102排列组合中的分组分配问题
排列组合中的分组与分配问题
排列组合中的分组分配问题一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象,称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。
分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同,仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1)每组两本.（2)一组一本,一组二本，一组三本。
(3)一组四本，另外两组各一本。
分析：(1)分组与顺序无关,是组合问题。
分组数是624222C C C=90（种），这90种分组实际上重复了6次.我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：（1，2)（3，4）（5，6）与(3,4）(1，2)（5，6），由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C CA=15（种）。
(2）先分组，方法是615233C C C，那么还要不要除以33A？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的,因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C=60(种）分法.（3）分组方法是642111C C C=30（种），那么其中有没有重复的分法呢?我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
所以实际分法是41162122C C CA=15（种)。
结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2,…，mp ，其中k组内元素数目相等,那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是指将一组元素分成不同的组，每个组中的元素个数可以不同，同时每个元素只能属于一个组。
这类问题在实际生活中非常常见，比如将不同班级的学生分配到不同的宿舍，将不同商品分配到不同的仓库等。
在解决这类问题时，可以使用回溯法进行穷举搜索，具体步骤如下：1. 定义一个空的结果集，用来存储所有的有效分组分配方案。
2. 定义一个空的临时集合，用来存储当前正在处理的分组分配方案。
3. 使用回溯法进行搜索，从第一个元素开始，尝试将其放入不同的组中。
4. 对于每个选择，如果选择当前组的元素数量小于或等于规定的数量，则将该元素加入到临时集合中，并递归处理下一个元素。
5. 如果当前组的元素数量大于规定的数量，则回溯到上一层，并尝试选择其他组进行分配。
6. 当所有元素都被分配完毕时，将临时集合存入结果集中。
7. 返回结果集，即为所有的有效分组分配方案。
这种解法的时间复杂度为O(k^n)，其中n为元素的个数，k为分组的个数。
在实际使用中，由于组合数目可能非常大，可能需要进行一些剪枝优化，以提高运行效率。
还可以使用动态规划方法解决分组分配问题。
动态规划方法将问题分为多个子问题，然后利用子问题的解来求解原问题。
具体步骤如下：1. 定义一个二维数组dp，dp[i][j]表示将前i个元素分配到j个组中的方案数。
2. 初始化dp数组，将所有元素分配到一个组中的方案数为1，其他地方为0。
3. 使用动态规划进行求解，从第一个元素开始，依次遍历所有可能的组合情况。
4. 对于每个元素，从1到j（j为组的数量）进行遍历，分别计算分配到该组和不分配到该组的方案数之和，并更新dp数组。
5. 当所有元素都遍历完毕后，dp[n][k]即为最终的解。
这种解法的时间复杂度为O(nk^2)，可以在不超出计算能力的情况下求解大规模的分组分配问题。
排列组合中的分组分配问题可以使用回溯法和动态规划方法进行求解。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。
在实际生活中，我们经常会遇到这样的问题，比如如何将一群人分成几组参加比赛，或者如何将一批货物分配到不同的仓库中。
研究分组分配问题的有效解法对于解决各种实际问题具有重要的意义。
排列组合中的分组分配问题可以分为两种类型：一种是固定分组数量的分配问题，另一种是灵活分组数量的分配问题。
在解决这两种类型的问题时，通常可以运用排列组合的知识以及一些数学方法来进行分析和求解。
我们来讨论固定分组数量的分配问题。
在这种情况下，我们需要将一组元素分配到固定数量的分组中，每个分组的元素数量也是固定的。
通常情况下，我们可以使用排列组合的方法来解决这类问题。
假设有n个元素需要分配到m个分组中，每个分组需要包含k个元素，那么可以计算出一共有多少种不同的分组分配方式。
我们需要计算出总的元素数量n个中选取出k个元素的组合数，即C(n,k)。
然后，对于确定了k个元素的第一个分组，剩下的n-k个元素中再选取k个元素，再选取k个元素，直到最后一个分组选取出来。
根据乘法原理，可以得到总的分组分配方式数量为 C(n,k) * C(n-k,k) * C(n-2k,k) * ... * C(n-(m-1)k,k)。
举个例子来说明，假设有12个人需要分为3组，每组4人，那么分组的方式就可以通过计算C(12,4) * C(8,4)来得到。
这种方法可以帮助我们有效地解决固定分组数量的分配问题，并得到所有可能的分组分配方式。
一种常见的方法是使用动态规划来解决灵活分组数量的分配问题。
动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题而有效解决复杂问题的方法。
对于分组分配问题来说，可以将问题分解为将第i个元素分配到第j个分组中的子问题，然后逐步求解，最终得到整个分组分配问题的解。
排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题在数学和计算机科学中是一个重要的问题，它涉及到如何将一组对象分配到不同的集合中，使得每个集合包含的对象满足特定的条件。
在实际生活中，这种问题也经常出现，比如在制定班级或团队分组、分配资源等方面。
在这篇文章中，我们将讨论排列组合中的分组分配问题，并介绍一些有效的解法，希望能够帮助读者更好地理解和解决这类问题。
1. 理解排列组合中的分组分配问题排列组合中的分组分配问题，通常可以描述为以下几种形式：（1）将N个对象分成K个组，每个组的大小不同；（2）将N个对象分成K个组，每个组的大小相同；（3）将N个对象分成K个组，每个组的大小不同，但满足一定条件。
在实际应用中，这些问题可能会涉及到一些约束条件，比如每个组中的对象之间有特定的关系，或者每个组中的对象有特定的属性，这将在具体问题中得到体现。
2. 有效解法为了解决排列组合中的分组分配问题，我们介绍一些有效的解法，包括暴力穷举、动态规划和回溯法等。
（1）暴力穷举暴力穷举是一种简单直接的方法，它通过遍历所有可能的组合来寻找符合条件的分组分配。
这种方法的优点是容易理解和实现，但是当问题规模较大时，时间复杂度会非常高，需要花费大量的计算资源。
暴力穷举一般适用于问题规模较小的情况。
（2）动态规划动态规划是一种常用的解决排列组合问题的方法，它通过将原问题分解成若干个子问题，并且这些子问题之间存在重叠的性质。
通过记录中间结果，可以避免重复计算，从而提高效率。
在分组分配问题中，动态规划可以用来求解不同组合的分配方案数量、找到最优的分组方案等。
通过定义状态转移方程和设计合适的算法，可以高效地解决大规模的分组分配问题。
（3）回溯法回溯法是一种递归地穷举所有可能的解决方案，通过不断地试探和回溯来寻找最优的解决方案。
在分组分配问题中，回溯法可以用来找到满足条件的分组方案，或者列举所有可能的分配方案。
回溯法的优点是能够找到所有可能的解，但是在问题规模较大时，时间复杂度会很高，需要耗费大量的计算资源。
排列组合中的分组与分配问题
排列组合中的分组分配问题一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是624222C C C=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C CA=15(种)。
(2)先分组，方法是615233C C C，那么还要不要除以33A我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C=60(种) 分法。
(3)分组方法是642111C C C=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
所以实际分法是41162122C C CA=15(种)。
结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，m p ，其中k 组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmm m m nn m n m m m k kC CCC A---⋯。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法1. 引言1.1 研究背景在现代社会中，排列组合中的分组分配问题是一个经常出现的实际问题，如资源分配、任务分配、人员安排等。
这些问题具有复杂性和多样性，需要通过合理的解决方案来进行有效的分析和处理。
在实际应用中，我们经常需要考虑如何将一组对象分成若干组，并满足一定的条件和限制。
这涉及到不同对象的组合方式和分组方式，需要通过排列组合的方法来进行求解。
研究背景中，我们可以看到排列组合中的分组分配问题具有重要的理论意义和实际应用价值。
在实际生活中，我们可能需要根据不同的需求和条件，对一组对象进行合理的分组分配，以达到最优的效果和利益。
研究如何在排列组合中找到最佳的分组分配方案是非常重要的。
通过深入研究和分析排列组合中的分组分配问题，可以为实际生活和工作中的决策提供科学依据和有效方法。
这一领域的研究具有重要的意义和价值，也为我们提供了更多挑战和机遇。
的探讨，将有助于我们更深入地了解排列组合中的分组分配问题的复杂性和研究现状，为接下来的内容提供更好的铺垫。
1.2 研究意义排列组合中的分组分配问题是组合数学中一个重要且具有实际应用意义的问题。
研究这一问题的意义主要体现在以下几个方面：分组分配问题在实际生活和工作中有着广泛的应用。
在资源分配、任务调度、排班安排等方面，都需要考虑如何将不同的元素或任务进行合理的分组分配。
通过有效解决分组分配问题，可以提高资源利用效率，降低成本，提高工作效率，实现资源的最优配置。
研究分组分配问题有助于深入理解排列组合的基本概念和性质。
分组分配问题涉及到元素的排列和组合，需要运用排列组合的知识来解决。
通过深入研究分组分配问题，可以增强对排列组合问题的理解，并为进一步研究组合数学相关问题打下基础。
研究分组分配问题还可以促进算法设计和优化的发展。
分组分配问题在计算机科学领域涉及的算法设计和优化问题，可以启发人们思考如何设计高效的算法来解决复杂的组合问题。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。
该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。
解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。
下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。
一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。
这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。
具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。
2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。
设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。
其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。
3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。
二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。
在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。
多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。
具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。
通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。
2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。
利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。
3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。
排列组合中的分组分配问题完整
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
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bd
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ab
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和 分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
C61C52C33 A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题是一类常见的组合优化问题，其目标是将一组对象分配到不同的组中，并满足一定的条件或限制。
在实际应用中，这类问题常常涉及到资源分配、任务调度、人员安排等方面。
1. 贪心算法：贪心算法是一种简单而常用的解法，它根据问题的特点每次选择当前最优的解决方案，并逐步构建最终的解。
在分组分配问题中，贪心算法可以从初始状态开始，每次选择满足一定条件的对象，并将其分配到符合要求的组中，直到所有对象都被分配完毕或达到某种终止条件。
2. 动态规划：动态规划是一种使用备忘录或状态转移方程的方法，通过将原问题分解为若干个子问题，并记录子问题的解，最终通过子问题的解构造出原问题的解。
在分组分配问题中，可以使用动态规划求解最优解。
具体方法是定义一个状态转移方程来描述每个子问题的最优解，然后采用自底向上的方式逐步计算出最终解。
3. 回溯算法：回溯算法是一种逐步试探的算法，通过不断尝试所有可能的解，并及时剪枝来找到最优解。
在分组分配问题中，回溯算法可以通过递归的方式遍历所有可能的分组分配方案，并通过剪枝操作来减少搜索空间。
具体方法是定义一个递归函数，在每一步选择一个对象并加入到某个组中，直到所有对象被分配完成或达到某个终止条件。
4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的启发式算法，通过模拟蚂蚁找到食物的行为，来寻找问题的最优解。
在分组分配问题中，蚁群算法可以通过定义蚂蚁的移动规则、信息素的更新规则等，来模拟蚂蚁在不同组中选择对象的过程，并通过信息素的增强来引导蚂蚁选择更优的解。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，在实际生活中也有很多应用。
这类问题通常涉及将一定数量的对象分配到一定数量的组中，而且每组对象的数量有限制。
解决这类问题需要运用排列组合的知识，有时也需要借助图论等数学工具。
下面将介绍一些有效的解法。
一、基本概念在讨论排列组合中的分组分配问题之前，先来了解一下相关的基本概念。
在排列组合中，排列是指不同元素按照一定规则排成的一列，而组合是指从给定的元素中取出一定数量的元素组成的一个集合。
分组分配问题则是指将一定数量的对象分配到一定数量的组中的问题。
在分组分配问题中，通常会遇到一些特殊的情况，比如分组中的对象需要满足一定的条件，或者每个对象只能分配到某个特定的组中。
这些特殊情况需要根据具体问题进行分析，选择合适的解法。
二、贪心算法贪心算法是解决分组分配问题的一种常用方法。
贪心算法的基本思想是每一步都选择当前最优的解，从而希望最终得到全局最优的解。
在分组分配问题中，贪心算法通常可以通过排序来实现。
以将一定数量的对象分配到一定数量的组中，每组对象数量固定为例，贪心算法的解法如下：1. 将所有对象按照一定的规则排序，比如按照对象的重要性、价值等；2. 依次将对象分配到各个组中，每次都选择当前剩余空间最大的组，并将对象放入其中；贪心算法的优点是简单易实现，但并不是对所有分组分配问题都有效。
有些情况下，贪心算法得到的解并不一定是最优解，因此在使用贪心算法时需要谨慎选择排序规则和验证算法的有效性。
三、动态规划动态规划是解决分组分配问题的另一种常用方法。
动态规划的基本思想是将原问题分解成若干个子问题，然后依次求解这些子问题，最终得到原问题的解。
1. 定义状态dp[i][j]表示将前i个对象分配到前j个组中的方案数；2. 根据分组条件，构造状态转移方程dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]*j；动态规划的优点是能够得到全局最优解，但需要分析问题的子结构并构造合适的状态转移方程，整个过程相对复杂。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到的问题领域非常广泛，其中之一就是分组分配问题。
分组分配问题是指将一定数量的元素分配到若干个组中，并且每个组的元素数量可能不同。
在实际应用中，分组分配问题有着广泛的应用，比如分配任务、分配资源等。
在这篇文章中，我们将介绍一些有效的解决分组分配问题的方法。
让我们来定义一下分组分配问题的数学模型。
假设有n个元素和m个组，每个元素只能分配到一个组中，并且每个组的元素数量可能不同。
我们的目标是找到一种分配方案，使得每个元素都被分配到一个组中，且每个组的元素数量满足一定的条件。
在实际问题中，要解决分组分配问题，需要考虑以下几个因素：1. 元素的数量和组的数量：分组分配问题的规模取决于元素的数量和组的数量。
如果元素和组的数量都很大，那么问题的难度也会增加。
2. 分配条件：每个组的元素数量可能受到一些限制条件的约束，比如每个组的元素数量之和必须等于总的元素数量。
解决分组分配问题时，需要考虑这些条件，并找到满足条件的分配方案。
3. 目标函数：在分组分配问题中，我们通常会有一些额外的参考标准，比如使得每个组的元素数量尽可能均匀，或者使得某个组的元素数量最大等。
这些参考标准可以通过定义一个目标函数来实现，然后再根据目标函数来选择最优的分配方案。
在解决分组分配问题时，可以采用不同的方法，其中一些常用的方法包括：1. 暴力枚举法：暴力枚举法是一种常用的解决分组分配问题的方法。
它的基本思想是对所有可能的分配方案进行穷举，然后根据目标函数来选择最优的分配方案。
虽然暴力枚举法可以找到最优的分配方案，但是当元素和组的数量较大时，算法的时间复杂度会呈指数级增长，效率较低。
2. 贪心算法：贪心算法是一种常用的启发式算法，它的基本思想是每次选择当前最优的分配方案，并在后续的选择中继续按照最优的原则进行分配。
贪心算法可以在较短的时间内找到较好的解，但是不能保证一定能找到最优的解。
排列组合中的分组分配问题
排列组合中的分组分配问题仁荣中学 杨明关键词：分组 均匀 不均匀 分配 定向分配 不定向分配 分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是624222C C C =90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C C A =15(种)。
(2)先分组，方法是615233C C C ，那么还要不要除以33A ？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C =60(种) 分法。
(3)分组方法是642111C C C =30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
排列组合中的分配分组问题
排列组合中的分配分组问题排列、组合以其独特的研究对象和研究方法，在高中数学教学中占有特殊的地位，是高考必考内容之一，它既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计、组合数学等高等数学的基础，因此排列与组合问题的应用题是高考的常见题型。
本文就笔者自己解决排列组合问题中的分配分组问题的一些浅见拙知与大家分享，不值一飧，还望批评与指正。
一、基本定义：1、 排列：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。
2、 组合：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。
3、 排列数与组合数公式：)1)......(1(A +--=m n n n mn!)1().........1(m m n n n C A C m n m n m n+--== 二、解题思路总析：从排列与组合的定义来看，这两个数学名词的相同之处在于“选”—从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素；不同之处在于：排列有“序”——取出的m 各元素之间有顺序，组合无“序”——取出的m 各元素之间无顺序。
所以根据题目的意思分析元素之间是否有序就成了解决问题是用排列数公式还是用组合数公式的关键。
另外，在分配分组问题中，还存在分成的各组元素个数相等或不相等的问题，各组元素个数相等的分配分组称为“均匀”，各组元素个数全不相等的分配分组称为“不均匀”。
综合以上两点，笔者把排列组合中的分配分组问题统分为四类：1、 均匀有序：各组元素个数相等，各组之间有顺序；2、 均匀无序：各组元素个数相等，各组之间没有顺序；3、 不均匀无序：各组元素个数全不相等，各组之间没有顺序；4、 不均匀有序：各组元素个数全不相等，各组之间有顺序。
其中均匀有序又称“双肯定”分法，不均匀无序又称“双否定”，均匀无序和不均匀有序称为“单肯定”下面就以具体例题来说明上面四类问题的一般解法：例1：有6本不同的书，（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？解析：对于问题（1），首先从6本不同的书中选出2本来给甲，选出的2本书之间无顺序，为26C ；其次，从剩下的4本书中选出2本来给乙，为24C ；最后剩下的2本给丙，为22C ；整个解题过程应用的是分步计数原理，所以最终的分法数为90C *C *C N 2224261==;对于问题（2），与问题（1）的相同在于都是均匀分组，差别仅仅在于，一个是分给3人，一个是分成3堆，即就是分成的3组之间一个是有顺序的，一个是没有顺序的，所以问题（2）的解决可以在问题（1）解决的基础上对3组进行“消序”，即15A C *C *C N 332224262==; 对于问题（3），解决方法与问题（1）一样，用分步计数原理，先从6本不同的书中选出1本来，再从剩下的5本书中选出2本来，最后剩下的3本作为一堆，最终的分法数为60C *C *C N 3325163==;对于问题（4），分析题目，可见问题（4）与问题（3）的相同在于都是不均匀分组，差别在于问题（3）是分成3堆，即分成的3组无序，问题（4）是分给3人，即分成的3组有序，所以问题（4）的解决可以在问题（3）解决的基础上对3组进行“排序”，即603A *C *C *C N 333325164==。
排列组合中的分组分配问题
排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是624222C C C =90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A ，所以分法是22264233C C C A =15(种)。
(2)先分组，方法是615233C C C ，那么还要不要除以33A 我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C =60(种) 分法。
(3)分组方法是642111C C C =30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
所以实际分法是41162122C C C A =15(种)。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，也是现实生活中经常遇到的问题之一。
在这个问题中，我们需要将一组物品或者对象分成若干个部分，并且满足一定的条件。
分组分配问题在很多领域都有应用，比如在工程设计中，人力资源分配中，商品生产中等。
解决这类问题需要用到排列组合的知识，以及一些有效的解法。
本文将介绍一些排列组合中的分组分配问题的有效解法。
一、排列组合的基本概念在开始介绍分组分配问题的有效解法之前，我们需要先了解一些排列组合的基本概念。
排列和组合是数学中的两个基本概念，它们都是用来描述从一个集合中选取若干元素的方式。
1. 排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，称为一个排列。
在排列和组合中，元素的重复情况也是一个需要考虑的问题。
比如在排列中，元素的重复次序是不同的排列，而在组合中，只考虑元素的选择而不考虑顺序。
二、分组分配问题的有效解法1. 贪心算法贪心算法是一种解决分组分配问题的有效方法。
贪心算法的基本思想是每一步都选择局部最优解，最终将得到全局最优解。
在分组分配问题中，我们可以根据一定的标准进行分组，比如按照物品的重量、价格、大小等进行分组。
在每一步中，选择当前最优的分组方案，经过若干步之后得到整体最优解。
贪心算法的优势在于可以快速得到一个较好的解，但是也有一定的局限性，可能不能得到全局最优解。
在实际应用中，可以根据具体情况选用贪心算法。
2. 动态规划动态规划是解决分组分配问题的另一种有效方法。
动态规划是一种求解最优化问题的方法，它将问题分解成若干子问题进行求解，最终得到全局最优解。
3. 回溯算法回溯算法是解决分组分配问题的一种基本方法。
回溯算法的基本思想是逐步尝试每一种可能的分组方案，直到找到满足条件的分组方案为止。
在回溯算法中，需要考虑到可能的分支和剪枝，以及如何快速得到解。
在解决分组分配问题时，可以根据具体情况选择贪心算法、动态规划、回溯算法等不同的解法。
排列组合分组分配问题
(1)平均分组,没有分配对象
例6: 6本不同的书平均分成3组,有多少种分 法? 15种
(2)非平均分组,没有分配对象
例7: 6本不同的书分成3组,一组3本,一组2 本,一组1本,有多少种分法? 60种 例8: 6本不同的书,分成3组,一组4本,其余两 组各1本,有多少种分法? 15种
1.有分配对象的分组:元素分组后,又分配给具体对 象,而分组是确定
例1: 6本不同的书分给3人,甲得1本,乙得2 本,丙得3本,有多少种不同的分法?
60种
(2)各组元素数目确定,分配对象 不确定
例2: 6本不同的书分给3人,1人1本,1人2 本,1人3本,有多少种分法?
360种
(3)平均分配给具体对象
例3: 6本不同的书平均分给3人,有多少种分 法?
90种
(4)部分均分给若干对象
例4: 6本不同的书分给3人,1人4本,其余2人 各1本,有多少种分法? 90种 例5: 6本不同的书全部分给4名学生,每人至 多2本,至少1本,有多少种分法? 1080种
2.无分配对象的分组:元素分组以后,没有分配对象 或所分配给的对象不具体不确定,可以不加以区别.
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到对象的排列和组合方法。
在实际生活中，排列组合可以帮助我们解决很多实际问题，尤其是在分组分配问题上。
分组分配问题是指将一些对象按照一定的规则分配到不同的组中，这个问题在实际生活中常常出现，比如分班分组、分工分配等。
在这篇文章中，我们将探讨排列组合中的分组分配问题，并提出有效的解法。
我们需要了解一下排列组合中的基本概念。
排列指的是从一组对象中按照一定的顺序选出一部分对象的方法，而组合指的是从一组对象中选出一部分对象并将其无序排列的方法。
在分组分配问题中，我们通常需要考虑的是对象的分组和分配顺序。
在实际生活中，有时我们需要将一组对象分成若干个组，并且每个组中的对象数量可能是不同的，这就涉及到了排列组合中的分组分配问题。
我们需要将一些学生分成若干个班级，每个班级的人数可能是不同的；又如，我们需要将一些任务分配给若干个团队，每个团队的任务量可能是不同的。
如何有效地解决这些问题呢？下面我们将介绍一些常见的有效解法。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单而高效的算法，它通常适用于求解最优化问题。
在分组分配问题中，我们可以通过贪心算法来求解最优的分组方案。
具体来说，我们可以按照一定的规则来选择对象并将其分配到不同的组中，直到所有对象都被分配完为止。
对于任务分配的问题，我们可以按照任务的难易程度或者工作量来排序，然后依次将任务分配给团队，直到所有任务都被分配完为止。
贪心算法的好处是简单易实现，但它并不能保证得到全局最优解，因此需要根据具体情况来选择是否使用贪心算法。
2. 动态规划动态规划是一种常见的求解最优化问题的方法，它适用于分组分配问题中复杂的情况。
动态规划的基本思想是将原问题分解为若干个子问题，然后分别求解这些子问题的最优解，最后将这些子问题的最优解组合起来得到原问题的最优解。
在分组分配问题中，我们可以通过动态规划来求解最优的分组方案。
具体来说，我们可以定义一个状态转移方程，根据这个状态转移方程来对每个子问题进行求解，最终得到整个问题的最优解。
高中数学专题排列组合中的分组分配问题
高中数学专题排列组合中的分组分配问题Ⅰ.概述分组分配问题是排列、组合问题的综合, 是排列组合问题中的一个重点和难点；某些排列组合问题看似非分配问题, 实际上也可运用分配问题的方法来解决。
解决分组分配问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。
分组分配问题特征:（1）分组分配特征: 问题涉及把相关的元素进行分组然后再分配；（2）分组的类型: 整体均分、部分均分和不等分三种；无论分成几组, 都应注意只要有元素的个数相等的组存在, 就需要考虑均分的现象（即: 整体平均分组；或部分平均分组）；（3）均分特征：只要出现所分组中的元素个数相等, 则存在重复出现的情况, 作为分组只能计为一种。
Ⅱ.排列组合中的分组与分配问题一.分组与分配有关概念1.将n个不同元素按照某些条件分成k组, 称为分组问题；分组问题有不平均分组、整体平均分组和部分平均分组三种情况。
2.将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象（位置）, 称为分配问题；分配分定向分配和不定向分配两种问题；3.分组问题和分配问题的区别: 前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同, 但因对象不同, 仍然是有区分的, 对于分配问题必须先分组后分配, 而分组通常与组合相关, 分配通常与排列相关。
二. 基本的分组问题（一）分组问题的基础题例【题例1】六本不同的书, 分为三组, 求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本, 一组二本, 一组三本.(3)一组四本, 另外两组各一本.【分析】: (1)分组与顺序无关, 是组合问题。
注意, 这里6个元素, 分3组, 每组2个元素, 所求的分组种类: 不是“从6个元素中取2个元素的组合数”, 而是“6选2, 选3次, 分成3组, 所得的组数”；在这样的分组中, 由于要选3次, 且平均选取, 就存在选取的顺序, 故所得组中出现重复的组, 重复的种数即所分组的全排列数。
若一组分组为：（1, 2）（3, 4）（5, 6）, 另一组分组为（3, 4）（1, 2）（5, 6）, 则这样的两组只能算一组, 不能算作两组；若一组分组为：（1, 2）（3, 4）（5, 6）, 另一组分组为（1, 3）（2, 4）（5, 6）, 则这样的两组应算作两个不同的分组；在（1, 2）（3, 4）（5, 6）与（1, 3）（2, 4）（5, 6）这两个分组中出现的“从6个元素中选取2个元素的组合”则有5个, 且其中的组合（5, 6）只能算作1个计数；三. 基本的分配问题（一）定向分配问题: 将所给元素按要求分配到指定对象【题例2】六本不同的书, 分给甲、乙、丙三人, 求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题: 将所给元素按要求分配到非指定对象【题例3】六本不同的书, 分给甲、乙、丙三人, 求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.Ⅲ.分组-分配问题类型与方法探究一. 分组问题的基本类型--思想方法（一）分组问题类型1--非均匀分组（分步-组合法）:“非均匀分组”是指将所给元素分成元素个数彼此不相等的若干组。
高中数学排列组合中的模型探究-----分组分配问题
高中数学排列组合中的模型探究-----分组分配问题分组分配问题是高中数学排列组合学习中的常见问题,是学习重点也是难点，本文就排列组合中具体的分组分配问题进行归类，浅析求解方法。
一、明确分组、分配问题的含义将n个不同元素依据条件分成m组(或是m堆)是分组问题，辨别的关键要点是任意交换一种分组的两个组员，结果是同一种情况，组和组的地位之间没有区别;分组问题有平均分组、部分平均分组和不平均分组三种情况。
将n个不同元素依据条件分给m个不同对象(或是去处)，称为分配问题，分配问题又分为定向分配和不定向分配两种问题；分组问题和分配问题是有区别的，前者在分好组后，任意交换两个组员，结果是同一种情况，后者因为去向不同，交换成员后是算不同的情况，可区分的,对于后者常常先分组后排列。
二、不同元素的分组、分配问题（一）平均分组、分配问题例1 六本不同的书，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）分为三组，每组两本.（2）分给三个人,每人两本.（3）甲两本、乙两本、丙两本.【分析】(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分法是=15(种),为什么要除以？我们不妨把六本不同的书设为a,b,c,d,e,f六个号码，由分步乘法计数原理可以找出两种具体的分法为：(a，b) (c，d) (e，f)与(a，b) (e，f) (c，d)，实际这两种分法是同一种分法，只是后面两组出现的先后有区别，但是分好组后最终的结果是同一种结果。
究其原因实际上是在运用分步乘法计数原理的时候加入先后顺序，也就是相当于三个组员间排列了。
因此还应取消三个组员间排列的顺序，即除以三个组员的全排列数，所以最终的分组方法数为=15(种)。
（2）此组题属于分配中的不定向分配问题。
由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。
实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以，即=90(种)，（3）由于分配给三人，每人分2本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分步乘法计数原理得出：有=90(种)，（二）部分的平均分组、分配问题例2 六本不同的书，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）分为三组，一组四本，另外两组各一本.（2）分给三个人,一人四本、另两人各一本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.【分析】（1）是分组问题，分组方法是=15(种)，为什么要除以？跟例题1的一样，其中两组本数都是一本，由分步乘法计数原理的时候这两组有了一先一后挑选的顺序，也就是相当于这两本书在第二次和第三次分到组里去的过程中排列了，所以要除以这两个成员间的排列数，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复,所以最终分法是=15(种)。
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有确定，故这三个数字可以在甲、乙、丙中进行排列，
故应在第1问的前提下再进行一步排列，有 A33 种．
故由分步计数原理有 C92 ?C73 ?C44 ?A33 ? 7560 种．
③每人3件，即各人分得数相同，不需排列．则有
C93
?C63 A33
?C33
⑤先分3件为一堆有 C93 种方法，然后6件平均分配应有
C62 ?C42 ?C22 种方法，故共有
A33
C93 ?C62 ?C42 ?C22 A33
? 1260
种．
三：部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2再任意分给 A、B、C、 D、E五个人有多少种不同的分法？
方法：（ 1）先分再排法。分成的组数看成元素的个数 ·
种分法 ?
? ③每人3件，有多少种分法 ? ? ④平均分成三堆，有多少种分法 ? ? ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法 ?
? 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种
分法? ? ①甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法 ?
解：①以人为主考虑，三个人去取玩具，据分步计数 原理求解．
第1步先由甲从9件不同的玩具中选2件有 C92 种．
C61C
52C
3 3
注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用 乘法原理作积
六、非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C
61C 52C
3 3
七、非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给 3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法。
排列组合中的分组分配问题
引旧育新
把abcd分成平均两组 有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
C
2 4
C
2 2
A
2 2
3
这两个在分组时只能算一个
1.(平均分组公式）
一般地平均分成n 堆(组)，必须除以n !，如若部 分平均分成m堆(组)，必须再除以m!，即平均分组问 题，一般地来说，km个不同的元素分成k组，每组m个， 则不同的分法有
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
(1)
C
142C
84C
4 4
A
3 3
12! 8!
1 5775
4!·8! 4!·4! 3!
(2)
C
122C
120C82
C
6 6
A
3 3
? 练习：把10人平均分成两组，再从每组中选出正、 副组长各一人，共有多少种选法 ?
第2步由乙从剩下的7件中选3件有 C73 种．
第3步余下4件全给丙有 C44 种．
由分步计数原理得 C92 ?C73 ?C44 ? 1260 种．
? 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种
分法?
? ②一人得 2件，一人得 3件，一人得 4件，有多少种分 法?
? ③每人3件，有多少种分法 ?
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数 ·
（1）均分的三组看成是三个元素在三个位置上 作排列
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
C
2 4
C
2 2
? 练习：9件不同的玩具，按下列分配方案各有几
种分法 ?
? ①甲得2件，乙得 3件，丙得4件，有多少种分法 ? ? ②一人得 2件，一人得 3件，一人得 4件，有多少
?A33
?
1680
种．
? 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种
分法?
? ④平均分成三堆，有多少种分法 ?
? ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法 ?
解：④设分三堆有x 种方法，因堆与堆之间没有差异，
而人却有差异，在第③问中，先分三堆再三人去拿．
故有 x ?A33 ? C93 ?C63 ? 1680 ? x ? 280 种．
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本 ·
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
(2)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
(3)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
A
3 3
(4)
C
4 6
C
1 2
C
1 1
(5)
C
61C 52C
3 3
A33
练习1
1：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分成
四堆有多少种不同的 分法？
（2）按2∶2∶2∶4分给
(1)Leabharlann C120C82C26C4 4
A
3 3
甲、乙、丙、丁四个 人有多少种不同的分 法？
(2) C120C82C62C44
2、有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
C
m km
?C(mk?1)m
?
Cmm
Akk
种．
故平均分配要除以分组数的全排列．
2.(不平均分组公式）
引伸：不平均分配问题：一般来说，把n个不同元素 分成k组，每组分别有 m1, m2 , m3 ? ??m个k ，
且 m1, m2 ? ? m互k 不相等，且 m1 ? m2 ? ? ? ? mk ? n, 则不同分法为
（2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列
C
132C
3 9
C62
C 42 C22
A
3 3
A
2 2
A
5 5
四：部分均分无分配对象的问题
例4 六本不同的书分成 3组一组4本 其余各 1本有多少种分法
C
64C
21C
1 1
A22
五、非均分组无分配对象问题
例5 6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种 不同的分法？
C ? C ? C ? L m1
m2
m3
n
n ? m1
n ? ( m1 ? m 2 )
L
?
C mk mk
种．
如果 m1, m2 ? ? mk 中有且仅有i个相等,则不同的分法为：
C ? C ? C ? L m1
m2
m3
n
n? m1
n? ( m1 ? m2 )
L
?
C mk mk
种．
Aii
知识探究
一：均分无分配对象的问题
解：分两步，先分组，再分别在每一组中选正、副
组长．
分组有 C150C55 种方法，
每组中选正A22、副组长 由分步计数原理共有
都有C150CA5552
A22
种方法．
?A52 ?A52 ?
50400
种．
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人，有多少种不同的分法？
A
1 3
C
4 6
C
1 2
C
1 1
3、12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条件， 各有多少 种不同的分法？
（1）一人三本，一人四本，一人五本；