全国100所名校最新高考模拟示范卷(三)(江西)

20.(本小题满分12分)已知三棱锥 P ABC 中, BAC 90, BC 12, P 在底面 ABC 上的射
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P
影 G 为 ABC 的重心,且 PG 2 . (Ⅰ)求 PA 与底面 ABC 所成的角的大小； (Ⅱ)当二面角 P BC A 的大小最小时,求三棱锥 P ABC 的体积.
4.若 | a | 2sin15 , | b | 4cos15 , a 与 b 的夹角为 30 ,则 a b 的值为( ).
A. 3
B. 2 3
C. 3
D. 1
2
2
5.若点 P(x, y) 在以 A(3,1), B(1,0),C(2,0) 为顶点的 ABC 的内部运动(不包含边界),则
全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(三)
数学(理科,江西专用)
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 要求)
1.复数 (1 i)2008 的实部为( ).
A. 0
B. 21004
C. 21004
D. 22008
2.已知函数 f (x) ax1 4(a 0, a 1) 的反函数 y f 1(x) 的图象经过一个定点,则这个定
22.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 f (x) x3 ax2 bx c 关 于 点 (1,1) 成 中 心 对 称 , 且 f (1) 0 .
(Ⅰ)求函数 f (x) 的表达式； (Ⅱ)设数列{an} 满足条件： a1 (1, 2) , an1 f (an ) .
④若 min(a,b) min(c, d ) ,
则 a c,b d .其中正确结论的个数是( ).
A. 0
B.1
C. 2
D. 3
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13. (2 x)2008 的展开式中所有奇次项系数的和为 __________ .
10.从由正数组成的集合 A 中随机地选出一个数字,且选取数字 n 的概率为 lg(n 1) lg n ,
下面给出四个集合：①{1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10} ；②{1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} ；③{1 , 4,5,6,7,8,9} ；
3
④{1 ,1,6,7,8,9} .
2
解 ： ( Ⅰ ) f (x) 2x 1 , f 1(x) log2 (x 1)(x 1) . 又 f 1(x) g(x) , ∴
log2 (x 1) log4 (3x 1) .
(x 1)2 3x 1
∴

x

1

0
0 x 1,故集合 D {x | 0 x 1}.
2 10 6 120
最小.
(Ⅱ)路线 A C F B 中遇到堵车次数 可取值为 0,1, 2,3 . P( 0) 4 3 5 1 ；
2
C 2 .
3
(Ⅱ)
y

2 sin(2 x

2
)
.设
m

(
p, q)
,则按向量
m
平移后得,
y

2 sin(2 x

2
p

2
)

q
.
3
3
当此函数为偶函数时,有 2
2p
k (k Z ) ,∴ p

k
(k Z ) .又 | m | 最小,
3
2
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案 D
C
B
D
A
B
B
A
C
10 11 12
A
D
B
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13. 1 32008
2
14.[e, )
15. {4, 5, 6}
16.②
三.解答题(本大题 6 个小题,共 74 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
求证： (a1 a2 )(a3 1) (a2 a3 )(a4 1) (an an1)(an2 1) 1.
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全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(三)
数学(理科,江西专用) 参考答案
江西金太阳教育研究所数学研究室 编
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.)


函数,求 | m | 取最小值时的向量 m .
19.(本小题满分 12 分)某人居住在城镇的 A 处,准备开车到单位 B 处上班,若该地各路段发
生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概
率如图(例如
A C D 算作两个路段：路段 AC 发生堵车事件 E
(Ⅱ)设函数 H (x) g(x) 1 f 1(x) ,当 x D 时,求函数 H (x) 的值域.
2
18.(本小题满分12分)(Ⅰ)在 ABC 中,若 c2 a2 b2 ab ,求角 C 的大小.
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的角 C ,函数 y 2sin(2x C) 的图象按向量 m 平移后,对应的函数为偶
12 2
∴
p


,qBiblioteka 0 ,故 m(
,0) .
12
12
19.(本小题满分 12 分)某人居住在城镇的 A 处,准备开车到单位 B 处上班,若该地各路段发
生堵车事
件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如
图(例如
E
F
B
A C D 算作两个路段：路段 AC 发生堵车事件
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的序号) 三.解答题(本大题 6 个小题,共 74 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)已知函数 f (x) 2x 1 的反函数为 f 1(x) , g(x) log4 (3x 1) .
(Ⅰ)若 f 1(x) g(x) ,求 x 的取值集合 D ；
17.(本小题满分12分)已知函数 f (x) 2x 1 的反函数为 f 1(x) , g(x) log4 (3x 1) .
(Ⅰ)若 f 1(x) g(x) ,求 x 的取值集合 D ；
(Ⅱ)设函数 H (x) g(x) 1 f 1(x) ,当 x D 时,求函数 H (x) 的值域.
A. 20cm3
B.10 3cm3
C. 20 3cm3
D. 30cm3
9.已知 a,b,c, d R ,满足 a b 5 , a2 b2 c2 d 2 21 ,则有( ).
A. ab cd 2
B. ab cd 2
C. ab cd 2
D. ab cd 2
P( A C D B) 1 4 7 2 64 ； P( A C F B) 1 4 3 5 60 ；
5 8 3 120
5 4 6 120
P( A C F B) 1 1 9 5 75 .故路线 A C F B 发生堵车事件的概率
3x 1 0
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(Ⅱ)由(Ⅰ),
H
(x)

log4 (3x
1)

1 2
log2 (x
1)

log4
3x 1 x 1
.设
u

3x 1 x 1
,则
u

3

2 x 1
为
增函数.
∵ 0 x 1,∴1 x 1 2 ,即1 u 2 .故函数 H (x) 的值域为 [0, 1 ] .
1 10
1 6
北
的概率为 1 ,路段 CD 发生堵车事件的概率为 1 ).
1 2
5
8
(Ⅰ)请你为其选择一条由 A 到 B 的最短路线(即此人只 A
1 4
1 5
C
1 8
1
3
西
D
选择从西向东和从南向北的路线),使得途中发生
堵车事件的概率最小；
(Ⅱ)若记路线 A C F B 中遇到堵车次数为随机变量 ,求 的数学期望 E . 解：(Ⅰ)由 A 到 B 的最短路线有 3 条,即为： ACDB,ACF B,AEF B.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆 C :
x2 a2

y2 b2
1(a
b 0) 经过点 P(2,1)
,离心率 e
3 ,直线
2
l 与椭圆 C 交于 A, B 两点( A, B 均异于点 P ),且有 PA PB 0 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)求证：直线 l 过定点.
2
18.(本小题满分12分)(Ⅰ)在 ABC 中,若 c2 a2 b2 ab ,求角 C 的大小.
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的角 C ,函数 y 2sin(2x C) 的图象按向量 m 平移后,对应的函数为偶
函数,


求 | m | 取最小值时的向量 m .
解：(Ⅰ)∵ c2 a2 b2 2ab cos C a2 b2 ab ,∴ cos C 1 .∵ C 为三角形的内角,∴
结论：
① max(a,b) max(c, d ) max(a b,c d, a c,b d ) ；
② min(a,b) min(c, d ) min(a c, a d,b c,b d ) ；