102排列组合中的分组分配问题

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排列组合问题之分组分配问题

（一）（五个方面）

一、非均匀分组（分步组合法）

“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法 ①分成3组，分别为1人、2人、4人；

②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。

解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有2

6C 种，最后由剩下的4人为一

组，有44C 种。由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。

②可选分同步。先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有23

75210C C =（种）。也可先选后分。先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523

753210C C C =（种）。

二、均匀分组（去除重复法）

“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部均匀分组（去除重复法）

例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法

解：可选分同步。先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有3

4C 种。又有2组都

是3人，每22

A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33

70C C A =（种）。也可先选后分。不同的分法共有336

70C C C A ⋅=（种）。

㈡部分均匀分组（去除重复法）

例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法

解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、4

6、排列组合问题之分组分配问题(两个五个方面)

排列组合问题之

分组分配问题

（一）（五个方面）

一、非均匀分组（分步组合法）

“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？

①分成3组，分别为1人、2人、4人；

②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。

解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有26C 种，最后由剩下的4人为一组，有4

4C 种。由分步计数原理得分组方法共有124

764105C C C =（种）。

②可选分同步。先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。也可先选后分。先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210

C C C =（种）。

二、均匀分组（去除重复法）

“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部均匀分组（去除重复法）

例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？

解：可选分同步。先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。又有2组都是3人，每2

2A 种分法

只能算一种，所以不同的分法共有33

70C C A =（种）。也可先选后分。不同的分法共有33663

70C C C A ⋅=（种）。㈡部分均匀分组（去除重复法）

例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？

解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每3

排列组合中分组(分堆)与分配问题

太奇MBA 数学助教

李瑞玲

一．分组（分堆）与分配问题

将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。

将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组的元素个数相同，但因所要分配的对象不同，仍然是可区分的。对于后者必须先分组后排列。一．基本的分组问题

例1.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1）每组两本（均分三组）（平均分组问题）（2）一组一本，一组两本，一组三本（不平均分组问题）（3）一组四本，另外两组各一本

（部分平均分组问题）

分析：（1）分组和顺序无关，是组合问题。分组数为90222426=C C C ,而这90种分组方法实际上重复了6次。现把六本不同的书标上

6,5,4,3,2,1六个号码，先看一下这种情况：

（1,2）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6)(3,4)(3,4)(1,2）（5,6）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6）（1,2）（3,4）

（5,6）（3,4）（1,2）

由于书是均匀分组的，三组的本数都一样，又与顺序无关，所以这种

情况下这六种分法是同一种分法，于是可知重复了6次。以上的分组实际上加入了组的顺序，同理其他情况也是如此，因此还应取消分组

的顺序，即除以3

P ,于是最后知分法为156

332

22426==P C C C .

(2)先分组，分组方法是603

排列组合中的分组与分配问题

排列组合中的分组分配问题

一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念

n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题

例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法

(1)每组两本.

(2)一组一本，一组二本，一组三本.

(3)一组四本，另外两组各一本.

分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是624222

C C C=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺

序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33

A，所以分法是

222

642

C C C

=15(种)。

(2)先分组，方法是615233

C C C，那么还要不要除以33A我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233

C C C=60(种) 分法。

(3)分组方法是642111

C C C=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，

高中数学排列组合中的“分组分配”问题详解

数学好教师 2020-02-06

不同种元素

分组问题

将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题有平均分组、不平均分组、和部分平均分组三种情况。

1. 平均分组

2. 不平均分组

3. 部分平均分组

分配问题：

如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后分配的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。

所以针对分配问题，需要遵守的原则是：先分组，后分配

同种元素

分组问题：

分配问题：

对于同种元素的分配问题，通常有两种解法：常规法和隔板法

常规法：

隔板法：

常规法：

隔板法：

经典练习题

1：将五位老师分到三个学校任教，每个学校至少分一位老师，总共有多少种分法。(答案：150种)

2：有4个不同小球放入4个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法？(答案：144种)

3：7个人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3个人，有多少种不同分法？(答案：70种)

4：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？(答案：84种)

5：现有7个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3的三个盒子中

(1)若每个盒子至少放一个球，共有多少种不同的放法？(答案：15种)

(2)若允许出现空盒，共有多少种不同的放法？(答案：36种)

6：现有12个相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？(答案：10种)

排列组合中的分组分配问题

5、
1. 平面上有10个点，其中有且只有4点共线，
现从中任取2点，共可以组成多少条直线？
C120
-
C
2 4
+1
2. 正四面体的四个顶点和各棱的中点共10个点，从
中任取四个点，其中不共面的情形共有多少种？
210－60－6－3＝141
分析2：
X
10个点中取4个点的取法为C(10,4)=210种
只要求出共面的就可以了共面的分三种情况：
1、有分配对象和无分配对象; 2、分配对象确定和不确定.
X
说明：提出分组与分配问题，澄清模糊概念： n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同的对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
(2)
C
122C
120C82
C
6 6
A
3 3
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2;2;2平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数· 把均分的三组看成是三个元素在三个位置上作排列

排列组合中的分组问题

单位：新沂市高级中学姓名：宋小林

排列组合的内容紧密联系实际，知识背景丰富，题型丰富多样。在高考中常用现实社会热点问题为载体进行考查，常考常新。而分组问题是排列组合中的重点也是难点。是许多同学看起来简单而处理问题时又很容易出错的一类题，下面我就排列组合中的分组问题，结合我个人在教学中的体会和做法，谈一些自己的看法。

关键词：分组均匀非均匀有序无序排列组合中的分组问题有以下几类：

1、不均匀分组无序

例1. 把6 个人分组成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数。

（1）分成甲、乙、丙三组，其中甲组 3 人，乙组2人，丙组1人.

（2）分成 3 组，其中一组3人，一组 2 人，一组1人. 解：本题为非均匀分组问题且与顺序无关

（1）从 6 人中任选 3 人，为甲组有C63种选法，再从余下的 3 人中任选 2 人

为乙组，有C32种选法，剩下1人为丙组，故共有C63* C32* C11种不同的分法。

（2）先从6人中任选3人为一组有C63种选法，然后从剩下的3人任选2 人为一组有C 32种选法，最后剩下的一人为一组，故共有C63* C32* C11种不同的分法。

点评：由于各组人数不同，故此问题属于非平均分组问题。尽管（1）给出了甲、乙、丙3组，而（2）没有给出，但分组的方法相同。很多同学会把（1）结果误表示为C63*C32* C11* A33种。

总结：一般地，把n 个不同元素，不平均的分成m组，（m、n N ）共有

C n n1C n n2n1C n n3n1 n2C n n m m1种分法

高中数学分堆分配问题

篇一：高中数学排列组合中的分组分配问题

排列组合中的分组分配问题

分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念

二、基本的分组问题

例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

(1)每组两本.

(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.

22分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是C26C4C2=90(种) ，这90种分组实

际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A

所以分法是3，

222

C6C4C2=15(种)。(2)先分A33

组，方法是C1那么还要不要除以A3由于每组的书的本数是不一样的，6C5C3，3？我们发现，

排列组合中的分组、分配问题

学习目标：

体会分组、分配问题地联系与区别

体会算两次思想在平均分组问题中地应用

学习过程:

例：

把本不同地书平均分给个人，有几种分法？

把本不同地书平均分成堆，有几种分法？

分析：（）从人地角度：

第人有24C 种，第人有22C 种，根据分步乘法原理得分法数2224C C N ⋅=

从书地角度：先把书平均分成堆，再把书进行排队，把书平均分成堆有种223A N ⋅=

把书平均分成堆有种，注意：不是24C ，而是

2224A C 例：

（）把本不同地书平均分给个人，有几种分法？

（）把本不同地书平均分成堆，有几种分法？

（）把本不同地书分给个人，其中一人本，一人本，一人本，有几种分法？

（）把本不同地书分成堆，其中一堆本，一堆本，一堆本，有几种分法？

分析：

地本质是平均分配问题

地本质是平均分组

地本质是不平均分配

地本质是不平均分组

从人地角度去分析（）：第人有26C 种，第人有24C 种，第人有2

2C 种，根据分步乘法原理得

分法数222426C C C N ⋅⋅=

从书地角度：先把书平均分成堆，再把书进行排队，把书平均分成堆地方法数可用列举法，但数字大时要找好方法.现设把本书平均分成堆得方法数为x ，把堆书排队地方法数为3

3A .

根据算两次得到结果一致得：22242633C C C A x ⋅⋅=⋅文档收集自网络，仅用于个人学习33

222426A C C C x ⋅⋅= “平均分组”对学生来说是难点.

练习：现有本不同地书，求下列情况下各有多少种不同地分法？

分成组，一组本，一组本，一组本（）

分给个人，一人本，一人本，一人本（）

排列组合问题之分组分配问题

（一）（五个方面）

一、非均匀分组（分步组合法）

②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。

解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有2

6C 种，最后由剩下的4人为一

组，有44C 种。由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。

②可选分同步。先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有23

75210C C =（种）。也可先选后分。先选出5人，再分为两组，由分步

计数原理得分组方法共有523

753210C C C =（种）。

二、均匀分组（去除重复法）

“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部均匀分组（去除重复法）

例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法

解：可选分同步。先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有3

4C 种。又有2组都

是3人，每22

A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33

70C C A =（种）。也可先选后分。不同的分法共有336

70C C C A ⋅=（种）。

㈡部分均匀分组（去除重复法）

例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法

解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、4

对排列组合中的“分配”问题的探究

知识整合：

一、解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列还是组合问题，牢记排列数和组合数的公式以及组合数的性质，容易产生的错误主要是在分类的过程中，标准不明确，前后不统一，要么重复，要么遗漏，因此在解题时要认真的分析题目的条件，作出正确的分类或分步；

二、解决排列组合综合问题时，要注意

①把具体问题转化为排列或组合问题。

②通过分析确定是采用分类计数原理还是分步计数原理。

③分析题目的条件，避免选取时重复或遗漏。

④列处计算公式，通过排列数或组合数公式计算结果。

下面对排列组合中的“分配”问题做出简单的探究

排列组合中的“分配”问题是排列组合中的一类常见问题，如：教师分配到班级中教学；护士、医生分配的学校给学生查体；小球放置在有标号的盒子里等都是排列组合中的常见“分配问题”；下面通过例题，对常见的几种“分配”问题简单作出探究：

1、相同元素的“分配”问题

例1、有10名三好学生名额，分配到高三年级的6个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？

分析：作为10个三好学生名额，可以看成是相同元素，分配到高三年级的6个班中，将是相同元素的分配问题，常用的方法是采用“隔板法”；

解：6个班分10个名额，用5个隔板，将10个名额并成一排，

O O O O O O O O O，名额之间有9个空隙，将5个隔板插入9个空中，

则每种插法对应一种方案，共有5

9126

C=中不同的分配方案；

变式练习：

将6个相同的小球放进三个不同的盒子，每个盒子都不空，共有多少中不同的放法？

排列、组合中相同元素与不同元素的分组分配问题

作者：崔庆勋

题目：

版别：

期别

排列、组合中相同元素与不同元素的分组分配问题

在排列、组合的学习中分组分配问题经常遇到,本文谈一谈几种常见问题。一:不同元素的分组分配

例:6本不同的书，按照以下要求处理,各有几种分法

(1) 分成三堆,一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2) 平均分成三堆；

(3) 分成三堆，一堆四本，另两堆各一本； (4) 分成四堆，两堆各一本，另两堆各两本;

(5) 分给甲、乙、丙三个人，甲得一本,乙得两本，丙得三本；

(6) 分给甲、乙、丙三个人，一人得一本，一人得两本,一人得三本； (7) 平均分给甲、乙、丙三个人；

(8) 分给甲、乙、丙三个人，甲得四本，乙、丙各得一本; (9) 分给甲、乙、丙三个人，一人得四本，另两人各得一本； (10) 分给甲、乙、丙、丁四个人，甲、乙各得一本,丙、丁各得两本； (11) 分给甲、乙、丙、丁四个人，两人各得一本，另两人各得两本；

分析：在排列、组合中不同元素的分组分配问题一般按照“先分组再分配”的原则，但不排除

其他途径。在分组时要区分是均分还是非均分或部分均分,在分配时要区分是定向分配还是非定向分配。

（1)非均匀分组，分步产生每一组不会造成重复:

12365

C C C

(2）均匀分组,分步产生每一组会造成重复,应消去步骤造成的重复计数：

222642

C C C A （3)部分均匀分组,应消去均匀分组时步骤上造成的重复计数：41162122

C C C A

(4）同（3）: 11226542

排列组合中的分组分配问题

分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念

n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题

例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法

(1)每组两本.

(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.

分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是

624222

C C C =90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本

不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以

组数的全排列数33

A ，所以分法是222

642

C C C A =15(种)。

(2)先分组，方法是615233

C C C ，那么还要不要除以33A 我们发现，由

于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有

排列组合中的分组问题1

排列组合中的分组问题

有关排列组合中的分组问题学生在做题时易混淆、易出错，下面我们通过几个例子辨析这类问题，总结归纳这种题型的解题规律和方法。问题：

1、有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有几种分法？

2、有6本不同的书，平均分成三份，有几种分法？

3、有6本不同的书，分成三份，一份一本，一份两本，一份三本，有几种分法？

4、有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，其中有一人一本，一人两本，一人三本，有几种分法？

5、有6本不同的书，分给甲一本，乙两本，丙三本，有几种分法？

6、已知方程100=+++w z y x ，求这个方程的正整数解的个数。

7、某校准备参加全国高中组数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1个名额，不同的分配方案有几种？分析：

对于分组问题一般按下面四个步骤来分析：

第一步：看元素是否相同，对于元素相同的一般用隔板法解决。第二步：若元素不同，看是否为平均分组。第三步：看分组后是否分流。

第四步：若分流，看分流的方向是否确定。流程如下表：

6、排列组合问题之分组分配问题（两个五个方面）（2）

排列组合问题之分组分配问题

（一）（五个方面）

一、非均匀分组（分步组合法）

②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。

解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有2 6C 种，最后由剩下的4人

为一组，有4

4C 种。由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。

②可选分同步。先从7人中选出2人，有2

7C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。也可先选后分。先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523

753210C C C =（种）。

二、均匀分组（去除重复法）

“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部均匀分组（去除重复法）

例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分

法

解：可选分同步。先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有3

4C 种。又有2组都是3人，每22

A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33

70C C A =（种）。也可先选后分。不同的分法共有336

70C C C A ?=（种）。

㈡部分均匀分组（去除重复法）

例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法

解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、4

排列组合中的分配分组问题

排列、组合以其独特的研究对象和研究方法，在高中数学教学中占有特殊的地位，是高考必考内容之一，它既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计、组合数学等高等数学的基础，因此排列与组合问题的应用题是高考的常见题型。本文就笔者自己解决排列组合问题中的分配分组问题的一些浅见拙知与大家分享，不值一飧，还望批评与指正。

一、基本定义：

1、排列：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。

2、组合：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。

3、排列数与组合数公式：)1)......(1(A +--=m n n n m

!)1().........1(m m n n n C A C m n m n m n

+--== 二、解题思路总析：

从排列与组合的定义来看，这两个数学名词的相同之处在于“选”—从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素；不同之处在于：排列有“序”——取出的m 各元素之间有顺序，组合无“序”——取出的m 各元素之间无顺序。所以根据题目的意思分析元素之间是否有序就成了解决问题是用排列数公式还是用组合数公式的关键。

另外，在分配分组问题中，还存在分成的各组元素个数相等或不相等的问题，各组元素个数相等的分配分组称为“均匀”，各组元素个数全不相等的分配分组称为“不均匀”。

综合以上两点，笔者把排列组合中的分配分组问题统分为四类：