽取2人，则样本空间{}Ω,,,,,,,,,ab ac aA aB bc bA bB cA cB AB =，可知()Ω10n =，设这2名同学均来自“经常总结整理错题”为事件M ，则{},,M ab ac bc =，即()3n M =，所以()()()3Ω10n M P M n ==.18.如图，在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面QAD 是正三角形，面QAD ⊥面ABCD ，M 是QD 的中点.（1）求证：QB ∥平面AMC ；（2）求直线AC 与平面QCD 所成角的正弦值；（3）在棱QC 上是否存在点N 使平面BDN ⊥平面AMC 成立？如果存在，求出QN NC 如果不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）4（3）存在，12QN NC =【解析】【分析】（1）设AC BD O = ，连接OM ，利用三角形的中位线定理可得OM ∥QB ，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）由面面垂直的性质可证得CD ⊥平面QAD ，则CD AM ⊥，再由等边三角形的性质可得AM QD ⊥，然后由线面垂直的判定可得AM ⊥平面QCD ，则直线AC 与平面QCD 所成角为ACM ∠，从而可求得答案；（3）当DN CM ⊥时，可证得平面BDN ⊥平面AMC ，设QN k NC=，然后在等腰直角三角形QCD 中利用平面向量的知识计算即可.【小问1详解】证明：设AC BD O = ，连接OM ，因为底面ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点，因为M 是QD 的中点，所以OM ∥QB ，因为OM ⊂平面ACM ，QB ⊄平面ACM ，所以QB ∥平面ACM【小问2详解】因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥，因为平面QAD ⊥平面ABCD ，平面QAD ⋂平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面QAD ，因为AM ⊂平面QAD ，所以CD AM ⊥,因为QAD 为等边三角形，M 是QD 的中点，所以AM QD ⊥，因为QD CD D ⋂=，,QD CD ⊂平面QCD ，所以AM ⊥平面QCD ，所以直线AC 与平面QCD 所成角为ACM ∠，设正方形ABCD 的边长为2，则3,22AM AC ==因为AM ⊥平面QCD ，CM ⊂平面QCD ，所以AM CM ⊥，所以36sin 422AM ACM AC ∠===，即直线AC 与平面QCD 所成角的正弦值为64；【小问3详解】存在，当DN CM ⊥时，平面BDN ⊥平面AMC ，因为AM ⊥平面QCD ，DN ⊂平面平面QCD ，所以AM DN ⊥，因为AM CM M ⋂=，,AM CM ⊂平面AMC ，所以DN ⊥平面AMC ，因为DN ⊂平面BDN ，所以平面BDN ⊥平面AMC ，设QN k NC =，则QN kNC =，所以1k QN QC k =+，由（2）知CD ⊥平面QAD ，因为QD ⊂平面QAD ，所以CD DQ ⊥，所以0DQ QC ⋅= ，因为12CM DM DC DQ DC =-=- ，1()1111k k k DN DG GN DQ QC DQ DC DQ DC DQ k k k k =+=+=+-=+++++ ，所以110211k CM DN DQ DC DC DQ k k ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以22102(1)1k DQ DC k k -=++ ，得12(1)1k k k =++，解得12k =，所以当12QN NC =时，平面BDN ⊥平面AMC.19.将连续正整数1，2，L ，*(N )n n ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数(如当12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15)F =，现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率.（1）求(100).p （2）当2021n ≤时，求()F n 的表达式.（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{}*|()1,100,N S n h n n n ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.【答案】（1）11192（2）,1929,1099()3108,10099941107,10002021n n n n F n n n n n ≤≤⎧⎪-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩（3）119【解析】【分析】（1）计算()10099023192F =+⨯+=，数字0的个数为11，得到概率.（2）考虑19n ≤≤，1099n ≤≤，100999n ≤≤，10002023n ≤≤四种情况，依次计算得到答案.（3）考虑()*19,N n b b b =<≤∈时，当()**1019,09,N ,N n k b k b k b =+≤≤≤≤∈∈时，当100n =时三种情况，得到()g n 和()f n 的解析式，得到{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =，再计算概率的最值得到答案.【小问1详解】当100n =时，()10099023192F =+⨯+=，即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，则恰好取到0的概率为()11100192p =；【小问2详解】当19n ≤≤时，这个数有1位数组成，()F n n =；当1099n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，9n -个两位数组成，则()29F n n =-；当100999n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，99n -个三位数组成，()3108F n n =-；当10002021n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成999n -个四位数组成，()41107F n n =-；综上所述：,1929,1099()3108,10099941107,10002021n n n n F n n n n n ≤≤⎧⎪-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩，【小问3详解】当()*19,N n b b b =<≤∈时，()0g n =，当()**1019,09,N ,Nn k b k b k b =+≤≤≤≤∈∈时，()g n k =；当100n =时，()11g n =，即()**0,19,10,19,09,N ,N 11,100n g n k n k b k b k b n ≤≤⎧⎪==+≤≤≤≤∈∈⎨⎪=⎩，同理有()**0,18,101,18,09,N ,N 80,899820,99,100n k n k b k b k b f n n n n ≤≤⎧⎪=+-≤≤≤≤∈∈⎪=⎨-≤≤⎪⎪=⎩，由()()()1h n f n g n =-=，可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90n =，所以当100n ≤时，{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =，当9n =时，()90p =，当90n =时，()919017119p ==，当()*10918,Nn k k k =+≤≤∈时，()()()29209g n k k p n F n n k ===-+，由1912092020209k y k k ==-⨯++关于k 单调递增，故当()*10918,Nn k k k =+≤≤∈时，有()p n 的最大值为()889169p =，又8116919<，所以当n S ∈时，()p n 的最大值为119．【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键.。

高一数学上学期期末考试试题含解析

【解析】
【分析】
先由奇函数的性质，得到，求出 ;再由二次函数的单调性,以及奇函数的性质，得到函数在区间上单调递减,进而可求出结果。
【详解】因为函数是奇函数,
所以 ,即 ,解得: ；
因此
根据二次函数的性质，可得,当时，函数在区间上单调递减,在区间上单调递增；
又因为 ,所以由奇函数的性质可得:函数在区间上单调递减;
，即至少遇到4个红灯的概率为0。33。
（3）设事件为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件 .
则。
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式,以及概率的性质即可，属于常考题型。
19。一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额 (单位：万元）与销售额（单位：万元）之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下表格.
【分析】
根据奇偶性的概念，判断函数的奇偶性，再结合函数单调性，即可解所求不等式。
【详解】因为的定义域为，
由可得，函数是奇函数；
根据幂函数单调性可得, 单调递增;所以函数是增函数;
所以不等式可化为，
因此，解得：。
故选：D
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数奇偶性的概念，会根据函数解析式判定单调性即可，属于常考题型.
【解析】
【分析】
（1）根据换元法，令，即可结合已知条件求出结果；
(2）根据指数函数单调性，即可得出单调区间.
【详解】(1)令 ,即，
代入，可得，
所以
（2)因为，根据指数函数单调性，可得：
函数的单调增区间是，单调减区间是。
【点睛】本题主要考查求函数解析式,以及求指数型函数的单调区间,灵活运用换元法求解析式，熟记指数函数的单调性即可，属于常考题型.

平衡力--三角形或相似三角形法

平衡力--三角形或相似三角形法学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．如图所示，将质量为m的小球用橡皮筋悬挂在竖直墙的O点，小球静止在M点，N为O点正下方一点，ON间的距离等于橡皮筋原长，在N点固定一铁钉，铁钉位于橡皮筋右侧。

现对小球施加拉力F，使小球沿以MN为直径的圆弧缓慢向N运动，P为圆弧上的点，角PNM为60°。

橡皮筋始终在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度为g，则A. 在P点橡皮筋弹力大小为B. 在P点时拉力F大小为C. 小球在M向N运动的过程中拉力F的方向始终跟橡皮筋垂直D. 小球在M向N运动的过程中拉力F先变大后变小【来源】山东省潍坊市2018届高三第三次高考模拟考试理综物理试题【答案】AC【解析】A、设圆的半径为R，则，ON为橡皮筋的原长，设劲度系数为k，开始时小球二力平衡有；当小球到达P点时，由几何知识可得，则橡皮筋的弹力为，联立解得，故A正确。

B、小球缓慢移动，即运动到任意位置均平衡，小球所受三个力平衡满足相似三角形，即，，因，可得,故B错误。

C、同理在缓慢运动过程中由相似三角形原理可知，则拉力F始终垂直于橡皮筋的弹力，C正确。

D、在两相似三角形中，代表F大小的边MP的长度一直增大，故F一直增大，故D错误。

则选AC。

【点睛】三力平衡可以运用合成法、作用效果分解法和正交分解法，而三力的动态平衡就要用图解法或相似三角形法，若有直角的还可以选择正交分解法。

2．如图所示，有一个固定的1/4圆弧形阻挡墙PQ，其半径OP水平、OQ竖直．在PQ墙和斜面体A之间卡着一个表面光滑的重球B，斜面体A放在光滑的地面上并用一水平向左的力F推着，整个装置处于静止状态．现改变推力F的大小，推动斜面体A沿着水平地面向左缓慢运动，使球B沿斜面上升一很小高度．在球B缓慢上升的过程中，下列说法中正确的是A. 斜面体A与球B之间的弹力逐渐减小B. 阻挡墙PQ与球B之间的弹力逐渐减小C. 水平推力F逐渐增大D. 水平地面对斜面体A的弹力不变【来源】江西省赣州市赣州中学2018届高三下学期4月模拟考试（B）物理试题【答案】AB【解析】小球B 处于平衡状态，对B 受力分析，如图所示：当球B 沿斜面上升一很小高度时，圆弧阻挡墙对B 的压力方向与水平方向的夹角减小，根据图象可知，斜面体A 与球B 之间的弹力2N 逐渐减小，阻挡墙PQ 与球B 之间的弹力1N 逐渐减小，故AB 正确；以斜面体为研究对象，则有上述解析可知球B 对斜面A 的弹力减小，则可以将该力分解为水平方向和竖直方向，该力与水平竖直所成夹角不变，所以竖直与水平分力都减小，而F 等于其水平分力，故F 减小，地面对A 的支持力等于A 的重力加上该力的竖直分力，故地面对A 的支持力也减小，故CD 错误。

高一下学期数学期末考试试题(共2套,含答案)

高一下学期数学期末考试试题(共2套,含答案)广东省惠州市高一（下）期末考试数学试卷一.选择题（每题5分）1.一元二次不等式 $-x^2+x+2>0$ 的解集是（）A。

$\{x|x2\}$ B。

$\{x|x1\}$C。

$\{-1<x<2\}$ D。

$\{-2<x<1\}$2.已知$\alpha$，$\beta$ 为平面，$a$，$b$，$c$ 为直线，下列说法正确的是（）A。

若 $b\parallel a$，$a\subset\alpha$，则$b\parallel\alpha$B。

若$\alpha\perp\beta$，$\alpha\cap\beta=c$，$b\perp c$，则 $b\perp\beta$C。

若 $a\perp c$，$b\perp c$，则 $a\parallel b$D。

若 $a\cap b=A$，$a\subset\alpha$，$b\subset\alpha$，$a\parallel\beta$，$b\parallel\beta$，则 $\alpha\parallel\beta$3.在 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$AC=1$，$\angleA=30^\circ$，则 $\triangle ABC$ 面积为（）A。

$\frac{\sqrt{3}}{4}$ B。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ C。

$\frac{\sqrt{3}}{8}$ D。

$\frac{\sqrt{3}}{16}$4.设直线 $ $l_1\parallel l_2$，则 $k=$（）A。

$-1$ B。

$1$ C。

$\pm1$ D。

无法确定5.已知 $a>0$，$b>0$，$a+b=1$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 的最小值是（）A。

$4$ B。

$5$ C。

$8$ D。

$9$6.若 $\{a_n\}$ 为等差数列，且 $a_2+a_5+a_8=39$，则$a_1+a_2+\cdots+a_9$ 的值为（）A。

XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷

XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一年级数学试卷第I卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知向量a=(2,1),b=(λ−1,2),若a+b与a−b共线,则λ=（）A.−2B.−1C.1D.2改写：向量a=(2,1)，向量b=(λ-1,2)，若a+b和a-b共线，则λ=（） A。

-2 B。

-1 C。

1 D。

22.已知3sinα+4cosα=2，则1-sinαcosα-cos2α的值是() A。

- B。

C。

-2 D。

2改写：已知3sinα+4cosα=2，求1-sinαcosα-cos2α的值，答案为() A。

- B。

C。

-2 D。

23.已知在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，则AB·AC=() A。

1/33 B。

- C。

-2 D。

-改写：在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，求XXX的值，答案为() A。

1/33 B。

- C。

-2 D。

-4.在△ABC中，若AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定改写：在△ABC中，如果AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定5.已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanA-tanB=3，则△ABC的面积为() A。

3/33 B。

- C。

3 D。

33/2改写：已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c，且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanB=3，求△ABC的面积，答案为() A。

3/33 B。

- C。

2017-2018高一数学上学期期末考试试题及答案

2017－2018学年度第一学期期末考试高一数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共４页,满分120分．考试限定用时100分钟．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考籍号分别填写在试卷和答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题共48分)参考公式：1．锥体的体积公式1,,.3V Sh S h =其中是锥体的底面积是锥体的高 2．球的表面积公式24S R π=，球的体积公式343R V π=，其中R 为球的半径。

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{0,1,2,3},{1,3}U A ==，则集合U C A = ( ）A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2 2．空间中,垂直于同一直线的两条直线（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能3．已知幂函数()αx x f =的图象经过点错误!，则()4f 的值等于 ( ）A ．16B 。

错误!C ．2D 。

错误!4。

函数()lg(2)f x x =+的定义域为（ )A 。

（—2，1）B 。

［-2,1]C 。

()+∞-,2 D. (]1,2- 5．动点P 在直线x+y-4=0上,O 为原点,则|OP ｜的最小值为（）AB ．CD ．26.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αB ．若α⊥β，m ∥α,则m ⊥βC ．若α⊥β,m ⊥β，则m ∥αD ．若m ⊥n ,m ⊥α， n ⊥β，则α⊥βＯＯＯＯ１１１１7．设()x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，()x x x f -=22，则()1f 等于（ )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 8．函数y ＝2-+212x x⎛⎫⎪⎝⎭的值域是（）A ．RB ．错误!C ．(2，＋∞）D 。

2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题(A卷)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 以下程序中，输出时的值是输入时的值的（）A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【答案】D【解析】令初始值A＝a，则A＝2(a＋a)＝4a．故选D.2. 已知数列是等比数列，，且，，成等差数列，则（）A. 7B. 12C. 14D. 64【答案】C【解析】分析：先根据条件解出公比，再根据等比数列通项公式求结果.详解：因为，，成等差数列，所以所以，选C.点睛：本题考查等比数列与等差数列基本量，考查基本求解能力.3. 将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（）A. 0795B. 0780C. 0810D. 0815【答案】A【解析】分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果.详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为所以抽取的第40个数为选A.点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.4. 已知动点满足，则的最大值是（）A. 50B. 60C. 70D. 90【答案】D【解析】分析：先作可行域，根据图像确定目标函数所代表直线取最大值时得最优解.详解:作可行域，根据图像知直线过点A(10,20)时取最大值90，选D,点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5. 若干个人站成一排，其中为互斥事件的是（）A. “甲站排头”与“乙站排头”B. “甲站排头”与“乙不站排头”C. “甲站排头”与“乙站排尾”D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】A【解析】试题分析：事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。

广东省惠州市2022-2023学年高一上学期期末考试数学含答案

A.22.2%B.43.8%C.56.2%D.77.8%
8.已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，，……，，则（）
A 6B.12C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
22.若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集；②对任意，存在常数，使得成立；则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．
（1）判断函数，是否是R上的有界函数；
（2）试探究函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
惠州市2022-2023学年度第一学期期末质量检测
高一数学试题
全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.
【13题答案】
【答案】4
【14题答案】
【答案】 ##
【15题答案】
【答案】（答案不唯一）
【16题答案】
【答案】①. ②.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【17题答案】
【答案】（1），，；
（2）
【18题答案】
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）

人教版数学高一第三章直线与方程单元测试精选(含答案)3

d
Ax0 By0 C A2 B2
.已知点 P1, P2
到直线 l
的有向距离分别是 d1, d2 ，给出以下命题：
试卷第 6页，总 10页
①若 d1 d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 平行； ②若 d1 d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 平行； ③若 d1 d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 垂直；④若 d1d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 相交；
25．直线 l1：x＋my＋6=0 与 l2：(m－2)x＋3y＋2m=0，若 l1//l2 则 m =__________;
【来源】[中学联盟]山东省栖霞市第一中学 2017-2018 学年高一上学期期末测试数学试题
【答案】 1 1
26．直线 y= x 关于直线 x＝1 对称的直线方程是________；
则 m 的倾斜角可以是：①15°;② 30°;③ 45°;④ 60°;⑤ 75°. 其中正确答案的序号是______.(写出所有正确答案的序号）【来源】2011 届陕西省师大附中、西工大附中高三第七次联考文数
【答案】①或⑤
30．定义点 P(x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0( A2 B 2 0) 的有向距离为
评卷人得分
二、填空题
22．在四边形 ABCD 中,AB = DC = (1,1),且 BA + BC =
|BA| |BC|
|B3BDD| ,则四边形 ABCD 的面积
为
．
【来源】2015 高考数学（理)一轮配套特训：4-3 平面向量的数量积及应用（带解析)
【答案】 3
23．直线 ax+2y-4=0 与直线 x+y-2=0 互相垂直，那么 a=______________ ;

高一数学上学期期末考试试题(含解析)-人教版高一全册数学试题

某某省实验中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故选2. 直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为直线的倾斜角为：，可得：故选3. 计算，其结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原式故选4. 已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，取的中点，连接，，则，（或补角）是与所成的角，，，，，而故选5. 直线在轴上的截距是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线在轴上的截距就是在直线方程中，令自变量，直线在轴上的截距为故选6. 已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线，使得，；②存在两条平行直线，，使得，，，；③存在两条异面直线，，使得，，，；④存在一个平面，使得，．其中可以推出的条件个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；故选7. 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，原高为而横向长度不变，且梯形是直角梯形，故选8. 经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（）A. B.C. 或D. 都不对【答案】C【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为则直线为，即由到直线的距离等于到直线的距离得：，化简得：或（无解），解得直线的方程为综上，直线的方程为或故选9. 已知函数的图象与函数（，）的图象交于点，如果，那么的取值X围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中两函数的图象交于点，由指数函数的性质可知，若，则，即，由于，所以且，解得，故选D.点睛：本题考查了指数函数与对数函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质，以及不等式关系式得求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，构造关于的不等式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.10. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，球心在对角线上，且其半径为长度的一半为故选11. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值X围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：函数在区间上的值域为实数的取值X围是故选点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握。

2017-2018学年高中数学专题03破译三角函数图像变换问题特色专题训练新人教A版必修4

12专题03破译三角函数图像变换问题、单选题1.【湖北省咸宁市2018届高三重点高中11月联考】若函数f x =cos2x ， g x ]=sin j 2x -石【答案】【解析】/(+COS 2JC :+sin I 2x —— =cos2x4JT曲线严列乂）向左平移壬个单位长度后的解折式为:6本题选择E 选项.2•【山西省芮城中学 2018届高三期中】函数 f （x ） = Asin （G0x + W ）（其中A A O ，申 <:丄）的图象过点2,0 ,—, -1，如图所示，为了得到 g x ；=cos2x 的图象，则只要将 f x 的图象（）312曲线B .曲线y 二g x 向左平移 C .曲线 y = f x 向右平移 D .曲线丄个单位长度后得到曲线6■JT个单位长度后得到曲线6—个单位长度后得到曲线12—个单位长度后得到曲线126丿即/(x )+^(x) =A. 向右平移二个单位长度6B. 向右平移个单位长度1233【答案】D+ 卩= --- 2A H (A:E Z) — +2lac(k e Z) 23It和八、 .K-(P — — > J (x) = SID I 2x4-—C.向左平移'个单位长度 6D.向左平移个单位长度12【解析】12 3TSJD3it71 1C — cos2x — sin 2无+—2 3二肚2 "12点睛：已知函数 y=Asi nicx 」‘LB （A -0,八＞0）的图象求解析式 (1)y max — y min y max yminA, B =一 2由函数的周期T 求co ,T = 利用“五点法”中相对应的特殊点求:.【广东省执信中学 2017-2018学年高二上学期期中】将函数 y=Sin j 2x ' 的图象向右平移一个单位2长度，所得图象对应的函数■: 7 二■: 7 二A 在区间［,］上单调递减B 在区间［,］上单调递增12 12 12 12J ［ JEJ ［ J ［C.在区间^-,-］上单调递减D在区间［wy 上单调递增【答案】B兀【解析】将函数向右平移个单位长度得:((y =sin 2 x 一一J T(二 sin I 2x- 3 ，所以当7 2 二二二时，2x ，—12 3IL 2 24 •【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测】把函数.的图象上个点的横坐标缩短到原61 TI来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为23A B.c D (%)4【答案】D【解析】根据题意函数尸血时勺）的图象上个点的横坐标缩短到原来的k纵坐标不知，可得厂血伍昇6 2I创再将團象向右平移*单位，可得：V J sin|2 （x）+ -] = sin —）- ~cos2x^3 3 6 22K ■- + kn*2可得：x«- + -kn, kE疋"4 2当k・0时，可得对称中点为（：0）.4故选ZZf x二cosi2x • 的图象，只需将函数I 6丿g x 二sin2x 的图象（）A向左平移一个单位6C. 向左平移二个单位3【答案】A B向右平移一个单位6D向右平移少个单位3，所以函数单调递增，故选 B.125.【山东省莱芜市2018届高三上学期期中】要得到函数f x i = sin 「x ■ ' （其中）的图象如图2所示，为了得到 y 二cos 「x 的图象，只需把 y 二f x 的图象上所有点（）【解析】g x 二 sin2x =cos所以向左平移n 二26 个单位，选A2 66 •【辽宁省沈阳市交联体2018届高三上学期期中】函数C.向左平移二个单位长度6【答案】AT 7 7T更jr 【解析】根据函数的^m-=—4 122九"所以：T^JL9<D=——=2>当沪彳时，函数fyr jr即：/ ( —) =sin (2x — +<p) =0.解得所以:f (x) =sin( 2x+ —).要得到y=cos2x的图象只需将函数 f (x) =sin(2x< )向左平移.个单位长度,3 12n 兀即y=sin (2x+ + ) =cos2x.6 3故选：A.点睛：已知函数y=Asi n[cx」‘LB(A 0^ 0)的图象求解析式(1 )2■:人=涯沁，ymin.(2)由函数的周期T求,T =2 2 ⑷利用“五点法”中相对应的特殊点求:.【豫西南部分示范性高中2017-2018年高三年级第一学期联考】已知函数f X =sin 2x，为得到B.向右平移.个单位长度12D.向右平移二个单位长度6A向左平移.个单位长度123A 向左平移二个单位长度 B.向左平移.个单位长度612C.向右平移二个单位长度D.向右平移二个单位长度612【答案】A【解析】函数 g x 二 cosi2x sin ；2xsin 12x —• I 6丿 126丿 J 3丿函数f （x ）=s in ”2x +工1= sin |2 " x +丄1+》=sin " 2x +2兀】=g （ x ），是向左平移了工个单位长 2 V 3丿 [16丿3 一 V 3丿“丿 6度。

广东省惠州市2024_2025学年高一英语上学期期末考试试题含解析

Avi’s first book was published in 1970. He has written more than 45 books ever since. Most of them are for young adult readers. Besides historical novels, he writes comedies, short stories about adventures, animals and so on. Fighting Ground, which was published in 1984, isical novels. This attractive story takes place during the American Revolutionary War.
【3题详解】
细微环节理解题。依据第四则广告其次行"8.00pm-11.00pmPizzaWorld"可知CharlotteStone将在晚上8.00至11点之间表演她最受欢迎的歌曲。故选C。
B
Avi Wortis, known simply as Avi, writes historical novels. Historical novels mix historical facts with story telling skills. These stories take place in the past. The main characters are not always real；they exist only in stories.
【答案】1. A 2. B 3. C
【解析】
本文属于广告类阅读。文章介绍了四则广告及其有关事宜。
【1题详解】
细微环节理解题。依据第一则广告最终一句He's going to talk about how you can find the right person to produce you music．可知Jules skye会谈论如何找到一个好的音乐制作人。故选A。

广东省惠州市2024届高三上学期第二次调研数学试题含答案解析

广东省惠州市2024届高三上学期第二次调研数学试题一、单选题(共24 分)1已知集合A={x|1≤x≤3}B={x|y=ln(2−x)}则A∩B=（）A[1,2)B(1,2)C(1,3)D(1,3]【答案】A【分析】先求集合B中的x的取值范围再根据交集运算求解即可【详解】∵B={x|y=ln(2−x)}∴B={x|x<2}则A∩B=[1,2)故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算属于基础题2复数z满足iz=2+i其中i为虚数单位则|z|=（）A1B√3C2D√5【答案】D【分析】由复数的运算与模的概念求解．【详解】由题意得z=2+ii=1−2i|z|=√1+4=√5故选：D3已知向量a⃗=(−3,1)b⃗⃗=(m,2)．若a⃗∥b⃗⃗则m=（）A6B−6C−32D2 3【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解【详解】由向量a⃗=(−3,1)b⃗⃗=(m,2)且a⃗∥b⃗⃗则−3×2−m=0解得m=−6．故选：B4已知a=ln12,b=(12)−3,c=tan15°1−tan215°则abc的大小关系是（）A a>b>cB c>b>aC b>c>aD a>c>b 【答案】C【分析】分别化简a,b,c即可明显比较出三者大小关系【详解】因为a=ln12=−ln2<0b=(12)−3=8c=tan15°1−tan215°=12tan30°=√36<1所以b>c>a故选：C5在一次篮球比赛中某支球队共进行了8场比赛得分分别为：2930382537404232那么这组数据的第75百分位数为（）A375B38C39D40【答案】C【分析】由百分位数的概念求解．【详解】数据按从小到大排序为25,29,30,32,37,38,40,52而8×75%=6故第75百分位数为38+402=39故选：C6金针菇采摘后会很快失去新鲜度甚至腐烂所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度ℎ与其采摘后时间t（天）满足的函数解析式为ℎ=mln(t+a)(a>0)．若采摘后1天金针菇失去的新鲜度为40%采摘后3天金针菇失去的新鲜度为80%．那么若不及时处理采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知√2≈1.414结果取一位小数）（）A40天B43天C47天D51天【答案】C【分析】由已知条件两式相除求出a设t天后开始失去全部新鲜度则mln(t+1)=1再与已知一式相除可求得t．【详解】由已知{mln(1+a)=0.4mln(3+a)=0.8相除得ln(3+a)ln(1+a)=2ln(3+a)=2ln(1+a)(1+a)2=3+a因为a>0故解得a=1设t天后开始失去全部新鲜度则mln(t+1)=1又mln(1+1)=0.4所以ln(t+1)ln2=10.42ln(t+1)=5ln2=ln32(t+1)2=32t+1=√32=4√2=4×1.414=5.656t=4.656≈4.7．故选：C．7已知F1F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点点P在椭圆上且在第一象限过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线垂足为AO为坐标原点若|OA|=√3b则该椭圆的离心率为（）A2√23B√63C√33D√23【答案】B【分析】由椭圆的定义与几何性质得边长关系再由离心率的概念求解．【详解】设F1P与F2A交于点Q由题意PA⊥F2APA平分∠F2PQ则|PQ|=|PF2|A是F2Q中点|QF1|=|PF1|+|PQ|=2a 而O是F1F2中点故OA是△F1F2Q的中位线|QF1|=2|OA|则2a=2√3ba=√3bc2=a2−b2=23a2e=ca=√63故选：B8已知函数f (x )=e |x|−12g (x )={12x +1,x ≤0(x −1)lnx,x >0若关于x 的方程g(f (x ))−m =0有四个不同的解则实数m 的取值集合为（） A (0,ln22) B (ln22,1) C {ln22} D (0,1)【答案】A 【分析】设t =f(x)根据f(x)的解析式可得f(x)的单调性、奇偶性即可作出f(x)的图象即可求得t 的最小值利用导数判断g(x)的单调性结合t 的范围作出g(t)的图象数形结合可得 m ∈(0,ln22)时y =g(t),t ≥12的图象与y =m 图象有2个交点此时y =t 1与y =t 2分别与y =f(x)有2个交点即即g(f (x ))−m =0有四个不同的解满足题意即可得答案【详解】设t =f(x)则g(t)−m =0有四个不同的解因为f(−x)=e |−x|−12=e |x|−12=f(x)所以t =f(x)为偶函数且当x >0时f(x)=e x −12为增函数所以当x ≤0时t =f(x)为减函数所以t min =f(0)=e 0−12=12即t ≥12当x >0时g(x)=(x −1)lnx则g ′(x)=lnx +1x(x −1)=lnx −1x+1令g ′(x)=0解得x =1所以当x ∈(0,1)时g ′(x)<0g(x)为减函数当x ∈(1,+∞)时g ′(x)>0g(x)为增函数又g (12)=−12ln 12=ln22作出x >0时g(x)的图象如图所示：所以当m ∈(0,ln22)时y =g(t),t ≥12的图象与y =m 图象有2个交点且设为t 1,t 2作出t =f(x)图象如下图所示：此时y =t 1与y =t 2分别与y =f(x)有2个交点即g(f (x ))−m =0有四个不同的解满足题意综上实数m 的取值范围为(0,ln22)故选：A 【点睛】解题的关键是根据解析式利用函数的性质作出图象将方程求根问题转化为图象求交点个数问题考查分析理解数形结合的能力属中档题二、多选题(共 9 分)9已知数列{a n }的前n 项和为S n =11n −n 2则下列说法正确的是（） A {a n }是递增数列B a 2=8C数列{S n}的最大项为S5和S6D满足S n>0的最大的正整数n为10【答案】BCD【分析】由a n与S n关系求通项判断AB由二次函数性质判断CD．【详解】由S n=11n−n2得当n=1时a1=10当n≥2时a n=S n−S n−1=11n−n2−11(n−1)+(n−1)2=−2n+12n=1时也满足故a n=−2n+12a2=8A错误B正确故当n=5或n=6时S n最大故C正确由二次函数y=11x−x2的对称轴为112满足S n>0得0<n<11最大的正整数n为10故D正确故选：BCD10某班级到一工厂参加社会实践劳动加工出如图所示的圆台O1O2在轴截面ABCD中AB=AD= BC=2cm且CD=2AB则（）A该圆台的高为1cm B该圆台轴截面面积为3√3cm2cm3C该圆台的侧面积为6πcm2D该圆台的体积为7√3π3【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圆台的高即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由台体的侧面积公式可判断C选项；由圆台的体积公式即可判断D选项【详解】如图作BE⊥CD交CD于E易得CE=CD−AB2=1则BE=√22−12=√3则圆台的高为√3cm A错误；圆台的轴截面面积为12×(2+4)×√3=3√3cm2B正确；圆台的侧面积为S侧=π(1+2)×2=6π故C正确；圆台的体积为13×√3×(π+4π+√π⋅4π)=7√3π3cm3D正确故选：BCD11某校高二年级在一次研学活动中从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观要求所有景点全部参观且不重复记“第k站参观甲地的景点”为事件A k k=12…7则（）A P(A6)=37B P(A2∣A1)=13C P(A1+A2)=27D P(A2A3)=1249【答案】AB【分析】根据古典概型的概率公式可判断A,C选项继而根据条件概率的计算公式可判断B选项结合对立事件判断D选项【详解】由题意可得P(A6)=C31A66A77=37,A正确；P(A1)=C31A66A77=37,P(A2A1)=A32A55A77=17,P(A2∣A1)=P(A2A1)P(A1)=1737=13故B正确；由于P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)−P(A1∩A2)=37+37−17=57C错误；P(A2A3)=C31C41A55A77=1242=27,所以D错误故选：AB三、单选题(共3 分)12已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在[−π3,π6]上单调f(π6)=f(4π3)=−f(−π3)则ω的可能取值为（）A127B95C67D35【答案】ABD【分析】由三角函数的性质判断周期后求解．【详解】f(x)在[−π3,π6]上单调则T2≥π6−(−π3),T≥π而f(π6)=f(4π3)=−f(−π3)有以下情况①4π3−π6=7π6=kT,k∈Z而T≥π则k=1T=7π6ω=2πT=127②4π3−(−π3)=5π3=kT+T2,k∈Z而T≥π则k=1T=10π9ω=2πT=95或k=0T=10π3ω=2πT=35综上ω的可能取值为1279 5 3 5故选：ABD四、填空题(共12 分)13在(x+2x )5的展开式中x3的系数是___________【答案】10【分析】由二项式定理求解．【详解】(x+2x )5的展开通项为T r+1=C5r x5−r(2x)r=C5r⋅2r x5−2r当r=1时x3的系数为10故答案为：1014已知抛物线C:y2=4x的焦点为F准线为l与x轴平行的直线与l和C分别交于AB两点若|AF|= |BF|则|AB|=______【答案】4【分析】抛物线的定义结合题意得到△ABF 为等边三角形设准线l 与x 轴交于点H |AB |=2|FH |即可得出答案【详解】由抛物线的定义可知|AF |=|BF |=|AB |△ABF 为等边三角形设准线l 与x 轴交于点H 则|FH |=2|AB |=2|FH |=4 故答案为：415已知点A (2,−1,3)若B (1,0,0)C (1,2,2)两点在直线l 上则点A 到直线l 的距离为______ 【答案】3 【分析】先求与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向相同的单位向量u ⃗⃗然后由公式d =√AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅u ⃗⃗)2可得【详解】依题意AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,−3)而BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,2) 故与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向相同的单位向量为u ⃗⃗=√2√2)则所求距离d =√AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅u ⃗⃗)2=√11−2=3 故答案为:316已知正四面体ABCD 的棱长为2P 为AC 的中点E 为AB 中点M 是DP 的动点N 是平面ECD 内的动点则|AM|+|MN|的最小值是_____________【答案】√33+36【分析】取CE中点O先由OP⊥面CDE得N在线段DO上再把△PDO沿PD翻折到平面APD上得到|AM|+ |MN|的最小值即A到OD的距离再借助三角函数的知识求出最小值即可【详解】取CE中点O连接DO,OP由正四面体可知DE⊥AB,CE⊥AB又DE∩CE=E∴AB⊥面CDE又OP∥AB∴OP⊥面CDE当|AM|+|MN|最小时MN⊥面CDE故N在线段DO上由OP⊥面CDE可得OP⊥OD又OP=12AE=14AB=12DP=√22−12=√3OD=√3−14=√112将△PDO沿PD翻折到平面APD上如图所示：易知∠ADP=30∘sin∠ODP=OPDP =2√3cos∠ODP=ODDP=√112√3,则sin∠ODA=sin(∠ODP+30∘)=sin∠ODPcos30∘+cos∠ODPsin30∘=3+√3312故|AM|+|MN|的最小值即A到OD的距离即AD⋅sin∠ADO=2×3+√3312=3+√336故答案为：√33+36五、问答题(共6 分)已知{a n}为等差数列{b n}是公比为正数的等比数列a1=b1=2a2=2b1−1b3=2a2+217 求数列{a n}和{b n}的通项公式；18 设数列{c n}满足c n=1a n log2b n记{c n}的前n项和为S n求S2023【答案】17 a n=n+1,b n=2n18 20232024【分析】（1）由等差数列与等比数列的通项公式列方程组求解（2）由裂项相消法求解．【17题详解】设{a n}的公差为d{b n}的公比为q(q>0)由题得{2+d=2×2−12q2=2(2+d)+2解得{d=1q=2则a n=n+1,b n=2n【18题详解】c n=1a n log2b n=1n(n+1)=1n−1n+1S2023=1−12+12−13+⋯+12023−12024=20232024六、解答题(共18 分)如图已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中所有棱长均为2底面ABCD是正方形侧面ADD1A1是矩形点P为D1C1的中点且PD=PC19 求证：DD 1⊥平面ABCD ；20 求平面CPB 与平面DPB 的夹角的余弦值【答案】19 证明详见解析 20√55【分析】（1）通过证明DD 1⊥AD,DD 1⊥CD 来证得DD 1⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系利用向量法求得平面CPB 与平面DPB 夹角的余弦值【19题详解】设Q 是CD 的中点连接PQ 由于P 是C 1D 1的中点所以DD 1//PQ 由于PD =PC 所以PQ ⊥CD 所以DD 1⊥CD 由于四边形ADD 1A 1是矩形所以DD 1⊥AD 由于CD ∩AD =D,CD,AD ⊂平面ABCD 所以DD 1⊥平面ABCD 【20题详解】由于四边形ABCD 是正方形结合（1）的结论可知AD,CD,DD 1两两相互垂直以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系D (0,0,0),P (0,1,2),B (2,2,0),C (0,2,0)DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,2),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2,0),CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0),CP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,2)设平面DPB 的法向量为m ⃗⃗⃗=(x,y,z )则{m ⃗⃗⃗⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y +2z =0m ⃗⃗⃗⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2x +2y =0 故可设m ⃗⃗⃗=(2,−2,1)设平面CPB 的法向量为n ⃗⃗=(a,b,c ) 则{n ⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a =0n ⃗⃗⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−b +2c =0故可设n ⃗⃗=(0,2,1) 设平面CPB 与平面DPB 的夹角为θ 则cosθ=|m⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗||=3×√5=√55已知函数f (x )=ax 3+bx 2+1(a,b ∈R )在x =1处取得极值0 21 求a,b ；22 若过点(1,m )存在三条直线与曲线y =f (x )相切求买数m 的取值范围【答案】21 a =2,b =−3 22 (−14,0) 【分析】（1）根据题意可得f ′(1)=0,f (1)=0即可得解；（2）切点坐标为(x 0,2x 03−3x 02+1)根据导数的几何意义可得切线方程为y −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(x −x 0)从而可得m =−4x 03+9x 02−6x 0+1再根据过点(1,m )存在3条直线与曲线y =f (x )相切等价于关于x 的方程m =−4x 3+9x 2−6x +1有三个不同的根利用导数求出函数y =−4x 3+9x 2−6x +1的单调区间及极值即可得解【21题详解】由题意知f ′(x )=3ax 2+2bx因为函数f (x )=ax 3+bx 2+1(a,b ∈R )在x =1处取得极值0 所以f ′(1)=3a +2b =0,f (1)=a +b +1=0解得a =2,b =−3 经检验符合题意所以a =2,b =−3；【22题详解】由（1）可知函数f (x )=2x 3−3x 2+1所以f ′(x )=6x 2−6x设切点坐标为(x 0,2x 03−3x 02+1)所以切线方程为y −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(x −x 0)因为切线过点(1,m ) 所以m −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(1−x 0)即m =−4x 03+9x 02−6x 0+1令ℎ(x )=−4x 3+9x 2−6x +1则ℎ′(x )=−12x 2+18x −6=−6(2x −1)(x −1) 令ℎ′(x )=0解得x =12或x =1当x 变化时ℎ′(x ),ℎ(x )的变化情况如下表所示因此当x =12时ℎ(x )有极小值ℎ(12)=−14 当x =1时ℎ(x )有极大值ℎ(1)=0过点(1,m )存在3条直线与曲线y =f (x )相切等价于关于x 的方程m =−4x 3+9x 2−6x +1有三个不同的根则−14<m <0 所以实数m 的取值范围是(−14,0) 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导根据导数的方法求出函数的单调区间与极值根据函数的基本性质作出图象然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题突出导数的工具作用体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由f (x )=0分离变量得出a =g (x )将问题等价转化为直线y =a 与函数y =g (x )的图象的交点问题23ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 已知asin A+C 2=bsinA ．（1）求B ；（2）若ΔABC 为锐角三角形且c =1求ΔABC 面积的取值范围．【答案】(1) B =π3;(2)(√38,√32) 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式得到关于B 的三角方程最后根据A,B,C 均为三角形内角解得B =π3 (2)根据三角形面积公式S △ABC =12ac ⋅sinB 又根据正弦定理和c =1得到S △ABC 关于C 的函数由于△ABC 是锐角三角形所以利用三个内角都小于π2来计算C 的定义域最后求解S △ABC (C)的值域【详解】 (1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得A+C 2=π2−B2此时asinA+C 2=bsinA 就变为asin (π2− B2)=bsinA ．由诱导公式得sin (π2−B2)=cos B2所以acos B2=bsinA ．在△ABC 中由正弦定理知a =2RsinA,b =2RsinB 此时就有sinAcos B2=sinAsinB 即cos B2=sinB再由二倍角的正弦公式得cos B2=2sin B2cos B2解得B =π3． [方法二]【利用正弦定理解方程求得cosB 的值可得∠B 的值】由解法1得sinA+C 2=sinB 两边平方得sin 2A+C 2=sin 2B 即1−cos(A+C)2=sin 2B ．又A +B +C =180°即cos(A +C)=−cosB 所以1+cosB =2sin 2B 进一步整理得2cos 2B +cosB −1=0 解得cosB =12因此B =π3．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得A,B,C 的比例关系】根据题意asinA+C 2=bsinA 由正弦定理得sinAsinA+C 2=sinBsinA因为0<A <π故sinA >0 消去sinA 得sin A+C 2=sinB ． 0< B <π0<A+C 2<π因为故A+C 2=B 或者A+C 2+B =π而根据题意A +B +C =π故A+C 2+B =π不成立所以A+C 2=B又因为A +B +C =π代入得3B =π所以B =π3 (2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围然后由面积函数求面积的取值范围】因为△ABC 是锐角三角形又B =π3所以π6<A <π2,π6<C <π2 则S △ABC =12acsinB= 12c 2⋅ac⋅sinB =√34⋅sinA sinC=√34⋅sin(2π3−C)sinC= √34⋅sin2π3cosC−cos 2π3sinC sinC=38tanC+√38．因为C ∈(π6,π2)所以tanC ∈(√33,+∞)则1tanC ∈(0,√3) 从而S △ABC ∈(√38,√32)故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)． [方法二]【由题意求得边a 的取值范围然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知△ABC 的面积S △ABC =√34a ．因为△ABC 为锐角三角形且c =1,B =π3 所以{cosA =b 2+1−a 22b >0,cosC =b 2+a 2−12ab >0,即{b 2+1−a 2>0，b 2+a 2−1>0. 又由余弦定理得b 2=a 2+1−a 所以{2−a >0,2a 2−a >0, 即12<a <2所以√38<S △ABC <√32故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)． [方法三]【数形结合利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图在△ABC 中过点A 作AC 1⊥BC 垂足为C 1作AC 2⊥AB 与BC 交于点C 2．由题设及（1）知△ABC 的面积S △ABC =√34a 因为△ABC 为锐角三角形且c =1,B =π3所以点C 位于在线段C 1C 2上且不含端点从而c ⋅cosB <a <ccosB 即cos π3<a <1cosπ3即12<a <2所以√38<S △ABC <√32故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系从而确定角的大小(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用24已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合且双曲线的离心率为√5(1)求双曲线的方程；(2)若有两个半径相同的圆C1,C2它们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线C的两条渐近线上过双曲线右焦点且斜率为−1的直线l与圆C1,C2都相切求两圆圆心连线的斜率的范围．【答案】（1）5x2−54y2=1；（2）(−2,2)【分析】（1）由抛物线y2=4x得焦点(1,0)得双曲线的c=1．再利用离心率计算公式e=ca=√5及a2+ b2=c2即可解得ab；（2）利用点斜式得直线l的方程为x+y−1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．进而可设圆C1:(x−t)2+(y−2t)2=r2圆C2:(x−n)2+(y+2n)2=r2其中t>0n<0．因为直线l与圆C1C2都相切利用点到直线的距离公式可得√2=√2经过化简可得n与t的关系再利用斜率计算公式即可得出k=2t+2nt−n把n与t的关系代入即可得出k的取值方法．【详解】解：（1）由抛物线y2=4x得焦点(1,0)得双曲线的c=1．又e=ca=√5a2+b2=c2解得a2=15b2=45．∴双曲线的方程为5x2−54y2=1．（2）直线l的方程为x+y−1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．由已知可设圆C1:(x−t)2+(y−2t)2=r2圆C2:(x−n)2+(y+2n)2=r2其中t>0n<0．因为直线l与圆C1C2都相切所以√2=√2得直线l与t+2t−1=n−2n−1或t+2t−1=−n+2n+1即n=−3t或n=3t−2设两圆C1C2圆心连线斜率为k则k=2t+2nt−n 当n=−3t时k=2t−6t4t=−1；当n=3t−2时k=2t+2nt−n =4t−2−t+1∵t>0n<0∴0<t<23故可得−2<k<2综上：两圆C1C2圆心连线斜率的范围为(−2,2)．七、应用题(共6 分)某企业对生产设备进行优化升级升级后的设备控制系统由2k−1(k∈N∗)个相同的元件组成每个元件正常工作的概率均为p（0<p<1）各元件之间相互独立当控制系统有不少于k个元件正常工作时设备正常运行否则设备停止运行记设备正常运行的概率为p k（例如：p2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；p3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）25 若p=23当k=2时求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望并求p2；26 已知设备升级前单位时间的产量为a件每件产品的利润为4元设备升级后在正常运行状态下单位时间的产量是原来的2倍且出现了高端产品每件产品成为高端产品的概率为14每件高端产品的利润是8元记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）（i）请用p k表示E（Y）；（ii）设备升级后若将该设备的控制系统增加2个相同的元件请分析是否能够提高E（Y）【答案】25 分布列见解析数学期望为2P2=202726 （i）E(Y)=10ap k；（ii）当12<p<1时E(Y)提高；当0<p≤12时E(Y)没有提高【分析】（1）结合二项分布的知识求得分布列、数学期望从而求得p2（2）（i）求得Y的分布列从而求得E(Y)（ii）通过差比较法对p进行分类讨论来分析能否提高E(Y)【25题详解】因为k=2所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0,1,2,3因为每个元件的工作相互独立且正常工作的概率均为p =23所以X ∼B (3,23) 所以P (X =0)=C 30⋅(23)0⋅(13)3=127P (X =1)=C 31⋅(23)1⋅(13)2=29P (X =2)=C 32⋅(23)2⋅(13)1=49P (X =3)=C 33⋅(23)3⋅(13)0=827所以控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列为：控制系统中正常工作的元件个数X 的数学期望为E (X )=3×23=2p 2=P (X =2)+P (X =3)=49+827=2027【26题详解】（i ）设备升级后在正常运行状态下单位时间内的利润为a2×8+3a 2×4=10a所以Y 的分布列为：所以E (Y )=10a ×p k +0×(1−p k )=10ap k（ii ）若控制系统增加2个元件则至少要有k +1个元件正常工作设备才能正常工作设原系统中正常工作的元件个数为ξ第一类：原系统中至少有k +1个元件正常工作其概率为P (ξ≥k +1)=p k −C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k−1；第二类：原系统中恰好有k 个元件正常工作新增2个元件中至少有1个正常工作其概率为P (ξ=k )=C 2k−1k ⋅p k ⋅(1−p )k−1⋅[1−(1−p )2]=C 2k−1k ⋅p k+1⋅(1−p )k−1⋅(2−p )；第三类：原系统中恰好有k −1个元件正常工作新增2个元件全部正常工作其概率为P (ξ=k −1)=C 2k−1k−1⋅p k−1⋅(1−p )k ⋅p 2=C 2k−1k−1⋅p k+1⋅(1−p )k所以p k+1=p k −C 2k−1k ⋅p k ⋅(1−p )k−1+C 2k−1k ⋅p k+1⋅(1−p )k−1⋅(2−p )+C 2k−1k−1⋅p k+1⋅(1−p )k=p k +C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k ⋅(2p −1)所以p k+1−p k =C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k ⋅(2p −1)所以当12<p <1时p k+1−p k >0p k 单调递增即增加2个相同元件设备正常工作的概率变大；当0<p ≤12时p k+1−p k ≤0即增加2个相同元件设备正常工作的概率没有变大因为E (Y )=10ap k所以当12<p <1时E (Y )提高；当0<p ≤12时E (Y )没有提高。

广东省惠州市高一上学期期末考试(数学)

2013-2014学年高一年级期末考数学试题考试时间：120分钟第I 卷客观题部分（共70分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．) 1、已知),1(),2,1(λ=-=→→b a ，若→a 与→b 垂直，则λ=（）A 、21 B 、21- C 、2 D 、-2 2、函数f(x)=2x+3x －6的零点所在的区间是（）A 、[0，1]B 、[1，2]C 、[2，3]D 、[3，4] 3、已知A （－1，－1），B （1，3），C （2，y ）三点共线，则y=（）A 、－5B 、5C 、4D 、－4 4、下列各式中值为零的是（）．A 、log a aB 、log a b －log b aC 、22log (sin cos )a αα+D 、2log (log )a a a 5、已知|| =3，|| =8且与的夹角为120°，则在方向上的投影为（）．A 、4B 、23 C 、23- D 、－4 6、下列函数中，图象的一部分符合右图的是( )．A 、y ＝sin(x ＋π6)B 、y ＝sin(2x －π6)C 、y ＝cos(4x －π3)D 、y ＝cos(2x －π6)7、化简-sin181°sin119°+sin91°sin29°等于（）．A 、21-B 、23-C 、21D 、238、已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，则α2sin 的值为（）．A 、6556B 、6556-C 、6516D 、6516-9、已知→m 、→n 是夹角为60°的两个单位向量，则→a =2→m +→n 和→b =3→m -2→n 的夹角是（）．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°10、定义在R 上的偶函数f (x)，满足f (x+2)=f (x)，且f (x)在[-3,-2]上是减函数，又α、β是锐角三角形的两个内角，则（）．A 、)(sin )(sin βαf f >B 、)(cos )(cos βαf f <C 、)(cos )(sin βαf f >D 、)(cos )(sin βαf f <二、填空题：本题共4道小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷的横线上． 11、若点)3,2(m m P -，0<m 在角θ的终边上，则=θcos ___ ____ ．13、若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，则M ∩N= . 14、函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)． ①图象C 关于直线x ＝76π对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ；④函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数.第Ⅱ卷主观题部分（共80分）三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（满分12分）已知函数x 3q 2px )x (f 2-+=是奇函数，且35)2(f -=，求f(x)的解析式．16、（满分12分）如图，用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y=f (x)，并写出它的定义域.已知向量in )a x x = s ，(1cos ,cos )b x x =+ ，设()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；（3）求()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间．18、（满分14分）在平行四边形ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、K ，设AB →＝→a ，BC →＝→b ，试用→a 、→b 表示GK →、AH →.19、（满分14分）已知函数y=sin （2x ）－8（sin x ＋cos x ）＋19（0≤x ≤π），求函数y 的最大值与最小值．20、（满分14分）定义在)1,1(-的函数)(x f 满足：①对任意)1,1(,-∈y x 都有⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+xy y x f y f x f 1)()(；②当10<<x 时，0)(>x f ．回答下列问题．（1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数)(x f 在)1,1(-上的单调性，并说明理由；（3）若31)71(=f ，试求)171(2)91()32(f f f --的值．2013-2014学年高一年级期末考数学测试答题卷第I 卷客观题部分（共70分）二、请将填空题答案填入下列横线上（每小题5分，共20分）11、． 12、．13、． 14、．第Ⅱ卷主观题部分（共80分）三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（满分12分）已知函数x 3q 2px )x (f 2-+=是奇函数，且35)2(f -=，求f(x)的解析式.16、（满分12分）如图，用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y=f (x)，并写出它的定义域.17、（满分14分）已知向量in )a x x = s ，(1cos ,cos )b x x =+ ，设()f x a b =⋅ .（1）求()f x 的最小正周期；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；（3）求()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间．班级姓名考号试室号座位号 ····················密····························封····························线·················18、（满分14分）在平行四边形ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、K ，设AB →＝→a ，BC →＝→b ，试用→a 、→b 表示GK →、AH →.19、（满分14分）已知函数y=sin （2x ）－8（sin x ＋cos x ）＋19（0≤x ≤π），求函数y 的最大值与最小值．20、（满分14分）定义在)1,1(-的函数)(x f 满足：①对任意)1,1(,-∈y x 都有⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+xy y x f y f x f 1)()(；②当10<<x 时，0)(>x f ．回答下列问题．（1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数)(x f 在)1,1(-上的单调性，并说明理由；（3）若31)71(=f ，试求)171(2)91()32(f f f --的值．2013-2014学年高一年级期末考数学测试题答案一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 1、【解答】A ．11202λλ-=∴=． 2、【解答】B ．∵(1)0,(2)0(1)(2)0f f f f <>∴⋅<故选B. 3、【解答】B ．AB →=(2,4), BC →=(1,y-3),2(y-3)-4=0,y=5． 4、【解答】C ．22log (sin cos )log 10a a αα+==． 5、【解答】C ．|a |03cos 3cos1202θ==-． 6、【解答】D ．由图象知T ＝4(π12＋π6)＝π，故ω＝2，排除A 、C.又当x ＝π12时，y ＝1，而B 中的y ＝07、【解答】C ．sin1°cos29°+cos1°sin29°= sin(1°+29°)= sin30°=12． 8、【解答】B ．∵432παβπ<<<，∴40πβα<-<，23παβπ<+<，∴135)sin(=-βα，54)cos(-=+βα．∴)]()sin[(2sin βαβαα++-=6556)sin()cos()cos()sin(-=+-++-=βαβαβαβα．9、【解答】B ．→a ·→b =(2→m +→n )(3→m -2→n )=4-→m ·→n =4-12=72,|071cos ,602θθ===． 10、【解答】C ．,1sin sin()cos 022ππαβαββ+>∴>>-=>．二、填空题：本题共4道小题，每小题5分，共20分．11、【解答】．点)3,2(m m P -，0<m 在第二象限，且m m m r 13)3()2(22-=-+=，故有131321322cos -=-==mm r m θ． 12、【解答】80π．∵72°＝π180×72＝2π5，∴L ＝2π5×20＝8π，S ＝12L ·r＝12×8π×20＝80π(cm 2)．13、【解答】可根据正弦函数图象和余弦函数图象，找出集合N 和集合M 对应的部分，然后求M ∩N.首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π，得 M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤5π6.14、【解答】②④. 77()3sin(2)3sin 20663f ππππ=⨯-==，①错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝3sin π＝0，②正确；由y ＝3sin2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到图象C ，③错误．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12，∴f(x)的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)，令k ＝0得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，④正确；三、解答题：本题共6小题，共80分．15、【解答】x32x 2)x (f 2-+=.∵f(x)是奇函数，∴对定义域内的任意的x ，都有)x (f )x (f -=-， ………4分即x3q 2px x 3q 2px 22-+-=++，整理得：x 3q x 3q +-=+，∴q=0 ………8分又∵35)2(f -=， ∴35624)2(-=-+=p f ，解得p=2 ∴所求解析式为x32x 2)x (f 2-+= . ………12分16、【解答】由已知，得 AB=2x, CD=πx,于是AD=22x x L π--， ……………4分 ∴222L x x y x π--=⋅22xπ+，即y =Lx x ++-224π. ……………8分由⎪⎩⎪⎨⎧>-->02202x x L x π，得0<x<,2+πL 函数的定义域为（0，2+πL）. ………………12分 17、【解答】()f x a b =⋅1)(1cos )sin cos x x x x -++=2sin cos x x x+1cos 2)sin 22x x =-+=sin(2)3x π++ ………4分（1）()f x 的最小正周期为2.2T ππ== ………6分（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，sin 23x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴()f x ⎡∈⎢⎣⎦ ………11分（3）由Z k k x k ∈+≤+≤+-,223222πππππ，得Z k k x k ∈+≤≤+-,12125ππππ [0,]x π∈()f x ∴的单调增区间为],127[]12,0[πππ和 ………14分18、【解答】如图所示，因为AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，所以 GK →＝ GD →＋12DF →＝GD →+12(CF →-CD →)＝－12→a +12（-12→b +→a ）＝－14→b .………5分因为A 、H 、G 三点共线，所以存在实数m ，使AH →＝mAG →＝m （→b +12→a ）=m →b +12m →a ；又D 、H 、F 三点共线，所以存在实数n ，使DH →＝nDF →＝n （→a -12→b ）= n →a -12n →b .因为AD →＋DH →＝AH →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 2→b ＋n →a ＝m →b ＋m 2→a ………10分因为a 、b 不共线，221m n m n ==-∴且解得m ＝45，即AH →＝45（→b +12→a ）＝25→a ＋45→b ． ………14分19、【解答】令t=sin x ＋cos x ，则t=2sin （x ＋4π）， ………4分 ∵0≤x ≤π， ∴4π≤x ＋4π≤45π，22-≤sin （x ＋4π）≤1，即－1≤t ≤2．由t=sin x ＋cos x 两边平方得2sin xcos x=t 2－1，∴sin2x=t 2－1 ………10分y= t 2－1－8t ＋19，即f （t ）=（t －4）2＋2， ∵－1≤t ≤2 ∴y max = f （－1）=27y min = f （2）=20－82 ………14分20、【解答】（１）函数定义域为()1,1-．令0==y x 得0)0(=f ，令x y -=，则有0)()(=-+x f x f ，得)()(x f x f -=-，所以函数)(x f 在区间()1,1-上是奇函数。

2017-2018学年度人教版高一第一学期期末质量检测语文试题含答案

2017-2018学年度人教版高一第一学期期末质量检测语文试题含答案2017-2018学年高一第一学期期末质量检测语文科试卷考试时间：150分钟；满分：150分；共23小题友情提示：请将答案填涂在答题卡的相应位置上，答在本试卷上一律无效一、现代文阅读（每小题3分，共9分）读下面文字，完成1-3题。

很多人说：什么是意境？意境就是“情”“景”交融。

其实这种解释应该是从近代开始的。

XXX在《人间词话》中所使用的“意境”或“境界”，他的解释就是情景交融。

但是在中国传统美学中，情景交融所规定的是“意象”，而不是“意境”。

中国传统美学认为艺术的本体就是意象，任何艺术作品都要创造意象，都应该情景交融，而意境则不是任何艺术作品都具有的。

意境除了有意象的一般规定性之外，还有自己的特殊规定性，意境的内涵大于意象，意境的外延小于意象。

那么意境的特殊规定性是什么呢？唐代XXX有句话：“境生于象外。

”“境”是对于在时间和空间上有限的“象”的突破，只有这种象外之“境”才能体现作为宇宙的本体和生命的“道”。

从审美活动的角度看，所谓“意境”，就是超越具体的有限的物象、事件、场景，进入无限的时间和空间，从而对整个人生、历史、宇宙获得一种哲理性的感受和领悟。

西方古代艺术家，他们给自己提出的任务是要再现一个具体的物象，所以他们，比如古希腊雕塑家追求“美”，就把人体刻画得非常逼真、非常完美。

而中国艺术家不是局限于刻画单个的人体或物体，把这个有限的对象刻画得很逼真、很完美。

相反，他们追求一种“象外之象”、“景外之景”。

中国园林艺术在审美上的最大特点也是有意境。

中国古典园林中的楼、台、亭、阁，它们的审美价值主要不在于这些建筑本身，而是如同XXX《兰亭集序》所说，在于可使人“仰观宇宙之大，俯察品类之盛。

我们生活的世界是一个成心味的世界。

XXX有两句诗说得好：“此中有真意，欲辩已忘言。

”艺术就是要去寻找、发现、体验生活中的这种意味。

成心境的作品和普通的艺术作品在这一点的区别，就在于它不但揭示了生活中某一个具体事物或具体事件的意味，并且超出了具体的事物和事件，从一个角度揭示了整个人生的意味。

高中数学专题01 流程图与算法语句分项汇编(含解析)新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学试题

专题01 流程图与算法语句一、选择题1．【某某自治区北方重工业集团某某第三中学2017-2018学年高二3月月考】如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A. B. C. D.【答案】B第九次，，满足条件，，第十次，，满足条件，；由条件知不满足条件．故判断框内应填入的条件是．选B．2．【某某八中乌兰察布分校2017-2018学年高二下学期第一次调考】以下是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果恰好是，则处的关系式是( )A . y ＝x 3B . y ＝3－xC . y ＝3xD . y ＝【答案】C3．【某某某某市第三中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】如图所示，程序框图的输出值S =（）A . 15B . 22C . 24D . 28【答案】C【解析】由程序框图，数据初始化： 1,020i S ==<；第一次循环： 3,320i S ==<；第二次循环： 5,820i S ==<；第三次循环： 7,15i S ==20<；第四次循环： 9,2420i S ==>；此时结束循环，输出S 值为24. 本题选择C 选项.4．【某某省某某市2018届高三教学质量检查第二次统考】执行下面的程序框图，如果输入1a =， 1b =，则输出的S =（）A . 7B . 20C . 22D . 54【答案】B5．【某某省外国语学校2017-2018学年高二下学期入学考试】阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（）A . 2014n ≤B . 2015n ≤C . 2016n ≤D . 2018n ≤【答案】A故选A .6．【人教B 版高中数学必修三同步测试】给出一个算法的程序框图如图所示,该程序框图的功能是( )A . 求出a ,b ,c 三数中的最小数B . 求出a ,b ,c 三数中的最大数C . 将a ,b ,c 从小到大排列D . 将a ,b ,c 从大到小排列【答案】A【解析】由图框可知，第一步判断中的较小数，第二步判断中的较小数与的比较后的较小数。

2023-2024学年广东省惠州市五校联考高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省惠州市五校联考高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数f （x ）=√2x −1+1x−2的定义域为（） A ．[0，2）B ．（2，+∞）C ．[12，2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，2）∪（2，+∞）2．已知全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜1}，B ＝{x |x ＞2}，则（） A ．A ⊆BB ．B ⊆AC ．A ∪B ＝RD ．A ∩（∁R B ）＝A3．设a ∈R ，则“a 2﹣1≥0”是“a ≤﹣1”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．已知幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣1）x m 的图象与坐标轴没有公共点，则f(√2)=（） A ．12B ．√2C ．2D ．2√25．下列函数中不能用二分法求零点的是（） A ．f （x ）＝3x +1B ．f （x ）＝x 3C ．f （x ）＝x 2D ．f （x ）＝lnx6．声强级（单位：dB ）由公式L 1=10lg(I 10−12)给出，其中I 为声强（单位：W /m 2）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB ．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为5×10﹣7W /m 2，10﹣8W /m 2，2×10﹣9W /m 2，则这3人中达到班级要求的人数为（）A ．0B ．1C ．2D ．37．对于任意的实数x ，已知函数f （x ）={x ，x ≤12−x 2，x ＞1，则f （x ）的最大值是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．28．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则x =(9×12)×(7×12)15．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（）（注：1里＝300步）A．2√10里B．4√10里C．6√10里D．8√10里二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年广东省惠州市博罗县高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省惠州市博罗县高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑。

1．已知集合M 满足{1，2}⊆M ⊆{1，2，3，4}，则所有满足条件的集合M 的个数是（） A ．3B ．4C ．5D ．62．已知函数f(x)={x 2+1，x ＜0，f(x −2)，x ≥0，则f （3）＝（）A ．1B ．2C ．4D ．53．已知p ：0＜x ＜2，那么p 的一个必要不充分条件是（） A ．0＜x ＜3B ．﹣1＜x ＜1C ．0＜x ＜1D ．1＜x ＜34．对于实数a ，b ，c ，下列结论中正确的是（） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＞b ＞0，则1a＞1bC ．若a ＜b ＜0，则ab＜baD ．若a ＞b ，1a＞1b，则ab ＜05．已知函数f （x ）的定义域为[2，8]，则函数y =f(x−2)x−5的定义域为（） A ．[4，10]B ．[0，6]C ．[4，5）∪（5，10]D ．[0，5）∪（5，6]6．函数f （x ）=e x +e −xx 2的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．7．已知函数f(x)={a x ，x ＜0(a −2)x +3a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则a 的取值范围是（） A ．（0，1）B ．（2，+∞）C ．（0，13]D ．[34，2）8．已知定义在R 上的偶函数f （x ）＝|x ﹣m +1|﹣2，若正实数a 、b 满足f （a ）+f （2b ）＝m ，则1a+2b的最小值为（） A ．95B ．9C ．85D ．8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有错选得0分。

广东省惠州市综合高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(B)(含答案解析)

广东省惠州市综合高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷（B）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法正确的是（）A ．若a b < ，则a b<r rB ．若a ，b 互为相反向量，则0a b +=C ．空间中两平行向量相等D ．在四边形ABCD 中，AB AD DB-=2．若向量(1,1,2),(2,1,3),a b =-=- 则a ，b的夹角的余弦值为（）A B ．21C ．42-D ．3．已知点(),3,5A a -，()0,,2B b ，()2,7,1C -，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的值分别是（）A ．2-，3B ．1-，2C ．1，3D ．2-，24．已知4a = ，空间向量e 为单位向量，23,a e π= ，则空间向量a在向量e 方向上的投影向量的模长为（）A ．2B ．2-C ．12-D ．125．已知()2,1,3a =- ，()4,,2b y =- ，且()a ab ⊥+，则y 的值为（）A ．6B ．10C ．12D ．146．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA a = ,PB b = ,PC c =，则用基底{},,a b c 表示向量BE为（）A ．111222a b c→→→-+B ．111222a b c→→→--C ．131222a b c→→→-+D ．113222a b c→→→-+7．O 为空间任意一点，若1148AP OA OB tOC =-++，若A ，B ，C ，P 四点共面，则t =（）A ．1B ．98C ．18D ．148．在空间中，已知平面的一个法向量(),,e A B C =和平面上一点()000,,P x y z ，平面上任意一点的坐标(),,x y z 满足的关系式为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=．则该方程称为这个平面的方程，若两平面的方程分别为21x y z +-=和2x y z --=则这两平面的夹角的余弦值为（）A ．13-B ．13C ．16-D ．16二、多选题9．在空间直角坐标系O －xyz 中，以下结论正确的是（）A ．点()1,3,4A -关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－3，4)B ．点()1,2,3P -关于xOy 平面对称的点的坐标为(－1，2，－3)C ．点()3,1,5B -关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5)D ．()()1,1,2,1,3,3M N -两点间的距离为310．已知直线l 的一个方向向量为(),1,3a m =，平面α的一个法向量为()2,,1b n =- ，则（）A ．若//l α，则23m n -=B ．若l α⊥，则23m n -=C ．若//l α，则20mn +=D ．若l α⊥，则20mn +=11．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，2AC =，1BB =D ，E 分别为棱BC ，1BB 的中点，则（）A ．1AB ∥平面1ADC B ．1AD C D⊥C ．异面直线AC 与DED ．平面1ADC 与平面ABC 三、填空题12．已知点()0,1,0A -，平面PAD 的一个法向量为()1,2,2m =，点()1,1,0B -在平面PAD 外，则点B 到平面PAD 的距离为.13．向量(),1,1a x = ，()1,,1b y = ，()2,4,2c =- ，且a c ⊥ ，//b c，则2a b += .14．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别在11A B 、11C D 上，且112A P PB =，112C Q QD =，则异面直线BP 与DQ 所成角的余弦值为四、解答题15．已知向量()1,0,1a =- ，()1,2,0b =-(1)求a与()a b - 的夹角；(2)若2a b + 与a tb -垂直，求实数t 的值．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a = ，AD b = ，c AP =.(1)试用,,a b c 表示向量BM；(2)求BM 的长.17．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点.(1)证明：11BC A C^(2)求点1C 到平面1AD E 的距离18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，E 为1AA 的中点，F 为BC 的中点．(1)证明：//EF 平面11A BC ；(2)若12AC BC CC ===，求平面11A BC 与平面AEF 的夹角的余弦值．19．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC △沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥，连接PB 得三棱锥P ABC -，如图2．(1)证明：平面PAB ⊥平面ABC ；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．参考答案：题号12345678910答案D CDACCCDBCDAD题号11答案ABD1．D【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D.【详解】对于A ，向量不可以比较大小，所以A 错误；对于B,若a ，b互为相反向量，则0a b += ，故B 错误；对于C ，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C 错误；对于D ，四边形ABCD 中，AB AD DB -=，故D 正确.故选：D 2．C【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式计算即得.【详解】向量(1,1,2),(2,1,3)a b=-=-，则1211235a b ⋅=⨯-⨯-⨯=-，|||a b == 所以a ，b 的夹角的余弦值为cos ,42||||a b a b a b ⋅〈〉==-.故选：C 3．D【分析】由A ，B ，C 三点共线，得AB与BC 共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可.【详解】因为(),3,5A a -，()0,,2B b ，()2,7,1C -，所以(,3,3)AB a b =-+- ，(2,7,3)BC b =--，因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使AB k BC =，所以(,3,3)(2,7,3)a b k b -+-=--，所以23(7)33a k b k b k -=⎧⎪+=-⎨⎪-=-⎩，解得1,2,2k a b ==-=.故选：D4．A【分析】由空间向量a在向量e 方向上的投影数量为e a e⋅，运算即可得解.【详解】由题意，4a = ，1e = ，23,a e π=，则空间向量a 在向量e 方向上的投影数量为2cos 13242e e a ea eπ⋅⋅==⎛⎫-=- ⎪⎝⨯⎭.所以所求投影向量的模长为2.故选：A 5．C【分析】根据空间向量坐标运算以及空间向量垂直的坐标表示可以计算得到答案.【详解】因为()a ab ⊥+，所以()()(2,1,3)24,1,3241150a a b y y ⋅+=-⋅--++=-+-+=r r r ，解得12y =，故选：C.6．C【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可.【详解】连接BD ， E 为PD的中点，111()()222BE BP BD PB BA BC =+=-++111111()()222222PB BA BC PB PA PB PC PB =-++=-+-+-311131222222PB PA PC a b c =-++=-+．故选：C ．7．C【分析】将1148AP tOC =-++化简为：3148OP OA OB OC t =++ ，利用四点共面定理可得31148t ++=，即可求解.【详解】因为AP OP OA =- ，所以1148AP OA OB tOC =-++，可化简为：1148OP OA OA OB tOC -++-=，即3148OP OA OB OC t =++ ，由于A ，B ，C ，P 四点共面，则31148t ++=，解得：18t =；故选：C 8．D【分析】确定两个平面的法向量，根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】因为两个平面的方程为21x y z +-=和2x y z --=由题意可得，两个平面的法向量分别为12(1,2,1),(2,1,1)n n =-=--，故两平面夹角的余弦值为1212121|cos ,|6n n n n n n ⋅〈〉===.故选：D.9．BCD【分析】结合空间直角坐标系的对称关系可判断A ，B ，C ；结合两点间距离公式可求D.【详解】点()1,3,4A -关于x 轴的对称点的坐标为()1,3,4-，故A 错误；点()1,2,3P -关于xOy 平面对称的点的坐标为()1,2,3--，故B 正确；()3,1,5B -关于原点的对称的点的坐标为()3,1,5--，故C 正确；()()1,1,2,1,3,3M N -3=，故D 正确.故选：BCD 10．AD【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项计算判断即得.【详解】直线l 的一个方向向量为(),1,3a m =，平面α的一个法向量为()2,,1b n =- ，当//l α时，则有a b ⊥，因此230a b m n ⋅=-++= ，即23m n -=，A 正确，C 错误；当l α⊥时，则有//a b ，因此1321m n ==-，则120,6,3mn m n +==-=，B 错误，D 正确.故选：AD 11．ABD【分析】选项A 由线面平行的判定定理可证；选项B 由线面垂直可证线线垂直；选项CD 可由空间向量法可得.【详解】选项A：如图连接1AC 交1AC 于F ，连接DF ，由题意可知F 为1AC 的中点，又D 为BC 的中点，故1//AB DF ，又1A B ⊄平面1ADC ，DF ⊂平面1ADC ，故1A B ∥平面1ADC ，故A 正确；选项B ：由题意ABC V 为等边三角形，D 为BC 的中点，故AD BC ⊥,又棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，故1AD BB ⊥，又1BC BB B = ，⊂BC 平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故AD ⊥平面11BCC B ，又1C D ⊂平面11BCC B ，故1AD C D ⊥，故B 正确；选项C：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,1,0C -，0,12E ⎛ ⎝⎭，，因22AD =⨯=3,0,0，所以()1,0AC =- ，0,12DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，设异面直线AC 与DE 所成角为α，则cos cos,6AC DEα==故C错误；选项D：由题意平面ABC的一个法向量为()0,0,1i=，(10,C-，)DA=，(10,DC=-，设平面1ADC的法向量为(),,j x y z=，则1j DAjDC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1y=-⨯+=⎪⎩，设y，则0x=，1z=，故()j=，设平面1ADC与平面ABC的夹角为β，则cos cos,i jβ==故sinβ===，故sintancosβββ==D正确，故选：ABD12．13【分析】根据题意，利用空间向量的距离公式，即可求解.【详解】由点()0,1,0A-和()1,1,0B-，可得()1,0,0AB=，又由平面PAD的一个法向量为()1,2,2m=，所以点B到平面PAD的距离为13ABmm⋅=.故答案为：13.13．【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示求出x，y，再利用坐标求出向量的模作答.【详解】因(),1,1a x=，()2,4,2c=-，而a c⊥，则有2420a c x⋅=-+=，解得1x=，即()1,1,1a=又()1,,1b y = ，且//b c ，则有11242y ==-，解得2y =-，即()1,2,1b =- ，于是得2(3,0,3)a b +=，2a b +==所以2a b +=故答案为：14．45/0.8【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BP 与DQ 所成角的余弦值.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为3，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,1,3Q ，()3,3,0B ，()3,2,3P ，()0,1,3BP =- ，()0,1,3DQ =，设异面直线BP 与DQ 所成角为θ，则4cos 5BP DQ BP DQθ⋅===⋅.即异面直线BP 与DQ 所成角的余弦值为45.故答案为：45.15．(1)π4(2)1【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解；(2)由向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】（1） ()1,0,1a =- ，()1,2,0b =-，∴()2,2,1a b -=-，a =3a b -== ，令a 与()a b - 的夹角为θ，则cos 2a a b a a b θ=→→→→→→⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭==⋅-，则a 与()a b - 的夹角为π4.（2） ()21,2,2a b +=-- ，()1,2,1a tb t t -=-- ，又2a b + 与a tb - 垂直，∴()()20a b a tb +-= ，即()()1122120t t -⨯--+⨯-+⨯=，解得1t =.16．(1)111222b ac -+(2)2【分析】利用空间向量基本定理用基底表示BM ；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.【详解】（1）()1122BM BC CM AD CP AD CB BA AP =+=+=+++ 111111222222AD AD AB AP b a c =--+=-+ （2）22222111111111222444222BM c b a c a b c b a c ⎛⎫=-+=++-⋅+⋅-⋅ ⎪⎝⎭ 11111131021214422222=++-+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以BM = BM的长为2.17．(1)证明见解析(2)23【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出110BC AC ⋅= ，得到垂直关系；（2）求出平面1AD E 的法向量，利用点到平面距离公式求出答案.【详解】（1）以A 为坐标原点，1,,AD AB AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()110,2,0,2,2,2,0,0,2,2,2,0B C A C ，则()()()()()()112,2,20,2,02,0,2,2,2,00,0,22,2,2BC A C =-==-=- ，()()112,0,22,2,2440BC AC ⋅=⋅-=-= ，所以11BC AC ^u u u ur u u r u ，即11BC A C ^.（2）设平面1AD E 的法向量为 =s s ，()()()10,0,0,2,0,2,0,2,1A D E ，则()()()()1,,2,0,2220,,0,2,120m AD x y z x z m AE x y z y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，令1y =，则2,2x z ==-，故()2,1,2m =- ，点1C 到平面1AD E 的距离为123AC m d m ⋅==.18．(1)证明见解析；(2)5【分析】（1）证明四边形1OFEA 是平行四边形即可；（2）建立坐标系，求出两个平面的法向量即可求得两平面所成二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取1BC 的中点O ，连接OF ,1A O ，∵1BO OC =，BF CF =，∴1OF CC ∥且112OF CC =，∵1112A E AA =，11AA CC ∥，∴1OF A E ∥，且1A E OF =,∴四边形1OFEA 是平行四边形，∴1EF O A ∥，∵1EF O A ∥，EF ⊄平面11A BC ，1AO ⊂平面11A BC ，∴EF ∥平面11A BC .（2）因为AC ，BC ，1CC 两两垂直，故以C 为原点，CA ,CB ,1CC 分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：()0,0,0C ，2,0,0，()0,1,0F ，()2,0,1E ，()0,2,0B ，()10,0,2C ，()12,0,2A ，设平面AEF 的法向量为 =s s ，由()0,0,1AE = ，()2,1,0AF =- ，有020AE m z AF m x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1x =，2y =，0z =，可得平面AEF 的一个法向量为()1,2,0m = ，设平面11A BC 的法向量为 =s s ，由()112,0,0C A = ，()10,2,2BC =- ，有11120220C A n a BC n b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取0a =，1b =，1c =，可得平面11A BC 的一个法向量为()0,1,1n = ，有2m n ⋅=，m =n =可得cos ,m n ==故平面11A BC 与平面AEF 的夹角的余弦值为5．19．(1)证明见解析(2)存在；23【分析】（1）推导出PA AC ⊥，证明出⊥BC 平面PAB ，可得出PA BC ⊥，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，BC 、AC 、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PM PC λ= ，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，结合01λ≤≤求出λ的值，即可得出结论.【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形ABCD 为平行四边形，60D ∠= ，则60B ∠= ，因为22DC AD ==，则2AB DC ==，1BC AD ==，由余弦定理可得22212cos 4122132AC AB BC AB BC B =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以，222AC BC AB +=，则BC AC ⊥，同理可证AD AC ⊥，翻折后，则有BC AC ⊥，PA AC ⊥，因为PC BC ⊥，AC PC C = ，AC 、PC ⊂平面PAC ，所以，⊥BC 平面PAC ，因为PA ⊂平面PAC ，则PA BC ⊥，因为AC BC C = ，AC 、⊂BC 平面ABC ，所以，PA ⊥平面ABC ，所以平面PAB ⊥平面ABC .（2）因为PA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，以点A 为坐标原点，BC 、AC 、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,0,0、0,0,1、()C、()B -，设()()1,PM PC λλλ==-=- ，其中01λ≤≤，则()()()0,0,1,,1AM AP PM λλ=+=+-=-，()AB =- ，设平面ABM 的法向量为(),,m x y z =，则()010m AB x m AM y z λ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y λ=-，则z =，)1x λ=-，所以，))1,1,m λλ=-- ，平面MBC 的一个法向量为(),,n a b c =，()1PB =--，()1PC =- ，则00n PB a c n PC c ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令b =()n = ，则5cos ,8m n m n m n ⋅==⋅ ，整理可得23λ=，因此，线段PC 上存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，且23PM PC =.。

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